（电磁场与微波技术专业论文）变电站接地网的有限元分析方法.pdf

华北电力大学硕+ 学位论文摘要 摘要 本文采用一维有限元和三维有限元相结合的标量电位法分析变电站的接地性 能，对于接地网导体部分用一维有限元法处理，对于土壤区域用三维有限元法处 理。引入坐标变换，采用三维八节点的一般六面体单元来描述土壤区域，将x y 面为梯形的一般六面体变换到正方体，得到相应的有限元方程。分析了多层土壤 情况下的接地网的安全性能，反映接地网性能和安全性的接地电阻、地表电位等 因素。通过与华北电力大学电磁兼容实验室计算软件以及实验结果对比，验证了 本文方法的有效性。该方法在保证计算精度的前提下，减少了剖分后的单元数量， 提高了计算速度，能有效的分析了多层土壤情况下的接地网性能。 关键词： 接地网，有限元，接地电阻，地表电位，坐标变换 a b s t r a c t b a s e do n1 一d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o dc o u p l e dw i t h3 。d i m e n s i o n a l f i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ，w em a k eu s eo fv o l t a g e m e t h o do fs c a l a rq u a n t i t yt o a n a l y z et h eg r o u n d i n gp e r f 6 r m a n c e0 ft h es u b s t a t i o n c o n d u c t o rp a r t s0 ft h e g r o u n d i n gg r i da r ea n a l y z e dw i t h1 - d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ，a n dt h e s o i lp a r t sa r ea n a l y z e dw i t h3 - d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o d w ei n t r o d u c e t h ec 0 0 r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，a n du s en o r m a lh e x a h e d r o nu n i t st 0d e s c r i b et h e e a f t ha f e a t h eh e x a h e d r o n ，w h o s ex y p l a n ei sl r a p e z o i d ，i st r a n s f o r m e di n t o c u b i c t h es a f e t yp e r f o r m a n c e0 ft h eg r o u n d i n gg r i da tm u l t i l a y e re a r t ha n dt h e i n n u e n c i n gf a c t o r ss u c ha sg r o u n d i n gr e s i s t a n c ea n de a r t hs u r f a c em e t h o da r e a n a ly z e d c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so ft h ec a l c u i a t i o n sa n dt h ee x p e r i m e n t s f r o mt h ee m co fn o r t hc h i n ae l e c t r i cp o w e ru n i v e r s i t y ，t h ep r e s e n t e dm e t h o d i sp r o v e dt 0b ee f f e c t i v e i tr e d u c e st h en u m b e ro fu n i t sa n ds p e e d su pt h e c a l c u l a t i o no b v i o u s l y t h eg f o u n d i n gg r i dp e r f o r m a n c ea tm u l t i l a y e re a r t hc a n b ea l s oe f f e c t i v e l ya n a l y z e d c h e n1 y h ( e l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n dm i c r o w a v et e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f l ut i e b i n g k e y w o r d s ：g r o u n d i n gg r i d s ，f i n i t e - e i e m e n tm e t h o d ，g r o u n dr e s i s t a n c e ， s u r f a c ep o t e n t i a l ，c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n 华北电力大学硕+ 学位论文摘要 摘要 本文采用一维有限元和三维有限元相结合的标量电位法分析变电站的接地性 能，对于接地网导体部分用一维有限元法处理，对于土壤区域用三维有限元法处 理。引入坐标变换，采用三维八节点的一般六面体单元来描述土壤区域，将x y 面为梯形的一般六面体变换到正方体，得到相应的有限元方程。分析了多层土壤 情况下的接地网的安全性能，反映接地网性能和安全性的接地电阻、地表电位等 因素。通过与华北电力大学电磁兼容实验室计算软件以及实验结果对比，验证了 本文方法的有效性。该方法在保证计算精度的前提下，减少了剖分后的单元数量， 提高了计算速度，能有效的分析了多层土壤情况下的接地网性能。 关键词： 接地网，有限元，接地电阻，地表电位，坐标变换 a b s t r a c t b a s e do n1 一d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o dc o u p l e dw i t h3 。d i m e n s i o n a l f i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ，w em a k eu s eo fv o l t a g e m e t h o do fs c a l a rq u a n t i t yt o a n a l y z et h eg r o u n d i n gp e r f 6 r m a n c e0 ft h es u b s t a t i o n c o n d u c t o rp a r t s0 ft h e g r o u n d i n gg r i da r ea n a l y z e dw i t h1 - d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ，a n dt h e s o i lp a r t sa r ea n a l y z e dw i t h3 - d i m e n s i o n a lf i n i t e - e l e m e n tm e t h o d w ei n t r o d u c e t h ec 0 0 r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，a n du s en o r m a lh e x a h e d r o nu n i t st 0d e s c r i b et h e e a f t ha f e a t h eh e x a h e d r o n ，w h o s ex y p l a n ei sl r a p e z o i d ，i st r a n s f o r m e di n t o c u b i c t h es a f e t yp e r f o r m a n c e0 ft h eg r o u n d i n gg r i da tm u l t i l a y e re a r t ha n dt h e i n n u e n c i n gf a c t o r ss u c ha sg r o u n d i n gr e s i s t a n c ea n de a r t hs u r f a c em e t h o da r e a n a ly z e d c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so ft h ec a l c u i a t i o n sa n dt h ee x p e r i m e n t s f r o mt h ee m co fn o r t hc h i n ae l e c t r i cp o w e ru n i v e r s i t y ，t h ep r e s e n t e dm e t h o d i sp r o v e dt 0b ee f f e c t i v e i tr e d u c e st h en u m b e ro fu n i t sa n ds p e e d su pt h e c a l c u l a t i o no b v i o u s l y t h eg f o u n d i n gg r i dp e r f o r m a n c ea tm u l t i l a y e re a r t hc a n b ea l s oe f f e c t i v e l ya n a l y z e d c h e n1 y h ( e l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n dm i c r o w a v et e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f l ut i e b i n g k e y w o r d s ：g r o u n d i n gg r i d s ，f i n i t e - e i e m e n tm e t h o d ，g r o u n dr e s i s t a n c e ， s u r f a c ep o t e n t i a l ，c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文变电站接地网的有限元分析方 法，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和 取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文：同意学校可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日 期： 华北电力人学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究变电站接地网的重要意义 接地网是变电站安全运行的重要保证，它不仅为变电站内各种电气设备提供一个公 共的参考地，在系统故障时还能迅速排泄故障电流并降低变电站的地电位升，因而接地 网接地性能的优劣直接关系到变电站内工作人员的人身安全和各种电气设备的安全及 正常运行，变电站接地网的接地性能一直受到设计和生产运行部门的重视。 电力系统接地可分为工作接地、防雷接地和保护接地l l j 。工作接地是为了满足电力 系统运行需要的接地，例如为了降低电力设备的绝缘水平，我国在1 1 0 k v 及以上的电 力系统中采用中性点接地的运行方式。在交流系统中，正常情况下流过工作接地极的电 流是几安至几十安的不平衡电流，但在系统发生接地故障时，则会有高达数十千安的短 路电流流过接地极，短路电流的持续时间不长，一般为秒左右。防雷接地是为了消除雷 电过电压危险影响的接地，例如避雷针、避雷线和避雷器的接地。防雷接地只是在雷电 冲击的作用下才会有电流流过接地装置，雷电流值可达数十至数百千安，持续时间为几 十微秒。保护接地是为了防止设备因绝缘损坏带电危害人身安全的接地，例如设备外壳 接地。保护接地只是在设备绝缘损坏的情况下才会有电流流过。 最初的变电站接地系统采用埋设接地网的技术，地网接地体一般采用废钢，但发现 废钢腐蚀过快，接地网一般几年后就失去作用。后来欧美国家采用金属铜作为埋设的接 地体，但是接地引线与地网接地体的连接处腐蚀较快，与采用钢铁作为接地体的使用寿 命等同，现在世界上统一采用镀锌钢材作为接地体，在钢材的选用上都留有腐蚀余量。 接地体的设计也经历了从等间距布置到不等间距，从水平地网到加入垂直极的复合三维 地网的过程。 影响变电站接地网安全问题的因素是多方面的，既有站内的因素也有站外的因素。 这些安全问题不仅包括传统的接地阻抗、地表电位分布、跨步电压和接触电压等老问题， 更有不断出现的更加复杂的新问题。 近年来，随着超高压输电线路的建设以及城市电网改造的大规模进行，在我国变电 站设计和运行中，接地网的安全问题越来越突出。首先，超高压大容量的现代变电站越 来越多，这些变电站的电气设备多且占地面积大，因而其接地网的占地面积远大于普通 变电站接地网的占地面积，故障时接地网上的电位分布不均匀。接地网的接地材料普遍 选用扁钢，加剧了故障时接地网上电位分布的不均匀现象，与设计所期望的等电位分布 产生了明显的差别，致使变电站接地网存在较大的安全隐患。这些隐患不仅包括传统的 跨步电压和接触电压的升高，而且包括设备的安全及正常运行。其次，随着我国城市的 发展，其用电量也在日益增长，需要建设大容量的市内变电站来满足这些集中的用电需 华北电力大学硕士学位论文 求。由于城市的地价比较昂贵，这些变电站通常容量较大但占地面积较小，而且周围存 在很多建筑物、金属管线和公共活动空间。由于接地网占地面积较小，其接地阻抗及地 电位升有可能很高，这不仅对站内电气设备不利，而且由于变电站附近的跨步电压较高， 有可能危及站外的人身安全。 综上可见，我国变电站接地网不仅存在的安全问题多，而且复杂。因此，在设计接 地网时应当尽可能多地将可能影响接地网安全性能的因素考虑进来，这无论是对我国电 力工业的进一步发展还是对其它行业的正常运行均有重大意义。 1 2 接地网的计算方法 1 2 1 传统接地计算方法 我国的接地网设计是依靠中华人民共和国电力行业标准交流电气装置的接地【2 】 的经验公式再结合设计者自身的经验完成的。其中给出了接地电阻、接触电压和跨步电 压等接地参数的经验公式，这些经验公式是基于国内科研工作者近十多年的研究成果。 运用这些经验公式，可以计算均匀土壤中任意形状水平接地网的接地电阻以及矩形接地 网的接触电压和跨步电压。经验公式的优点是物理概念清晰，使用方便，但也存在缺点。 1 行业标准上的经验公式没有考虑土壤电阻率的不均匀性。大型变电站占地面积 很大，故障时故障电流入地较深，深层土壤电阻率对接地网接地电阻影响较大，而经验 公式将土壤视为均匀土壤，可能造成较大的计算误差。 2 行业标准上的经验公式对于形状复杂接地网接地参数的无法计算，例如不规则 的水平地网接触电压和跨步电压的计算，或者带有垂直接地极的复合接地网的接地电 阻、接触电压和跨步电压的计算。 3 行业标准上的经验公式不能计算变电站内任意点的电位，无法分析变电站内任 意点的接触电压和跨步电压，不利于接地网的全面安全设计。 4 行业标准上的经验公式没有考虑电流注入点位置的不同对接地网安全性能的影 响。由于大型接地网为不等电位接地网，电流注入点位置的不同会造成接地网上部地表 面两点间的电位差也不同，从而造成接触电压及跨步电压的不同。传统的经验公式所得 结果与电流注入点位置无关，因而不适于设计大型接地网。 国内接地参数经验公式计算方法的研究仍在不断的取得进展。与国内相比，国外研 究人员在接地网接地参数近似解析计算方面早已开展了广泛而深入的研究。早在1 9 1 5 年ew e n n e r 就提出了土壤电阻率的测量方法【3 l ，这种方法直到现在仍然被广泛使用。 此后，到二十世纪六十年代未，不断有关予接地方面的文献发表，这些文献或者从电磁 场理论分析入手，或者从实验室模型测试入手，得到了简单接地网设计的经验公式和有 指导意义的结论，有些成果至今仍可用于简单接地网的设计。特别需要提到的是，文献 【4 】给出了大量简单接地体接地性能计算的理论公式和近似表达式，其中的一些公式对 2 华北电力大学硕+ 学位论文 现在接地网数值计算方法的发展仍具有重要价值。m e e 变电站安全导则，从1 9 6 1 年公 布起，到现在修订了3 次，经过修订后，接地网的接地参数如接地电阻、接触电压和跨 步电压的解析计算公式的计算精度有很大的提高。 但是，由于这些经验公式所能考虑的影响接地网接地性能的因素非常有限，因而使 用它们设计接地网存在着很大的缺陷。另外，由于当时计算工具落后，虽然从理论上已 经建立了分析简单接地体的方法，但由于计算量庞大，对于复杂接地网分析却难以实现。 在电力工业大发展的时代，传统的变电站接地网设计方法已经越来越不适应复杂条件下 大型接地网的安全性设计要求，其中所推荐的接地参数解析计算公式，以及国内外研究 人员在这一领域取得的研究成果，都只能对较为简单的土壤模型中规则地网进行计算， 而对于复杂土壤模型或形状复杂的接地网，只能应用计算机通过现代电磁场数值计算技 术来模拟计算。 1 2 2 数值计算方法 伴随着电子计算机的飞速发展，数值计算方法只趋成熟，从二十世纪七十年代开始， 使用数值计算方法设计安全性能优越的接地网成为趋势。有很多文献从不同的角度使用 不同的方法对接地网进行了全面的分析。如文献【5 】在实验室中使用模拟测试手段分析 了接地网的接地性能。文献【6 】提出了接地网接地导体的优化布置方法。f d a w a l i b i 研 究组提出了利用w | e 衄e r 法测量获得的数据来反演土壤分层结构的思想【1 3 】，这一思想 为以后大型接地网分析中多层土壤分层模型的确定奠定了基础。后f d a w a i i b i 研究组 将其接地网分析方法逐渐完善，并发表了完善的基于矩量法分析接地网的文献f 1 0 1 。ld g r c e v 利用天线理论建立了接地网的高频分析方法【1 1 】，并使用该方法分析了接地网的瞬 态性能，同时还与实测数据进行了对比。a eo t e r 0 提出了分析接地网的电路模型f 1 6 1 ， 并比较了该方法在接地网瞬态分析中的有效性。ylc h o w 提出了求解多层土壤中电位 格林函数的复镜像法【1 2 j ，这一方法极大地提高了分析接地网接地性能的效率。而用有限 元法、边界元法、矩量法这些电磁场数值计算方法则更多被讨论分析接地网的各项性能。 利用边界元法( b o u n d a 巧e l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 部分科研工作者开发了接地网分析的软 件【7 】【8 】【9 l ，由于在不同土壤层的分界面上需要引入大量电荷变量，导致该方法计算量较 大，而且边界元法在分析接地网的不等电位分布时有较大困难；文献1 4 1 提出了一种可 以考虑接地网电位分布不均匀的接地网电路模型。文献【1 5 ，1 7 1 利用矩量法( m e t h o do f m o m e n t ，m o m ) 分析大型变电站接地网的频域特性，通过与测量结果进行比较，验证了 计算方法的正确性。该方法不仅适用于水平分层、垂直分层和半球形分层土壤结构，还 可以用于复合土壤结构。但对于复合土壤结构，计算过程较为繁琐，且通用性较差。有 限元方法n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 作为一种有效的数值计算方法，分析接地网接地 性能时可以方便地考虑土壤结构、土壤电阻率、地网埋深和电流注入点等各种因素的影 响。文献【1 8 _ 2 1 】初步应用有限元方法分析了接地网的接地性能。其中，文献【1 8 ，1 9 1 3 华北电力大学硕士学位论文 采用三维有限元法，将土壤的分层在建模和材料属性中确定，可方便的考虑多层土壤对 接地网接地电阻的影响。同时，应用有限元法分析地网特性时可将地网自身的电阻率计 入，便于分析地面电位差对二次系统的干扰。文献【2 0 】采用一维有限元和三维有限元相 结合的a - v 方法，其优点是可以考虑频率对接地性能的影响，但是计算代价太高。文 献【2 1 ，2 2 】采用一维有限元和三维有限元相结合的标量电位方法，使得计算量大大降低， 但是均采用规则剖分单元进行计算，使得可以计算的接地网在形状上受到限制。有限元 法用于分析接地网的特性时在很多方面优于其他分析方法。这是因为计算完全以场的形 式进行，从而可以精确模拟实际地网，既可避免离散化地网区域时带来的计算误差，又 避免了由于各种参数的忽略或近似求取带来的计算误差。 国内外在接地网接地性能分析的计算方法、计算软件和实验方法等方面均取得了很 大进展，不但有完善的接地分析软件包c d e g s 和t r a g s y s ，而且有变电站接地网 安全设计的标准，此外美国电力科学研究院( e p r i e l e c t r i cp o w e r r e s e a r c hi l l s t i t u t e ) 发表 了关于接地网接地性能分析的完整报告【2 3 1 。华北电力大学电磁兼容实验室也丌发了接地 网接地性能分析软件。此软件可以在变电站设计阶段即可以通过在对土壤电阻率进行大 范围测试的基础上对土壤电阻率建模，并对接地网安全性能进行分析。 1 3 本文的主要工作 本文依据恒定电流场理论，推导一维有限元和三维有限元相结合的标量电位方法， 建立了变电站接地网电磁场数值计算模型，通过实测数据的对比验证了本文模型的有效 性。本文共分六章，各章的具体内容如下： 第一章分析了我国变电站接地网在运行和设计中存在的一些安全问题，对国内外接 地网分析方法的历史和现状进行了综述，指出了在我国进行变电站接地网频域电磁场数 值计算方法研究的必要性和紧迫性。 第二章综述了有限元分析方法的一般步骤，重点分析了基于恒定电流场理论，采用 一维有限元和三维有限元相结合的标量电位有限元方法，通过分析变电站接地网问题对 应的边值问题，推导出变电站接地网的变分公式，重点分析区域离散，单元插值，最后 推导出有限元公式。 第三章在第二章的基础上，引入了坐标变换的概念，用梯形块作为剖分单元，对梯 形块的剖分单元进行整体坐标系到自然坐标系的变换，构造相应的形状函数，并讨 论等参元的有限元方程。此方法减少了剖分单元数，适用于更复杂的接地网。 第四章为本文方法的试验验证部分，计算了各种理想模型，并将计算结果与华北电 力大学电磁兼容实验室的接地网性能分析软件计算结果进行比较，计算华北电力大学试 验接地网，并与测试结果进行比较，验证了本文计算方法的正确性和有效性。对某2 2 0 k v 实际变电站接地网进行电气性能分析，依据其接地电阻、变电站内地表面各点的电压分 4 华北电力大学硕士学位论文 布，以及其最大跨步电压和最大接触电压的计算结果，分析该接地网的安全性能。 第五章对全文的研究工作做了全面的总结，指出了需要进一步研究的问题。 5 华北电力大学硕士学位论文 第二章有限元法的基本原理及其在接地网计算中的应用 2 1 有限元法的概述 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，它首先在本世纪4 0 年代被 提出，在5 0 年代开始用于飞机设计，后来该方法得到了发展并被非常广泛地用于结构 分析问题中。 有限元法的原理是用许多子域来代表整个连续区域。在子域中，未知函数用带有未 知系数的简单插值函数来表示。因此，无限个自由度的原边值问题被转化成了有限个自 由度的问题，即整个系统解用有限数目的未知系数近似。然后，用里兹变分或迦辽金法 得到一组代数方程组。最后，通过求解方程组得到边值问题的解。用有限元法求解电磁 场问题时，须解决如下几个问题： 1 找出与边值问题对应的泛函及其等价的变分问题 2 将连续域离散成剖分单元之和；将未知的连续函数离散成有限项函数之和，即 将无限个自由度的问题离散成有限个自由度的问题 3 求泛函的极值，离散出矩阵方程 4 用直接法或者迭代法或者优化法求解有限元方程 2 2 接地网问题的描述 2 2 1 恒定电流场原理 用有限元法分析电磁场问题，首先我们要定义边值问题，经典的边值问题可用区域 n 内的控制微分方程和包围区域n 的边界r 上的边界条件来定义，微分方程可表示为 _ ，( 2 1 ) 式中，是微分算符，f 是激励或强加函数，f 是未知量。 用有限元法分析变电站接地网的问题，首先了解接地系统的工作原理，在工程上， 为了接地将金属导体埋入地内，而将系统中需要接地的部分与该导体相连接，这种埋在 地内的导体系统称为接地器，馈电给输电线的星形联接的三相高压变压器，通常其中性 点直接接地，或通过某一电阻接地。这种被称为工作接地的技术措施，使输电线的对地 电压在正常运行状态下将始终稳定在相电压。可以看出，若有一相导线的绝缘损坏，则 发生短路故障，这时，短路电流从绝缘损坏处通过大地和接地器而流至变压器的中性点。 电流在流经大地时遇到的电阻，统称为接地电阻。它包括接地器本身的电阻、接地导线 的电阻、接地器和大地之间的接触电阻，以及两接地器之间土壤的电阻。其中前三部分 的电阻比最后部分要小得多，因此，接地电阻指的是大地电阻。 6 华北电力大学硕士学位论文 严格来说，短路电流将在看作导电煤质的大地中产生感应电动势，但是，由于大地 的电阻率相当大，所以在计算接地器附近的电流时，与有功电压降相比，可将感应电动 势的影响略去不计，而视为恒定电流场问题，变电站接地网相应的边值问题可以由以下 微分方程定义。 对于恒定电流场任意点p ，y ，z ) 处的电位妒满足拉普拉斯方程： v ( 田驴) = o ( 2 2 ) 相应的边界条件如下： 地表面处满足第二类齐次诺曼边界条件 塑：o 咖 ( 2 3 ) 无限远处电位为0 ，满足第一类边界条件，即狄利克雷( d i r i c h l e t ) 条件 驴= 0 ( 2 4 ) 2 。2 。2 变分公式 为了应用变分方法列出有限元方程组，我们首先需要建立所需要的变分原理，变电 站接地网相应的边值问题等价于下列变分问题： r 积( 西) = 0 妒：o 在无限远处 ( 2 5 ) 本文采用一维有限元和三维有限元相结合的标量电位法分析变电站的接地性能，对 于接地网导体部分用一维有限元法处理，式中： f ( ) = 知反警) 2 出 ( 2 6 ) 式( 2 6 ) 的含义是在给定狄利克雷边界条件下，求泛函f ) 的驻点，其中妒在泛函 或残数加权方程中为近似解。 为了证明上面描述的变分公式，我们取f ) 对妒的第一变分 职0 ( 警) ( 警皿 ( 2 7 ) 仃在全域中连续，对上式右边第一项作分布积分后，可得到： 7 华北电力大学硕士学位论文 积( ，卜昙p 祟巾雄+ k 罢却e q 酌 强加驻点条件猡劬) = 0 ，我们得到 r 卜昙p 警巾纰+ 警一。 ( 2 9 ) 因为却是任意变分式( 2 - 9 ) 中的积分和边界项必须全部为零，因此： 一兰p 譬) ；o ( 2 1 0 ) d x 、d x 7、7 仃譬 ( 2 - 1 1 ) 可以得出结论：变分公式式( 2 5 ) 和式( 2 6 ) 的解确实是式( 2 2 ) 一( 2 4 ) 所 定义的边值问题即接地网导体部分的解。( 2 1 0 ) 式为( 2 6 ) 式给出的泛函f ( ) 的欧 拉方程，( 2 1 1 ) 式在求泛函的极大或者极小的过程中自动满足，所以，此条件被视为 自然边界条件。狄利克雷条件( 2 4 ) 式必须被强加上为必要边界条件。 对于土壤区域采用三维有限元法处理，( 2 2 ) 式式中的，) 如下： ，( 妒) = 扭【( 警) 2 + ( 警) 2 + ( 尝) 2 f y ( 2 - 1 2 ) 2 3 有限元分析 对于变电站接地网，本文采用一维有限元和三维有限元相结合的标量电位法分析其 接地性能，在进行有限元分析时分别对于土壤区域采用离散插值的三维八节点规则六面 体单元来描述，接地网导体采用离散插值的一维两节点单元来描述，用里兹法可以得到 有限元方程。 2 3 。1 区域离散和单元插值 为将土壤和接地网导体进行统一离散，用八节点的正六面体对土壤部分离散，用两 节点的线段对接地导体进行离散，确保接地网导体单元与土壤单元的一条棱完全重合， 且节点及其编号一致，如图2 一l ，节点l ，5 ，节点5 ，6 所组成的线段处为接地导体， 与土壤单元的棱完全重合，且保持了节点一致。为了方便理解，对两个部分的有限元方 程的推导分别进行介绍。 8 华北电力大学硕士学位论文 2 7 3 图2 1 土壤和导体结合单元 对接地网导体进行离散，首先假设某段接地网导体长l ，将解域( 0 ，l ) 划分成短 线段的小子域。设z ( e = 1 ，2 ，3 ，m ) 表示第e 个单元的长度，m 表示单元总数。进一 步假设而( i = = l ，2 ，3 ，n ) 表示i 个结点的位置，a0 ，x = l 。如图2 2 所示，单 元和结点均从左到右的顺序编码。 l23m 2m 1m 卜_卜一卜_-卜p l23 x = o 4n 3n _ 2n 1n x 予l ( a ) l _ l2 ( b ) 图2 2 划分为线性单元的一维区域 ( a ) 单元和全局结点编码( b ) 局部结点编码的线性单元 为了与土壤区域的三维情况保持一致，在公式建立的过程中采用局部编码系统。上 标e 表示有关的下标为局部编码，而所有其他量的下标是全局编码，所以局部和全局系 统的关系为 工：一z 。，z ；一石。+ 1( 2 1 3 ) 第二步选择插值函数，选取一维二节点进行线性插值。因此在第e 个单元内，妒 ) 可以近似为 。o ) ；口。+ 。工 ( 2 1 4 ) 每个单元都有两个节点，( 2 一1 4 ) 式在这两个结点处的值，得到： 群0 ) a a 。+ 卢。z ； ) = 口。+ 。工； 9 华北电力大学硕士学位论文 式中，群和辑分别表示o ) 在和z ；处的值。然后解出口。和声。，再将它们带回 ( 2 1 4 ) 式中，得到 妒。o ) 一罗；o ) 筇a 。卢。 舒 ( 2 1 5 ) 式中，吖和；表示插值函数或基函数，记为： 啪) i 舞和啪) - 舞 对土壤部分进行离散，用线性插值的三维八节点规则六面体单元来描述，第一步设 定感兴趣的土壤部分体为v ，再将此体积划分成许多小的六面体单元。我们用一组整数 给所有体单元编号，用另一组整数给六面体单元顶点处的所有结点编号。用6 m 整型 数组疗“，e ) 将单元编码和结点编码联系起来，f 是结点的局部编码，即在想要单元中的 位置，这旱f = 1 ，2 ，8 ，而e 是单元编码，e = 1 ，2 ，3 ，m ，m 表示体单元总 数。在，l “，p ) 中，存储第e 个单元中的第f 个结点的全局节点，这个整型数组包含了与单 元和结点编码有关的所用信息，如下图2 3 ，共有3 个单元和1 6 个结点，数组，l ( f ，e ) 可 写成如表2 1 的形式： 9 1 3 234 8 ( a ) ( b ) 图2 3 ( a ) 三维区域的划分( b ) 三维六面体单元 表2 1 全局结点编码和单元局部编码的关系表 2 7 3 e ，l q p )刀( 2 e )，l ( 3 ，p )，l ( 4 ，p )，l ( 5 ，p )以( 6 ，e )，l ( 7 ，口)刀( 8 ，p ) l126591 0 1 4 1 3 223761 01 1 1 5 1 4 334 8 71 1 1 21 6 1 5 在土壤的无限远处电位为零，可视为狄利克雷强加边界条件，引进整型数组以o ) 来 存储此类结点的全局结点编码，此时f = l ，2 ，表示此类结点的总数。 1 0 华北电力大学硕士学位论文 第二步选择插值函数，在第e 个单元内，妒o ) 可以近似为 。o ，y ，z ) = 口。+ 6 。z + c 。) ，+ d 。z + e 。砂+ ，。垆+ g 。z r + 。工弦( 2 - 1 6 ) 在单元的八个节点上强加( 2 1 6 ) 式，则可以确定上式中的八个系数，再将这些系 数的表达式带入( 2 一1 6 ) 式中，我们可以得到 其中： m 妒) 2 善；z 胼 ( 2 。1 7 ) 吖= 古雠+ 等一z ) 雠+ 等一y ) 伐+ 等一z ) 暖= 专。一z ；+ 等地；+ 等一y ) ( z ；+ 等一z ) 孵一古。一x ；+ 等地一y ；+ 等) ( z ；+ 等一z ) 孵一古“+ 等一z ) ( 罗一罗；+ 等；+ 等一z ) ；一专雠+ 等一坝y ；+ 等一y ) ( z z ；+ 等) 娥= 专。一z ：+ 等渺；+ 等一y 一z ；+ 等) 孵= 古。一石；+ 等炒一y ；+ 等) ( z z 扣等) 孵一专雠+ 等一x 炒一y ；+ 等一z ；+ 等) 其中j i ：和蟛表示土壤单元沿舻各个方向的边长，z ：y ：和z ：为土壤单元的重心 坐标y 。表示单元p 的体积。 但是这个过程很麻烦，用等亚参元有限元法处理相对简单，引入坐标变化，建立局 部坐标和整体坐标的关系，得到局部坐标系下土壤单元的插值函数。 表2 2 局部坐标系单元各个结点的坐标值 e123456 78 xl111一l11 1 y l一1l11一l11 zlll一11111 华北电力大学硕士学位论文 将图2 3 ( b ) 整体坐标系彬变换到局部坐标系筇) ，整体坐标系下各点的坐标为 0 i ) ，z i ) ，且f = 1 ，2 ，8 ，局部坐标系下用重心在( 0 ，0 ，0 ) 的正方体替代，各个 结点的坐标，如下表所示 整体坐标系中运用的规则六面体，考虑到各节点坐标的特殊性，相应的坐标变换如 ( 2 一1 7 ) 式，这个变换关系符合坐标变换两个方面的要求，一是单元中顶点的坐标经过 变化后保持不变，二是单元之间既不互相重叠，也不彼此分离。 匡卜 局部坐标系下土壤单元的插值函数为 2 3 2 里兹方法建立计算公式 j l e 二00 2 办e 0 上0 2 办e 00 上 2 z 。 。 y ： z ： ( 2 - 1 8 ) 孵；吾( 1 鸲a ) ( 1 + 屈) ( 1 ) ，) ( 2 - 1 9 ) 里兹方法也称为瑞里一里兹( r a y l e i g h r i t z ) 方法，它是一种变分方法，其中边值 问题用变分表达式( 也称泛函) 表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分 方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解。 变电站接地网导体部分的泛函可写成 】l f f ( ) = 罗f 。( 。) ( 2 2 0 ) w ) = 簪( 警皿 将上小节求出导体部分的插值函数( 2 1 5 ) 式带入( 2 2 0 ) 式， 导数，得到单元有限元方程，用矩阵形式表示： 警h 卅】 ) - 【删】f 巧= 净警警出 对千辖协网导蚀苗亓：茧元刚府脏f e 柏 1 2 ( 2 - 2 1 ) 然后取f 8 对群的 ( 2 2 2 ) 华北电力大学硕十学位论文 肌孚1 】 变电站接地网土壤部分的泛函可写成： 予删 舻。，= 【群，虻，蝣，蝣，蝣，菇，掰，菇r ( 2 2 3 ) 啄= 孤c 警警+ 警警+ 警警矽y 由于( 2 2 1 ) 式的插值函数是自然坐标的函数，直接计算积分式不是很方便，应用 等参元有限元法求解，系数陋。】的计算步骤与剖分场域的形状无关，即系数阵的计算 步骤完全相同，所以有限元方程的形式与( 2 2 1 ) 式相同，如果把各个单元上节点的局 部编码换成整体编码，就可在各单元分析的基础上进行累加。上一节中已经确定局部坐 标系和整体坐标系的变化关系( 2 1 7 ) 式，将单元系数阵的计算放在局部坐标系中进行。 巧= ，“口；譬等+ 等等+ 警警妒p 删炸粕) 其中j 是雅克比矩阵，它表达了坐标系之间的转换关系 】i 1 3 j i l 。 0o 2 厅f 0 上0 2 。 oo 上 2 嘶 警删 唠一 争裂 k (式o 7 淼争 却龃斛 分程 铴 盼德 r 部方 犯一融瑟一弗犯一卸 砂一把秒一筇秒一即 缸一搬缸一妒缸一即 华北电力大学硕士学位论文 a n ： a x a n ； 砂 a n ： a z ；， a n ： a 口 a n ： a 3 a n ： a y h c ia n ； 2a 口 j l ；a ； 2 筇 h c za n ： 2 a y 右a t ( 1 + 成p ) ( 1 + n y ) i l 。 素屈( 1 + 口，口) ( 1 + ) ，t ) ，) 右n ( 1 + q 口) ( 1 + 屈声) 将式( 2 2 7 ) 式带入( 2 2 6 ) 可方便到单元刚度矩阵k 8 ： ( 2 - 2 7 ) 磊譬a ! ! 半 篡+ 兰! 学k ；! ! 半k 三( 2 2 8 ) 其中： 联= 睇= 暖= ( 2 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 3 1 ) 有了( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 式中给出的单元方程，我们能过组合所有的m 个单元， 然后在对f 强加边界条件，得到方程组： 1 4 1 2 2 ：2 4 1 o 乞以2 乞4 4 4 1 2 2 以2 4 o 2 1 1 4 4 2 以 2 以以o 4 4 乞2 2 乞4 4 1 o 乞2 乞2 4 o 0 1 2 乞 4 4 2乞以2 1 以 4 4 乞2 2 乞o 1 乞o 1 2“以2 4 乞。乞4 2 1 2 4 0 以2 1 以4 4 2 0乞4乞1 2 4 2 1 2 乞4 2 4 4乞乞4以l 2 4 2 1 2 1 o 乞4 2 乞4 o 以。乞4 2 1 2 o 乞2 4 以o 1 2 2 1 2 4 乞以乞4 乞o 4 2以乞2 1 1 2 4 2 o 乞。乞 2 4 4 乞1 2 乞o 2 4 2 1乞。屯o 4 2 乞4 2 1 o 乞4 2 1 2 o 乞。乞 华北电力大学硕士学位论文 等 一薹等 一薹( 盼乏泳研) _ 0 ( 2 3 2 ) 组合时注意，接地网导体一维单元与土壤三维六面体单元的一条棱完全重合，而 且两个单元共享两个节点，如图2 1 。将每一k 品和加到霹( ；，n ( ，可得到最终的 刚度矩阵。 2 3 3 狄利克雷边界条件的强加 最后在准备求解方程组之前，需要强加狄利克雷边界条件，对于变电站接地网的 边界问题即无限远处电位为0 ，注入点处为注入的电压值。对于边界上具有个节点 的一般问题，我们可以将它们的全局节点编码存放在一个向量中删“) ，将妒的确定值 存放在向量p ( f ) 中，设有限元方程的右端项为p ，只要简单的令 ( j ) a p o ) ，以- 0 一k j 朋o ) p a ) 匈一，l d o ) 时 ，1 们 “埘o ) = 1 k ，州( f ) = k 耐o ) ，) 一。 匈疗d ( f ) 时 。、7 此时，有限元方程为： 【k 】桫卜= 妒( 2 - 3 4 ) 其中，f = l ，2 ，p o ) 表示在第f 个节点的给定值，在无限远处为o ，在 注入点处为注入电压值，则很容易实现狄利克雷边界条件的强加。结果，与这些节点 有关的方程可以被删除而不影响方程组的解，通常，这可以大大减小方程组的规模， 因而可以显著地减少计算机处理的时间。 另一种强加狄利克雷边界条件的途径是令 k 。d ( f ) ，d ( j ) 。1 0m ，现耐( j ) 。p o ) 1 0 邢 ( 2 3 5 ) 其中，f = 1 ，2 ，这种途径比前一种途径更简单，更方便，为了强加一个边 界条件，次方法只需要两种改动，一是对角元素的改动，二是已知向量的改动，更重要 的是，这种技巧应用于紧凑形式存储时矩阵方程组，紧凑存储方式可减小内存的需求。 当然，不能像前一种途径，本途径不能删除与边界上结点有关的方程，这是主要的缺点。 2 4 预处理共轭梯度法求解 建立或组合成方程组后，我们可求解方程组得到未知量谚，许多方法可以用来求解 方程组，可分成两类：直接方法和迭代方法。通常，直接方法是基于高斯消元法。从理 论上讲，它们能产生方程组的精确解。相比而言，迭代方法是从一个初始假想值开始， 然后，通过迭代使剩余误差最小。尽管原则上某些半迭代方法能够在有限步的迭代产生 精确解，但是，迭代方法通常能过得到规定精度的近似解。直接方法和迭代方法各有其 1 5 华北电力大学硕士学位论文 优缺点，对它们的选用应根据具体问题而定。 本文采用预处理共轭梯度法求解有限元方程组( 2 2 5 ) 式，设k 为n 阶对称正定矩阵， 为了使对称正定矩阵的住对角线元素均匀化，构造一