（电磁场与微波技术专业论文）电磁场时域有限差分数值方法的研究.pdf

南京理丁大学博士学位论文 电磁场时域有限差分数值方法的研究 摘要 时域有限差分方法( f d t d ) 由于其强大的功能，已经成为电磁场数值模拟的最重 要方法之一。但是对于任何一个具体的方法而言，总是优点和缺点并存的。本文通 过对时域有限差分方法的研究，针对传统f d t d 算法本身的固有特点提供了若干改 进方案。 f d t d 分析谐振结构、微波集成电路中的不连续性结构等问题时，为了获得完整 的时域波形，所需的时间步数有时可能会达到几万，甚至几十万次。而要通过快速 傅立叶变换( f f t ) 获得准确的频域参数，又必须得到完整的时域波形数据。如果过早 地中断时域波形，会使频域结果偏离真实值。为了解决这一问题，本文将f d t d 分 别与改良的矩阵束( m m p ) 方法及最小二乘的支持向量机( l s s v m ) 方法相结合，提出 了两种可行的加速算法，只需获取f d t d 的早期部分时域波形，通过外推技术即可 获得准确的完整时域波形，再经过f f t 得到准确的频域参数，从而能够大幅度的增 加f d t d 的计算效率。文中还对l s s v m 算法在应用中需要选择参数，d 的问题， 提出应用粒子群优化算法进行优化选取参数，减少了人工干预，进一步提高了鲁棒 性。 传统f t ) t d 时间步长的选取受到c o u r a n t - f r i e a r i c h - 1 2 v y ( c f l ) 稳定性条件的约 束。本文又研究了三维的基于变替方向隐格式的时域有限差分( a d i - f d t d ) 方法，详 细讨论了a d i - f d t d 方法成功实现仿真的几项关键技术。并将其应用于分析平面微 带电路、贴片天线和波导等三维结构的电磁特性。数值结果证明a d i - f d t d 可以在 一定程度上增大时间步长，从而提高传统h ) t d 算法的计算效率。同时把a d i f d t d 与m m p 外推预测技术相结合为分析电磁结构提供了一种更为迅速有效的方法。 本论文最后研究了a d i - f d t d 算法存在的随着时间步长的增大，其数值色散误 差也增大的问题，提出了三维的基于c 鼬k n i c o l s o n 差分格式的f d t d ( c n - f d t d ) 算法。通过运用该算法对谐振腔和平面微带电路的电磁特性分析，显示出在时间步 长的取值远大于c f l 稳定性条件，而c n - f d t d 和a d i f d t d 的时间步长相同的情 况下，c n - f d t d 的计算精度远高于a d i - f d t d 。由于在场的更新中需要求解大型稀 疏矩阵方程，文中采用了对称超松弛预处理的双共轭梯度法对c n - f d t d 方程组进行 迭代求解，并利用前一时刻所求出的e 值作为迭代算法的初始值，保证了较高的求 解速度和迭代算法的稳定性。但进一步寻求高效求解大型稀疏矩阵方程的方法是 c n f d t d 方法取得广泛应用的关键技术。 ， 方法，粒 j差分方法，改良的矩阵束方法，最小二乘的支持向量机 替方向隐格式，c 啪k - n i c o l s 差分格式 南京理工大学博士学位论文电磁场时域有限差分数值方法的研究 a b s t r a c t t h ef i n i t e - d i f f e r e n c et i m e - d o m a i n ( f d a d ) m e t h o di so n eo ft h em o s ti m p o n a i l t m e m o 凼i ne l e c t r o m a g n e t i cn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sf o ri t sp o w e r f u lc a p a b i l i t i e s h o w e v e r , t h ef d t dm e t h o ds t i l lh a si t sd i s a d v a n t a g e s ht h i st h e s i s t h ei n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i co f t r a d i t i o n a lf d t da l es u c c e s s f u l l yi m p r o v c db ys e v e r a ln wi d e a l st h r o u g hs t u d y i n g c l a s s i c a lf d t dm e t h o d o l o g ya n df o u n d a t i o n so f m a t h e m a t i c s t oo b t a i nc o m p l e t et i m ed o m a i nw a v e f o r m ，t h en u m b e ro ft h er e q u i r e dt i m es t e p si s s o m e t i m e su pt ot e n so ft h o u s a n d so r d e r s ，, e w e l lm o r et h a nh u n d r e d so ft h o u s a n d so r d e r s w h e na p p l y i n gf d t dt oa n a l y z eh i g h l yr e s o n a n ts t r u c t u r e so rd i s c o n t i n u o u so i l e si n m i c r o w a v ei n t e g r a t e dc i r c u i t s m e a n w h i l e , d a t ao fc o m p l e t et i m ed o m m nw a v e f o r mi s n e e d e di no r d e r 幻c a l c u l a t ea c c u r a t es - p a r a m e t e r so ff r e q u e n c yd o m a i nv i af a s tf o u r i e r t r a n s f o r m ( f l r r ) i ft h et i m ed o m a i nw a v e f o r mi st r u n c a t e di na d v a n c e t h ev a l u e so f s c a t t e r i n gp a r a m e t e r sw i l ld e v i a t et r u eo n e s i no r d e rt os o l v et h i sp r o b l e m ，t h i st h e s i sp u t s f o r w a r dt w oa c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e st oc o m b m ed i r e c tf d t dm e t h o d ：m o d i f i e dm a t r i x p e n c i l ( m m p ) m e t h o da n dl e a s t s q u a r es u p p o r tv e c t o rm a c h i n e s ( l s s v m ) t h e c o m p l e t et i m ed o m a i nw a v e f o r m c o u l db eo b t a i n e db yt h ea c c e l e r a t e de x t r a p o l a t i o n t e c h n i q u e so n l yb a s e do nt h ep r e v i o u ss t a g ed a t ao ft i m ed o m a i nw a v e f o r mc a l c u l a t e db y f d t d t h e na c c u r a t es - p a r a m e t e r so ff r e q u e n c yd o m a i nc o u l db eo b t a i n e dt h r o u g hf f t t h i sp r o p o s a lc a nc o n s i d e r a b l yr e d u c et h ec o m p u t a t i o nt i m e l a t e r , p a r t i c l es w a r m o p t i m i z a t i o n ( p s o ) a l g o r i t h mi ss u g g e s t e dt oh e l pt h el s s v mt os e l e c tt h ep a r a m e t e r s ya n d 盯w h i c hs h o u l d b es e l e c t e di nl s - s v m t h i sm e t h o dr e d u c e st h eh u m a n i n t e r v e n t i o na n di m p r o v et h er o b u s t n e s so f o r i g i n a la l g o r i t h m t h es e l e c t i o no ft h et i m es t e p s s i z ei nt r a d i t i o n a lf i r t i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( m a d ) m e t h o di sr e s t r i c t e dt ot h ec o u r a n t - f r i e d r i c h s - l e v ys t a b i l i t yc o n d i t i o n i nt h i s t h e s i st h ea l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n - i m p l i c i t ( a d i ) s c h e m ei si n t r o d u c e dt oe l i m i n a t et h ec f l s t a b i l i t yc o n d i t i o no f t r a d i t i o n a lf d t dm e t h o & t h ek e yt e c h n i q u e so f a d lw h i c hl e a d st o s u c c c e s f u ls i m u l a t i o nr e s u l t sa r ed i s c u s s e d t h e na d i - f d t dm e t h o di sa d o p t e dt oa n a l y s e t h ee l e c t r o m a g n e t i ce h a r a c t a r i s t i e so fm i c r o s t r i pc m c m t s ，p a t c ha n t e n n aa n dw a v e g u i d e s t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t e st h a tt h es i z eo ft h et i m es t e pc o u l db e l e c t e dl a r g e ri n s o m ee x t e n tw h e nu s i n ga d i f d t d ，w h i c hi m p r o v e st h ee t f i e n c yo fb a d i t i o n a lf d t d m e t h o d l a t e r , t h em m pt e c h n i q u ei sc o m b i n e dw i t ha d i - f d t dm e t h o da n dt h i sh y b r i d m e t h o dm a k e st h ec a l c u l a t i o nm u c hm o r ee f f i c i e n tw h e na n a l y s i n g e l e c t r o m a g n e t i c i a b s t r a c t博士论文 s i t u c r i r e s t h en u m a i c a ld i s p e r s i o n 渤i si n c r e a s e dw i t ht h ea u g m e n t a t i o no ft h et i m es t e p s s i z ei na d i - f d t dm e t h o d , s ot h et h r e e - d i m e n s i o nc r a n k - n i c o l s o nd i f l o r e n c es c h e m e f d t di si n t r o d u c e dt os o l v et h i sp r o b l e m a g a i nt h i sm e t h o di su s e dt oa n a l y s et h e r e s o n a n tc a v i t ya n dp l a n a rm i c r o s t r i pc i r c u i t s u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h es a m et i m es t e p s i z ew h i c hi sf a r l yl a r g e rt h a nt h ec f ls t a b i i i t yc o n d i t i o n t h ea c c u r a c yo fc n _ f d t di s m u c hh i g h e rt h a na d i - f d t d s s o r - b c gi sp r o p s e dt os o l v et h el a r g es p a r s em a t r i x e q u a t i o ni nc n f d t dm e t h o d a n dt h eev a l u ea tt h e1 a s tt i m es t e di su s e da st h ei n i t i a l v a l u ef o rt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m ，m a i n t a i n i n gt h eh i g hv e l o c i t y & c o n v e r g e n c ea n da l s ot h e s t a b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m ，f u r t h e r m o r et h es e a r c ho fh i 【g ae f f i c i e n tm e t h o d sf o rl a r g e s p a r s em a r xe q u a t i o nb e c o m e st h ep r i m a r yt e c h n i q u ef o r t h ea b r o a du s i n go fc n - f d t d m e t h o d k e yw o r d s ：f i n i t e - d i f f e r e n c et 钍n e - d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ，m o d i f i e dm a t r i xp e n c i l t e c h n i q u e ，l e a s t - s q u a r es u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s ，p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m , a l t e r l a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i ts c h e m e ，c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e i v 南京理t 大学博士学位论文电磁场时域有限差分数值方法的研究 l 绪论 1 1 研究的背景及意义 1 8 6 4 年，麦克斯韦( m 删e i d 应用数学的形式对电磁现象进行了描述，成为了电 磁场学科领域的基石，他的研究成果被称誉为1 9 世纪最显著的科学成就之一。目前， 电磁场的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传播，光纤通信和 移动通信，雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等【l 州。 经典电磁学对电磁特性的分析研究一般采用试验和解析求解技术。但是试验的 方法存在测试成本高和研究周期长等缺点；而解析方法只能对一些简单的电磁问题 进行分析，又存在较大的局限性。随着计算机技术的发展，在电磁场与微波技术学 科，以电磁理论为基础，以高性能计算机技术为手段和工具，利用计算数学提供的 各种方法，诞生了一门解决复杂电磁场与微波工程问题的学科计算电磁学。计 算电磁学对电磁结构进行分析时，首先建立相应的电磁、数学模型。在模型确定之 后，就要选择算法并使之在计算机上实现。各种数值计算方法由此应运而生，其中 有属于频域技术的矩量法、有限元法等：属于时域技术的时域有限差分法、传输矩 阵法和时域积分方程法等。各种方法都具有自身的特点和局限性。自从计算电磁学 作为- - f q 学科问世以来，频域方法一直占据着主导地位。但是，随着研究的深入， 我们面对的问题越来越复杂，而且分析对象的复杂性不仅表现在外形上，还可能包 括多种材料成分和许多精细的孔、缝、腔等结构，例如一些微波及毫米波传输线的 平面电路。对于这些问题频域的方法往往显得笨拙，有时甚至无能为力。频域技术 的局限性和分析问题的复杂性构成了当代工程电磁学的一大矛盾，这一矛盾和技术 不断进步的需求推动了时域技术的发展和应用。以计算机硬件技术的发展为契机， 人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力。 时域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息，而 且经过简单的时频变换，即可得到宽频带范围的频域信息，相对频域方法显著地节 约了计算量。其中时域有限差分方法由于具有适用范围广，适合并行处理，计算程 序通用性强等许多优越的特性，已经成为电磁场数值模拟的最重要方法之一。它几 乎被运用到电磁场中的各个方面，成为目前电磁场理论研究的一个热点。 1 2 时域有限差分方法的研究概况 对工程和理论电磁问题的分析实际上归结为在特定边界条件下求解麦克斯韦 ( m a x w e l l ) 方程。时域有限差分方法( f i n i t e - d i f f e r e n c ct i m e - d o m a i nm e t h o d ，f d t d ) 同样是从概括了宏观电磁场基本规律的m a x w e l l 方程组出发，在时域将m a x w e l l 方 程中的两个旋度方程用差商代替微商，从而把时域微分方程的求解转换为差分代数 i 绪论博士论文 方程的迭代求解。 1 9 6 6 年。k a n es y e e 发表的著名论文“n u m e r i c a ls o l u t i o no fi n i t i a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n v o l v i n g m a x w e l l s e q u a t i o n i n i s o t r o p i c m e d i a ”中，运用时域有限差 分法成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应，它的基本思想是基于直接 根据时域麦克斯韦方程的场分量的微分形式，用差分替代微分实施各场分量的迭代 而建立的。然而，在这之后的很长一段时间，该理论并未得到足够的重视。1 9 8 0 年， a l l e ny a f l o v e 在“a p p h c a t i o no ft h ef i n i t e - d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nm e t h o dt os i n u s o i d a l s t e a d y - s t a t ee l e c t r o m a g m e t i c p e n e u a t i o n p r o b l e m s ”一文中，首次给出了f d t d 这个缩 略语，并验证了正弦电磁波入射于三维金属腔的f d t d 模型。1 9 8 1 年，gm u r 发表 了关于y e t 网格的二阶精确吸收边界条件【1 们。8 0 年代后期，f d t d 法被成功地用于 微波电路的时域分析中，9 0 年代以来又被用于天线辐射特性、电磁兼容分析等的计 算问题。经过一批科学家多年的深入研究，并随着吸收边界条件的不断改善，尤其 是完全匹配层( p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r ) 1 1 - 1 5 1 的提出和应用，时域有限差分法y e c 氏初 刨时的雏形日趋完善，逐渐走向成熟。随着计算机功能的迅速提高，该方法的应用 范围不断扩大，应用效果不断提高，近些年来对该方法的研究依然在不断改进和补 充。 纵观f d t d 的发展过程，我们不难发现f d t d 具有许多优越的特性，如直接时 域计算，适用性广，并且所需的存储空间仅仅与网格总数成正比，与频域的差分法 相比，所需的内存较少，适合并行处理，通过时间步进迭代得到时域信息，然后进 行傅立叶( f o u r i e r ) 变换，得到频域信息。在宽频带激励情况下，就可一次获得宽频带 的信息，因此从某种意义上来看，f d t d 算法本身就是一种宽频带响应的计算方法。 随着f d t d 方法的迅猛发展，新的处理方法不断涌现，研究的主要方向有：各 种复杂材料的模拟，f d t d 方法与别的数值方法混合应用技术，时域多分辨小波方法 ( m r t d ) ，伪谱时域有限差分方法( p s t d ) 以及本文将着重研究的交替方向隐格式时域 有限差分方法，基于c r a n k - n i e o l s o n 差分格式f d t d 算法等。需要说明的足，以上 介绍的是现阶段电磁场时域有限差分方法主要的一些发展方向，但并不表示是所有 的方向。 时域有限差分方法作为一种适合描述物理规律，又同时具有多种优点的方法在 电磁场数值计算领域的地位和作用正在迅速提高，成为热门的研究方向，展现了蓬 勃的生命力和广阔的应用前景。 1 3 本文的主要工作内容及贡献 作者在博士期间以电磁场时域有限差分数值方法为基础，主要对多种混合算法、 a d i f d t d 及c n - f d t d 算法作了较为深入细致的研究，并对多种电磁结构进行了分 2 南京理工大学博士学位论文 电磁场时域有跟差分数值方法的研究 析计算。 本文的主要工作包括如下几个方面： ( 1 ) 将改良的矩阵束( m o d i f i e d m a t r i x p e n c i l ，m m p ) 方法应用在f d t d 方法中，详细 的阐述了该方法的数学原理和应用。m m p 算法对f d t d 得到的早期时域信息进 行外推即可预测出完整的时域波形，进而得到相应的频域特性。运用m m p - f d t d 混合算法对平面电磁带隙结构( u c ，e b g ) 及其在普通滤波器中的应用进行了深入 细致的分析，结果表明平面电磁带隙结构具有优良的低通特性，同时证明了 m m p f d t d 混合算法可以在原来f d t d 耗费c p u 时间的四分之一，或者更短的 时间内得到完整的时域波形和相应的频域特性。 ( 2 ) 将最小二乘的支持向量机( l e a s t - s q u a r e s u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s ，l s s v m ) 方法应 用在f d t d 方法中。详细的分析和阐述该方法的数学原理和应用。针对l s s v m 算法的应用中存在选取参数 盯的问题，提出运用粒子群优化算法进行优化选 取l s s v l v l 中的参数，以减少人工干预，提高鲁棒性。 ( 3 ) 对三维的交替方向隐格式( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nl m p l i e i t ) f d t d 算法做了详细的推“ 导，对成功实现仿真建模的几项关键技术进行了详细说明，并编制了三维 a d i - f d t d 程序。运用a d i f d t d 算法对平面微带电路、贴片天线和波导等三 维结构进行了分析计算。 ( 4 ) 将a d i f d t d 方法与m m p 外推预测方法相结合为更加高效的分析计算微波集成 电路的混合算法，并应用分析了典型的平面微带电路。 ( 5 1 对三维基于c r a n k - n i e o l s o n 差分格式的( c n ) f d t d 算法进行了深入研究，并编制 三维c n f d t d 程序，运用c n f d t d 算法对谐振腔和微带电路进行了分析计算。 采用对称超松弛预处理的双共轭梯度法( s s o r - b c g ) 对c n f d t d 在场的更新中 产生的大型稀疏矩阵方程进行迭代求解，并利用前时刻所求出的场量值作为迭 代算法的初始值，保证了较高的求解速度和迭代算法的稳定性。 本文的主要创新点包括如下几个方面： ( 1 ) 针对新型微波器件平面电磁带隙结构首次运用m m p f d t d 混合方法进行分析 计算，并将平面电磁带隙结构应用于常规滤波器中，证明了平面电磁带隙结构优 良的低通特性。同时说明m m p 外推预测方法与f d t d 方法结合的合理性和有效 性，能使计算效率大大提高。 f 2 1 首次将基于学习理论为基础的l s s v m 算法应用于f d t d 方法中进行时间序列 预测；数值实验结果表明该技术与f d t d 的结合将大大降低为得到完整时域波形 而付出的计算消耗，证明该混合算法与f d t d 方法相比效率得到提高。针对 l s s v m 算法在应用中需要选择参数，盯的问题，首次提出应用粒子群优化算 法进行优化选取参数，减少人工干预。结果表明，采用p s o 优化方法可以在较 3 1 绪论 博士论文 短的时间内准确的获取l s s v m 算法所需的动态参数。 ( 3 ) 运用基于交替方向隐格式( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ) 的三维f d t d 算法对平面 微带电路、贴片天线和波导等三维结构进行了分析计算。首次将a d i f d t d 方 法与m m p 外推预测方法相结合，对两种典型微带电路的仿真试验证明了该混合 算法为分析计算电磁结构提供了更为准确高效的方法。 ( 4 ) 首次将基于c r a n k n i c o l s o n 差分格式的无条件稳定时域有限差分方法推广到三 维微波结构的分析，运用该算法对谐振腔和微带平面电路进行了仿真分析。结果 显示在时间步长的取值远大于传统f d t d ，而c n - f d t d 和a d i f d t d 的时间步 长相同的情况下，c n f d t d 算法的精度远高于a d i f d t d 算法。首次利用前一 时刻所求出的场量值作为迭代算法的初始值，采用对称超松弛预处理的双共轭梯 度法( s s o r - b c g ) 对c n - f d t d 在场的更新中产生的大型稀疏矩阵方程进行迭代 求解，保证了较高的求解速度和迭代算法的稳定性。 1 4 本文的结构安排 本论文正文分为六章，具体安排如下： 第二章研究将改良的矩阵束( m m p ) 方法与f d t d 方法相结合的理论及其对新型 微波器件平面电磁带隙结构的模拟计算； 第三章创新性的研究了将l s s v m 方法与f d t d 方法相结合的理论及其应用；及 粒子群优化算法在l s s v m 中的应用； 第四章研究了三维交替方向隐格式( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ，a d i ) f d t d 算 法的建立，并分别对微带平面电路、贴片天线和波导结构进行了仿真分析；创新性 的研究了将a d i - - f d t d 方法与m m p 外推预测方法相结合的更加高效的模拟计算微 波集成电路的混合算法。 第五章创新性的研究三维基于c r a n k - n i c o l s o n 差分格式f d t d 算法的建立，并运 用该算法对谐振腔和微带平面电路进行了仿真分析。同时对a d i f d t d 算法存在的随 着时间步长的增加数值色散误差增大的问胚进行了分析研究。 第六章总结和回顾了本文的工作，指出了值得进一步研究的内容，对与论文相 关的时域有限差分法的发展趋势作了展望。 4 南京理工大学1 璋士学位论文电磁场对域有限差分数值方法的研究 2 改良矩阵柬方法在时域有限差分方法中的应用 2 1 概述 由f d t d 的基本原理可知，虽然f d t d 方法简单，功能强大，在电磁场领域得 到了广泛的应用，但是受到算法本身的限制，即使应用f d t d 方法对较为简单的电 磁结构的散射和传输模型进行分析时，要得到准确的特性参数，也需要大量的时间 迭代步数。这是因为应用f d t d 法进行电磁结构分析时，得到的是有限长的时间信 号序列。再通过傅立叶交换计算频域参数，而在离散傅立叶变换中，存在最小频率 分辩率的问题，频率最小间隔d f = 1 谤，其中n 为时间迭代步数，西为时间步长。 因此，减小频率间隔，精确刻划频域参数主要有增大时间迭代步数n 或采用外推预 铡方法以达到增大n 两种途径。 特别当应用f d t d 方法分析存在能量存储的高q 值结构，例如谐振结构时，这 个问题就会变得异常尖锐，所需要的时问迭代步数往往达到几万，甚至十几万，而 通过傅立叶变换得到准确的结构频域参数，又必须得到完整的时域波形，如果过早 的中断计算，将会导致结构的频域参数偏离真实值。这就大大影响了f d t d 方法的 计算效率，限制了f d t d 的应用。 f d t d 法分析结构时采用的是“蛙跳”模式，即当前值由前期值通过时间步进迭 代得到。而在信号处理方法、机器学习思想中，很多方法都是通过对前期信息进行 处理，预测未来信息，这就提示我们可以将这些方法引入到f d t d 方法中来，为f d t d 算法节省计算时间。 在本章中将研究利用改良的矩阵束( m o d i f i e dm a u i xp c n c i l ) 方法1 1 9 】，对f d t d 法获得的早期部分时间序列进行外推，以获得准确的完整时域波形预测。接下来的 数值实验将表明，这一技术与f d t d 的结合大大降低了为得到完整时域波形而付出 的计算消耗。以下详细介绍m m p 方法在f d t d 中的应用。 2 2 建模 将f d t d 的时域波形视为一组时域信号，可以表示为2 0 2 1 ： m = 乙+ = 足e 。q + 7 2 硝喝+ ， 捍= o ，l ，一l( 2 2 1 ) l = i 其中：毛表示f d t d 计算得到的时间响应数据；表示计算的数值误差( 噪声) ，与 算法的精度有关；乙表示准确信号；墨表示复余量；吒表示衰减参量；z 表示频率； 和 ，分别表示采样周期和采样数据总数。 如果能够通过外推方法利用时域波形的前期信息准确的求得以上各量，就可以 对f d t d 所得到的时域波形进行外推预测。 2 改良矩簿柬方法在时域有照差分方法中的应用博士论文 2 3 改良矩阵束方法的基本原理 最初的矩阵柬方法是使用了矩阵束和基于奇异值分解等数学概念 2 0 , 2 1 】，然而， 它忽略了矩阵束方法的初始矩阵具有h a n k e l 结构这一特性。而改良的矩阵束方法把 减秩的h a n k e l 近似算法结合在原来的矩阵柬方法中，大大改良了原始矩阵束方法的 性能蚴】。 使用t 形成下列矩阵： 工= 而， ，气】。l ， x o = ，而，屯】k 蚋l x 1 = 【五，恐。，黾】州。l 其中，= k ，。，z + 。】r ，n = 0 ，l 三，三被称为束参量，上标事和7 分别 表示复共轭和矩阵转置，z 是主矩阵。与x ，石o ，x 1 的定义类似，信号矩阵z ，z o 和z 1 都是由瓴 。n 。- i 定义，三个矩阵的秩均为m ，并具有h a n k e l 结构。 e c a , + j z x f , ) ：构建 了( z o ) 1z 的m 个非零特征值，其中( z o ) 是z o 的m o o r c - p c n r o s c 伪逆。 在矩阵束方法的奇异值分解过程中，忽略了信号矩阵h a n k e l 结构的特性。为保 留h a n k e l 结构特性，对给定的一个秩为的矩阵x ，定义了一个迭代算法近似算子 ，它是减秩的h a n k e l 近似算子( r r h a ) ，如下表示： 了 z = ( 纰) 。 x 2 舰( 纰) ” z 2 舰( 丝0 竺( 北 柳) ) ) 这一算子将产生一个同时具有低阶和h a n k e l 特性的矩阵。那么，矩阵了 z 比 矩阵c x j 更加近似于矩阵z 其中c 是m ( m 工) 阶近似算子，l x 是z 矩阵的 近似，c x = 掣一， o - 。，口：，仃。 ，是矩阵石的最多m 个奇异值，吩和m 分别 表示相应的左和右奇异矢量，上标8 表示矩阵共扼转置。 是矩阵x ，。口的h a n k e l 近似算子，s = 玎 x 。其中s 的第( p , q ) 个元素由 s m = r _ 、 x 山，p = o ，1 ，2 - i ，和q = o ，l ，9 1 给出，公式中，人t 表示 l o 、p + ql ( p , q s e a p , _ 在矩阵中一反对角线的相应指数的设定，也就是说人，= ( p ，g ：o p s p 一1 ， o g q - x ，p + g = f ，l a l i 表示集合a i 的势。 综合考虑三个矩阵z ，z o 和z 1 共有的属性，r r h a 被用来处理矩阵x 。理论上 对于减秩的h a n k e 矩阵2 ，存在唯一的指数数据序列。同样矩阵2 0 和旁均具有减秩 和h a n k e l 特性。因此，以上三个矩阵均满足这两个特性。 南京理工大学博士学位论文 电磁场时域有限差分数值方法的研究 把上述算法和矩阵束方法相结合就形成了改良的矩阵束方法，此算法可按下述 流程实现： ( 1 ) 在f d t d 记录的数据序列中采样生成， = o ，1 ，仁l ； ( 2 ) 计算2 = 了 朋； ( 3 ) 从2 得到旁和砻： ( 4 ) 从c 2 0 ) 获得分； ( 5 ) 计算2 1 = l 2 1 ； ( 6 ) 计算( 乞o ) + 之1 的m 非零特征值，也就是在式( 2 2 1 ) 内的极点忙一埘吖) 二； ( 7 ) 使用式( 2 2 1 ) 外推f d t d 数据，形成完整的时域记录； ( 8 ) 通过f f t 获得频域参数。 2 4 应用m m p - f d t d 混合方法对平面电磁带隙结构的仿真分析 在掌握了m m p f d t d 的原理及计算方法后我们就可以效率更高的对各种结构 进行仿真计算，从而了解相应结构的电磁特性。本节将通过对近年来国际上热点研 究的平面电磁带隙结构的分析来验证上述m m p f d t d 混合算法的计算精度和较高 的计算效率。 2 4 i 平面电磁带隙结构( u c - e b g ) 简介 光子带隙结构( p h o t o n i cb a n d g a p ) 的特性及其应用的研究成为近年来国际上的 研究热点。虽然这是来自光子的概念，但是研究人员把它延伸到微波频率，被称作 电磁带隙结构( e l e c a o m a g n e t i cb a n d g a p ，髓g ) ，使得一些新的电磁结构得以诞生。 电磁带隙结构的特性主要有：带阻，慢波，高阻抗，在微波和毫米波集成电路 中应用广泛。例如，利用e b g 结构的带阻特性，可以用于设计滤波器用于谐波控制， 或者利用高阻抗表面改善天线辐射性能；利用e b g 结构的慢波传输特性，可以减小 微波电路和天线的尺寸等等 2 3 - 2 v 。 1 9 9 8 年，u c l a 的i t o h 教授首先提出了在金属底板光刻上二维稽的平面电磁带隙 结构，试验表明这种结构可以获得比介质打孔等三维结构更为优异的阻带特性。它 对于微波平面e b g 结构的发展来说是很重要的一个起点。这种典型的平面电磁带隙 结构( u c 一黯g ) 如图2 4 i 所t 示 2 8 2 9 7 2 改良矩阵柬方法在时域有限差分方法中的应用博士论文 图2 4 1平面e b g 结构，其中a = 3 0 4 8 m m ， 搅7 4 3 2 m m ，倒3 0 4 8 m m ，h = 0 7 6 2 m m 我们发现针对平面电磁带隙结构进行分析计算时，f d t d 为了得到完整的时域波 形，所需的时间步数可能会达到几万次。本章中将利用上节中的m m p f d t d 混合算 法对此结构进行仿真，可使计算量大大降低。 2 4 2u c e b g 在微带线中的应用 图2 4 2 为刻有平面电磁带隙结构金属底板的微带线，其底板厚度为o 6 3 5 m m ， 微带宽o 6 0 9 6 m m ，介电常数为1 0 2 。图2 4 1 3 给出了其散射参数图，从图中可以看 出，在1 0 g h z 以上出现明显的阻带，可知该结构具有较好的低通滤波特性，显示出 平面电磁带隙结构的特性。 运用混和算法计算时，先用f d t d 法计算出部分时域波形( 见图2 4 4 ) ，由部分 肘域数据计算出的散射参数图( 见图2 4 5 ) 数据很不准确；运用改良的矩阵束方法外 推获得准确的完整时域波形( 见图2 4 6 ) ，再计算散射参数图( 见图2 4 7 ) 结果准确。而 计算时间节省了7 0 。 11j，j1 jj11 jj 南京理工大学博士学位论文电磁场时域有限差分数值方法的研究 微带线 1 0 o 1 0 2 0 盆- 3 0 蠡 一4 0 鬯5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 平面电磁带隙结构 图2 4 2 具有平面电磁带隙结构金属底板的微带线 0 24681 01 21 41 61 82 0 频率( g h z ) 图2 4 3 平面电磁带隙微带线结构的散射参数图 9 ! 墨垦丝竺塞立鲨垄壁堡塑里茎坌查堕主塑堡里 苎笙兰 l o o 8 o 6 0 4 0 2 j 粤 警 司0 0 2 o 4 o 2 0 q 一 一 n o 1 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 0 6 0 0 0 时间步数 图2 4 4 观察点的部分时域图 o246 81 01 21 41 61 82 0 频率( g h z ) 图2 4 5 部分时域数据得出的散射参数图 南京理工大学博士学位论文 屯磁场时域有限差分数值方洼的研究 o 0 3 o 0 2 0 0 1 趔 目0 脚 _ - o 0 1 o 0 2 o 0 3 1 0 o 1 0 2 0 盆3 0 窃4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 1 0 0 0 01 2 0 0 0 1 4 0 0 0 时间步数 图2 4 6 用m m p f d t d 得出的完整时域图 o2 4681 01 2 1 41 61 8 2 0 频率( g i n ) 图2 4 7 用m m p f d t d 得出的散射参数图 计算结果验证了该混和算法的正确性及有效性。 为了更好的了解u c e b g 结构的特性，更好的反映出u c - e b g 结构的优点。我 图2 4 80 ) 常规低通滤波器( 其中i i - - 1 6 5 1 m m ，1 2 = 1 1 4 3 r a m ，1 3 = w 1 = 0 6 3 5 m m ， w 2 = 1 5 2 4 n m l w 3 = o 3 8 1 r a m , w 4 = 3 1 7 5 m , 基底厚度为0 6 3 5 m m ) ( 6 ) 作为常规低通滤波器金属底板的平面电磁带隙结构 的研究 1 0 0 - 1 0 2 0 畲一3 0 已 窃4 0 5 0 - 6 0 7 0 o2468l o1 21 41 61 82 0 频率( g h z ) 图2 4 9 常规低通滤波器的散射参数图