2015年浙江省高考理科数学试卷及答案(word版).doc

糖果工作室 原创 欢迎下载！绝密考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式如果事件互斥 ，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率为,那么次独立重复试验中事件 恰好发生次的概率台体的体积公式其中,分别表示台体的上、下面积，表示台体的高柱体体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P=x|x2-2x0, Q=x|10, dS40 B. a1d0, dS40, dS40 D. a1d04.命题“ 且f(n)n” 的否定形式是( )A.且f(n)n B.或f(n)nC.且f(n0)n0 D.或f(n0)n05.如图, 设抛物线y2=4x的焦点为F, 不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B, C, 其中点A, B在抛物线上, 点C在y轴上, 则BCF与ACF的面积之比是( )A. B. C. D.6.设A, B是有限集, 定义d(A, B)=card(AB)-card(AB), 其中card(A)表示有限集A中的元素个数, 命题：对任意有限集A, B, “AB”是“d(A, B)0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C), 则( )A.命题和命题都成立 B.命题和命题都不成立 C.命题成立, 命题不成立 D.命题不成立, 命题成立7.存在函数f(x)满足, 对任意xR都有( )A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|8.如图, 已知ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将ACD折成, 所成二面角的平面角为, 则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。9.双曲线的焦距是 , 渐近线方程是 10.已知函数f(x)=, 则f(f(-3)= , f(x)的最小值是 11.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 , 单调递减区间是 12.若a=log43, 则= 13.如图, 三棱锥A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2, 点M, N分别是AD, BC的中点, 则异面直线AN, CM所成的角的余弦值是 14.若实数x, y满足x2+y21, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 15.已知是空间单位向量, =, 若空间向量满足=2, =, 且对于任意x, yR, | =1 (x0, y0R), 则x0= , y0= ,|= 三、解答题：本大题共5小题, 共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本题满分14分)在ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知A=, b2-a2=c2(I)求tanC的值；(II)若ABC的面积为3, 求b的值17.(本题满分15分)如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90, AB=AC=2, A1A=4, A1在底面ABC的射影为BC的中点, D为B1C1的中点.(I)证明: A1D平面A1BC; (II)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值18.(本题满分15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a, bR), 记M(a, b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值(I)证明: 当|a|2时, M(a, b)2; (II)当a, b满足M(a, b)2, 求|a|+|b|的最大值19.(本题满分15分)已知椭圆=1上两个不同的点A, B关于直线y=mx+对称(I)求实数m的取值范围；(II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点) 20.(本题满分15分)已知数列an满足a1=, 且=- (nN*)(I)证明：12 (nN*)(II)设数列的前n项和为Sn, 证明 (nN*)2015年浙江省高考数学(理)参考答案1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B9., xy=0 10. 0,-3 11. p, kp +, kp +, kZ12. 13. 14. 3 15. 1, 2,16.解: (I)a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc 又b2-a2=c2bc-c2=c2即3c=b 3sinC=2sinB=2sin(C+)=2(sinC+cosC) sinC=2cosC, 故tanC=2(II)SABC=bcsinA=bc=3bc=6又c=bb2=6b2=9, 故b=3法二: (I)b2-a2=c2, A=sin2B=sin2C 即-cos2B=sin2Csin2C=-cos2()=sin2C=2sinCcosC 即sinC=2cosC, 故tanC=2(II)由tanC=2, 0C, 得cosC=, sinC=sin2B=(1+sin2C)=sinB=sinC, 从而c=b又SABC=bcsinA=bc=b2= 3 b2=9, 故b=317.解: (I)设BC的中点为O, 则A1O平面A1B1C1, 即A1O平面ABC A1OA1D 又A1B1=A1C1, B1D=DC1A1DB1C1A1DBC, BCA1O=OA1D平面A1BC(II)建立如图所示的坐标系O-xyz, 则=(-, 0, 0), =(, -)设平面A1BD的法向量为=(x, y, z), 则=0, 令z=1, 得=(0, 1)设平面BB1D的法向量为=(u, v, w), 则=0, 又=(0, 0) , 令w=1, 得=(, 0, 1) cos=又二面角A1-BD-B1的平面角是钝角, 故所求的平面角的余弦值为法二: 过A1作A1HBD交BD于H, 连结B1H, 由BAC=90, AB=AC=2 AO=OB=A1O=, 从而A1B=4=BB1 又A1D=B1D= A1BDB1BD (此题数据设计的要点, 非常规, 不易发现)故由A1HBD得B1HBD A1HB1是二面角A1-BD-B1的平面角由B1C1A1D, B1C1A1O 得B1C1平面A1DOB1C1OD 从而B1C1BB1A1H= B1H =cosA1HB1=因此, 二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值是18.解: (I)|a|2 1, 故f(x)在-1, 1上为单调函数 M(a, b)=max|f(-1)|, |f(1)|=max|1+b-a|, |1+b+a|=|1+b|+|a|2 (最佳表达式, 重复应用)(II)由(I)知|a|2, 1 M(a, b)=max|f(-1)|, |f(1)|, f()|b|-1+|a|1+b|+|a|=max|f(-1)|, |f(1)|M(a, b)2|a|+|b|3, 当a= -2, b= -1时, M(a, b)=2, |a|+|b|=3 (每一点的知识都不难, 串起来才难)因此, |a|+|b|的最大值为3 法二: (I)由已知得|f(-1)|M(a, b), |f(1)|M(a, b) 又f(-1)=1-a+b, f(1)=1+a+b 2a=f(1) -f(-1) (隐含着通过函数值反求系数, 常法) 42|a|f(1)|+|f(-1)|2M(a, b) M(a, b)2(II)由(I)知a+b=f(1)-1, a-b=1-f(-1)|a|+|b|=max|a+b|, |a-b|=max|f(1) -1|, |1- f(-1)|M(a, b)+13当a= -2, b= -1时, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2-2, 2, |x|1, 此时M(a, b)=2, |a|+|b|=3因此, |a|+|b|的最大值为319.解: (I)设A(x1, y1), B(x2, y2), AB的中点M(x0, y0), 则2x0=x1+x2, 2y0=y1+y2显然m0, 故可设直线AB的斜率k= 由, 相减得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0 即x0y0=0又点M(x0, y0)在直线y=mx+上, y0=mx0+, 故得x0=, y0=又点M在椭圆的内部, 故得因此, m或m0 整理得m2+2-m2b20 (*)且x0=(x1+x2)=, y0=x0+b=又点M(x0, y0)在直线y=mx+上, y0=mx0+, 整理得bm=代入(*)式得m2+20 即4m2-(m2+2)0, 解得m2因此, m或m (其中也可得x0=, y0=)(II)由k=, 则0k2. 由(I)可得直线AB: y+=k(x-k) 即kx-y-k2=0原点O到直线AB的距离d=由得x2-2kx+(2k2+1)=0 (利用|x1-x2|=)|AB|=|x1-x2|=故SAOB=|AB|d=, 且0k2因此, 当k2=即m=时, AOB的面积SAOB有最大值20.解: (I)an-an+1=0 an+1an ana1= 由an=得an=, 故0 an 从而1, 2 即12 法二: 在0 an基础上证an2an+1可用分析法 要使an2an+1, 只要an2(an-)2an0 an, 故an2an+1成立(II)=an-an+1 Sn=a1-a2+a2-a3+an-an+1=a1-an+1=-an+1由an+1=an(1-an) 1, 2, 00”的充分必要条件；命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C), 则( )A.命题和命题都成立 B.命题和命题都不成立C.命题成立, 命题不成立 D.命题不成立, 命题成立解: 命题的逆否命题：对任意有限集A, B, “A=B”是“d(A, B)=0”的充分必要条件 若A=B得d(A, B)=0; 反之, 若d(A, B)=0, 则AB=AB, A=B. 故命题成立 对于命题, 此题似乎暗含高等数学度量空间的度量的性质的背景作出文氏图, 易得d(A, B)+d(B,C)-d(A,C)=card(BCU(AC)+card(AC)CUB)07.存在函数f(x)满足, 对任意xR都有( )A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|解: (排除法, 利用函数的单值性)在A选项中, 令x=0, 可得f(0)=0或1, 排除AB选项中, 令x=0, p可得f(0)=0或p2+p, 排除BC选项中, 令x=1, -1得f(2)=0或2, 排除C事实上, 在D选项中, 令x2+2x=t, 则(x+1)2=t+1 f(t)= 即存在f(x)=8.如图, 已知ABC, D是AB的中点, 沿直线CD将ACD折成, 所成二面角的平面角为, 则( )A. B.C. D.解: 过B作BHCD交于H, 过A作AE/CD交BH的延长线于E, 点E折后对应点 设AD=BD=x, BH=HE=d, AE=2y=2DH, 则xd, 且x2-d2=y2, =a 易知 = cos= cosa, 故得a13.如图, 三棱锥A-BCD中, AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2, 点M, N分别是AD, BC的中点, 则异面直线AN, CM所成的角的余弦值是 解: 取DN的中点E, 则ME/AN, CME是AN, CM所成的角 易得CM=2, ME=, CE=,故cosCME=为所求14.若实数x, y满足x2+y21, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 解: 由x2+y21, 得S=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y= 画出的可行域, 这是单位圆位于直线2x+y=2的上方部分(含边界), 目标函数S=x-2y+4在交点A()处取最小值Smin=3. 再画出的可行域, 这是单位圆位于直线2x+y=2的下方部分(含边界), 注意, 过点A的圆的切线方程为3x+4y-5=0,故知此时目标函数S=8-3x-4y仍在交点A()处取最小值Smin=3(此题是分段的目标函数, 再加上是非线性规划问题, 考生不易对付吧)15.已知是空间单位向量, =, 若空间向量满足=2, =, 且对于任意x, yR, | =1 (x0, y0R), 则x0= , y0= ,|= 解: 把平