（物理电子学专业论文）椭圆螺旋线慢波结构高频特性研究.pdf

摘要 摘要 本文对近几十年大功率行波管的研究进展进行了简单讨论，并在此基础上 研究了一种可应用于螺旋线行波管的新型的螺旋线慢波结构，即椭圆螺旋线慢 波结构，通过对该螺旋线高频特性进行详细分析，我们初步认为，选择适当的 螺旋线和屏蔽筒离心率，可以提高系统工作频率，增加系统耦合阻抗，并且具 有改善系统带宽的潜力。 m a t h i e u 函数是椭圆柱坐标系统下场论分析的基础，因此本文首先对 m a t h i e u 函数的数值计算问题进行了详细研究，并在前人基础上完善并进一步改 进了目前被认为较为可行的数值算法，并提出了验证算法。数值实验证明，这 种改进后的算法具有易编程，精确度更高的特点。并在此基础上给出了完整的 计算程序包，建立了目前最为完整的m a t h i e u 函数曲线库。 论文第三章和第四章分别对任意离心率的自由空间椭圆螺旋线以及带有椭 圆屏蔽筒且均匀介质夹持的椭圆螺旋线的高频特性进行了详细研究，通过对其 色散特性，耦合阻抗以及场分布的研究，发现选择适当的螺旋线或屏蔽筒离心 率或二者兼而有之，可以提高系统工作频率，增加系统耦合阻抗，并且具有改 善系统带宽的潜力。 最后对本论文的研究工作进行了归纳总结，指出了进一步工作的侧重点和 必要性。 关键词：m a t h i e u 函数，椭圆螺旋线，色散特性，耦合阻抗，螺旋线慢波结构 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no fr e s e a r c hp r o g r e s sa b o u th i g hp o w e r m i c r o w a v ee l e c t r o n i cd e v i c ed u r i n gt h el a s td e c a d e b a s e do ni t ，an e wk i n do fh e l i x s l o w - w a v es t r u c t u r en a m e de l l i p t i c a lh e l i xs l o w - w a v es t r u c t u r eu s e di nh e l i x t r a v e l i n g w a v et u b e sh a sb e e n d e t a i l e d l yi n v e s t i g a t e d b ys t u d y i n g t h er f c h a r a c t e r i s t i c so ft h i ss l o w w a v es t r u c t u r e ，i t gf o u n dt h a th i g h e ro p e r a t i o nf r e q u e n c y a n di n t e r a c t i o ni m p e d a n c ew i l lb eo b t a i n e db yi n c r e a s i n gt h ee e c e n t r i c i t yo fh e l i xo r d e c r e a s i n g i to ft h es h i e l d m e a n w h i l e ，g r e a tp o t e n t i a lo fi m p r o v i n gs y s t e m b a n d w i d t hh a sa l s ob e e nf o u n di ft h ee c c e n t r i c i t yo fh e l i xo rs h i e l do rt h et w oa r e p r o p e r l yc h o o s e d m a t h i e uf u n c t i o ni st h eb a s e o ff i e l dt h e o r ya n a l y s i si ne l l i p t i c a lc y l i n d e r c o o r d i n a t es y s t e m s o ，f i r s t l y , d e t a i li n v e s t i g a t i o nh a sb e e ng i v e na b o u tt h ep r o b l e m o fn u m e r i c a la n a l y s i so fm a t h e i uf u n c t i o n s ，b a s e do nt h ep r e d e c e s s o r sc o n t r i b u t i o n ， a ni m p r o v e df a s t e ra l g o r i t h mo fn u m e r i c a la n a l y s i sa n dc o n f i r m a t i o na l g o r i t h mo f m a t h e i uf u n c t i o n sh a sb e e np r e s e n t e d t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sp r o v e dt h a tt h e i m p r o v e da l g o r i t h mh a st h ec h a r a c t e r i s t i c so fe a s i l yt op r o g r a ma n dp r e c i s i o n h i g h e r b a s e do ni t ，d e t a i l e dc o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r ep a c k a g ea n dc u r v es t o r e h o u s e o fa r b i t r a r yk i n d so fm a t h i e uf u n c t i o nh a sa l s ob e e no b t a i n e d d e t a i l e d l yi n v e s t i g a t i o na b o u tw a v ep r o p e r t i e so faf r e ee l l i p t i c a lh e l i xs l o w w a v es t r u c t u r ew i t ha r b i t r a r ye c c e n t r i c i t ya n dr fc h a r a c t e r i s t i c so fe l l i p t i c a lh e l i x s l o w w a v es t r u c t u r e s u p p o r t e db yw e l l p r o p o r t i o n e d d i e l e c t r i cw i t h e l l i p t i c a l c o n f o c a ls h i e l dh a sb e e ng i v e ni nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 b ys t u d y i n gt h er f c h a r a c t e r i s t i c so f t h i ss l o w w a v es t r u c t u r e ，i t sf o u n dt h a th i g h e ro p e r a t i o nf r e q u e n c y a n di n t e r a c t i o ni m p e d a n c ew i l lb eo b t a i n e db yi n c r e a s i n gt h ee c c e n t r i c i t yo fh e l i xo r d e c r e a s i n g i to ft h e s h i e l d m e a n w h i l e ，g r e a tp o t e n t i a lo fi m p r o v i n gs y s t e m b a n d w i d t hh a sa l s ob e e nf o u n di ft h ee c c e n t r i c i t yo fh e l i xo rs h i e l do rt h et w oa r e p r o p e r l yc h o o s e d f i n a l l y , ab r i e fs u m m a r yo ft h ec o n c l u s i o na n dd e f i c i e n c ya b o u tt h i sp a p e r h a s b e e ng i v e n ，t h ef u r t h e rw o r k e de m p h a s i sa n dn e c e s s i t yh a sa l s ob e e np o i n t e d c o i n s t a n t a n e o u s l yi nt h e1 a s tc h a p t e r k e y w o r d ：m a t h i e uf u n c t i o n ，e l l i p t i c a lh e l i x ，d i s p e r s i o nr e l a t i o n s ，i n t e r a c t i o n i m p e d a n c e ，h e l i xs l o w w a v es t r u c t u r e l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： ! ! 查查日期：冰6 年1 月l r 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师躲墓垦奎 日期：淅6 年j 月。，日 第一章绪论 1 ，1 行波管的发展历史 第一章绪论 行波管( t w t ) 作为一种非常重要的大功率微波电真空器件，其在军事领域 以及卫星通信领域有着非常重要的作用“1 。对于行波管的研究，起源于美国人 k o m p f n e r ，其在1 9 4 3 年成功研制出世界上第一只行波管，工作在3 5 g h z 频率， 1 8 3 0 v 的电压以及0 1 8 m a 的电流，同年他在b i r m i n g h a m 大学阐明了行波管的工 作原理。1 9 4 6 年1 1 月，其关于行波管的报道出现在当时的著名杂志 w i r e l e s s w o r l d 上”7 。随后，美国贝尔实验室的科学家j r p i e r c e 和l m f i e l d 也相继 制造出螺旋线行波管。螺旋线行波管的发明使远距离通信成为可能，第二年， 美国标准电话和电缆公司工程师r o g e r s 制成了世界上第一批投入实际应用的行 波管并且用于m a n c h e s t e r 到e d i n b u r g h t 邮局的中继系统中，当时的水平是， 4 0 0 0 m 的工作频率，2 0 的带宽输出2 w 的功率，增益为2 5 d b 。此后，各国科学 家对行波管的研究如雨后春笋般的涌现出来，为了克服螺旋线行波管较小的输 出功率的弱点，人们研制出了耦合腔行波管，输出功率达到连续波千瓦级和脉 冲兆瓦级，波长从i m m 到1 m ，最新的数据是9 4 g h z 时可以输出7 0 0 w 的输出功率。 直到现在，科学家们对行波管的研究仍然在进行中。 到目前为止，行波管已经形成了庞大的家族体系，它的产品按性能分类已 达数十种之多，工作频率已经从原先的5 0 0 m h z 达到1 1 0 g h z ，增益可达7 0 d b ， 并且每个频段都有许多不同性能包括工作带宽、输出功率、增益、工作方式和 不同规格的行波管供用户选用。近年来，又出现了由固态器件和行波管组成的 放大链以降低前级噪声，总增益可达7 0 8 0 d b 。同时，为了适应相控阵雷达 的需要，一种称为m p m 的微波功率模块出现0 1 ，其小形化行波管大小只有 8 1 5 0 m m ，频带为6 1 8 g h z ，输出功率l o o w ，效率大于3 3 ，增益大于5 0 d b ， 噪声系数小于1 0 d b 。 空间行波管也是t w t 家族一类非常重要的类型，因其较长大的寿命和高可 靠性，在高频和高功率电平上，在相当长的时间内仍然是卫星系统所选用的主 要电子器件。日本n e c 微波管有限公司从1 9 8 5 年起发展空间行波管，目前已生 产出k a 波段2 5 0 w 的c wt w t l d 7 2 9 2 ，频率范围为2 7 5 3 0 g ，效率为4 7 ；美 电子科技大学硕士学位论文 4 0 国b o e i n g 电子动力器件公司( b o e i n ge d d ) 发展用于深空通信的1 8 0 we a 波段空间t w t ，通过功率合成达到1 k w 的输出功率，其频率范围为3 1 8 3 2 3 g h z ，带宽5 0 0 m h z ，“_ ”1 。 总的来说，行波管向着高频、宽带、高功率、高效率的方向发展。 1 2 螺旋线行波管的工作原理 目前广泛应用的行波管( t w t ) 总的来说可以分为两种类型：螺旋线行波管 和耦合腔行波管。螺旋线行波管可以做到很宽的带宽，却具有较小的输出功率， 尤其是工作频率增加时，这种现象尤为明显。耦合腔行波管具有较好的散热特 性，因此其可以做到很高的输出功率，同时也可以做到很高的工作频率，但是 带宽较窄。因此，二者各有优缺点，分别应用于不同的场合。鉴于本文的研究 主要是针对螺旋线行波管而进行的，因此这里我们仅对螺旋线行波管的工作原 理进行简单的描述，有关耦合腔行波管的相关理论，读者可以在相关的文献中 查到”3 “。 在说明螺旋线t w t 的工作原理之前，我们先介绍一下螺旋线行波管的基本 结构。螺旋线线行波管由电子枪，磁聚焦系统，螺旋线慢波结构，输入输出装 置和收集极共五各部分组成。图1 一l 为一个典型的螺旋线行波管结构示意图 ( 1 3 16 】 0 d cf r i a g n 科i ci o c o r s i n gf i 6 1 寸 m i c r o w a v ev a c u u mm i c r o w a v e 0 e a ms l o w - w a v ec o u e c t o r c l r c uj t 图卜l 螺旋线行波管基本结构示意图 1 ) 电子枪( e l e c t r o ng u n ) 。图中最左边的部分，其作用是产生一束具有一定 尺寸、形状的电子注( e l e c t r o nb e a m ) ，并加速电子注使之达到一定速度以 与后面的电磁慢波系统进行注波互作用。 2 ) 螺旋线慢波结构( h e l i xs l o w w a v ec i r c u i t ) 。由金属线按照一定尺寸绕成， 其作用是减缓传输中的电磁波相速，使之与电子运动速度相同步，以利于信 第一章绪论 号放大。 3 ) 磁聚焦系统。在螺旋线的屏蔽筒外围加有磁场聚焦系统( 电磁线包、周期性 永磁钢或周期性静电透镜) ，其作用是约束电子注使之保持一定形状，避免 电子注扩散被高频结构所截获，提高电子注与慢波的互作用效率。 4 ) 收集级( b e a mc o l l e c t o r ) 。用来收集注波互作用后的剩余电子，采用降压 收集级可以提高降低热损耗，同时提高总的注波互作用效率。 5 ) 输入输出耦合装置( m i c r o w a v ei n p u t o u t p u t ) o 用来馈入需要放大的高频 信号并输出己经放大的微波信号。 工作原理就是：高频信号从输入口馈入后，进入高频慢波系统并与电子枪发射 的电子进行能量交换，当电子的运动速度与电磁波相速同步时，电子将其动能 传递给高频信号，使得高频信号得以放大，最后将放大后的高频信号从输出窗 耦合到负载“3 。“。 1 3 螺旋线慢波结构 慢波结构是行波管的核心部件，螺旋线慢波结构由于其结构简单，加工方便， 频带极宽，色散很弱且耦合阻抗较高等优点在行波管中得到了广泛应用。后来， 人们为了进一步拓展频带和提高功率容量又提出了一系列新型的慢波结构，如 梯形线、螺旋槽慢波结构，曲折波导、脊加载环板慢波结构、丌型线，转绕双 齿轮慢波线，波纹波导等等“”。但迄今为止，在利用带宽方面，真正在工业界 应用的主要还是螺旋线行波管。 1 3 1 物理模型 螺旋线是被最早采用的慢波线，也是行波管中应用最广泛的慢波线之一， 但就电磁场求解而言，其边界条件较不易处理，为此人们提出了不同的物理模 型，其中比较常用的有以下三种“： 13 1 1 螺旋波模型 螺旋波模型是最早提出的场分析模型，螺旋波模型认为，螺旋线上的电磁 波可以被看成是沿螺旋丝以光速传播，当波沿螺旋丝行进一圈时，在轴向( z 方 向) 前进了一个螺距。这个关系就筒常见的螺钉一样。因此慢波相速v 。与光速 电子科技大学硕士学位论文 之比就是周期p 与一圈的丝长2 7 r a c o s 舻之比。即， 羔p 2 x a s i n 口 c c o s 妒 这即螺旋波模型。当频率较高时，螺旋波模型比较符合实际，但当频率较低时 螺旋线成为一个色散系统，上式的计算误差较大。 1 3 1 2 螺旋导片模型 螺旋导片模型又称均匀系统模型，由j r p i e r c e 提出。假设螺旋线绕的足 够密，则可以把螺旋线看成为沿z 轴是均匀的系统，这时，可以把实际的螺旋 线想象成为一个其半径为真实螺旋线平均半径的一个螺旋导电圆筒，如图卜2 ， 此圆筒无限薄，在与圆周成妒角的螺旋方向上理想导电，而在与螺旋垂直的方 向上完全不导电。这样，我们就把螺旋线近似地用螺旋导电面来代替，显然， 这样的代替的实质是把沿螺旋金属丝( 或带) 流动的电流平均分配在整个面上， 并且不考虑金属丝( 或带) 的几何尺寸的影响。 图卜2 螺旋导片模型示意图 当实际的螺旋线上每个半波长包括许多根螺旋丝时，它就很好的近似为螺 旋导片，这个条件即 拿 p ，即印 万 这也即前面讨论的作为均匀系统的条件，也就是说螺旋导片就是螺旋线的 均匀系统近似模型。实验表明，在条件下这种近似分析给出的结果，与实际具 有非常好的符合。 1 3 1 ，3 螺旋带模型 前面我们提到了螺旋导片模型，亦即s h e a t h 模型。在s h e a t h 模型下，忽 略了螺旋线的轴向不均匀性，没有考虑绕成螺旋线的几何尺寸的影响，更重要 第一章绪论 的是，s h e a t h 模型没有考虑到假想电流在周期系统中传播时所引起的空间谐波 效应，因此也就不可能非常深入的了解波在螺旋线慢波系统中传播的特性。比 s h e a t h 模型更加接近实际螺旋线的物理模型是具有周期性的螺旋带模型。螺旋 线带状模型的基本思想就是：假定金属螺旋带内流动着高频电流，并且可以用 一个简单合理的数学表达式予以近似，其激发的场可以用系列空间谐波表示 出来。带状模型与s h e a t h 模型的根本的不同点在于考虑了场在纵向的周期性和 角向的不均匀性，提出了螺旋带上存在高频电流分布的合理假设。因而分析具 有更高的精确性。 假设螺旋线由金属带绕成，螺旋线在轴上的周期为p ，带宽为w ，忽略螺 旋带的厚度，认为螺旋带无限薄。则螺旋带模型可以用如下图予以简单表示。 z 图卜3 螺旋带模型示意图 螺旋导片模型和螺旋带模型是描述同一事物的两个方面，在螺旋导片模型 中反映场的角向变化的模式与螺旋带中反映场沿纵向非简谐分布的空间谐波两 者是同一物理现象。只是在作为均匀系统的螺旋导片中每个模式可以单独满足 边界条件，但在作为周期系统的螺旋带中各空间谐波不是独立的，不能单独满 足边界条件。 1 3 2 螺旋线慢波结构的发展动向 尽管单绕螺旋线由于其结构简单，加工方便，频带宽等优点在行波管中得以 广泛应用，但这并不妨碍科学家们对其他类型螺旋线的研究以进一步改善目前 螺旋线的优良特性。目前出现的新型的螺旋线有，双绕螺旋线，同轴双绕螺旋 线，反绕双螺旋线“，以及后来俄罗斯科学家提到的椭圆型螺旋线“”3 。 1 3 21 双绕螺旋线 由两根导丝( 或带) 绕成同直径螺旋线时，即成为双绕螺旋线，一般情况下 有两种绕法：- - i 中是两根同向绕制，另一种则为两根反向绕制。这种螺旋线仍 电子科技大学硕士学位论文 然具有单螺旋线的特征，前面提到的单螺旋线的理论也同样适用于双绕螺旋线。 物理模型如下： 二一 图卜4 双绕螺旋线的物理模型 双绕螺旋线有两种情况：( 1 ) 在同一z 截面上二导线中电流的相位及幅值均 相等；( 2 ) 在同一z 截面上导线中电流幅值相等但相位相反。由此不难看出， 在把上述两种电流展开时，就有两种不同情况：在第一种情况即同相激励的情 况下，电流只存在偶次谐波，因而只激励起偶次谐波的场；而在第二种情况下， 电流只有奇次谐波。因而只激励起奇次谐波的场。 双绕螺旋线的耦合阻抗的计算可按相应的公式进行，但要考虑由于不同激励 方式所引起的谐波场的幅值分布特点。其他多绕螺旋线的分析，可以以类似方 法进行。 132 2 同轴双绕螺旋线 同轴双绕螺旋线是双绕螺旋线的一般情形，但采用同轴双绕螺旋系统可以 很令人满意的获得螺旋线行波管结构简单而频带又宽的优点。 同轴双绕螺旋线系统如图卜5 所示。第一个螺旋线的螺旋角为识，第二螺 旋线的螺旋角为仍。实验表明，当两螺旋线反向绕制时，两螺旋线才能得到良 好的耦合。 图卜5 同轴双绕螺旋线的物理模型 实验表明，同轴双绕螺旋线系统能良好的应用于分米波及厘米波波段的行波 管中作为耦合系统及衰减装置，他能获得足够宽的频带。实际上，为了不致使 波从外螺旋线切断处反射，在外螺旋线的终端往往加以某种吸收器。 叶 龟 第一章绪论 132 3 环杆结构 尽管反绕双螺旋线比之单螺旋线有它的优越之处，但在结构加工上很难达 到所需的精度，因此在实际的行波管中很少采用。在反绕双螺旋线的基础上， 人们进一步将它发展为环杆结构，这种结构可以认为丝反绕双螺旋线的一种变 态，如图l 一6 所示。 h s = = 謇嚣? ： 图卜6 反绕螺旋线的变态一环杆结构 这种结构是由一系列的环和杆交替连接而成。它可以很方便的由一根金属 空管铣成或由程序控制电火花切割而成。这种结构保持了反绕双螺旋线几何结 构上的主要对称性，因而它同样具有较高的基波耦合阻抗和较低的谐波耦合阻 抗等优点，而且便于加工，因此，在现代的大功率行波管中得到了广泛的应用。 1 3 2 4 椭圆型螺旋线 有关螺旋线慢波系统的理论已比较成熟，但椭圆螺旋慢波线相关理论却鲜 有报道。前苏联学者l n l o s h a k o v ，l p s h u m s k a y a 和n e i v a n o v a 曾在1 9 7 8 年提出了椭圆螺旋慢波线的基本概念“4 ”1 ，但局限于当时的计算技术和m a t h i e u 函数运算本身的复杂性，其仅考虑了偶模的情况并且只用m a t h i e u 函数的一项 近似表示了m a t h i e u 函数的一组完备解。后来，在1 9 8 0 年，有学者证明，这种近 似是不恰当的，这种近似法只适用于“准圆”即离心率非常小的情况，在椭圆离 心率较大时结果是错误的”“”。事实上，早在1 9 6 2 年，美国学者c y e h 在一篇 介绍椭圆介质波导的文章中就提出了处理这类问题的精确方法“2 ”。即椭圆介 质波导的场可以写成m a t h i e u 函数的一套完备解，如对于椭圆介质波导中的偶 模( 一h e ) ，工区为c o r e 区，i i 区为c l a d d i n g 区，即： 在i 区：( 0 孝 。) 。= 彳。c e 。学b 。白他 ”2 0 ( 卜1 ) e 。= b m s e 。g ) 毙。o x 肚 电子科技大学硕士学位论文 在i i 区：( f o 掌o 。) 日。= zl ，f e k ，( f b ，+ 0 k 。皿 ，= 0 e ：。= p , g e k ，皓b e ，幻k 肚 r = 0 ( 1 2 ) 然后通过匹配c o r e 与c l a d d i n g 的边界条件，使用电磁场正态模式( 本征函数) 的正交性定理和展开定理“8 _ 2 ”，以及m a t h i e u 函数的正交性关系，经过繁琐的 数学推导得到 丑三g ，。+ 巴 。 = o ”o 其中n = 0 ，2 ，4 o rn = l ，3 ，5 ，。+ 巴，。 - o 由此得到椭圆介质波导下关于偶模的色散方程 三。g 。+ 只一h 。 = 0 艺。 其中n = 0 ，2 ，4 o rn = 1 ，3 ，5 ，。+ 巴。1 = o 由此得到椭圆介质波导下关于偶模的色散方程： d e t m = o 鼽 ”= 眨t 纠 m s ， lm ，ms m ，m j 为无穷行列式。例如，对于。h e o 。模，即m = 0 我们有： m = ( 卜4 ) 对于其他任意的模式，则近似始于( 1 3 ) 式，为一无穷行列式。关于奇模 也可由类似方法得出。如果我们能确定某个具体的传播模式，则可以通过有限 项逼近的方法求得精确解，一般说来，离心率越大矩阵取的维数越大，离心率 第一章绪论 e 斗o 时，则退化为我们刚刁。提到的“准圆”的情形，当e = 0 时，完全退化为圆 柱介质波导的情形。这种方法极大的提高了计算精度，并且使椭圆度达到了0 8 甚至0 9 ，但是这种方法，处理过程极为复杂，尤其对于复杂的边界条件，处理 起来有一定难度。 后来的文献”3 基本上都是前面提到的几种方法的应用和延伸，而且主要应 用于椭圆介质波导和光学纤维。 1 3 3 螺旋线慢波结构的c a d 技术 近年来，随着计算机技术的飞速发展，使得对螺旋线慢波结构高频特性的快 速准确分析成为可能，同时也为理论计算验证提供了强有力的手段。在这一领 域，国外常用的仿真软件有：h f s s 、a n a s y s 、c s tm i c r o w a v es t u d i 0 、m a f i a 等。我国的一些科研院所也在从事相应的软件开发工作，其中比较有代表性的 电子科技大学微波管仿真实验室开发的t w t c a d 系列软件产品。3 。“3 ，这些仿真软 件大大缩短了慢波结构，甚至行波管开发设计的前期工作，降低了研制成本。 1 4 本论文的主要工作及创新 螺旋线慢波结构是螺旋线行波管的核心，因此，通过寻找新型的螺旋线慢 波结构以改善螺旋线行波管的宽带特性、提高工作频率和功率容量是螺旋线慢 波结构研究的重点和方向。本文在前苏联学者l n l o s h a k o v 基础上，详细分析 了椭圆型螺旋线作为慢波结构的高频特性，给出了相应的研究成果。 完成了椭圆柱坐标系统下的基本函数一m a t h i e u 函数及其导数的数值计算修 正算法，在a i h a r g e n 算法”的基础上给出了一套计算任意宗量任意阶各类 奇、偶阶m a t h i e u 函数及其导数的快速修正算法和验证算法，并给出了相应 的程序包以及各种m a t h i e u 相关函数完整的可视化曲线库。 采用场论方法，详细分析了任意离心率下自由空间椭圆螺旋线的高频特性， 给出了相应的色散方程和耦合阻抗表达式，分析了螺旋线离一l i , 率对椭圆螺旋 线慢波结构邑散特性和耦合阻抗的影响，描绘了不同离心率下纵向电场的径 向和角向2 d 和3 d 分布图，给出了理论上的重要结论。 进一步分析了带有屏蔽筒且有均匀介质夹持时的椭圆螺旋线慢波结构的高 频特性，给出了相应的色散方程和耦合阻抗表达式，并且分别研究了屏蔽筒 9 电子科技大学硕士学位论文 存在时螺旋线及屏蔽筒离心率变化对系统色散特性和耦合阻抗的影n 向，给出 了相关的重要结论。 1 5 整个学位论文的组织 整个文章组织如下： 第一章引言 为整个论文的综述性部分，介绍了行波管的发展历史以及与本文研究相关的 螺旋线慢波系统的工作原理，常见的螺旋线慢波结构类型以及椭圆螺旋线研究 的国内外现状，最后介绍了本论文的主要工作和创新点。 第二章任意宗量的m a t h l e u 函数数值算法及可视化研究 本章主要是课题研究的准备工作。考虑到现存的数学软件没有计算m a t h i e u 函数及其导数的功能。本章经过大量的数学推理和数值试验，完成了椭圆柱坐 标系统下的基本函数一m a t h i e l l 函数及其导数的数值计算修正算法，在a l h a r g e n 算法的基础上给出了一套计算任意总量任意阶各类奇，偶阶m a t h i e u 函数及其 导数的快速修正算法和验证算法，并给出了相应的程序包以及各种m a t h i e u 相 关函数完整的可视化曲线库。 第三章任意离心率的自由空间椭圆螺旋线慢波结构高频特性研究 本章给出了椭圆柱坐标系统下波动方程解的完整表达式，并采用s h e a t h 模 型详细分析了任意离心率下的自由空间椭圆螺旋线慢波结构高频特性，分别给 出了大、小离心率情况下椭圆离心率对系统色散特性和耦合阻抗的影响，描绘 了不同离心率下纵向电场的径向和角向2 d 和3 d 分布图。给出了本章的结论。 第四章带有屏蔽筒且均匀介质夹持的椭圆螺旋线慢波结构高频特性研究 本章在第三章的基础上，进一步研究了带有屏蔽筒且均匀介质夹持的椭圆螺 旋线慢波结构的高频特性，采用场匹配方法推导了相关的色散方程和耦合阻抗 表达式，研究了椭圆螺旋线情况下屏蔽筒离心率变化或螺旋线离，l h , 率变化对系 统色散特性和耦合阻抗的影响，给出了本章的结论。 第五章结束语 本章是全文的总结，主要对本论文的工作进行了归纳总结，对研究过程中 存在的问题进行了归纳整理，并对该课题的进一步发展作出了展望。 最后是本文的致谢、参考文献、附录、以及作者攻硕期间的主要学术成果。 第二章m a t h i c u 函数的数值计算及其可视化研究 第二章m a t hie u 函数的数值算法及其可视化研究 2 1 引言 m a t h i e u 函数在椭圆波导系统，椭圆柱体的电磁散射以及单模椭圆截面 光纤，电子和离子的周期性运动系统，椭圆薄膜和机械力学中有着十分重要 的应用。它是数学物理方程中遇到的一类特殊函数，有关m a t h i e u 函数的理 论在一些专著里已有所论述o “”1 然而关于m a t h i e u 函数的数值计算却报道的 较少，有关m a t h i e u 函数及其导数以及他们的零点的数表和曲线至今亦不完 善，特别是参数q 为负值时的修正的m a t h i e u 函数，目前尚无具体的数表可 供参考，解析解目前更无法求。主要原因在于人类对椭圆不对称问题提出的 较晚，且尚未形成一个统一的使用标准，而且目前使用的多种m a t h i e u 函数 表示符号也混淆了人们对m a t h i e u 函数的进一步认知。再加上m a t h i e u 函数 计算过程中连分式迭代引起的特征值发散以及矩阵求解归一化傅立叶系数过 程中的易发散性也是制约m a t h i e u 函数数值计算发展的一个很重要的因素。 1 8 6 8 年，e m i l e m a t h i e u 提出了椭圆柱坐标系统下的m a t h i e u 函数“。 1 9 9 3 年，r s h i r t s 给出了一套计算m a t h i e h 函数整数阶和部分阶的 f o r t r a n 程序”，精度达到1 0 。1 4 。同年，f a a l h a r g a n 提出了一种基于特征 值法计算m a t h i e u 函数的算法。” 1 9 9 5 年，国内学者张善端教授给出了q = + 2 5 ，一2 5 时的m a t h i e u 函数，以 及第一类和第二类变形m a t h i e u 函数前1 2 阶马丢函数值及其导数值的数据列 表，其部分结果与现存的文献出入较大“”。 1 9 9 9 年，s c h n e i d e r fe t f a l 应用双曲函数的幂级数展开的方法计算了第 一类径向m a t h i e u 函数，避免了使用b e s s e l 积函数展开的近似方法，大大的 缩短了计算时间，同时却降低了函数的计算精度，且仅限于坷值为正时的第 一类径向m a t h i e u 函数“” 2 0 0 3 年，m o n t e r r e y 在f a a l h a r g a 的基础上给出了计算m a t h i e u 函数的 计算框图，并给出了部分典型数据表。 因此，我们的工作在前人的基础上，尤其是在f a i h a r g a 的基础上，考 虑到现存的大型数学软件没有完整计算m a t h i e u 函数的功能，以及m o n t e r r e y 电子科技大学硕士学位论文 和f a a l h a r g a 算法本身存在的一些缺陷，并且考虑到特征值迭代求解过程 中由于多次求商引起的截断和累积误差引起的特征值发散，结合我们的数值 实验以及下一步工作，修正和完善了一种计算m a t h i e u 函数的新算法，给出 了验证算法，并用此算法重新计算了奇、偶阶m a t h i e u 函数，修正的m a t h i e u 函数及其导数，并与国外文献提供的典型数据进行了对比，给出了相应的程 序包。并给出了完整的可视化曲线，这对验证程序的准确性非常有用。并搜 集整理了目前文献“”。”4 “中使用的多种m a t h i e u 函数命名法并给出了对比列 表( 附录a 1 ) ，这对增强人们对m a t h i e u 函数相关文献的可读性以及人们对 m a t h i e u 函数的认知也起到了很重要的推动作用。 2 2m a t h ie u 函数简介 m a t h i e u 函数源于椭圆柱坐标系统下的分离变量法 系统下，标量亥姆霍兹可以分解为如下两种形式： 爵+ o - 2 q c o s 2 7 7 ) 1 址。 专一。- 2 q c o s h2 ；) 1 删= 。 通常，在椭圆柱坐标 ( 2 一1 ) ( 2 2 ) 前者称为角向m a t h i e u 方程，后者成为径向m a t h i e u 方程，其对应的解分 别称为角向m a t h i e u 函数和径向m a t h i e u 函数，式中，盯为分离常数，f 和叩为 椭圆柱坐标系统的参变量，q 为与横向传播常数有关的参数，且 厂为椭圆半焦距，k 。为横向传播常数。 2 2 1 角向m a t h ie u 函数( a m f ) 由于方程( 2 - 1 ) 是一个二阶差分方程，因此其必然有两组独立的解，根据 a l h a r g e n 对m a t h i e u 函数的命名法则。，函数c e 。( 叩，q ) 年d s e 。( 叩，q ) 用来表示第一 第二章m a t h i e u 函数的数值计算及其可视化研究 类角向m a t h i e u 函数，斥。0 7 ，9 ) 和g e 。0 ，口) 用来表示第二类m a t h i e u 函数。 峄 匡巫亘习匡垂巫圈 匿：翟蘑 图2 一l 角i 刍 m a t h i e u 函数的分类 值得一提的是，第一类角向m a t h i e u 函数关于卵是周期性的，而第二类角向 m a t h i e u 函数则是卵的非周期性函数，对于这种非周期函数，大多数物理应用中 很少涉及，因此这里我们只讨论周期性的m a t h i e u 函数。对于我们常用的第一 类角向m a t h i e u 函数，我们将之用傅立叶级数的形式表示出来。“，即： c e ：。0 ，g ) = 彳2 j ( q ) c o s 2 j r ：口：。 ( 2 3 一1 ) j = o c p ：。幻，叮) = za ：，+ 。( q ) c o s ( 2 j + 1 ：口：。+ 。 ( 2 3 2 ) ，= o s e ：。0 ，g ) = 岛( q ) s i n ( 2 j + 2 ) i 产o s e ：。g ，q ) = b ( q ) s i n ( 2 j + l b ：b ：。 ( 2 3 4 ) 当g - f f0 时，式( 2 - 3 一1 ) ，( 2 - 3 2 ) 趋于c o s t ，而式( 2 - 3 3 ) ，( 2 - 3 4 ) 则趋 于s i n 玎，根据这一性质，我们分别称c ：e 、s e 为偶型或奇型的角向m a t h i e u 函数。 其中，n o ，1 2 j 表示m a t h i e u 函数的阶数，2 。，a 2 。j i ，b 2 m ，b 2 h 表示相对应的 偶、奇型各阶m a t h i e u 函数的特征值，爿。( g ) ，b m ( g ) 代表偶、奇型各阶对应 m a t h i e u 函数的系数，它们是m a t h i e u 参数g 的函数。 对于方程( 2 - 1 ) ，如果2 0 ，则g 0 ，此时( 2 - 1 ) 变为： 高+ o + 2 q c o s 2 r ) j 。拈。 t ， 电子科技大学硕士学位论文 称之为修正的角向m a t h i e u 方程，方程的解即为修正的角向m a t h i e u 函数，其 表示方法与式( 2 3 ) 一致，不同的是将式( 2 3 ) 中的g 换成一q 即可。修正的 角向m a t h i e u 函数的值可以由角向m a t h i e u 函数的对称性求得，见附录a 2 。 2 2 2 径向m a t h ie h 函数( r m f ) 径向m a t h i e u 函数在椭圆柱坐标系统下所扮演的角色与b e s s e l 函数在圆柱 坐标系统下所扮演的角色相同，采用a l h a r g e n 的命名法则，我们完全可以将二 者对应起来说明，需要指出的是，由于m a t h i e u 函数存在着奇，偶型之分( 实 质上是由于椭圆结构的不对称性引起) ，因此，上述m a t h i e u 方程( 2 - 2 ) 应该 有八组解，分类表示如下： 图2 2 径向m a t h i e u 函数的分类 从图可以清楚的看出，任何一个b e s s e l 函数总是与一个偶型和一个奇型 m a t h i e u 函数相对应。 如果f 2 0 ，则q 0 ，则此时方程( 2 - 2 ) 变为： f 专一g 吻c o s h2 掌) 忙) = o 一d 称为修正的径向m a t h i e u 方程，其解为相应的修正的径向m a t h i e u 函数，表示 方法如图2 2 所示。我们可以看出，q 口b 。+ ， 一般说来，m a t h i e u - - h a n k e l 函数用来研究电磁波的散射问题，代表椭圆柱 面行波，第一类m a t h i e u - - h a n k e l 函数表示自外向内的椭圆柱面行波，第二类 m a t h i e l - - h a n k e l 函数表示自内向外的椭圆柱面行波。实际的场解采取什么函数 形式取决于所求问题的边界条件。 2 3 数值算法 由于m a t h i e u 函数的特殊性，关于m a t h i e u 函数的数值算法国际上研究的不 是很多”5 4 ，总的来说，可以归纳为以下四种： 1 ) 连