（物理电子学专业论文）微波管高频系统时域分析与研究.pdf

摘要 摘要 微波管高频系统的特性直接影响着微波管的工作频率、频带宽度、换能效率 和输出功率，以及其它一系列整管性能。因此，研究与分析微波管高频系统的特 性，对设计和优化微波管高频结构具有决定性意义，同时也对微波管整管的研制 具有非常重要的指导性作用。本论文从时域上，对轴对称变截面波导结构高频系 统的特性进行了研究与分析。 应用正交函数的展开理论，将变截面波导中的电磁场表示为横电波( t e ) 和 横磁波( t m ) 本征模式的级数；然后根据耦合波理论，推导了考虑波导金属壁有 限电导率的变截面波导时域多模耦合波方程组( 或者说广义电报方程组) 及各模 式间耦合系数的表达式。时域多模耦合波方程组是波导模式振幅的空间一维关联 一阶偏微分方程组；因此，电磁场的计算就是求解波导模式振幅的一维关联偏微 分方程组，而不用求解m a x w e l l 全微分方程组。 针对研究结构中电磁场处于稳定状态时的特殊情况，建立了耦合波方程的稳 态模型；并对其进行数值算法分析，编写了稳态模型数值模拟程序用于数值 模拟变截面波导传输系统中的多模传输特性。首先，为了说明在t h z 波段研究变 截面波导中的多模传输特性时，波导壁的有限电导率影响必须考虑，应用该模拟 程序对圆波导中的模式衰减问题进行了数值计算分析。然后，介绍了应用该模拟 程序对变截面波导传输系统，如波导耦合器和过渡器的多模传输特性进行数值计 算分析的实例。 接下来，重点分析了时域耦合波方程组时域模型的数值算法。首先，将 时域耦合波方程组的关于轴向z 的一阶关联偏微分方程组形式化为二阶偏微分方 程组形式；然后采用时域有限差分法“预n - 校正方式对其进行求解。这样避免 了直接对一阶关联偏微分方程组采用时域有限差分法求解而导致的截止模指数增 长的错误。由于波导模式的复振幅是时间的缓变函数，在一个波周期，它的值变 化缓慢；因此，在数值计算中更新电磁场的时间步长不再受c o u r a n t 条件限制， 可以取比波周期大很多的时间步长。 最后，编写了时域模型数值模拟程序用于模拟分析变截面波导高频系统 的“冷腔 特性和变截面波导传输系统中的多模传输特性；并介绍了应用该模拟 程序对波导耦合器和过渡器等变截面波导传输系统的多模传输特性进行数值计算 摘要 分析的实例；以及应用该模拟程序，对本实验室设计的一支三段式回旋管振荡器 的“冷腔特性谐振频率、q 值和纵向分布函数等，分别采用单模和多模两种 方式进行数值计算分析的实例。 关键词：高频系统，变截面波导，耦合波方程 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h ef e a t u r eo ft h eh i g h - f r e q u e n c ys y s t e mw i l ld i r e c t l ya f f e c tt h em i c r o w a v et u b e s w o r k i n g f r e q u e n c y , b a n d w i d t h ，c o n v e r s i o ne f f i c i e n c ya n do u t p u tp o w e r , a sw e l la so t h e r p r o p e r t i e s o fas e r i e so ft h ee n t i r et u b e t h e r e f o r e ，r e s e a r c ha n da n a l y s i so ft h e k g h f r e q u e n c ys y s t e mo fm i c r o w a v et u b e ，a r ec r i t i c a lt ot h ed e s i g na n do p t i m i z a t i o no f t h es t r u c t u r e ，a n dp r o v i d eag u i d a n c er o l ef o rt h ed e v e l o p m e n to fm i c r o w a v et u b e s i n t h i sp a p e r , t h ef e a t u r eo fa x i s y m m e t r i cv a r i a b l ec r o s s - s e c t i o nw a v e g u i d eh i g h - f r e q u e n c y s y s t e mw a ss t u d i e dt h e o r e t i c a l l ya n da n a l y s e dn u m e r i c a l l yi nt i m e d o m a i n b a s e do no r t h o g o n a lf u n c t i o nu n f o l d i n gt h e o r y , t h et r a n s v e r s ef i e l d sc a l lb e r e p r e s e n t e da sas u p e r p o s i f i o no fw a v e g u i d em o d e s a n da c c o r d i n gt oc o u p l e d w a v e t h e o r y , t h et i m e - - d e p e n d e n tm u l t i - m o d ec o u p l i n g - w a v ee q u a t i o n s ( o rt h eg e n e r a l i z e d t e l e g r a p h e r se q u a t i o n s ) a n dt h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t sa m o n gt h ed i f f e r e n tm o d e s ( t e a n dt m ) w e r ed e d u c e d t h eg e n e r a l i z e dt e l e g r a p h e r se q u a t i o n sa r eas e to fc o u p l e d o n e d i m e n s i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( t i m ea n da x i a lc o o r d i n a t e s ) f o rt h e a m p l i t u d e so ft h em o d e s t h e r e f o r e ，t h ec a l c u l a t i o n so ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa r e b a s e do nt h ew a v e g u i d em o d a lr e p r e s e n t a t i o n ，w h i c ha l l o w st h es o l u t i o no far e l a t i v e l y s m a l ln u m b e ro fc o u p l e do n e d i m e n s i o n a l p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o rt h e a m p l i t u d e so ft h em o d e s ，i n s t e a do ft h ef u l ls o l u t i o no fm a x w e l l se q u a t i o n s a tt h es p e c i a lc a s ew h e nt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d si nt h es t r u c t u r eg e tas t a b l e s t a t u s ，t h es t e a d y - s t a t em o d e lo ft h ec o u p l i n g - w a v ee q u a t i o n sw a sf o u n d e d t h e n u m e r i c a la l g o r i t h mo fi tw a sa n a l y s e d ，a n dt h ec o d eo ft h es t e a d y - s t a t em o d e lw a s c o m p i l e d ，w h i c hc a nb eu s e df o rs i m u l a t i n gn u m e r i c a l l yt h em u l t i - m o d et r a n s m i s s i o n f e a t u r eo fw a v e g u i d et r a n s m i s s i o ns y s t e mw i t hv a r i a b l ec r o s s s e c t i o n f i r s t l y , t os h o w t h ee f f e c to ft h ef i n i t ec o n d u c t i v i t yo ft h em e t a l l i cw a l li nt h er e s e a r c ho ft h e m u l t i m o d et r a n s m i s s i o nf e a t u r eo fw a v e g u i d et r a n s m i s s i o ns y s t e mw i t hv a r i a b l e c r o s s - s e c t i o ni nt h zw a v e - b a n d ，t h e p r o b l e mo fm o d e a t t e n u a t i o n i nc i r c u l a r w a v e g u i d ew a ss i m u l a t e dn u m e r i c a l l yb yu s i n gt h ec o d e t h e n ，t h ee x a m p l e sf o r o p e r a t i o no ft h ec o d e ，n a m e l yt h ew a v e g u i d ec o u p l e r sa n dt h ew a v e g u i d et r a n s i t i o n s ， w e r ep r e s e n t e d i i i n e x t ，t h en u m e r i c a la l g o r i t h mo ft h et i m ed o m a i n m o d e lw a sa n a l y s e di np a r t i c u l a r f i r s t l y , t h es y s t e mo fc o u p l e df i r s t o r d e r ( i na x i a lp o s i t i o n ) d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f t h e g e n e r a l i z e dt e l e g r a p h e r se q u a t i o n sw a sc o n v e r t e dt o as y s t e mo fs e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e n ，t h et i m ee v o l u t i o no ft h ea m p l i t u d ew a ss o l v e du s i n ga s e m i i m p l i c i t f i n i t ed i f f e r e n c e p r e d i c t o r - - c o r r e c t o r s c h e m e b e c a u s et h e c o m p l e x a m p l i t u d e so f t h em o d e se v o l v es l o w l yi nt i m eo nt h es c a l eo ft h eb a s i cw a v ep e r i o d ，w e a r en o tb o u n d e db yt h ec o u r a n tc o n d i t i o n ，a n dc a nu s er e l a t i v e l yl a r g et i m es t e p se v e n w h e nt h er e q u i r e dg e o m e t r yr e s o l u t i o ni sh i 、g ha n dt h es p a t i a lg r i ds i z ei ss m a l l l a s t l y , t h ec o d eo ft h et i m ed o m a i nm o d e lw a sc o m p i l e d ，w h i c hc a l lb eu s e df o r s i m u l a t i n gn u m e r i c a l l y ”c o l dc a v i t y ”f e a t u r eo ft h eh i g h f r e q u e n c ys y s t e mw i t hv a r i a b l e c r o s s - s e c t i o n w a v e g u i d e ，b e s i d e s t h em u l t i m o d et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so f w a v e g u i d et r a n s m i s s i o ns y s t e m t h ee x a m p l e sf o ro p e r a t i o no ft h ec o d e ，n a m e l yt h e w a v e g u i d ec o u p l e r s ，t h ew a v e g u i d et r a n s i t i o n sa n dt h et h r e e - s t a g eg y r o t r o no s c i l l a t o r , w e r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：h i g h - f r e q u e n c ys y s t e m ，v a r i a b l ec r o s s - s e c t i o nw a v e g u i d e ，c o u p l i n gw a v e e q u a t i o n s i v 独创性声明 i l i j i ii l i j l l i f l ll l l l l r lf f l l u lrrllllllllj y 15 0 5 2 19 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：寥越一日期：卅年乒月弓日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：季- 兹2 坦导师签名： 日期：印年尹月乃日 第一章绪论 第一章绪论 自从麦克斯韦提如著名的麦克斯韦方程组，并预言电磁波的存在以来，人们 就不断选对电磁波进行着研究和应用，随着其研究以及福关领域科学的发展，各 个波段的电磁波资源褶继为人们所利用。在第二次世界大战中，对雷达技术的研 究促使微波技术得到了迅速的发展。众多微波器件相继问世，在通信、雷达、电 子对抗以及工农业生产、医疗卫生事业和科学研究等技术领域中得到了广泛的应 用，微波管是上述应用技术中的心脏。 1 1 微波管高频系统 微波管高频系统是指能够建立起特定的电磁场并实现电子注与高频场有效的 能量交换的机构。作为微波管中电子注与高频场相互作用进行能量交换以实现微波 振荡或放大的场所，高频系统的特性将直接影响着微波管的工作频率、频带宽度、 换能效率和输出功率，以及其它一系列整管性能。可以说，器件的性能在很大程度 上取决于高频系统，高频系统是微波管的核心部件【l 】。 微波管的高频系统可以分为谐振腔型和慢波线型两大类。谐振腔型高频系统的 特点是： ( 圭) 高频场在谐振腔中建立的是驻波场，电子注只有在通过谐振腔的高频闻隙时才 与场发生相互作用； ( 2 ) 由于谐振腔的频率选择性作用，或者说谐振腔的谐振频率是分离的一系列频率 点，因此利用谐振腔作为高频系统的器件是窄频带器件，谐振腔的品质因数越 高，器件的频带越窄； ( 3 ) 谐振腔全部由金属封 l l 形成，只在电子注通过的地方和微波能量输入输艇的地 方才开孔，因此它的热传导性能好，热耗散能力强，可以实现大功率输恕。 与此对应，慢波线型高频系统的特点是： ( 1 ) 高频场在慢波线上建立的是行波场，电子注在通过慢波线的整个过程中与行波 同步，始终发生相互作用。由于电子注的速度只能小于光速，因此行波在高频 系统上的相速也必须小于光速，才能与电子注同步，所以行波是慢波，传输慢 波的高频系统必须是慢波系统； 电子科技大学矮士学位论文 ( 2 ) 弱色散的蠖波线比螺旋线可以具有十分宽翦工作频带，带宽可以达到凡个倍频 程，当然，强色散的慢波线比如耦合腔链带宽要窄得多，只能与谐振腔型高频 系统的带宽比拟； ( 3 ) 弱色散的慢波线往往是种评敝式结构，它需要介质支撑固定在器件内部，因 丽热传导熊力低，能承受的功率容量小，其输出功率一般要比谐振腔型高频系 统盼器件低一个数量级；蔼强色散慢渡线魏果是全金属结构，没有奔质支撑， 劐输出功率同样能与谐振腔高频系统相仿。 高频系统酶功率与带宽往往相互铡约，高的输出功率般要求系统具有金属封 闭性，以保证它良好的热传导憔和散热能力；而宽的工作频带则要求系统在定程 度上的开敞性，以减少它的色散；但系统的封闭又会带来谐振特性增强，即色散增 强，带宽交窄，系统的开敞受| j 裰发，会导致熟耗散能力下降，使输出功率受到限制。 1 2 变截面波导系统及其分析方法 变截面波导系统在微波工耩中应焉鼍鎏常广泛，其结褥模型如图1 - 1 所示。 图卜1 变截面波导模型 在电子圈旋脉塞中，先了提嵩效率及改善模式分隔，娶求场沿z 轴有定缝 分布。这样就需要使用缓变截两波导开放谐振腔，即用波导截面沿z 轴变化来控 制麓蠹的场分布圈。 图1 - 2 为一篙他静回旋振荡管模型，磁控注入式电子枪提供环形空心电子 注，电子注经过一段缓变上升的磁场，产生绝热压缩，使电子的簏量大部分转化 为圈旋能量。在交截面波导甄作用腔中，电子与电磁场发生充分有效稆互作褥， 电子将能量交给高频电磁场，然后电磁波通过真空窗输出1 3 - 5 。 2 第一章绪论 g 哪 s i 哺翰o 讨 图1 - 2 回旋振荡管结构模型 在行波管、返波管、相对论切伦柯夫器件等慢波器件中，波纹波导是常用的 慢波结构【1 】，其结构图如图卜3 所示。 图卜3 波纹波导慢波结构 波纹波导慢波结构是新型全金属慢波线中的一种，具有很多优点；例如，其 热耗散能力强，可大大提高管子的输出功率；尺寸大，因而允许增大电子注半径， 提高电子注注入功率，特别适合应用于毫米波器件；等等。 变截面波导耦合器( 或称模式变换器) 和波导过渡器在高功率微波的传输系 统中也广为应用，并且具有非常重要的作用。其中，半径微扰模式变换器是一类 应用非常广泛的波导元件，它对高功率微波的传输、发送和测量都非常重要。 t e o 。- t e o 。模式变换器在回旋管输出和模式分析仪中是常用的一类变换器【6 j 。在波导 传输系统中，由于各波导线的直径不同，为了将它们有效的连接起来，就需要应 用各种不同的波导过渡器。 3 电子科技大学硕士学位论文 一般认为，当代科学研究的主要手段是科学实验、科学理论和科学计算【7 书j 。 利用高性能计算机，可以对新研究的对象进行数值模拟和动态显示，获得由实验 很难得到甚至根本得不到的科学结果。在许多情况下，由于理论模型十分复杂甚 至难以建立理论模型，或者实验费用昂贵甚至不能进行实验，科学计算就成为解 决这些问题的唯一或主要手段。 在微波管中，很多物理问题都是关于带电粒子和电磁场相互作用的问题，这 时粒子和场是自洽的，所以对待该类问题就必须结合电磁模拟和粒子模拟两种方 法，也就是用m a x w ell 方程组和粒子运动方程联立来描述物理问题，这就是电磁 粒子模拟方法。利用电磁粒子模拟软件对微波管进行数值模拟仿真在微波管的设 计与性能研究分析中扮演着非常重要的角色。一个优秀的电磁粒子模拟软件可以 节省科研人员的大量时间和精力，存在巨大的实际意义。近年来，在时域上详细 研究电子束系统中电子与波互作用的电磁粒子模拟软件方面取得了很大的进步。 美国、俄罗斯等国家已开发出多款通用或专用的电磁粒子模拟软件。例如，m a g i c 是美国m i s s i o nr e s e a r c hc o r p o r a t i o n ( m r c ) 开发的2 5 维、3 维通用电磁 粒子模拟软件。其采用时域有限差分方法( f d t d ) ，从一个特定的初始状态开始 模拟物理现象随时间的演变过程，结合粒子模拟方法自洽地考虑空间电荷与电磁 场之间的相互作用，从而具备模拟存在粒子情况下的电磁问题。l s p 是美国m r c 开发的2 5 维、3 维专用电磁粒子模拟软件。采用3 维y e e 网格的f d t d 和p i c 方法。k a r a t 是俄罗斯开发的通用电磁粒子模拟软件，使用的与m a g i c 同样的 f d t d 和p i c 算法。我国也自主研发，应用于高功率微波器件研究领域的2 5 维、 3 维通用电磁粒子模拟软件c h i p i c 软件，它采用f d t d 结合p i c 方法【9 】。 上述这些软件有一个共同之处，就是：其中的电磁场采用时域有限差分方法 ( f d t d ) ，粒子的描述采用p i c 法。在这些程序中，将场分量赋值到时空网格中， 每个时间单元步计算一次；然后去推动粒子的运动。当源计算好后，再重新计算 场，依次循环。由于f d t d 法要求时间步长应比波周期短，当处理的电磁场频率很 高时，那么程序需要运行很长的时间才能达到稳定状态。同时，空间域将需要大 型矩阵来存储电磁场的值。这就要求具有强大计算能力的计算机作为应用平台。 为了解决上述问题，需要研究一种针对性很强的专用软件，它对模型的物理 条件作一定的限制性假设，如场的结构、与电子的互作用类型等。这样，软件本 身将很小，而且对计算机的配置要求较低，不必要求具有强大计算能力的计算机 才能作为其应用平台；另一方面，应用该软件对微波管高频系统进行模拟仿真速 度也相对较快一j 。 4 第一章绪论 近年来，美国的马里兰大学对由变截面圆柱波导构成的高频结构进行了研究 与分析，并编写了一套模拟快慢波微波源系统的数值计算程序一一m a r y l a n d g y r o t r o n ( m a g y ) c o d e 。该程序包含了电磁场的时域表达和电子注的自洽性分析【9 】。 电磁场的计算是基于波导模式的形式，用数量相对较少的波导振幅的一维偏微分 方程代替m a x w e l l 全微分方程。电子运动方程的计算是在引导中心结构区域，并 将电磁场作为驱动源处理。因此，在每一个时间步骤单元，一系列的轨迹被计算， 并把它作为场的电流源。 m a g yc o d e 可用于有效的模拟快波电真空器件，如回旋管、回旋速调管、回旋 倍频管等【l 蹦刁，慢波电真空器件 9 】，如返波振荡管( b w o ) ；还用于数值模拟损耗结 构中的电磁场问题【1 3 】，以及模式变换【1 4 】等等。由于回旋管同轴结构具有比圆柱结 构更好的模式选择性，最近，m a g yc o d e 经过研究与发展，已可对同轴结构的回旋 管进行模拟计掣1 5 d8 】；同时往模拟研究内褶皱波导结构方向继续发展 1 5 1 。 1 3 学位论文的工作与贡献 本论文结合课题组研究的项目，参照m a g yc o d e 的研究方法，从时域上，对 变截面波导高频系统进行研究与分析，并设计数值模拟软件。主要工作是推导变 截面波导的时域多模耦合波方程及各模式间耦合系数的表达式；对时域多模耦合 波方程进行数值算法分析，编写时域模型数值模拟程序。同时，针对研究结构中 电磁场处于稳定状态时的特殊情况，编写了稳态模型数值模拟程序。稳态模型数 值模拟程序可用于模拟分析变截面波导传输系统中的多模传输特性；时域模型数 值模拟程序不但可以模拟分析变截面波导传输系统中的多模传输特性，还可以模 拟分析变截面波导高频系统的“冷腔”特性。 本论文主要有以下特色或创新之处： 1 、在推导过程中考虑了波导金属壁的有限电导率。 2 、利用正交函数的展开理论，将变截面波导中的电磁场表示为横电波( t e ) 和 横磁波( t m ) 本征模式的级数；根据耦合波理论推导出的时域多模耦合波方程是 波导模式振幅的一维关联一阶偏微分方程组。因此，电磁场的计算是基于波导模 式的形式，通过求解波导模式振幅的一维关联偏微分方程组来实现电磁场的计算。 与采用m a x w e l l 全微分方程组来计算电磁场相比，这样大大减小了数值计算的计 算量。 3 、采用时域有限差分法“预测一校正 方式对时域耦合波方程组进行求解。由于 5 电子科技大学硕士学位论文 波导模式的复振幅是时间的缓变函数，在一个波周期，它的值变化缓慢。因此， 在数值计算中更新电磁场的时间步长不再受c o u r a n t 条件限制，可以取比波周期 大很多的时间步长。这样大大提高了数值模拟的速度，减少了计算时间。 4 、对时域耦合波方程组的求解，是基于轴向z 的二阶偏微分方程组形式，而不 是关联一阶偏微分方程组形式。这样避免了出现在一阶关联偏微分方程组时域有 限差分解法中的截止模指数增长的错误现象。 本论文的结构如下： 第一章绪论 介绍了微波管高频系统的特点和变截面波导系统及其分析方法。 第二章变截面波导的耦合波方程 推导了轴对称、变截面波导的时域耦合波方程以及耦合系数。 第三章稳态模型算法分析与数值模拟 对变截面波导中电磁场处于稳定状态时的特殊情况稳态模型进行数值算 法分析，进而编写了数值模拟程序；并介绍了应用该模拟程序进行数值计算的一 些实例。 第四章时域模型算法分析与数值模拟 分析了时域耦合波方程的数值算法，进而编写了时域模型的数值模拟程序； 并介绍了应用该模拟程序进行数值计算的一些实例。 第五章总结 对全部论文工作进行总结分析。 6 第二章变截面波导的耦合波方程 第二章变截面波导的耦合波方程 本章根据耦合波理论和正交函数展开定理，对变截面波导结构中的高频场特 性进行理论研究，推导其中的时域多模耦合波方程与各模式间耦合系数的表达式。 2 1 耦合波理论 电子学中的一系列物理现象和过程，都是用“振荡和“波 的概念来描述 的。振荡和波是最自然的随时间或时间与空间作连续变化的现象和过程。当不只 一个振荡或不只一个波同时存在时，一般地，在这些振荡或在这些波之间总会发 生某种程度的联系。这种联系就称为振荡与波之间的耦合，而研究耦合振荡与耦 合波的普遍规律的理论就称为耦合波理论【i 引。 耦合波理论是用来分析不规则波导的有效方法。在各种形式的波导中，由于 弯曲、截面改变以及媒质非均匀性、内表面粗糙、介质膜、各向异性结构等原因 而发生的波型变换都可以利用耦合波理论来分析。根据电磁波和“电荷波”之间 的耦合现象，可以解释和分析一系列的新型微波电子器件，包括速调管、各种形 式的空间电荷波管、行波管、磁控管等。此外，耦合波理论也用来分析参量放大 器。在耦合波理论的观点下，许多电子器件都可以看成是“热波导”；这样，电 子器件就通过耦合波理论和普通波导( “冷波导 ) 联系起来。综上所述，在原 理上同时也在实际上，耦合波理论是研究许多微波问题的焦点。从数学理论来看， 耦合波理论和热传导、弹性振动的经典问题以及近代的量子力学和薛定谔方程一 样，都是建立在相同的数学方法上，这就是“正交函数的展开理论，【拶j 。 2 2 变截面波导耦合波方程 所谓变截面波导是指波导的横截面尺寸随纵向坐标变化的一类波导。这类波 导在微波工程和微波电子学中有着广泛的应用。例如，可作为把两段截面几何尺 寸不等的波导连接起来的过渡段；在模式变换中利用截面的变化完成某些模式之 间的转换；还可以构成开放式谐振腔用作新型的毫米波回旋管的互作用结构等伫o l 。 研究分析的变截面波导模型如图卜1 所示。选择圆柱坐标系( 厂，口，z ) 作为参 7 电子科技大学硕士学位论文 考坐标系，单位矢量2 ，f ，t 的取向如图中所示，波导壁的切向单位矢量为，内 法向单位矢量为矗。波导的半径乞是坐标z 的函数乞= r a z ) ；横截面s 也是坐标z 的函数s = s ( z ) 。 为了表示波导内电场和磁场之间的关系，首先将电场和磁场分别表示成横向 和纵向两部分1 9 1 。 e ( r ，力= r e 耳( r ，f ) + 迈( r ，f ) 】严】 ( 2 1 a ) b ( r ，力= r e 岛( r ，力+ 迈( r ，纠) ( 2 一i b ) 式中，e r 和b r 分别表示横向电场和磁场矢量；乜和吃分别表示纵向电场和磁场 的值；彩表示圆周频率。横向场e r 和b r ，以及纵向场易和芝都是时间的缓变函 数。 同时，系统中的高频电流矢量j ( r ，f ) 也可表示为横向和纵向两部分： j ( r , t ) = r e j r ( r , t ) + l r z ( r , t ) e u 拦】 ( 2 - 2 ) 将电磁场表达式( 式2 - 1 ) 和电流矢量表达式( 式2 2 ) 代入有源m a x w e l l 方程组 的微分形式中，可得到如下方程组： 横向： 荸：艺擎+ 一r 芝( 2 - v 3 a ) = _ 三- = z = _ 三- + 7 岂z 6 a j o z o t 。 孽= 一吉“孕+ 一r 吃( 2 - 3 b ) zvdzo t l = 一= -j 一十t 拶， c 。 一 纵向： 导- - c 2 艺( v r b r ) ( 2 - 4 a ) 鲁鲥吖v er(2-4b) 式中，v r 为横向微分算符；c 为真空中的光速。 将变截面波导任意截面上的横向场展开为比较波导中本征矢量函数的傅立叶 级数，所谓比较波导是指与所取截面完全相同的均匀直波导【删。因此，e r 和b r 展 开为【19 】： e r - - e 妇( 嘭( z ，f ) e ：( r ，z ) + 昭z ，f ) e ：( r ，z ) ) ( 2 5 a ) 8 第二章变截面波导的耦合波方程 b r - e 栅( ( z ，f ) b ：( r ，z ) + 巧( z ，f ) b ：( r ，z ) ) ( 2 5 b ) 式中，e 。和b 。分别称为矢量“电压波型函数和矢量“电流”波型函数；指电 波( t m 模) 、”指磁波( t e 模) 。和电路的量互相对比，矢量波型函数的系数圪 和厶分别称为广义“电压 和广义“电流 幅度函数。为了数学处理上的方便， 规定e ：、e ：、b ：、b ：为无量纲的函数，嘭、嘭和、鬈则分别含有电场和磁场 的量纲。此处，矢量波型函数e 。、b k 不仅是横向坐标( r ) 的函数，同时也是纵 向坐标( z ) 的函数；它们作为z 的函数仅仅是指不同截面对应于不同的比较波导， 而与传播特性有关的z 向函数则包含在振幅函数嘭、嘭和、巧中2 0 1 。 矢量波型函数由下述方程定义： t m 模： f e 2 曼i 彩( 2 - 6 a ) 【b ：= 2 e ： 。 t e 模： 孵。_ 哆r 彳( 2 - 6 b ) l b ：= 2 e ： 式中，、为归一化常数；么、彳分别是赫兹电矢量和磁矢量的幅值，它 们都分别满足二维的标量亥姆霍兹方程，以及波导壁上的电波和磁波边界条件： t m 模： v ；z + 联2 z = 0 ( 2 7 a ) 幺b = 0 ( 2 7 b ) t e 模： v 磁+ 砰z = 0 ( 2 8 a ) 监l - ，= 0 扣驴5 ( 2 - 8 b ) 式中， 群、分别是t m 波和t e 波的横向角波数。 同时矢量波型函数满足正交性条件： f o ：o e t d s = 屯( 2 - 9 a ) 9 电子科技大学硕士学位论文 d s = o 2 2 1 波导壁的阻抗边界条件 ( 2 9 b ) 在波导壁处，考虑有限电导率情况，引入阻抗边界条件【9 ，2 1 】： e f = z f i x h f ( 2 一l o ) 式中，z = ( 1 + f ) 盯为表面阻抗阱1 ；仃为波导金属壁电导率；为导磁率。e f 、 h ，表示电磁场在波导壁表面的切向( j ) 分量，两切向分量可分解为e ，、e 口、h f 、 h 口分量。进一步计算可得： 巨= 一z ( 2 1 1 ) 在如图1 - 1 所示坐标系中，有下面的关系式成立： 置= ec o s 矽+ e ，s i n 矽= c o s 矽( e + ( e r - f ) t 觚) = f - ( i x b r ) = 一易= - h a 疋+ ( e r f ) d 比r o - ( 2 - 1 2 a ) ( 2 - 1 2 b ) 将式( 2 - 1 2 ) 代入到式( 2 - 1 1 ) 中，得到波导壁表面的阻抗边界条件： 易+ 誓( e r 旬= 磊+ 毫) 2 亡( 毫b r ) ( 2 _ 1 3 ) 其中： 乙z 一以_ ( 1 + f ) 豚 ( 2 - 1 4 ) 由该表达式( 2 1 4 ) 知，当波导壁电导率盯为无穷大时，即考虑波导壁为理想导 体，则等效表面阻抗磊的值为零；当盯为有限值时，磊的值随着频率缈的增大而 增大。因此，在处理高频率，如t h z 频段问题时，波导壁表面阻抗的影响就必须 考虑；这将在下一章圆波导中的模式衰减数值模拟实例中予以验证。 2 2 2 耦合波方程 现在对横向场方程( 式2 - 3 ) 进行相应的数理变换，从而推导出变截面波导的 1 0 第二章变截面波导的耦合波方程 时域藕合坡方程，或称为广义电报方程，以及耦合系数的一般表达式。f 面是推 导的主要步骤和其中用到的重要理论依据。 首先对式( 2 - 3 a ) 的两端分别对时间t 求导，并点乘t m 模矢量电压波型函数的 共轭( e ：) ，然后在波导横截面上积分；得： 匣生t e ：钌= 艺毛争e ：订+ 夕r 鲁e ：峦 ( 2 一1 5 ) 对上式应用矢量波型函数的正交性条件式( 2 9 ) ，以及电压( 圪) 、电流( ) 幅 度函数是随时间缓变的假设条件( 昙 ) ；可以推导得如下表达式： d t 等一z ，v 1 e ，等钌刊础( 1 - 等) 一2 等仃栅告n v r 据 一乙1 + ( 2 莩扩以e ：f ) 删 ( 2 1 6 ) 在上式( 2 - 1 6 ) 的推导过程中用到了格林公式 2 3 】： i v l d l = 儿v r v d s ( 2 1 7 ) 式中，f 是闭合曲线c 指向区域d 的外部的单位法向矢量。 对式( 2 - 3 b ) 采用上面相同的方法，只是将上面两端点乘的t m 模矢量电压波型 函数的共轭( e ? ) 改为点乘t e 模矢量电流波型函数的共轭( b k “) ，即得： 啬= 一可d 2 e r 百a b z 堆 百d j r + v r ( 2 - 1 8 )蒜一7 z 可百一肛 百 同理可以推导得： 警+ 莩n 钌= 一万z s 巧叮( v r b t ) ( v r b ，) 讲 f c 一吾等一卿一等卜謦勰 然后对式( 2 3 a ) 两端点乘t m 模矢量电流波型函数的共轭( b ：) ，并在波导 横截面上积分；得： 謦b ：嬲= 一吉f 2 百d e r b 7 a s + 夕r 吃b ：钌一弘2 x j r b ：嬲( 2 - 2 0 ) 电子科技大学硕士学位论文 对上式应用矢量波型函数的正交性条件( 2 9 ) ，以及电压( 圪) 、电流( j t ) 幅度 函数是随时间缓变的假设条件( 兰 f 缈) ；可以推导得如下表达式： d f 誓+ 军n e ：老搬= 一吉z 叱7 一户r e ：豳 ( 2 2 - ) 在上式( 2 - 2 1 ) 的推导过程中用到了如下的恒等关系式： 謦b ：嬲= 謦e ：嬲( 2 - 2 2 ) 对式( 2 3 b ) 两端点乘t e 模矢量电压波型函数的共轭( e ? ) ，并在波导横截 面上积分，即得： 謦e ? 搬= j ( 艺孚) e ? 嬲+ v ，也e ? 搬 ( 2 2 3 ) 同理可以推导得： 等咖广强d z 叫晖一乙+ 2 军妒以e 和) 厶刃( 2 _ 2 4 ) d z ，。 y宓下： 。 下面做如下定义： 第k 个模式的纵向波数： = - - i c o ( 1 一等 2 叫国( t 一等) 阻2 这里有三类耦合机制嘲，第一类是由波导几何结构( 变化的壁半径) 产生的耦合， 简称为“结构耦合”： k 傲= l e t 鼍d s ( 2 - 2 6 ) 第二类是由波导壁的有限电导率产生的耦合，简称为“阻抗耦合”： 芭= 磊亭1 + 謦) 2 ( 川e 卅讲 ( 2 哪a ) 1 2 第二章变截面波导的耦合波方程 岛= 吾亭 ( v r b 以v r b f ) 刃 ( 2 2 7 b ) 弟二荚是田甩况源( 黾于汪) 严生的祸合，简称为“电子汪祸合”： = e - uj j r e ：搬( 2 - 2 8 a ) s ；- e - i a ti 仞, c 2 。仁v r e ：嬲 ( 2 2 8 b ) 磋= 口砌j r e ? 钌 ( 2 2 8 c ) 为了表达式的简洁，在式( 2 - 2 6 ) 、( 2 - 2 7 ) 中省略了和 标识。 因此，式( 2 1 6 ) 、( 2 - 1 9 ) 、( 2 - 2 1 ) 和( 2 - 2 4 ) 化简得变截面波导的时域耦合波 方程( 或者说广义电报方程) 的一般表达式： t m 模： 2 - 职e = e 一警+ l 圪一车匕一殴( 2 - 2 9 a ) 一爹嘭= 警+ 1 厶+ ( 2 2 9 b ) t e 模： 吾等= 孚嘭一警一萃一莩屹k 一( 2 - 2 9 c ) 一f 群= 警一军如形+ 军吃( 2 - 2 9 d ) 分别将式( 2 - 5 b ) 代入到式( 2 - 4 a ) ，式( 2 - 5 a ) 代入到式( 2 4 b ) 中，可以 推导得纵向场表达式： 易= 严军( 妄+ v 一： c 2 3 。a ， 吃= p 涮去莩咿r b ：( 2 - 3 0 b ) 2 3 耦合系数 在圆柱坐标系( ，幺z ) 下，对赫兹矢量的幅值z 和彳满足的二维的标量亥 电子科技大学硕士学位论文 z ：以( r ) e 枷 ( 2 3 1 a ) z = j o ( k ；r ) e 枷 ( 2 3 1 b ) 式中，n 为角向变化因子；以( 畋r ) 是靠阶b e s s e l 函数。并且： ( z ) = 参( 2 - 3 2 a ) ( 加参( 2 - 3 2 b ) 其中，厶是n 阶b e s s e l 函数的第k 个零点；厶是n 阶b e s s e l 导函数的第尼个零点。 因此可得矢量波型函数e ：和b ：的表达式： e ：= ( 4 _ 4 b ) 由于t e 模和t m 模的时域耦合波方程组的数值算法分析方法相同，下面只详 细介绍t e 模时域模型的数值算法分析。 4 1 2 边界条件与激励源 为了确定二阶偏微分方程组( 式4 - 2 ) 的解，需要确定边界条件。 对于回旋管，由于开放腔中两端都可向外辐射，因此在左、右端口都满足辐 射边界条件 2 】。 左端i z l ： 掣一废承z ) l ：o ( 4 - 5 a ) 泓 i z = z , 右端口： 掣- - n + 压醌) l ：o ( 4 - 5 b ) 叱 i z = z 2 式中乏= 属；而和乞分别表示结构左端口和右端口的轴向坐标。 3 8 第四章时域模型算法分析与数值模拟 对于变截面波导传输系统结构，为了保证输入的电磁波向+ z 方向传播( 从左 至右) ，因此在输入端口( 左端口) 应满足截止边界条件；在输出端口( 右端口) 满足辐射边界条件。故有： 左端口： i n