（电磁场与微波技术专业论文）微带结构二维空域green函数的全模算法.pdf

删| | | | j | | | f | 川| | | | l | | | l | f f j | f 【y 17 5 4 4 苓： f u l lm o d ea l g o t h mo f2 d s r 姐i a lg r e e n sf u n c t i o n sf o ra m i c r ost 对pst r u c t u r e ad i s s e r t a t i o ns u b m i 蚀砸t o s o u t h e a s tu n i v e r s i 锣 f o rt h ea c a d e m i c d e g r e eo f m a s t e ro f e n g i n e e r i n g b y g ez h e n t i n 2 一 s u p e r v i s e db y p r o f e s s o rz h o u h o u x i n g s c h o o lo fi n f o m a t i o ns c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g s o u t h e a s tu n i v e r s 埘 j a n u a 巧2 0 l o 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 研究生签名： 琏日期：迦丝! 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的 内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅， 可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理。 研究生签名：j 吞堪导师签名：巡日期 p t - tl 2f ， f ，f _ ，i ，“、 j 、 t ；等。 一 摘要 摘要 矩量法是对分层媒质进行建模的有效方法之一。在用矩量法进行全波数值分析时， 分层媒质空域g r e e n 函数是一个重要的基础。由于分层媒质几何结构的特殊性，易于 获得闭式的谱域陆e n 函数，而空域骶e n 函数是谱域骶e n 函数到空域上的反演，它 通常被表示为s o i n m e 疵l d 积分。这是一个高震荡的积分形式，直接对它进行数值计算 是非常耗时的，这是采用矩量法分析分层媒质电路结构的一个瓶颈。实际应用中有许 多问题可以简化为二维问题来处理。正是由于这个原因，二维分层媒质空域m e n 函 数的计算也受到计算电磁学界的关注。本文的工作定位在微带结构二维空域陆e n 函 数的精确、有效计算上，实现了微带结构二维空域觚e n 函数的基于最陡下降路径的 全模算法( s d p f l 触旧。该算法的基础是能精确定位微带结构二维谱域g h e n 函数的全 模式极点。本文提出了针对微带结构二维谱域啡e n 函数的局部t a y l o r 级数展开法， 结合自适应分区方案，能够实现微带结构二维谱域研e e n 函数全模式极点的精确、快 速定位。基于这个算法，文中又实现了微带结构二维空域骶e n 函数的基于最陡下降 路径的快速全模算法( s d p f l 伽旧的计算。最后本文将得到的二维空域g r e e n 函数应用 于基于混合位积分方程的矩量法分析中。本文的主要工作概括如下： 第一部分：实现了微带结构二维谱域c h e n 函数全部极点的精确、快速定位。谱域 g r e e n 函数极点的精确定位一直是非常困难的。最近出现了针对微带结构三维谱域 g r e e n 函数的局部1 a y l o r 级数展开法，能够精确、快速地定位微带结构三维谱域g h e n 函数的全模式极点。受这个方法的启发，本文提出了针对微带结构二维谱域骶e n 函 数的局部t a y l o r 级数展开法，并设计了一个自适应分区方案，能够精确、快速地定位 微带结构二维谱域g r e e n 函数的全模式极点。文中提供的数值例子验证了该方法的正 确性和有效性。 第二部分：实现了针对微带结构二维空域陆e n 函数的基于最陡下降路径的快速 全模算法。空域g r e e n 函数是谱域g r e e n 函数到空域的反演，被表示成s o m m e 疵l d 积 分。s o u 1 1 e r f e l d 积分的被积函数是高震荡、慢衰减的，致使直接积分非常耗时，甚至 无法完成数值计算。根据复变函数论的c a u c h y 定理，可以在适当的变形路径上完成 东南大学硕士学位论文 s o m m e 彘l d 积分。最佳变形路径就是所称的最陡下降路径。原s o m m e r f e l d 路径变形为 最陡下降路径的过程要捕获所有的表面波极点和漏波极点，因而必须追加这些极点的 留数贡献。所有这些极点的定位可由第一部分的算法快速完成，从而使沿最陡下降路 径计算s o n h n e r f e l d 积分成为可行。文中提供的数值例子验证了该方法的正确性和有效 性。 第三部分：将本文提出的空域c h e n 函数的计算方法应用于基于电磁场积分方程 的矩量法中。众所周知，s o m m e r f e l d 积分的直接数值计算方法是很受限的，即当场点 与源点间的距离较大时，积分收敛的非常缓慢，甚至无法完成。此外，著名的离散复 镜像法也同样受到这样的限制。本文采用的基于最陡下降路径的快速全模算法能够突 破这个限制，因此将基于最陡下降路径的快速全模算法与基于电磁场积分方程的矩量 法结合能够分析大的导带和导带阵列。文中给出了直接法与基于最陡下降路径的快速 全模算法的比较算例，并提供了矩量法分析大导带和导带阵列的散射问题的算例。文 中提供的数值例子验证了该方法的正确性和有效性。 关键词：二维微带结构、空域骶e n 函数、谱域骶e n 函数、极点定位、基于最陡下 降路径的快速全模算法、电磁场积分方程j 矩量法 i i a bs t r a c t t h em e t h o do f m o m e n t s ( m o m ) i so n eo ft h em o s tp o p u l a rm e m o d si na i l a l y z i l l gt 1 1 e e l e c 仃0 m a 印e t i cs c a 位e r i n gp r o b l e m s w h e nm o mi sl l s e dt 0a n a l y s i s l el a y e r e dm e d i a m o d e l ，s p a t i a l - d o m 咖( h e n sn m c t i o n si st h ek e yo f 1 ec a l c m a t i o n d u et 0t h es p e c i a l g e o m e 仃y 咖c t u r eo fl a y e r e dm e d i a s p e c 仃a l d o m a i nq e e n s 劬c t i o i l sc a i lb ed e d u c e d e 嬲吼t h e n ，s p a t i a l - d o m 血骶e n s 触c t i o n sc a l lb ee x p r e s s e da sas o m m e 疵l di n t e 盯a lo f s p e c t r a l - d o m a i l l 觚e n s 矗m c t i o n s s o n u n e m l di n t e 铲a li sas p e c i a l 硫e 铲a l 、i t h1 1 i 曲s h o c k a n ds l o wc o n v e 玛e n c e s o ，也el l i 曲t h e - c o l l s u 玎血gc a l c u l a t i o no fs o 衄n e r f e l di 1 1 t e 掣a l b e c o m e sac h o k ep o h no fm o m a 僦y s i s w 池也ed e v e l o p m e n to ft e c h l l o l o g y ，m o r e 廿1 r e e 曲n e 郴i o i l a lp r o b l e m sc a nb es i i n p l i f i e dt 0t 、0 ( 1 i m e n s i o i l a lp r o b l e m s b e c a u s eo ft h e r e 嬲o i l sa b o v e ，n o wm a l l y 、0 r kf o c u s0 nt h ec a l c u l a t i o no f t w o d 妇e n s i o l l a ls p a t i a l d o m a 虹 g r e e n sm n c t i o n s ht h i sp a p e ran e we 舵c t i v em e n l o d w m c hb 嬲e so ne 街c i e n ta n d a c c u r a t el o c a t i o no fa l lp o l e so f2 ds p e 洲一d o m a i ng r e e n s c t i o n s ，i s p r o m o t e dt 0 c a l c u l a t e2 ds p a t i a l d o m 如债e e n sf u n c t i o n sf o r1 1 1 i c r o s t r i p 咖c t u r e t h ei d e ao f 也en e w m e m o di st 01 0 c a t ea l lp o l e so f2 ds p e c t r a lg t e e n s 缸删0 1 1 sb yl o c a l1 a y l o re x p a i l s i o nw 曲 a d a 砸v ep 洲t i o l l i n ga l g o r i t l l m s b a s e d0 nt l ：屺、o r k ，廿1 es d p f l a mi su s e dt oc a l c u l a t e s p a t i a l d o m 咖2 dg r e e n sf b n c t i o n sf o rm i c r o s t r i ps 仃u c t u r ei 1 1t l l i sp a p e r b e s i d e st h i s ，t h e c a l 砌a t e ds p a t i a l - d o m a i n 研c e n s 缸l c t i o ni s a p p l i e di nm o mb a s e do ne l e c 仃o i n a 皿e t i c f i e l di n t e g r a le q u a t i o n t h em a i n 、r ko ft 1 1 i st h e s i si sl i s t e d 弱f o l l o w s ： t h ef i r s tp a r tl o c a t e sa l l p 0 1 e so f2 ds p e c t r 2 l 1 d o m a i ng r e e n sf h i l c t i o n se 妇丘c i e n n va i l d a c c u r a t e l y i na1 0 n gt i m e ，e m c i e ma n da c c u r a t el o c a t i o no fa l l p o l e so fs p e c 仃a 1 d o m a i n 研e e n s 胁c t i o n si sa c h a l l e n g i n gp r o b l e m n o wan e wm e t h o d 、v a sp r o 】 i l o t e dt 0s o l v et l l i s p r o b l e mi i l3 ds 饥】c t l l r e h 1t m sp a p e r ，t h en e wi d e ai sa p p l i e dt 0r e s o l v e2 d p r o b l e m w i t l l s 锄ea u s3 ds t m c t u r es i t u a t i o n ，、el o c a t em lp o l e so f2 ds p e c 仃a 1 g r e e n ，s 如n c t i o l l sf o ra 皿c r o 。s t r i ps 仃u c t u r eb ym e 觚so f1 0 c a lt a y l o rs e r i e se x p a l l s i o n d u r i n gt h ep r o c e s s ，a 1 1 a d a p t i v ep a r t i t i o n j n ga l g o r i t h mi su s e dt oa c c e l e r a t e 也ec a l c u l a t i o n n u m e r i c a le x 锄印l e s d e m o n s t ra _ t et h ee m c i e n c ya i l da c c u r a c yo ft 1 1 i sm e t h o d t h es e c o n dp a r td i s p l a y st h ec a l c u l a t i o no f2 ds p a t i a l d o m a i n ( h e e n ，s c t i o n sf o r m i c r o 。s t r i ps t n l c t u r e s p a t i a l d o m a i ng r e e n sn m c t i o n sc a nb ee x p r e s s e da sas o m m e r f e l d i n t e 缪a lo fs p e c t r a l d o m a i ng r e e n sf m l c t i o n s t h ec a l c u l a t i o no fs o m m e r f e l di n t e 鼯a lw h j c h i sas p e c i a li n t e 舒a l 谢mh i g l ls h o c ka n ds l o w c o n v e 玛e n c ei st i m e c o n s u m i n ga n de v e nc a l l n o t a c c o m p l i s h a c c o r d i n gt ot h et ：h e o r ) ，o fc o m p l e xv a r i a b l e 向n c t i o n ，t 1 1 es o m m e r f e l d i i i 东南大学硕士学位论文 i n t e 伊a lc a i lb ei n t e g r a t e di nd i f f e r e n tp 砒i nw h i c ht h es d pi s t 1 1 eb e s to n e d u r i i l g 吐1 e p r o c e s so fp a m 臼 m s f o r m a t i o n ，b o t ho fs 耐a c ew a v ep o l e sa n dl e a k y 、v a v ep o l e sm u s tb e l o c a t e da n dc a l c u l a t e dn l e i rr e s i d u e n l e 、o r k sa b o u tl o c a t i n ga l lp 0 1 e s 、 桩c he i l s u r em e s d pi r l t e 擎a 1h a v eb e e nf i i l i s h e di 1 1p a r t1 n u m e r i c a le x a n 叩1 e sd e m o n s t r a t et h ee 箍c i e n c y a n da c c u r a c yo fm i sm e t h o d t h et h i r dp a r ti i lw m c hn l em e t h o do fc a l c u l a t i o no fs p a t i 2 l l - d o m a i l l 研e e n s 觚c t i o n s i s 印p l i e dt 0m o m b 嬲e d0 ne l e c 们m a 弘e t i cf i e l di n t e 砌e q u a t i o n a sw ea l lh o w ，d 硫c t n u m e r i c a lc a l c u l a t i o no fs o 蛐e r f e l di n t e 黟a li sn o ts u i t a b l ef o r l es 讯l a t i o no fl a 玛e d i 咖c e sb e 帆e n 也ef i e l dp o 缸羽ms o u r c ep o 硫b e s i d e st h i s ，恤o u sd c mi sa l s o s u b j e c tt 0s u c hr e s t r i c t i o i l s t h es d p f 【a mp r o m o t e di i l 廿：l i st 1 1 e s i sc a i lb r e a k 也r d u 曲t 1 1 e l j m i t a t i o n 1 k r e f o r e ，m o mb a u s e do ne l e c 们m 姆l e t i cf i e l dm e 伊a le q u a t i o nc o n l b m d 嘶也 s d p f l 创c a i l 锄m y z ea1 a 唱ec o n d u c t i o nb a n da i l d 鲫叼o fc o n d l l c t i o nb a n d n 1 】n 】耐c a l e x a 玎印l e sd e m o n s t r a t e 也ee 伍c i e n c ya n da c c u r a c yo f t l l i sm e t l l o d k e 川o r d s ：2 dn l i c r o s 仃i p 玳，s p a t i a l d o m 咖g r e e n s 缸1 c t i o n ，s p e c t r a l - d o m 咖 g 代e n s 缸嘶0 1 1 s ，l o c a t i o no fa l lp 0 1 e s ，s d p f l a m ，e 1 e c 仃o m 4 弘e t i cf i e l di n t e g 嘣 e q u a t i o n ，mm e m o do fm o m e n t s ( m o 岣 目录 目录 摘要i a b s t r a c t 。 目录、r 第一章绪论1 1 1 研究背景及现状1 1 2 本文的主要工作2 第二章分层媒质二维g r e e n 函数5 2 1 引言5 2 2 分层媒质谱域g r e e n 函数5 2 2 j 分层荣黝制5 2 2 2 蒯匀白学夕糊g 陀e 聆磁6 2 3 分层媒质中的空域g 】陋e n 函数9 2 4 s o 加肥r f e l d 积分1o 2 5 分层媒质的二维空域g r e e n 函数1 1 2 6 本章小结1 2 第三章精确定位谱域g i 也e n 函数的全部极点1 3 3 1 引言1 3 3 2 谱域g r e e n 函数的奇异点分析1 3 3 2 j 黝匀9 乡矽霓点j 3 3 2 2 黝尹黻有j 5 3 3 微带结构二维空域格林函数1 5 3 3 j 缴劳绣搿删j 5 东南大学坝士学位论文 3 3 2 空域g r e e n 函数表达式1 6 3 4 谱域g r e e n 函数的数学变换1 8 3 。4 1特性方程1 8 3 4 2 勇毖弓等檄j 9 3 5 寻根算法2 0 3 5 1 超越方程的局部。脚1 0 r 级数展开2 0 3 5 2 截断次数的控锨2 3 3 5 3 变量范围的确定2 4 3 工彳自乏至压芗躯2 7 3 6 根的筛选与反变换。2 7 3 7 数值例子2 8 3 8 本章小结3 3 第四章二维空域g i 遇e n 函数计算与m o m 应用。3 5 4 1 引言3 5 4 2 二维空域g r e e n 函数的计算3 6 4 2 1 增强形式的直接积分法3 6 4 2 2 基于全模提取的最陡下降路径方法( s d p f l a m ) 3 9 4 2 3 勇蟹捌亏乏4 j 4 - 3 矩量法4 3 4 3 j 矩宣落的基艿原理4 3 4 3 。2 微带二维结构的电流分布计算4 4 彳3 3 我笤例子铭 4 4 本章小结5 5 结束语5 7 致 射5 9 参考文献6 1 学习期间发表的论文6 5 学习期间参加的科研项目6 5 v t 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 第一章绪论 众所周知，电磁场的分析方法大致可分为两类：微分方程方法和积分方程方法。 微分方程方法包括时域有限差分法( f d t d ) 【m 、频域有限差分法【5 1 、直线法、传输线矩 阵法和有限单元法( f e m ) 【印等；积分方程方法的主要代表是矩量法( m o m ) 【7 ，胡。自从r f h a r r i n g t o n 关于矩量法的著作f i e l dc o m p 讹l t i o nb ym o m e n tm e t l l o d s 【7 恫世以来，矩 量法在电磁散射与辐射问题的数值分析中得到了广泛的应用，已经成为电磁问题数值 计算领域中最受欢迎的方法之一。 随着微波毫米波集成电路技术的快速发展，人们越来越多地关注于使用矩量法 ( m o m ) 对分层电路进行精确、快速的建模与仿真【9 ，1 0 1 。在用矩量法进行全波数值分析时， 分层媒质空域研e e n 函数是一个重要的基础。由于分层媒质几何结构的特殊性，易于 获得闭式的谱域触e n 函数【1 1 ，1 2 1 ，而空域讯e n 函数是谱域劬e e n 函数到空域上的反演， 它通常被表示为s o m m e 疵l d 积分【1 3 1 4 1 。这是一个无穷限积分，其积分核为b e s s e m a n k e l 函数。由于b e s s e m a i l l ( e l 函数的高震荡性，直接数值计算s o n 皿e 疵l d 积分是非常耗时 的，这是采用m o m 分析分层媒质电路结构的一个瓶颈。 针对s o 姗e 疵l d 积分的快速计算问题，已经发展了多种方法，最早提出的快速算 法是最陡下降路径( s d p ) 积分法【”，1 6 1 ，其思想是基于复变函数的c a u c h y 定理，选取一 条变形的积分路径使积分快速收敛【1 7 】。这个方法对于源点与场点相距较远时比较有效。 在原理上，这个方法必须考虑适当的表面波模式和漏波模式的贡献。1 9 8 8 年，d f a l l g 等提出了离散复镜像法( d c i m ) 1 8 ，1 9 】，这是一个半数值方法，它能获得近似的闭式空 域研e e n 函数。离散复镜像法将谱域g r e e n 函数划分为三部分，准静态项、表面波项 和复镜像项。前两项都可以解析反演到空域。复镜像项是谱域研e e n 函数减去前两项 后的余项通过复指数函数拟合得到的结果，它也可以解析反演到空域。离散复镜像法 获得的空域g r e e n 函数对于源点与场点相距较近时比s d p 积分的结果更有效。离散复 镜像也可以避免表面波项，但只适合于相对较薄的分层媒质情形。近年来又提出了快 速全模式算法【2 0 ，2 1 1 。全模式算法与离散复镜像法有互补的关系。当场点离原点较近时， 离散复镜像法能够获得较高的精度。当场点离原点较远时，全模式算法能够获得较高 东南大学硕士学位论文 的精度。 实际应用中有许多问题可以简化为二维问题来处理【2 2 乞8 1 。正是由于这个原因，分 层媒质二维空域g r e e n 函数的计算也一直受到计算电磁学界的关注。上面介绍的有关 分层媒质三维空域研e e n 函数的计算方法在形式上同样可以应用于分层媒质二维空域 g r e c n 函数。例如，离散复镜像方法之5 1 就是处理分层媒质二维空域g r e e n 函数比较常 用的方法。 无论是离散复镜像方法，还是快速全模式方法都涉及到谱域( h e n 函数极点的定 位。在过去很长的一段时间里，极点的精确定位【2 9 3 6 】一直是一件非常困难的事。近年 来，学术界提出了些新的方法。文献【2 明中提出的微带结构谱域g r e e n 函数全部极点 定位的方法能够适用于厚的衬底，但它仍然存在不足。在此基础上，文献【2 1 1 进一步提 出了局部t a y l o r 展开法来精确、快速定位全部极点的方法，克服了文献口o 】的不足。文 献【2 1 1 的方法是针对三维谱域研e e n 函数的，目前还没有关于二维谱域g r e e n 函数的应 用。 1 2 本文的主要工作 本文着眼于分析二维微带结构空域g r e e n 函数的有效计算，并应用到基于电磁场 积分方程的矩量法( m o m ) 中。谱域研e e n 函数反演到空域的过程被表示为s o m m e r f e l d 积分形式。闭式的谱域q e e n 函数易于获得，问题在于s o m m e r f e l d 积分的有效计算。 s o 删n e 疵l d 积分的有效计算方法的研究总是涉及到积分路径的选择和谱域g h e n 函数 极点的定位问题。本文的工作定位在微带结构二维空域q e e n 函数的精确、有效计算 上，实现了微带结构二维空域骶e n 函数的基于最陡下降路径的全模算法( s d p - f l 舢旧。 该算法的基础是能精确定位微带结构二维谱域g r e e n 函数的全模式极点。本文提出了 针对微带结构二维谱域觚e n 函数的局部t a y l o r 级数展开法，结合自适应分区方案， 能够实现微带结构二维谱域债e e n 函数全部极点的精确、快速定位。基于这个算法， 文中又实现了微带结构二维空域g r e e n 函数的基于最陡下降路径的快速全模算法 ( s d p f l m ) 的计算。最后本文将得到的二维空域g r e e n 函数应用于基于电磁场积分方 程的矩量法分析中。本论文的写作分为三个部分：第一部分是对基本理论与公式的介 绍和推导；第二部分是针对谱域骶e n 函数全部极点的精确定位研究；第三部分是利 用计算出的极点来进行空域研e e n 函数的计算与矩量法应用研究。具体的章节安排如 2 第一章绪论 f ： 第二章介绍了分层媒质中的谱域q e e n 函数与空域骶e n 函数的关系，简要地给 出了通用的分层媒质中谱域研e e n 函数的推导过程。同时解释了s o n h n e 疵l d 类型的积 分，并总结了已有的多种计算方法。 第三章首先对谱域骶e n 函数的奇异点进行了分析，并给出了二维空域骶e n 函 数的表达式。然后提出了一种基于局部t a y l o r 级数展开的数学处理方法来精确定位谱 域咖e n 函数全部极点，并设计了一个自适应分区方案以辅助定位算法所需的子区域。 文中提供的数值例子验证了该方法的正确性和有效性。 第四章主要包含两部分内容。第一部分介绍空域g r e e n 函数的两种计算方法：一 是增强形式的直接积分方法；二是基于全模极点提取的最陡下降路径积分法。按照两 种方法的思想，分别推导了两套计算微带结构二维空域m e n 函数的公式，并通过 m a t l a b 编程分别计算了由这两种方法得到的空域骶e n 函数的值，结果表明，基于全 模极点提取的最陡下降路径积分法要比直接积分方法优越的多。本章还给出了多个数 值例子，显示了本文提出的方法的正确性和计算能力。实际上，本文提出的方法在距 离上不受场点和源点位置的限制( 且不必要求它们同时位于介质与空气的分界面上) ， 完全适用于源点与场点相距很远的情况。因此，本文的方法有较强的通用性。第二部 分介绍空域g r e e n 函数结合电磁场积分的应用矩量法。将计算出的空域格林函数 的值应用到了基于电磁场积分方程的矩量法中。本章推导了二维微带结构矩量法分析 中所涉及的理论公式，并针对不同的导带模型、不同的介质厚度和不同的介质材料等， 求解了矩量法矩阵方程。文中用曲线图形显示了计算结果。这些结果显示了本文方法 的正确性和有效性，以及它的计算能力。 东南大学硕士学位论文 4 第二章分层媒质二维m c l l 函数 第二章分层媒质二维g r e e n 函数 2 1 引言 矩量法( m o m ) 是对分层媒质进行建模的有效方法之一【7 一。在用矩量法进行全波 数值分析时，分层媒质空域骶e n 函数是一个重要的基础。由于分层媒质几何结构的 特殊性，易于获得闭式的谱域g r e e n 函数。目前已经有了一套统一的计算三维分层媒 质谱域陆e e n 函数的公式【1 l ，1 2 1 。而空域骶e n 函数是谱域 e e n 函数到空域上的反演， 它通常被表示为s o m m e 疵l d 积分【1 3 】。这是一个无穷限积分，其积分核为b e s s e m a i l k e l 函数。由于b e s s e l h a l l k e l 函数的高震荡性，直接数值计算s o 删n c 釉：l d 积分是非常耗时 的，这是采用m o m 分析分层媒质电路结构的一个瓶颈。 处理s o i i l l n e 疵l d 积分主要有两类方法：一类是数值积分方法，这类方法是从直接 的s o n u i l e 疵1 d 积分方法出发，选取合适的积分路径以达到加快s o n l i n e m l d 积分收敛 的目的。另一类主要是半数值的解法，如离散复镜像方法( d c i m ) 【1 8 ，1 9 1 ，该方法通过 复指数序列去逼近积分核，然后借助s 0 眦e 疵l d 恒等式来获得空域的闭式 e e n 函数。 下文会详细介绍目前处理s o 删n e 彘l d 积分的各类方法【3 7 越】。 本章的结构安排如下：首先推导出分层媒质中的二维谱域觚函数。接着由谱 域q e e n 函数通过反变换写出空域的g r e e n 函数形式，并详细介绍s 伽嘞e 疵l d 积分以 及目前处理s o i 衄e 疵l d 积分的各类方法。 2 2 分层媒质谱域g r e e n 函数 2 2 1 分层媒质的物理模型 如图2 1 所示，这是一个典型的一般意义上的分层介质模型【1 0 】：在纵向( z 方向上) 呈现了分层的变化，横向( x ，y 方向) 认为是无限大的。第f 层的介电常数用毛表示， 相对磁导率用心来表示。由于介质在y 方向是无限，且多层媒质中存在的导体在) ，方 向上亦是无限大的，如果我们忽略分层媒质中场随j ，的变化，这样便简化为二维的情 况。 东南大学硕士学位论文 z 1 2 n l n 图2 1 多层平面分层媒质模型 2 2 2 模型中的谱域g r e e n 函数 z o x z l z 2 z n - 2 z n - l 首先分析2 2 1 中分层介质模型中的场分布。m a 剐旧1 l 的旋度万程如卜： 鬣刍三谧警；m q m 【v 日= _ ，国毛q e + ， 、 。 这是m a x 、e u 的通用方程，其中，厨代表磁流密度，了代表着电流密度。由于其 中的场都是包含有横向和纵向分量。为了计算的方便，可以考虑将这两种分量分解开来。 因而引入f o u r i e r 变换 l 季( ，z ) = g ( 芦，z 弘砖芦凼咖 k 加高e 如妙鹕 亿2 其中夺= 奴+ 谤，莨p = 受k i + 多k y o 考虑到( 2 2 ) 是二重积分不便于计算，需要寻找种新的方法将二重积分简化为一重 积分。借助于b e s s e l 函数 厶( = 去p 露 ( 2 - 3 ) 6 第二章分层媒质二维函数 烈二卜享5 9 ? ) 山( p ) p 。2 聊 k 力= 去j c o 季( ，z ) 讹p 垮辑 峥1 乏乏= 面啬( 瑶以一己) ( 包句+ 去一或盒 ( 2 5 ) 丢瓦= 面岳( 瑶以一凇邑) + 景秀一三元 ( 2 6 ) 一歹q 豆= 属( 瓦会) + 五 ( 2 7 ) 一以丘= 属( 皇包) + 皿 + ( 2 8 ) 在三维的情况中还需要将耦合在一起的x 、y 分量区分开。此时我们选用一个新的坐标 = 捌习施= 乏咖口= 等 ， 芝色一以z 8 鼠+ 去z 一皿 ( 2 1 0 - 1 ) 丢鼠= 一心p 色一五 ( 2 1 0 - 2 ) e = 一了三_ ( 晦鼠+ 正) ( 2 1 0 3 ) j n r r z 。= 古：熹砭= 届万可 ( 2 1 0 - 4 ) y 。 国岛q ”2 v ”旷7 r “户 卜“”7 要豆= 一业：z 6 鼠+ 矾 ( 2 1 1 1 ) d 2 7 东南大学硕士学位论文 要鼠：一儿】，一晟一l 厨：一z ( 2 1 1 2 ) (纪&wo以 。 皿= ( 以e 一鸠) ( 2 1 1 3 ) 1 h q t z 6 = 专2 半屯= 丽 m 4 ) 譬哦p ( 2 1 2 ， 陪一矽n 犯) 一 巨哦z p 即砸， 3 ， 陪一彤 一 矿p = ( 甲，尸) + ( 咿，v p ) ，= ( 垆，f p ) + ( 口，v p ) 另外可以方便的知道下述的并矢格林函数表达式【1 1 】 这样利用上面的公式能够写出( z f ，1 ，z ) 坐标系中的并矢谱域g r e e n 函数。 8 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ，八， 烈m 、l 国 蹦 擘， = 伊 序g、卜“、，弋叭丁叭 吖 ；弛 = 伊 愕g、，、， = = ：e ：日 第二章分层媒质二维g r e 饥函数 ：r 唧。去形 g 甜( ，z ，7 ) = g 彤( ，邵) = g 蹦( ，z ，z ) = g 脚( 丸，z ，z ) = 一 o 。志接即力 q i ： 一i ；- v ? o 一p 一 坼1 0 一巧 曙 o o 一土鬈。 国o r 。：o 靠i ： o c o 去彬。志 熹牡北- ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 式( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 便是( 甜，v ，z ) 坐标系下的谱域g r e e n 函数，其中带撇号的 变量都是相对于源点的。将它们通过式( 2 9 ) 的反变换就可以得到( z ，弘z ) 坐标系下的谱 域触e n 函数。 2 3 分层媒质中的空域g r e e n 函数 分层媒质中的空域g r e e n 函数可以通过对相应的谱域g r e e n 函数进行s o m m e 疵l d 积分得到【蜘 g = 击l 磁2 ( p ) g ( ) 晦 ( 2 2 0 ) 这里，g 和0 分别表示多层媒质结构的空域g r e e n 函数和谱域研e e n 函数，碰z 为第 9 才 。蔓 一 东南大学硕士学位论文 二类零阶汉克尔函数，s i p 表示s o m m e r f e l d 积分的积分路径，p ：0 f 可为场点到源 点的水平距离，磅= + 砖为水平方向上的波数。从( 2 2 ) 节我们可以很容易的求得分 层媒质中的谱域研e e n 函数，然后通过式( 2 2 0 ) 得到空域研e e n 函数。 2 4s o m m e r f e l d 积分 在2 3 节，闭式的谱域触e n 函数反演到空域时，涉及到了s o n h n e r f e l d 积分。 s o m m e 彘l d 积分起源于英国科学家s o i 姗e m l d ，是其在考虑一个小电偶极子天线在半 空间环境中的辐射时提出的【1 3 】。在数学上的形式如下： 巴 j = l 厂( 口) g ( 旯i ( 2 2 1 ) 式中的，( 口) ，g ( 口，旯) 均为复口平面上的复变函数。且这一积分的被积函数本身不是 一个解析函数。它可以被写成一个分数的形式，尽管分子是解析的，但其分母是一个非 线性方程，而且这个非线性方程本身具有多重根。这使得积分的被积函数包含多个极点。 虽然留数定理可以用在这一积分中以解决问题，但由于非线性方程的多根性，进而使得 积分变得尤为复杂。 类似s o n u n e 疵1 d 积分形式的函数应用十分的广泛，经常在不同的学科中出现。这 包括物理学、电子学、化学、电磁学、应用数学等等，尤其在电磁学中，处理有关天线 分析与设计、电磁场、电磁波、无线电传播、无线电波散射、雷达散射截面等问题时总 是会遇到s o 舢【1 1 e r f e l d 形式的积分。 另外在式( 2 2 0 ) 中，s o m m e m l d 积分是沿着传统的s i p 路径进行积分的。由于 被积函数中包含的贝塞尔函数在该路径上振荡剧烈，导致s o m m e 疵1 d 积分具有高振荡性 和衰减慢的特点，因此直接利用数值积分非常费时。 正是有鉴于s o i i 吼e r f e l d 积分的困难和广泛应用，近几十年来很多学者对 s o 衄e r f e l d 积分的求解问题进行了认真而细致的研究【3 7 4 2 1 。如今他们已经寻找到了几 种不同的方法来求解s o n u i l e r f e l d 积分问题。这些方法大都是基于对直接积分方法的改 进，概括起来主要包括以下几种方法： 1 ) 分割乡 推法【1 4 1 ：这种方法首先是分割积分路径，以回避极点，然后在积 分收敛缓慢的路径上使用变量替换来加速收敛。任何变换都可以看作外推方法。利用外 推法求解积分的过程称作分割夕f 、推法。己经有很多的学者分别利用不同的