系泊系统的设计问题解析_谭航 原稿.doc

2011年11月 数学建模及其应用 Dec.2011第1卷 第1期 Mathematical Modeling and Its Applications Vol.1 No.1“系泊系统的设计”问题解析谭航1，万丽萍1，梁雪松1(1. 成都师范学院 物理与工程技术学院，四川 成都 611130)摘要：本文就2016年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛A题“系泊系统的设计”给出了一种求解方法。关键词：系泊系统；虚功原理；悬链线；倾斜角度；重物球；吃水深度中图分类号： 文献标志码： 文章编号：1 题目“系泊系统的设计”近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。说明 近海风荷载可通过近似公式F=0.625Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。表1 锚链型号和参数表型号长度(mm)单位长度的质量(kg/m)I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12表注：长度是指每节链环的长度。2 问题分析与模型假设2.1 问题分析系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关，而钢管和钢桶的质量是确定的，吃水深度主要取决于重物球和悬于海水中的锚链质量有关。另外，还应该满足锚链与锚的交点处的倾斜角度要小于16度这一特殊要求。一般情况下，悬在海水中的锚链的质量都是比较小的，因此，吃水深度的绝大部分主要由重物球来提供，因此，可以考虑把锚链摘除下来进行考虑，这种情况下，重物球、钢桶、钢管和浮标构成一个静态的系统，就纵向受力平衡的情况下，可以获得一个吃水深度，本文设为h0，然后在这个基础上逐渐的增加吃水深度，那么增加的吃水深度是不是一个合适的结果要看吃水深度的增加量，导致浮标产生更大的向上的浮力，这部分的浮力要靠悬浮在海水中的锚链的重力和特制的锚向下的拉力之和，锚对锚链的向下的拉力主要是要看锚链与锚的交点处的倾斜角度的情况。当确定一个吃水深度的相对于h0的增加量后，对于系统而言，风和水流产生的水平方向的力就是确定的，而系统要平衡，考虑风力和水流力都朝右边，那么锚对锚链就有向左的拉力，并且在锚链的任何一个位置向左边的拉力都等于向右边的风力与水流力之和，因此，只要知道了锚链与锚之间的交点处的倾斜角度，锚向下的拉力就可以确定。如果该倾斜角度为0度，那么吃水深度的增加量就是悬于海水中的锚链的重量导致的。当吃水深度的增加量确定后，就需要确定锚链与钢桶的交点的坐标，这时候考虑锚链为理想的线缆，锚链连续且密度处处均匀，可以考虑为锚链建立悬链线方程，锚链与锚的交点处设为坐标原点，当选取一个合适的交点的倾斜角度后，整个锚链的方程就是确定的，因此，锚链与钢桶处的交点就是确定的。那么这条锚链的形状是否正确，还需要考虑它与钢桶的交点的纵坐标与钢桶长度、钢管长度在纵向的投影长度、及与吃水深度之和是不是等于海水的深度。从建模问题一和二看，锚链型号、锚链长度和重物球的质量都是给定值，这时候能够优化的问题就是吃水深度、钢桶倾斜角度、锚链与锚之间的交点处的倾斜角度的设计。对于问题一，当风的速度比较小的时候，锚链有可能有一段拖地的存在，因此，在计算过程中，如果计算出来的锚链长度小于给定长度，也就是有一段拖地的情况，那么这种情况下就锚链与锚的交点的倾斜角度为0度。而当速度增加到适中情况时，锚链估计处于崩紧状况，但是如果用锚链与锚的交点的最大倾斜角度16度代入进行计算，估计会发生计算出的锚链长度比实际给定的锚链长度短，这时候又应该考虑更小的角度进行计算。当不管如何调整该角度，在重物球的质量不变的情况下，如果风速增加到问题二的速度，估计没有满足要求的解，应该增加重物球质量，直到找到合适的解。对于模型第三问，因为需要选择锚链型号，而型号主要是单位长度的质量对设计有影响，但是锚链的密度都不是非常大，因此首先还是需要考虑增加重物球的质量来找到合适的解，然后再优化。2.2 模型假设与符号说明建模前，先做如下假设：（1） 假设海水密度不随深度改变，并且不考虑海水内部浪涌产生的影响；（2） 锚链处处密度相同且连续；（3） 假设浮标在整个游动过程中不发生倾斜现象；（4） 假设风向和水流方向都是水平方向；（5） 假设钢管、锚链受到的水流力可以忽略不计，锚链的浮力也不考虑；（6） 假设重物球的密度处处均匀，并且重物球的材质为普通钢材，密度给定；（7） 假设钢管、钢桶是刚性构件，不变形，锚链不会发生弹性形变；（8） 假设各个构件之间的链接是理想的铰接形式，不考虑铰接处内部摩擦力。论文用到的符号见表二所示。表2 建模符号说明符号 说明 符号 说明MF浮标质量(kg)钢桶中轴线与水平倾斜角度()MG钢管质量(kg)锚与锚链交点切向量与水平夹角()MT钢桶质量(kg)r1海水密度(1025kg/m3)MB重物球质量(kg)r2重物球密度(7800kg/m3)ML悬于海水中的锚链质量(kg)r3锚链密度(kg/m)MM锚的质量(kg)(XF,YF)浮标几何中心i第i根钢管水平倾斜角度()H海水深度(m)L悬于海水中的锚链长度(m)h浮标吃水深度(m)g重力加速度FML锚对锚链向下的拉力(N) 风和水对系统产生的合力(N)H海水深度(m)3 模型建立3.1 锚链的悬链线模型图2 锚链的悬链线模型为锚链建立悬链线模型1-3,6，假设坐标原点在锚与锚链铰接处，并且该铰接是理想的。悬链线模型如果2所示。假设锚链上某A，B两点，A处锚对锚链具有一个拉力FML，在B点处有沿切线方向有拉力T，因为风和水对整个系统有沿着轴正方向，合力假设为。则锚链处处向左边的拉力为，锚链某处受到向下的拉力为从原点到该处锚链重力与锚对锚链向下的拉力之和。 (1)其中S为A到B点的锚链长度，为锚对锚链向下的拉力，锚链受到的向右边的拉力，其中。对于B点而言有： (2)由弧长公式,有： (3)对方程(2)微分，获得： (4)假设,则有 (5)分离变脸积分可得： (6)如果在，这就是普通的悬链线问题1,6，这也是锚链在原点处的切向量与海床相平行的情况，这种情况下，锚链长度会最长。在设计过程中，锚链在原点处的切向量与海床成一个角度。因此，考虑条件。容易获得，得到： (7)通过化简得到： (8)积分后得到： (9) 又因为条件,获得系数为： (10)3.2 虚功原理建立倾斜角度的模型7为了计算钢管、钢桶的倾斜角度，我们假设浮标的几何中心的位置坐标为，并且假设四根钢管的几何中心位置为，钢桶的几何中心为，假设钢桶与锚链交接处的坐标为。表达式分别如下所示： (11)对位置变量进行变分获得： (12)位置变分就是虚位移，在这些方向上的力分别为： (13)其中表示锚链从原点到锚链与钢桶铰接处的长度，根据锚链方程(9)，得到： (14)虚功原理，指的是方程(13)这些力在虚位移(12)这些方向上做的功之和为0，则虚功为如下表达式： (15)对应的广义坐标是力学系统考虑的自由度，分别为，把各个力和虚位移代入方程(15)获得虚功，而虚功要为0，而广义坐标的虚位移不为0，因此只有对应的广义力为0，得： (16)因此，可以获得： (17) 在前面几个方程中，需要满足。其中力考虑了风对浮标的作用、水流对浮标的作用力，水流对钢桶的作用力，水流对重物球的作用力。在力学计算中，考虑了钢管的浮力、浮标的浮力、钢桶的浮力以及重物球的重力，同时也考虑锚链的浮力，其中对锚链的浮力的为，假设锚链的材料也是钢，并且密度与重物球的密度一致。3.2 加权优化模型8整个模型是一个优化模型，需要选择合适的重物球、合适的锚链长度和合适的锚链型号，使得浮标吃水深度、浮标的游动区域、钢桶的倾斜角度尽可能小，并且要保证锚链与锚之间的交点处的切线与x轴的夹角小于。重物球的质量越大，利于保持钢桶的倾斜角度，但是吃水深度又会增加。因此，考虑加权模型，因为是最小化某些物理参量，重要性越大的参量的加权应该越大。 (18) 其中如下方程组中的方程分别为几何约束和y方向的浮力和重力平衡约束： (19)4 问题求解4,8由于优化模型中具有相反的约束存在，直接使用成熟的优化算法，比较难获得计算的结果，考虑使用计算机模拟的办法计算该问题。计算步骤如下所示：(1) 给定，；(2) 设定重物球半径；(3) 当，根据计算重物球的质量，然后计算去掉锚链和锚后的系统的浮力和重力的平衡，获得平衡时的吃水深度，设置,然后继续下面步骤；(4) 根据公式(13)计算受力，这时候因为锚链长度和锚链在原点处的切向量的角度是未确定的，但是这两部分的力就等于浮标吃水深度增加导致的浮力；然后根据公式(16)计算钢管和钢桶的角度，设定；(5) 根据公式(9)计算；(6) 根据方程(18)计算几何约束，如果精度大于给定量且，那么设定,跳转到(5)继续做，直到获得满足精度要求的；(7) 根据方程(18)计算重力约束是否满足要求，把满足要求的结果全部保存；然后设定，跳转到步骤(4)；(8) 当，设定，增加重物球的质量，跳转到步骤(3)。4.1 问题一给定，锚链为II型，其密度为7kg/m，重物球的半径折合为，获得平衡时的吃水深度为，考虑。这些约束下，满足条件的解答见表3所示。表3 问题一（）满足条件的参数值吃水深度锚链长度x位置游动半径0.674915.39637.62714.38688.807788.799588.791288.782888.78620.675915.39277.62314.385288.811988.803888.795588.787188.79050.676915.3897.61914.384588.816188.80888.799788.791488.79480.677915.38997.61614.380288.820288.812188.80488.795788.79910.678915.38637.61214.379588.824388.816388.808288.888.80330.679915.38277.60814.378888.828488.820488.812488.804288.80750.680915.37917.60414.37888.832488.824588.816588.808488.81170.681915.37547.614.377388.836588.828688.820688.812688.81590.682915.37187.59614.376588.840588.832788.824888.816788.820.683915.36827.59214.375888.844588.836788.828988.820988.82410.684915.36467.58814.375188.848488.840788.832988.82588.82820.685915.3617.58414.374388.852488.844788.83788.829188.83230.686915.3627.58114.3788.856388.848788.84188.833288.83640.687915.35847.57714.369288.860288.852788.84588.837288.84040.688915.35487.57314.368588.864188.856688.84988.841288.84440.689915.35127.56914.367788.86888.860588.852988.845388.84840.690915.34767.56514.36788.871888.864488.856988.849288.85230.691915.3447.56114.366288.875688.868388.860888.853288.85630.692915.34057.55714.365488.879488.872188.864788.857188.8602根据表3的数据分析，锚链在原点处完全与海床相切，此时计算出的锚链长度小于给定的22.05m，因此，锚链拖地，因此不再考虑锚链在原点的切向量与海床成一定角度的情况。拖地长度为6.7m左右，而浮标游动的半径在14.37m左右，钢桶轴线与y轴角度在1.2左右。第一组数据绘制锚链形状如图3所示。图3 锚链形状（h=0.6749m,）当风速逐渐增加到24m/s的时候，我们可以计算获得结果如表4所示。表4 问题一（）满足条件的参数值吃水深度锚链长度x位置游动半径0.686922.154717.26817.565985.434385.404185.373485.342385.3550.687922.147617.2617.563685.449985.419885.389385.358485.3710.688922.140517.25217.561385.465385.435485.405185.374485.38690.689922.133417.24417.559185.480785.45185.420985.390485.40280.690922.126317.23617.556885.49685.466485.436585.406285.41860.691922.119217.22817.554685.511285.481885.452185.42285.43420.692922.11217.2217.552485.526385.497285.467685.437685.44980.693922.104917.21217.550185.541485.512485.48385.453285.46540.694922.097917.20417.547985.556485.527585.498385.468785.48080.695922.090817.19617.545785.571385.542685.513685.484285.49610.696922.083717.18817.543485.586185.557685.528785.499585.51140.697922.076617.1817.541285.600985.572585.543885.514885.52660.698922.069517.17217.53985.615585.587485.558985.5385.54170.699922.062417.16417.536885.630185.602185.573885.545185.55680.700922.055317.15617.534685.644785.616885.588685.560185.57170.701922.048317.14817.532485.659185.631485.603485.57585.58660.702922.041217.1417.530285.673585.64685.618185.589985.60140.703922.034117.13217.52885.687885.660585.632885.604785.61610.704922.027117.12417.525885.70285.674885.647385.619485.63080.705922.0217.11617.523685.716285.689285.661885.634185.6454根据表4，前面的15组数据的锚链长度均大于22.05米，因此，可以考虑增加值便于减少锚链长度。表4后面5组数据的锚链长度均小于22.05米，而h=0.7019m是明星的分界线，总的来说，吃水深度在0.7m左右，钢桶角度在4.6内，符合要求。浮标游动半径在17.56m左右。临界状态时自然状态，其对应的锚链形状如图4所示。 图4 锚链形状（h=0.7019m,）4.2 问题二当风速增加到36m/s时，考虑锚链在原点处的切线的斜率为，是极限位置，获得的锚链长度均大于22.05米，因此，在问题一的假设下，没有解。如果不考虑钢桶倾斜角度的限制下，通过模拟计算当时，锚链长度均小于等于22.05米，因此该角度是一个分界点。结果如表5所示。表5 问题二（II型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径0.709922.049518.0118.839180.556480.498380.439580.379980.40420.710922.04418.00418.830480.586980.529180.470580.411380.43540.711922.038617.99818.821780.617180.559680.501580.442680.46650.712922.031617.99118.812180.647280.590180.532280.473780.49750.713922.026217.98518.803580.677280.620480.562880.504680.52830.714922.020817.97918.794980.70780.650580.593380.535480.5590.715922.013917.97218.785280.736780.680580.623680.56680.58950.716922.008417.96618.776780.766280.710480.653880.596580.61980.717922.00317.9618.768180.795680.740180.683880.626980.65010.718921.996117.95318.758580.824980.769680.713780.657180.68010.719921.990717.94718.7580.85480.799180.743480.687180.71010.720921.985217.94118.741480.88380.828380.77380.71780.73980.721921.978317.93418.731980.911980.857580.802580.746880.76950.722921.972917.92818.723480.940680.886580.831880.776480.7990.723921.96617.92118.713980.969280.915480.86180.805980.82830.724921.960617.91518.705480.997680.944180.8980.835380.85750.725921.955217.90918.696981.025980.972780.918980.864580.88660.726921.948317.90218.687481.054181.001280.947780.893580.91560.727921.942917.89618.67981.082181.029580.976380.922480.9444在表5中，不符合要求。为了让钢桶的倾斜角度达到85以上，增加重物球质量，当增加到2091kg时，在时，获得的结果均小于22.05米，因此，该重物球的质量会是一个临界数据，当质量小于该值时，寻找不到满足条件的解。而大于该值时，获得的锚链长度小于给定值，因此，成立，用计算机模拟办法，逐渐减少值，获得当时，锚链长度达到22.048米，此时，浮标游动半径为18.4981米，锚链形状见图5所示。图5 锚链形状（,）4.2 问题三考虑，我们考虑几个典型值的情况，分表见表6-表10所示。表6 问题三（V型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径1.527521.866417.60218.036785.029985.019885.009684.999485.00351.528521.864517.60118.035485.033885.023785.013685.003485.00761.529521.864417.60118.03585.037885.027785.017685.007485.01161.530521.862517.618.033785.041885.031785.021685.011485.01561.531521.862317.618.033385.045785.035785.025685.015585.01961.532521.860417.59918.03285.049785.039685.029685.019485.02361.533521.860317.59918.031685.053685.043685.033585.023485.0275 表7 问题三（V型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径1.532524.25218.9119.34385.049785.039685.029685.019485.02361.533524.251918.9119.342685.053685.043685.033585.023485.02751.534524.249818.90919.341385.057585.047585.037585.027485.03151.535524.249618.90919.340985.061585.051585.041585.031485.03551.536524.247618.90819.339685.065485.055485.045485.035485.03941.537524.247418.90819.339285.069385.059385.049385.039385.04341.538524.245318.90719.337985.073285.063385.053385.043385.04731.539524.245218.90719.337685.077185.067285.057285.047285.05131.540524.243118.90619.336285.08185.071185.061185.051285.05521.541524.242918.90619.335985.084985.07585.065185.055185.05911.542524.240918.90519.334585.088885.078985.06985.05985.06311.543524.240718.90519.334285.092685.082885.072985.06385.0671.544524.238618.90419.332985.096585.086785.076885.066985.07091.545524.238518.90419.332585.100485.090585.080785.070885.07481.546524.236418.90319.331285.104285.094485.084685.074785.07871.547524.236218.90319.330885.108185.098385.088585.078685.08261.548524.234218.90219.329585.111985.102185.092385.082585.08651.549524.23418.90219.329285.115885.10685.096285.086485.09041.550524.231918.90119.327885.119685.109885.100185.090285.09421.551524.231818.90119.327585.123485.113785.103985.094185.0981 表8 问题三（V型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径1.542520.624615.00515.434585.088885.078985.06985.05985.06311.543520.622615.00415.433285.092685.082885.072985.06385.0671.544520.622415.00415.432985.096585.086785.076885.066985.07091.545520.620415.00315.431585.100485.090585.080785.070885.07481.546520.620315.00315.431285.104285.094485.084685.074785.07871.547520.618215.00215.429885.108185.098385.088585.078685.08261.548520.618115.00215.429585.111985.102185.092385.082585.08651.549520.61615.00115.428285.115885.10685.096285.086485.09041.550520.615915.00115.427885.119685.109885.100185.090285.09421.551520.61381515.426585.123485.113785.103985.094185.09811.552520.61371515.426285.127285.117585.107885.09885.1021.553520.611714.99915.424885.131185.121485.111685.101885.10581.554520.611514.99915.424585.134985.125285.115585.105785.10971.555520.609514.99815.423285.138785.12985.119385.109585.11351.556520.609414.99815.422885.142585.132885.123185.113485.11731.557520.607314.99715.421585.146285.136685.126985.117285.12121.558520.607214.99715.421285.1585.140485.130785.12185.1251.559520.605114.99615.419885.153885.144285.134685.124985.12881.560520.603114.99515.418585.157685.14885.138485.128785.13261.561520.60314.99515.418285.161385.151885.142285.132585.1364表9 问题三（II型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径1.526929.49726.04826.482985.027685.017585.007384.997185.00131.527929.494426.04626.480585.031685.021585.011385.001185.00531.528929.493126.04526.479285.035585.025485.015385.005185.00931.529929.491826.04426.477985.039585.029485.019385.009285.01331.530929.490526.04326.476585.043585.033485.023385.013285.01731.531929.487926.04126.474285.047485.037485.027385.017285.02131.532929.486626.0426.472885.051385.041385.031385.021285.02531.533929.485326.03926.471585.055385.045385.035285.025185.02921.534929.48426.03826.470185.059285.049285.039285.029185.03321.535929.481426.03626.467885.063185.053285.043185.033185.03721.536929.480126.03526.466485.067185.057185.047185.037185.0411表10 问题三（II型锚链）的情况吃水深度锚链长度x位置游动半径1.527543.030440.16140.595785.030185.0285.009884.999685.00381.528543.029140.1640.594385.03485.023985.013885.003685.00781.529543.027840.15940.59385.03885.027985.017885.007685.01181.530543.025240.15740.5906