（应用数学专业论文）极大交换子在各向异性空间的有界性.pdf

摘要 本文介绍了各向异性h a r d y 空间和有关h a r d y 型空间的基础知识及理论， 简单阐述了这些空间的最新进展受齐次m o r r e y h e r z 型函数空间的启发，引 进了一类各向异性的齐次m o r r e y h e r z 型函数空间，验证了此空间上常用的基 本不等式及插值定理，并用内插法证明了各向异性空间上的h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子在上尸( 舯) 空间上的有界性由护( r n ) 空间有界性结论，并利用 h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子的性质，以及一些不等式估计，得到了h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交换子在各向异性的齐次m o r r e y h e r z 型空间上的有界性结 果对于分数次极大交换子，在各向异性的齐次m o r r e y h e r z 型空间上类似的 有界性问题也得到了证明最后还证明了满足一定尺寸条件的一类线性算子的 交换子在各向异性的齐次m o r r e y - h e r z 型空间上的有界性 关键词：各向异性空间；m o r r e y o h e r z 空间；交换子；h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子；有界性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w er e c a l ls o m eb a s i ck n o w l e d g ea n dt h e o r e m s o fa n i s o t r o p i c h a r d ys p a c ea n dh e r zt y p eh a r d ys p a c e s ，a n dd e s c r i b et h ed e v e l o p m e n t 0 f t h e s es 印c 瞄b r i e f l y m o t i v a t e db yt h et h e o r yo fh o m o g e n e o u sm o r r e y - h e r z t y p e s p a c e 8 ，ac l a u s so fa n i s o t r o p i ch o m o g e n e o u sm o r r e y h e r zt y p es p a c e sa s s o c i a t e d w i t han o n - i s o t r o p i cd i l a t i o nao n 舻a r ei n t r o d u c e d ，s o m eb a s i ci n e q u a l i t i e s a n di n t e r p o l a t i o nt h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e d b yt h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r e m s ，t h e 2b o u n d e d n e 鼹o ft h ec o m m u t a t o ro fh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a l l o u n c t l o no n a n i s o t r o p i cs p a c e sa r eo b t a i n e d u s i n gt h e 2b o u n d e d n e s s a n dt h ep r o p e r t l 鹤 o ft h eh a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a lf o u n t i o n s ，t h eb o u n d e d n e s s o ft h ec o m 瑚吡 t a t o ro fh a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a lf o u n c t i o n o nt h eh o m o g e n e o u sa n l s o t p l c m o r r e y - h e r zt y p es p a c e s c a nb ep r o v e d t h es a m er e s u l t sa r eh o l d f o rt h e c o m m u t a t o ro ff r a c t i o n a lm a x i m a lf o u n c t i o n f i n a l l y , w eo b t a i nt h eb o u n d e d 。 n 嘲o ft h ec o m m u t a t o ro fa c l a s so fl i n e a ro p e r a t o r sw h i c hs a t i s f i e ds o r t i es i z e c o n d i t i o n s k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cs p a c e ；m o r r e y - h e r zs p a c e ；c o i t i m u t a t o r ； h a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o r ；b o u n d e d n e s s ； 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名：狠荦让日期：髟哆年 石 月口日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于； 保密口，在 年解密后适用于本声明 不保密叫 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名：专绶录仫 日期。 导师貅参幻啉 诚晕 6a - o 口卯年 莎月钐日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 4 1 青岛大学硕士学位论文 引言 h a r d y 空间的理论十分丰富，它构成了调和分析的绝大部分内容1 9 1 4 年 英国著名数学家h a r d y 在经典复分析研究中首先引入了后来以他名字命名的 空间( 见f 2 2 】) 1 9 7 0 年代，h a r d y 空间实变理论诞生，z p 空间理论被推广到 了高维欧氏空间r n 上( 见【2 3 1 ) h a r d y 空间的实变理论的进一步研究来自几年 后的原子分解的建立，这是c o i f m a n i 2 4 1 ( n = 1 ) 和l a t t e r l 2 5 ( n 1 ) 的工作原 子分解是一个非常有效的工具，对函数空间理论有着深刻的影响h a r d y 空间 理论有两个方向的拓广是引人注目的。其是c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y l l , 2 1 开创 的伴随于非各向齐性伸缩的h a r d y 空间的研究，另一方面是底空间r n 置换为 其它的域我们主要看非各向齐性的h a r d y 空间理论，筒言之“i l o n i s o t r o p i c 或“a n i s o t r o p i c ”，这意味着欧氏空间中在不同的方向有不同的伸缩”自从 c a l d e r s n 和t o r c h i n s k y 关于抛物型h a r d y 空间的研究后，与某些特殊矩阵 伸缩相关的函数空间理论被许多作者所研究( 参见1 3 ，2 6 】钾， f o l a n d 和 s t e i n s l 对齐次群上h a r d y 空间的研究就是非常完备的系列结果后来，这方面 的研究方兴未艾，例如b e s o v ，1 1 i n 和n i k o l s k i i l 4 j ，s c h m e i s s e r 和t r i e b e l 5 , 6 , 7 , 8 l ， 以及f a r k a s g l 等2 0 0 3 年，部分受到非常一般的离散伸缩群在小波理论的作用 的启发，b o w n i k 在文献1 1 0 】中引入并研究了伴随于非常一般离散伸缩群的各 向异性h a r d y 空间，这种h a r d y 空间包括了c f e f f e r m a n 和s t e i n 1 1 j 建立的经 典的各向齐性h a r d y 空间和c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y l l , 2 l 建立的抛物型h a r d y 空间各向异性h a r d y 空间保持了经典h a r d y 空间的基本性质 蓝森华1 1 2 1 引入并研究了各向异性的弱h a r d y 空间，并给出了该空间的 原子分解理论，并且研究了与此类空间相关的插值问题和奇异积分的有界性问 题同时，研究了各向异性h e r z 型h a r d y 空间，建立了它的原子和分子分解 理论，并给出了线性算子在其上的有界性应用其中包含了各向异性h a r d y 空 间的一系列算子，如分数次积分算子、由分数次积分算子或c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子生成的多线性算子，弱强奇异积分算子以及f o u r i e r 乘子，许多 类似的经典结论被证实 引言 近年来，奇异积分算子及其交换子在h a r d y 空间和h a r d y 型空间上的研 究取得了丰硕的成果1 9 9 7 年，陆善镇、杨大春1 1 3 】讨论了满足一定尺寸条 件的线性算子t 和b m o 函数a 构成的交换子【a ，列在h e r z 空间和h e r z 型 h a r d y 空间上的有界性；2 0 0 1 年，刘宗光【1 4 】讨论了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异 积分算子t 和b m o 函数a 构成的交换子【a ，卅在h e r z 型h a r d y 空间上的有 界性y a b u t a 和彭立中分别在文献 1 5 和【1 6 】中引入了p ( 亡) 型奇异积分算子 的交换子并讨论了它们的护有界性和加权有界性随后的一些文章也讨论了 其他的一些有界性及交换子有界性，如赵凯【1 7 】等研究了口( t ) 型算子和b m o 函数生成的交换子在h e r z 型h a r d y 空间的有界性及其加权有界性等 m o r r e y 在文献【1 8 】中引入了一种空间聊( r 忆) ，我们称其为经典m o r r e y 空间，从那以后这类空间在研究偏微分方程解的正规性方面起到了非常重要的 作用【19 1 m i z u h a r a 2 0 1 引入了广义m o r r e y 空间，并讨论了c m d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子在这类空间上的有界性在文献 2 1 】中，作者建立了一些粗糙算 子及其与函数生成的交换子在空间 露( r n ) 上的有界性齐次m o r r e y - h e r z 空 间是最近两年在多元调和分析研究中提出的一种新的函数空间，许多h e r z 空 间的经典结论在此空间上被证实 本文主要研究的是各向异性空间的某些交换子的有界性，我们研究的方法 的新颖之处在于伸缩变换为离散伸缩群，即伸缩为满足一定条件的矩阵a 在第一章中，我们介绍了有关各向异性h a r d y 空间及h e r z 型h a r d y 空间 的一些相关的概念和理论，以及分数次积分算子或c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积 分算子及其交换子的有界性结果同时证明了几种常用的基本不等式和插值定 理在各向异性齐次m o r r e y - h e r z 空间上成立 在第二章中，我们运用内插法证明了h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交换子在伊( r n ) 空间上的有界性，为后面的主要结论做好铺垫 在第三章中，我们证明了h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子和分数次极大交换 子在各向异性的齐次m o r r e y - h e r z 空间的有界性，对于一类满足一定尺寸条件 的线性算子的交换子，在各向异性的齐次m o r r e y - h e r z 空间上的有界性也得到 了证明 2 青岛大学硕士学位论文 第一章基础知识及相关理论 在这一章中，首先介绍有关各向异性h a r d y 空间及h e r z 型h a r d y 空间的 一些相关的概念和理论，以及分数次积分算子或c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分 算子及其交换子的有界性结果同时给出齐次各向异性m o r r e y - h e r z 空间的定 义，以及常用的几个基本不等式和插值定理的证明 1 1各向异性h a r d y 空间的基础知识及相关理论 我们这里所说的各向异性h a r d y 空间是b o w n i k 在文献【1 0 】中引入的一 类伴随于非常一般的离散伸缩群的h a r d y 空间，这里称之为离散伸缩群指的是 g l ( r n ) 的一个子群，即 ：七z ) ，其中生成矩阵a 为n n 阶实矩阵，其所 有的特征值的绝对值都大于1 这样的离散伸缩结构来源于小波理论这种空间 既包括了经典舻上的h a r d y 空间，也蕴涵了c a l d c r 6 n 和t o r c h i n s k y 的抛物型 h a r d y 空间b o w n i k 在【1 0 1 中建立了各向异性h a r d y 空间的原子分解理论， 并研究了各向异性h a r d y 空间的对偶空间，同时证明了c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子在日p 空间上的有界性及相关的经典理论此外，b o w n i k 和 h o 2 7 , 2 8 ，2 9 ，3 0 , 3 1 l 在各向异性加权b e s o v 和加权t r i e b e l - l i z o r k i n 空间理论研究上 得到了系列的结果蓝森华1 1 2 】进一步研究了与各向异性h a r d y 空间相关的一 些问题，许多类似的经典结论被证实 、 下面给出各向异性h a r d y 空间的一些基础知识 一个n 扎实矩阵a 称为个扩张矩阵，或称为一个伸缩，如果a 的所有 特征值a 满足 1 设a 1 ，a n 为a 的所有特征值( 按重数计) ，使得1 1 - 记b 为所有关于a 的伸缩球的集合，即 8 = z + 吼：z r n ，k z ) 设u 为满足2 b oc b o = 尻，最小的整数 一个伴随于扩张矩阵a 的齐次拟范数指的是可测映射p a ：r n _ 【0 ，。o ) ，满足 p a ( x ) 0z 0 ， p a ( a x ) = f d e t a p a ( x )z r n ， p a ( x + 可) c a ( p a ( x ) + p ( 矽) )z ，y r n 其中c _ 1 为一常数所有伴随于扩张矩阵a 的齐次拟范数都等价( 见文献 【1 0 】) 定义r n 上由伸缩a 导出的阶梯齐次拟范数p 为 。 水) = 孑耋：孽八 ( 1 ) 设a 一，h 为满足1 a 一 i 入l i l a n i 0 ，使得 c - 1 p ( z ) 1 n a 1 n 6 冬i z i 冬c p ( z ) l * x + 1 曲当p ( z ) 1 ， c - l p ( x ) h a + 1 n 6 i z l c p ( z ) 1 n a 1 n 6当p ( x ) 1 称一个定义在舻上的c o o 复值函数妒属于s c h w a r t z 类s ，如果对所有 的多重指标。和整数m 0 ，有 | i 妒li 口m ：= s u pj d ( z ) 仇l 沪妒( z ) i o 。 z r n 对一个整数n 0 ，记t 轴= 妒5 ：i i ￥, l l a ，m 1 ，对i o t i n ，仇) s 的 对偶空间，即由s 上全体有界线性泛函组成的空间，称为r n 上的缓增分布空 间或广义函数空间，记作对妒s ，后z ，定义妒按尺度k 的伸缩为 妒七( z ) = b - k 妒( a - k x ) 特别地，如果取a = 2 1 ，其中，表示单位矩阵，那么伴随于a 的伸缩就是通 常的各向齐性的二进伸缩 定义1 1 1 1 1 0 l 设，5 7 ，f 关于妒的非切向极大函数定义为 m j ( z ) ：= s u r , i f 掌妒七( 秒) i ：z y b k ，七z ) 4 青岛大学硕士学位论文 定义1 1 2 1 1 0 】对给定的n n u 0 1 ，f 的非切向g r a n d 极大函数定义为 m l v f ( x ) ：= s u p 心，( z ) i p s 定义1 1 3 f 10 】对0 p 1 时，h p ( r n ) = 妒( 舻) 定义1 1 4 1 1 2 】设0 7 1 ，考虑歹= 妒l 。( r n ) ：i 妒( z ) i ( 1 + p ( z ) ) 1 ) 对1 p o 。，f 护( r n ) ，定义极大函数m f ( x ) = m r f ( x ) = s u p ，( z ) 则 妒于 存在常数c = c ( s ) ，使得 i ， ：m r ( x ) a ) i c 半， ，l 1 ( r n ) ，a 0 ， i m f l l p c 寿p ，f 2 ( r ) ，1 p 。0 推论1 1 i 1 0 h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子m ( ，) ( z ) 满足弱( 1 ，1 ) 性，强 ( p ，力性 h e r z 空间在刻画经典h a r d y 空间乘子起着重要作用( 参见【3 2 1 3 3 1 ) ，h e r z 空间理论近十几年受到了相当的关注( 见f 3 4 】等) 受h a r d y 空间理论的启发， 陆善镇和杨大春利用大极大函数定义了一类h a r d y 空间，即h e r z 型h a r d y 空 间，这个大极大函数定义为 g f = s u ps u pl 妒( t ) 幸f ( y ) l ， 妒4 i 耖一x l t 5 第一章基础知识及相关理论 其中a = 妒s 7 ( r n ) ： s u pi 矿d 卢妒( z ) i l ，且n n + 1 许多结果表 i dj ，i 剧 明h e r z 型h a r d y 空间在研究某些奇异积分算子的有界性时是经典h a r d y 空间 的合适替代空间 下面介绍各向异性h e r z 空间及h e r z 型h a r d y 空间的定义及相关应用 定义1 1 5 1 1 2 l对于q r ，0 p ，q o o ， ( n ) 伴随于a 的齐次各向异性h e r z 空间蜡护( a ，r n ) 定义为 砑p ( 4 ，r n ) = ，l ：o c ( r n o ) ) ：l 胛，( a r 。) ) ， 其中 ， 盯峥州= 七曼哪州巳，r ( b ) 伴随于a 的非齐次各向异性h e m 空间叼p ( a ，r n ) 定义为 霸巾( a ，r n ) = ，l ( r n o ) ) ：i i l i k 芋，( ，r n ) o o ) ， 其中 i i ，n 砑气a ，r 。，= “，x b o i l 2 。r 。，+ 蓥胪叩i l ，) ：川乞。r 。，) ； 当p = o 。或q = o o 时，只需作通常的修：i e - 定义1 1 6 【1 2 l 对于o t r ，0 p ，q ， ( a ) 伴随于a 的齐次各向异性h e r z 型h a r d y 空间h 叼p ( a ，r “) 定义为 日西，p ( a ，r n ) = f 5 ( p ) ：m l v f 砖巾( a ，r n ) ， 其中 i l f l l x g 孑，( r n ) = l l m t c f l f 府- g , ，( a r n ) ( b ) 伴随于a 的非齐次各向异性h e r z 型h a r d y 空间日k y ( a ，r n ) 定义为 日k ；p ( a ，r n ) = f 5 7 ( p ) ：m l v f 霹p ( a ，r n ) ) ， 其中 i i f l l h k 孑”( 月，r n ) = i i m n f l i k ；r ( ，1 1 n ) 青岛大学硕士学位论文 当0 p o o ，l q c o ，且0 口 1 一百1 时，有 日爵。p ( a ，r ”) nl 。( r n o ) ) = 砖p ( a ，酞n ) 以及 日霸p ( a ，r n ) n 三口( r n ) = 霸巾( a ，r n ) 对于伴随于a 与p 的另一种类型的分数次积分算子是如下定义的 定义1 1 7 【12 】设t ：s ( r n ) 一( r n ) 为一个连续线性算子，由s c h w a r t z 核定理，存在s s 7 ( p r n ) ，使得 = 对所有，夕5 ( r n ) ( 1 2 ) 设q = ( z ，y ) 舯r n ：z 秒) 称一个分布s 在q 上是正则的，如果 存在一个q 上局部可积函数k ( z ，) ，使得对所有g s ( 舻xr n ) ，s u p p gcq ， 成立 ， s ( v ) = k ( x ，! ，) g ( z ，u ) d z d y ，l 定义1 1 8 【1 2 l 设线性算子t ：s ( r n ) 一( 舻) 为连续线性算子设 0 0 ，使得由( 1 2 ) 式确定的分布s 在q 上正则，核k ( z ，y ) 满足； ( 1 ) 对所有的( z ，y ) q k ( z ，! ，) i c p ( z 一可) 一1 + 口； ( 2 ) 若( z ，可) ，( z 7 ，y ) q ，p ( z y ) 护p ( 一一z ) ，贝4 瞰咖) - 酢川i c 器； ( 3 ) 若( z ，可) ，( 。，矿) q ，p ( z y ) b 知p ( y 一y ) ，则 i k ( z ，可7 ) 一k ( z ，可) l c 石船 在文献【1 0 】中，c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子( 伴随于伸缩a 和拟 范数p ) 被定义成一个线性算子t ，如果它满足定义1 1 8 中当o t = 0 时的 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，并满足 第一章基础知识及相关理论 ( 4 ) r 能扩张成( r n ) 上的有界线性算子，且i i r l i c 如果丁是以k ( z ) 为核的卷积型分数次积分算子，那么定义1 1 8 中的 ( 2 ) ( 3 ) 变为 i g ( x - - 秒) 一k ( z ) l c 器当p ( z ) b 2 p ( y ) 0 作为一个简单的例子， q 次正则度为7 的卷积型分数次积分算子的核可 取k ( x ) = l i p ( x ) 1 - o ，其中0 口 1 , 7 为任意正数 在文献【1 2 】中，可以得到由卷积型分数次积分算子或c a l d e r 6 n - z y g r n m l d 奇异积分算子t 和b m o 函数a ( x ) 生成的交换子【n ，卅的护( r n ) 到l q ( r n ) 有界性，这个结果是c h a n i l l o 3 5 l 和c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w b i s s 【删中交换子的 著名结果在各向异性设置下的变形 定理1 1 2 【1 2 j 设0 口 1 ，1 0 ，使得 i i a ，t ( f ) l l 。c i i a l i b m o i i i i p ， 其中交换子【n ，t 】定义成【n ，明( ，) = a t ( f ) 一t ( a f ) 注t 在整篇文章中，都假设b k = a 七a ，g = 鼠风一1 ，特征函数n = x q ， p ( x ) 是由( 1 1 ) 式定义的拟范数，c 表示不依赖主要参量的常数，它的值在不 同的式子中可能会变化 1 2 各向异性m o r r e y - h e r z 空间的几个不等式 l e b e s g u e 空间上的一些著名的基本不等式已经被我们熟知并广泛应用1 3 7 1 ， 齐次m o r r e y - h e r z 空间是最近两年在多元调和分析研究中提出的一种新的函数 空间，由于齐次h e r z 空间是l e b e s g u e 空间的某种推广p 8 t 捌，而齐次m o r r e y h e r z 空间又是齐次h e r z 空间的某种推广【4 0 ，4 1 1 ，随着各向异性h a r d y 空间及 h e r z 型h a r d y 空间的研究，我们将探讨l e b e s g u e 空间上的基本不等式在各向 异性齐次m o r r e y h e r z 空间上的情形 8 青岛大学硕士学位论文 定义1 2 1 1 18 j 设0 a 0 0 ，1 口 p 。r a ( 上。z 。，i ，( z ) l 口d y ) ； 。， 则称，属于m o r r e y 空间，记为，聊( r n ) 定义1 2 2 【4 2 j 设口r ，0 a ，0 p o 。，1 g o 。，齐次 m o r r e y - h e r z 空间m 霹矿( r n ) 定义为 其中 显然 m 霹矿( r n ) = fel ：o c ( r n ( o ) ) ：j f f l l 肘程( r 。) o o ， i i ，l i 肘程细) ) 2 脞2 州 f k o ( 七：一 2 七叩0 厂圳2 。( r 。) m 霹善( r n ) = 曰p ( r n ) ，m 矗糟( r n ) 2 窖( r n ) 1 p 其中砰p ( r n ) 是齐次h e r z 空间 下面引进各向异性齐次m o r r e y - h e r z 空间，并证明几个不等式 定义1 2 3 设口r ，0 a 0 0 ，0 p o o ，1 q o o ，伴随于a 的 各向异性齐次m o r r e y - h e r z 空间m 霹p 似，r n ) 定义为 其中 显然 m 霹矿( a ，r n ) = ，l i ：o c ( r n o ) ) ：0 ，0 m 程( p ) o o ， o 川k 黜 r 嘲2 妣s u p 旷m ( 互归。风。乙) ) ， b、j ； m 程孑( a ，r n ) = 砰p ( a ，r n ) ， 其中砖护( a ，r n ) 是伴随于a 的各向异性齐次h e r z 空间 定理1 2 1 设口= q l + q 2 ，a = a l + a 2 ，；1 = 击+ 去，；1 = 击+ 击，其中q t r ，丸0 ，1 p ，鼽0 0 ，1 口，口 0 0 ，i = 1 ，2 若，m 霞p 口l - , q a 1 1 ( a ，r n ) ，g m 壤窘( a ，船) ，则 0 厂夕0 m 程矿( a 。r n ) 0 ，0 肘霞p a l , q l - ( ，r n ) 0 夕0 m 庀警奢( a r n ) 第一章基础知识及相关理论 证明 由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y - h e r z 型空间的定义及h s l d e r 不等式，可得 幽慨例警钿a ( 。墨帅划川g 划) ； 从而定理得证 推论1 2 1设o t = ，x 七嵫， 川m 魄未- ( ，r n ) i i g l i m k 署2c a ，r n ) mm 入= = 1i = l 凡，三 p r ，九0 ，1 p ，p i ，1 q ，岱 0 0 ，1 i m 定理1 2 2 m f 茳 q x ( a ，r n ) ，则 mm m l p 1 三，兰：了, n 一1 其中 p i q 鲁吼q 引岬。 五m 硪未( 以，r n ) ，则 l in 刚m 程批r 。) i ii i f , l , m 麟扣删 t = li - - - - i 设n r ，a 0 ，1 p o 。，i q o o ，若，g 0 ，+ g l l m 般0 ( a ，p ) i i i i i m k # ； a ，r n ) + 0 夕l i m 程( a ，r n ) 证明由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y h e r z 型空间的定义及m i n k o w s k i 不等式，可得 l i ，+ 9 0 m 研( 。r n ) 从而定理得证 七= 一0 0 m 程批r n ) 1 0 + 1 1 9 i i 肘程矿( ，p ) 加一哟 u 肌 抄 口 h 扩 、， 一 d 一 - 6 七一一ii旷匡脞 一 矿滢 青岛大学硕士学位论文 推论1 2 2设o r r ，a 0 ，1 p 。，1 q o o ，若 m 砖矿( a ，r ”) ，1 i m ，则 l i f , i i m 船p , q ( 艄。) i i , 1 1 肘矗- ，q 批, a 舯) 1 = 1t = 1 定理1 2 3 设口= q 1 + 口2 ，a = a l + a 2 ，；= 六十石t ，1 + 吉= 击+ 壶，其中o t i r ，九0 ，1 p ，阢，1 口，吼 c o ，t = 1 ，2 若， m 膏p a l , q a l ( a ，r n ) ，夕m - 膏- p a 2 2 , q ， 2 2r , - _ - ，r n ) ，贝0 i i f 幸夕0 m 程( ，r n ) l i ，0 m 魄袅- 似，r n ) 1 1 9 0 m 襁：警( a ，r n ) 证明由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y - h e r z 型空间的定义、y o u n g 不等式及h 6 1 d e r 不等式，可得 1 c o、； o 卜9 1 i m 蝌( a 榔s u p 6 _ m l 七三归 j f x k o 岛l i b o ) = o、百1 s u pb 幽6 幽沁( b k a l p l i l f x k l l 2 , 。) k o e z u = 乙 c o西 i i b k a 2 mi i f x , = l l 器o ：) = i i 川m 霞奢( a r n ) 怕0 f 磷鲁( ，l i t n ) 从而定理得证 同样，伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y h e r z 空间的y o u n g 不等式，对 有限个函数作卷积的情形也成立 1 3各向异性m o r r e y h e r z 空间的插值定理 定理1 3 1设口r ，a 0 ，0 0 1 ，0 p ，1 q 0 ，口1 ，口 0 0 ，：= 等+ 暑，并且t 是一个线性算子，假若 0 丁，i l m 程京( j 4 i t t i ) 岛i i ，i l m 程盎( ，r n ) ， 1 1 第一章基础知识及相关理论 丁，0 m 程宅( a r n ) c 10 ，0 m 程盎( a ，r n ) ， 那么i i t i i m 程( ，r 。) c l l f l l m 程( ，r 。) ，且c = 锑一p 研 证明由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y h e r z 型空间的定义知 t f i l m 黜舢n ) ：c o 榔s u p 旷ml 七三k o 归o a 一呢的) 、石 c 0 1 1 i i m k ；, 盎c a ，r n ) ， l i t 川肘蚴舢一a 泌6 ml 点k o 归o a 刈瞪吼) 、； 运用r i e s z - t h o r i n 插值定理i 删 a m 程盎( ，r n ) ， i i t f l i m k 暑( ，r n ) j c o s u p z 6 一知 四却钟s u pb 一钿a b z c m 程地r n ) ， 州m 川川p ) 州山) l p 从而定理得证 定理1 3 2设口r ，a 0 ，0 0 1 ，0 p o 。，1 q 1 1 ，q 1 2 ，q 2 1 ，q z 2 0 0 ，击= 等+ 老，击= 等+ 老，并且t 是一个线性算子，假若 i i t f l i m k g ：鑫。( a , w 9 刚，l l m 程宅，( a r n ) ， 0 t 州肘程宅。( j 4 ，r n ) 仍l m 程宅：( t r n ) ， 则i i t l l m 程宅( ，r 。) c l l f l l m 程宅( a ，r 。) ，且c 圭研一一谚 证明由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y - h e r z 型空间的定义知 t 刑m 程宅。( a ，r n ) c 1s u p6 一b a 幻z 驯川m 程盎。( a r n ) ， b 脚l l f x 七啄。 坛抓州q 恶一a ( 七墨州l 玩崆毗 岛m 程窃：( j 4 ，r n ) ， 1 2 l p 王 p 、l-、l-、 青岛大学硕士学位论文 运用p d e s z - t h o r i n 插值定理f 4 3 1 ，有 t f l i m k 舢p ) 脞6 。m ( 七邑归p - 甥| l a i i 。p ) 詹o、p 从而定理得证 定理1 3 3 研卅铹s u p6 一k o a k o e z c i i f l i m k g 会t a ，r n ) ， ( 七墨帅刈。、) 七= 一 l p 设刍= 等+ 暑，；= 等+ 暑，口= ( 1 0 ) c t o + 6 n t ，入= ( 1 一口) a o + 弘l ，并且t 是一个线性算子，其中o t i r ，0 ，0 口1 ，0 p ，a 0 0 ，1 口，口i o o ，i = 1 ，2 若 0 丁，0 m 端静( a ，r n ) gl i ，0 m 端静似r n ) ， 0 r ，0 m 磺未- 似，r n ) c 2 1 1 f l l m e ；d 未- ( a j a n ) ， 则i i t f l l f 程( a ，r n ) c i i f l im k ； p ( a r n ) ，且c= 讲埘c ； 证明由伴随于a 的各向异性齐次m o r r e y h e r z 型空间的定义知 c 1 i i f l i m ： 韶# ( a ，r n ) ， 上 p o 切批盼 c ：榔s u p 旷m 1l 七邑归mi i f 融慨) p l 幻、一 由h s l d e r 不等式知 c 21 1fl im ：c ；d 未- ( ，r ”) ， ( t f ) x k i i l 一= ( 厶。i t f ( - v kz ) p 。i t m ) p 如) 9 ( 厶町) 警( 厶( 卅出) 砉 = i i ( t f ) x 七l l l l - 。0 i i ( t f ) x k l i o l 。 1 3 第一章基础知识及相关理论 = = = = = ；= ：= = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = ； 从而由h s l d e r 不等式知， 州m 程矿( a ，r n ) i 脞6 。ml 互泸吲t 小一枷吖波一i 钉) p ) b s u p z6 一硒a ( k 主- - - - ：- - 三o o6 七q 。加i i c 丁，x 七1 1 2 。o ) 了矿 b z 6 一硒a ( k 6 七q 。加o ( 丁，) x 七 ) ：哇b k 唧1i i ( t f ) x 川h l 0 1 m七忸。) 七= 一j = o t 刘蒜怒静( a ，即) i i 丁川乞府器未- ( ，p ) 研一6 0 m 1 - 勰。奢( 舢。) i l ，i 巳辫批州， 由插值空间理论，得 从而定理得证 i i t i i m 稚p ( ，r n ) c i i f l i m k g , 拿c a ，r “) 1 4 青岛大学硕士学位论文 第二章h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子 。 在汐( r n ) 空间上的有界性 这里我们证明h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交换子在护( r n ) 空间上的有界性， 并进一步得到分数次极大交换子的汐有界性结论 2 1 基础知识 这一节71 进各向异性空间的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交换子和分数次极大 交换子的定义，介绍几个有关概念和引理 定义2 1 1设oe b m o ( r n ) ，各向异性空间的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大交 换子和分数次极大交换子分别定义为 尥m ) - s u p 1 + 仇m 一。( 秒) l l f ( y ) i 咖 和 m y ( 垆s 肥u pi 主i 声z + 凤扩。) 其中1 z o o ，詈+ 昙= 1 定义2 1 2设，l k ( r n ) ，定义 ，恸= s u p i n _ f ( , - 昌l , f b i f ( 可) 一c i d y ) 定义2 1 3 设a b m o ( r n ) ，令妒( z ) 0 ，妒5 ，且q o k ( x ) = b - ( a k ) ， 定义 中口，( z ) = s u p i n ( z ) 一口( 可) i 妒七( z v ) l f ( v ) l d y 引理2 1 1 1 4 4 设t 是一个次线性算子，若存在1 口 o o ，使得 i i t f i l l - c l l f l l l ，则对于任意的1 p o o ，有i i t f i l l , c l l f l l p 第二章h a r d y l i t t l e w o o d 极大交换子在l p ( r n ) 空间上的有界性 引理2 1 2 1 4 4 】设丁是一个次线性算子，若i i t f l l o o c i i f l l o o ，则对于任 意的1 p o 。，有l l 丁川p c i i f i i l , 引理2 1 3 1 4 4 1设m ( ，) ( z ) 泸，那么对于p p 0 ，存在一个不依赖于 ，的常数c ，使得 i f (