（基础数学专业论文）toeplitz算子的有界性.pdf

摘要 本文主要研究具有c a l d e r 6 n - z y g m u n d 核的t o e p l i t z 型算子在带非双 倍测度的l e b e s g u e s 空间和m o r r e r y 空间，以及带l e b e s g u e 测度的变指数 l e b e s g u e 空间上的有界性附带地也给出了一类多线性奇异积分算子在 变指数l e b e s g u e 空间上的有界性具体地全文共分为四章 第一章是序言，文献综述和主要结果 第二章致力于t o e p l i t z 型算子在带非双倍测度的l e b e g u e 空间的有界 性的研究这一章是将k r a n t z 和李松鹰在齐次空间上的t o e p l i t z 算子的 有界性结果推广到非齐次空间上 第三章，我们研究t o e p l i t z 型算子在带非双倍测度的m o r r e r y 空间上的 有界性这一章我们把第二章的结果进一步推广到带非双倍测度的m o r - r e r y 空间 第四章，利用加权模不等式理论和外推法研究t o e p l i t z 型算子在变指 数l e b e s g u e 空间的有界性同时也给出了一类多线性奇异积分算子在变 指数l e b e s g u e 空间上的有界性 关键词：t o e p l i t z 型算子，交换子，r a d o l l 测度，m o r r e r y 空间，变指数空 间 a bs t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no nt h em a p p i n gp r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hc a l d e r 6 n - z y g m u n dk e r n e l i nd i f f e r e n ts p a c e s ：f i r s t l yi nl e b e s g u e ss p a c e sa n dm o r r e ys p a c e sw i t h n o n d o u b l i n gm e a s u r e s t h e ni nv a r i a b l e 护s p a c e sw i t hl e b e s g u em e a - s u r e s i na d d i t i o n ，t h eb o u n d e d n e s so fac l a s so fm u l t i l i n e a rs i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r si nv a r i a b l e 妒s p a c e sw i t hl e b e s g u em e a s u r e si s c l a i m e d i ti so r g a n i z e da st h ef o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，t h e r ea r et h ep r e f a c e ，as u r v e yo ft h eb o u n d e d n e s s o ft o e p i t zo p e r a t o r sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 。w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ep b o u n d e d n e s so f t o e p l i t zo p e r a t o r si nl e b e s g u es p a c e sw i t hn o n - d o u b l i n gm e a s u r e s i nf a c t w ee x t e n dt h ee s t i m a t eo ft o e p l i t zo p e r a t o r so nl e b e s g u e s p a c e so fh o m o g e n e o u st y p eo b t a i n e db yk r a n t za n dl is o n g y i n gt o t h el e b e s g u es p a c e so fn o n - h o m o g e n e o u st y p e i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h eb o u n d e d n e s so ft o e p l i t zo p e r a t o r s i n m o r r e ys p a c ew i t hn o n - d o u b l i n gm e a s u r e s i nt h i sc h a p t e r ，w e e x t e n dt h er e s u l ti nt h es e c o n dc h a p t e rt om o r r e ys p a c ew i t hn o n - d o u b l i n gm e a s u r e s i nc h a p t e r4 ，w es h o wt h eb o u n d e d n e s so ft o e p l i t zo p e r a t e r si n v a r i a b l eps p a c e sb ya p p l y i n gw e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i sa n de x t r a p - o l a t i o n i na d d i t i o n ，w ep o i n to u tt h a tac l a s so fm u l t i l i n e a rs i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r si sb o u n d e d i nv a r i a b l e1 2s p a c e sw i t ht h el e b e s g u e m p a s l 】r e s k e y w o r d s ：t o e p l i t zo p e r a t o r ，c o m m u t a t o r ，r a d o nm e a s u r e ，m o r r e r y s p a c e ，v a r i a b l el e b e s g u es p a c e s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：日期：年月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖 南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用 影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 ，保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名： 导师签名：花蓦 日期：年月日 日期：易归8 年彳月l 寥日 t o e p l i t z 算子的有界性 1 1 引言 1 引言，文献综述和主要结果 调和分析或f o u r i e r 分析的起源可以追溯到e u l e r ，f o u r i e r 等著名数学 家的研究，之后，经历了近2 0 0 年的发展，已经成为数学的核心学科之一， 它的方法几乎渗透到数学的所有领域自从二十世纪五十年代c a l d e r 6 n 和 z y g m u n d 建立奇异积分理论以来，以c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子为核 心的各类积分算子的研究一直是现代调和分析的中心任务之一这主要 在于这些算子的研究不但在调和分析，而且在偏微分方程，位势理论等 其它领域中有着广泛的应用 经典调和分析是在具有l e b e g u e s 测度的舯中展开的但是，随着应 用的发展，标准的l e b e g u e s 空间已经不能满足人们的需要了c o i f m a n 和 w e i s s 发展了齐次空间上调和分析可是在应用中许多空间测度不满足双 倍条件，因此如何将经典调和分析结果推广到非齐次空间就成为调和分 析研究的一个重要方向n a z a r o v ，t r e i l ，v o l b e r g ，t o l s a 等人近十几年来发 展了在非齐次空间上的奇异积分理论例如非双倍测度上的柯西变换的 t ( 1 ) 定理分别在【2 7 1 ，【4 1 】中独立得到后来，j v e r d e r a 在【4 3 中也给出了 它的另一个证明g d a v i d 1 l 】获得了适合非双倍测度的t ( b ) 定理，这个 定理解决了带有正的有限的一维h a u s d o r f f 测度的集合的v i t u s h i k i n 共轭 问题x t o l s a 在【4 2 】中证明了带非双倍测度的t ( 1 ) 定理n a z a r o v ，t r e i l ， v o l b e r g 等人在 2 9 】证明了带非双倍测度的t ( b ) 定理x t o l s a 在 3 8 】中定 义了正规有界振荡函数空间r b m o ，原子h a r d y 空间s 越l ，。o o ，并得到了与经 典情形类似的结果，即正规有界振荡函数空间r b m o 是原子h a r d y 空间 砒尹的共轭空间事实上t o l s a 在【3 8 中定义与非双倍测度相应的尖锐极 大函数，利用此新的尖锐极大函数较好地解决之前存在的一些问题其 它的相关结果读者可参看【1 l 】，【2 7 】，【2 8 】， 2 9 】， 3 8 ，【3 9 ，f 4 0 】，【4 1 】，【4 2 】 同时近十几年来，变指数空间吸引了国际上许多学者的兴趣这些 硕士学位论文 空间可以追述到1 9 3 1 年o r l i c z 的工作f 3 0 】，但是现代的发展起自k o v 和i k 和r 矗k o s n i k 在1 9 9 1 年的工作【1 9 】近年来，m i c h e l 耻艺i 芒l 【a 发现了这些空。 间与流体动力学的联系【3 5 】，这些空间可以用于电变流体的研究另外一 项应用是由c h e ny u n m e i ，l e v i n e 和r a o 提出的图像恢复的一个模型【4 】正 是由于这些应用，近十几年来，已出现许多重要的成果如极大算子， 奇异积分算子，分数积分算子等在变指数l e b e s g u e 空间上的有界性得到 充分讨论 受到以上许多成果的激励，本文将研究作为奇异积分交换子的推广 的t o e p l i t z 算子在非双倍测度l e b e s g u e 空间和m o r r e y 空间，以及变指数 的l e b e g u e 空间上的有界性 1 2 文献综述 t o e p l i t z 算子是指如下形式的一种算子， t b = 弓， j = l 其中乃，l 和乃，2 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 异于或士，( ，是恒等算子) ，m d ( x ) = 6 ( z ) ，( z ) 由此可见，由c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子和局部可积函数b 所生成的 交换子可以认为是t o e p l i t z 型算子的一种特殊情形 当b b m o 时，k r a n t z 和李松鹰在【2 0 】中研究了死在齐次空间上的 上尸有界性当b b m o 时，邱道文在( 3 4 】一文中得到了广义t o e p l i t z 型 算子在齐型空间x 上是扩( x ) 到l q ( x ) 有界的当? j ，。和乃，2 是强奇异 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子或土j ( j 是恒等算子) ，且b b m o 或b 是l i p s c h i t z 函 数时，林燕和陆善镇研究了算子死从2 ( r ) 到l q ( r n ) 的有界性和1 2 ( r n ) 到t r i e b e l l i z o r k i n 空间砖o ，o o 的有界性具体可看 2 3 】对于强奇异c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，读者可参阅【2 】 近年来，非齐型空间上的奇异积分和交换子的研究取得了很多重要 2 - t o e p l i t z 算子的有界性 的成果，其理论以趋完备 设肛是r d 上的r a d o n 测度，如果存在常数c 0 ，n ( 0 ，d 】使得p 满足增长性条件 。 肛( b ( z ，7 ) ) c r n ， ( 1 1 ) 对所有中心在z 彬，半径为r 0 的球b ( x ，r ) 都成立则与测度肛相对 应的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子定义如下- 定义1 1 1对于常数g 0 和0 6 1 ，当2 1 y z | i z z i ，z ，3 ，z 剌 时，则称核函数k ( ，) l o 。( r d r d ( z ，y ) ：z = 可) 为c z 核，如果它满足 下列条件： p ( 1 ) l k ( x ，y ) 赤， l 。_ 1 6 ( 2 ) i k ( z ，可) 一k ( z ，z ) l + i k ( y ，z ) 一k ( 名，上) i c 芒臻 设p 是r a d o n 测度且满足( 1 1 ) ，我们称丁是一个c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子， 如果对任意有界紧支集的函数， ， t f ( z ) = k ( x ，) ，( 秒) 舡( ) z 隹s u p p ， ，r “ 成立，这里g ( x ，y ) 是c ，z 核，且t 可以延拓成l 2 ( p ) 上的有界线性算子 众所周知的是若t 是c a l d e r d n z y g m u n d 算子，则r 是l p ( i z ) 有界的， 1 p o 。，并且是弱( 1 ，1 ) 当1 p 1 ，、p + = e s ss u p p ( x ) ：z r n ) 0 ，函数，都满足 i f ( x ) a i p c 善) d x 0 ，p + = e s s s u p p ( x ) ：z p ) 0 0 设p ( ) 汐o ( 鼢) ，则类似上面可以定义变指数空间1 2 ( ) ( r n ) 我们将要用到的一个重要的结论如下，莎表示有序非负可测函数对 ( ，g ) 所组成的集合， 定理a 给定集合莎，开集渺，对p o ，1 p o 。o 和u a v 。，假设有不等式 rr， ，( z ) p o w ( x ) d xsc o 9 ( z ) p o c l ，( z ) d z ，( ，白) 。罗 j r 一 j r ， 若p ( ) 汐o ( 郧) 存在0 p 1 p 一使得( ) 屈1 ) 留( 舻) ，也就是说，h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子在l p ( ) p t ) ( 础) 上面有界那么对所有满足，2 ( + ) ( r n ) 的有序对( ，g ) 莎，都有不等式 州p ( ) c i i 夕1 1 口) 4 一 t o c p l i t z 算子的有界性 成立进而对任一1 q c x 3 和序列 ( 乃，g j ) bc 莎，向量值不等式 l l ( 莩c 乃，口) ；l l l 州，c l ( 莩c 毋，口) ；l l l “i 也成立 这个定理是由c r u z u r i b e ，f i o r e n z a ，m a r t e l l 和p 6 r e z 在文章【6 】中的推论 1 1 l 给出的几乎同时，c r u z u r i b e ，f i o r e n z a ，n e u g e b a u e r 在【7 】和n e k v i n d a 在【2 6 】中分别得到了极大算子m 在变指数空间中有界的条件： 定理b 给定舻中的开集q ，p ( ) 汐( q ) ，若p ( ) 满足 1 1 p ( t ) 一p ( y ) l 彘，z ，y q ，l z 一夕i i 1 ， 2 i p ( x ) 一p ( 可) i 巧亲丽，z ，y q ，川蚓| 则m 是汐( 。( 刚上的有界 算子，其中汐( q ) ，和汐( ( q ) 的定义类似前面 更早的时候，若q 有界，d i e n i n g 在 1 2 证明了仅条件1 就是充分条 件 1 3 主要结果 本文的编排格式如下：定理，定义，引理，命题按章节编排，如定 理2 1 1 是指第二章第一节的第一个定理；公式，不等式的编号是按章编 排，如式( 2 1 ) ，表示是第二章的第一个式子我们强调一下，文中的c 是 一个正的常数，但不同的地方其值可能不同我们的主要结果如下： m 定理2 1 1 若p 满足增长性条件( 2 1 ) 且i = ，令t b = 乃，乙，2 ，这 j = l 里乃，l 和乃，2 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子当，( p ) 时，假设正( 厂) = 0 ， 则对任意b r b m o ( # ) 都有死是妒( p ) 有界的，1 p ( 3 0 t 7 l 定理3 1 1 若p 满足增长性条件( 2 1 ) ，t b = 乏：t j ，l 乃2 这里t j 1 ，t j ，2 是 一5 一 硕士学位论文 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子当，( p ) 时，乃( ，) = 0 取b r b m o ( # ) ，那 么，当1 口p o o 时，t b 是m ：( 七，p ) n 驴( 上的有界算子 定理4 1 1 设t j ，是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子或5 = i ，并取p ( ) 纺( r n ) 若 ，1 2 ( ，正( ，) = 0 ，则对任意b b m o ( r ) ，则存在与，无关的常数c 使 得，对任意，2 ( ) ( r n ) ，有 i i t 。( 1 ) l l 删硎6 m 慨，1 1 ) ( 慨z i i ) 1 1 1 1 l p ( ) 且对所有1 q 0 0 ， 。 l ( 莩i 瓦c 乃郴) ；l l 酬。c 归队c 萎l i 乃一叭萎“乃一i ，l i ( 季i 乃r ) l l 洲， 成立，这里l l 弓，i i l 表示算子t j ，i 的范数 定理4 2 1 设t j 。t 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子或j ，取1 p o o o 对任一 b b m o ( r ) ，u a p 。，都存在一个独立于，汐。( u ) 的常数c 使得 i i ( t b ( f ) ) l l l ，。( u ) c l i b l l 。( i i t j ，- l i ) ( 慨2l i ) i i f l i l p o ( u ) 成立 定理4 3 1 令t 是一个c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，巧1 ，d n a j o s c 。z p l ：， h = 叻，j = 1 ，l 且令p ( ) 留( 舭) 则存在与，无关的常数c 使得，对 ，1 2 ( ) ( 舯) ， f 、 ( 剧h ，cn l l l d 删蠢， 对1 0 的球b ( x ，r ) 都成立这种测度p 一般 不满足双倍条件我们称之为非双倍测度带非双倍测度欧氏空间r d 叫 做非齐次空间我们说p 满足双倍条件是指：对z s 聊( 肛) ，7 0 ，存在 常数c 0 ，不等式p ( b ( z ，2 r ) ) sc 肛( b ( z ，r ) ) 成立 下面，我们给出r b m o ( # ) 的定义及其性质 定义2 1 1b 是r d 上的一个局部可积函数我们说b 是属于空间r b m o ( # ) 的，如果存在一个常数a 0 使得 1 ， s u q pp l p v ji ，qi 一m 剖咖( z ) a ， ( 2 2 ) 且当qcr 是双倍的，还有 i m q ( b ) 一m r ( o ) j a k q 商 ( 2 3 ) 7 硕士学位论文 这里的上确界是对所有中心在p 的支集中的方体而言在上面两式中出 现的最小的常数a 就叫做b 的r b m o ( # ) 范数，并记作1 1 6 l i 。 空间r b m o ( # ) 是由t o l s a 引进的，并且t o l s a 证明了下面这个结论， 参看f 3 8 引理2 1 1 取p 1 为一定值，且1 p o o ，当函数b r m b o ( # ) 时，那 么存在一个常数c 使得 ( 志小( 小一m 卅z ) ) 1 p c | 卜 对任意方体q 成立，并且对任意两个双倍方体qcr i m q b m n b l c k q 。r 也成立 下面建立本章的主要结论 m 定理2 1 1 若p 满足增长性条件( 2 1 ) 且i = o o ，令t b = t j ，1 m b t j ，2 ，这 j = l 里乃，l 和乃，2 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子当，p ( 肛) 时，令正( ，) = 0 则 对任意b r b m o ( p ) ，都有瓦是妒( p ) 有界的，1 扩 对于任一方体q ，称q 是( q ，阮) 倍测的( d o u b l i n g ) ，若弘( a q ) s 尻p ( q ) ，q q 表 示一个与q 同中心且边长为q f ( q ) 的方体取u o ，我们用西表示 2 忌q 这种形式方体中最小的( q ，p ) 倍方体在此文中，令q = 2 ，尻= 2 n 机， 8 一 t o e p l i t z 算子的有界性 我们将( 2 ，2 蚪1 ) 倍方体简称为双倍的对任意两个方体q cq 2 ，记 一1 。n f q l , q z 肛( 2 后q 1 )k q - 胁= 1 + k = l 赫券 其中n q ：是第一个正整数k ，使得1 ( 2 七q 1 ) z ( q 2 ) 下面我们给出尖锐极大算子的定义， 胪m ) = s 伽u p 志加h 卅州卅藻s u p 斧， 在此，m q ，表示厂在q 上的平均非中心双倍极大算子我们定义为 。州牡。s 锄u p 志z 0l m ) i d 胁d 口 i vj ， q , a u b l i n g 1 t o l s a 在 3 8 】一文中对m # 和，作了详细介绍下面这个引理就是【3 8 】 中定理6 2 ，它表示了m # f 和人r ，之间的关系 引理2 1 1 令厂l l 。( p ) ，当i o o 时，f d # = 0 若1 r ，那么 i i i , ，叩州l 。( 弘) c 州k ( p ) 硕士学位论文 2 3 定理证明 首先，我们断言，对任意1 i 由引理2 王2 ，t 4 在( 肛) 是有界的( 1 r ) ( 参看( 2 7 】) ，那么当 1 p 。时，点态估计( 2 5 ) 意味着m 襻( 噩( 川的驴( p ) 有界因而，如 果b 是有界函数，那么，由乃，。和乃，2 的有界性0 = l ，m ，) ，对于具有 汐( 弘) 紧支集的有界函数，死，1 2 又由引理2 2 1 ，对于具有紧支集的有 界函数，死是有界算子然而，任何一个r b m o ( # ) 函数都可以写成一 个有界函数序列的极限，参看文 3 8 】中引理3 3 这样，当b r b m o ( # ) 时，死对于在驴( p ) 上具有紧支集的函数是有界算子因为具有紧支集 的有界函数在妒( p ) 上是稠密的，所以我们就有死在( p ) 上是有界算 子下面，我们仅仅需要证明估计( 2 5 ) 固定z 瞅取q 为一中心在z ，边长为l ( q ) 的方体我们要证明式 ( 2 5 ) ，象在【3 8 中证明定理9 1 一样，我们只需要证明： 南肛_ 酬幄c 塾驯队划咖) 】( 班 ( 之1 6 ) 对任意z 和q 满足z q 成立，并且对任意的方体qcr ，。q ，r 是一 个双倍的方体时，估计式 仉 i 危q 一危r l c i i b l l 。k 昌，兄( 1 l 乃，- l i 鸩，3 【乃，2 ( ，) 】( z ) + z 乃，z ( ，) 】( z ) ) ( 2 7 ) ， j = 1 1 0 t o e p l i t z 算子的有界性 也成立这里h q2m q c t c 6 一m 扩) x i d 口( 埘，h r2m r ( 丑6 一m r 6 ) x t a r ( 川我们先 证明估计( 2 6 ) 容易得到下面的分解 t b ( f ) = t b 一价西6 ( ，) = 奴6 一m 辱x 鲁口( ，) + 盈6 一m 扩) x 鼍a q ( ，) ：= + 如 丽1l i t b ( f ) ( 可) - h q i 眦) 主黝燃麓可， 对1 p 0 0 ，取u 满足1 让 r p ，利用h s l d e r 不等式就有 ，s ； 仉1 f qi t j m b - m o b ) x o 珈础y ) 妻j = l ( 南肛咐b 剐趴训撕) 丢 、 c 扣川h ( 志) 吾删础，) 吾 令让= ，这样我们由r b m o 函数的性质和极大算子的定义就得到 ，c 溉j = l 川) ( 南：qi b ( y ) - m 掣“专 ( 志加“似训协广 8 ， 卯勤驯圳| 6 i | i 酗删， 这里我们利用了 q | 6 ( 秒) 一m 剖“毗( 可) c i b l , 2 p ( 2 q ) ，此式成立是因 为我们有l m 百6 一m 菊6 is c l l b l l ，详细情况可看文【3 8 】中引理3 2 硕士学位论文 然后，我们采对z _ f 作估计对仕蒽钉，y q ，我们有 l 厶( u ) 一1 2 ( y ) i m j = l 上。口l 巧，z ( u ，z ) 一巧，( 夕，z ) 1 1 6 ( z ) - m 石b l l t j ，z ( 剧咖( z ) 嘻委k ；q 器吨l + ( i m s 一，z ( 似z ) i 咖( z ) m , b 。ob k l ) ) l 乃。 如若若2 咄6 高k 旧( 扯k 慨( ，) ( 撕 +c善扩脚|6|j南啪ttjk- “硝列撕) 卢1 - - i。、。w ，j 2 8 i q 显然，由r b m o 函数b 的性质和极大算子尬，”的定义我们容易得到 l 如( 口) 一厶( y ) i c 2 - k 6 i l b l l 。m r ，“弓，。( 似z ) 】一- 厶 i j 、，、，j j = 1k = l mo 。 + c k 2 嘲l + 鸠，2 t j j ，2 ( 州z ) 】 - 一z 一 百 _ 、o j o m c i i b l l 。鸠，( 喇川( z ) ， j = l 这里b k2 m 殛6 对秒q 取平均，我们得到 因此 厶( ) 一h q i c i 。鸠浩( 乃，2 ( ，) ) ( z ) j = l 南丘q 吨忡) 蚓1 6 i i ，薹( 则) ) ( z ) ( 2 9 ) 因此由( 2 8 ) 和( 2 9 ) 就得到( 2 6 ) - 1 2 - t o e p l i t z 算子的有界性 下面我们验证( 2 7 ) 对qcr ，我们对i q h i 作如下分解 i 九q h r i = i m q ( t c b m 扩扣( 川一m 冗( 致6 一m 加) x r d 鲁r ( 埘l i m q ( 乃，1 心6 一仇a 6 ) x i d 口乃，2 ( ，) ) 一仇r ( 乃，- m 6 一m r 6 ) x n d 冗t j ，2 ( ，) ) i j = z i m q ( 乃，l m ( b - , b ) x 。矶。乃，2 ( ，) ) l j = 1 + l m q ( 乃，- m m r 6 - m 西b ) x i d 勰乃，2 ( ，) ) l j = z 十i m q ( 乃，t m 6 一m r b ) x ：，r + 。吼。口乃，z ( ，) ) l j = l + i m q ( t j ，l 坛6 一m r b ) x 丘。峋，r + 。口乃，2 ( ，) ) 一m r ( t j ，1 m 6 一m r6 ) x l d 。口最+ 。q 乃，2 ( ，) ) j 2 1 + ( t j ，1 m ( b - m l c , b ) x n - t - i 、t 。t j 则) i ，“ 日f + 趔+ 磁- i - 磁- t - ) 类似于( 2 6 ) 的估计，我们容易得到 ，明c i i b l l m r ，；田，2 脒z ) 下面估计研对任意y q ，我们有 吼m m 扩) x 2 0 吾口t 3 , 2 ( ，) ( ) i i玛，1(y，z)(6(z)一mob)tj，2(f)(z)ldl卫(z)j2 q q s 志f 2 q l ( 6 ( 犷仇石6 ) t j “似z ) m ( z ) 1 3 - 硕士学位论文 f 面利用h s l d e r 不等式得到 “ 研s 丽c ( 小沪喇讥) 专( 厶刚似圳协) ； 丽c l l b l l ( 厶剐川脚) 孝 c i b f m r ，【乃，2 ( 删( z ) 因此我得到h i c l l b l l 。m r ，兰陬2 ( 列( z ) 类似的，我们有瑶c l l b l l 。m r ，阮，2 ( 删( z ) 现在我们来考虑明显然，对 z y q - t ( f x r d 2 q ) ( 可) i 丐l m ) 州。s u p 上 q 。i f l d # 巧l m ) + c 鸠，渺) 因此 1 ，- 鹚2 南厶6 西b ) t j t j 2 ( 小r d 2 q 】( 可) m 可) c k q ，r l l b l l ，( t s t j ，2 ( 删( z ) + m r ，2 陬z ( ，) ( z ) ) 最后，我们来处理穰任给y q ，我们可以得到 i t , ，i m c b 一喇) x ：q 矿- 口。q 乃，2 ( 以) i 1 6 ( z ) 一m , z b ii t , ，z ( 硝z ) i 毗( z ) j 2 k + 1q 2 k q ( 厶+ 。q1 6 ( z ) 一m r 6 i d p ( z ) ) 专( z 。+ 。口l 乃，：( ，) ( z ) f 7 d p ( z ) ) 而且，由引理2 1 3 ，我们就得到 ( z 。+ 。q 陋一m r 6 | r ，d p ) 古 ( f 2 j + 。q 1 6 6 2 t + 。q i d 肛) 7 1 + p ( 2 后- 1 q ) 专i m r 6 6 ：。+ ，q 。c 心，r l l 6 队p ( 2 七+ 1 q ) 专， 1 4 卜 一p旦三叼 一 一 象脚 c c t o e p l i t z 算子的有界性 当1 七q ，r 时，b 2 m q 是b 在2 k + 1 q 的平均因此 m ( b m r x 。咱r + 口、2 q 弓，2 ( 似! ，) l c o i 蔷豁( 高“则_ 以 c 阮r n 若q r 帮怕队嘲川 c k 弓，r 珥浩阮，2 ( 列( z ) - 在q 上取平均值，我们有 趔c 确，r l l 6 | | 鸩，阮，z ( 删( z ) 由研至磁的估计，正则性条件( 2 7 ) 得证 f 面我们利用( 2 6 ) 和 ( 2 7 ) 来证明( 2 5 ) 如果q 是一个双倍方体，z q ，我们有 i m q 【死( ，) 】一均i 云南厶l 磊( ，) ( 彳) 一九q l d 卫( 引 sc i i b l l + i 眠2 田，2 ( 州( z ) 卢1 仉 f 2 1 0 ) + c i i b l l ，m r ，；阢，2 ( ，) 1 ( 茁) j = t r n c l l b l l 。i i t j ，l i i m , ，奶2 ( 删 嘲1 厶i 攀 ) _ 吲双 ) l 缸k ) 。三盍黜篡+ihq-娃h5l+啦ih0-彬m小5(第tb(f)cllbll l i t , i i m , 伽。 。( ，t ，奶z ( 删( z ) + 疋隅枷) j = lj = l 硕士学位论文 另一方面，对所有的双倍方体qcr ，z q 满足k q ，r p o ，p o 是常数( 参 见【3 8 】) 由( 2 4 ) 我们得 i h q h a i c i i b l 。( i i t j ，- i l 鸩，； 乃，2 ( 删+ 。 t j ，2 ( 删) 瑶 因此，对所有双倍方体qcr ，2 q 我们得到结论 一h r i c l l b l l 。( i i t j ，- i 眠；隅，2 ( 删+ 譬。 t j ，2 ( 删) 硒，r j 2 1 再次利用( 2 7 ) ，我们有 i m q ( t b ( 埘一m r ( t b ( f ) ) l l m q ( t b ( f ) ) 一 q l + i 九q 一九r i 十i r m q ( t b ( ，) ) i c i i b l l 。( i i t j ，i i m , ，奶，2 ( 删( z ) + 巧。 t j ，z ( 剧( z ) ) 托弦 j = l 由此估计和( 2 8 ) 我们得到了想要的( 2 5 ) 定理证完 - 1 6 t o e p l i t z 算子的有界性 3 t o e p l i t z 算子在非齐次的的m o r r e r y 空间的有界性 3 1 引言 分数次积分算子，极大算子，奇异积分算子在经典的m o r r e y 空间中 的有界性已由许多学者得到了，参看 1 】 【1 5 ， 5 】最近y o s h i h i r os a w a n o 和 h i t o s h it a n a k a 在文献【3 6 中引入了带非双倍测度的m o r r e y 空间，在这篇 文章中，他们对极大算子，分数次算子，奇异积分算子以及它们的向量值 扩张在带非双倍测度的m o r r e y 空间的情形都做了研究在本章，我们讨 论由c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子与r b m o ( # ) 函数生成的t o e p l i t z 算子在带非 双倍测度的m o r r e r y 空间中的有界性下面先复述带非双倍测度的m o r r e r y 空间的定义 定义3 1 1 任取0 q p 1 我们定义m o r r e y 空间m ：( 惫，肛) 如 下： m ：( 七，p ) ：= ，l ( p ) ：j i f ：m ：( 庇，p ) i | o o ) 这里范数l i f ：m ：( 七，肛) | | 表示 i l l a l ；( 尼，肛) l l ：- - q s u q p ( p ) # ( 七q ) ；一；( 乞l ，1 9 c j p ) 孑 q q ( p )j q 显然，由它的范数我们知道空间m ；是一个b a n a c h 空间m o r r e y 空 间比l e b e s g u e 空间更精确地描述了局部正则性我们将会用到如下的两 条性质： 命题3 1 1 ( 【3 6 ) 设p 是r a d o n 测度，满足条件( 2 1 ) ，取0 1 那么存在一个常数c 对任一p 可测的函数，使得 成立 i i ，：m ：( 后2 ，) i i 0 ，：朋；( 后l ，p ) c l l f ：m ；( 惫2 ，p ) _ 1 7 _ 硕士学位论文 命题3 1 2 ( 【3 6 】) 设p 是r a d o n 测度，满足条件( 2 1 ) ， 1 任取0 q l q 2 p 1 ，则有 i f ，：朋：。( k ，肛) i | i i ，：朋乞( ，p ) l l ，：朋；( 七，p ) | i = i l ，：l p ( p ) 1 1 2 任取肛( r d ) o 。，0 q p 1 p 2 o o ，则有 | l ，：a t ：t ( 七，p ) | i 肛( r d ) 者一去l l ，：a f 驴( 忌，p ) l l - 关于r b m o ( # ) 的定义参看第二章定义2 1 1 关于t o p l i t z 算子和c z 箅子的定义请参看第一章中第一节下面我们来叙述主要的结果 m 定理3 1 1 若p 满足增长性条件( 2 1 ) ，t b = t j ，1 舰乃，2 ，这里乃 l 乃，2 是 j = l c a l d c r 6 n z y g m u n d 算子假设，( p ) 时，t 1 ( f ) = 0 取b r b m o ( # ) ，那 么，当1 q p o c 时，t b 是m ；( 七，p ) n 三2 ( p ) 上的有界算子 3 2 定理的证明 对于任一方体q ，称q 是( a ，尻) 倍测的( d o u b l i n g ) ，若“( q q ) 阮p ( q ) ， q q 表示一个与q 同中心且边长为a 2 ( q ) 的方体，具体参见第二章第二节 我们将要用到的一个主要工具是下面这个尖锐极大算子： 。聊= s 蛳u p 南加沪州础) + 描s u p 鼹，嘎掣 在此，仇q ，表示，在q 上的平均非中心双倍极大算子定义为 m ) ：