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摘要 我国高考数学试题难度影响因素的实证研究 基础数学专业硕士研究生鲁庆云 指导教师宋乃庆教授 摘要 高考是我国最重要的大规模教育考试之一，它不但为国家选拔人才，还实际引导并评价 高中教育教学。高考试题难度是试题质量的重要指标也是最难把握的一个方面，因此，研究 高考数学试题难度的影响因素具有很直接的现实意义。但我国目前的研究多注重思辨分析或 经验判断，以数据分析为特征的实证研究尚不多见，这给研究结论和方法的推广与应用带来 许多不便。 本研究通过文献分析和实际调查，提出数学试题难度的1 0 个影响因素，它们是：情境或 背景、总体思路、知识含量、模块数量、运算或推理量、领会水平的关卡数量、分析水平的 关卡数量、条件的隐蔽性、解法数量和结论的开放性等。 为探究这些因素的存在性及其影响权重，本文首先建立数据测量工具，然后利用1 4 0 道 高考数学试题的相关数据，从各因素与难度值的相关性、各因素不同水平的差异性和各因素 对难度值的贡献率等三个方面做统计分析，所使用的数学方法依次是相关分析、非参数均值 秩检验和回归分析等。本文还通过调查问卷和访谈提纲，实际了解学生和教师关于数学试题 难度影响因素的看法。 统计分析表明，有7 个影响因素的作用是明显的，按重要程度依次是：“总体思路”、 “领会水平的关卡数量”、“分析水平的关卡数量”、“条件的隐蔽性”、“结论的开放性”、 “模块数量”和“知识含量”等；有3 个影响因素作用非常弱，分别是：“运算或推理量”、 “解法数量”和“情境或背景”等。认同度分析表明，学生和教师关于影响因素权重的看法 与统计分析结论在趋势上基本一致，但在具体数值上还有差异。 基于多元回归分析，我们得到数学试题难度系数p 的一个预估模型： p = i 一( 0 1 8 3 x l + o 1 3 3 x 2 + o 1 2 6 x 3 + 0 1 7 0 x 4 + 0 1 1 4 x 5 0 0 3 3 x 6 + 0 0 1 3 x 7 - 0 1 6 5 ) 该模型实际预估效度良好，从另一侧面证实了数据分析结论的可靠性。 本研究的新意：首次综合运用相关分析、非参数均值秩检验、回归分析、t 检验和方差 分析等数学方法系统讨论我国高考数学试题难度的影响因素：首次初步提出难度系数p 的一 个预估模型。本文的不足：有些因素的讨论还需要加强，有些题型的研究还需要展开。 两南大学硕十学位论文 关键词：高考数学试题难度影响因素实证研究难度预估 a b s t r a c t ap r a c t i c a ls t u d yo nt h ef a c t o r sa f f e c t i n gt h e d i f f i c u l t yo f m a t h e m a t i c st e s tq ue s t i o ni n c h i n a sc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：m a t h e m a t i c se d u c a t i o n s u p e r v i s o r ：p r o f s o n gn a i q i n g a u t h o r ：l uq i n g y u n a b s t r a c t c h i n a sc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n ( c c e e ) i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t l a r g e - s c a l ee d u c a t i o n a le x a m i n a t i o n ，a st h ei m p o r t a n tm e a n sf o rt h en a t i o nt oe x t r a c t i n t e l l e c t ，i ta c t u a l ll e a da n de v a l u a t ee d u c a t i o na n dt e a c h i n go ft h eh i g hs c h 0 0 1 t h e d i f f i c u l t yi sa ni m p o r t a n td i m e n s i o no ft e s t - q u e s t i o na n d i ti st h em o s td i f f i c u l ta s p e c t t oc o n t r o lt o o s o ，t h ew o r kt os t u d yf a c t o r sa f f e c t i n gt e s t - q u e s t i o n sd i f f i c u l t yo fc c e e i so fp r a c t i c a lm e a n s b u tn o wo u rs t u d yf o c u so n “t h o u g h t o r “e x p e r i m e n t a l j u d g m e n t ，p r a c t i c a ls t u d yi sf a i n t ，t h u s ，i tc a u s em a n y t r o u b l ei np r a c t i c a lu s i n gf o rt h e c o n c l u s i o na n dm e t h o d i nt h i sp a p e r , b a s e do nl i t e r a t u r ea n a l y s i sa n dl i v es u r v e y , w ep r o p o s et e nf a c t o r s a f f e c t i n gt h ed i f f i c u l t yo fm a t h e m a t i c st e s t - q u e s t i o n s ，w h i c ha r e ：“s i t u a t i o no rc o n t e x t ”， p r o b l e m s o l v i n gi d e a s ，n u m b e ro fk n o w l e d g e ，c o m b i n a t i o no ft o p i c ，n u m b e ro f s t e p s ”， n u m b e ro fc o m p r e h e n d i n g - l e v e lc h e c k p o i n t s ”，“n u m b e ro fa n a l y z i n g l e v e l c h e c k p o i n t s ，n u m b e ro fh i d e dc o n d i t i o n s ，n u m b e ro fs o l v i n gm e t h o d s ，n u m b e r o fc o r r e c tc o n c l u s i o n s ”e t c i no r d e rt oi n q u i r et h e s ef a c t o r se x i s t e n c ea n dw e i g h t ，w ef i r s t l yf o r m u l a t ea m e a s u r i n gt o o l ，t h e n ，u s i n g14 0m a t h e m a t i c st e s t - q u e s t i o n sd a t e so fc c e e ，w ed i s c u s s e v e r yf a c t o r s e x i s t e n c ea n dw e i g h tf r o mt h r e ea s p e c t s ：c o r r e l a t i o na n a l y s e ， k i n d e p e n d e n t s a m p l e st e s t ，r e g r e s s i o na n a l y s ea n ds oo n w ea l s os u r v e yv i e w so f t e a c h e ra n ds t u d e n ta b o u tt h ew e i g h to fa l lf a c t o r sb yl i v es u r v e ya n dc o m m u n i c a t i o n t h ed a t e s - a n a l y s i n gi n d i c a t et h a t7f a c t o r sa r eo b v i o u s ，i ns e q u e n c eo fi m p o r t a n c e t h e ya r e ： p r o b l e m s o l v i n gi d e a s ”，“n u m b e ro fc o m p r e h e n d i n g l e v e lc h e c k p o i n t s ”， i i i 西南大学硕十学何论文 i “n u m b e ro fa n a l y z i n g 1 e v e lc h e c k p o i n t s ”，“n u m b e ro fh i d e dc o n d i t i o n s ”，“n u m b e ro f c o r r e c tc o n c l u s i o n s “c o m b i n a t i o no ft o p i c a n d n u m b e ro fk n o w l e d g e s t h e r ea r e 3f a c t o r sw h o s ei m p o r t a n c ei st r i v i a l ，t h e ya r e ：n u m b e ro fs t e p s ，n u m b e ro f s o l v i n gm e t h o d s a n d “s i t u a t i o no rc o n t e x t t h ei n v e s t i g a t i o ns h o w t h a ts t u d e n t sa n d t e a c h e r sg e n e r a l l ym a i n t a i nt h es a m ev i e wi nt r e n d ，b u tt h e ya r ed i f f e r e n to nt h ee x a c t n u m b e ro fw e i g h t b a s e do nm u l t i p l er e g r e s s i o na n a l y s e ，w eg a i nae s t i m a t i n g - m o d e lf o rd i f f i c u l t y ： p = i - ( 0 1 8 3 x l + o 1 3 3 x 2 + 0 1 2 6 x 3 + 0 1 7 0 x 4 + 0 1 1 4 x 5 - 0 0 3 3 x 6 + 0 0 1 3 x 7 - 0 1 6 5 ) t h i sm o d e lc a l lp r e d i c td i f f i c u l t yi nh i g hv a l i d i t y , s oi t c e r t i f i s et h ec o n c l u s i o n s r e l i a b i l i t yo fd a t e a n a l y s i n gf r o ma n o t h e ra s p e c t t h ec r e a t i o ni no b rp a p e ri s ：w ef i r s t l yu s ec o r r a l a t i o na n a l y s e ，ki n d e p e n d e n t s a m p l e st e s t ，r e g r e s s i o na n a l y s e ，t - t e s t ，a n o v aa n do t h e rm a t h e m e t i c sm e t h o d st o d i s c u s st h ef a c t o r sa f f a c t i n gt h em a t ht e s t - q u e s t i o n sd i f f i c u l t yi nc c e e ；w ef i r s t l y i n q u i r eap r e d i c t i o n m o d l ea b o u td i f f i c u l t y ( p ) t h es h o r t c o m i n gi s ：t h ed i s c u s s i o na b o u t m a n y f a c t o rn e e de n h a n c i n ga n do t h e r sn e e dt ob ee n l a r g i n g k e yw o r d s ： c h i n a sc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n t h ef a c t o r sa f f e c t i n g l h e d i f f i c u l t y d i f f i c u l t yp r e d i c t i o n i v m a t h e m a t i c st e s tq u e s t i o n p r a c t i c a ls t u d y 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：鲁庆云签字日期：20 0 9 年5 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：酣不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 赞嘲：7 钳刖日 抖嘲：旅 i “ 疑j 甚 第1 章问题的提出 第1 章问题的提出 1 1 研究的背景 普通高等学校统一招生考试( 以下简称“高考”) 是我国最重要的大规模教育考试之一，它 具有广泛而深远的社会影响。在广度方面，表1 - 1 是近8 年来报考人数的统计资料，2 0 0 8 年 这一数字约为1 1 0 0 万。明显的，如此大规模的教育考试所涉及人数堪称世界之最，其间接涉 及的民众更是不计其数。在深度方面，正如休斯( h u g h e s ，1 9 9 3 ) 所认为的，大规模教育考试 的影响对象包括三个方面：考试的参与者学生、教师、学校管理人员、课程标准和教材 的开发者，考试可能影响这些人对其学习、教学、管理以及课程标准和教材的感受和态度： 过程对学生的学习过程产生影响的所有参与者采取的任何行动：结果学生学习的内 容和学习的质量。 表卜1 历年报考人数1 研究试题难度是监测与评价学生学业质量的需要。2 0 0 7 年1 2 月，教育部基础教育质量 监测中心的成立标志着国家对学生学业成绩的监测已进入实质性操作阶段。保证不同时期、 不同试题测试结果的可比性是一个重大科研课题，而这一课题首先涉及试题难度的评价。本 人参与了2 0 0 7 年1 1 月至2 0 0 8 年3 月科技部中国儿童青少年心理发育特征调查项目子课 题初中数学学业成就及其关键环境变量测查工具研制 ( 项目编号：m a t h a c h i e v e m e n t l - 8 - 1 ) ，并从事初三数学试题和关键环境变量测查量表的研制。这一过程使我 们深刻感受到准确把握试题难度的必要性。具体来说，当对比源于不同试卷的考生成绩时， 难度系数并不是学生成绩的真实反映，因为我们无法确认这些数据源自难度相当的试卷。 研究试题难度是保证试题质量的需要。一般认为，评价试题质量的主要指标是：信度、 效度、区分度和难度等，其中难度是指试题对考生的困难程度，一般以难度系数( p ) 作为外 在尺度。对教育考试而言，试题难度是重要的质量指标也是最难把握的方面。首先，在大规 模常模参照考试和标准参照考试中，难度设置的合理性直接影响测量目的实现程度。常模参 照考试命题设计的主要原则是使试题的区分度最大，而试题的区分度与难度有密切的关系( 雷 新勇，2 0 0 6 ) ，有研究表明2 ：当难度系数为o 5 时，试题的区分度最大( 任子朝，1 9 9 4 ) 。 实际上，数学可以证明，当一道试题的通过率( 得分率) 为0 5 时，同组被试得分的方差最 大。所以，调整试题难度是改变考生成绩分步、提高区分度的重要手段之一。其次，数学新 1 中华人民共和国教育部网站，2 0 0 8 0 9 1 2 h t t p ：v n 哪n e e a e d u c n r x k s p t g k s h o w _ s o r t _ p t g k j s p ? c l a s s i d o = 0 3 & c l a s s i d l = 0 3 一l l & c l a s s i d 2 = 2 任子朝，高考数学命题研究，中学数学教学参考，1 9 9 4 年第5 期，p 3 。 l 两南大学硕十学位论文 课程强调内容的选择性，而课程内容的选择性必然引起试题内容的选择性。当试卷中存在可 选试题时，命题者必须尽量保证分值相同的选作试题难度相当，只有这样，才能保证测试结 果的可靠性( l e o n gs e ec h e n g ，2 0 0 6 ) 。最后，从心理学角度讲，试题按照从易到难的顺序 排列有利于考生发挥真实水平( l e e ，f l e t a l ，1 9 9 9 ) 。这同样要求命题者准确把握每道题的 难度水平，以便科学合理地安排试题顺序。但目前这一问题解决得并不好，比如我国t 市2 0 0 6 年文科第1 7 题的难度系数( 得分率) 达到0 2 ，学生的得分情况很糟糕，更麻烦的是，该题 位居解答题首位，学生做得不顺利会极大地影响后续作答。类似情况还有2 0 0 5 年h 省文理共 用的第1 6 题( 全国卷) ，难度系数分别为0 1 4 和0 2 9 3 ，区分度分别为0 2 6 和0 3 5 。这都说 明一个问题：学生成绩好与差都一样不能得分，试题难度是绝对的。 某些研究结论和研究范式还存在争议或局限。在研究结论上，相关领域的研究者作了大 量开拓性工作，他们的研究成果乃至争议都为我们奠定基础并在某种程度上指明了研究方 向。例如，对于图表因素对难度的影响，有学者( l a r k i n ，j h a n ds i m o n ，h a 1 9 8 7 ) 认为4 ； 图表简洁，有助于问题的理解和解决；而有学者( v i c t o r i ac r i s pa n de z e k i e ls w e i r y ，2 0 0 3 ) 认为5 ：图表的凸现性可能会误导学生对问题的理解，要谨慎使用。这些争议无疑为我们探索 难度的影响因素提供了一个契机。在研究范式上，心理学侧重于从内部心理准备状态、心理 过程或机制等方面探索问题解决的影响因素。例如喻平等( 2 0 0 6 ) 认为6 ：“个体的c p f s 结 构( 指在数学学习中学习者在头脑中形成的概念域、概念系、命题域、命题系等，笔者注) 与探究问题能力之间存在显著性相关；具有优良c p f s 结构的被试与不良c p f s 结构的被试 在探究问题的成绩上存在显著性差异”。这些结论不但深化了我们对基于心理学框架研究 结论的理解和把握，而且为研究试题难度的非心理影响因素提供出发点或方法借鉴。比如命 题系概念，它的内部心理结构就很可能外化为试题所含命题间的复杂程度。但即使这样，对 教育考试而言，诚如喻平( 2 0 0 6 ) 所指出的7 ；“在有外部调控的情况下，优良c p f s 结构组 和不良c p f s 结构组的被试在探究高难度问题的成绩上没有显著差异”。这说明，面对高难 度试题，即使是具备c p f s 结构的被试，其成绩表现也主要受制于试题内容而非包括c p f s 结 构在内的个体认知结构。此外，在更具体的数学习题难度的研究中还存在某些争议或问题。 比如史宁中先生等( 2 0 0 5 ) 建立的课程难度模型：孕+ _ ( 1 - c r ) g ( o 口 1 ) s ，其难 3 数据来源：河南招生考试信息网，h t t p ：嗍h e a o c o m c n m a i n h t m l w l k t 2 0 0 7 0 5 c o n t e n t5 0 1 7 h t m l ， 2 0 0 8 0 6 。 l a r k i n ，j h a n ds i m o n ，h a ，w h yad i a g r a mi s ( s o m e t i m e s ) w o r t ht e nt h o u s a n dw o r d s j 。c o g n i t i v e s c i e n c e ，1 9 8 7 1 l ( 1 ) ，9 9 1 0 1 9 v i c t o r i ac r i s pa n de z e k i e ls w e i r y ，c a nap i c t u r er u i nat h o u s a n dw o r d s ? j ，c o g n i t i r e s c i e n c e ，2 0 0 3 1 0 ( i ) ，7 9 8 1 。喻平、李渺、杨义莹，个体c p f s 结构与探究问题能力的关系研究，数学教育学报，2 0 0 6 0 8 ，p 4 1 1 喻平、李渺、杨义莹。个体c p f s 结构与探究问题能力的关系研究，数学教育学报。2 0 0 6 0 8 ，p 4 1 。史宁中、孔凡哲、李淑文，课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比，长春：东北师范大学 报( 哲学社会科学版) ，2 0 0 5 年第6 期，p 1 6 。 2 第1 章问题的提出 度因素的权重分配口的取值就一直备受关注，到底该如何平衡课程可比深度( s t ) 和可比广度( g t ) 的比例? 9 ( 张辅，2 0 0 6 ) 。 工作需要和研究兴趣。试题在平时的课堂教学中表现为例题和习题，这些内容的呈现同 样需要考虑难度，否则便可能影响教学效果。在工作中，很多数学教师经常会遇到“这是难 题吗”、“这道题难在哪里呢”等问题。时间一长，很多人都有麻木的倾向，觉得很多题都 不难，但事实却并非如此! 此外，“控制”、“预测”之类的话题本身对人就有一定的诱惑， 科研的最终目的是应用，如果能通过努力作出某种前瞻性判断，而这种判断事后被证明有一 定道理，那无疑也是乐趣之一。 1 2 研究的问题 1 概念界定 数学试题：本文所说的数学试题主要是指我国普通高等学校2 0 0 5 年 一2 0 0 8 年统一招生 考试中的理科数学试题，在地域上指全国卷和各省市试卷，不包括台湾、香港和澳门。 试题难度：难度是指测验项目的难易程度1 0 ，因此，试题难度就是试题的难易程度。在实 际操作中，一般用难度系数p 刻画试题难度，将难度系数作为试题难度的外在尺度。其计算 公式是：p = 多磊，其中，尸为试题难度( 难度系数) ，叉为被试的平均分，x 为试题 的分值。如果试题为客观题，则x 表示通过该题的人数，x 表示参试人数。 难度的影响因素：试题难度的影响因素是多元的，但概括起来主要有两类：被试影响因 素和内容影响因素。前者是指在被试对象上表现l 出来的难度，它主要受考生的水平以及应试 状态的影响，我们假定它的影响因素是集合】，= y 。，y 2 一y 。j ，该集合由学生的水平、 应试状态等因素构成。后者是指考试目标和考试大纲在试题文本上表现出的难度，考试大纲 和试题一旦形成，试题难度便成为一种客观存在，不受被试的影响，我们假定它的影响因素 是集合x = x l ，x 2 一x 。) ，这些因素由试题涉及的知识面，知识点的要求水平，运算或推 理数量，运算或推理的灵活性、综合性等因素构成。试题难度系数p 是被试影响因素和内容 影响因素共同作用的结果。 2 研究的问题 如果试题难度系数p 与影响因素集合x 、】，存在函数关系的话，那么可以假设该关系为： 张辅，上海与美国加州小学数学期望课程的比较研究， 博士论文 。上海：华东师范大学学位评定委员会， 2 0 0 7 年4 月，p 6 5 ”朱德全、宋乃庆，现代教育统计与测评技术 m ，西南师范大学出版社，1 9 9 8 0 7 ，p 2 2 7 3 两南大学硕十学位论文 p = f ( x ，r ) = f ( x l ，x 2 ”x 疗；少1 , y 2 “y 行) 。我们当然希望能找到全部影响因素并 建立它们与难度系数p 之间的函数关系式，但被试因素主要是由被试的水平、心理状态等因 素构成，因此获得集合y = y ，y ，y 中的元素更多的是心理学研究范畴，不是本研 l 1 ，z ，n j 究的重点。更重要的是，在大规模教育考试中，几万乃至几十万被试的水平和心理状态虽然 会影响难度系数p ，但这里的“水平”、“状态”在宏观上是定值而不是变量。这集中表现 为对同组试题，多组大规模被试的平均成绩会非常接近，难度系数基本保持不变。所以，如 果以大规模教育考试为背景，那么被试影响因素集合y = y ，y ，y 可以很少甚至不 l ，1 ，z，一j 予考虑，高考试题难度系数p 主要受制于试题内容而基本不受被试影响。 基于上述认识，本研究将问题序列聚焦为： ( 1 ) 探究p = f ( x ) = f ( x l , x 2 ”x j 中的内容影响因素集合x 2 x 。，x ：x 。) ，并确 定各个影响因素的权重。 ( 2 ) 构建内容影响因素x l ，x 2 x 。与难度系数p 的函数关系式，进行难度预估。 二者的关系，第一个问题是从文献分析、实际调查和统计分析等方面探索并论证影响因素， 侧重于理论分析；第二个问题主要是从实际效果上验证理论研究结论的可靠性和实用性，拓 展研究结论的应用价值，侧重于实际应用。 1 3 研究的意义 高考是我国最重要的大规模教育考试之一，是国家选拔人才的重要手段，它实际引导并 评价高中教育教学，因此研究高考试题必要而重要。另一方面，难度是高考试题质量的重要 指标也是比较难把握的方面，如何突破这一难点是摆在研究者面前急需解决的问题。中国人 多，考生数量每年上千万，试题难度把握得当，可以有效地选拔人才并同时促进高中教育教 学的发展，把握不好，则会影响几百万甚至几千万人的学习定位和具体学习行为。 难度把握重在“度”，“度”是事物保持本质特征的范围，它的两端是“临界值” “数”。要做到心中有“数”，除了“思辨分析”和“经验判断”外，还有必要运用数学方 法和工具探究试题难度的影响因素及其权重，这就是本文“实证研究”的主要含义。构建试 题难度的预估模型也是“数”的问题，它既可以为课堂教学或考试事先评估、预测习题( 试 题) 难度提供数学工具，为习题课教学应该重视哪些影响因素提供理论和事实依据，还可以 从另一侧面检验预估模型的可靠性。 4 第2 章文献综述 第2 章文献综述 2 1 一般试题难度影响因素的研究 邵志芳( 1 9 9 6 ) 认为1 1 ：未知参数的数量、中间未知参数不予提示程度、参数排列方式、 供选择的操作数、供选择的操作的相似性、对过去题目中某些特征的意识水平等因素影响问 题难度。分析其对影响因素的描述，不难发现，前面5 个属于问题( 试题) 难度的内容影响 因素，最末一个“对过去题目中某些特征的意识水平”因素则倾向于心理分析。 雷新勇( 2 0 0 6 ) 认为影响试题难度的主要因素有1 2 ：考生对试题内容的熟悉程度、考查 行为目标的层次、试题情景材料的信息量、试题的( 呈现) 形式、( 考试) 时间等。 2 2 数学试题难度影响因素的研究 徐建乐( 1 9 9 6 ) 认为影响数学试题难度的主要因素有3 个”：试题的抽象水平、试题的 综合程度和试题条件的隐蔽性。其中，试题的抽象水平是指文字或符号叙述比具体数字运算 抽象，一般原理和抽象概念比具体知识抽象：试题的综合度包括知识点数量和知识点跨越知 识的幅度；试题条件的隐蔽性包括已知条件的隐蔽程度和隐蔽条件的个数。 周华辅( 1 9 9 9 ) 认为影响数学试题难度的主要因素有4 个：试题的信息数量、学生对 试题的熟悉程度、试题动态、题目结构等。其中试题的信息数量因素中包括但不限于通常所 说的知识点，还包含了试题叙述的曲折程度以及涉及信息的可理解程度；试题动态是指所提 问题的角度与学生平时练习或考试的接近程度，或者题目中干扰因素的多少：题目结构是指 题目的类型、知识的综合程度、计算的复杂程度和解答该题的方法与技巧性。他还为难度水 平的量化提供了一系列的操作规则，比如试题包含1 到2 个知识点则信息数量因素赋值为1 ， 试题包含3 到4 个知识点则信息数量赋值为2 。又比如学生对题目很熟悉、经常练习， 则熟悉程度因素赋值为1 ；不熟悉、很少见或没有见过，则熟悉程度赋值为3 ；。 教育部考试中心任子朝、于福生( 1 9 9 5 a ，1 9 9 5 b ) 细化了难度因素的种类，认为1 5 ：超 纲度、歧义度、可猜度、熟悉程度、知识点数、关卡数、关卡难度、简繁度、提示度、解答 时( 间) 分( 值) 比等1 0 个因素是影响试题难度的主要方面，并为难度水平的量化提供了一 系列标准，比如用解题过程中关卡的数量来量化关卡数、用通过最难一个关卡的考生的百分 率来量化关卡难度等。 在g c s e 数学试题难度来源的研究中，英国剑桥考试委员会q d p ( t h eq u e s t i o nd i f f i c u l t y “邵志芳，关于问题难度的实验研究，心理科学，1 9 9 6 年第5 期，2 2 。 “雷新勇，大规模教育考试：命题与评价，上海：华东师范大学出版社，2 0 0 6 0 4 ，p 2 3 1 ”徐建乐，数学试题难度的指标体系及量化 j ，中学数学教学，1 9 9 6 年第3 期，p 9 1 2 。 “周华辅，关于会考数学试题难度预估的实践与探讨 j ，数学通报。1 9 9 9 年第2 期，p 3 2 。 ”任子朝、于福生，应用诊断识别模型评估高考数学数学试题难度 j ，数学通报，1 9 9 5 年第4 期，p 3 4 3 5 ；1 9 9 5 年第5 期，p 4 1 4 2 。 5 两南大学硕+ 学位论文 p r o j e c t ) 课题组的研究者( h f h o c h s h u g e s ，1 9 9 6 ) 总结了影响数学试题难度的1 7 个 因素1 61 7 ：执行词语( c o m m a n dw o r d ) 、情境( c o n t e x t ) 、陈述的原理( s t a t e dp r i n c i p l e ) 、 主题间的综合( c o m b i n a t i o no ft o p i c ) 、孤立的知识与技能( i s o l a t e ds k i l lo rk n o w l e d g e ) 、 数学语言( m a t h e m a t i c a ll a n g u a g e ) 、数学用于与日常用语的对比( m a t hv s e v e r y d a y l a n g u a g e )、数学上的先后顺序m a t h e m a t i c a ls e q u e n c i n g ) 、回忆策略( r e c a l ls t r a t e g y ) 、 可选择的策略( a l t e r n a t i v es t r a t e g y ) 、要求的抽象度( a b s t r a c t i o nr e q u i r e d ) 、空间表征 的要求( s p a t i a lr e p r e s e n t a t i o nr e q u i r e d ) 、卷面设计( p a p e rl a y o u t ) 、模糊的资源 ( a m b i g u o u sr e s o u r c e s ) 、不相关的信息( i r r e l e v a n ti n f o r m a t i o n ) 、解题的步骤数( n u m b e r o fs t e p s ) 、计算错误( a r i t h m e t i ce r r o r s ) 等。上述3 个研究对试题难度的影响因素分类进 一步细化，操作性更强。 虽然( 期望) 课程综合难度的研究者最初提出课程难度模型并非针对数学习题，但由于 数学习题是课程的重要组成部分，因此它更多的被应用于习题甚至试题的比较( 鲍建生，2 0 0 2 ； 李淑文，2 0 0 5 ；张辅，2 0 0 6 ；赵珊，2 0 0 8 ) 。事实上，在下面的描述中我们不难发现：课程 难度的影响因素与试题难度的影响因素在很多时候表达上是一致的。 这一领域主要研究成果有： 鲍建生( 2 0 0 2 ) 根据n e g a r a ( 2 0 0 1 ) 在向美国国家教育统计中心的工作报告中提出课程总 体难度( o v e r a l l d i f f i c u l t y ) 的概念，认为影响试题综合难度的因素有埔：背景、探究、知识 含量、推理和运算等五个方面，并建立了数学试( 习) 题综合难度模型。李淑文( 2 0 0 5 ) 、 张辅( 2 0 0 6 ) 等研究者沿用这一综合难度模型框架并在应用时作了调整或改进。 在这一框架下，各因素的层次划分是： “探究”因素：包括四个层次：识记、理解、应用( 李淑文，2 0 0 5 ) 和探究。“推理” 因素，包含三个层次：无推理、简单推理( 包含1 - 2 个推理步骤) 、复杂推理( 包含3 个以 上推理步骤) 。“运算”因素，包含三个层次：无运算、数值计算( 不包含任何字母符号) 、 简单的符号运算( 包含一到两个步骤的、字母符号的代数运算) 、复杂符号运算( 三步以上 的字母符号运算或者对公式的灵活运用) 。“背景”因素，包含四个层次：无背景( 无任何 实际背景) 、个人生活( 与学生个人生活经历相关的背景) 、公共常识( 属于职业或者公共 常识的背景，学生一般很少亲身经历的，属于某个职业领域的情境，或者作为一种社会公共 常识) 、科学情境( 通常反映的是一个科学实验的过程，或者涉及一定的科学知识，目前我 “h a n n a hf i s h e r h o c h ，s a r a hh u g h e s ( 1 9 9 6 ) w h a tm a k e sm a t h e m a t i c se x a mq u e s t i o n sd i f f c u l t ? r o l r e s e a r c ha n de v a l u a t i o nu n i v e r s i t yo fc a m b r i d g el o c a le x a m i n a t i o n ss y n d i c a t e 2 0 0 6 - 0 5 1 5 h t t p ：f7 谰c a m b r i d g e a s s e s s m e n t o r g u k c a 。d i g i t a l a s s e t “h a n n a hf i s h e r - h o c h ，s a r a hh u g h e s ( 1 9 9 7 ) w h a tm a k e sg c s em a t h e m a t i c se x a mq u e s t i o n s d i f f c u l t ? o u t c o m e so fm a n i p u l a t i n gd i f f i c u l t yo f0 c s e q u e s ti o n s c o l h t t p ：w w c a m b r i d g e a s s e s s m e n t o r g u k c a d i g i t a l a s s e t ”鲍建生，中英两国初中数学课程综合难度的比较研究 d ； 博士论文 ，上海：华东师范大学出版社，2 0 0 2 p 3 6 6 第2 章文献综述 国的中小学正在提倡的所谓跨学科综合题中许多都属于这一类) 。“知识含量”因素，包含 三个层次：单个知识点、两个知识点、三个以上知识点。 在实际使用时，还对各因素的位级进行了赋值，比如对“探究”因素的4 个位级 识记、理解、应用、探究一分别赋值i 、2 、3 、4 ( 李淑文。2 0 0 5 ) 。 上述综合难度模型存在的主要问题是： _难度因素概括得是否全面? 还有没有其他比较重要的影响因素没进入视线? -现有各因素的不同水平用1 、2 、3 等数字赋值其合理性在哪里? 不同水平会像l 、 2 、3 那样等距吗? 又为什么将含1 2 步推理的情形归为一类? 各因素的权重相同吗( 张辅，2 0 0 6 ) ? 比如“知识含量”中的“2 ”与“探究”中的 “2 ”是否等值? 差异有多大? _ 事实上，我们觉得，如果把一道题比作一个人的话，该模型更多的是在描述“这个 人长得什么样子”，但“样子”是“彗盒监”吗? 李淑文( 2 0 0 5 ) 对上述第2 个问题进行了研究，提出将“理解”细分为“理解”和“应 用”两个层次，以尽可能体现等距性憎。这当然是一个很好的改进，但还是没能有效地说明 这种改进的合理性。张辅( 2 0 0 6 ) 则对“权重赋值”进行了探索，他在中国上海和美国加州 分别选取了一些具有代表性的教师，请他们对各影响因素的权重进行斌值，得到了下面的权 重均值表。 表2 - 1 两地教师所赋各难度因素权重均值表2 0 该做法无疑也是很好的尝试，改进了原有因素权重“平均化”处理方法。 史宁中、孑l 凡哲、李淑文( 2 0 0 5 ) 认为影响课程难度的主要因素有三个乱：课程广度、 课程深度和课程时间，并建立了课程难度模型：孕- t ( 1 了- c v ) g ( o 甜 1 ) ，其中n 表 _ f 示课程难度，s 表示课程深度，g 表示课程广度，t 表示课程时间，s t 表示可比深度，即单 位时间的课程深度；g t 表示可比广度，即单位时间的课程广度；口是加权系数，它反映了 课程对于可比深度和可比广度的侧重程度。 其具体含义及量化方法是： 课程广度，是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，可以用通常所说的“知识点” 1 9 李淑文，中日两国初中几何课程难度的比较研究【d 】，【博士论文】，长春；东北师范大学学位评定委员会， 2 0 0 6 年5 月。p 5 4 5 9 。 ”张辅，上海与美国加州小学数学期望课程的比较研究 d 。 博士论文 。上海：华东师范大学学位评定委 员会，2 0 0 7 年4 月，p 7 5 7 8 。 2 1 史宁中、孔凡哲、李淑文，课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比，长春：东北师范大学 报( 哲学社会科学版) ，2 0 0 5 年第6 期，p 1 6 。 7 两南大学硕十学位论文 多少加以量化。课程深度，泛指课程内容所需要的思维的深度，它涉及到概念、数学原理和 数学模型的抽象程度以及概念( 数学模型) 之间的关联程度，还涉及到课程内容的推理与运 算步骤，课程深度反映了数学课程内部之间的设计顺序，编排和组织的逻辑深度以及所潜在 的思维的深度，这是一个非常难以量化的要素。课程时间，是指课程内容完成所需要的时间， 可以用通常所说的“课时 多少进行量化。 该模型也是针对课程综合难度提出的，其思想及其操作与鲍建生模型基本一致，区别是 维度划分得粗细问题。其存在的主要问题是： _ 加权系数应该如何确定，若采用不同的权重会导致相反的比较结果，该如何处理 ( 张辅，2 0 0 6 ) ? 比如，我们给出两个版本的如下数据信息。 表2 - 2 版本难度结果比较表 易见，对同一版本，口取值不同，得到的难度值( n ) 也不同；对不同版本，当口取 0 5 时，它们的难度相当，但当口取0 6 时，a 版本难度较大，当口取0 4 时，b 版本难度较 大。哪一个结果是对各版本难度的真实反映呢? 事实上，在不同历史时期或不同地域，人们对课程广度与深度权重的看法一般是不一样 的，因而掰取值就有所差异。这种差异反映了人们观点或价值取向的侧重，并不是正确与错 误的根本对立，或者说，口的取值完全可以具有历史性。不过，在特定阶段，我们总是可以 通过某种技术手段得到一个各方都基本接受的值( 比如求均值或者利用瑟斯顿配对比较法得 到比例值) ，然后计算课程难度。而这样做的结果是，人们对历的看法发生变化，某版本教 科书的绝对和相对难度就会发生变化。 课程深度该如何科学地量化? ( 孔凡哲，2 0 0