（计算机应用技术专业论文）基于ifs的自然景物动态模拟方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性理论由三大理论构成:混沌理论、分形理论、孤立子理论。 又 寸 非线性理论的 研究常常以理论研究为主，本文在非线性理论研究的基础上探讨了分形自 然景观模拟的 应用。 分形理论是描述具有无规则结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。 在过去 2 0 多年中，分形理论已 成功地应用于许多不同学科的研究领域，并使得一系列研究取得 突破性进展。分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的 研究对象是自 然 界和非线性系统中出 现的不光滑和不规则的几何形体。 分形理论在图 像、数据压缩技术 中发挥了重要作用。 迭代是计算机上制造分形的重要手段，典型的分形生成方法都基于迭代的思想。通 常一个非线性耗散动力系统可表示为 x n + , = ( x ; c ) , n 二 0 , 1 ,2 , . . . 这 里 x u 是 给 定 的 初 始 输 入， c 为 系 统 参 数。 将 彩 色空 间 与i f s 理论相 结 合， 提出 了 (d q y - i f s ( (d f 2 t 表 示r g b , c m y , y i q , h s v或b l s ) 模型，并利用计算机构造了一系列2 - d , 3 - d q) q t - if s 吸引子， 讨论了 (d s 2 y - if s 吸引 子 几 何变 换 及 色 彩 修 正 。 研 究 表 明 : 调 整 q 1 q p - i f s的 参 数， 既 可 改 变 吸 引子的结构，也可改变吸引子的色彩，因此(d q t - i f s吸引子可更有效地模拟自 然景 观。 本文给出了一种基于迭代函数系统i f s 的动态模拟方法。首先介绍了以 迭代函数系 统 来 探 索 和 解 决 树 木 等 这 一 类自 然 景 物 的 计 算 机 生 成 问 题 的 途 径 ， 然 后 从 一 个 己 模 拟 景 物的工 f s 吸引子出 发，改变参数自 动生成无重复的序列画面，以 此达到对景物动态模拟 的目 的。 用此方法生成的前后两帧图 形之间既有区别， 又具有相对的连续性。 为计算机 动画对复杂的自 然景物的动态模拟提供了一条新的途径。 关键词:混沌;分形;函数迭代系:自然景观模拟 基于i f s的自然景物动态模拟方法 d y n a m i c s i m u l a t i o n me t h o d o f n a t u r a l s c e n e r y b a s e d o n i f s ab s t r a c t n o n - li n e a r t h e o ry c a n b e d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s : c h a o s t h e o r y , f r a c t a l t h e o ry a n d s o l i t o n th e o ry . t h e r e s e a r c h o f n o n - l i n e a r t h e o ry i s m o r e f o c u s o n t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , t h i s p a p e r o n t h e b a s i s o f n o n - l i n e a r t h e o ry d i s c u s s e d t h e a p p l i c a t i o n o f fr a c t a l n a t u r a l s c e n e ry s i m u l a t i o n . f r a c t a l t h e o ry d e s c r i b e s a n o n - r u l e s t r u c t u r e o f t h e c o m p l e x s h a p e s y s t e m , d u r in g t h e p a s s e d 2 0 y e a r s , fr a c t a l t h e o ry s u c c e e d e d t o i n t e r a l o t o f d i ff e r e n t re s e a r c h in g f i e ld s , a n d l e t s o m e s t u d i e s t o h a v e a g o o d b r e a k t h r o u g h , fr a c t a l t h e o ry is a n a c t iv e p a rt o f t h e n o n - l i n e a r s c ie n c e s t u d y , i t s c o a l i n t h e n o n - g e o m e t r i c a l s h a p e s o f t h e n a t u r a l s c e n e s a n d n o n - l i n e a r s y s t e m , i n a d d it i o n o f i t s a b i g a ff e c t io n i n t h e im a g e s a n d d a t a c o m p r e s s i o n . t h e it e r a t io n i s p l a y in g a n im p o r t a n t m e t h o d i n m a n u f a c t u r in g fr a c t a l s , it s m o d e l s i s d e p e n d i n g o n it e r a t i o n t h o u g h t , h ig h d i s t r i b u t e d d y n a m i c a l s y s t e m c o u l d b e d e fi n e d a s b e l o w : 戈 ，+ : 二 护 ( 戈; c ) n 一 。 ， 1 , 2 , 戈 i s in it i a l i n p u t , c s y s t e m p a r a m e t e r . b y a c o m b i n a ti o n o f t h e c o lo r e d s p a c e a n d t h e i f s t h e o ry , g e tt in g t h e p r o p o s a l o f (d q f - i f s m o d e l ( ( d q p s t a n d s f o r r g b , c m y , y i q , h s v o r h l s ) , t h e n u s e t h e c o m p u t e r t o c o n s t ru c t a s e r i e s o f 2 - d , 3 - d x 记为伏 刀。 x 中 一 献 的轨道是序列 i ( x ) : 、 = 1 , 2 , . . .) 。 大连理工大学硕士学位论文 设 mp ) 为 给定的 度 量空间 ， (凡k ) , h p ) 代表 相 应的 带 有豪 斯 道 夫距离的 非空 紧子 集空 间( 即 分 形 空间 ) ， 则 确定 性 分 形 集 a 即 为 ( f ( x ) , h p ) 上 的 压 缩映 射与 折 叠 变 换的 不 动 点 集， 而 x , f ) (f 为 (x ,p ) 上的 变 换) 构 造了 ( f (x ) ,h p ) 上的 分 形 动 力 系 统。 构造分形集的逃逸时间算法: ( 1 ) 己知 动力系统 x , f ) ， 给定 视窗 w及逃逸半 径 r 和逃逸时间限 $ ) n ; ( 2 ) 定义逃逸时间函数 i f ( x ) i _ r - .i f (x ) 一 r， 一 1, 2 , .,、 一 1 i f (x ) i c 是 阶 数 大 于 1 的 多 项 式 ， 凡 影的 充 满 的 j u lia 集 ， j r 卸的 j u lia 集 ， 则 凡 和 j f. 是 c 的 非 空 紧 子 集 ， 即 凡， j , e f ( c ) ; 同 时 f ( 去 ) 一 占一 f - , ( j , ) 及 f ( 凡 ) 一 乓一 f a 乓 ) ， 且 v一 亡 一 界是 路 径 连 通 的 。 定 触.2 j u li a j : 为 多 项 寿 的 斥 性 周 期 点 的 闭 包 ， 它 是 不 含 孤 立 点 的 不 可 数 紧 子 集 ， 如 果 ， e j j , 则 j ， 是 昌 f - (z ) 的 闭 包 j u lia k f 的 包 含 无 穷 远 点 在 内 的 每 一 吸 引 不 动 点 的 吸 引 域 的 边 界 ， 而 即 在 j ， 上 的 作 用 是 混 沌 的 。 f ( z ) 一 z ， 的 j u li a 集 为 圆 iz i = 1 。 如 果 z 在 j u lia 集 内 ， 则 f ( z ) - - 0 ( k - - o o ) ; 如 果 z 在 j u l i a 集外， 则f ( z ) - o o ( k - o o ) 。 f ( z ) = 扩十 。 的 j u l ia 集 是 一条 分 形曲 线; 这条曲 线 把复 平 面 分为 两 类点， 一 类点 使 尹( z ) 收 敛 升 在 。 附 近的 不 动 点 。 ; 另 一 类点 使尹( z ) - 0 0 。 2 .2 . 1 .4 ma n d e l b r o t 集 1 9 8 9 年， we l s t e a d 和c r o m e r 曾 提出了 构造经典m a n d e l b r o t 集的 逃逸时间 算法与周 期点查找算法【 1 7 , 1 8 . 二 次 函 数 天 ( 习 = z 2 十 。 ， 对 应 每 个 。 = c i + c 2 e c ， 亡 ， 关 ( z ) 是 依 赖 于 两 个 参 数 的 动 力 系 统。 参 数(1 c c y ) 全 部 可 能 取 值 称为 参数 空 间 。 定 义 2 .3相 应 于 动 力 系 统 犷 , f , ( z ) = : ， 十 。 的 m a n d e lb r o t 集 是 m = c e 尸 : j , 是连通的 由 定 义 2 .3 可 见 m a n d e lb r o t 集 看 来 似 乎 与 占的 一 个 相 当 特 殊 的 性 质 有 关 ， 事 实 上 ， m a n d e l b r o t 集包含了 关于 j u l i a 集构造的无穷信息。 但定 义2 .3 不适合计算、 应用的目 的， 从下面定理中， 我们导出 ma n d e l b r o t 集的一个方便的等价定义。 定 理 2 .3相 应 于 一 族 动 力 系 统 亡 ， 关 ( z ) = z ， 十 。 ( c cz c ) 的 j u li a 集 是 连 通 的 ， 当 且 仅 当 m= 笼 c e c: 刀( 0 ) ( -11, - ( n - ) ) 这个m 集的等价的定义，是用逃逸时间算法绘制m集的计算机图像的理论基础。图 2 . 1 表示的是利用逃逸时间算法做出的 m集。可见m集有非常复杂的结构。 它有某些明 显 大连理工大学硕士学位论文 特征:一个主要的心形图与一系列圆盘形的 “ 芽苞” 突起连结在一起。 每一个芽苞又被 更细小的芽苞所环绕，以此类推。 、 产 碑 图2 . 1经典ma n d e l b r o t 集 f i g . 2 . 1 c l a s s i c a l ma n d e l b r o t s e t 2 .2 .2工 f s 景观模拟 分形模拟自 然景观所涉及的主要学科包括计算机图 形学、仿射几何、形式语言 等， 并且它们也都因此而突然变得活跃 起来。分形几何的基本特征是自 相似性，即局部结构 与 整 体结 构 相似的 特征。 这 种相 似 性， 形 成 分 形体的 层 次 结 构， 各 个 层次 之间以 一定 的 标度因 子相联系，即 其有标度不变性。因而，分形集应与所谓相似变换相关。 另一方 面， 层次结构实际上反映了一种递归性质。 所以， 可以 通过相似变换的递归迭代过程产 生 分 形结 构【 1 9 - 2 2 。 这 类 分形 称为 i f s 的 分 形吸引 子。 迭 代函 数 系统 ( i f s ) 简 称迭 代函 数 系自 然景 观模拟的 方法 是美国 佐治 亚 理 工学院 的 b a m s l e y 教 授首 创的。 在构 造 i f s 吸引 子 时，一个十分重要的问题是预测i f s 吸引子的界， 否则只能基于所计算出的i f s 吸引子上 的几个点近似估算i f s 吸引子。 预测 i f s 吸引子的界， 将对分形理论的 信息压缩以 及图 像 重 建自 然 景 观 模拟等 都 具 有 重 要 理 论 意 义 2 3 , 2 4 . 在分形图像压缩中，首先要将所给待压缩现实图像近似看成一个分形图，再寻找一 个以 该分形图为吸引子的 i f s 。 最后， 要求出 确定该i f s 的参数做为现实图 像的“ 分形编 码”。 这样， 现实图 像的 信息就“ 浓缩” 在了“ 分形编码” - i f s 参数之中， 从而 达 到信息的压缩。反之，根据 “ 分形编码” 所提供的信息，利用随机迭代算法、 确定性算 法等可以 生成近似的现实图像。分形解码过程就是本文的分形自 然景 观模拟过程。 如 图 2 .2 所示)。 基于i f s 的自 然景物动态模拟方法 图 2 .2 i f s 模拟与分形压缩 f i g . 2 .2 i f s s im u l a ti o n a n d f r a c t a l c o m p r e s s 考虑如下的仿射变换: 尹亡11吞se、 、t二.，/ x +i 一 “ 叫二 y n + 一y o l 7 1 ) : c o s 口 c , s i n b - c , s i n b c ; c o s b x - x o(i) ) y 一y o h j ) 式中0是旋转角:c ; 是与 不动点( x o ( i ) , y o ( i ) ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) 对应的 压缩比，即 c ; 是度量空间陇曲上具有压缩比c 的压缩映射，则由下式定义 的w ：，( 肖) _ f ( 爿) 是( 聃，上具有压缩比c 的压缩映射： w ( b ) = w ( x ) ：x 占)v b f ( x ) 定理3 3 设动是度量空间，又设 嵋， = 1 ，2 ，j v ) 是仃，蚴上的一族压缩映 射，相应的压缩比为“，由下式定义缈：f ( ) 斗f ( x ) ( b ) = w 1 ( b ) o w 2 ( b ) u u w u ( b ) = u 嵋( 动v b e f ( ) ，= j 则缈是具备压缩比为c = m a ) 【 c ，的压缩映射。 l g e 定义3 4 度量空间伍动与定义在其上的一个有限的压缩映射族 ：x 斗x = l ，2 ，) ，组成双曲礤s ，汜为： x ：，h = l ，2 ，； ；如果w 。的压 缩比为“= l ，2 ，) ，则称c = m a 】( c ) 为此i f s 的压缩比。 i l s 把压缩映射原理应用到完备度量空间( f ( ， 0 上，可以得到在分形空间上的压缩映 射原理( 不动点原理) ： 定理3 4 设 x ：，押= l ，2 ，n ) 是完备度量空间陇动上的( 双曲) i f s ，压缩比为 c ，变换w ：f ( x ) _ f ( x ) 由下式定义： 一2 3 基于i f s 的自然景物动态模拟方法 n ( b ) = u ( b ) v b f ( x ) n = i 则形是m ，h ；) 上n n b h n c n n - , n n n ，即 h p ( w ( b ) ，( c ) ) c 吃( b ，c )v b ，c f ( x ) 且存在唯一的不动点( 不变集) a f ( z ) ，满足 并且对任意v b f ( x ) a = ( 一) = u ( 一) a = l i r a w ”( 占) 定理3 4 中的不动点a 称为这个i f s 的吸引子。i f s 的吸引子一般都是分形称为确定 性分形。利用定理3 4 可以建立绘制i f s 吸引子的确定性算法和随机迭代算法。 确定性算法如下：任找一个初始集b o ，( x ) ，根据递归方程 b n “2 缈( 皖) = u ( 最)疗= o ，1 ，2 ，直接计算序列 e = w 1 ( 玩) ) 的极限集a ，则a 就 = 1 是s 的吸引子。 随机迭代算法为 2 8 3 0 】：设 爿：，i = 1 ，2 ，_ v ) 是一个双曲的i f s ，对于每一个映 n 射，伴随一个概率b 0 ，其中z p , = 1 。取工。并且依照递归方式独立地取 x 。 1 4 1 ( x n 1 ) ，w 2 ( x 川) ，w ( x 卜】) ， = l ，2 ， 其中事件= w a x 一一) 的概率是b 。选取充分大的整数 _ 。，则序列帆，疗。) 收敛于m s n 吸引子a 。 但利用上述两种算法，由计算机绘制吸引子a 的图像，当迭代次数胛达到一定值 时，由于计算机屏幕的图像分辨率限制，再增加迭代次数并不能明显改变图像效果 3 1 2 4 人莲理j 二人学硕士学位论文 3 6 1 。那么此时所得的分形集e 与i f s 吸g i 子a 的差别是多少? 下面的拼贴定埋对这个问题 给出了h a u s d o r f l 删度意义下的估计。 定理3 5 设动足完备度量空间， ，( ) ，一，w 。) 是压缩比为c 的i f s ，它的不 动点( 不变集) 是a ，则 h p ( e , a ，钏叫。1 h p ( e , q 。c e ， v e 叫上， 拼贴定理保证了在计算机屏幕上，来自于j 纠勘次i f s 后的分形集e 就是这个i f s 的吸 引子a 的一种逼近。这两个集合之间的h a u s d o 珊翟巨离，可以用集台e 写集合e 的像之间的 h a u s d o 耐距离来估计因此，拼贴定理提供了构造l f s 吸引子的计算机逼近理论依据。 考虑如下的仿射变换 f 矗+ - 一南“) 1 一f q c o s 目 l 圹y o ( i ) 厂l qs i n 0 一c f s i n 0 x n x o o ) l c ，c o s 0j l 虬一虬( f ) j f 31 1 式中口是旋转角；q 是与不动点( x o ( o ，“( j ) ) ( f - l ，2 ，) 对应的压缩比，即 i y 2 ) 和 p 3 (x 3 ,y 3 ) 为 某 一 局 部 轮 廓 上 对 应 的 特 征 点，w ( n = 1 , 2 , - - - , n ) 表 示 整 体 到 局 部 的 仿 射 变 换， 则 有 p = w . ( p , ) p i = x . ( p 2 ) p , = w . ( a 3 ) lweeseseseseeeeesj r.几1全esj h - 干1.esesesj 对城书 令矩阵h 由二维仿射变换( i ) 可得 艺乃y3 气孔毛 !1.1 工工 一十! h - 门.1.es.selll 片残巧 由于整体上 3点固定，则矩阵h不变，因此，可采用选主元素法直接三角分解求 解 式2 .2 ， 从 而 得 到 整 体 到 局 部的 仿 射 变 换 集 w, n = 1 , 2 , - , n 。 3 . 3随机分形概述 自 从 m a n d e l b r o t 于二十世纪七十年代创立分形几何学以 来，分形理论已 经在许多 方 面得到了 广 泛的 应 用 3 7 , 3 8 ) ， 分形 研究的 重点 正 逐 渐从 最 初的 确 定 性 分 形 转 移到随 机 分形。 一 2 7- 基于i f s的白 然景物动态模拟方法 分形是非线性自 相似现象， 广泛地存在于各种自 然， 社会，生物演化过程和科学实 验研究中，在对自 然景物的描述和对科学实验的分析中，常常要重现这种非线性自 相似 现象。采用i f s 模型或l模型等标准模式产生的分形具有可重复性，适当 地加入随机参 数，可以产生更加逼真的效果。 这就是随机分形的概念。 目 前有关随机分形集的研究尚处于初创阶段。主要有 t a y l o r - h a w k e ，模型， h u t c h i n s o n模型，m a u l d i n模型和 f b m( f r a c t io n a l b r o w n i a n m o t i o n ) 的分形模型。 其 中， m a u l d i n模型是把h u t c h i n s o n模型 推广到随 机分形集上得到的。 均匀分布和正态分布的随机序列是最常用的随机序列，将这些方法用于某些分形图 形的 参数随机化处理上， 可以 生成模拟真实世界的图 形。 稳定分布是指随机变量的分布函 数形式的不变性，与大数定律及中心极限定理有密 切联系。它是探讨随机分形的一种重要方法， 对分形来说分布的稳定性就是分布的自 相 似性。 布朗运动也称为维纳过程，它具有分形性质， f b m 是非平稳的零均值高斯随机过 程，具有自 相似性和长程相关性， 用来描述自 然表面和不规则时间 序列的 建模。 m a n d e l b r o t 等将其定义为普通布朗 运动函 数的推广，其增量为平稳的高斯随机过 程， 增量方差为: p , b h ( x , ) 一 b h ( x , ) 1 = a x ， 一 x iih 式中 ，6 l, = v , 凡( x ) 是x = 1 处 的 方 差 。 h 为 余 维 数， 与 分 维 值d 的 关 系 为 : h= d , 十 卜d 随机分形的一个重要模型是分形布朗随机场 f b r ( f r a c t a l b r o w n i a n r a n d o m f i e l d ) 3 9 1 0 设h 满 足。 h l ， b 为 任 意 实 数。 若 随 机函 数 满 足b h ( 0 , w ) = b o ， 且 、 “ ，。 ， r(h + 0 .5) “ 一 )一一 )一 1 db (s, (o) + b (t - s)一 db (s, o ) 大连理工大学硕士学位论文 则 称b h ( t , w ) 为 分 形 布 朗 运 动( f b m ) ， h 为 分 形 参 数 ， b . 为 初 始 值 ， 。 属 于 样 本 空 间 q , h = 0 . 5 时为通常的 布朗 运动。 对于。 h y . ) ( x n y ) 根 据 上 式 求得( x 2 , y 2 ) ， 依 次 类 推， 迭 代 n 次。 可以 证明 ， 最 后的 点 集收 敛 于 一个 i f s 吸 引 子， 即 生成一个确定的图像。多个仿射变换的情况与此类似。 大连理工大学硕士学位论文 rfc o s os i n o 0 2 l s m pc o s o j ( 3 ，i 2 ) 式3 1 0 是关于x 轴对称的变换矩阵；式3 1 l 表示n x 方向剪切，且剪切量为c ：式31 2 表示逆时针旋转，且角度为式3 2 两边分别左乘式3 1 0 、3 1 1 f i l l 3 1 2 给出的矩阵t s ， 按上述的推导过程，即可得出经对称、剪切和旋转变换后i f s 的参数矩阵。 ( 3 ) 级联 级联变换是指上述基本变换所构成的连续变换序列。级联变换矩阵t s 等于各基本变 换矩阵顺序相乘，这样即可按上述方法求出变换后i f s 的参数矩阵。 3 5 基于一般i f s 的图像生成 迭代函数系统的基本思想为：在仿射变换的意义下，几何对象的整体与局部具有自 相似结构。正是这种白相似性，使得有可能用迭代法生成图像。从一个点或一个简单的 几何图形出发。按一定的规则反复迭代，一生二，二生三，三生万物，童到生成一幅复 杂图像。最终得到的目标点集与初始点集无关，而只取决于迭代的规则，即一组仿射变 换的系数，这一图像生成系统称为迭代函数系统。其中，任一仿射变换可写成下式： 兹砌+ 阴 ( 3 t 3 ) 再由式中：比例系数1 、屯决定图形的缩小和放大；旋转系数鼠、0 2 决定图像的旋 转度；位移系数p 、厂决定图像方位上的改变。、鼠、口体现x 方向的变化，而r 2 、0 2 、 ，则体现y 方向的变化。图像生成的基本原理是：给定一个初始点坐( ，y 。) ，设只有一 个仿射变换w ，将( ，m ) 代入上式右边，可求得一新的坐标点( 而，m ) ( ，y ，) 根据上式 求得，n ) ，依次类推，迭代n 次。可以证明，最后的点集收敛于一个i t s 吸弓l 子，即 生成一个确定的图像。多个仿射变换的情况与此类似。 3 1 q 幺 兮g c s ，l | | 1j x y 。l 基于i f s 的自然景物动态模拟方法 ( b ) 模拟的树 ( b ) s i m u l a t e dt r e e ( a ) 模拟的山峰 ( a ) s i m u l a t e dm o u n t a i np e a k ( c ) 模拟的枫叶 ( c ) s i m u l a t e dm a p l el e a f ( d ) 模拟的蕨类植物 ( d ) s i m u l a t e df e r n 图3 3 模拟的自然景物 f i g 3 3s r a u l a t e dn a t u r a ls c e n e r y 3 2 人连理工大学硕士学位论文 在迭代函数系统中，起关键作用的变换系数又称为i f s 码，生成图像的效果完全取 决于i f s 码。十几个变换系数中，任一个稍作变化，都可能使最终图像面目全非， “失 之毫厘，缪以千里”。但也可以利用这一特性，实现简单的动画生成。可见，分形技术 应用于计算机图形学虽还未达到完全实用的地步，但以一组i f s 码来描绘一幅图像，这 一崭新的思想发展潜力是无穷的。绘制图3 3 e e 分形景物的i f s 参数见附录a 表1 4 。 3 6 带参数的i f s 一动画的实现 目前的计算机动画技术大多基于数学或物理模型：称为模型动画技术。由于模型的 限制：只能生成些较简单的动画，制作过程繁琐且速度很慢，因此又发展了智能动画 技术。带参数的i f s 动画制作则完全不同于以上两种动画技术。前面曾提到，一组i f s 码 决定了一幅图像，任- - i f s 码的微小变化，都会引起最终生成图像的变化，这种影响可 能很小，也可能很大，这取决于各i f s 码在整个i f s 中的作用，利用这一特性，人为地调 节、控制s 码，使图像按人们希望的方向变化，再将一系列不断变化的图像连贯起 来，动画便生成了，实践证明此法是可行的。 从式3 1 可知，比例系数、旋转系数、位移系数对控制图像的变化起了不同的作 用。因此可根据动画的需要，在相应的系数中加入参数以实现控制。若 r 2 将会产生 图像的变形：如果需要物体平动，则只需在位移系数e 或厂中加入参数，使它们按一定 的规律变化，或是匀速运动，或是加速运动。同理，物体的旋转或缩放、变形也可通过 在旋转系数或 b 例系数中加入参数来实现，以自然界中常见的风吹树动现象为例：风吹 树枝造成树枝摆动，这种摆动显然属于旋转变化，其他两类变化并未产生，所以只需把 参数加入到旋转系数中即可。这里，参数就是风力的大小，以w 来表示，则仿射变换可 改写为 ( 3 1 4 ) 因风力越大，旋转角越大，所以口为正，加到0 上。在其他情况下。可能是减去某 个正参数，这取决于参数对图像变化的影响。参数的选取在实践中常用试探法，上述是 仅发生旋转变化的动画，更复杂的情况下，可能同时发生两种变化，如随风飘动的落 叶，同时发生旋转和位移变化。也可能同时发生三种变化，如逐渐开放的花朵，不断生 长的树木等，这时，需同时加入两个或三个参数分别控制不同的变化。实践表明，加入 3 3 圳嘲鬻 + 十 嘲嘲 = 工 y 基于i f s 的自然景物动态模拟方法 参数的确可使图像发生预期的变化。连贯后，动画效果良好。图3 4 分别给出了 a = 1 5 1 0 ，5 ，0 ，3 ，6 9 ，1 2 时的图像。 ( a ) o r = 1 5 ( c ) 口= 5 ( e ) 口= 一3 。3 4 。 c o ) 口= 1 0 ( ma = 0 ( f ) 口= 一6 大连理工大学硕士学位论文 (曲口=一9(h)口212 图3 4 口取不同值时得到的图形 f i g 3 4f i g u r eg o tw h i l e 口f e t c h i n g d i f f e r e n tv a l u e 由上可见，带参数的i f s 动画生成技术与其他方法相比，主要有两个优点：其一， 实现手段较简单，只需改变参数大小就可得到一系列变化的图像：其二，易于实施人为 控制。由于各i f s 码在图像生成过程中各自发挥着不同的作用：或使图像平移，或使图 像旋转，因此可以根据动画的需要有针对性地调控相应的系数，加权因子的加入又可分 别对图像的不同部分进行控制，使动画效果更好。 一3 5 基于i f s 的自 然景物动态 模拟方 法 结论 在虚拟现实及计算机动画应用中，经常需要模拟一些森林景物，使i f s 系统受到人 们的关注。但基本上都停留在对森林景物的静态模拟。树在风中的摆动，这是一种在常 生活和自 然界中很常见的现象。该文以此作为研究对象，给出了一种基于迭代函数系统 的森林景物的动态模拟方法。该方法生成的前后两帧图形之间既有区别， 又具有相对的 连续性。因此该方法的 进一步应用， 可以 根据不同参数对吸引子的影响来连续控制吸引 子的形状，来模拟森林景物的生长过程等自 然现象。 分形自 然景观模拟同混沌保密通信一样都存在着非线性理论实际应用的致命伤: 大 量的迭代过程消耗了宝贵的时间。提高分形自 然景观模拟的速度实现自 然景观虚拟现实 的动态模拟是我们下一步工作需要考虑的。 此外本论文虽然给出了真彩色i f s 的模型但 是在自 然景观模拟的实现上与现实的真实景观还有很大的差距。相关的研究工作还需要 我们进一步的深入进行。 大连理工大学硕士学位论文 参 考 文 献 1 1 王兴元. 复杂非线性系统中的混沌. 北京: 电 子工业出 版社， 2 0 0 3 2 ma n d e lb r o t b b . t h e fr a c t a l g e o m e t r y o f n a t u r e . s a n f r a n s i s c o : f re e m a n w h , 1 9 8 2 . 3 1 李后强 ， 张国 祺， 汪富 泉等. 分形理论的 哲学发韧 . 成都: 四 川 大学出 版社， 1 9 9 3 . 4 1 p e it g e n h o , r i c h t e r p h . t h e b e a u t y o f fr a c t a l s . b e r l i n : s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 8 6 . 5 b a rn s le y m f . f r a c t a l s e v e r y w h e r e . b o s t o n : a c a d e m i c p r e s s p r o f e s s i o n a l , 1 9 9 3 . 6 1 l o re n z e n 著 . 刘 式 达， 刘式 适 ， 严中 伟 译. 混 沌的 本 质 . 北 京: 气 象出 版 社， 1 9 9 7 7 1 关新平， 范正平， 陈彩莲等. 混沌控制及其在保密通信中的 应用. 北京: 国防工业出 版 社， 2 0 0 2 8 1 郝柏林. 从抛 物线谈起 一 一 一 混沌动力学引 论. 上 海: 上海科技教育出 版社， 1 9 9 3 . 9 1 l i t y , y o r k e j a . p e r i o d th r e e i m p l i e s c h a o s . a m e r m a th mo n t h l y , 1 9 7 5 , 2 ( 5 ) : 9 8 5 - 9 9 2 . 1 0 s h u s h i q u a n , wa n g we n h u i , wa n g x i n g y u a n . b o o k r e v i e w c o m m o n l i s p m o d u le s a r t i fi c i a l i n t e l l i g e n c e i n t h e a r e a o f n e u r a l n e t w o r k s a n d c h a o s t h e o r y . e n gng a p p l i c a r ti f i n t e l l , 1 9 9 3 , 6 ( 3 ) : 2 7 9 - 2 8 1 . i l l 王兴元， 朱伟勇. 正实数阶广义j 集的嵌套拓扑分布定理. 东北大学学报 ( 自 然科学 版) ， 1 9 9 9 , 2 0 ( 5 ) : 4 8 9 - 4 9 2 . 1 2 王兴元， 刘向 东 ， 顾树生 等. 正实 数阶 广 义m 集的 嵌 套 拓扑分 布定 理. 东 北大学学 报 ( 自 然 科 学 胸, 2 0 0 0 , 2 1 ( 2 ) : 1 5 5 - 1 5 8 . 1 3 王兴元 广义m 一 集的 分 形理论. 大连: 大连理 工大学出 版社， 2 0 0 2 . 2 5 - 4 3 . 1 4 1 g i n tz t w. a r ti s t s s t a t e m e n t a n o n - d i s t r ib u t i v e q u a d a l g e b r a f o r 3 d r e n d e r in g s o f m a n d e l b r o t a n d j u l i a s e t s . c o m p u t e r s a n d g r a p h i c s , 2 0 0 2 , 2 6 ( 2 ) : 3 6 7 - 3 7 0 . 1 5 1 王兴元， 朱伟勇 ， 顾树生一 般二维二次映 射中的 混沌与分形. 计算机辅助设计与图 形 学报， 2 0 0 0 , 1 2 ( 6 ) : 4 0 8 - 4 1 3 . 1 6 c h u n g k w, c h a n h s y . g e n e r a l m a n d e l b ro t s e t s a n d j u l i a s e t s w i t h c o lo r s y m m e tr y fr o m e q u i v a r i a n t m a p p in g s o f t h e m o d u l a r g ro u p . c o m p u t e r s a n d g r a p h ic s , 2 0 0 0 , 2 4 ( 6 ) : 9 1 1 - 9 1 8 . 1 7 l a k h t a k i a a , v a r a d a n v v , me s s i e r r e t a l . o n t h e s y m m e t r i e s o f t h e j u l i a s e t s f o r t h e p r o c e s s z + - z 0 + c . j p h y s a : m a t h g e n . 1 9 8 7 , 2 0 : 3 5 3 3 - 3 5 3 5 . 1 8 1 we l s t e a d s t , c r o m e r t l . c o l o r in g p e r i o d i c i t i e s o f t w o - d i m e n s i o n a l m a p p in g s . c o m p u t e r s &g r a p h i c s , 1 9 8 9 , 1 3 ( 5 ) : 5 3 9 - 5 4 3 . 1 9 1 王兴 元， 朱 伟 勇 . i f s 吸引 子的 计 算 机 模 拟. 计 算 物 理 ， 2 0 0 0 , 1 7 ( 3 ) : 4 0 7 - 4 1 3 . 基于1 f s的自 然景物动态模拟方法 2 0 1 a n n a a , k w i e c in s k a , wo j c i e c h s . r a n d o m d y n a m i c a l s y s t e m s a r i s i n g fr o m i t e r a t e d f u n c t i o n s y s t e m s w it h d e p e n d e n t p r o b a b i l it ie s . s t a t i s t i c s &p r o b a b i l it y l e tt e r s , 2 0 0 0 , 5 0 ( 2 ) : 4 0 1 - 4 0 7 . 2 1 1 z h a n g y g , s u g i s a k a b m. l i f e l i k e a r ti fi c i a l t re e s b as e d o n g r o w t h i t e r a t e d f u n c t i o n s y s t e m . a p p l i e d m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t a t io n , 1 9 9 8 , 9 1 ( 1 ) : 3 - 8 . 2 2 1 b r u c e m a , k e v in c j . i t e r a t e d fu n c t i o n s y s te m s w i t h s y m m e t r y in t h e h y p e r b o l i c p l a n e . c o m p u t e r s &g r a p h i c s , 2 0 0 0 , 2 4 ( 2 0 ) : 7 9 1 - 7 9 6 . 2 3 y u x i n h e , y a l i n g h e , h u a l i . f as t a n d a c c u r a t e d e t e r m i n a t i o n o f th e b o u n d a ry o f i f s a t tr a c t o r s . c o m p u t e r s & g r a p h i c s , 1 9 9 9 , 2 3 ( 9 ) : 5 4 7 - 5 5 3 2 4 1 王兴元， 梁庆永， 马洪连 一类i f s 吸引子界与动力学特征定量观测. 大 连理工大学学 报， 2 0 0 4 , 4 4 ( 1 ) : 1 3 2 - 1 3 6 . 2 5 1 陈 元郊， 张晓竞. 计算机图 形学实 用技术. 北京: 科学技术出 版社， 2 0 0 0 2 6 1 s h i r r i ff k .f r a c t a l s fr o m s i m p l