（电磁场与微波技术专业论文）导体内谐振问题分析与探讨.pdf

论文摘要 在导体散射特性分析中，通过电场积分方程或者磁场积分方程来获得导体表 面的电流分布，然后根据电流分布来分析导体的散射场。在用积分方程求解导体 表面电流的过程中，当入射渡频率等于闭合导体处在与其外体形相同空腔的谐振 频率时，就会发生谐振，称为内谐振。 此时我们如果直接用电场积分方程去求解导体表面电流，将不能得到稳定的 电流分布，因而不能求出的正确的散射场 1 2 。因为，此时导体表面的电流由 感应电流和谐振电流两部分组成。谐振电流不产生散射场。只有感应电流才产生 散射场。只有将表面电流中的谐振模式电流有效去除，才能获得外散射场的准确 结果。因此，我们有必要认真研究导体内谐振。 长期以来，内谐振条件下散射特性分析一直受到人们的重视，众多学者提出 了很多有效的方法。m a u t z 和h a r r i n g t o n 提出了将电场积分方程( e f i e ) 和磁 场积分方程( m f i e ) 进行线性组合的混合场积分方程( c f i e ) 法 3 。w o o d w o r t h 和y a g h j i a n 提出了双面磁场积分方程法 4 。s a r k a r 和c a n n i n g 分别提出了基 于电场积分方程的最小范数解法 5 和奇异值分解法 6 7 。曹伟提出的基于积 分方程的双正交模式分析方法 8 g 1 0 。以上各类方法各有其优、缺点和适用 范围。 本文对混合场积分方程法、双正交模法、奇异值分解法的深刻分析，并运用 大量实例进行仿真，总结了各种方法的优点和缺点。 关键词： 内谐振谐振电流散射特性电场积分方程 a b s - i r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tac o n d u c t i n gc a v i t ys u r f a c ec a ns u p p o r ti n t e r i o rr e s o n a n c e a tc e r t a i nd i s c r e t ef r e q u e n c i e s n a m e l y , t h e r ec a ne x i s tr e s o n a n tc u r r e n tm o d e s f l o w i n go nt h ec a v i t ys u r f a c e ，w h i c ha l en o te x c i t e db yt h ei n c i d e n tf i e l d b u tf o ra c o n d u c t i n gb o d y ( n o tc a v i t y ) ，ar e s o n a n tc u r r e n td e n s i t yw i l le x i s to nt h es u r f a c et o o a tt h er e s o n a n tf r e q u e n c i e so ft h ec o r r e s p o n d i n gc a v i t yw i t ht h es a m es u r f a c e t h e p h e n o m e n o no fe x i s t e n c eo fr e s o n a n tc u r r e n to nac o n d u c t i n gb o d yi st e r m e dt h e i n t e r i o rr e s o n a n c e w h e ne f i e l di n t e g r a le q u a t i o n so rh - f i e l d i n t e g r a le q u a t i o n sa l ea p p l i e dt o a n a l y z ea ne ms c a t t e r i n gp r o b l e mo fc o n d u c t i n gb o d i e sa ti n t e r i o rr e s o n a n c e f r e q u e n c i e s ，w r o n gs o l u t i o nw i l lb eg o t i 2 a sw ek n o w , t h ec u r r e n td e n s i t yo nt h e s u r f a c ea td i s c r e t er e s o n a n tf r e q u e n c i e sw i l lb ec o m p o s e do ft w op a r t s ：i n c i d e n t c u r r e n td e n s i t ya n dr e s o n a n tc u r r e n td e n s i t y s oa tt h ei n t e r i o rr e s o n a n c ef r e q u e n c i e s ， t h er e s o n a n c em o d e ss h o u l db e e x c l u d e d ，o rw ec a n tg e tt h er i g h ts c a t t e r i n g p a r a m e t e r s l o t so fs c h o l a r sh a v eb r o u g h tf o r w a r dm a n ye f f e c t i v em e t h o d st or e s o l v ei n t e r i o r r e s o n a n c e p r o b l e m ，s u c h a sm a u t za n d h a l r i n g t o n sc o m b i n e df i e l di n t e g r a l e q u a t i o n ( c f i e ) 【3 】，w o o d w o r t ha n dy a g h j i a n sd o u b l es u r f a c em a g n e t i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o n 4 ，s a r k a r sm i n i m u mn o l t nm e t h o d 5 ，c a n n i n g ss i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n 【6 】【7 】a n dc a ow e i sb i o r t h o g o n a lm o d e s 8 9 1 0 t h em e t h o d s m e n t i o n e da b o v ea r ep o w e r f u la n d e f f e c t i v e ，b u tt h e yh a v et h e i rd i s a d v a n t a g e s r e s p e c t i v e l y i nt h i st h e s i s ，c f i e ，s v d ，a n db i o r t h o g o n a lm o d e sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n d m a n ys i m u l a t i o n sa r ec o n s t r u c t e df o rt h e s et h r e em e t h o d s o nt h eb a s i so ft h ew o r k s a b o v e ，t h ew r i t e rf i n d so u tt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h e m ，w h i c hi sg r e a t u s e f u lt oo u rp r a c t i c ew o r k k e yw o r d s ：i n t e r i o rr e s o n a n c e ，r e s o n a n tc u r r e n t ，e ms c a t t e r i n g ，e f i e ， 南京邮电大学 硕士学位论文摘要 学科、专业：工学电磁场与微波技术 研究方向：电磁场中的数值计算技术 作 者：j 塑堕级研究生 姜成贵指导教师萱堡 题目：导体内谐振问题分析与探讨 英文题目：a n a l y s i so fi n t e r i o rr e s o n a n c eo fc o n d u c t i n gb o d y 主题词：内谐振谐振电流散射特性电场积分方程 k e y w o r d s ： i n t e r i o rr e s o n a n c er e s o n a n tc u r r r e n t e ms c a t t e r i n g e f i e 南京眦 u 人学颂 研究生论义绪论 第一章绪论 1 8 6 4 年m a x w e l l 在总结前人工作的基础上，用数学模型揭示了自然界一切 宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的m a x w e l l 方程。利用m a x w e l l 方程组或其变形形式根据边界条件可得解析解。这种解析方法计算边值问题效 率较高，物理概念清晰。但是解析方法适用范围比较窄，只能求解物体几何形状 比较规则的边值问题。对于不规则形状或者任意形状边界则很难求解，甚至无法 求得解析解。 2 0 世纪6 0 年代以来，随着电子计算机技术的发展，电磁场数值计算方法迅 速发展起来，并得到广泛地应用。相对于解析计算方法，数值方法适用范围大大 增加，可以解决各种类型的复杂问题。但数值计算方法也有自身得缺点，一个复 杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，而且随 着计算精度要求的增加，计算量呈几何级数的增加。 在利用数值方法计算导体散射问题过程中，人们发现当入射波频率等于闭合 导体处在与其外体形相同空腔的谐振频率时，就会发生谐振，这种现象称为内谐 振。 此时我们如果直接用电场积分方程去求解导体表面电流，将不能得到稳定的 电流分布，因而不能求出的正确的散射场。因为，此时导体表面的电流由感应电 流和谐振电流两部分组成。谐振电流不产生散射场，只有感应电流才产生散射场。 因此，只有将表面电流中的谐振模式电流有效去除，才能获得外散射场的准确结 果。因此，我们有必要认真研究分析导体内谐振问题。 1 1 电磁场数值计算方法 电磁场数值求解方法可分为时域方法和频域方法两大类。频域方法主要有矩 量法、有限差分方法等。时域法主要有时域差分技术、时间步进法等。时域法的 引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。本文主要 运用矩量法解决在内谐振条件下导体散射问题，所以只讨论数值方法中矩量法。 高速度、大存储容量计算机的出现使得使用矩量法求解导体散射提问题成为 可能。虽然计算过程中存在一定的近似和阶段误差，但和实际结果却是十分逼近。 南京| l | l i l u 人学倾i ：研究生论文 绪论 同时可以解决解析方法不能求解的许多问题。 其基本思路是，将泛函方程转化为矩阵方程，然后来求解这个矩阵方程。 我们看非其次方程t x = y 。 式中丁是算子，y 是已知激励函数，工是未知的响应函数。如果这个算子丁相 当复杂，则用解析方法求解未知响应函数x 就会相当困难。 用数值方法，在算子丁的定义域定义一组展开函数m ，“：，t , i 。，将未知函数 x 展开 x 口。“。，t u “y ( 1 _ 1 _ 1 ) 同时，在t 的定义域选择一组加权函数，v 。，v ：，方程进行加权，将上 面的方程变为方程组： 写成矩阵形式 ( v ，t u ) = ( v 。，y ) ，m = 1 , 2 ，m ( 1 1 2 ) p 弘= 豆 ( 1 1 - 3 ) 求解这个矩阵方程，就可以得到未知函数x 的解。 j = 【盯后 ( 1 1 4 ) 这里 s 十表示吲的广义逆 1 2 导体内谐振问题 m = n ( 1 1 - 5 ) 矿m n 在导体散射特性分析中，通过电场积分方程或者磁场积分方程来获得导体表 面的电流，然后根据电流求得导体的其他各项散射特性如散射场等。在积分方程 求解导体表面电流的过程中，当入射波频率等于闭合导体处在与其外体形相同空 4 矿t t j r v s s r 。 ，恤遗 一 转 r 阵 p 矩一不表桁 匕 胃这 南京邮i 也人学颅l 研究生论义 绪论 腔的谐振频率时，就会发生谐振，称为内谐振。 此时如果我们直接用由电场积分方程获得的表面电流去求导体表面散射场， 将得不到真实结果。 我们采用矩量法将齐次方程离散化为齐次矩阵方程时，理论上来说对应的矩 量法阻抗矩阵在内谐振频率点上应当是奇异的。由于实际数值计算过程中存在截 断误差，实际上得到阻抗矩阵是具有很大条件数的病态矩阵。因此用数值方法求 电场积分方程的解时，在内谐振条件下将变得非常不稳定。 此时由电场积分方程求得的导体表面电流由感应电流和谐振电流两部分组 成。在后面的分析中我们可以看到谐振电流不产生散射场，只有感应电流才产生 散射场，即谐振电流部分对散射场的产生没有贡献，因而从理论上讲方程的解应 该是唯一的。 假设入射为云1 ，根据边界条件，我们得到巧( 7 ) = p ，o ns 。这里五为电 场积分方程。如果入射场为0 ，如不在谐振频率点，这时的方程解为 7 = 0 。而 在谐振频率下，由于此时算子矩阵矗出现奇异，即有矩阵有零本征值存在，此 时方程巧( 了) = o 将出现非零解，这时的解z 我们称为谐振电流密度。我们需要 知道，z 并不真实存在于散射体上，而是由于我们用矩量法求解方程时，由数 学方法引入的，由此z 并不在散射体周围产生散射场。可知当有入射场p 存在 时，方程的砭f 了) = 自厅解分为两部分，写为了= z + k x y , ，其中了：我们称之为 感应电流密度。因此，我们必须将表面电流中的谐振模式电流有效去除，只有这 样才能获得正确的计算结果。 如果我们单独用磁场积分方程来求解，同样不能求出导体表面正确的电流分 布。 在磁场积分方程方法中，谐振电流了产生外部散射场矛 了，= 疗( 只一玩) = i 豆，o ns ( 1 卜6 ) 这里百，代表s 表面外的磁场，满足 自属= i ( 2 3 - 1 3 ) 南京邮【u 人学f 映i 研究生论史 绪论 疗：代表s 表面内部的磁场，满足 二x 厅= 0( 2 3 1 4 ) 由于s 表面谐振电流的存在，而且谐振电流在导体表面产生散射场，所以利 用磁场积分方程法不能求出唯一的散射场。因此利用磁场积分方程求解处于内谐 振频率点下的导体散射问题并不合适。 长期以来，众多学者提出了很多有效的方法来解决内谐振条件下导体散射问 题。m a u t z 和h a r r in g t o n 提出了将电场积分方程( e f i e ) 和磁场积分方程( m f i e ) 进行线性组合的混合场积分方程( c f i e ) 法 3 。w o o d w o r t h 和y a g h j i a n 提出了 双面磁场积分方程法 4 】。s a r k a r 和c a n n i n g 分别提出了基于电场积分方程的最 小范数解法 5 和奇异值分解法 6 7 。曹伟提出的基于积分方程的双正交模式 分析方法 8 9 1 0 。这些方法都可以有效地剔除了谐振电流，求出唯一、稳定 的结果。在后面几章的中，我们将系统地分析混合场积分方程法、奇异值分解法 和双正交模法，分析比较他们的优缺点。 6 南京川5 l u 人学顺 + 州f 究生论文 混含场积分方程 第二章混合场积分方程 本章在内谐振条件下对电场积分方程和磁场积分方程进行了分析，得出无论 是电场积分方程还是磁场积分方程都不能直接求出导体表面稳定的散射场。后面 运用m a u t z 和h a r r i n g t o n 提出的混合场积分方程( c f i e ) 法 3 对导体内谐振问 题进行了分析，并运用实例进行了分析和仿真，得出混合场积分方程( c f i e ) 可 以求解导体内谐振问题，但是计算过程相当复杂。由于本文所有分析和计算都是 基于矩量法原理，所以首先对矩量法做一个简单介绍。 2 1 矩量法基本原理 矩量法即m e t h o do fm o m e n t ，简称m o m r f h a r r i n g t o n 首先提出将应用在 电磁特性计算领域中，是由是目前电磁场数值计算中比较流行的一种方法 1 。 矩量法的基本思路是将连续方程进行离散化，得到一组离散的方程组，利用已知 的边界条件，求解方程组。 基本原理和思路如下： 根据条件，列出算予方程 t x = y ( 2 卜1 ) 这里丁是积分算子 z 是r 的定义域中的未知函数 y 是丁的定义域中给定的激励函数 在t 的定义域选择一组基函数，“，“：， 将未知函数x 进行扩展得到 x “刚。，a j u 。z y ( 2 1 2 ) 方程含有n 个未知系数，q ，口：，口。，属于欠定方程，没有唯一解。 在h il b e r t 空间定义组内积 ( ，岳) = ，蚕。d q 这里上标“c ”表示复共轭 ( 2 1 - 3 ) 南京| | | i j l u 人学埘| 宄生论文混台场积分方程 第二章混合场积分方程 本章在内谐振条件下对电场积分方程和磁场积分方程进行了分析，得出无论 是电场积分方程还是磁场积分方程都不能直接求! _ h 导体表而稳定的散射场。后面 运用m a u t z 和h a r r i n g t o n 提出的混合场积分方程( c f i e ) 法 3 对导体内谐振问 题进行了分析，并运用实例进行了分析和仿真，得出混合场积分方程( c f i e ) 可 以求解导体内谐振问题，但是计算过程相当复杂。由于本文所有分析和计算都是 基于矩量法原理，所以首先对矩量法做一个简单介绍。 2 1 矩量法基本原理 矩量法即m e t h o do fm o m e n t ，简称m o m r f h a r r i n g t o n 首先提出将应用在 电磁特性计算领域中，是由是目前电磁场数值计算中比较流行的一种方法 】 。 矩量法的基本思路是将连续方程进行离散化，得到一组离散的方程组，利用已知 的边界条件，求解方程组。 基本原理和思路如下： 根掘条件，列出算子方程 t x = y( 2 1 1 ) 这里7 _ 是积分算子 x 是r 的定义域中的未知函数 y是r 的定义域中给定的激励函数 在丁的定义域选择一组基函数，m ，“：， 将未知函数进行扩展得到 x “刚。， = l at u 。“y ( 2 12 ) 方程含有n 个未知系数，口，42 ，一，口。，属于欠定方程，没有唯一解。 在h i i b e r t 空问定义一组内积 ( 夕，亭) = ，季。艘 这吊上标“c ”表示复共轭 这帛上标“c ”表示复共轭 ( 2 1 3 ) 南京邮i u 人学坝1 ：州究生论文混场积分方程 同时，在7 、定义域内选择一组加权函数v ，v ：，v 。，方程进行加权，将上面 的欠定方程变为方程组： n ( v 。t u ) = ( v 。，y ) ，坍= 1 2 - m ( 2 1 4 ) n l 将方程组写成矩阵形式 这里i s 】是复矩阵 吲= 陋扭= 雪 s 1 1毛2 s 2 l $ 2 2 s m i $ m 2 ( 2 1 - 5 ) ( 2 卜6 ) 5 ，= ( ，t u 。) ， m = 1 2 ，m ；n = 1 2 ，n( 2 卜7 ) j 是未知系数向量，而西是已知激励向量。 j = h “，a 。r 豆= y ) ， v x = 驴7 j = d 7 旧+ 百 问题得到解决。 口= 阻，r 8 ( 2 卜8 ) ( 2 卜9 ) ( 2 卜l o ) ( 2 卜1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 - 1 3 ) 哳 南京邮也人学坝l - i j d z 生论义 混合场积分方程 展开函数的形式很多，最简单的是采用脉冲函数作为展开函数。 声。c ，= l ，l 。e 厶。a 。 c z ，一n ， 抛物线展开也是非常常用的方法之一。 只( ，) = 1 7 一l a i 2 另外，还有三角展开等其它展开方法，要根据实际情况选取比较合适的展开 函数。 2 2 电场积分方程 通过下面的理论分析和仿真，我们将会知道在内谐振频率点，当采用电场积 分方程直接求解时，由于非零谐振电流z 的存在，使得矩量法的解不稳定。因 此直接使用电场积分方程求解是不可行的。 2 2 1 电场积分方程理论分析 根据导体s 表面的电场边界条件 卉( 曰+ 矛) = o ，0 1 1s ( 2 2 1 ) 这里卉是沿导体体表囱向外方向的单位法i 贝量。 再根据麦克斯韦方程，得到散射电场 蟊= 一j j 一可由 j = 肛了( ，) g ( f ，) 出 。= 吉l 警k 咖 g ( _ 个姘 得到如下电场积分方程 9 ( 2 2 - 2 ) ( 2 2 - 3 ) ( 2 2 - 4 ) ( 2 2 - 5 ) 书j 陋仉 南京l l l l l i u 大学碘 研究生论义 混含场积分方程 巧( 了) = 自e ，o f s ( 2 2 - 6 ) 于是有 砭( 了) 一膪= 脚i x f 砸) + 可1v 讥叩 g ( 咿) 酬2 2 棚 这晕电流了分为两部分，第一项z 是由入射电场产生的感应电流，第二项z 是与入射电场无关的谐振电流部分。 假如移走入射场e 。，那么散射场豆5 仅仅有谐振电流z 产生，而非谐振电流 分量为零，即 歹= oo ns ( 2 2 - 8 ) 那么在s 表面有： 疋( z ) = o ，0 1 3s ( 2 2 9 ) 此外，由z 产生的散射场豆5 满足h e l m h 0 1 t z 方程和边界条件： v x v x 哥一k 2 矛= 0 ，i n s i d es( 2 2 一l o ) 卉云5 = 0 ，o ns( 2 2 1 2 ) 即谐振电流在导体表面不产生散射场。 我l j j n 道，具有相同表面s 的腔体，在特定的频率点会产生谐振现象。在这 里，导体和同表面腔体的边晃条件相同，电场积分方程也相同，所以方程的解也 相同。也就是说，在特定的频率点实导体的齐次电场积分方程有非零解。即在导 体表面，除了由入射场产生的感应电流z 外，在导体表面还有谐振电流z 存在。 这种现象我们称为内谐振。 在内谐振条件下，非齐次方程( 了) = i 口的解也不唯一。矩阵方程 s 】j = 丘的解也不唯一，此时矩阵 s 】奇异。 事实上，在我们运用矩量法计算的过程中，由于近似和截断误差的存在，矩 阵 s 】并不会严格奇异，此时矩阵高度病态，条件数很大，所以方程的解不稳定。 与腔体情况相似，实导体表面的谐振电流并不会在导体外部产生散射场。所 1 0 南京1 1 | | 5 l u 人学埘| 。训f 究生论文混合场积分方程 以理论上来说，在导体外部的散射场仅仅由感应电流了：产生，而与谐振电流z 无 关，敞射场应该是唯一确定的。在内谐振频率点，虽然谐振电流并不在导体外部 产生散射场，但是由于非零谐振电流z 的存在，使得矩量法的解不稳定。所以 我们不能使用电场积分方程来求解内谐振条件下的导体散射特性问题。 2 ，2 2 电场积分方程实例仿真 例2 1 ，t m 平面波入射到正方形截面的长直导体上，入射方向垂直于导体 面，如图2 - 1 。导体截面边长a 远远小于导体长度，求导体截面电流分布。 图2 1t m 平面波入射到正方形截面的长直导体上 根据边界条件，在导体截面的围线上得到电场积分方程2 2 - 1 3 。 矛= 半和( 石p 2 ( t p 石睁( 2 2 - 1 3 ， 其中豆7 是入射平面波，。是入射波频率，k t 自由空间传播常数，是入射波 的波数，p 和p 分别表示场点和源点的位置矢量，联2 表示第二类零阶h a n k e l 函数。将导体截面的围线均匀分为8 0 段，运用矩量法得到矩阵方程2 2 - 1 4 。 【s 】j = 雪 ( 2 2 - 1 4 ) 求解方程( 2 2 一1 4 ) ，得到导体截面上电流分靠。在内谐振频率点，电流分布 南京邮i u 大学硕i 研究生论文 混台场积分方程 如图2 - 2 图2 2 内谐振条件下导体表面电流分布 从图中看出，此时导体表面感应电流已经被谐振电流淹没。根据前面分析我 们知道谐振电流在导体表面和外侧并不产生散射场。此时如果用图中求得的电流 密度，来计算散射场，将不能得到稳定的结果。因此用电场积分方程直接求解内 谐振条件下导体散射场失效。 2 3 磁场积分方程 通过2 2 节的分析和仿真，我们知道电场积分方程在内谐振条件下，不能求 出唯一而且稳定的电流分布。我们在看看磁场积分方程是否能够在内谐振条件 下，求出唯一稳定的解。 2 3 ，1 磁场积分方程理论分析 根据导体表面磁场边界条件 卉( 牙+ j 孽。) = 了，o n s ( 2 3 - 1 ) 化成 了( f ) _ i x 疗 f ，了( ，) = i x 疗( f ，只露) ，o f is ( 2 3 2 ) 这里疗7 由导体表面源电流7 产生的感应磁场。 2 塑塞些：! 叁兰竺! ：坐塑圭笙苎塑丝坐堕型旦堕! 一 百，是s 表面的散射磁场。 疗2 i 1 ( v j ) = v f i j ( v ) g ( f ，v ) d s = f c v e j ( v ) g ( 7 ，v ) d s ( 2 3 - 3 ) = p ( ，) v c ( v ，) + g ( 7 ，v ) v 了( ，) p = f f 一了( ，) v o ( v ，) p = 肛了( ，) 州g ( f ，v ) a s v 7 ( 芦) = 0v c ( v ，v ) - - 一v g ( y , f ) ( 2 3 - 4 ) 根据导体表面s 上的边界条件 了( f ) 一卉7 5 f ，了( ，) = 再疗。( f ，了，砑) ( 2 3 5 ) 将疗5 带入上面方程 了( f ) 一，l + i r a ，亓f c 7 p ) v g ( f ，) 出= 疗曰( f ，7 。，届7 ) ( 2 3 6 ) 将磁场积分方程写成算子方程形式 ( 了) = h 7 ，o ns ( 2 3 - 7 ) 这旱算子为 ( 了) = 了( f ) 一，l + i r a h 珏了扩) v 7 g ( 7 ，f ) 西7 ( 2 3 8 ) 如果移走入射场厅，那么导体表面s 上谐振电流满足如下齐次方程 ( z ) = o ，o ds ( 2 3 - 9 ) 同样，在某些离散频率点，上面的齐次方程为高度病态方程，方程有不唯一 的非零解。 导体上s 表面内散射场厅5 满足如下h e l m h o l t z 方程和边界条件 在s 表面内部 v x 甲厅5 一2 霄5 = 0 ，i n s i d es( 2 3 - 1 0 ) 在s 内表面上 南京| l i l j f l l 人学帧l 。 i j f 究生论文 混合场积分方程 卉厅= 0 j u s t in s i d es( 2 3 1 1 ) 在磁场积分方程方法中，谐振电流z 产生外部散射场疗5 z = i ( 厅。一霄：) = 卉属，o n s ( 2 3 - 1 2 ) 这里厅，代表s 表面外的磁场，满足 ( 2 3 - 1 3 ) 厅，代表s 表面内部的磁场，满足 矗豆= 0( 2 3 - 1 4 ) 由于s 表面谐振电流的存在，而且谐振电流在导体表面产生散射场，所以利 用磁场积分方程法不能求出唯一的散射场。因此利用磁场积分方程求解处于内谐 振频率点下的导体散射问题并不合适。 因为磁场积分方程不能求出唯一的解，所以这里我们就不对此场积分方程进 行仿真。 2 4 混合场积分方程法 通过2 3 节和2 4 节的分析我们得出，不管是电场积分方程( e f i e ) 法还 是此场积分方程( m f i e ) 法都不能求出在内谐振条件下导体散射特性问题的正确 解，所以我们将两种方法结合起来，使用混合场积分方程法( c f i e ) 3 。2 3 1 节的理论分析和2 3 2 节的实例仿真，说明混合场积分方程法求解内谐振条件下 导体散射问题是可行的，但是实际计算效率不高。 24 1 混合场积分方程理论分析 根据电场边界条件 写成如下形式 j ；x ( p + 豆。) = o o n o rj u s ti n s i d e s ( 2 4 1 ) 一土卉e t ：土i 豆一o no rj u s ti n s i d es( 2 4 2 ) 叩可 1 4 南京t l l l i i u 人学颂1 研究乍论义 混合场积分方程 根据磁场边界条件 写成如下形式 i ( 厅7 + 厅) = o j u s t in s i d es ( 2 4 3 ) 女疗5 = 卉厅j u s ti n s i d es ( 2 4 - 4 ) 将上面电场积分方程和磁场积分方程相加，得到混合场积分方程( c f i e ) 。 一旦 e s 一五曰：生五豆t + 卉霄j u s ti n s i d es( 2 4 - 5 ) r 玎 这里a 是实常数，野是导体特性阻抗 移走入射场，在谐振条件下，上面的混合场积分方程( c f i e ) 化为 竺卉e s + 卉厅s ：0j u s ti n s i d es( 2 4 - 6 ) ，7 上面的齐次方程仅有零解，此时的谐振电流为零z = o 。 证明如f ： 设 磊，t ，a 分别为切线电场自庐，切线磁场自x 伊和外法线方向的单位矢 量。在s 表面上形成直角坐标系，并满足 t 0 = 疗 ( 2 4 - 7 ) 二x p = i e e ，a x a ! = i h h ： 啦4 - 8 ) 因此有齐次混合场积分方程( c f i e ) - - “t f e j + g = 0j u s t i n s i d es ( 2 4 9 ) 两边用方程左边的复共轭相乘 ( 詈二茸。+ 卉霄5 - 卉x e * + 4 x 牙5 = 。 c z 。一t 。， 也就是 ( 竺r n x 豆5 + 卉厅5 ) ( 号( 卉豆5 ) + + ( 五曰3 ) = 。( 2 4 - h ) 得到 塑塞些! 叁兰堕主! ! 壅生笙塞堡宣垄塑坌互! l 可( z ) 冲俐2 + 等小詹) 舭仆。( 2 4 - 1 2 ) 根据矢量公式 石( 石# ) = ( 磊石) 石 2 4 1 3 ( 而计( 自疗5 ) = ( 如引( i x 矿) = ( 蠢引 e f s * x ( 一卉) = ( t f ) 曰| ( _ 最) ( 2 4 。1 4 = 睡霹) 毛晖+ 自h ： ( 一最) = 托引一研) 卜五) 在s 表面进行积分，得到 ( 号 2 l e ( z ) 1 2 + l 研( z ) 卜+ 等r e 旺 皎群( z ) ) ( 。研( 了，) ) ( 一卉) 出= 。 上面方程中，左边第二项代表进入导体内部的能量，所以为零 r ej l ( t 群( z ) ) ( 啊 盯八s 一- - ，) ) + j ( 一卉) 蕊= o 因此，方程左边第一项也为零 j j i ( 号 2 l f ( z ) 1 2 十1 日j ( z ) 1 2 p 2 。 根据电场边界条件 h x 琶3 = f = e = 0o rs ( 2 4 - 1 5 ) ( 2 4 - t 6 ) ( 2 4 1 7 ) 得到 j l 1 研( z ) 1 2 卜= 。 ( 2 4 _ t 8 上面的表达形式适合任意形状表面s ，得到 如研( z ) = i 霄5 ( z ) = 0 j u s t 。u t s i d es ( 2 4 1 9 写成 因为导体内部磁场为零 h x n - - 。s 融( z ) = o t 6 ( 2 4 - 2 0 ) 空皇竺! ! 查兰竺! 型! ! i 圭堡茎 一一j 堡竺望墨竺! ! 兰l 二砩。( z ) = 0 ( 2 4 - 2 1 ) 于是在谐振条件下，根据导体表面磁场边界条件得到 自f 曰o 。( z ) 一n - - 。g 。( z ) = z = o ( 2 - 4 2 2 ) 我们可以看到，此时的谐振电流分量z = 0 。也就是说上面的齐次方程只有零解， 非齐次方程只有唯一解。所以在内谐振条件下，使用混台场积分方程求解导体散 射问题是可行的。 2 。4 。2 混合场积分方程仿真 例2 2 ，我们同样考虑平面波入射到正方形截面的长直导体上，入射方向垂 直于导体面。导体截面边长a 远远小于导体长度，求导体截面电流分布与前面不 同的是此时的入射波既有电场分量又有磁场分量。如图2 - 3 图2 3 入射波垂直方形截面导体入射 在实际计算过程中，我们并不是将电场积分方程和磁场积分方程进行简单的 相加，而是使用加权求和的方法。 c f i e = c t 口e f i e + n 一( z ) m f i e ( 2 4 - 2 3 ) 这罩口取0 到1 之间，一般取0 8 ，这里我们也取口= o 8 。 1 7 南京i l i j d n 大学颂l 。卅究生论文混合场积分方程 口5 口 一 厂 f j l _ 一、 扩 v ： 01 02 d3 04 d 6 0 印7 0 图2 4 混合场积分方程法求得的导体表面电流分布 根据混合场积分方程，我们将导体截面等分为8 0 段，运用矩量法进行处理， 得到矩阵方程 s l j = 豆，直接求解这个方程。得到导体表面电流分布如图2 4 。 从图中可以看出，用混合场积分方程法可以求出导体表面真实的电流分布 情况。因此，用混合场积分方程法求解内谐振条件下的导体散射问题是有效的。 但是，在计算过程中，由于既要计算电场积分方程，又要计算磁场积分方 程，计算量显得比较大，使用这种方法不经济。 因为混合场积分方程法的这一缺点，再加上其它方法的简单、高效，我们 对混合场积分方程法不做过多的研究。 2 5 本章小结 比较电场积分方程和磁场积分方程两种方法，我们看到在内谐振条件下，由 于谐振电流的存在，无论是采用电场积分方程还是磁场积分方程，方程的解不唯 一，都不能求出稳定的唯一的散射场。 利用两种方法所不同的是：通过电场积分方程求解出来的谐振电流实际上并 不在导体外产生场，i i j 磁场积分方程中的谐振电流却能够在导体外产生场，用这 种方法根本求不出唯一的散射场。 也就是说，由电场积分方程求出的解应该总是唯一的，而由磁场积分方程求 出的解在谐振频率点并不唯一。 o ： m 南京邮 u 人学坝j 州究生论文 混合场积分方程 电场积分方程在求解内谐振问题时失效，是因为此时的数值解不稳定。也就 是浇使用电场积分方程求解的得不到稳定解的原因是数值问题，而不是理论问 题。然而，在使用磁场积分方程求解内谐振问题时，不能得到唯一解的原因是在 求解在内谐振条件下导体散射问题的理论方法的失效。 将电场积分方程和磁场积分方程结合起来运用的混合场积分方程，可以求得 内谐振条件下导体表面真实的电流分布。不过这种方法不经济，计算量十分大。 1 9 南京l 雌i u 大学钡 刈f 究生论文奇异值分解法 第三章奇异值分解法 在上一章，我们讨论了使用混合场积分方程求解内谐振条件下导体表面电流 分稚。分析和仿真都说明混合场积分方法是可行的，但是同时考虑电场积分方程 和磁场积分方程，计算量很大，在实际运用中很不经济。在这一章里，我们讨论 用奇异值分解法 6 1 1 7 求解内谐振条件下导体表面电流分布。 3 1 奇异值分解法理论分析 列出导体s 表面的电场边界条件 h x ( 雳+ 豆5 ) = o ，o ns ( 3 1 一1 ) 根据麦克斯韦方程，得到 矛= 一弦j v m 于是，得到电场积分方程 这晕算子疋为 ( 3 1 - 2 ) ( 了) = 影o ns ( 3 1 3 ) 矗( 了) 一i 矛= _ ，掣i 了( 一) + 古v 了( 广) v g ( - ，芦) 出( 3 ，一4 ) 再利用矩量法，得到矩阵方程 p 口= 雪 ( 3 1 5 ) 通常我们设定【s 】为n x n 阶方阵。 如果p 】”i s ，则【s 】称为h e r m i t i a n 矩阵a 这里【s 】”代表【s 】矩阵的共轭转置矩阵， 吲”= s y ( 3 。1 6 ) t 代表矩阵转置，符号代表复共轭。 列出【s 】的奇异值方程 南京i i u 人学坝士研究生论文 奇异值分解法 【s 】巩= 屯巩 这m ，冯，“是【s 】的奇异值，蟊，砚，“是【s 】的特征矢量 对角阵【a 】_ 诫口g a ，五，如】称为【s 】的谱矩阵 p - k ，玩，霸】称为 s 】的模式矩阵 我们可以利用陋 的奇异值将其可以对角化，得到 【u 】。p 】【己，】= 【人 证明如下： 根据特征值方程 【s 】巩= 瓦，”= l ，2 ，n 得到 【s 】【蟊，磁，虱】= 【 玩，丑磁，知巩】 化成 【s 】【u 】= 【u 】f a 】 得到 u - 1 【s 】【u 】= 【a 得到 p 】= u 】 人】【u 】。 s 】” s 】和【s l s ”有如下特性 ( i ) 矩阵 s r s 】和 s 】 s r 都是h e r m i t i a n 矩阵 证明如下： “s 】”【s 】) “= 【s 】( 【s ”) ”= 【s 】 s 】 ( 【s 】【s 】打) 抖= ( s 】8 ) 抒f s 】井= 【s 】【s 】阿 同时矩阵 s 】” s 】和【s 】p 】“都是正定的。 证明如下： 2 l ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 卜l0 ) ( 3 卜1 1 ) ( 3 1 1 2 ) ( 3 卜1 3 ) ( 3 卜1 4 ) ( 3 1 - 1 5 ) 南京邮l 乜大学舰l 研究生论土奇异值分解法 ( 【s 】”p 】巧，玩) = ( s 】玩，【s 】玩) = i i s i , 1 1 2 o ( 【s 】 s ”以，玩) = ( 【s 】”巩，【s 】”玩) = l i e s l ”玩0 2 o ( 2 ) 矩阵【s r s 】和p 】【s r 有相同的奇异值 证明如下： 建立【s r s 】和【s 】 s ”的奇异值方程 h ”瓦= 吒露 p 】【s 】”吃= 一吃 以= 1 ，2 ， 得到 s 】”( p 】【s r 吃) = 彰p r 见 【s r s 】( p r 吃) = ( p 】“死) 对比方程 【s 】” s 炉】”见) = 一( 【s 】”或) 和方程 吲”【s 】露= 吒吒 得到 【s 】”吃= 吒( 3 1 2 4 ) o - 2 吒 疗= 1 ，2 ， ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) ( 3 1 - 1 9 ) ( 3 1 - 2 0 ) ( 3 1 - 2 1 ) ( 3 卜2 2 ) ( 3 卜2 3 ) ( 3 卜2 4 ) ( 3 1 - 2 5 ) ( 3 ) p 】“ s 】和【s j s ”的奇异值盯，盯：，盯。，都是实数且是正定的 证明如下： 吲” s 】吒= 吒，n = l 州2 一，n ( 3 1 2 6 ) ( 【s 】“ s 】露，t ) = ( 吒吒，吒) = 瓴，吒) = 慷1 1 2 ( 3 1 2 7 ) 南京邮l 乜大学坝f 研究生论文 奇异值分解法 ( 吖 s f o ，吒) = ( e ，i s “i s i s ) = ( e 一，_ j ，) = ( 露，吒) = 训珊( 3 卜2 8 ) = 一，h = 1 ，2 ， 因此口l ，口2 ，盯是实数 根据 ( i s 1 s 】吒，吒) = 吒2 ( 3 1 2 9 ) ( i s 1 s k 吒) = 叶o ( 3 1 3 0 ) 得到q ，0 2 ，盯是非负的。 根据前面设定【s 】是j n 阶矩阵，吒和吃是n x l 阶向量， 【s 】吒= 一r ( 3 卜3 1 ) 【s r 见= 心吃 ( 3 1 3 2 ) 以叫做( s 】的奇异值，吒是 s 】的右手特征矢量。 皿，是【s 】的左手特征矢量。 根据上面得到 【s 】”【s 】吒= ：露 ( 3 。1 33 ) 【s