（电磁场与微波技术专业论文）分层媒质空域green函数的快速算法.pdf

j j l i i | 1 1 | | | l f l l l 1 1 1 1 l m l l i f l | | l l l l y 17 5 4 4 3 3 f a sta l g o i u t h m so fs r 姐i a l g r e e n ，sf u n c t i o n sfo ral a y e r e d m e d i u m ad i s s e i r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s t u n i v e r s i 够 f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro f e n g i n e e r i n g b y z h e n gk a i l a i s u p e r v i s e db y p r o f e s s o rz h o u h o u x i n g sc h o olo fi n f o r i n a t i o nsc i e n c ea n de n g i n e e r i n g s o u t h e a s tu n i v e r s 埘 j a n u 哪2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：- = 萄生址日期： z 9 | 9 。1 s 。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括 刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：自! 巫塞导师签名： 期：唑少f 摘要 摘要 随着微波毫米波集成电路的快速发展，电磁场全波电磁仿真已成为电路设计流程 中必不可少的一部分。矩量法是处理分层媒质结构全波分析的最有效方法之一。其中 基于混合位积分方程方法的空域矩量法是分析分层电路结构的一种通用而且严格的全 波方法。该方法的关键在于快速获取分层媒质结构的空域骶e n 函数。利用分层媒质 几何结构的特殊性可以导出闭式谱域触e n 函数，进而通过傅里叶贝塞尔变换得到空 域g r e e n 函数。这个变换在形式上通常表示为s o 衄e 疵l d 积分，其积分核含有 b e s s e 姐a n k e l 函数。由于积分核的高震荡性及谱域c h e n 函数的极点和支点奇异性导 致s o m m e 疵1 d 积分在整个路径上表现出慢衰落、强震荡的特性，使得直接积分十分耗 时。因此，研究分层媒质空域g r e e n 函数的快速算法具有非常实际的意义。针对这一 问题，学者们提出了许多方法，如离散复镜像方法、最陡下降路径积分方法等。但是， 至今还没有一个完善的解决方案。本文开展分层媒质空域c h e n 函数的精确计算方法 的研究，力图进一步完善离散复镜像方法、最陡下降路径积分方法。本文的主要工作 概括为三个部分，融汇于第三章和第四章中： 第一部分：研究分层媒质谱域g r e e n 函数的表面波极点、漏波极点精确定位方法。 对于表面波极点，根据其特点，我们采用了二分法来实现其准确提取。对于漏波极点， 通过研究其与表面波极点的关系，提出了基于逐次频率扰动快速搜索漏波极点的方法。 这里提出的极点定位方法不受媒质层数的限制，这为从微带结构推广到一般多层媒质 结构上奠定了基础。文中提供了数值算例，验证了该方法的正确性和有效性。 第二部分：将本文提出的准确极点定位方法应用到基于全模提取的最陡下降路径 方法中，简称s d p 即蝴，实现了分层媒质骶e n 函数的精确计算，基于复变函数理论， 严格分析了谱域g r e e n 函数极点和支点奇异性与黎曼面之间的关系。在将谱域船e n 函数反演到空域时，近场区空域g r e e n 函数采用d c i m 计算，而非近场区空域g r e e n 函数采用s d p f a m 计算。该混合方案的计算结果与直接s o m m 礁l d 积分结果吻合得 非常好。 第三部分：将本文提出的基于逐次频率扰动快速搜索漏波极点的方法推广到一般 多层媒质情形，同时，对一般多层情形也使用混合方案d c i m s d p f a m 计算空域 g r e e n 函数。给出了具体步骤和数值算例。 奎塑奎堂堡主堂垡迨壅 一 一一 关键词：分层媒质 e e n 函数、快速全模方法、表面波、漏波、分支割线、黎曼面 i i a b s t r a c t w i t ht h c d e v e l o p m e n ti i lm i 啪w a v ea n dm i l l i m 鼬e rw a v ei n t e g r a t e dc 沁u i t 也e 士u l l 。w a v ee l e c 仃o m a 朗e t i cs o l v e r h 嬲b e c o m e a 1 1e s s e n t i 2 l lp a n i n 此d e s i 朗n o w f o rc 硫u i t s s e r v m ga sb o t l lad e s i 印a n dav e r i f i c 撕o nt 0 0 1 mm 劬o d 0 fm o m e m s ( m o m ) b a s e d0 n t l l e 肌x e d p o t e m i a ln e 铲a le q 喇i o n ( m p i e ) ，i so n eo ft h e 如l lw a v em e t h o d s m o s ts l l i 讪l e t f o r 也en g o r o u s 觚a l y s i so fc i r c u i t s i 1 1al a y e r e dm e d i u i l l 咖n 聆t h es p a t i a l g r e e n ，s 士u i l c t l o n sc o n s t i n n et h eh n p o r t 觚tf o u n d a t i o no fm e i e ，觚d l e nh o w t 0e m c i e n t l v c a l c u l a t em c 骶e n s 矗m c t i 0 璐b e c o m e sa h o t 卸i c b a s e d0 n 恤g e 锄哪f e a _ t l 】r e so fa l a y e r e dm e d i u m ，m es p e c 仃2 l ld o m a i n ( h e n s 血n c t i o 璐c 勰b ee x p r e s s e d 通c l o s e d f 0 加 1 s 。 觚d h e n c ec a nb e 肌r s e d t 0 s p a t i a ld o m 出u g l lm ew e l l k n 0 啪s o n u n 啦l di n t e 盯a l s ( s i ) ，w h o s e 试t e g r a n d sa r eb e s s e m a i l l ( e lf 1 1 i l c t i o 璐b o 也p o l ep o 缸髓db r a i l c hp o i n t s m g u l 锄e so f 。t l l e s p e c 伽d o m 血弧吼s c t i o 璐嬲w c l l 勰舭1 1 i 曲o s c i l l a t i o n0 f b e s s e 坩a n k e l 胁c t i o n sr e s u l tms l o wa t t e n u a t i o na n d s 仃o n go s c i l l 撕o no fm es o i i l i n 诚l d m t e 蓼a l so nm e i rp 础ss o 岫t 1 1 ed 沁c tc a l c u l a t i o i l so f t 1 1 es o l m e 疵l d 缸e 酬sa r eq 咖 t 蚰e 。c o n s u l l ：1 i 1 1 9 n e r e f b r e ，m er e s e a r c l l i i l g0 nf b ta l g o r i t h m0 fs p a t i a lc h e n ，s 删。嬲 0 士l a y e r e dm e d i u mi sv e 巧i m p o r t 觚t m 锄ym e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e d ，s u c h 嬲也e d l s c r e t ec o m p l e xi m a g em e m o d ，t h e s t e 印e s td e s c e n tp 础( s d p ) h o 、e v e r s o 鼬t l l e r ei s n o tac o m p l e t es o l u t i o n 砥sn l e s i sr c s e a r c h a l g o r i m m o fg r e e n ，s 胁c t i o nf o rl 撇d m e d l 啪，a l l d 姆t oi m p r o v e 此m e t l l o do f d c i ma 1 1 ds d p 几em 咖w o r k s o f “s 妣s i s c o m p r i s et h r e ep a r t s ： t h e6 r s tp a r t ：r e s e a r c ho n 也em 汕o d s t of a s t 肌da c c 咖e l yl o c a t em es 吡c e w a v e m o d e sa 1 1 dt l l e l e a k yw a v em o d e s0 fs p e c 仃a 1g r e e n s 硒1 c t i o n so fa l a y e r e dm e d i u m f o r 廿1 es 州a c ew a v ep o l e s ，a c c o r d i n gt 0t h ec h 觚蛾嘶s t i c s ，w e a d o p t e dt h ed i c h o t o m yt 0f i n d t h e m f o rt 1 1 e l e a 王( yw a v ep o l e s ，a c c o r d i n gt ot h em l eo fr e c i p r o c a l 乜a n s f 0 胁a t i o n 晰t l l s u r 士a c ew a v ep o l e s ，an e wa p p r o a c hf o rf a s t l o c a t i n gt h el e a k yw a v ep o l e sb a s e d0 n n e q u e n c yp e 咖b a t i o ni sp r o p o s e d t h em e t h o do fl o c a t i n gp o l e si s n o tr e s t r i c t e db vt l l e n 啪b e ro 士l a y e r e dm e d i u i n ，s oi tp a v e s t h e 、v a 【yf o re x t e n d i n gm em e t h o dt ot h eg e n e m l m u l t l l a y e r e dp l a n a rm e d i u m n u m 嘶c a le x 锄p l e sd e m o n s t r a t et h ee 伍c i e n c ya i l d a c c l | r a c v o ft h i sm e t h n d i i i 东南大学硕士学位论文 t h es e c o n dp a r t ：s d p f a m ，ac o m b i n a t i o no fm e m o do fl o c a t i n gp o l e sw i mt h e s t e e p e s t d e s c e n t p a ma l g o r i t h m( s d p ) ， i s e m p l o y e d t 0 a c c u r a t e l y e v a l ua _ t et h e s p a t i a l d o m a i nq r e e n s 缸1 c t i o i l si nal a y e r e dm e d i u m a c c o r d i n gt 0m e 也e o r yo fc o m p l e x a l l a l y s i s ，t h er e l a t i o n 蛳p 锄o n gm ep o l e s ，b r a n c hp o i n t sa n d 砒e m a n ns h e e t s i sa l s o a n a l y z e dr i g o r o u s l y t om e r s em e 研e e n s 缸蜘0 1 1 s 舶ms p e c t r a l t 0 s p a t i a ld o m a i n ， s d p f a mm e t l l o da 1 1 dd i s c r e t ec o m p l e xi m a g em e t h o d ( d c i m ) a r ea p p l i e dt 0m en o n n e a r f i e l dr e g i o na n dt h en e a rf i l e dr e 舀o n ，r e s p e c t i v e l y 1 1 1 er e s u l t so ft 1 1 i sm e m o da g r e ew i mt h e d i r e c t 缸e 掣a t i o nv e r y 、e 1 1 t h et h i r dp a r t ：w ee x t e n d 也em e t l l o do fl o c a t i o no fl ea ：k yw a v ep o l e sb y c o n s e c u t i v ep e r t i 曲a t i o 璐t om eg e n e r a lm u l t i l a y e r e dp l a l l a rm e d i u m a n dw ea l s oc a l c u l a t e 雠s p a t i 2 l ig r e e n s c t i o nb yd c m s d p - f a ms i 删t 黜o u s l y s p e c i f i cs t e p sa n d 1 1 u m e r i c a le x a 蛐l p l e sa r e 西v e n k e y w o r d s ：( n e n sf u n c t i o n s ，l a y e r e dm e d i u m ，f a s t a l lm o d e sm e m o d ，g u r f a c ew a v e p o l e s ，l e a k yw a v ep o l e s ，b r a l l c hc u t ，王u e m a n ns h e e t 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i l i i 录1 0 r 第一章绪论1 1 1 研究背景及现状l 1 2 本文的主要工作2 第二章分层媒质的g n e n 函数。5 2 1 引言5 2 2 分层媒质谱域g h e n 函数5 2 2 j 鬯磁场厅夕糊g 您e 刀磁5 2 2 2 糊g 陀p 挎磁与西方磁9 2 3 分层媒质空域c h e n 函数与s o m m e 疵l d 积分1 1 2 4 变形积分路径与最陡下降路径1 2 2 5 分层媒质谱域g r e e n 函数的极点及其分类1 6 2 5 j 季缦面秘之有割绔j 6 2 王2 灰，有彩觥j 7 2 6 数值算例1 9 2 7 小结2 1 第三章微带结构空域g r e 钮函数的快速算法2 3 3 1 引言2 3 3 2 微带结构的谱域觚e n 函数2 3 3 3 直接s o m m e 疵l d 积分一2 4 3 4 半解析方法离散复镜像方法2 6 3 5 快速积分方法快速全模算法3 0 3 6 表面波极点定位算法二分法3 4 3 7 漏波极点的定位算法逐次频率扰动法3 5 3 8 空域g r e e n 函数在混合位积分方程中的应用3 7 3 9 数值算例4 3 v 东南大学硕士学位论文 3 。1 0 小结4 8 第四章多层媒质空域g r e e n 函数的快速算法。4 9 4 1 引言4 9 4 2多层媒质结构的谱域骶e n 函数4 9 4 2 j 垂手输鳍g 陀p 以厨我4 9 4 2 2 廖歹虚呈耋契勿季黝蝴g 愆p ，l 麟5 j 4 3 多层媒质g r e e n 函数的快速全模算法5 4 4 3 j 袤厨谈缎，有的启岔鲋 t 3 2 功霹蝴n 雌岔。5 4 z 3 3 攒癌鹭秘匏氍游船 4 4 数值算例。5 9 4 5 小结6 3 结束语。6 5 s c 谢6 7 参考文献6 9 学习期间发表的论文7 5 学习期间参加的项目7 5 v i 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 第一章绪论 随着微波毫米波单片集成电路和低温共烧陶瓷( l t c c ) 技术的发展，能够快速准 确的对平面多层媒质结构的电路进行数值建模和仿真分析的研究越来越受到人们的重 视【l 】【4 】。 众所周知，已经发展了多种全波电磁仿真方法来解决上面的问题。这些方法主要 可以分成两大类：一是微分方程法，二是积分方程法。微分方程法包括时域有限差分 法( f d t d ) 【5 】【刀和有限元法( f e m ) 嗍【9 】。在积分方程方法中，采用矩量法( m o m ) 来求解积分方程【1 0 1 ，由于在积分方程方法中可以采用g h e n 函数理论将体积分减少为 面积分，采取表面离散而不是体积离散的方法，从而使得矩阵的维数得到了极大的减 少，这一点对分层媒质结构具有很大的优势。目前多种基于这个思想的方法已经得到 应用。其中基于混合位积分方程方法( m p i e ) 【1 1 h 1 3 】的空域矩量法是分析分层电路结 构的一种通用而且严格的全波方法。该方法的关键在于计算空域骶e n 函数时，如何 有效地处理含高震荡、慢衰减特性积分核的s o m m e 疵1 d 积分【1 4 1 。为解决此问题，前 ”人做了大量工作【1 5 】【1 6 1 ，这些工作大致可分为两类。第一类是数值积分方法。积分路径 可以沿着实轴【1 刀也可沿着复平面上的变形路径【1 8 】【1 9 】进行。数值积分算法中最早提出的 是最陡下降路径( s d p ) 积分【2 】【1 4 1 ，其思想是基于复变函数的c a u c h y 定理选取一条变 形的积分路径，使积分快速收敛。这个方法对于源点与场点相距较远时比较有效。在 原理上，这个方法必须考虑适当的表面波模式和漏波模式的贡献。为加速数值积分， 文献 2 0 】预先提取了谱域格林函数中的渐近项，文献 2 l 】采用了平均值方法，文献 【2 2 】【2 3 】采用了快速傅立叶变换( f f t ) 技术，文献【2 4 采用了快速汉克尔变换( f h t ) 技术。 以上技术虽然可以有效地提高空域格林函数的计算效率，但由于每改变一次源场距离 时就需要重新计算一次空域格林函数，导致形成阻抗矩阵的效率仍难以提高。第二类 方法是逼近方法，主要是指基于复指数逼近的离散复镜像方法( d c i m ) 。该方法由文献 【2 5 】首先提出之后，文献【2 6 】又对其做了进一步的完善。它将空域格林函数分为三部分， 即准静态部分、表面波部分和复镜像部分，其中，准静态部分和复镜像部分可以通过 s o m m e 疵l d 恒等式变至空域，表面波部分亦可经留数定理转换到空域中，这样就得到 闭式的全波空域格林函数。该方法最初用于单层开放【2 8 和屏蔽微带结构【2 7 】，采用p r o n y 1 东南大学硕士学位论文 方法来导出复镜像部分。文献【2 8 】对其原理进行了修正，使之能够适用于源处于有界 层中的情况，从而推广了该算法的适用范围。文献【2 9 】、【3 0 】先后使用最小二乘p r o n y 方法和矩阵惩罚算法【3 1 1 ( m a t r i xp e n c i l ，m p ) 替代原先的p r o n y 方法，增强了该方法的 有效性。1 9 9 6 年，a b u i l f 3 3 】提出的基于矩阵惩罚算法和两级策略的两级复镜像方法则 完全避免了抽取表面波和准静态项的困难，可以稳健、高效地提取分层介质中的闭式 空域格林函数。 1 9 9 7 年，m i c h a l s k y 和m o s i g 【1 2 1 系统的推导了分层媒质g r e e n 函数的积分方程表 达式并且提供了混合位积分方程( m p m ) 。从2 0 0 0 年开始，在m p m 中使用d c i m 方法来计算空域g h e n 函数，从而对分层媒质结构进行全波分析变得越来越流行。在 这方面，学者l i n gf e n g 和j i nj i 趾r 1 1 i i l g 等【3 4 】【3 7 1 ；l iy 和l i ulw 等【3 8 j 【4 0 1b o i x ， m e d i i l a 和h o n l 0 等【4 1 】；s i i i l s e k 和l i u 等【4 2 】【4 3 1 分别做出了他们的贡献。d c 订方法最 大的特点是不需要数值计算便可得到分层媒质的空域g r e e n 函数，但是d c v i 方法不 适用于中等厚度的分层媒质结构特别是远场区的计算，上述学者的工作也主要关注的 是薄的分层结构。在2 0 0 7 年，t s a n g ，o n g 和w u 等m 阳提出了快速全模方法( f a m ) 结合s d p 方法中来计算s o l i i l e r f e l d 积分。该方法可以处理中等厚度的分层媒质结构， 并且可以在不用任何围线积分的情况下，在适当的范围内定位所有的模式表面波 极点( s 聊) 、漏波极点( l 帅) 和反常模极点( i m p ) 。但是该提取极点的方法存 在缺陷，不能保证在一个大的范围内有效。z h es 0 n g 和hxz h o u 等【4 刀进一步提出了 借助局部t a y l o r 展开来定位全部极点精确、快速方法，并应用到s d p 方法中结合d c i m 方法获得了中等厚度的分层媒质结构的全场域的空域骶e n 函数。 1 2 本文的主要工作 本文主要开展对分层媒质研e e n 函数快速全模算法的研究，内容的写作分为三个 部分：第一部分是对基本理论的介绍，包括分层媒质的谱域g r e e n 函数，谱域g r e e n 函数与位函数，空域g r e e n 函数与s o m m e 疵l d 积分，变形的积分路径及谱域g r e e n 函 数的极点等，为后面的研究内容奠定基础：第二部分介绍微带结构空域q e e n 函数的 快速全模算法。着重研究了表面波极点的提取算法，基于频率扰动的漏波极点的提取 算法。第三部分介绍了多层媒质结构谱域g r e e n 函数的获取方法，重点将快速全模算 法推广到多层媒质结构上。 第二章从分层媒质谱域g r e e n 函数的推导出发，详细介绍了混合位积分方程 第一章绪论 ( m p i e ) 中要用到的空域并矢骶e n 函数。谱域研e e n 函数到空域骶e n 函数的反演 及遇到的困难，一些处理这些问题的方法。第三章介绍了获取空域g r e e n 函数的直接 算法及两个适用于不同范围的快速算法。介绍了微带结构的空域骶e n 函数快速全模 算法，详细介绍了表面波极点( s 、聊) 的准确、快速定位：基于频率扰动快速搜索漏 波极点( l w p ) 的算法；d c i m 方法和s d p - f a m 方法结合来获得微带结构的空域g r e e n 函数。空域骶e n 函数在混合位积分方程中的应用。第四章重点将快速全模算法推广 到多层媒质结构上。 第二章分层媒质的g r e e n 函数 2 1 引言 第二章分层媒质的g r e e n 函数 矩量法是分析分层媒质结构问题的最有效方法之一。这是因为分层媒质结构的特 性可以由眠e n 函数来体现，积分方程仅需要对导体( p e c ) 表面进行剖分。由于分 层媒质的几何结构，谱域g r c e n 函数易于获得，而空域函数为谱域陆e n 函数 在空域上的反演，形式上表示为s o m m e 疵1 d 积分。原始的s o m m e m l d 积分路径会遇 到谱域骶e n 函数的极点，难以进行数值积分。通常，为避免谱域骶e n 函数的极点， 可以采用复平面上的一些变形的积分路径。 本章主要包括如下内容：首先介绍了分层媒质中电磁场的谱域q e 钮函数，接着 介绍谱域g r e e n 函数和混合位积分方程( m p m ) 中所用到的并矢c h e n 函数，然后介 绍了空域g r c 髓函数与s o m m e r f e l d 积分，最后介绍变形的积分路径以及谱域g r e e n 函 数的极点。 2 2 分层媒质谱域g r e e n 函数 2 2 1 电磁场的谱域g r e e n 函数 考虑一个一般意义下的分层媒质，如图2 1 所示。媒质假设在横向( x y 平面) 为无限大的，纵向( z 轴) 呈现分层变化。第i 层的相对介电常数用“表示，相对导 磁率用心表示。 由给定的源( ，m ) 激励的电磁场( e ，日) 可由m a x 、e 1 1 方程获得 乳乏一毗垆二m ( 2 2 1 ) 心xh = j r e + j 、。 这里7 和厨分别表示电流和磁流密度。通过变换可以将这些量的纵向分量与横向 分量分开。考虑f o u r i e r 变换对 季( 矗，z ) = g ( 声，z ) e 属芦出咖 ( 2 - 2 2 ) 奎堕奎兰堡主堂垡堡奎 椰力= 击赢咖叫砧以暇 其中，空域坐标为乃= 缸+ 如，而谱域坐标为t = 圾+ 以。 n l l l l l _ z m + l m z z 琳 ：一毛 _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 【岛，心】i = 1 ，2 ，n p = e ，h ( 2 2 3 ) 图2 1 分层媒质及其等效传输线示意图，其中源点位于第力层，场点位于第肌层 考虑到b e s s e l 函数 厶( 加去p 霸 ( 2 2 4 ) 其中，丘：c 。s 口+ 孵s i n a 。现在，方程( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 所表示的f 。1 l r i e r 变换对可 以表示为f o u r i e r _ b e s s e l 变换对，即 季( 砖，z ) _ 去j c o 如，z 乩( 咖d p g ( 乃，z ) = 去j i o 季( j i d ，z 乩( p ) 也 变换到谱域的m a x w e u 方程( 2 2 1 ) 可以写成 丢邑= 志( 碍胪，一蝴( 或旧+ 去蠢一卉户三 6 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 同引 i_i-j 蹭 耳一 一同h二二 z 第二章分层媒质的g r e e f l 函数 丢元= 面岳( 碍一q 一蠢t 砸磊) + 三t 一2 五 ( 2 2 8 ) _：_ 一j o r e z = j k p 0 hp x 卸+ j z j o r b z 2j 咒p k h p x z ) + jz 一 - ： 一 一j p o p r hz = j k p q x e 0 + mz ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 这里，横向的x ，y 分量耦合在一起。如果将在( x ，力坐标系下的谱域横向分量旋转角口 到新的坐标系 ，v ) 下，如图2 2 所示。 附墨耋：辫c o s a = 争口= 苦 叫- ， - 0 图2 2 从( x ，力坐标系变换到( “，v ) 坐标系 我们可以得到去耦的两组传输线方程，列在表1 中。这里豆，鼠相当于t m 波传 输线的电压和电流( y 。，j 8 ) ，晟，鼠相当于t e 波传输线的电压和电流( 砂，j 6 ) ， ( z ，成，碱) 则相对于传输线上串联的电压源，( 庸：，五，z ) 相对于传输线上并联的电流 源。为简化，可用( ，譬) 来表示p 型传输线在1 伏特串联电压源激励下的电压和电流， 用( 形p ，彤) 表示p 型传输线在1 安培并联电流源激励下的电压和电流，p = p ，办。我们 便可以将这两种传输线统一表示为： l 警一郎，f 陪一矽n 砸屹i ) 7 ( 2 2 1 2 ) 一 奎堕奎堂婴主堂垡笙壅 一 _ 一 j 警一烨即m 卅叫3 ) l 攀：一儿】，p 彤 根据互易性，还可以得到【1 2 】 k p ( ziz - ) = 巧p ( z 。iz ) p ( z = p ( z i z ) ( 2 2 1 4 ) ( zlz i ) = 一f ( z lz ) 口( z lz ) = 一彤( z l 力 矿p 形p ，f p + ( 2 2 1 5 ) 这里， 是指两标量函数之间的内积，如果逗号上加点表示的是矢量之间的点乘。结 合场源之间关系的并矢骶e n 函数表达式 置： + ( 2 2 1 6 ) 存： + ( 2 2 1 7 ) 现在，我们可以写出在( “，v ，z ) 坐标系中的谱域并矢格林函数， _ 形。 专形 l 否彤( ，邵) = i o 一时 o ，l q 2 - 8 ) i 去g 。志 去即时z j l 国氏s ， ，雠- o 占rl ，眦0 6 r j j 8 ( 2 2 1 9 ) 璺塑巡鱼堡竺塑 o 占删( z ，：l 彬 6 脚( ，z ，z ) = 叫：。 o o 兰巧 o s o s r 一：q 去i ： 0 一e0 去形。南 熹川一刁 所 ，川_ ，一。叫l ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 这里，带撇号的量都是相对于源点的。利用( x ，力坐标系与( “，1 ，) 坐标系之间的关系， 通过变换就可以得到“少，z ) 坐标系中的谱域g f e e n 函数。 表l 在 ，v ，z ) 坐标系中的两组去耦合的传输线方程 2 2 2 谱域g r e e n 函数与位函数 众所周知，可以引入矢量磁位函数力和标量电位函数来表示电磁场 e = 一歹彳一v ( 2 2 2 2 ) 9 矿 。蔓州 一 一 奎塑盔兰堡主兰垡丝壅一 一一一一一一一 百：j - v j p n h t 其中，j 与之间满足l o r e n t z 规范 ：一j v j 1 r 弘t 因为 由骶e n 函数，我们可以得到如下的方程： 豆： ，j = 胁 百：j 二v j p b p r 所以，矢量位的并矢帆e n 函数与磁场的并矢骶e n 函数间有联系 否彤= 上v 岙_ p r 注意，在分层媒质中，吞4 的选择不是唯一的1 ，传统的选择是 f 碟 吞月= io i ，! _ l u 曩 oo1 i 哦o i 嘭嘭j ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) 在谱域中，寺= 一以曼一以夕+ 三毫，吞肼可以从式( 2 2 1 9 ) 得到。因此，通过式( 2 2 2 7 ) g 月的分量就可以表示为 ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) ( 2 2 3 1 ) ) 、， 鬈 一， 矽 o 俐努铮m 影 # 虬矽 a 。 g 第二章分层媒质的g r e e n 函数 由式( 2 2 2 2 ) 可得到电场 晓2 盘cj 6 q 1r 盖叫( 再古v v 胁了) 召_ = io 嚷l l 哦o i l 嘭嘭嘭j 电场表达式( 2 2 3 3 ) 转化为混合位积分的形式【1 2 1 置= 一觚 + _ l v ( ) j 8 q 、 。 戗= 士矽 j p q 芒2 舌专( 彬堋 芒以2 舌嘭2 管( 矽屯“ 七，矽七： 川 晓= 去 ( 等一等鲁弘+ 号产r 伊2 譬( 弘哟 ( 2 2 3 2 ) ( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 4 ) ( 2 2 3 5 ) ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) ( 2 2 3 8 ) ( 2 2 3 9 ) ( 2 2 4 0 ) 为了应用于矩量法，上节中得到的谱域g r e e n 函数需要通过f o u r i e r 反变换或者 h a n l ( e l 反变换得到空域g r e e n 函数，其数学表现形式就是著名的s o n u n e r f e l d 积分 一一一 銮塑奎堂堡主兰堡堡圣 _ - _ _ - _ _ - - _ - - _ - _ _ _ _ - l _ _ _ _ _ - - _ - _ - - - _ _ _ - - - _ - - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ - _ _ - _ - i _ _ _ _ 一 ( s i ) 【4 8 】。 任意标量场分量( 尹) 可以表示为厂( 芦) 暑厂( 声，z ) ，其中声= 缸+ 办。这时，f o 谢e r 变换对为 嘲量瓣z ) = j 厂( 尹触 叫) = j 厂( 芦) p 砧p 以y 出咖 f - l 弛阿2 南肋缈加蚋 聊) 2 击，于( ；妒竹助戤以 其中，不= 圾+ 以，= 砖+ 砖。将式( 2 3 2 ) 的二重积分化为一重积分 厂( 尹) = 去j i o 于( ；z 乩( p ) 嘶 ( 2 3 3 ) 厂( 尹) = 去于( ；z ) 磁2 ( 力k 以 ( 2 a 4 ) 式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 为h a i l k e l 变换，也被称为s o 删n e 彘l d 积分。根据式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) ， 以兜分量为例其对应的空域g r e e n 函数可用s o h u n e r f e l d 积分表示为 哦( 膨2 去序( 钏椭( 力班p 叫 碟( 舻l z i ) 2 去熊( 驯z - ) 玳力旅p 叫 2 4 变形积分路径与最陡下降路径 图2 3s o 咖e r f e l d 积分路径 1 2 第二章分层媒质的( h e n 函数 原始的积分路径沿着实轴进行1 7 1 ，由于磁2 ( 力在= o 处有一指数型支点奇异 性，且t = ( 碍一) 2 在= 处有代数型支点奇异性，故积分是不确定的。 s o m m e 疵l d 采用了一种积分路径如图2 3 所示，这对于有耗媒质和无耗媒质都是可行 的，并且满足s o n l i i l e 疵l d 辐射条件。由柯西定理，沿此路径的积分值是不变的。 ji h ( ) 。c 2 j h 仑a 二q一 弋p o l e s 夕k r e ( a ) ) jli i l l ( ) 一c 3 ( 佞乃、 二岛r u k 觚r e 正 切 【b ) 图2 4 变形的积分路径 为节约计算时间，常将积分路径折合到o 到的区间上。对于无耗媒质，在实轴 上区间和k 之间分布着表面波极点，使数值积分难以进行。为避免这些极点，可 以采用变形的积分路径，如图2 4 所示。可以将沿实轴的路径变换为路径c l ，在每个 极点处用一个小的半圆包围，其中沿半圆的积分可以表达为闭式的形式【4 9 】。该路径对 电小厚度的衬底是可行的，因为表面波极点少且稀疏。也可以将积分路径变形到路径 c 2 ，路径以4 5 。角度离开原点，到达高于实轴胆处，然后平行于实轴直到超过k ， 最后又回到实轴并延续到。该积分路径可以避免极点处的数值积分，通常日取0 1 1 气 东南大学硕士学位论文 即可。积分路径g ，同样避开了实轴上极点的奇异性，并得到了广泛的应用，将在3 4 节具体叙述。 由于谱域研e e n 函数的极点和支点的奇异性以及b e s s e 坩诎e l 函数的高震荡性导 致s o n n e 疵l d 积分在整个路径上表现出慢衰落、强震荡的特性，使得直接积分非常耗 时。上图2 4 提到的变形的积分路径，对极点的奇异性都做了处理，但未处理积分的 慢收敛。一种加速积分收敛的方法是沿最陡下降路径【2 1 【1 4 】计算s o m m e 疵1 d 积分。 为了提高收敛性，可变形积分路径如图2 5 ( a ) 所示。由于谱域骶e n 函数为多值 函数( 将在2 5 节详细介绍) ，这里我们选择：的垂直分支切割邮c s ) r o ，由于围线 不能同分支切割相交，所以围线须从无限大处沿分支切割的一边退回到支点，绕过 支点后再沿分支切割到无限大处， 围线积分如图2 5 ( a ) 所示，q 为无限大半圆，r 。 为分支切割处的积分围线。由于已引入分支切割，被积函数变为单值函数，故可应用 c 蛐留数定理计算积分的值。 + j i r + f 。= 之咿r e s 即 = ( - l ) 一2 石j 。r e j 其中，分支割线积分代表具有连续本征值谱的辐射模，所围极点上的留数相当于导波 模圆5 0 1 。根据关系= 心s