（电磁场与微波技术专业论文）电磁散射问题的自适应积分法及其预条件技术的研究.pdf

摘要 摘要 为了满足求解复杂电磁问题的需要，以各种电磁场数值分析方法为研究内容的计 算电磁学得到了发展。矩量法以积分方程为基础，是解决电磁散射问题最常用的方法 之一。它的优点是精度高，稳定性好，但它需要求解一个稠密的矩阵方程。如果用迭 代法求解矩阵方程，其存储量级是o ( n 2 ) ，运算量级是k o ( n 2 ) ，这里是未知量个 数，k 是迭代次数。这样大的存储量和运算量对计算机资源提出了很高的要求，这大 大制约了矩量法的应用范围。因此，研究和发展快速而有效的矩量法成为当今计算电 磁学研究的热点之一。自适应积分方法( a i m ) 正是在这个背景下发展起来的，它具 有所需内存小，计算量小，速度快的优点。a i m 的基本原理是建立两套基函数( 原基 函数和辅助基函数) ，分别用于计算矩量法阻抗矩阵的近场元素和远场元素。在为原基 函数确定等效的辅助基函数时，通常采用高阶矩量匹配法。本质上，这个转换是在广 义函数框架下进行的，因而总是存在误差。转换误差的大小与规范笛卡尔网格的粗细 程度以及计算参考点的位置都有关系，有待进一步研究误差控制策略。a i m 求解矩量 法矩阵方程是采用迭代法，尽管矩阵向量积被快速f o u r i e r 变换( f f t ) 加速，但迭代 次数仍然可能较多。特别地，由于远场矩阵元素采用辅助基函数计算而产生误差，这 也可能导致矩阵的条件数变差，因此，研究越m 的预条件技术以增强a i m 方法的效 率具有非常实际的意义。目前针对a i m 的预条件技术的研究尚不多见。本文的主要工 作概括为两个部分： 第一部分：研究m m 中为原基函数确定等效辅助基函数的方法。我们在b l e s z y n s k i 等人的方法基础上，进一步定性、定量地分析误差的控制方法。提出了一个提高远场 矩阵元素自适应积分精度的有效方法：将基函数的支集划分成若干个子支集，首先以 各个子支集的几何中心为参考基点计算限制函数的多极展开系数，然后将这些多极展 开系数叠加而获得基函数的多极展开系数。文中提供了数值测试，验证了这个新方案 的正确性和有效性。 第二部分：对m m 方法中的几个预条件方案进行比较性研究。矩量法矩阵的结构 特性与未知量的编号有关，而在a i m 方法中的未知量编号是由网格剖分自动产生的( 原 始编号) ，一般不能直接获得块对角形式的近场矩阵，因而“近场矩阵对角块预条件”的 方案不适用。我们基于近场矩阵不完全l i d 分解，研究预条件器的构造方案，重点研 究了近场矩阵i l u ( 0 ) 预条件器和近场矩阵d i l u 预条件器，并通过数值实验测试了它 们的性能。结果表明，a i m 的近场矩阵i l u ( 0 ) 预条件器和近场矩阵d i l u 预条件器都 有较好的性能，特别是它们都能明显地提高e f i e m o m a i m 和c f i e m o m a i m 的迭 代收敛率。这一研究成果为a i m 方法在电磁数值分析中的应用提供了有价值的参考。 关键词：矩量法、r w g 函数、自适应积分法、预条件技术，预条件器 a bs t r a c t t h em e t h o do fm o m e m s ( m o m ) i so n eo ft h em o s tp o p u l a rm e t h o d si na n a l y z i n gt h e e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s t h em o mc a nb eq u i t ea c c u r a t e h o w e v e r ，d u et oi t s d e n s es y s t e mm a t r i x ，t h em o ms u f f e r sf r o ma ne x c e e d i n g l yl a r g es t o r a g er e q u i r e m e n to f d ( n 2 ) a n dd i r e c ts o l u t i o nt i m eo fd ( n 3 ) t h a tb e c o m ep r o h i b i t i v e l yl a r g ea st h ee l e c t r i c a l s i z eo fas c a t t e rg r o w s t h e r e f o r e ，e x t e n d i n gt h er a n g eo fa p p l i c a b i l i t yb yi m p r o v i n gt h e e f f i c i e n c yo ft h ec o n v e n t i o n a lm o m h a sr e c e i v e das i g n i f i c a n ta m o u n to fa t t e n t i o n t h e a d a p t i v ei n t e g r a lm e t h o d ( a i m ) w a sd e v e l o p e du n d e rt h eb a c k g r o u n d c o m p a r e d 、v i t l lt h e c o n v e n t i o n a lm o m ，t h ea i mr e d u c e st h em e m o r yr e q u i r e m e n ta n d c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t yd r a m a t i c a l l y t h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h ea i mi se s t a b l i s h i n gt w os e t so fb a s i c f u n c t i o n s ( o r i g i n a lb a s i cf u n c t i o n sa n da u x i l i a r yb a s i sf u n c t i o n s ) ，w h i c ha r ee m p l o y e dt o c a l c u l a t et h e n e a r - f i e l de l e m e n ta n df a r f i e l de l e m e n to fi m p e d a n c em a t r i xi nt h ea i m a l g o r i t h m ，r e s p e c t i v e l y t h eh i g h e r - o r d e rm o m e n tm a t c h e dm e t h o di su s u a l l ye m p l o y e dt o d e t e r m i n et h ee q u i v a l e n ta u x i l i a r yb a s i sf u n c t i o n sf o ro r i g i n a lb a s i cf u n c t i o n s e s s e n t i a l l y ， t h et r a n s f o r m a t i o ni sc a r r i e do u tu n d e rt h eg e n e r a l i z e df u n c t i o nf r a m e w o r k t h e r e f o r e ，t h e r e e x i s t sa l w a y se r r o r t h es i z eo fe r r o ri sr e l a t e dt ot h ec a r t e s i a ng i r d s p a c i n ga n dt h ep o s i t i o n o fr e f e r e n c ep o i n t t h ee r r o rc o n t r o ls t r a t e g ys h o u l db ef u r t h e ri n v e s t i g a t e d t h ei t e r a t i v e m e t h o d sa r ea d o p t e dt os o l v et h em o mm a t r i xe q u a t i o ni nt h ea i m a l t h o u g ht h e m a t r x - v e c t o rm u l t i p l i c a t i o ni sa c c e l e r a t e db yt h ef f t ，t h es p e e do fi t e r a t i o nm a yb es l o w l y p a r t i c u l a r l y ，t h ee r r o ro ft h ef a r - f i e l de l e m e n t so b t a i n e db ya u x i l i a r yb a s i sf u n c t i o n sw o u l d l e a dt ot h eb a dc o n d i t i o nn u m b e ro ft h em mm a t r i xe q u a t i o n t h e r e f o r e ，t h ep r e c o n d i t i o n i n g t e c h n i q u ei sv e r yi m p o r t a n tf o rt h ea i m t h em a i nw o r k so ft h i st h e s i sc o m p r i s et w op a r t s ： t h ef i r s tp a r ti st oi n v e s t i g a t et h em e t h o do fd e t e r m i n i n gt h ee q u i v a l e n ta u x i l i a r yb a s i s f u n c t i o n sf o rt h eo r i g i n a lb a s i cf u n c t i o n si nt h ea i m w ef o c u so nt h ep r e c i s i o no ft h e f a r f i e l dm a t r xe l e m e n t si nt h em m b a s e do ne r r o ra n a l y s i so nt h ef a r f i e l dm a t r i x e l e m e n t s ，w ep r o p o s ea l le f f i c i e n tm e t h o dt oi m p r o v et h ep r e c i s i o no fa d a p t i v ei n t e g r a l so f f a r - f i e l dm a t r i xe l e m e n t s ：t h es u p p o r to fab a s i sf u n c t i o ni sf i r s t l yd i v i d e di n t os o m e s u b s u p p o r t s ，a n dt h e nt h em u l t i p o l ee x p a n s i o nc o e f f i c i e n t so fs u b f u n c t i o n so ns u b - s u p p o r t s a r ec a l c u l a t e d 、加lt h es u b s u p p o r t s g e o m e t r i cc e n t e r sa sr e f e r e n c ep o i n t s t h e nt h e m u l t i p o l ee x p a n s i o nc o e f f i c i e n t so ft h eb a s i sf u n c t i o nc a nb eo b t a i n e db ya d d i n gm u l t i p o l e e x p a n s i o nc o e f f i c i e n t so fa l ls u b - f u n c t i o n st o g e t h e r t h en u m e r i c a le x a m p l e sp r e s e n t e di n t h i st h e s i sv e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h em e t h o d t h es e c o n dp a r ti sc o m p a r a t i v er e s e a r c ho ns e v e r a lp r e c o n d i t i o n e r so ft h ea i m t h e 东南大学硕士学位论文 s t r u c n l r ea n dp r o p e r t i e so ft h em o mm a t r i xa r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h ew a yt ob u i l dt h e u n k n o w n s s e r i a ln u m b e r s i nt h ea i m ，t h eu n k n o 、a q l s s e r i a ln u m b e r sa r eu s u a l l yg e n e r a t e d b yt h em e s hg e n e r a t i o n ( t h ep r i m i t i v en u m b e r s ) ，a n dt h e nt h e r ei sn on e a r f i e l dm a t r i xo f b l o c kd i a g o n a lf o r m t h e r e f o r e ，t h ed i a g o n a lb l o c kp r e c o n d i t i o n e ri sn o ta v a i l a b l e w e c o n s i d e rp r e c o n d i t i o n e r sb a s e do nt h ei n c o m p l e t el u d e c o m p o s i t i o no ft h en e a r f i e l dp a r to f t h ea i mm a w i x ，e s p e c i a l l yf o c u s i n go nt h ei l u ( o ) a n dt h ed i l up r e c o n d i t i o n e r s w et e s t t h e i rp e r f o r m a n c e st h r o u g hn u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，a n dt h e np r o v i d ev a l u a b l ec o n c l u s i o n s f o rt h ea i mm e t h o di ne l e c t r o m a g n e t i cn u m e r i c a la n a l y s i s k e y w o r d s ：t h em e t h o do fm o m e n t s ，t h er w gb a s i sf u n c t i o n ，t h ea d a p t i v ei n t e g r a lm e t h o d ， p r e c o n d i t i o n i n gt e c h n i q u e ，p r e c o n d i t i o n e r i i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 猛塑屺 日期： 东南大学学位论文使用授权声明 1 ，驴 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括 刊登) 授权东南大学研究生院办理。 一虢型l 聊繇醴叩、仉谚 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 第一章绪论 电磁场的分析方法有很多，大致可分为两类：即微分方程方法和积分方程方法。 微分方程方法包括时域有限差分法( f d t d ) b - 7 】、频域有限差分、直线法、传输线矩 阵法和有限单元法( f e m ) 【8 9 1 等；频域积分方程方法的主要代表是矩量法( m o m ) 1 0 - 1 2 】。 自从r f h a r r i n g t o n 关于矩量法的著作( ( f i e l dc o m p u t a t i o nb ym o m e n tm e t h o d s ) ) 瞵j 问 世以来，矩量法在电磁散射与辐射问题的数值分析中得到了广泛的应用，已经成为电 磁问题数值计算领域中最受欢迎的方法之一。矩量法的主要优点在于它以积分方程为 基础，可以使用任意弯曲几何离散和单元内未知量的高阶逼近，并且积分核( g r e e n 函 数) 还精确地满足s o m m e r f e l d 辐射条件u3 1 。 经典矩量法的缺点在于数据存储量和计算复杂度都很高，因而众多的学者从事着 快速算法的研究。随着研究的深入，国际上出现了多种基于矩量法的分析电大复杂目 标电磁散射特性的快速算法，主要有傅立叶变换( f f t ) 与m o m 结合的m o m f f t 、 快速多极子方法( f m m ) 2 3 - 2 4 和多层快速多极子方法( m l f m a ) 【1 】， 2 5 - 2 6 】、自适应积 分法( a i m ) 【1 刀以及预修正快速傅立叶变换法( p f f t ) 等，这些方法大幅度地降 低了矩量法的存储量级和计算量级。 自适应积分方法( a i m ) 是e b l e s z y n s k i 等人( 1 9 9 4 1 9 9 6 ) 提出的【l 7 1 。a i m 的基 本原理是建立两套基函数( 原基函数和辅助基函数) ，分别用于计算阻抗矩阵的近场元 素和远场元素。首先对每一个基函数确定等效的“辅助基函数”。辅助基函数是定义在 均匀的笛卡尔网格节点上的。一个阻抗矩阵元素是由表示场的测试函数与表示源的基 函数通过g r e e n 函数决定的。将阻抗矩阵元素划分为近场元素和远场元素，分别采用 不同的方法计算矩阵元素。远场矩阵元素的计算通过辅助基函数来获得( 不必实际存 储) 。对应于辅助基函数的g r e e n 矩阵( 离散g r e e n 函数) 具有拓扑利兹( t o e p l i t z ) 特 性，只需要极少的存储量。另外，g r e e n 函数矩阵与向量相乘可以通过快速f o u r i e r 变 换( f f t ) 来加速。近场矩阵元素直接通过原基函数的g a l e r k i n 测试获得，且近场矩阵 是一个稀疏矩阵，在经过远场校正后直接存储。 在为原基函数确定等效的辅助基函数时，通常采用高阶矩量匹配法。本质上，这 个转换是在广义函数框架下进行的，因而总是存在误差，误差大小与规范笛卡尔网格 东南大学硕士学位论文 的粗细程度以及计算参考点的位置都有关系。误差控制策略有待进一步研究，这是本 文的工作内容之一。a i m 求解矩量法矩阵方程是采用迭代法。尽管矩阵向量积被快速 f o u r i e r 变换( f f t ) 加速，但迭代次数仍然可能较多。特别地，由于远场矩阵元素采 用辅助基函数计算而产生误差，这也可能导致矩阵的条件数变差，因此，研究a i m 的 预条件技术以增强a i m 方法的效率具有非常实际的意义，这是本文的工作内容之二。 目前，对于f m m 2 3 埘】和m l f m a 2 5 - 2 6 1 ，都有较多文献研究其预条件技术，但针对a i m 的预条件技术的研究尚不多见。 1 2 本文的主要工作 本文主要开展对基于电磁场积分方程的自适应积分法及其预条件技术的研究，内 容的写作分为三个部分：第一部分是对基本理论的介绍和总结，包括第二章和第三章； 第二部分是针对自适应积分法中的投影算子精度的研究；第三部分是对自适应积分法 中的预条件技术的研究。 第二章介绍了矩量法的基本原理。简要介绍了矩量法的建模步骤，包括电场、磁 场和组合场积分方程。还较详细地介绍了矩量法中常用的r w g 基函数的构造、矩阵 元素的奇异性处理技术、r c s 的计算公式等。最后用一个数值例子说明了本章理论方 法的运用。第三章介绍了自适应积分法a i m 的基本框架，包括基本原理和数值实现方 法、矩阵向量积的快速计算方法等，为第四章和第五章的研究奠定了基础。第四章基 于对远场矩阵元素的误差分析，探索提高远场矩阵元素自适应积分精度的方法。我们 提出的方法是，将基函数的支集划分成若干个子支集，首先以各个子支集的几何中心 为参考点计算限制函数( 子支集上的子函数) 的多极展开系数，然后将这些多极展开 系数叠加来获得原基函数的多极展开系数。最后提供了数值测试例子，验证了这个方 案的正确性。第五章对a i m 方法中的预条件方案进行比较性研究。基于近场矩阵不完 全l u 分解的途径，研究预条件器的不同构造方案，重点研究了近场矩阵i l u ( 0 ) 预条 件器和近场矩阵d i l u 预条件器，并通过数值实验测试了它们的性能。为a i m 方法在 电磁数值分析中的应用提供了有价值的参考依据。本论文中暗含的时间因子是 e x p ( j c o t ) 2 第二章矩量法基本原理及实现 第二章矩量法基本原理及实现 2 1引言 自从二十世纪六十年代r f h a r r i n g t o i l 提出电磁场矩量法以来【1 0 】，矩量法在理论 上日臻完善，并成为电磁场问题数值计算领域中最受欢迎的方法之。矩量法是基于 电磁场积分方程的数值方法，与微分方程方法将电、磁场的空间分布作为未知函数不 同，积分方程求解的是源，即等效电、磁流。以理想导体散射为例，未知等效电流位 于理想导体的表面上，而非整个空间，这样就大大减少了未知量的个数。此外，由于 积分方程的核( g r e e n 函数) 严格描述了电磁场在无限远处的s o m m e r f e l d 辐射条件【l3 1 ， 因此矩量法有较高的数值精度。当今的矩量法已经克服传统的缺点，即与快速计算技 术c g f f t 、f m m 、m l f m a 、a i m 等结合在一起，成为非常受欢迎的快速数值分析 方法。本章从电磁场等效原理出发，逐步介绍矩量法的数学基础，包括基函数与权函 数的选取，未知函数的展开，以及g a l e r k i n 测试步骤，最后将电磁场积分方程转化为 一个有限阶的矩阵方程。本章的内容为后续章的工作奠定了基础。 2 2电磁场等效原理与积分方程 2 2 1电磁场等效原理 在许多问题中，为了方便地求解所关心区域内的场分布，可以用等价的模型替换 原来的模型。这种替换的依据就是“等效原理”。 在图2 1 的问题( 1 ) 中，源歹“，庸。在充满媒质( a ) 的整个空间中辐射，产生场分布 豆“，疗。在图2 1 的问题( 2 ) 中，源7 们，露6 在充满媒质( b ) 的整个媒质空间中辐射， 产生场分布豆( 6 、，疗( 6 、。在几何空间中放置一个封闭曲面s ，使得源了( “，厨( 。在s 内部， 而源7 ( 们，厨( 6 在s 外部。现在来构造一个特定的场分布：即在s 的内部保持场分布 豆( ，疗( ，而在s 的外部保持场分布豆( ，疗( ，根据电磁场边界条件，在s 上应当有表 面源( 等效电、磁流密度) 五= h x 詹6 ) 一疗佃 ，以= 丘6 、一雷口 h ( 2 2 1 ) 东南大学硕士学位论文 根据电磁场唯一性定理，只须在s 的内部充满媒质( a ) 的区域保持源了“，厨”，在s 的 外部充满媒质( b ) 的区域保持源了，厨6 、，在s 上放置等效电、磁流分布五，厨，这样， 三部分源在整个空间辐射，产生所需要的特定场分布。在这个特定的场分布中，在s 内 部的场保持与图2 1 ( a ) 中的一致，在s 外部的场保持与图2 1 ( b ) 中的一致。 外部场分布 豆( 口j ，豆口) ，一一一。、 s ，一，| 内部场分布 、。、 雷( 引，曰( 口、，u _ j 、源二名i v 、源分布 、一。 苌域的边界， 问题( a ) 图2 - 1 电磁场的等效原理 例如：在s 外部保持场分布豆( 扪，曰( ，而将s 内部的场设为零场。这时可以在s 内 部置源分布为零，而任意选择媒质分布，但必须在s 上放置等效电、磁流密度 五= 南曰，矾= 豆6 五 ( 2 2 2 ) 实际上，在这种情形下，常常将s 内部的媒质分布修改成与s 外部的媒质分布一致。 2 2 2电场积分方程、磁场积分方程和组合场积分方程 对于一个具有理想导电体( p e c ) 表面s ，单位法向量卉指向外部。在s 上，总场 满足边界条件： 而( 置7 + 后5 ) = 南豆= 0 ( 2 2 3 ) 卉( h + h 。) = 南日= ， ( 2 2 4 ) 7 为p e c 表面等效电流，云( ，) ，疗( r ) 为总场，五( ，) ，豆7 ( ，) 是入射场，豆。( ，) ，百5 ( ，- ) 是散射场： 4 黼胛獭融 、 ， ，徽 踯 黼胖 一瓣 问 场 r 弋 螂 p 一 第二章矩量法基本原理及实现 e ( f ) = - j c o o p o 小班吉( v 厕) v 卜啦 叫) n 0 日。( 尹) = 一j l r ，( 尹) v g 酽一芦) a s ( 2 2 6 ) 将( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 代入( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 得 卜h 叩+ 去v ( v 丽，) 卜珊 锄 亿2 刀 豆( 尹) = i 1 而7 ( 芦) + p y l 了( 尹) v g 酽，尹) 凼 协 ( 2 2 8 ) 其中，岛，盹是真空中的介电常数和磁导率，g ( 尹，力为格林函数，三维自由空间格林 函数 g ( 无力2 而 仁2 9 ) 自由空间波数 = c 0 0 4 - t 0 6 0 九 ( 2 2 1 0 ) 自由空间波阻抗 驴摇 ( 2 2 m ) 入射波云扩) 通常采用平面波，即 云够) = ( 晷+ 目 ；) e - j 互, 7 ( 2 2 1 2 ) 其中，乏为传播矢量， t = k o k , = i , o ( 曼s i n o , c o s 痧, + ) s i n o js i n 谚+c o s 口i ) ( 2 2 1 3 ) 方程( 2 2 7 ) 称为电场积分方程( e f i e ) ，方程( 2 2 8 ) 称为磁场积分方程( m f i e ) ，二者 的线形组合就是组合场积分方程( c f i e ) a ( e f i e ) + ( 1 - a ) r l h x ( m f i e ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 4 ) 式中a 介于0 和1 之间，波阻抗，7 在( 2 2 1 4 ) 式中的作用是为了使e f i e 和m f i e 两部分有相同的量纲。 实践表明，e f i e 适用范围最广，它可以用于分析任意结构的p e c 散射体，而 m f i e 和c f i e 只能用于分析封闭的p e c 散射体。采用m f i e 生成的阻抗矩阵的条件 数最好，e f i e 最差。在分析封闭结构的时候，当工作频率在电场谐振频率附近时，e f i e 失效。类似地，当工作频率在磁场谐振频率附近时，m f i e 失效。庆幸的是e f i e 和 东南大学硕士学位论文 m f i e 是不会同时失效的，因此c f i e 总能很好的分析封闭结构的散射问题。 2 3 矩量法的数学原理 描述电磁散射问题的数学模型，如分析理想导电体散射问题的电场积分方程式 ( e f i e ) 和用于非均匀介质体的体电场积分方程( v e f i e ) ，都可以用算子方程来描述： 巧= 季( 2 3 1 ) 其中，；是已知的源函数或激励函数，7 是待求的未知函数。一f 和；分别定义在函数 空间f 和g 上，c 是线性算子，将f 空间的函数映射到g 空间上。 首先，用f 空间内的一组基函数万，一f ：，石的线性组合来展开7 7 = z ( 2 3 2 ) 其中，是待求系数。如果防 完备，则等式( 2 3 2 ) 可以精确表示未知函数，但这时通 常是非常大的，考虑到计算机容量的有限性，所取基函数的数目n 只要满足精度要 求即可。将( 2 3 2 ) 代入( 2 3 1 ) ，可以得到 7 l = 一g ( 2 3 3 ) 定义余量 页= ；一万 ( 2 3 4 ) 如果选取不同的方法使余量r - l 豆i 在某种意义下取极小值，便可获得不同的求解 方法。最一般的方法是令余量加权后取零值，即有 呒f _ - 兰啦五k ：o ( 2 3 5 ) n = l 其中，m = 1 ，2 ，n ，称为权函数( 或测试函数) 。 定义内积 ( i ，7 ) = f 劢 ( 2 3 6 ) 其中，宰表示复共轭。那么方程( 2 3 5 ) 的可写为 兰( 石。，7 。) = ( 石。，；) ，优= 1 ，2 ，n ( 2 3 - 7 ) 将方程上述方程( 2 3 7 ) 简写为矩阵形式 雪7 ：v 一 ( 2 3 8 ) 6 第二章矩量法基本原理及实现 其中，矩阵芝的元素z 二= ( - 胂，c 7 。) ，向量了的元素为圪= ( 呒，虿) ，向量的元素l = a n 为待求未知量。如果矩阵z 非奇异，求解方程( 2 3 8 ) 可得未知向量7 ，代入式( 2 3 2 ) 便 可求得未知函数7 。对线性方程组的求解有l u 分解，s v d 分解，q r 分解，c g 迭代 等方法【1 7 1 。 2 3 1 基函数、权函数的选取 矩量法的一个重要步骤是选择合适的基函数和权函数，求解过程的繁简程度和解 的精度在很大程度上取决于基函数和测试函数的选择。一般来说，理想的基函数和权 函数应具备以下特点： l 、能获得高精度的解。 2 、使阻抗矩阵元素易于计算。 3 、在满足精度的前提下，使用尽可能少的基函数与权函数，以生成小的系数矩阵。 4 、使阻抗矩阵为良态矩阵。 上述特点要求往往难以全部满足。譬如为了能获得满足高精度的解，基函数组 z ) 尽可能的完备，这通常需要更多数目的基函数，必然使矩阵行数与列数增大。如果基 函数能够蕴含待求函数的较多性质，则所需基函数的个数必然较少，生成的矩阵方程 必然较低阶。但这通常是以阻抗矩阵计算的复杂以及阻抗矩阵填充的耗时为代价的。 纯粹理想的基函数和测试函数并不存在。基函数通常分可为两大类，一类为全域基函 数，另一类为局域基函数。全域基函数定义在整个求解区域上，这类基函数在解决某 些特殊问题时是比较有效的，但对于复杂结构，这类基函数并不存在，因而已经很少 使用。目前常用的是局域基函数，局域基函数定义在求解区域的子域上，这种基函数 就是当今快速矩量法采用的基函数。针对不同的剖分网格类型，有不同的局域基函数。 就理想导体表面的电磁散射问题，常常采用基于三角网格剖分的r w g ( r a o w i l t o n g l i s s o n ) 基函数。权函数的选择影响测试的质量，通常采用g a l e r k i n 测试 法，即以基函数作为权函数。本文采用g a l e r k i n i 贝j j 试法。 2 3 2r a o w i l t o n g l i s s o n 基函数 三角形网格能很好的拟合复杂目标体表面，有很强的适应能力，因而在分析任意形 状的理想导体的散射问题时得到广泛的应用。对于三角形网格，使用最广泛的是r w g 7 东南大学硕士学位论文 矢量基函数【1 4 】。如图2 - 2 所示，r w g 矢量基函数定义于相邻的三角形对巧和巧上， 形式如下： z ( 尹) 花) ， 东) ， 其中，乙是内边的长度，群和4 分别表示三角形巧和巧的面积，露、废是三角形 对矸、巧中由顶点o + 、o 一指向源点( 或场点) 的位置矢量，琵、磊分别为顶点o + 、o 一 的坐标向量。 图2 - 2r w g 基函数 与电荷密度相关的基函数的散度为 v 正( 尹) = 从定义( 2 3 9 ) 及散度表达式( 2 3 1 0 ) 中我们可以清楚地看到： 1 电流沿着三角形对矸和t - 的边界流动，因此在外边界没有线电荷的存在。 2 在公共边( 内边) 厶两侧，电流的法向分量连续，因此在内边上也没有电荷积 累。 、i ， 0 7 32 ，l 矸 巧 一r - ， 旷 扩 一+ 一一讨上珥。一珥 + 一 = | i 露 露 l一珥。一珥 + 一 巧 巧 一r l | 厂 乙一群乙一衙 第二章矩量法基本原理及实现 3 在两个三角形矸和巧上，面电荷都是常数，同时总的面电荷为零。 从以上分析可以得出结论，r w g 基函数有非常清楚的物理意义。 2 4 矩阵元素的计算与奇异性处理 2 4 1 积分方程的离散与测试过程 用三角形网格剖分理想导体表面，生成m 个三角形网格单元，得到个r w g 基 函数，用于展开导体表面上的等效电流密度 五= l z ( 尹) ( 2 4 1 ) 将( 2 4 1 ) 式代x ：h - 程( 2 2 7 ) ，得到表面电场积分方程的离散形式 层c 尹，= 力善nl ( 五c 力+ 吉( v z c 广，) v g c 尹，即甜 咖c 2 a 2 ， 再采用o a l e r k i n 测试法，即用r w g 函数五( 尹) 作为测试函数来测试方程( 2 4 2 ) 。注意 到露扩) 是在它的支集上的表面向量场，并利用矢量恒等式，得 露( 尹) - v “= v ( 旌( 尹) ) 一“v 露( 尹) = v s ( 谚( 尹) ) 一“v s 露( 尹) ( 2 4 3 ) 其中，v s 表示面散度算子。于是有测试结果 喜厶 肭t 凼加m ) g ( 带拶 一_ ，吾出l v s 无扩) v s z ( 即 g ( 尹，芦- ) 出) = 【厶( 尹) 层( 尹) 出， 掰= 1 ，2 ，n( 2 4 4 ) _ 简写成矩阵方程形式 其矩阵元素为 而右端向量的元素为 【z 】【州= m 1 s 乙。= 力l 出l 无( 尹) z ( 尹) g ( 尹，f ) a r s ( 2 4 5 ) 一詈l 出v 厕 翮门凼 ) 9 东南大学硕士学位论文 圪= l 厶( 尹) 乓( 芦) 凼 o l , ) t l l l 式中，& 和瓯分别是五( 芦) 和五铲) 的支集。 2 4 2 自作用单元的奇异性处理技术 ( 2 4 7 ) 矩量法矩阵兀素都是积分形式。当基函数与测试函数的支集相距较远时，积分是正 常的，可以采用三角形面元上的高斯积分公式来计算。当场点与源点重合或相距较近 时，由于g r e e n 函数的奇异性或几乎奇异性，矩阵元素的积分表示不适合直接用高斯 积分公式来计算式，需要特别处理。现有文献已有相当多的讨论，本文所用方法基于 奇异性提取技术15 1 ，下面对其做简单介绍。 要计算式( 2 4 6 ) ，主要考虑以下积分： _ l 碱( 芦) v a s ( v ：。季。( 尸) ) g ( 尹，尹) ( 2 4 8 ) 厶：= l ( 趣，：，( 尹) 【出孪。( 尹) g ( 尹，尹) ( 2 4 9 ) 日_ 日。 由于，v ( 疗) = 椤f + f 一v ，式( 2 4 8 ) 0 - - i 以写3 0 厶；一l 凼v 五( 尹) 凼( v ：g 。( 尸) ) g ( 尹，尹) ( 2 4 1 0 ) g ( 尹，广) 为格林函数，三维自由空间格林函数如式( 2 2 9 ) 所示，当尹一一时，内层被积 函数的值将趋向于无穷大。 对于式( 2 4 9 ) 和( 2 4 1 0 ) ，外层积分依然采用g a u s s 积分，内层积分有奇异性，不考 虑系数，只需解决以下两式： 婶邗= l 茄并 ( 2 4 ) l 孱g ( 尹一，) 凼= l ( 芦一广) 器7 ( 2 4 1 2 ) 进行如下变换 f。蒜并=上巡+，型卜土巾(2413is 4 z 4 xrr 4 z r ) 。 i 尹一尸l乜l 。 l 也 7 rp j k o l 尹一r l k ( 卜尹) 南f 矛 = 击啦川半坝h ，竿卜石1 妒力扣a ，4 ， l o 第二章矩量法基本原理及实现 显然，式( 2 4 1 3 ) 和( 2 4 1 4 ) 的第一部分，当芦专尹时，被积函数已经是有限值，不再含 有奇异性；第二部分存在解析解，文献 1 5 1 给出了具体的表达形式，可以快速高效计算。 2 5目标的r c s 计算公式 雷达散射截面( r c s ) 是定量描述目标体散射强弱的物理量，定义为： r c s ( 叫) - l i m 4 群= l i m 4 群 ( 2 5 1 ) 在求解矩阵方程后，未知电流密度函数已知，便可计算远区场雷达散射截面( r c s ) 。 为具体计算，需要预先作大宗量近似处理。如图2 3 所示 图2 - 3r c s 的计算 在，一时，远区磁矢量位j ( 尹) 力：三二盯1 7 ( 尹) 沙f 咖s + y f i n s s i n 加饥8 d s 4 兀r 豫一 从上式可以看出，远区的场近似为平面波，用球坐标表示时，有 e e = r o h ，e = 一r o h 8te r = 0 ，hr = 0 、) 舍去高阶项，保留主项，一，就有了( 尹) 产生的磁场为 = ( v x 彳) 口= j k 0 4 h 日= ( v x 彳) - = 一j k 0 4 对应的电场为 易= 7 7 0 = 一j r l o k o a o = 一_ ，毗以 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) 东南大学硕士学位论文 也p2 7 7 0 爿口2 一_ ，7 7 0 42 一j w p 0 4 ( 2 5 。7 ) 等效电流的两个分量可以表示为 厶( 尹) = 以( 尹) c o s 目c o s + ( ，) c o s 口s i l l 一正( 一) s i n 口 ( 2 5 8 ) ( 广) = 一以( ，) s i n + 以( ，) c o s 矽 ( 2 5 9 ) 远区矢量磁位的两个分量可以表示为 4 = 石e - j k o , , v 缶- i 以妒力咖+ y i 枷州删批等口( 2 1 5 1 0 ) 4 = 石e - j k o rn 缶。- i 彤( 训力p 舳5 i 慨m 拈焉o - j k o r ，( 2 5 - 1 1 ) c 为未知量的个数，为第j 个未知量的解，乃( x ，y ，z ) 表示第j 个基函数。r c s 方向 图 r c s ( 口，) = l ，i + m 。4 万，2l 星掣= ( 7 7 。) 2 帮 ( 2 5 1 2 ) 在矩量法求解时，我们采用了关于自由空间波长九的归一化，故实际计算的r c s 为 r c s ( 叫朋砘耵掣( k o = 2 z ) ( 2 5 1 3 ) 2 6 数值例子 下面给出一个具体的数值例子来说明上述方法的运用。选用的例子是计算理想导 体球的散射。将电场积分方程的矩量法解与解析解( m i e 级数解) 进行比较。 例1 用面积分方程法来计算半径，= 九的理想导体球的散射场，如图2 4 。设入射 平面波的波矢量是z 轴正向，入射波电场为x 极化，则电场为五= p 一止圣。 在平面波照射下的导体球散射场的m i e 级数解为 驴警e 讽嵩蒜 勰咖啪础， 1 2 一击端枇p ) 亿6 m 第二章矩量法基本原理及实现 铲歹半p 砒篇2 n + + 1 ) li ls m l 唧j ( k ( o a ) p , 础， 一糍s i n 啪础， 亿6 国 y _ - _ _ - 图2 _ 4 一个半径为a = l 九的完纯导体球体及其网格剖分 图2 5 给出了采用e f i e 电场积分方程计算的远场的r c s 与m i e