（基础数学专业论文）一种组合曲线流.pdf

摘要 本文主要遵循g a g e 7 、f 8 1 、g a g e - h a m i l t o n 9 和潘生亮c 1 4 1 的想法研究种 新的平面凸曲线流，这种流是g a g e s 保面积流和潘生亮【1 4 】所提曲线流的“凸组 合”。令x ( u ，t ) = ( “，) ，( u ，) ) ：缸，6 1 f 0 ，o 。) 一舒是一族平面闭曲线，并且， x ( u ，0 ) = x o ( u ) 是一条平面闭凸曲线。我们的曲率流方程为： 托= ( k - a i 2 7 f 一( 1 一a ) l ) n ，o 一 a s l l = z 6j 训u = z 6 压砀“， 4 = 拼咖一”出= 狮z 瓦o y 一灞批 其中x = x ( ，t ) 代表曲线在t 时刻的位置向量，l = l ( t ) 是演化i i 线的长度， a = a ( o 代表面积，参数不一定是弧长参数，单位内法向量用表示，k 魁演 化f | i 线的相对曲率，下标表示关于t 的导数， 是一个正常数。 我们将证明这种流缩短演化凸曲线的周长，但是不断增加演化f f f i 线所围成 的面积，并且，在演化过程中使演化曲线变得越来越圆，最终，当时间趋于无 穷大时，曲线的形状收敛到一个圆。 文章主要由三个部分组成。第一部分扼要地介绍曲率流理论的历史和背景 以及本文的模型和主要结论；在第二部分中，我们给出平面闭f i 线的一些整体 性质和一般平面曲线流的几何量的演化方程，由于这些结论都是已知结果，我 们只给出结论及其出处，而略去证明的细节。 第三部分是本文的主体。在这里我们给出一种新的平面 f f i 线的演化模型， 然后，证明在演化过程中凸曲线保持凸性，并且，最终在h a u s d o r f f 度量下，当 时间趋于无穷大时，收敛到一个圆。接着我们将证明演化问题等价于个非线 性偏微分一秘分方程组的初值问题，利用极值原理和l c r a y s c h a u d e r 不动点原 理在局部意义上的古典解的存在和唯一性。然后证明初值问题的经古典解的全 局存在和唯一性。最后将证明演化曲线“俨”和“e o 。”收敛到圆。 关键词：凸曲线，曲率流，短时间存在性，长时间存在性，收敛性 2 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lf o l l o wt h ei d e a so fg a g e 7 】) 8 】) g a g e - h a m i l t o nf 9 】a n dp a n 1 4 】t od e a lw i t han e wc u r v a t u r ef l o wf o rc o n v e xp l a n ec u r v e s ，t h i sf l o wi sa “c o n v e x c o m b i n a t i o n ”e lt h ea r e a - p r e s e r v e df l o wo fg a g e 8 a n dt h ef l o wd e f i n e db yp a n 1 4 l e t x ( t 正，t ) = ( x ( u ，t ) ，v ( t ，t ) ) ：【，6 【0 ，o 。) _ + r 2h caf a m i l yo fp l a n a rs i m p l e c l o s e dc u r v e s ，x ( u ，0 ) = x 0 ( u ) a l s oap l a n a rs i m p l ec l o s e dc u r v e t h ee q u a t i o n sf o r t h ef l o wa r et h ef o l l o w i n g ： 魁= 伪一a i 2 7 f ( 1 一a ) 去) i l=f矧砒=f瓜丽vadujj ， = i k i d u = i 十 ， 口o a = 拼嘞一v 如= 狮z 瓦o y x ( u ，0 ) = x o ( “) ， w h e r et h es u b s c r i p td e n o t e st h ed e r i v a t i v ea b o u tt ，ai sap o s i t i v ec o n s t a n t w cw i l lp r o v et h a tt h i sf l o ws h o r t e n st h el e n g t ho ft h ee v o l v i n gc h r v e sb u t e x p a n d st h ea a ：e ab o u n d e db yt h ec u r v e sa n dw i l lm a k et h ec v o ! v i n gc u r v e sm o r e a n dm o r ec i r c u l a rd u r i n gt h ee v o l v i n gp r o c e s s ，t h ef i n a ls h a p eo ft h ec u r v ew i l lb c ac i r c l e t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s to n e ，w cw i l lb r i e f l yt 胡ka b o u t t h eh i s t o r ya n db a c k g r o u n do fc u r v a t u r ef l o wt h e o r ya n ds o m eb a s i cf a c t sa b o u t c o n v e xp l a n a rc u r v e s i nc h a p t e rt w o ，w ew i l lg i v et h ee v o l u t i o nq u a t i o n sg e o m e t r i c q u a n t i t i e sf o rg e n e r a lp l a n a rc u r v ef l o w st h et h i r dp a r ti st h em a i np a r to ft h e p r e s e n tt h e s i si nw h i c hw ew i l lf i r s tg i v ean e wm o d e lo fc v o l u t i o nf o rc o n v e xp l a n e c u r v e sa n dt h e ns h o wt h a tc o n v e xc u r v e sr e m a i ns od u r i n gt h ee v o l u t i o np r o c e s s a n dt h ef i n a ls h a p ei sc i r c u l a ri nt h eh a u s d o r f fm e t r i c w ew i l lp r o v et h a tt h e e v o l u t i o np r o b l e mi se q u i v a l e n tt oa ni n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fac e r t a i nn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l - i n t e g r a lq u a n t i o ns y s t e ma n dt h e nu s et h em a x i m u mp r i n c i p l ea n dt h e l a r a y - s c h a n d c rf i x e dp o i n tt h e o r e mt op r o v ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ee l a a s i c a ls o l u t i o n si nt h el o c a ls e n s e t h e nt h ep r o o f so fg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s f o rt h ec l a a s i c a ls o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m t h el a s tt w os e c t i o n sa r cd e v o t e dt op r o v i n gt h e “c ”a n d “a ”c o n v e r g e n c eo ft h ee v o l v i n gc u r v e st oac i r c l e k e yw o r d s ：c o n v e xc u r v e ，c u r v a t u r ef l o w ，s h o r tt i m ee x i s t e n c e ，l o n gt i m e e x i s t e n c e ，c o n v e g e n c e s i a m 噬、 c g 幺塞左苤硕士学位论文答辩委员会成员名单 2 一矽降6 月7 日 姓名职称单位备注 沉乡葩口翌钍摆耸勒i 爷慈水学麟予， 主席 翔t 挈纷徭牟毫节莨穴毵韬予， 美蓖儋西烈商华卑啤歆罾缸害糸 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果a 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：岳搬日期：加西夕 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：毛手乏叔 导师签名： 厣纥 吼珈巧7 吼川莎_ 宇 c h a p t e r1 引言 1 1 历史和背景 从传统意义上讲，微分几何学研究的是空间中固定曲线或 i 面以及具有固定黎 曼度量的抽象流形，在大多数情况下不涉及时间。现在，由于某些物理现象和 实际问题的需要，几何学家和几何分析学家开始处理在各种外力作用下的i l 线 和曲面随时间的演化问题，这就是所谓的曲率流问题。 最简单的曲率流是通常的平面曲线缩短流。考虑一条平面简单闭曲线，并假 定它上面每一点的速度向量就是该点处曲线的曲率向量。如果我们令x ( u ，t ) ： l a ，翻1 0 ，t 1 一砰是一族平面闭曲线，并且，初始曲线蜀( u ) = x ( u ，o ) 是一条平 面简单闭曲线，那么曲线缩短流就可以定义为： x t = k n ， x ( u ，0 ) = x o ( u ) ( 1 1 ，1 ) ( 112 ) 其中，是演化曲线的测地曲率是单位内法向量，下标关于时间t 的导数。 对于这种流，g a g e 和h a m i l t o n 于1 9 8 6 年证明了如果初始曲线是凸的，那 么在发展过程中，曲线保持凸性，并且，变得越来越圆，经有限时间后缩为一 个圆点。1 9 8 7 年，g r a y s o n 证明了任意嵌入平面闭曲线在有限时间内会变成凸 曲线，然后，( 由g a g e 和h a m i l t o n 的结论) 再经过有限时间盾收缩为一个圆 点。g r a y s o n 也将自己的研究成果推广到了曲面上的一般嵌入f i l i 线，解决了一个 由g a u s s 提出的问题。g r a y s o n ，a n g e n e n t 以及其他一些人也讨论了在平面或 曲面上浸入曲线如何演化的问题。 更一般地，考虑r ”1 中的1 1 维曲面，并且让曲面上每1 点运动的速度向量 2 c h a p t e r1 引言 等于该点处曲面的平均曲率向量，这就是平均曲率流。这个流最初由h u i s k e n 研究，他证明了凸曲面在有限时间内缩为一个圆点。h u i s k e n 几乎是和g a g e ， h a m i l t o n 同时得出各自的结果的，奇怪的是，h u i s k e n 的工作证明了曲面的所 有维数除了一维，而一维就是g a g e 和h a m i l t o n 研究的。 1 9 8 6 年，g a g e 研究了平面曲线的保面积流： x t = ( k - l ) n x ( u ，0 ) = 甄( “) ( 1 ，1 3 ) ( 1 1 4 ) 上是演化曲线的长度。他证明了如果初始曲线是凸的，那么在演化过程中曲线保 持凸性，并且变得越来越圆，最后，当时间t o 。时，在h a u s d o r f f 度量下收敛到 一个半径为、粤的圆。一年后，h u i s k e n 研究高维保体积平均曲率流得到相似的 结果。又过1 0 年，a t h a n a s s e n a s 研究旋转对称曲面的保体积平均曲率流得到如 果初始曲面是凸的并且旋转对称，那么，最后曲面可演化成常平均曲率曲面。 1 9 9 9 年，潘生亮在1 1 4 中研究了一种新的凸曲线流； x t = ( k 一螽) ， l = l x 。i d u = $ ：+ g ：如， 4 = ；f z 由一v 如= ；z 5 。瓦o y 一塞) 如 x ( t ，0 ) = 弱( ”) ， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 11 7 ) ( 1 1 8 ) 他证明了该流将缩短演化曲线的长度但是增加演化曲线所围成的面积，并且在 演化过程中使得演化f i 线越来越圆，最终，当时间t o 。时，在h a u s d o r f f 度量 下，曲线演化成圃。 1 2 模型和主要结论 基于g a g e 【8 】的平面凸曲线保面积流和潘生亮【1 4 1 所研究的新型曲线流，我们在 本文中给出欧氏平面上一种组合曲率流，从某种意义上讲，它是上述两种曲线 流的“凸组合”。令x ( u ，) ：h6 1 x 【o ，o 。) 一舻是平面上一族闭断线并有x ( 0 ) = 1 2 模型和主要结论 ( u ) 是一条简单闭凸曲线。考虑下面的演化问题： 五= ( k - a 警_ ( 1 叫寺) o 一 。 卸) = a o = - z ” 焉 。 a ( o ) 2 上 东裔 o ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) x o ( o ) = ( z 8 罱虮z 8 器d e k n = ( 一s i n 0 ，c o s p ) ，然后利用极值原理和l e r a y s c l l a u d e r 不动点原理，可以证哦 该问题是局部可解的。 第三，遵循曲率流的标准方法，我们作关于演化凸曲线的几何估计，积分 估计和逐点估计( 最大模估计) ，井利用它们证明曲率关于口的高阶导数是有界 的，进一步，曲率k 关于t 的高阶导数是有界的。这样就可以推出问题的整体可解 性。 因为演化曲线是在h a u s d o r 暖量下收敛的，这可以看作是“c ”收敛到圆。 模仿g a g e 和h a m i l t o n 的方法，可以证明当t o o 时，鲁揣一1 ，这可以看作 是“c 抑收敛到圆。 最后，经过一系列估计后，我们可以证明对于任意口( 0 0 ( 凸的充分必要条件是曲率k o ) 证明：参见 1 0 1 引理2 1 2 ( 闭条件) 周期为2 7 r 的正函数k ( 口) 表示一条正定向平面闭凸曲线的曲率 6 函数的充要条件是 证明：参见f 3 】 引理2 1 3 如果k ( e ) c 2 ，那么 c h a p t e r2 预备知识 j ( 2 。晶扎 仁， 肌新d o a o 妇( 等粕 证明：参见 1 a 1 皇苎兰1 4 ( g a g e 不量享) 如果是一个闭凸曲线x 的曲丧粤数，厶a 分别是x 的长 度和围成的面积，那么 肛蛇筹 ( 2 1 6 ) 证明：参见【6 】 命题2 1 5 ( 经典等周不等式) 如果x 是一条平面闭曲线， 围成的面积，那么 l 2 4 7 r a20 并且，等号成立当且仅当x 是一个圆。 证明：参见【1 0 】 2 2 关于一般曲线流的一些结果 l a 分别是x 的长度和 ( 2 1 7 ) 令( “) ：【a ，6 j 一兄2 是一条平面简单闭曲线，x ( t ，) ：【a ，6 】【0 o 。) 一r 2 是一族 平面曲线并且x ( u ，0 ) = ( “) ，t 表示时问，u 表示曲线的空间参数。我们假设 曲线按照下面的方程演化 五= o ( ，t ) 7 1 ( “，t ) + z n ( u ，) x ( u ，0 ) = x o ( “) ( 2 2 1 ) ( 22 2 ) x = x ( u ，) 是演化曲线的位置向量，r 和分别是曲线的单位切向量和单位内法 向量，a 和卢关于“是以b 一为周期的任意函数，下标表示关于时间t 的微分。 令 9 ( t ，) = i 孔f 一( 。：+ 砖) ( 2 2 3 ) 2 2 关于一般曲线流的一些结果 表示沿曲线的度量。那么弧长参数可以定义为 s ( u ，t ) zj ( “删) 磷 弧元素就可以定义为 7 ( 2 2 4 ) d s = 9 ( u ，t ) d u( 2 25 ) 或 a】aa s o s 9 0 u ，一o u 2 g ，( 2 ，2 6 ) 这里要注意关于时间的偏导是固定i , 所取，算子畚不是一个偏导，所以我们要变 换参数“和t ，到新的参数伊和r 来简化原来的方程。按女罨拳的定义方式，单位切 向量t ，单位法向量，定向口，曲率k ，曲线长度l ，以及曲线围成的面积a 可以 给出如下： o x 1o x 。一丽一g o u a p10 0 席2 丽2i 瓦， = ；筹= 专舞， 0 = z ( e $ ) ， ( ) = 9 ( u ，t ) d u = d s f 2 2 7 ) ( 2 28 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 ，1 0 ) ( 22 1 1 ) a c t ) = ；歹z 由一批c = ；。是一v 塞) 也， = ；r a u = 一；， 抵 ( 。z 1 2 ) 这里我们只罗列出有关几何量的演化方程，具体的证明过程可以参看相关材 t 4 1 1 3 和1 1 4 1 笔= 姚 瓮= 一觚 害= 爰一隐 旦o t 旦o s = 旦o s 去+ ，k p 舶 一塑o s ) 击，挑。 “ 挑 警= ( 褂秘邓七+ ；1 俐0 f 1 ) n ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 纠 c h a p t e r2 预备知识 一( 姗o 。f l 。) t = - ( a 女+ 潞丁 = 一 p 1 = 一 8 d s ， = 。m + 警一+ 潞 = 幻， = * 2 雾懈2 ( 22 ，1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) 卅一拂儿一出拍一出册一出；sc蔷船一曲 c h a p t e r3 一种组合曲线流 3 1 新的演化方程 令x o ( ) ： a ，纠一舻为平面上一条闭凸曲线，x ( u t ) = ( x ( u ，t ) ，( u ，t ) ) f 0 ，o 。) 一r 2 是一族平面闭曲线，并且满足以下演化方程组 托= ( k - a i 2 r 一( 1 - a ) 去) ，o a s1 ， l = l x 。l d u = 、：+ i 乩， a = ；f 。由一，出= ；j ( 6 。瓦o y v 塞) 毗 x ( u ，0 ) = j 岛( “) ， 【o ，b 】 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 其中x = a 【“，t ) 代鬏曲线的征t 时刻响位置同重，l = l 是顿化明臻阳长 度，a = ( t ) 代表面积。a 是常数，单位内法向量用| v 表示，k 是演化曲线 的有向曲率，下标表示关于t 的导数。应用前面的知识并注意到n = o 和p = k a 筝一( 1 一a ) 去，我们立刻得到 山，i o g 挑= 小一a 警- ( 1 一a ) 去) 幻，o a 毒去，那么判别式是负的，系数就是正的。我们选 择p 蠢惫使w 的系数一直是正的。现在令 并导警警亨孝? ，o ：7 7 o ，w ( a ，f ) ：q 令如： 要 ：。：璺耋：! 。! ：订，那么，由w 的连续性就保证了最小值q 在( 菇，如) 紊二茨取 到，并且在该点处 。、 3 2 凸曲线演化的最终形状 1 3 这与满足( 3 2 5 ) 矛盾。因此，v t 0 ， k ( o ，) 兰尼耐。( ) = w 。( ) e m w 。( 0 ) e 1 。= k “。) e 1 。 0 口 引理3 2 3 在( 3 2 1 ) 一( 3 2 4 ) 定义的演化问题中，如果初始曲线是凸的，则演化曲线 的长度是递减的，而曲线所包围的面积是递增的。 证明：m ( a 1 1 0 ) ，定理3 2 2 ，g a g e 不等式( 2 1 6 ) 和经典等周不等式可得 厶= 一歹抛s + a 了4 7 r 2 + ( 1 叫筹 一筹+ 譬+ ( 一 ) 筹箍( a 瀹一l 2 ) s o 4 。= ( i - 砷竽2 o 证毕。 口 这个引理告诉我们lsl o ，a a o ，结合经典的等周不等式我们可得到4 7 r a o 4 1 r a l 2 l 3 因此， 4 矿7 r 4 l 1 r 一 0 ( i i ) 瓦o k = 3 一 警轧( 1 一畦舻 面d l = 一小2 d s + a 譬+ ( 1 叫害 筹= ( 1 - 柚生- 厂4 7 r a ( i i i ) ( a ) k ( 8 ，o ) = k o ( o ) c 1 + 4 ( s 1 ) ，( 目) o ，詹”丽e t # d o = o 以及 ( b ) l ( o ) = = 詹”嚣裔 o ，a ( o ) = a o 0 证明：( 3 1 1 0 ) ，( 3 1 1 1 ) 和( 3 1 2 4 ) 告诉我们，给出( 3 2 1 ) 一( 3 2 4 ) 的一个解，当演化 曲线的曲率，长度和面积的函数在伊和f 的坐标系下，将会满足定理的( i i ) 和( i 毗 反过来，给定微分一积分方程组的初值问题的个解( 日，) ，l ( ) 和4 ( t ) ，饥 0 ，在不计刚体运动的情况下，可以定义相应的曲线x ( o ，t ) = ( x ( o ，) ，y ( 0 ，t ) ) 如 下； 删，忙z 9 焉圳即) = j ( 。器触 ( 3 3 1 ) 易证， 箬一器t + ( 一a i 2 r 一( ，柚击) j v 通过直接计算，并且利用曲率公式可得相应曲线x ( o ，t ) 的f i 率正好是( 日，t ) ， 接下来，我们验证相应曲线x ( o ，t ) 的长度z ( t ) 就是l ( ) ，即z ( t ) = l ( ) 实际 上，由( 3 3 1 ) 可以得出 z ：z 2 ”丽拈r ”v 露c o s u 0s i n 2 0 胡：z 2 ”警 利用曲率的演化方程可以得到 ：一1 一o ( 聃警- ( 1 叫击胁 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 把( 3 3 3 ) 代入( 3 3 2 ) 并且交换积分顺序可得 c h a p t e r3 一种组合曲线流 三( c ) = 。f f f 蜘1 而一z 。( + 一a i 2 7 r 一( 1 a ) 2 去) d t d 8 。 = z “丽d o 一o 。z h k 舶d o d t 一“f 2 r k 舭+ 小t 4 q r 2 + ( 1 叫筹出 =l0+ =lo+ 、最后，挚们检譬= _ 下相应曲线x ( 目，) 所包围的面积憋) 就是以( 口，z ) ，即：万( ) = a ( t ) 实际上，由定义 邵) = 一；， 出= 一籀” i d o ， 邵) = 一游 盎幽 ( 3 34 ) ( 3 3 5 ) 因此我们只需要证明a = 才t 由演化方程和t = 0 ， = 0 ，詹“警= ，d s = l 以及l = 一詹” d o 得到 瓦= 一；z 打( + ) i d o + 1 o “ 等枷 = ；( - 2 1 r + a 2 7 r + ( 1 一 ) 芴l 2 ) + j ( 0 2 r r b 。棚 + ；f ” m 棚+ 扣+ ：c t 叫芸 分部积分并且利用) o = z 略= 一t 以及乃= 我们得到 代入得到 af= ，2 ”，2 r t j c k o 彬2j c xt 硒 舱 产厶 一 x 舻 斯 柚 一 一 o 3 3 短时间存在性 现在，我们继续证明非线性初值问题的短时存在性。 引理3 3 3 对于z t o = 藉1e 0 2 。k 0 ( e ) d e l - 。，这里7 0 是一个常数，我们有 f 龅) 础! ( 7 0 m ( ) 1 ) f “k g ( o ) d o 特别的，对于。兰。瓦1f 君”皤( 口) 捞j ，我们有 厂”胪do_3ojoj o “瑶枷 u 证明：方程两端乘上得到 k k t = 粕洲4 - a 挚邓叫去护 在s 1 f o ，却上积分，我们得到 ；办2 础一；z ”啪 = z 。序3 蝴+ z 2 z “k 4 d o d 。一o 一o ”( 啐( 1 - ，、) 矗胪抛 = 一t 0 2 , , 3 k 2 砖础m + z 0 2 ”k 4 卯出+ j ( z “ i 2 7 r 一( - 一a ) 击) t a a a 出 一；j ( 。z “【( 七2 ) 一 2 d o d t + z 0 2 ”k 4 d 一出 现在令2 限曲：n o ，n 则由e 1 7 口 ；z h 毋d 。+ i 3 z z “毋；d a 。z 。o “扩础班+ ；- t ( 打毋。d e ( s s e ) 利用n i r e n b e r g 不等式，对于任意的函数，满足詹1 ，枷= 0 ，我们有 i i l ：1 i l f o l l 4 1 i f 2 ， 这里7 = ( 1 + j 1 ，a _ 1 = ( i 3 ，1 。，因此，对于任意的函数u ，u 一于 枷= ，满足条件詹”f d o ： v d o = 磊1j ( 2 z 删 那么由n i r e n b e r g 插值不等式 | | u f v d o i i 。茎，y f 蜥| i ；1l i ”如瑚o 1 8 c h a p t e r3 一种组合曲线流 i i v - j v d o l z2 z 一去j o m d 0 1 一 一2 ” l l v - ”d o , - 曼2 1 rl u v d o l d o 0 ， 。一( d w l l v o l l ：) 5 i ( 孑1 圳训- ) ；+ 例u i i i + 3 。i i 扣7 - i l v o l l 。) + ；( 珈川+ 例小 因此，我们就有 代入得到 即： 嚏 = f o ”v 2 ( o ，) d o s 争- d l l - o l l l + 2 ( 西2 9 1 十恤一 獬咖硼+ ；r 办勰t sz t 。丁2 e 4 7 o ”锑叭2 百2 7 1 + 加) 2 ( j ( h 2 阱；z ”州日 黔舢+ ( i 3 一字) j ( o “舶出 z ( 罄+ 加) 2 ( j ( “删2 ；j ( “删 一 0 ，并且令 伽= 舍( 碧2 ， 那么我们就有 f 0 2 r 妒d 目伽上( z 2 ”曲d p ) 2 出+ o “。d 日妒枷伽二( 上曲枷) 2 出+ 瑚 f ( t ) = 上( 上”咖d 。) 2 d t ， 擞 ：小：j(2kc 4 0靴， = 机= j ( 目) d 口， 解出可得 现在，令 ( 面d f ) 5 f ( 0 ) 7 0 f ( t ) + c 0 即) 品 扣去：_ 1 ( ”毋o d o ) 一 如2 瓦2 丽( 0 1 1 9 ( 337 ) ( 3 38 ) 三( _ r “k 3 d o ) ( 339 ) 7 0d o 那么， o ，我们有 z ( z ”柳) d 日) 2 出= 删sg 2 m ( t ) 0 ，v0st t o ，m ( ) 一o o ，当t t o 代入( 3 3 8 ) 徒t n 0 s t t o ， f 0 2 r4 ) d o 7 0 f ( t ) + c c 2 7 0 m ( t ) t + c ( c t o t o m ( t ) + 1 ) g = ( m ( t ) + x ) c n ：n m ( t ) = 志是递增的，v o 墨t t o , x u f = t 粤，m ( t ) m ( 每) = 2 ，因此 y o ts 粤， “ z 2 ”自2 ( 口，t ) d 日= = z 2 ”硇( 口，) d z 2 ”加( 日) d 目 这= n c l 是一个正常数 证明：类似于 1 4 1 引理3 , 35 ，这里从略。 引理3 3 5 ，0s 鲁，我们有 c h a p t e r3 ，一种组合曲线流 口 口 r ”啪凸上”i k ；( o ，0 ) + 碉媳 、h 譬嘉勰嚣程的两边同时乘执舢拶【o ，壮秘分得出 证明：l i 率的演化方程的两边同时乘上b 口，并且茌j 。i ”，纠上税万1 哥函 r r 。锄：o 。z 2 ”胪确+ 上上2 7 r “3 一上z “砑l 执盼( 3 3 1 。) 肼舢蒯眦三：孙r tr 2 “。荔嚣诎矽 。蹿t 2 r 3 = 三：掰3 2 7 t lr 2 焉2 脚删。 一z z 2 ”刍m 2 谢a t = 一z 甄。厶枷瑚2 上上轰。砖棚出 将这些代入( 3 3 1 0 ) 并经过重排得出 上f k 2 k o o d o d t + rj ( 2 。去啪汕l f 2 k 细 ：；上2 ”砖( p ，。) d p + ；z z 2 ”i ( k 2 ) 一 2 d 8 d t 由引理3 3 4 辅4 n v o 曼t 鲁， 2 “k ；d 口sj ( 2 ”瑞( e ，。) d 8 + ；g - 曼c kz 2 ”【；( p ，。) + 3 1 硼 引理3 3 6 令k 。：( t ) ：s 卸t 七( 口，) ：0 052 ”) ，n 4 a v ost 粤，我们有 k 。墨m ， 口 棚 磕 f g 一 出胡 勺 删厅们广厶 我 缸2 v 毕理 证引 3 3 短时间存在性 m 是一个液赖于初始条件正常数 证明：由嵌入定理和前面诸引理得到 硗。( t ) c f o ”( 2 + 碍) 岛z ”【瑶( 目，o ) + ；( 口) 】础 2 1 下面的引理是一个已知的结果 引理3 3 7 令q r = s 1 【o ，t ，u ( o ，0 ) = u o ( o ) a 2 ”( s 1 ) ，( 0 。， 仲州。= 一篇 嵩 。 这里 = ( j ( 9 丽c o s ( p 却，z 。丽s i n ( p d l p ) = ( 一s i n 0 ，c o s 0 ) ，q o = s 1 f o ，t o ，l o 和 o 满足瑶一4 n a