（电磁场与微波技术专业论文）区域分解法在电磁问题分析中的应用研究.pdf

摘要 本文在区域分解法已有的数学基础上，从基于l a p l a c e 方程的准静态问题， 到基于h e l m h o l t z 方程的波导传输问题以及基于m a x w e l l 方程的三维散射辐射问 题，系统地探讨了该方法在电磁领域中的应用，为进一步扩展应用研究建立了 理论体系。 论文首先阐述了基于l a p l a c e 方程的松弛迭代s c h w a r z 交替法。然后利用区 域分解法平台，将直线法和有限差分结合起来，用于提取多层介质中具有任意 截面形状多导体互连结构的电磁参数。随过在纯介质区域使用直线法，导体所 在区域使用有限差分法分别进行求解，充分发挥两种方法各自的优越性。由于 在纯介质区域中使用了直线法求解，因此该算法具有计算时间与介质层厚度无 关的突出优越性。同时在直线法中有效地弓l 入了f f t 算法用于进一步提高算法 的计算效率。鉴于实际工程设计需要，还分析了介质层分界面的不平整性对电 磁参数的影响。另外，研究了规则区域上l a p l a c e 方程的f f t 快速算法，作为 应用，结合区域分解法分析了准t e m 传输线。斗 其次，针对h e l m h o l t z 方程微分算子的系数矩阵非正定，基于s c h w a r z 交替 法的迭代区域分解法，在分析波导问题时迭代不收敛的困难，探讨了产生这一 问题的物理本质。( 文中从实际场分布出发，在划分区域的虚拟边晃上给出了连 接子域的吸收虚拟边界条件，并通过引入松弛算法，构建了一种能够用于分析 波导问题的松弛迭代区域分解法。为了充分提高算法的计算效率，研究了规则 区域上h e l m h o l t z 方程的f f t 快速算法，以及有效地将多波前算法引入计算电 磁学领域用于求解差分稀疏矩阵方程。十 最后，阐述了m a x w e l l 方程组和划分区域的d e s p r e s 传输条件的频域差分格 式建立，在截断边界上构造了三维频域m u r 条件的差分近似，探讨了基于频域 有限差分的区域分解法在三维电磁问题中的应用实现，并将该算法用于分析一 种基于n r d 波导结构的漏波天线。 关键词：区域分解法? 频域有限差分法j 直线法，电磁问题 a b s t r a c t o nt h eb a s eo fm a t h e m a t i c a ld o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) ，t h i s p a p e ri n v e s t i g a t e ss y s t e m a t i c a l l yt h eq u a s i - s t a t i cp r o b l e m sb a s e do nl a p l a c e e q u a t i o n ，t h et r a n s m i s s i o np r o b l e m si nw a v e g u i d eb a s e dh e l m h o l t ze q u a t i o n a n dt h et h r e e d i m e n s i o n a ls c a t t e r i n ga n dr a d i a t i o np r o b l e m sb a s e do nm a x w e l l e q u a t i o n s t h et h e o r e t i c a ls y s t e mi sb u i l tf o rt h ef u r t h e re x p l o r a t i o no f d d mi n e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s a tf i r s t ，t h er e l a x e di t e r a t i v es c h w a r za l t e r n a t i n gm e t h o db a s e do nt h e l a p l a c ee q u a t i o ni sd i s c u s s e d t h e nt h r o u g h t h ed d m ，t h em e t h o do f l i n e s ( m o l ) c o m b i n e dw i t ht h ef i n i t e - d i f f e r e n c e 疔e q u e n c y - d o m a i n ( f d f d ) m e t h o di su s e df o rt h e p a r a m e t e re x t r a c t i o no fm u l t i l a y e r e dm u l t i c o n d u c t o ri n t e r c o u n e c t i o n s t h es u b r e g i o n w i t hp u r ed i e l e c t r i cl a y e r si sa n a l y z e db ym o la n dt h ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f t ) i s i n t r o d u c e dt or e d u c et h ec o m p u t i n gt i m e w h i l et h es u b r e g i o nw i t hc o n d u c t o r si s a n a l y z e db yf d f d t ot a k ea d v a n t a g ef u l l yt h es u p e r i o r i t i e so ft h e s et w om e t h o d s a s t h es u b r e g i o nw i t hp u r ed i e l e c t r i cl a y e r si sa n a l y z e db ym o l ，t h ec o m p u t i n gt i m ei s u n r e l a t e dt ot h et h i c k n e s so ft h ep u r ed i e l e c t r i cl a y e r s i nv i e wo fe n g i n e e r i n g ，t h e e f f e c to ft h eu n e v e nd i e l e c t r i cd i v i s i o no nt h ee l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e ri sa l s o i n v e s t i g a t e d t h ef f t o f l a p l a c ee q u a t i o no n t h er e g u l a rd o m a i ni ss t u d i e d a st h e a p p l i c a t i o n ，c o m b i n e d w i t hd d m ，t h ef a s ta l g o r i t h mi su s e dt oc o m p u t ec h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c eo f r e c t a n g u l a r c o a x i a ll i n e s e c o n d l y , t h ep h ) 7 s i c a ln a t u r eo fd i v e r g e n c eo fi t e r a t i v ed d m b a s e do nt h e s c h w a r za l t e r n a t i n gm e t h o di nt r e a t i n gw a v e g u i d ep r o b l e m si s g i v e ni nt h i sp a p e r a l s oa na b s o r b i n gf i c t i t i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n ( f b c ) i sp r e s e n t e dt o g e n e r a t ea n i t e r a t i v ed d mf o rw a v e g u i d ep r o b l e m s t h ef b cf o rc o n n e c t i n gt h es u b d o m a i n so n f i c t i t i o u sb o u n d a r yi s d e v e l o p e da c c o r d i n gt o t h ea c t u a lf i e l dd i s t r i b u t i o ni nt h e w a v e g u i d et oe n s u r et h ep r o p a g a t i o no fw a v e sb e t w e e na d j a c e n ts u b d o m a i n s t h e r e l a x e da l g o r i t h mi si n t r o d u c e dt oi m p r o v et h ei t e r a t i v ec o n v e r g e n c e t h ef f to f h e l m h o l t z e q u a t i o no n t h er e g u l a rd o m a i ni ss t u d i e d a n dt h em u l t i f r o n t a la l g o r i t h m i su s e dt os o l v et h em a t r i xe q u a t i o n si nc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s f i n a l l y , t h ef i n i t e d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t ef o r i l l so fm a x w e l le q u a t i o n sa n dt h e d e s p r e s t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o na l ed i s c u s s e d t h e l l o v e lt h r e e d i m e n s i o n a l f i n i t e d i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o n so fm u r sa b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ea l s o p r e s e n t e di nf r e q u e n c y d o m a i n t h e nt h ed d m b a s e do nf d f di si n v e s t i g a t e di nt h e a p p l i c a t i o n s o ft h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c sp r o b l e m s a n di t i su s e dt o a n a l y z e t h e l e a k yw a v e a n t e n n ab a s e do n i m a g e n o n r a d i a t i v ed i e l e c t r i c ( n r i ) ) g u i d e k e y w o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，f i n i t e - d i f f e r e n c ef r e q u e n c y d o m a i n m e t h o d ，m e t h o do fl i n e s ，e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m - i v - 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 签名：日期：2 口啦年占月占日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：主圭堂 q n 日期：2 0 0 z 年占月6 日 邀子科搜大学撼士论文：区域分瓣法在电磁姆题努辑孛豹敷翅臻究 第一鬻绪论 鑫1 8 6 4 年m a x w e l l i l 】奠定了经爽静毫磁理论弊提交了电磁场营遴麓捧虢数 学描述m a x w e l l 方程组以来，所有的电磁问题都可以归结为m a x w e l l 方程组 在备种边界条件下的解。对予电磁阀题的求解来说，获得封闭形式的解析解并 给如正确的物理解释一童是磷究工作者所向往的最佳结果。然恧，只有一般几 何形状和缩构相对简单的典裂问题才有可能求得严格的解析解【2 _ 5 】。随着科学技 术懿发展，亳磁场奏效控裁耧裂嚣阏题麴磺究已是褥嚣趋重要，现代技术匏诲 多方面都与电磁场有关，复杂电磁系统的分析与综合，以及高频电磁场与复杂 莓牵器福互作用酌分橱与计算，都已成为现钱科技发展豹羹要谈蘧。程逶讯、霉 达、物探、电磁防护以及电磁兼容锋领域中，电磁场的传输、散射和辐射问题 都起着非常重要的作用，有大羹的闯趣需骤做深入细致缝研究。由于研究问题 的大型化粒复杂牲，要获褥封翔形式的姆糖解已经不太可能，就是半髂折驹近 似方法也只能在个别问题中得到有限的应用，唯有数值方法能够较广泛地发挥 痒爆。6 0 年 弋数螽毅萋子微分方程浆毒浆嚣法、差分法1 6 和纂予积分方程麴矩 量法r 7 】为代表的数值计算方法的出现标志糟计算电磁学的到来。随着电子计算机 技零酶迅速发展，经邋毽乔务国学畿冗卡帮魏努力，亳磁场数僮蒗术已成为瑗 阶段电磁理论的踅要组成部分，并得到了广泛的应用。 l 。l 电磁场数值技术概述 电磁场数值技术从最初基于微分方程的差分法、有限元法和基予积分方程 的矩量法发展至今，己出现了许多数值方法，可黻归纳为微分方程类数值方法、 积分方程炎数值方法、模式噬配类方法、射线类方法、统计类方法鄹混合类方 法。后四类方法处理问题具有较强针对性，应用范围较窄，而前两嶷方法在电 磁场数毽诗舞每被广泛使瘸，微分方理类数缓方法墨要有频域蠢隈差分法 ( f d f d ) 、时域有限差分( f d t d ) 、有限元法( f e m ) 和直线法( m o l ) 等；积分方程 类数值方法主要窍矩纛法( m o m ) 、逑秀元法f b e m ) 帮灌域方法( s d 玲簿。 有限差分法是微分方程类数值方法中具有代表性的方法，它最初是于1 9 世 1 第一章绪论 纪末提出的，将其与数值分析联系起来则是在5 0 年代中叶。有限差分方法是以 差分原理为基础的数值方法，它把连续场域的问题变为离散系统的问题，即用 离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解1 8 - 1 3 】，频域有限差分法在推导、建 立场方程方面，较为简单、直观，从而使这种古老而又简单的数值技术具有很 强的生命力，非常适合于复杂截面形状及复杂媒质散射体的分析，几乎可以用 于电磁场工程中的各个方面。时域有限差分法【6 】是电磁问题的时域计算方法，经 过几十年的发展己成为一种简单、直观、通用性强的数值方法，广泛用于电磁 场工程的各个方面【1 4 】。有限元方法的思想提出于2 0 世纪4 0 年代，其开创性工 作是r w c l o u g h 于1 9 6 0 年完成的，7 0 年代初移植到电子工程领域。有限元方 法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法，应用加权余量法中的 g a l e r k i n 方法导出有限元方程的结论，拓宽了有限元方法的应用范围，使其适用 于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题，其程序可以标准 化 1 5 - 2 0 】。直线法 2 1 - 2 3 】作为一种半解析半离散的全波分析方法，它结合了解析方 法和离散方法的优点，不存在基函数选取和谱域技术中相对收敛的问题，具有 简单、高效的特点，是解决平面分层介质问题较理想的一种分析方法。吸收边 界条件的引入拓宽了直线法的应用范围阱。2 5 】，通过引入周期边界条件，有效使 用快速傅里叶变换( f f t ) 和网络分解技术极大地提高了直线法分析平面开域结构 的计算效率2 6 1 。 微分方程类数值方法有一个明显的缺点就是计算单元太多，特别在求解开 放域问题时，为了避免对整个无限域进行求解，需要设置截断边界，而截断边 界一般都要离开物体表面一段距离，才能获得良好的吸收效果，这样就导致了 未知数数量的急剧增加，在求解三维问题时这种现象特别严重。为了缩小计算 规模，许多学者在吸收边界条件上做了大量的研究工作，从最早的s o m m e r f e l d 辐射条件【2 7 】，到采用向外波算子展开而引入的各种精度的m u r 条件【2 ”，l i a o 条 件【2 9 】，以及r a m a h io m 等利用场点的线性组合表示法向偏导数的数值边界条 件【3 0 】等，所有这些吸收边界条件的提出，其最终目的都是希望用较少的网格获 得较好的吸收效果。9 0 年代初，美国加州伯克利大学的k k m e i 教授提出了不 变性测试方程d i ，用于截断边界，使吸收边界和物体表面靠得很近，大大缩小 了计算规模，并且在求解二维问题时取得了成功的应用【3 孤，但在求解三维问题 电子科技大学博士论文：区域分解法在电磁问题分析中的应用研究 时依然存在一些问题。理想匹配层( p m l ) 的提出大大缩小了三维问题的计算规 模，并在9 0 年代得到了迅速发展【3 3 j 。 3 6 1 。但这些方法只能从一定程度上减少计算 量，很难从根本上解决问题。 以矩量法为代表的积分方程类方法，可以处理较广泛的电磁问题。矩量法是 一种将连续方程离散为代数方程组的方法，r f h a r r i n g t o n 在1 9 6 8 年出版的专 著1 3 7 】中，对用此方法求解电磁问题作了全面深入地分析，用统一的观点简单扼 要地介绍了该方法。其基本原理是用基函数和权函数将算予方程等价为一个代 数系统，然后对代数系统进行反演而得到问题的解，这种方法适用于处理任意 形状和非均匀性问题，其计算精度较高，已成为检验其他方法结果是否正确的 标准之一。边界元法是在边界引入有限元思想而产生的方法。谱域方法作为一 种函数变换方法而被广泛用于电磁问题的分析和研究【3 8 4 1 ，全波离散镜像理论 的建立使谱域方法能够更有效地分析平面分层介质问题 4 3 - 4 4 】。 积分方程类方法在实际应用中存在两个突出的问题。一是通过边界导出的方 程不具有一般性，不得不对所处理的问题进行具体推导，这其中g r e e n 函数的求 解是一个很复杂的问题，特别是对于三维分层结构，g r e e n 函数的确定和 s o m e r f e l d 积分的收敛性是需要面对的难点。其二是最终导致的是一个满矩阵， 且可能是病态的，而对满矩阵方程的存储和求解都受到计算机条件的极大限制， 所以往往只能处理电尺寸相对小的问题。近年来，针对这些问题提出了多种改 进方法，例如利用复镜像技术等对分层媒质中的g r e e n 函数进行快速求解【”1 ， 以及快速傅里叶变换( f f l ) 和共轭梯度( c g ) 方法等迭代技术的引入，扩展了应用 范围 4 6 - 4 7 1 ，使计算效率得到了改善。但是，在g r e e n 函数的快速求解中，由于受 采样点选取的限制，分析的问题往往有局限性，而且矩阵的快速算法适应性较 小，也很难完全满足实际应用的需要。 必须指出，各种数值方法的优缺点都是相对的，任何一种方法都是比较适用 于某种特定的情况，但其共同的特点都是需要进一步提高计算效率，以适应实 际复杂大规模电磁问题的求解，而要解决这样的电磁问题，单靠计算机硬件的 发展是远远不够的，必须研究适应性较强的高效计算方法，充分发挥各种计算 方法的优越性，以提高处理实际问题的能力。区域分解法 4 s l 是具有代表性的方 法之一，它是八十年代崛起的新方向，由于该方法能将大问题分解为若干小问 3 第一章绪论 题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题，因此1 9 8 5 年以后研究渐趋活跃，而且已经成为当今计算数学的热门领域。 1 2 区域分解法的发展及特点 区域分解法的思想，最初是由德国数学家h a s c h w a r z 于1 8 6 9 年首次提出 的交替法，其本意是为了借用交替法来论证两个相互重叠区域的和集上l a p l a c e 方程d i r i c h l e t 问题解的存在性。n e u m a n n 注意到这一思想可以用于求解两个相 互重叠区域的d i r i c h l e t 问题，1 8 9 0 年p i e a r d 进一步发展了s c h w a r z 的思想，用 于求解非线性椭圆型偏微分方程，并把算法定名为s c h w a r z 交替法。2 0 世纪3 0 年代苏联数学家基于变分原理阐述s c h w a r z 算法，并推广到弹性力学问题上，其 中尤以s o b o l e v 和m i k h l i n 的贡献最为卓越，有关讨论在m i k h l i n 的专著1 4 卅中进 行了详细介绍。数值s c h w a r z 算法开始较晚，真正认识到s c h w a r z 算法在数值分 析上的潜力是在6 0 年代以后，k m i l l e r 5 0 】是最早把s c h w a r z 方法用于计算的数 学家。那时解矩形区域上的偏微分方程出现一批新算法，如快速傅里叶变换、 交替方向法及基于张量运算的显式解，这些算法对于非矩形域无用武之地。然 而，s c h w a r z 算法可以把复杂区域分解为若干相互覆盖的子区域，在子区域上可 以用快速算法求解，这就增加了人们的研究兴趣。此间，w e m e r , m i l l e r 和m i t c h e l l 等做了许多工作，k m i l l e r 在 5 0 伸还给出了s c h w a r z 交替法的收敛性估计，但 是由于缺乏必要的实现条件，区域分解法的发展还是比较缓慢。随着计算机技 术和并行算法的迅猛发展，s c h w a r z 交替法由于其并行的可实现性，极大地刺激 了研究者的兴趣。我国学者康立山教授在1 9 7 9 年推广s c h w a r z 方法于数值计算 上，并基于混乱松弛法首先提出以s e h w a r z 交替法为基础的异步并行算法口”， 康立山1 5 2 - 5 3 1 与w p t a n g 5 卅应用解的渐进展开，论证了矩形域上p o i s s o n 方程的 s c h w a r z 交替法收敛速度与重叠域的关系。法国g l o w i n s k i 等应用s c h w a r z 算法 加速共轭梯度法，在流体力学计算上取得成功应用。对s c h w a r z 方法作出全新解 释应当归功于法国数学家p l l i o n s ，他巧妙地把s c h w a r z 方法与投影方法联系 起来，从而使复杂的收敛性证明简化为对投影算子的估计【55 。，对于多个区域重 叠的情形，甚至非线性问题的s e h w a r z 方法皆在统一框架下得到处理。对s c h w a r z 电子科技大学博士论文：区域分解法在电礅瓣题分析巾的应用研究 算法的随机解释 5 6 1 ，又把位势理论、布朗运动和s c h w a r z 交替方法联系超来， 极大地撼动了区域分鳃法戆发最。憨之，爨s c h w a r z 算法必基醚戆霪叠型嚣域分 解法，正由于p l l i o n s 的卓越贡献得到了新的认识，成为构造新算法的理论基 础。走了逶合算行诗冀熬霭要，联谖刍羹姓s c h w a r z 算法缮裂发震，w i d l u n d ，蓦 涛、石济民和林掇宝等皆独立提出不同的算法，这些算法可克服交替方法的串 行性，更农利于势移处理。虽然p l 。l i o n s 蛇解释接常重鬟，但经典斡以极大僮 原理为基础的s c h w a r z 算法证明仍来过时，它依然是s c h w a r z 算法收敛性估计的 理论基础。与此嘲融，不凝叠域的区域分裂算法媳获得了巨大的发展，嫩现了 一系列相关算法，如d i r i c h l e t - n e u m a n n 交替迭代( 简称d - n 交替法) ”踟、 m a r i n i q u a r t e r o n i 算法( 简称m q 冀法) i s 7 等。不重叠酝域分解法源予肖限元 予结构方法，有限元两废矩阵若按予结构分解成块结构形状，使用g a u s s 块消去 法就导出容度方程。m d r y j a 在1 9 8 2 年细致讨论了椭圆型方程的察度矩簿方法 阔，o 。b w i d l u n d 阐明了容度矩阵法与d 。n 交替法的关系【s 9 1 。有无肉交点是不 重蹙区域分解法的主要类别，无内交点情形较容易处理，有内交点问题计冀比 较复杂，tfc h a n 6 0 l 建议淤迹平均算子法去处理祷内交意的区域分解诗冀，储 德林f 6 l 】讨论了这一方法的收敛性。值得一提的是：近年来区域分髂算法还出现 了鏊予多承平窆闻分裂发麓起来鹃多拳平宠法嘲这一颓分支，j x l 严l 译镝阐述 了多水平结点基的应用。总之，目前区域分解法仍处于蓬勃的发展阶段。 区域分簿法豹特点是懿计算嚣域分瓣为著予予域，量予域豹形状尽可能规 则，于是原问题的求解转化为在规则子域止的求解。概攒起来区域分解法具有 以下往熹： ( 1 1 能够把大问题划分为若干小问题，缩小计算规模； ( 2 ) 在划分趣则豹子域上，霹黻选择镬瘸熬躲熬挟速算法，魏抉速搂鬃时交 换( f f t ) ，谱方法等； 允诲采用髑部撼一致网格，薅无爨采用整体熬一致鼹格，蒺至各予域上 可以采用不同的离敝方法进行计算，从而便于针对不同的实际问题构建 不网豹混合寅法，充分发撵不同算法豹优越牲，这对予处理复杂瓣惩， 具肖很大的灵活性； ( 4 ) 算法是高度并行黪，辈计笺的主要步骤是农子域内独立避嚣的。嚣越， 第一章绪论 区域分解法很容易实现并行计算，这将极大地提高计算效率。 1 3区域分解法在电磁领域中的应用现状 随着区域分解法理论的发展与完善，其应用已由最初单纯求解偏微分方程 的数学方法逐渐延伸到许多领域。在电磁问题的分析与研究中，以洪伟教授为 首的研究小组，首次利用基于l a p l a c e 方程下有重叠域的s c h w a r z 交替法和非重 叠域下的d - n 交替法，将频域有限差分法和模式匹配法结合起来用于提取多导 体互联结构的电磁参数 6 4 4 ”。】9 9 9 年，vvv e r e m e y 和r 。m i t t r a 结合p m l 以及 频域有限差分法求解了结构复杂、尺寸较大互连结构的电容参数【6 “。由于前期 对区域分解的研究都是基于l a p l a c e 方程展开的，即使针对一般椭圆型偏微分方 程所进行的讨论也并不适用于电磁问题的全波分析，其根本原因是作为二维电 磁全波问题数学模型的h e l m h o l t z 方程，以及三维问题的m a x w e l l 方程的变分二 次型不正定，其解的存在性与唯性得不到保证，从而延缓了它在电磁领域中 的应用进程。9 0 年代初，b d e s p r e s 详细讨论了基于h e l m h o l t z 方程和m a x w e l l 方程的区域分解法 6 7 - 6 9 】，在划分子域的虚拟边界上通过r o b i n 类传输条件保证相 邻予域间的波传播，构建了一种新的迭代区域分解法，保证了解的存在性和唯 一性，从而使区域分解法在分析电磁问题中的应用有了可靠的数学保证。至此 逐渐引起了计算电磁学工作者的关注 7 0 - 7 1 】，yl u 和c ys h e n 结合时域有限元 方法i 捌，分析了二维导体的电磁散射问题，并通过并行计算的过程加以实现。 tc w i k 7 射，s p w a l k e r 和c yl e u n g 7 4 】结合积分方程法，l y i n 7 5 - 7 6 等结合频域 有限差分方法，许峰1 7 7 】等结合时域有限差分方法，b s t u p f e l 结合有限元方法 1 7 8 - 7 9 ，分别分析了二维和三维电磁散射问题。c t w o l f e 等人有效地引入p m l ， 并结合有限元方法求解了微带线1 8 0 1 。而c t s p r i n g 和a c c a n g e l l a r i s 通过在虚 拟边界处匹配边界条件的途径，采用非迭代的方法分析了导波系统【8 ”，其本质 是一种场的级联过程而非真正意义上的区域分解法。 区域分解法在电磁问题分析中的应用起步较晚，许多应用范围尚需深入研 究，因此开发区域分解法在电磁问题求解中的潜力，推动区域分解法在计算电 磁学中的应用研究是很有意义的。 电子科技大学博士论文：区域分解法在电磁问题分析中的应用研究 1 4 本文的研究工作 本文在区域分解法已有的数学基础上，从基于l a p l a c e 方程的准静态问题， 到基于h e l m h o l t z 方程的波导传输问题以及基于m a x w e l l 方程的三维散射辐射问 题，系统地探讨了该方法在电磁领域中的应用，完善了一些算法理论。通过结 合频域有限差分法( f d f d ) 、直线法( m o l ) 以及有效使用松弛算法( r e l a x e d a l g o r i t h m ) 、快速傅里叶变换( f f t ) 、多波前算法( m u l t i f r o n t a la l g o r i t h m ) 等快速 算法，针对些具体结构构建了分析问题的新算法，解决了一些实际问题。全 文共分五章： 第一章首先概述了电磁场中的数值技术，然后介绍了区域分解法的发展及 特点以及在电磁领域中的应用现状，从而引出本文研究工作的内容及意义。 第二章在基于探讨利用区域分解法平台，针对实际问题特点选择合适方法， 来构建高效处理问题的混合方法、以及规则区域上的快速算法在区域分解法中 的应用两方面开展研究，进一步扩展区域分解法在基于l a p l a c e 方程电磁问题中 的应用。文中阐述了基于l a p l a c e 方程的重叠型区域分解法，并引入松弛迭代， 给出了松弛迭代s c h w a r z 交替法。首次利用区域分解法，将直线法和有限差分 结合起来，给出了用于提取多层介质中具有任意截面形状多导体互连结构电磁 参数的新算法【8 2 】。通过在纯介质区域使用直线法，导体所在区域使用有限差分 法分别进行求解，充分发挥两种方法各自的优越性。由于在纯介质区域中使用 了直线法求孵，因此该算法具有计算时间与介质层厚度无关的突出优越性。同 时在直线法中有效地引入了f f t 算法用于进步提高算法的计算效率。另外， 出于实际需要考虑，还研究了介质层分界面的不平整性对电磁参数的影响【8 3 1 ， 对工程设计很有意义。研究了矩形域上l a p l a c e 方程的f f t 快速算法，作为应 用，结合区域分解法分析了准t e m 传输线，计算了矩形同轴线的特性阻抗。 第三章针对h e l m h o l t z 方程微分算子的系数矩阵非正定，基于s c h w a r z 交替 法的迭代区域分解法，在分析波导问题时迭代不收敛的困难，探讨了产生这 问题的物理本质。首次从实际场分布出发，在划分区域的虚拟边界上给出了连 接子域的吸收虚拟边界条件，从而构建了一种能够用于分析波导问题的新的迭 代区域分解法【州。由于区域分解法是各子域上独立求解并反复迭代的过程，因 7 - 第一章绪论 此算法的迭代格式、子域算法和求解方程的方法对提高算法的计算效率是至关 重要的。正因为如此，本文从这三方面分别研究了用于分析波导问题区域分解 的加速算法，从而利用松弛算法构建了用于加快迭代收敛速度的松弛迭代区域 分解法 8 5 , 8 6 】、给出了分析规则区域上h e l m h o l t z 方程的f f t 快速算法【8 7 】、以及 有效地引入多波前算法用于求解稀疏矩阵方程【8 o 】，而且据我们所知，到目前 为止，除了本文和j l i u t 9 1 】的工作外，尚未发现有其它关于将该算法引入计算电 磁学领域的相关报道。 第四章首先分别从m a x w e l l 方程组的微分和积分形式出发，阐述其有限差 分格式以及不同介质分界面上的差分方程的建立，然后在求解区域的截断边界 上构造三维频域m u r 条件的差分近似，在上述基础上对三维区域分解法进行实 现。作为对算法正确性的检验，分析了三维典型结构金属块的电磁散射问题。 最后分析了一种基于n r d 波导结构的漏波天线【9 2 1 ，并与实验结果进行了比较。 第五章作为全文的总结，阐述了本文工作的主要贡献。 电子科技大学博士论文：区域分解法在电磁问题分析中的应用研究 第二章 区域分解法在基于l a p l a c e 方程电磁问题中的应用 2 1引 言 由于区域分解法最初是在基于s c h w a r z 交替法用来论证两个相互重叠域的 和集上l a p l a c e 方程解的存在性的基础上逐渐发展起来的，因此s c h w a r z 交替法 在基于l a p l a c e 方程的准静态电磁问题中获得了较早的成功应用静6 6 1 。该算法是 把计算区域分解为形状尽可能规则的子域，于是原问题转化为在各予域上的独 立求解，相连子域通过连接部分交换信息。正是区域分解算法的这种突出优点， 从而使得人们可以构建多种混合方法处理不同实际问题，以及充分利用一些规 则区域上的快速算法。由此可见，利用区域分解法平台，针对实际问题特点选 择合适方法，本着有利于充分发挥各种方法优越性的思想，来构建高效处理问 题的混合方法、以及研究规则区域上的快速算法在区域分解法中的应用，无疑 对发展区域分解法的应用是有意义的。 本章主要是基于这两点考虑开展了一些研究工作，在已有成果的基础上进 一步扩展区域分解法在基于l a p l a c e 方程电磁问题中的应用。文中简要阐述了基 于l a p l a c e 方程的重叠型区域分解法，并引入松弛迭代，给出松弛迭代s c h w a r z 交替法。首次利用区域分解法平台，将直线法和有限差分结合起来，给出了用 于提取多层介质中具有任意截面形状多导体互连结构电磁参数的新算法。通过 在纯介质区域使用直线法，导体所在区域使用有限差分法分别进行求解，充分 发挥两种方法各自的优越性。由于在纯介质区域中使用了直线法求解，因此该 算法具有计算时间与介质层厚度无关的突出优越性。同时在直线法中有效地引 入了f f t 算法用于进一步提高算法的计算效率。另外，出于实际工程需要考虑， 分析了介质层分界面的不平整性对电磁参数的影响。研究了矩形域上l a p l a c e 方 程的f f t 快速算法，作为应用，结合区域分解法分析了准t e m 传输线，计算了 矩形同轴线的特性阻抗。 9 - 第二章区域分解法在基于l a p l a c e 方程电磁问题中的应用 2 2 l a p l a c e 方程下的松弛迭代s c h w a r z 交替法 区域分解法一般分为重叠型和不重叠型两种，不重叠型相邻予域之间只有 共用交界面，通过交接面上的连续性条件对解进行约束【4 引。重叠型相邻予域之 间有重叠部分，通过所谓的s c h w a r z 交替法来求解。下面首先简要介绍一下经典 的s c h w a r z 交替法旧1 ，它是重叠型区域分裂法的理论依据。考虑三维l a p l a c e 方 程的边值问题 v 2 “= 窘+ 窘+ 窘一。力。q， l “lr = g ( x ，y ，z ) 式中q r 3 为一有界开区域，其边界为厂。设区域q 为图2 - 1 所示有重叠的两个 子区域q1 、q2 之和，o j q = l ，2 ) 的边界和虚拟边界分别记作和巧，则s c h w a r z 交替法可以表述为如下格式：给一初始值u o ，作s c h w a r zf 芋歹t j u 1 ，它们是如下 问题的解 v 2 “：“= 0 ”i “= u ； “，= g ( x ，y ，z ) v 2 “f 1 = 0 “= “一 “1 = g ( x ，弘z ) 序列 “) 收敛于问题( 2 1 ) 的解【5 l 】。 ( x ，y ，z ) q l ( x ，y ，z ) k ( x ，y ，z ) f l k ( x ，y ，z ) q 2 ( 1 ，只z ) e ( x ，y ，z ) f 2 一 i = 0 ，1 ，2 ， 图2 - 1 两个重叠子区域 r 2 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 电子科技大学博士论文：区域分解法在电磁问题分析中的应用研究 为提高收敛速度，在( 2 2 ) 和( 2 3 ) 中引入松弛因子a ( ，= l ，2 ) ，构造如下松弛 迭代s c h w a r z 交替法： v 2 玩件1 = 0( x ，y ，三) q 1 玩”1 = “；( x ，y ，z ) k( 2 - 4 ) 玩= g ( x ，y ，z )( x ，y ，z ) f i k “；“= 科“+ 口l ( w “- u ；) v 2 霹“= 0( y ，z ) e q 2 u 2 ”1 = “：“( x ，y ，z ) ( 2 - 5 ) u 2 “1 = g ( x ，y ，z )( x ，y ，z ) f 2 一k ” 1 = 础“+ 6 t 2 ( 础“一“；) i = 0 ，1 , 2 ， 当0 口， 2 时，序y u u ) 收敛于问题( 2 1 ) 的解【5 。 2 _ 3 结合直线法和有限差分法提取多层多导体互连的电磁参数 多层介质多导体互连结构是微波集成电路( m i c ) 和超大规模集成电路( v l s i ) 中常用的基本单元。随着工艺的发展，集成电路中脉冲信号的宽度越来越窄， 时钟越来越高，对应的频谱分量已进入微波甚至毫米波波段，此时的互连结构 必须看作为分布参数电路，它将引起信号的延时、变形和线间耦合，这可能会 在数字电路中引起逻辑错误。因此为提高电路的可靠性，将这种结构看作一种 特殊的电路元件，并对其进行电磁参数的提取，在设计集成电路时是非常重要 的。 关于多层介质多导体互连结构的电容和电感矩阵的计算前人已做了不少工 作，常见的电磁场数值方法几乎都可用来提取该结构的电磁参数 9 3 蜥】。众所周 知，直线法是分析平面分层介质结构较理想的方法之一1 2 卜2 “，该方法具有计算 量小和节约内存等优点，但在处理有厚度的任意截面多导体问题时很不方便； 有限差分法是具有较强适应性的方法之一，它可以有效地用于解决任意截面多 导体问题，但在分析整个开放结构时，所需剖分的求解区域较大，占用内存多， 无法分析导体较多的结构。针对这一问题，本节利用区域分解法提取多层介质 第二章区域分解法在基于l a p l a c e 方程电磁问题中的应用 中具有任意截面形状多导体传输线的电磁参数。区域分解法的基本思想是通过 对求解区域的划分，将原问题分解为若干个可独立求解且相互作用的子问题， 于是原问题的求解转化为在各个子域上的求解，从而减小计算规模和计算复杂 性。基于这种原理，我们首次将直线法和有限差分法结合在一起，通过在纯介 质区域使用直线法，而在导体所在区域使用有限差分法进行分别求解，充分发 挥两种方法各自的优越性。由于该算法在纯介质区域中使用了直线法求解，因 此它具有计算时间与介质层厚度无关的优越性。为了进一步提高算法的计算效 率，我们在直线法中还有效地使用了快速傅里叶变换( f f t ) 。另外，出于工程实 际需要考虑，针对介质层分界面的不平整性对电磁参数的影响也进行了研究。 2 3 1 分析多层多导体互连结构的区域分解法 到目前为止，高速v l s i 的工作频率仍小于5 0 0 m h z ，因此有效信号的频率 上限小于1 0 g h z ，采用准t e m 模分析已足够精确。图2 。2 为一个一般性的多层介 i = = 一：! 图2 - 2 多层介质多导体互连结构的截面图 质多导体互连结构的横截面，各层介质介电常数不同，各导体的形状也不相同， 导体可放在介质层的交界面上，也可放在介质层中间，这两种情况的处理没有 本质的区别。各介质层的电位函数虬满足l a p l a c e 方程 电子科技大学博士论文：区域分解法在电磁问题分析中的应用研究 ( k = l ，2 ，墨k + i )( 2 6 ) 众所周知，静态场和准静场的幅度与源点和场点的间距成反比，因此离导 体一段距离后场值将很小，用电壁或磁壁作为截断边界引入的误差可忽略，为 便于进