（电磁场与微波技术专业论文）矩量法和几何光学混合方法分析八木天线特性.pdf

摘要 对天线的数值计算方法主要有低频分析方法和高频分析方法两种，采用低频方法可以 使用基于频域的矩量法，矩量法基于积分方程，理论上可以研究几乎任意结构的线天线， 这种方法通过求解特定积分方程的近似解来获得实验误差精度内的结果：高频方法可以使 用几何光学方法分析。几何光学方法主要使用射线的概念，并引入绕射线来补全直射射线 和反射射线的阴影区，从而在处理波长小于散射体或天线几何尺寸的射频范围内的电磁问 题中有其独有的优势，因为在这些情况下，应用矩量法或本征函数展开方法是不实际的， 这是由于在处理电大尺寸天线或散射体时上述两种技术的收敛情况通常都相当差。 本文对矩量法和几何光学方法进行研究，采用矩量法和几何光学方法的混合方法来分 析常见的线天线问题，对于尺寸远大于射线波长的天线结构采用几何光学处理，对于尺寸 与射线波长可比拟的天线结构采用矩量法的方法处理，最后分析一种特定结构的八木天 线，同时存在电大尺寸的反射导电板电小尺寸的馈电天线和引向天线，采用混合方法来计 算其辐射方向图，通过仿真结果说明了这种方法的可行性同时也表明混合方法的结果与矩 量法存在着一定的误差。 关键词：矩量法一致性几何绕射法八木天线混合方法 a b s t r a c t t h e r ea r et w om a i nn u m e r i c a lm e t h o d si ne l e c t r o m a g n e t i s m l o wf r e q u e n c ym e t h o da n d h i g hf r e q u e n c ym e t h o d t h em e t h o do fm o m e n t ( m o m ) k n o w n a sal o wf r e q u e n c ym e t h o dh a s b e e na p p l i e dt os u c hp r o b l e m sf o rw h i c ht h es t r u c t u r ei ss m a l li nt e r m so fw a v e l e n g t h f u r t h e r m o r em o mi sb a s e do nt h ei n t e g r a le q u a t i o nw h i c hc a nb eu s e df o ra l m o s ta n t e n n a so f a r b i t r a r ys t r u c t u r e t h eg e o m e t r i c a lt h e o r yo fd i f f r a c t i o n ( g t d ) a sah i 曲f r e q u e n c ym e t h o d h a sb e e na p p l i e dt oa n t e n n aa n ds c a t t e r i n gp r o b l e m sf o rw h i c ht h es t r u c t u r ei sl a r g ei nt e r m so f w a v e l e n g t h w h e ni n t r o d u c ean e wd i f f r a c t i o nr a d i c a l i ng e o m e t r i c a lo p t i c s ，t h ep r o b l e mo f s h a d o wa r e ac a nb es o l v e d ： i nt h i sp a p e r , t h et h e o r yo fm o ma n dg t da r ei n t r o d u c e d t h e r ea r es o m ea p p l i c a t i o n st o s h o wt h et w om e t h o d s u s a g e a n dt h i sp a p e rp r e s e n t sat e c h n i q u ew h i c hc a l lb eu s e dt oc o m b i n e t h e s et w os o l u t i o n ss u c ht h a ta na n t e n n ao fn e ws t r u c t u r ec a nb eh a n d l e d t h r o u g ha n a l y z i n ga y a g i u d aa n t e n n aw h o s er e f l e c t i o nl i n ea n t e n n ar e p l a c e db yap e r f e c t l yc o n d u c t i n gp l a n e t h e y a g i u d aa n t e n n a sr a d i a t i o ni sc o m p u t e dt h r o u g hc o m p u t e rp r o g r a m m i n g ，a n dt h er e s u l ts h o w t h a tt h et e c h n i q u ei sf e a s i b l eb u tc o n t a i n i n ge r r o ri nc o n t r a s tw i t hm o mm e t h o d t h e r ei sas h o r t a n a l y z i n ga b o u tt h er e s u l ta n dt h e e r r o ra sas u m m a r y k e y w o r d s ：m o m ( m e t h o do fm o m e n t ) ；u t d ( u n i f o r mt h e o r yo fd i f f r a c t i o n ) ；y a g i u d a a n t e n n a ；h y b r i dm e t h o d i i 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：边家吕聋日期： 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名： 主盔邋导师签名：燃吼 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 第一章绪论 在进行自然科学与工程问题的研究过程中，需要求解微分方程、积分方程以及其他泛 函方程的数学问题。对于边界不复杂的问题可以用解析法得到精确解。但在实际工作中却 常常会遇到较复杂的边值问题，用解析方法不能求得答案。同样在解决电磁场辐射问题时 采用的方法也分为：解析法和近似法。解析法是把所要解决的电磁场辐射和散射问题作为 边界问题来处理，通过求解满足严格边界条件的波动方程来得到问题的严格解。在实际中， 只有少数理想化的简单几何形状的问题可以用解析方法求解。对于大量的实际问题无法满 足解析解条件而无法求解。这就必须采用近似解的方法来解决，通过近似解决电磁场问题 主要有两类方法：数值计算方法和高频近似方法。 1 1 电磁场数值方法简介 计算机性能和容量的快速发展，使得许多电磁场问题可以利用计算机来处理，数值计 算方法得到越来越广泛的应用。而以前人们总是尽力用严格的解析方法和近似解析方法来 处理问题的解，以便使所得的结果在以后的计算中花费的时间最少。 利用计算机进行的数值方法包含着一个离散化的问题，因为无论在微分方程还是在积 分方程中，函数都是连续的，而计算机所能处理的都是离散量，使用数值方程，可以将微 分方程化为差分方程，或者将积分方程化为有限求和来建立代数方程组，之后的主要工作 就是求解代数方程组。数值方法的优点是，它能解决许多解析法和近似法所不能解决的问 题，且可以得到所需要的可接受的精度的答案。它的缺点是所求得的答案正确与否需用实 验或其它可靠的结果来证明。原则上，数值法可以求解具有任何复杂几何形状的电磁场边 值问题，但在实际上，由于对计算机存储容量的要求，执行时间以及解的数字误差等而受 到限制，甚至在某些情况下不能进行求解。在此情况下，一种将解析法与计算技术结合起 来的所谓准解析法是值得推广的，它要求所求解的问题进入计算机之前，对它先进行解析 的预运算。 数值方法应用于电磁场领域的短暂时间里，特别是随着现在微型计算机得益于半导体 集成电路的快速发展，它的运算能力相比以前有了长足的进步，不可同日而语，使得数值 计算的结果大大加快，工程电磁场问题的理论研究和分析方法，取得前所未有的突破性进 1 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 展和获得大量的有实用价值的结果。从此各种数值计算方法应运而生，并相继应用于各类 电磁场问题之中。 本文主要应用数值方法中的矩量法。矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的 方法，此法对于求解微分方程和积分方程均适用。哈林登( r e h a r r i n g t o n ) - 于1 9 6 8 年出版的 专著中，对用此法求解电磁场问题作了全面而深入的分析，用统一的观点简单扼要地介绍 了这种方法。矩量法就是先将需要求解的偏微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符 的符号方程，再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并代入符号方程，最后 用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或者代数方程组。剩下的 问题就是利用计算机进行大量的数字计算，尤其是矩阵的反演和数字积分等。用此法可以 达到所需要的精度。虽然这种方法中的解析部分很简单，但是计算工作量很大。重要的是 矩量法可以解决解析方法和近似法所不能解决的边界比较复杂的一些问题，因而得到了比 较广泛的应用，特别是在线天线分析中。 目前在天线领域中常用的电磁场数值分析方法包括矩量法、有限元法、边界原法和时 域有限差分法等。这些方法适用于分析电尺寸较小的物体，通常称为低频近似方法。当频 率很高，物理的尺寸远大于波长时，必须使用其他的高频近似方法。高频近似方法有几何 光学法、几何绕射法和物理绕射法等。 1 2 电磁场的高频近似方法简介 除了1 1 中所述的数值计算方法之外，还有高频近似方法，此方法包括了广泛应用的 经典高频近似方法：几何光学方法和物理光学方法。虽然矩量法可以快速而准确地解决几 何形状和组成材料都很复杂的电磁场问题，但是矩量法需要求逆，对于电大尺寸的物体在 程序的编制上有相当的困难。目前矩量法一般只能解决最大尺寸约为几个波长以下物体的 电磁场问题，要有效地分析和计算与波长相比尺寸很大的电磁场辐射和散射系统的问题， 必须采用高频方法。在本文中主要应用了几何绕射方法( g t d ) 和一致性几何绕射法( u t d ) 。 几何绕射理论( g t d ) 是凯勒( k e l l e r ) 在五十年代设想，六十年代正式提出的计算电磁 辐射与散射的一种近似计算方法。在七十年代中期，孔琼( k o u y o u m j i a n ) 在凯勒的基础上， 又提出了一致性几何绕射理论，导出了一个统一的绕射系数，可以计算包括入射和反射边 界在内的各个方向的绕射场，克服了凯勒原来理论的某些局限性，使得g t d 的应用得到 更加广泛的发展。 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 1 3 矩量法与几何绕射法结合的混合方法简介 如1 1 和1 2 所述，现在的电磁场领域中已经有着多种求解电磁辐射和散射问题的方 法。但是，实际上没有一种方法是适用于所有情况的“万能方法。在分析电磁场边值问 题时，每一种方法都有一定的应用范围和限制，都有其优点和缺点。比如矩量法虽然是一 种灵活性很大的电磁场计算方法，但它只适用于最大尺寸约为几个波长以下的物体，受到 目标物体尺寸的限制。而几何绕射方法也有其局限性，它的应用条件是波长远小于散射体 尺寸。但是我们可以把不同的方法结合起来求解一些单独只用一种方法不能求解的问题。 比如可以把矩量法和几何绕射方法结合起来成为一种混合法：用矩量法来处理电小尺寸物 体、用几何绕射法来处理电大尺寸物体，这样就可以大大扩展所能解决的问题范围。 本文所阐述的即是矩量法与几何光学法相结合的混合方法。 本文第二章首先简单归结了一下矩量法的基本原理和求解问题的过程方法，然后将它 应用于线天线的分析，推导出线天线的阻抗矩阵、电流分布、辐射场等公式。 本文第三章讲述的是几何绕射方法，归结了一下所用到的几何绕射法的基本公式以及 几何绕射方法在实际问题中处理绕射场的步骤过程。 本文第四章主要论述了本文的基本思想和过程方法，并将此思想应用于某些实例而推 得的具体公式。下面先简单阐述一下此混合方法的思路： 设自由空间有一电大尺寸散射体( 导体，介质体或两者兼而有之) ，它的体积为v ，表 面积为s ，处在激励场崾，日) 的照射之下。我们试图用矩量法与几何光学法( 包括几何绕 射法在内) 的混合技术，求解该散射体的电磁散射特性。 将界面s 分为两个区域，一个为矩量法区，另一个为几何光学区品，h p s = + & 。 矩量法区6 肘包含面积s 中的尖锐和突变等敏感部份，而几何光学区) g 包含面积s 中 的平坦和缓变等不敏感部份。并且使矩量法区面积6 村远小下几何光学区o g 面积，即 s m “s g o 在几何光学区o g 上，各局部子区域之间的相互耦合作用被忽略。 在矩量法区6 m 上，各局部子区域之间的相互耦合作用可以用矩量法加以分析。在激 励场懂，h 。j 作用下，可应用矩量法将算子方程转换为相应的矩阵方程陋p 2b 。 心】是矩量矩阵，它的矩阵元素为s 册2 ( ，丁肘) 。其中，函。 和 以 分别表示定义 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 在矩量法区上的展开函数组和权重函数组。t 吖是一个算子，将i s u 上的电流甜n 直接转 换为上的电场r 鲋玑。 矩量法区与几何光学区品之间存在着相互耦合作用。这种相互作用导致将上的 矩阵方程p 坼= 雪变换为上的另一修正型矩阵方程秘】+ 凼职= 谚+ 血 。 矩阵凼】中的元素为丛一2 ( ，t g ) 。算子丁p 将上的电流间接转换为上 的电场r “一。这一转换是分两步来完成的：第一步是上的电( 磁) 流“n 在& 上产生电 ( 磁) 场，第二步是品上的这一电( 磁) 场经界面品的反射，折射和绕射后在& 上产生 电( 磁) 场丁g “。 矢量庙的计算是根据s u 上的外加激励电磁场来进行的。外加激励电磁场临，h ) 经 几何光学区品反射、折射和绕射后到达矩量法区s m 并在上产生电( 磁) 场，这就是 上的附加激励电( 磁) 场。 矩阵凼】与上的电流函。) 有关，而与激励电磁场伍，万。) 无关，所以矩阵【s 】位于 上述修正型矩阵方程的左边。 矢量庙与上的电流函。) 无关，而与激励电磁场瞎，厅) 有关，所以矢量庙位于上 述修正型矩阵方程的右边。 矩量法区s m 上的电( 磁) 流可以通过直接求解下列修正型矩阵方程而获得： 秘】+ b j = 忙+ 庙j 所求出之电( 磁) 流以及由这一电( 磁) 流所产生的散射场均已将几何光学区昆的影 响考虑进去了。 从上述分析可以看出： 矩量法区内各个子区域之间的互耦作用已通过矩量矩阵中的非对角线元素加以考虑。 矩量法区和几何光学区之间的互耦作用已通过上述修正型矩阵方程 黔】+ 凼b j = 忙+ 血 加以考虑。 几何光学区内各个子区域之间的互耦作用没有加以考虑，这是由局部性原理这一近似 假设所规定的。 作为上述混合方法应用的特例，当考虑电小尺寸天线附近存在电大尺寸物体的电磁散 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 射问题时。可取电小尺寸天线为矩量法区s u ， 激励电磁场仁，胃) 仅存在于天线的馈电口处， 以必有曲= 0 。 取电大尺寸散射体为几何光学区品，这时 在几何光学区品上无激励电磁场存在，所 本文第五章是根据第二章和第四章所推出的阻抗矩阵、电流分布、远区辐射场等公式， 利用计算机语言对上述特例分别用矩量法和混合方法进行仿真得出结果并对两种方法得 到的仿真结果做了比较讨论。 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章矩量法原理 第二章矩量法原理 本章主要简述矩量法的基本原理，然后总结矩量法的三个基本步骤，最后将这些理论 基础应用于单根线天线和线天线阵列的分析当中，从而得出求解线天线的阻抗矩阵公式、 电流分布矩阵公式、远区辐射场公式。这些原理、过程方法以及推得的公式构成了本文的 基础，将在第四章大量引用本章的结论，并在此基础上与第三章内容结合进行延伸，从而 得到新的原理、修正的过程方法以及修正公式。 2 1 矩量法的基本原理 矩量法是一种将连续方程离散化成代数方程的方法，它既适用于求解积分方程又适用 于求解微分方程。由于已有有效的数值计算方求解微分方程，故目前矩量法大都用来求解 积分方程。对于不同问题应采用不同形式的矩量法才能奏效，因此得具体问题具体分析。 首先此节简单阐述一下矩量法的基本原理、总结矩量法的三个基本步骤，下节将其应 用于线天线的分析，推出计算线天线阻抗矩阵公式、电流分布矩阵公式、远区辐射场公式。 2 2 矩量法理论基础 根据线性空间的理论，n 个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程 等均属于希尔伯特空间中的算子方程，这类方程可化为矩阵方程求解。由于在求解过程中 需要计算广义矩量，故此种方法又称作矩量法。事实上矩量法是将算子方程化为矩阵方程， 然后求解该矩阵方程的方法。 设有非齐次方程 乩r ) = g ( 2 2 1 ) 式中，为算子方程，可以是微分方程、差分方程或积分方程； g 是已知函数，如激励源； ，为未知函数，如电流。 假定算子方程的解存在且唯一，于是有逆算子f 1 存在，则使厂= l - 1 ( g ) 成立。算子工 的定义域为算子作用于其上的函数，的集合，算子的值域为算子在其定义域上运算而得 的函数g 的集合。 6 雨京邮电大学硕士研究生学位论文 第二苹矩量法原理 假定两个函数z 和 以及两个任意常数q 和口z 有如下关系： l ( a l 石+ 口2 以) = 口l ( 石) + a 2 l ( f 2 ) 则称三为线性算子，而我们后面用到的积分公式均为线性，即满足这个条件。 首先用在算子三的定义域内线性独立的函数厶来近似表示未知函数厂，即： 厶 订= 1 ( 2 2 - 2 ) 其中，a n 为待定系数：，一为算子域内的基函数；n 为正整数，其大小根据要求的计算 精度来确定。 然后，将厂的近似表达式代入算子方程( 2 2 - 1 ) 左端，则得著) g ，由于厂用近 似式表示，因此算子方程方程的左端近似值与其右端精确g 值之间存在如下关系： 占= 三) - g n = l ，称为余量或残数。 在希尔伯特空间内积公式如下： ( _ ，虿) = 肛；。d r 2 其中，g 中的上标c 表示复共轭。 选择一系列的权函数w l w r 一w m ( 也称检验函数) 使得余量的加权平均值为零，即： w m ，占) = 0 ( 2 2 3 ) 将上式展开便可得到典型形式的矩量方程： z a 月( ，三眈) ) = ( ，g ) 2 3 使用矩量法求解问题的步骤 根据矩量法原理所述，对于算子方程三( 厂) 2g 的矩量法解，可以归纳成三个基本的求 解过程： ( a ) 离散化过程 这一过程的主要目的在于将算子方程化为代数方程。其具体步骤是： 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章矩量法原理 ( a ) 算子三的定义域内适当地选择一组线性无关的基函数石，厶，： ( b ) 将未知函数厂( x ) 表示为该组基的线性组合，并取有限项近似，即 厂( x ) = 口。 ( x ) = ”2 ”2 1 ( 2 3 。1 ) ( c ) 将式( 2 3 1 ) 代入到式( 2 2 1 ) ，将线性算子方程化为代数方程，即 | v 三( 五) = g n = l ( 2 3 - 2 ) 于是，求解厂o ) 的问题转化为求 的系数口一的问题。 ( b ) 取样检验过程 为了使厂( x ) 的近似函数 ( x ) 与厂( x ) 之间的误差最小，必须进行取样检验。在抽样点 上使加权平均误差为零，从而确定未知系数玑。这一过程的基本步骤为： ( a ) 在算子l 的值域内适当地选择一组彼此线性无关的权函数m 、屹r “、。 ( b ) 将与公式( 2 1 5 ) 取内积进行抽样检验。因为要确定n 个未知数，需要进行n 次 抽样检验，有 ( 所= 1 ，2 ，n ) ( 2 3 - 3 ) ( c ) 利用算子的线性和内积的性质，将公式( 2 3 3 ) 化为矩阵方程。 ，肭儿口。】= k 。】( 聊三1 ，2 ，) ( 2 3 4 ) 式中， h 疗】= k 厅】= 口l 口2 ： a n ( w l ，三” ( w 2 ，三” k 】= ( ，西 ( 坳西 ( 三以) ) ( w e 三) ) ( ) ) ( 2 3 5 ) 于是，求解代数方程问题转化为求解矩阵方程的问题。 ( c ) 矩阵求逆 一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵方程求解线性方程组，就可以得到矩阵方程的 8 砖， = 叭 厶“ ， 脚 殄殄妣蛾似骖汾如如帆 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章矩量法原理 解： 口。】一p 。】- 1 k 。】 式中，【f 。r 1 是矩阵【舢】的逆矩阵。 ( 2 3 - 6 ) 将求得的展开系数a n 代入到公式( 2 3 1 ) 中，便得到原来算子方程( 2 2 1 ) 的近似解： 厂( x ) 无( x ) n = l 以上所述是矩量法求解算子方程的三个基本过程 2 4 矩量法在求解线天线问题中的应用 ( a ) 单根天线的分析 ( 2 3 7 ) 有了上节矩量法原理的基础和总结，就可以用矩量法对任意形状线天线进行分析。 如下图所示： 图( 2 - 1 ) 任意形状线天线及分段示意图 假设上图中任意形状天线的长度为三，半径为a ，波长为元。由于是线天线，所以 口 三，口允。在己知馈电点的场强为e 的作用下，可以用双位积分方程来求解此线天 线上的电流分布f ( ) 以及在远区场点尸g ，y ，z ) 处产生的辐射场强豆。 根据理想导体表面的边界条件：切向电场为零，即： 最忙7 + 置) = o ( 2 4 1 ) 也就是说沿着线轴方向，有 ，陋+ 五) = o ( 2 4 2 ) 对于线天线，磁矢位和标量电位公式如下： 9 堕室堂皇奎兰堡主竺壅竺兰垡笙奎 篁三童堑墨鎏堕堡 _ _ - _ _ - _ l _ - - - _ - _ _ - _ - - - _ - _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ - - i _ _ - _ - - _ - _ - _ 一一一 2 = u 以) 舄万， = 瓣掣嵩讲 那么根据i f ( 2 4 2 ) 以及磁矢位、标量电位可得： - z e 。= - l 。e ：一，( _ 厕一v o ) = 功( j ) + 塑o l 呻吐嵩寸a ( 1 - 1d i q ) e - 2 k l r - r l , f 甜) = 掣【舻) 叩e - j k l 7 - r 彳 l 砌一- 1o ( d i q ) e - j k y - 芦 l 可叫 删嵩肌! j a ) 6 旦a l ( j f l 型d l 翌4 ，r f - f i 刃k 4 锄 上述公式推导中，h 为天线表面的法向量： ，为场点沿线轴方向的切向矢量； l 为场点沿线轴方向的长度变量： f 为源点沿线轴方向的切向矢量； l 为源点沿线轴方向的长度变量： 尹为场点矢径；。 尹为源点矢径。 对于公式( 2 4 3 ) 中的f ( 7 ) 即相应于公式( 2 2 1 ) d ? 笆jf ，现在按照矩量法的三个基本过程 的第一步将其离散化。 在算子三的定义域内选择一组线性无关的展开函数缸- ，“2 ，“) ，那么未知函数f ( f ) 可以表示成为这细展开函数的线性组合： 妗乏r t = l 厶旷刃)l z 咔_ t ， 这里，驴为展开函数矩阵l l ，“2 ，“】； 1 0 歹为电流矩阵【，- ，1 2 ，“r ； 为脉冲函数，( 7 ) 2 器，, ，1 诺a i 乙n ，z = ，2 ， 用矩量法对天线进行分析时，最关键的一步就是对天线进行细分。一般来说，都是将 细线天线沿轴线分成奇数段，而天线的两端各留出半段，这是为了满足天线两个末端电流 为零的条件。因此，公式( 2 4 4 ) 中的n 为奇数。 对于公式( 2 4 3 ) 中的导数均可以用有限差分来近似，比如公式( 2 4 3 ) 中的 ，+ 、，一、 塑：竺l ：二趔：堕! ! 二盟 钟 出坍 ， 刎 z 一 。 第二步，取检验函数o ) = 万o z 肼) ，结合公式( 2 4 3 ) ，根据公式( 2 3 3 ) 有 以云，) 云似) 衲) 删= 础私) 】+ 乱 嘲砑e - j k l 声- v 肌捌警嵩刃咒 令砘砷：嵩，詈：掣删一一： ，妇) 豆) = 歹掣f ( f ) g 皖，芦7 印 工星翌亟坐二星翌虫三竺 1 sa l t o 然后将公式( 2 4 4 ) 代入此式，经过化简得出 f(聊)豆，(m)：国p(聊)力(朋)】+魁alm ： 1 ( n , v ( m j c o v e l ( m ) l ( ) i ( n ) a l n v ( m ，叫 = i ，z ) i l 打= il 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章矩量法原理 一击善甜咖) 一甲( 叫一甲( 赫) + 甲( 叫 豆，i ( m ) a z ：掣兰，g ) p ) 乙 p g ) 乙卜幻，刀) n=l + 击姜，g 帕，二) 一甲( 赫) 一甲( 赫) + 甲( 酬 咆班一笔：= 蘑 一 而且此公式中的m 、m 、聊、刀、刀、万分别代表第m 段的末端、第m 段的中点、第, 段的起始端、第, 段的末端、第刀段的中点、第, 段的起始端。对于相邻的两段，譬如第m + 一 段和第m + l 段，有m = m + l ，参见图( 2 1 ) 。 甲如，门) 的推导详见参考文献 3 】。 厶 对于上述公式，显而易见，公式的右边具有公共项矧，可以提出做为公因子，令其 余各个因子为阻抗元素z 册，即得到下述公式 ， 1 ，册= ，。z 朋 n = l ( 2 4 - 5 ) = 掣皈钣甲如，刀0 去阿矗去卜j ：；，二) - 吐孟去) + 吐二，二 朋，刀= 1 ，2 ，n ( 2 4 6 ) 在公式( 2 4 5 ) 中，v 川是电压矩阵元素： = e 一i ( m ) a t 册= 豇钣肌= 1 川2 一，n ( 2 4 - 7 ) 综合公式( 2 4 5 ) 、公式( 2 4 6 ) 和公式( 2 4 7 ) ，已知激励源雷以及天线在参考坐标系中 的位置、长度、半径，那么相当于已知公式( 2 4 5 ) 中的v 用和z 删。最后根据2 3 中矩量法求 解过程的第三步矩阵求逆，解得电流矩阵厶。 1 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章矩量法原理 求解出电流矩阵厶后就可以据此来计算线天线的远区辐射场。 线天线的辐射场如下述公式所述： 置) = 豆5 g ) = 瓴g ) + 旭g ) = 一石g ) 蹲+ 却) 叫掣唑掣矿阶) ( 2 4 - 8 ) 前面所述为任意形状线天线的分析，如果将前述结果应用于图( 2 2 ) e p 单根线天线的分 析则有下列结论。 一么 - 叫fp 一 碍 厂 。0 y z 】 图( 2 - 2 ) 单根线天线 首先根据公式( 2 4 4 ) 将电流表达式离散化，( 7 ) 为脉冲函数，公式( 2 4 8 ) g 飘g ： 置= 一等量z ( f ) e x p 饥卜尹l 沙+ 筇) = 一等薹厶m ，) e x p 脚i 矿睁) = 厶己 ：豆7 7 其中，e 表示第n 段电流在尹处产生的场强： 丘_ j 斗c 刀o p - ( ，) e x p ( k f 炒+ 鲫) = 一j c o 比f e x p ( - j k r ) e x p 镢声地，瓴) 4 i - 鲫) = 一一e x n i 7 灯。，- ，、，i f- - l 删m m l 4 丽 1、h。h “”、 “o 当公式( 2 4 8 ) 应用于图( 2 2 ) 所示的线天线中，可以做适当的简化。 ( 2 4 - 9 ) ( 2 4 - 1 0 ) 雨京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章矩量法原理 图( 2 - 2 ) e e ，远区场点尸在直角坐标系中的坐标也可以用极坐标来表示，点尸的直角坐 ， 、f 一 、 标为i x ，y ，z j ，极坐标为 ，6 ，伊j 。那么原点d 至线天线辐射的远区场点尸矢径为尹；天线上 的源点至远区场点尸矢径为；芦与z 轴的夹角就是点尸的极坐标中的p 。 因为点尸为远区场点，那么芦与厂一= - - i 以看做近似平行，如下图所示。 夕夕 魏尹。 r d 少 z 图( 2 - 3 ) 线天线上各点至远区场点尸的关系图 如图( 2 3 ) p 7 i ：示，经过近似简化以后，尹与尹一焉路程差为o a = 焉一，则芦的大小，与 芦一焉的大小p 一焉i ，此两者之间关系为p 一别= r - - o a 。对于公式( 2 4 8 ) 分母中的，对于第 刀段上各点均处于一个数量级，差别不是很大，可以近似看作一个常数，所以能够提至积 分号外。而对相位因子e x p ( - j k l f 一矧) 中的p 一焉l 则不能忽略i 伽i 对计算结果的影响，所以 将e x p ( - j k l 尹一磋1 ) 分成两项：e x p ( - j k r ) e x p ( j k o d ) ，并且有e x p 0 k o a ) = e x p ( ，蟛纠。作 为常数的e x p ( _ 弦) 也可以提至积分号外。 因此得到公式( 2 4 - i o ) y o 矩阵元素： 磊三一j c o 2 e z x p _ ( - j k r ) e x p u 域声) 馘，( 厶) ( 诒+ 6 6 ) 珥刀r 式中，焉= 铡= 勿； 声= 曼c o s 口+ 夕c o s + 三c o s y ，c o s 口, c o s , c o s ) 为声的方向余弦，r r = o ； ，( 乙) 一 卯+ 驴多为并矢，根据附录中球坐标系和直角坐标系的关系式，有 否= 曼c o s 口c o s + 夕c o s 目s 洫矽一三s i n o 参= 一j s i n ( o + ) c o s 矽 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章矩量法原理 那么公式( 2 2 1 0 ) 中的焉产和，( 乙) 。( 卯+ 痧) 可以做如下化简： 焉= 铽( x c o s z + 1 一+cosr p c o s p 艺c o s y ) 。吃。= 纠 + + = 巧c o s y = z c o s 0 ，( 乙) ( + 筇) = g 否矽+ g 多够 = 三g c o s 臼c o s 缈+ 夕c o s p s i n 伊一s i n 0 矽+ ( _ 圣s i n 缈+ 夕c o s 妒场 = ；( - s i n o ) 最后得出下述公式： 磊= 否掣e x p 纰c o s 9 岍叫 ( 2 4 - 1 1 ) 根据上式与电流分布矩阵，一推得天线远区辐射场公式： e 2 耳厶 ( 2 4 1 2 ) ( b ) 天线阵列的分析 上述的分析只是应用于单根天线。如果遇到天线阵列，比如八木天线的计算，就与单 根天线的计算方法有所区别，不过法分析方法大体上是一致的。不同之处在于此时阻抗矩 阵既包括天线阵列各单元自身之间的阻抗，也包括单元之间的互阻抗。天线阵列中各个单 元之间的互阻抗，聊与门均不再相等，也就不存在奇异点，因此其计算公式中的自由空间 甲( 所，门) 格林函数只需用一个公式表示： e x p ( 一j k r m j 4 x r 用一 ，聊，疗= 1 ，2 ，n ；m 疗。而每一单 元自身的阻抗，可以套用前述半波振子程序中的阻抗计算程序作为其子程序。对于八木天 线的分段方法，采用连续分段的方法，因此，场强为一列矩阵，与半波振子不同之处在于 此时各单元上的场强矩阵还要加上由于距离而产生的均匀直线阵阵因子。 如下图所示，有一个三单元的直线阵，他们之间的距离为d xd 2 。 1 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章矩量法原理 ，l ，2 如 图( 2 4 ) 三单元天线阵列 对于远区场点，一根天线上f 1 9 每一点都有路程差而引起的相位差，同样，两根天线之 间也有因为路程差而引起的相位差。如下图( 2 5 ) 所示，为两根天线之间的简化示意图，以 ： 一根作为直角坐标系的z 轴，另外一根位于y 轴正方向上，与z 轴平行。 p 图( 2 - 5 ) 两根天线之i 司的简化不蒽图 远区观察点p 的球坐标为 ，p ，妒 ；d 为天线中心与原点的距离；0 为远区点在球坐标 系中0 分量的大小，即尹与z 轴正方向的夹角；秒为芦与y 轴正方向的夹角。 那么0 点至远区观察点p 的路程与d 点至远区观察点尸的路程相差近似为： f y = r s i 们 c o s 肚下曼j 砒0 s 刮s i 的 i以2 + y 2 + z 2 因此对于图( 2 4 ) 来说，可以得出下列结论：z 2 相对于z l 多一个阵因子p 歹蜗8 试目，3 相 对于，l 多一个阵因子2 拈( 碣+ 如) 5 m p 。不管几单元的直线阵列均可以以此类推。 1 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章几何光学方法 第三章几何光学方法 3 1 几何光学方法 首先介绍一下几何光学的基本原理。如果我们抛开光的波动性，仅以光的直线传播为 基础，研究光在透明介质中传播问题的光学，作为几何光学。几何光学的基本原理可以简 要的概括为以下几点： 光的直线传播定律，即在均匀介质中，光线为一直线； 光的独立传播定律，即由不同方或物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播特 性不发生影响； 光的反射定律和折射定律，即光在传播过程中遇到不同介质时，将要发生反射和折射， 而且在两介质中的传播途径分别服从反射定律和折射定律； 费马原理，即光沿着传播时间为极值的路径传播。 费马原理的数学表达式为： 研= 万 吉r ，z 出 = 。 。3 。， 6 1 = 叫酬 m ， 上面两个式子都是费马原理的数学表达式。从式( 3 1 2 ) 可以对费马原理作如下解释： 光从空间的一点到另一点是沿着光程为极值的路径传播的，或者说光是沿着光程值不是最 小就是最大的路径传播的。费马原理是光学基本定律的推论，光学的基本定律是费马原理 的必然结果。 几何光学法是一种容易应用的计算电磁辐射的近似方法，它是以电磁波传播的射线理 论为基础的。g t d 法便是从几何光学法引申出来的。几何光学只处理直射线、反射线和折 射线，因而在空间产生了与这些射线的边界相应的突变，如图( 3 1 ) 图中表示一个波源的入射线投射在一劈面上时，只有在伊 饵的空间， 反射场为零。从而使入射边界和反射边界的几何光学场不连续。但是，实际的总厂不仅在 这两个边界连续，而且除了劈内角范围以外的其他区域均有大小不等的连续场存在，而绝 非零场。为此，几何绕射理论( g t d ) 引入了一种新的射线一绕射线，这样，不仅消除了 。南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章几何光学方法 几何光学边界上场的不连续，而且在几何光学的零场和弱场区域中进行了必不可少的修 正。 图( 3 1 ) 在几何绕射理论中，我们设想绕射场也和几何光学场一样沿射线路程行进，当射线遇 型怔何一种表面不连续，如劈、尖顶或曲面时，都将产生绕射场。在g t d 理论中，推广 的费马原理和局部场原理是基本概念。费马原理原来认为：几何光学射线沿着从源点到场 点的极值路径传播。推广的费马原理则把绕射线也包括在内，认为绕射线也是沿着从源点 到场点的极值路径传播的( 这条极值路径通常是最短路径) 。局部场原理就是：在高频极 限情况下，像反射和绕射之类现象只是一种局部现象，它只取决于散射体( 或被源天线激 励的辐射体) 上反射点和绕射点附近的很小区域的物理性质和几何性质。我们知道，在反 射点周围的第一菲涅耳区的性质对反射场的结构起主要作用，局部场原理可以看成是这一 事实的引申。从局部场原理可以直接得出结论：绕射场只由入射场和散射体表面的局部性 质决定。这样就可以从某些最简单的形状的敝射体( 即典型结构) 的严格解中近似提出将 入射场和绕射场联系起来的函数绕射系数。已有严格电磁解的典型结构包括半平面，无 限直劈，无限长圆柱体，球体等。根据局部场原理，对任意一个复杂形状的物体，由推广 的费马原理找到绕射点，然后根据局部场原理，由绕射点附近的局部性质，决定采用在局 部上相似的典型结构的绕射系数，再由入射场求得绕射场。如图( 3 2 ) 所示。 图( 3 2 ) 1 8 南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章几何光学方法 根据几何绕射法的基本概念，容易将它应用于物体上的( 或物体附近的) 天线辐射问 题。由于典型结构有限，用几何光学求解辐射场时，必然存在几何光学边界的不连续性， 所以必须在边缘、拐角、顶点等处引入相应的绕射线，这些新的绕射线可以认为是由那些 刁、：连续点被激励后发出的。因此，一个有限结构上天线的辐射图，已不是自由空间源天线 的辐射题，也不是无限大平面上源天线的辐射图，而是近似地看成无限大平面上源天线的 辐射场叠加上一次及高次绕射产生的绕射场，后者是由前者激励的。 根据以上所述的g t d 的基本原理，可以将它用来计算有限金属结构的电磁辐射和散 射问题。 3 2 几何光学方法的应用 作为几何光学( 包括几何绕射法) 的应用，我们可以使用几何绕射法计算天线的辐射， 继而画出天线的辐射方向图。对于典型的问题进行分析如下，边缘绕射的典型结构是无穷 长直劈，如图( 3 2 ) 所示，其二维表示如图( 3 3 ) 。劈面由两个平面，或者一平面与一个 凸曲面( 如圆柱，圆锥底等) ，或者两个凸曲面构成，在后两种情况下，劈面是由曲面在 绕射点q 的切平面构成直劈面而形成的。图中s 为初级源，q 为劈棱处的绕射点，矿为从 劈面x 轴算起的入射角，p 为源点s 至绕射点g 的距离，伊为从劈面x 轴算起的绕射角，p 为绕射点q 至观察点p 的距离。劈的外角为甩万，当疗= 1 时劈变为半平面，当刀= 2 时，劈 变为平面。n 通常在l 和2 之间。 观察点尸的总辐射场显然包含初级源的绕射场三个部份： 豆：营o + 豆+ 豆d 可以看出来，绕射场e “的计算是计算辐射的核心。 y 图( 3 - 3 ) 1 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章几何光学方法 ( a ) 绕射场的计算 由理想导电劈构成的边缘绕射场的一般算式为 豆d ( s ) - 3 豆( q ) 以0 ) ( 3 2 - 1 ) 式中( s ) 为距离q 点为s 处的绕射场，p ( g ) 为绕射点q 处的入射场，以为绕射波 的扩散系数，它取决于入射波的照射类型。 a = 下1 ，平面波、柱面波、锥面波入射时 s ，球面波入射 ( 3 2 2 ) m s 为源点至绕射点q 的距离。西电场并矢绕射系数： d = 一属。属皿一o o d ( 3 2 3 ) 用矩阵表示电场分量为： 圳of 艘，尸 2 削 b 为垂直极化场( 磁极化，硬边乔) 绕射系数，皿为水平极化场( 电极化，软边界) 绕射系数。孔琼一致性劈绕射系数为 = 去- - d c o t ( 鼍笋取矿( - ) + c o t ( 等n f l - 坍砒们】 删( 驾2 n 眦彬) 】+ c o t ( 鼍n 叫口】) 】) ( 3 2 - 5 ) 5 z ( 气，) 式中f ( x ) 包含了一个菲涅耳积分 f ( x ) = 2 j , f x e 叠殳f 喃 x = k l g 士( ) g ( ) = 1 + c o s ( , b - 2 n x n ) = e p + q ，。 七：塾 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章几何光学方法 = s s i n 2 屁，平面入射波 卫，柱面入射波 p 七p 一s i n z 屁，球面波，锥面波入射 s + s 三称为距离因子，p 为入射在边缘上的柱面波半径，p 为绕射柱面波的半径，即自边 缘至场点的垂直距离，p o 为入射线与劈棱间的夹角，即绕射线锥的椎半角。 当伊0 ，缈。门万( 1 刀2 ) 时，n 的取值为 + ：i , ( n - 1 ) 4 万 【0 , - 2 n 3 ( 拧一1 ) 万 ( 3 2 6 ) i1 ，2 n + ( n - 1 ) n 4 n n 一= o ，- (