（岩土工程专业论文）张拉索膜结构的风致动力效应分析.pdf

辽宁工程技术大学硕士学位论文 摘要 本文对张拉索膜结构的风致动力效应进行了分析研究。张拉索膜结构的风 致动力效应主要是指风激动力性能分析问题，即研究膜结构在风作用下的非线 性性能和随机响应。本文首先论述了膜结构设计的非线性有限元原理，并对张 拉索膜结构进行了初始形态分析和静力分析。然后本文采用线性滤波器法中的 a r 模型对风速场进行了模拟；之后又结合典型的张拉索膜结构研究了膜结构 的自振特性；在此基础上，本文研究了索膜结构在竖向脉动风影响下的风振响 应特性，其中分别研究了张拉索膜结构在单独水平风，单独竖向风以及水平风 和竖向风共同作用下的振动规律，得出了有关重要结论。最后考虑结构与风的 固流耦合作用，用时域分析法研究了索膜结构的抖振响应问题，找出了张拉索 膜结构抖振响应的规律及特性。 关键词：张拉索膜结构风致动力效应时域分析耦合作用抖振响应 辽宁工程技术大学硕十学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho nt h ew i n d i n d u c e dv i b r a t i o no fc a b l e - m e m b r a n es t r u c t u r eh a sb e e n d o n ei nt h i sp a p e r f i r s to fa l l ，n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o nf o rt h ed e s i g no f c a b l e m e m b r a n es t r u c t u r ei sp r e s e n t e d t h ef o r m - f i n d i n ga n ds t a t i cb e h a v i o ro ft h e s t r u c t u r ea r ea n a l y z e da f t e r w a r d s w i n d - i n d u c e dv i b r a t i o no fc a b l e - m e m b r a n e s t r u c t u r em a i n l yr e f e r st ot h ew i n d i n d u c e dd y n a m i cb e h a v i o r so ft h es t r u c t u r e ，i e t h en o n , n e a rb e h a v i o r sa n dr a n d o mr e s p o n s e sc a u s e db yw i n d a rm o d e li nl i n e a r f i l t e rt h e o r yi sa d o p t e dt os i m u l a t ep u l s a n tw i n d c o m b i n e dw i t hs o m et y p i c a lc a b l e m e m b r a n es t r u c t u r e s ，r e s e a r c ho ns e l f - v i b r a t i o no ft h es t r u c t u r eh a sb e e nc o n d u c t e d b a s e do nt h ep r e v i o u sw o r k t h ei n f l u e n c ec a u s e db yt h ev e r t i c a lw i n dc o m p o n e n t o nt h em e m b r a n er o o f sh a sb e e na n a l y z e di nt i m ed o m a i n i ti n c l u d e st h ev i b r a t i o n l a w so ft h es t r u c t u r eu n d e rs e p a r a t eh o r i z o n t a lw i n dc o m p o n e n t ，s e p a r a t ev e r t i c a l w i n dc o m p o n e n ta n dt h ec o l l e c t i v eh o r i z o n t a lw i n dc o m p o n e n ta n dv e r t i c a lw i n d c o m p o n e n t s i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n sh a v eb e e nd r a w nf r o mt h ea n a l y s i s f i n a l l y ， c o n s i d e r i n gs t r u c t u r e - w i n dc o u p l i n gi n t e r a c t i o n r e s e a r c ho nb u f f e t i n gr e s p o n s eo f c a b l e - m e m b r a n es t r u c t u r ei sd o n e r u l e so fb u f f e t i n gr e s p o n s eo fc a b l e - m e m b r a n e s t r u c t u r eh a v eb e e nf o t m da f t e ra n a l y z i n gt h er e s u k s k e yw o r d s ：c a b l e m e m b r a n es t r u c t u r e w i n d i n d u c e dv i b r a t i o nt i m ed o m a i n a n a l y s i s s t r u c t u r e w i n dc o u p l i n gi n t e r a c t i o n b u f f e t i n gr e s p o n s e 辽宁工程技术大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景 张拉薄膜结构是张拉结构中最新发展起来的一种形式，它以性能优良的柔 软织物为材料，利用柔性钢索或刚性支撑结构将膜面绷紧，从而形成具有一定 刚度、能覆盖大跨度空间的结构体系。在设计特点上，膜结构柔性很强，重量 很轻，覆盖面积大，外形复杂多变，刚度较小，阻尼小，这些特性就决定了索 膜结构对风的高度敏感性。风荷载是索膜结构的主要外荷载，也是引起结构破 坏的主要原因。国内外由于风荷载引起结构破坏的实例并不罕见，曾有报道9 个大跨度屋盖结构在风速3 4 时屋脊被风吹开造成永久性破坏的例子，如美国佐 治亚穹顶在刚刚建成3 年后，于1 9 9 5 年在一次强风大雨袭击下有四片薄膜被撕 裂【1 ，撕裂长度达1 0 余米；2 0 0 2 年世足赛建造的韩国济洲岛体育场挑篷膜结 构在2 0 0 2 年6 月和8 月先后两次在台风的袭击下出现膜材撕裂现象：加拿大蒙特 利尔奥林匹克体育场的可开启式膜屋盖于1 9 9 9 年冬天，一场暴风雪之后，其中 的一块膜屋盖突然破裂。国内虽然在膜结构领域的工程实践时间较短，但也确 有少数工程在施工过程中出现了膜材被强风撕裂的情况( 如图1 1 ) 。风荷载除 了对结构造成直接损坏外，一些间接作用也是不可忽视的。例如，美国的 r a l e i 【g h 体育馆因为在使用过程中其屋盖在风作用下振动过大，而不得不在屋 面下部增设附加拉杆；汉城奥运会体操馆、击剑馆的索穹顶结构在使用过程中 也发现大部分连接件因风的作用出现松弛现象，这些问题给索膜结构的研究工 作带来了新的课题。 由于索膜结构不同于传统的建筑形式，它的特殊性使得在抗风设计时，有 许多用传统的方法不能解决的问题以及一些新出现的问题，因此膜结构的抗风 设计理论研究方面一直进展缓慢，特别是涉及到风荷载的动力效应问题时，至 今没有形成一套成熟的解决思路。那么如何对索膜结构在风荷载作用下的性质 和反应进行较准确地研究，以解决索膜结构的抗风设计问题就显得十分重要。 辽宁工程技术大学预十学位论文 因此，对索膜结构在风荷载作用下的风致效应问题及其抗风设计方法开展系统 研究，具有十分重要的理论意义和工程实用价值。 图1 1国内某地膜结构被风撕裂 1 2 风荷载性质概述及研究现状 十九世纪后期和二十世纪初期，随着主要荷载为风荷载的结构的出现，如 高耸的塔，烟囱，高层建筑，大跨度屋盖，桥梁，以及索膜结构等，对风荷载 的研究也就开始了。这些结构对风的作用十分敏感，因此必须发展相应的研究 手段来精确计算风荷载的影响，风工程就是为了发展这种研究手段而逐渐发展 为重大课题。1 9 6 3 年，在英国t e d d i n g t o n 召开了首届国际风工程学术会议，研 讨了许多结构风工程问题，标志着结构风工程已成为一个重要学科。此后，每 隔4 年召开一次。在我国以“结构风效应”为题的全国性学术会议至今已召开 l o 届，充分反映了我国在高层建筑、高耸、大跨等结构的风效应、风振响应、 抗风设计、风振控制等方面的理论与最新研究成果【2 ，3 】。 运动的空气称为风，通常指运动的大气。沿竖直的方向或近于竖直方向运 动的气体称为流。风由大气压力不等引起的。风是空气的流动，必然有速度。 气流在建筑物前，由于受阻雍塞，形成高压气幕。速度愈大，对建筑物的压力 也愈大。远在1 7 世纪就有人研究风压，但到了1 9 世纪，由于1 8 7 9 年特桥事 辽宁t 程技术大学硕士学位论文 故，才引起人们的注意和重视。专门研究风力作用下结构的反应是5 0 年代后 期逐渐形成的一门新学科，即结构风工程 4 。经过一个多世纪的研究，各国科 学家在这一领域取得了重大进展，为进一步研究奠定了基础。紊流是风的自然 属性，对于柔性结构都存在抖振现象。国际上d a v e n p o r t 在这方面做出了突出 的贡献，他总结了全世界9 0 多次强风记录，提出了结构设计的风速谱，被验 证为合理的功率谱，为世界大多数国家( 也包括我国) 的结构设计规范所接受， 并且在6 0 年代由他创建的抖振理论【5 】被应用至今。1 9 7 2 年，k a i m a l 提出了随 高度变化的风速谱。1 9 7 4 年s i m u 也提出了随高度变化的风速谱。我国的西安 热工所在多年实测的基础上也提出了自己的脉动风速谱。s c a n l a n 在8 0 年代提 出了桥梁抖振理论中，考虑了自激气动力的影响以及各方向运动耦合影响，然 后使用频域分析方法得到抖振响应的均方差值 6 ，7 】。 风速特性和风荷载的前期研究主要依赖于实测资料的统计分析。随着计算 机技术的飞速发展，最近几年，大气边界层风场的计算机数值模拟 8 1 0 】有所 发展。该方法以风流动的连续方程和n a v i e r - s t o k e s 为基础，建立数值离散方程 式，借助计算机用数值方法获得风场离散解。在数值计算方面s h i n o z u k a 和 1 w a l u i 引入了随机过程理论并加以改进，为风工程的数值计算作出了重要贡 献。 相比之下，索膜结构的抗风设计理论研究方面却一直进展缓慢，特别是涉 及到风荷载的动力效应问题时，至今没有形成一套成熟的解决思路。其原因主 要有：( 1 ) 结构绕流特性复杂。索膜结构多为复杂的三维空间曲面，且建筑 造型鲜有雷同：即便是对同一结构，当其下部开敞情况发生变化时，结构表面 的风压分布情况也会出现显著差异；因此对索膜结构表面绕流特性的确定特别 是涉及到风荷载的脉动特性时异常复杂，现行荷载规范所提供的数据或一些基 于二维势流理论的解析方法根本无法适用【11 ，1 2 】。此外，由于索膜结构沿水 平向的跨度通常远大于结构高度，因此结构表面的风压分布不但与来流的脉动 特性有关，还会更多的受到结构自身特征湍流( 即由于结构形状影响所产生的漩 涡脱落、分离和再附等现象) 的影响。这使得我们在进行索膜结构风振分析时， 很难像高层和桥梁结构那样建立一种普遍适用的阵风荷载模型。( 2 ) 较强的 几何非线性。索膜结构作为典型的柔性张拉结构形式，在力学性能上明显区别 辽宁t 程技术大学硕士学位论文 4 于传统的混凝土和钢结构，索和膜不具有弯曲刚度，结构对外荷载的抵抗是通 过改变自身形状来实现的；当荷载从一种形式变化到另一种形式时，结构除产 生弹性变形外还会产生较大的机构性位移，因此索膜结构的变形比较明显，即 表现出明显的几何非线性特征。这种情况导致目前工程上仍在沿用传统结构的 抗风设计理论体系，而没有很好地结合索膜结构自身的一些特点。这一方面可 能造成不必要的浪费，另一方面也不排除某些未预见到的隐患。因此可以说， 索膜结构抗风设计理论的滞后性已成为制约这种结构类型进一步发展的瓶颈 1 3 ，1 4 】。 1 3 张拉索膜结构的风致效应 1 3 1 张拉索膜结构的风致动力效应特性 张拉索膜结构的风致动力效应是指出于结构上顺风向、垂直向脉动风荷载 和横风向旋涡干扰力所引起的结构的振动反应，它包括动内力、动位移和振动 加速度等。它包括两个方面的问题：风激动力性能分析和稳定性问题。风激动 力性能主要研究结构在风荷载作用下的非线性振动特性；稳定性问题主要研究 结构在风荷载作用下出现自激性振颤失稳时的形态以及相应的临界风速。现有 研究资料表明 1 5 ，1 6 ，对于张拉索膜结构不会出现振颤等自激发散振动，造 成空气动力失稳现象。因此索膜结构的风致动力效应问题就是要研究风激动力 性能分析问题。 大量实测资料表明，风包含两种成分，一种长周期分量，其周期在1 0 分 钟以上：一种是短周期分量，其周期常只有几秒左右，因此通常可以认为风由 平均风和脉动风组成。把平均风的作用作为静力，其对结构的作用属于静力特 性；脉动风与结构的自振周期比较接近，把其作用作为动力荷载，其作用属于 动力特性【1 7 ，1 8 】。因此膜结构的风激动力性能分析问题是要将脉动风的动力 作用考虑在内。脉动风是一种随机动力干扰，会引起结构的振动，弓i 起结构的 动力响应。由于脉动风力是随机的，因而在对结构脉动风作用下的响应分析时 辽宁工程技术大学硕士学位论文 应按随机振动理论进行。 风作用的方向可以是任意的，脉动风实际是三维的风紊流，它应该包括顺 风向、横风向和垂直向的紊流 1 9 。这样，结构上除水平风力外，还存在上下 作用的竖向风力。对于象高层建筑结构、高耸结构等，水平分量显然起着决定 性的作用，竖向方向的风只影响竖向轴力，对结构不起什么大的影响。但是， 对于索膜结构这样的大跨空间结构来说，情形就大不相同了，即使在水平风力 作用下，结构的响应也是垂直于结构表面，接近竖向的。因此，索膜结构在竖 向风力作用下，上述水平风力引起的响应将增大，即竖向风力成为影响结构响 应的重要因素。因此对于索膜结构在风力作用下，既要考虑水平风力分量，又 需考虑风力竖向分量。 索膜结构的质量轻，局部刚度小，在风荷载作用下膜结构会产生较大的变 形；而结构的变形又改变了作用在其上的风荷载的方向和大小，反过来又要影 响结构的变形。这也就是所谓的风与结构的耦合问题 2 0 】。此时空气来流与结 构构成了一种流固耦合系统。流固耦合是索膜结构风振响应的另一特点，在设 计时应予以考虑的。 1 3 2 张拉索膜结构风致效应研究现状 索膜结构的风致效应研究首先就要确定作用在结构上的风荷载。目前对索 膜结构等建筑表面风压分布形式和大小的确定一般都通过风洞试验 2 1 1 或实测 得到。由于实测耗时、费用昂贵，因而采用物理模型进行风洞试验无疑是最重 要、最有效的。风洞试验的理论基础是相似理论，即若风洞试验的对数衰减 数、弹性数、密度比数、重力数与雷诺数与实际情形相同，则满足一定长度缩 比、质量缩比和时间缩比的实验模型的响应与实际结构的响应相同或成一定比 例。目前国内的浙江大学，哈尔滨工业大学等几所学校曾做过索膜结构的风洞 实验，有刚性模型的，也有弹性模型的。并对常见的索膜结构形式，如伞形结 构，马鞍形结构等的风压系数给出了数值。事实上，要完全满足上述五个无量 纲参数，同时精确地模拟大气边界层几乎是不可能的。测定风压分布时，一般 采用刚性模型试验，刚性模型的体型系数与风速的关系不大，但是柔性结构在 辽宁工程技术凡学硕士学位论文 应按随机振动理论进行。 风作用的方向可以是任意的，脉动风实际是三维的风紊流，它应该包括顺 风向、横风向和垂直向的紊流 1 9 。这样，结构上除水平风力外，还存在上下 作用的竖向风力。对于象高层建筑结构、高耸结构等，水平分量显然起着决定 性的作用，竖向方向的风只影响竖向轴力，对结构不起什么大的影响。但是， 对于索膜结构这样的大跨空间结构来说，情形就人不相同了，即使在水平风力 作用r ，结构的响应也是垂直于结构表面，接近竖向的。因此，索膜结构在竖 向风力作用下，l 述水平风力引起的响应将增大，即竖向风力成为影响结构响 应的重要凼素。凼此对于索膜结构在风力作用下，既要考虑水半风力分量，又 需考虑风力竖向分量。 索膜结构的质量轻，局部刚度小，在风荷载作用下膜结构会产生较大的变 形；而结构的变形又改变了作用在其上的风荷载的方向和大小，反过来又要影 响结构的变形。这也就是所谓的风与结构的耦合问题 2 0 1 。此时空气米流与结 构构成了一种流吲耦合系统。流固耦合是索膜结构风振响应的另一特点，在设 计时应予以考虑的。 l _ 3 2 张拉索膜结构风致效应研究现状 索膜结构的风致敏应研究旨先就要确定作用在结构上的风荷载。目的对索 膜结构等建筑表面风压分布形式和大小的确定一般都通过风洞试验 2 1 或实测 得到。由于实测耗时、费用昂贵，因而采用物理模型进行风洞试验无疑是最重 要、最有效的。风洞试验的理论基础是相似理论，即若风洞试验的对数衰减 数、弹性数、密度比数、重力数与雷诺数与实际情形相同，则满足一定长度缩 比、质量缩比和时间缩比的实验模型的响应与实际结构的响应相同或成一定比 例。目前国内的浙江大学，哈尔滨工业大学等几所学校曾做过索膜结构的风洞 实验，有刚性模型的，也有弹性模型的。并对常见的索膜结构形式，如伞形结 构，马鞍形结构等的风压系数给山了数值。事实上，要完全满足上述五个无量 纲参数，同时精确地模拟大气边界层几乎是小可能的。测定风压分布时，一般 采用刚性模型试验，刚性模型的体型系数与风速的关系不大，但是柔性结构在 采用刚性模型试验，刚性模型的体型系数与风速的关系不大，但是柔性结构在 辽宁丁程技术人学硕士学位论文 风压力作用下变形较大，因此体型系数受到风速大小的影响。在建筑风洞中， 受各种试验设备的限制，仍有许多情况无法模拟。随着计算机的发展，计算机 数值模拟被引入上述研究领域，其所取得的经济、准确的效果是物理模型所难 以媲美的。然而由于脉动风的复杂多变性，用怎样的方法和模型进行计算机模 拟才能更准确的获得风荷载仍是值得进一步研究的问题。 结构在风作用下的动力响应问题的研究，除了试验手段以外，在理论上则 包括频域和时域 2 2 1 的求解方法。用频域法分析结构的风振响应是进行风振分 析的一种常用方法，通常假定结构的响应服从叠加原理，结构各运动分量之间 不耦合且运动遵循初始固有模态进行，求得风荷载的谱密度函数，然后由结构 系统的传递函数求得结构系统的响应谱密度函数。但是这种经典的随机振动理 论仅仅适用于线性结构的随机振动。索膜结构在受力过程中表现出较大的几何 非线性特性，是典型的非线性体系，以相关理论和f o u r i e r 为核心的线性随机的 频域振动理论已经不再适用 2 3 2 7 。因此对索膜结构进行研究时都采用时域的 求解方法。时域内的风振响应分析方法在航空领域内早已成为一种常规的分析 方法 2 8 1 。时域分析方法可以直接计算频域分析中难以处理的非线性效应，因 此时域分析方法的优点是可以考虑结构的非线性效应和风与结构物的耦合作 用，并可以获得结构风振响应时程，这对于结构的主被动设计是有用的，也是 频域分析所难以解决的。索膜结构风振响应时域分析方法就是将风速( 考虑因结 构本身振动而引起的风相对于结构的速度方向和大小的改变) 所形成的随机风压 作为激励输入，同时考虑作为载体的平均风所产生的共同作用。在时域内直接 求解运动微分方程，在每一时间步长，薄膜结构的非线性、风与结构物的耦合 作用等影响因素均可以得到考虑。 对于索膜结构的流固耦合作用，即气动弹性问题的研究，目前国内外也处 于探讨阶段，但也取得了一定的进展。 国外有文献 2 9 】提出了一种简化的气弹力学模型。该模型认为脉动风与结 构之间的耦合作用力可用下式表示： f 9 ，x ，戈， ) = p ( o + p p ( t ) 2 ( t ) + p m p ( t ) y c ( i ) + p p ( t ) x ( t ) ( 1 - 1 ) 式中：p ( t ) 代表拟定常气动力作用，可通过刚性模型风洞试验得到；后面三 项代表由于结构振动引起的附加气动力项，p ，、p 时和p 硝分别表示气动力与 辽宁_ | _ = 程技术大学硕上学位论文 结构位移、速度和加速度之间的相关系数，常由风洞试验确定。 国内也有一些学者在考虑流固耦合作用下索膜结构的风振响应作了许多有 开创性的工作，对结构在风致振动过程中出现的气动弹性效应进行了较深入的 理论分析和风洞实验研究，并在并在上述模型的基础上提出一种理论与试验 相结合的简化气弹模型：通过引入附加质量、气动阻尼和气动刚度等概念，来 模拟不同的附加气动力作用，其将( 1 - 1 ) 式带入到如下的结构在风激励下的运 动方程( 1 2 ) 中 3 0 】， m ：芏( f ) + c 。j ( f ) 十k 。x ( o = f q ，x o ) ，童) ，舅) ) ( 1 - 2 ) 合并与结构动力特性相关的项，得到， ( m 。+ m 。) 叠( ，) + ( c + c 。) 童( f ) + ( 世。+ k 。) x ( f ) = p ( o ( 1 - 3 ) 式中， m a 一附加质量( a d d e dm a s s ) ，代表气动力中与结构加速度相关的部分，其 物理意义可解释为，随结构一起运动的那部分空气质量： c a 一一气动阻尼( a e r o d y n a m i cd a m p i n g ) ，代表气动力中与结构速度相关的 部分，其物理意义可解释为，结构周围空气与结构运动之间的能量转换： k a 一气动刚度( a e r o d y n a m i cs t i f n e s s ) ，代表气动力中与结构位移相关的部 分，其物理意义可解释为，由于结构瞬间移动在其上下( 内p b ) 表面所形成的局 部气压差，从而使结构受到的空气支承作用。 同时文献 3 0 】还借助气弹风洞试验对上述简化模型中的一些物理参数进行 了测定，从而使风与结构的相互作用问题进一步量化。依据上述简化气弹模型 方法，该文在国内首次完成了菱形平面鞍形索网结构和膜结构的剐性模型与气 弹模型风洞实验研究。 但简化气弹模型理论还不是十分完善，其参数必须通过大量的风洞试验确 定；数值风洞技术尽管取得了一些成果，但要实现准确的考虑流一固祸合的三 维问题难度较大，从目前的情况来看，利用数值风洞计算刚性结构的表面风压 分布也都还存在不少问题，因此膜结构与空气的相互耦合问题是非常值得进一 步研究的。 辽宁工程技术大学硕上学位论文 1 4 本文的研究工作 本文的具体研究工作有以下几个部分： ( 1 ) 以非线性有限元法为基础，采用更新的拉格朗日方法( u p d a t d e dl a g r a n g ef o r m u l a t i o n ) ，推导了薄膜结构基本单元索元和膜元的公式，可用于薄 膜结构初始平衡形状的确定及非线性静、动力分析。 ( 2 ) 张拉索膜结构的找形分析和静力分析 对张拉索膜结构作了找形分析和静力分析。它们是膜结构设计中最基本的 步骤，是后面风致效应研究的基础。本文对其中的重要问题给出了解决方案， 对实际工程有参考价值。 ( 3 ) 风场模拟与张拉索膜结构自振特性分析 对膜结构进行风效应分析首先就要首先要对风荷载进行数值模拟，即给出 风速时程曲线。本文采用线性滤波器法的a r 模型对风速场进行了模拟。本文 采用采用子空间迭代法计算索膜结构的自振频率和振型，并结合几种典型的张 拉索膜结构，分析了不同参数下的自振特性，总结出了各参数对膜结构自振特 性的影响规律。 ( 4 ) 在竖向脉动风影响下索膜结构的风振响应特性 采用随机模拟时程分析方法对张拉索膜结构在单独水平风作用下、单独竖 向脉动风作用下、水平风和竖向风共同作用下风振响应特性进行了研究，并根 据所得结果讨论了竖向风对大跨索膜结构的重大影响。 ( 5 ) 考虑耦合作用的张拉索膜结构抖振分析 考虑风与结构物的耦合作用，采用非线性随机振动的时域分析方法，运用 w i l s o n - 0 逐步积分法和n e w t o n r a p h s o n 迭代法推导了索膜结构在抖振力作用下 的非线性动力方程，对结构的抖振响应进行了分析，总结出考虑耦合作用下张 拉索膜结构的非线性抖振响应特性。 辽宁工程技术大学硕士学位论文 9 2 张拉索膜结构的非线性分析理论 2 1 概述 索膜空间结构区别于传统的结构，它是一种柔性结构，在外力作用下会产 生较大的变形，也就是具有较强的几何非线性，在对索膜结构进行如找形分 析，荷载分析以及风振响应这样的分析时用传统的计算方法很难得到满意的解 答。而几何非线性有限元计算理论正是计算分析索膜结构的有效方法之一，而 且随着计算机技术的快速发展成为了应用的比较广泛的方法。掌握索膜结构的 非线性有限元计算理论是十分重要的，它是索膜结构进行后续分析的基础，本 文后面的找形分析、荷载分析和风致动力响应问题都是以非线性有限元方法为 基础来展开研究和讨论的。本章将对索膜结构的非线性有限元理论加以介绍， 包括几何非线性的方法、索单元和膜单元的非线性有限元理论。 2 2 索膜结构的非线性有限元方法 几何非线性问题主要研究物体的运动关系即应变与位移间的非线性关系。 物体形变的描述方法主要有l a g r a n g e 描述方法和e u l e r 描述方法。这两种描述 方法的区别在于：前者对位移的度量是固定在两个物质点上并相对地进行，故 又称为物质描述法：而后者则是相对于固定坐标系来进行，又称为空间描述 法。不同的描述方法有不同的适用范围，l a g r a n g e 描述方法跟踪每个质点的变 形情况，适用于固体力学；而e u l e r 描述方法注重场的属性研究，适用于流体 力学。本文应用l a g r a n g e 描述方法，在几何非线性理论分析的基础上，对薄膜 结构进行分析。 几何非线性有限元法有两类研究方法，全量方法和增量方法。全量方法研 究就是直接求在已知荷载和约束下总的变形和应力。首先选择一个固定不动的 辽宁工程技术人学硕士学位论文 直角坐标系，在变形前物体内一点的坐标为x ，变形后这个质点的坐标为工， 质点的位移，= t ，) 一x ；，这样就把看作是t 的函数。这样的描述方法称作 拉格朗同( l a g r a n g e ) 描述或物质描述。采用的度量是格林应变和克希荷夫应力。 在增量方法研究中，认为从t 0 = 0 到t 的所有时刻的静力学变量已经求得，几何 构形己知，需要求解的是t + a t ，时刻的变量。增量方法分两种方法。第一 种方法是完全的拉格朗日表述，简称t l 表述。t l - 方法取t o = 0 时刻的 构形作为参考构形，在所有的时间步长内的计算，都参照时刻t 0 = 0 的构形来定 义。另一种方法是修正的拉格朗同表述，简称u l 表述。u l - 方法在时 问步长i t ，t + a t 内所有变量都以时刻t 的构形作为参考构形 3 1 1 。 u l 方法需要不断的修改参考构形，每一步都需要重新求解形函数。 t l 方法的形函数只需要求一次。另一方面，u l 方法由于不涉及到初 位移效应，刚度矩阵的形式比t l 方法的刚度矩阵形式简单。从总的计算效 率看，两种方法差别不大。在实际应用中两种方法也都有学者选择。文采用 u l 方法，以下推导u l 方法的单元刚度矩阵。 单元中任意一点的位置矢量x 和位移矢量u 可以用单元节点的位置矢量 x e 、单元的节点位移矢量a 。和插值函数n 得到 x = 【x 。，x ：，x ，】，= n x 。( 2 1 ) “= 【，u 3 1 = n a e ( 2 2 ) 其中 x 。= x k x ! ，x i ，工，x ? ，j f 。( 2 _ 3 ) 口。= 【“i ，“；，“；，- 一，“? ，“? ，“；】7 c - 4 ) n = 【l ，2 ，。】3 。3 。 其中m 是单元的节点个数，i 代表3 * 3 的单位矩阵。 在一个时问步长 t ，t + a t i 内，质点的增量位移为 a u ，= i x ， 在t + a t 时刻的位移甜z 是相对于时刻t 的构形定义的，所以有 玩= a u 。 挽i = 8 ( a u ，) 一 ” 钟 协 p 协 辽宁丁程技术大学硕上学位论文 同理定义时刻t 和t + t 的格林应变 e 。= 0 ( 2 8 ) 瓦：!(了oauj+警+_aauk爿aauk(2-9)2 ” 、缸缸缸瓠7 应变增量就是t + a t 时刻的应交 峨= 瓦= 蟛+ 蚯，“( 2 1 0 ) 应变张量可以表示成如下的矩阵形式 a e = 占l + a 昱( 2 1 1 ) a e l = l a u = l n a a 。= b l a a 。( 2 1 2 ) a e u = i & 4 a o = 三2 m g d 。：瓦吼( 2 1 3 ) 由上述三式可得， 皿= ( b ，+ 瓦) 血。( 2 1 4 ) 其中 l = 一= 0 拟l o 0 0 a 6 x 1 a 朗2 a a “ o x l 0 0 0 a a 7 o x 3 a a “ o x 2 o a o x 2 0 a 8 x 1 o a 0 x 0 0 a c 3 x ， a a x2 a a r 0 o0 ( 2 - 1 5 ) o a a “ o x 3 a a “ o x 2 a a ” a x 0 ( 2 1 6 ) 型毗。型眠。警 辽宁工程技术人学硕士学位论文 1 2 0 = 8 a u o x l o a u 8 x 2 o a u 蠲3 ( 2 1 7 ) 上式中熹是1 3 的子矩阵。 a o 写成位移矢量的形式时，有 a o = h n a a 。= g a a 。( 2 1 8 ) 其中 日= g = ，旦 a y ， ，旦 a y ， 旦 a ， 盟， a r ， o n l _ j a r o n i j a r 。 ( 2 1 9 ) 盟，l 誓( 2 - 2 0 ) 盟jl 同理可以得到格林应变的增量形式， 占( 丝) = b l 8 ( a a 。) ( 2 2 1 ) j ( 衄) = 鲋g 占( 曲。) ( 2 - 2 2 ) j ( e ) = ( b l + b 。) 占( 血。) = b d ( a a 。) ( 2 2 3 ) t + t 时刻的克希科夫应力可以写为， 可= s + a s ( 2 2 4 ) 建立单元的虚功方程，有 卢7 励矿= 肛7 砂+ f , f f i 7 耐( 2 2 5 ) 辽宁t 程技术大学硕士学位论文 1 3 时刻t 的位移和应变是已知的，所以有， 净= 占( “) 2n f i ( a a 一( 2 2 6 ) f i e = d ( e ) = b 6 ( 血。) 将式( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 6 ) 代入式( 2 2 5 ) 有， b r ( s + a s ) d v = i n f i d v + i n 7 列( 2 2 7 ) nh “i 上式可以改写为， ( 吼) = f b r a s d v + j b r s d v + j b s # v 一砧0 ( 2 2 8 ) “k k 其中， 夏= j n r p d v + j n r 耐( 2 2 9 ) 嵋a l 式( 2 1 7 ) 中的第一个积分中用b l 近似的代替b 做线性化处理可以得到 f b r a s d v = ( i b ；d b 。d v ) a a ( 2 3 0 ) h 式( 2 1 7 ) 中的第二个积分可以写为， f 磁跗矿= ( g m g d v a a 。) ( 2 3 1 ) v i u 其中， 于是可以得到平衡方程 矿( 血。) = k a a 。+ r s 一瓦0 ( 2 - 3 3 ) 其中， k = k l + k j ( 2 3 4 ) k = j b r d b r d v ( 2 3 5 ) ) 2o2 ( 1lllllj ，f， 鼢 ，f rj 他 弛 弛 s s s， 舅& 野 l = m 辽宁工程技术大学硕士学位论文 1 4 k s = f g 7 m g d v ( 2 3 6 ) r 。= b f s d v ( 2 3 7 ) 嵋 这里k 就是u l 方法得到的增量形式的单元切线刚度矩阵。其中k l 是线性刚度矩阵， k s 是几何刚度矩阵。r s 是时刻t 的应力场s 的等效节点力向量。 2 3 膜单元几何非线性理论 索膜结构中的膜材是一种薄而柔的材料，它无任何弯曲刚度，只能靠膜面 内张力和膜面挠曲来抵抗侧向荷载，因此在荷载的作用下会产生较大变形。将 膜材料的本构关系线性化，膜结构的力学问题可归化为几何非线性问题。对于 膜单元的几何非线性理论的描述仍然采用u l 方法。对于膜单元的数学建 模有以下几个基本假定： ( 1 ) 膜采用三结点平面单元离散，假设膜单元变形前后均保持平面，单元 为常应力常应变单元： ( 2 ) 荷载作用于结点上； ( 3 ) 假设薄膜与索之间没有相对滑移。膜产生小应变、大位移： ( 4 ) 假设膜材料是正交各向异性弹性材料，变形前后其材料主轴保持垂 直； ( 5 ) 索、膜受拉时应力、应变关系符合虎克定律。 2 , 3 1 膜单元几何非线性刚度矩阵 这里采用常应变平面三角形单元。膜单元的有限元分析中涉及到三个坐标 体系( 图2 - 1 ) ，分别是整体坐标系o * y z ，单元局部坐标系i x y z ， 坐标系 i - - qby ( 又称材料主轴方向坐标系) 。 辽宁工程技术大学硕上学位论文 x 图2 - 1三角形膜单元与参考坐标系 以下先推导局部坐标系下膜单元的切线刚度矩阵，然后讨论三个坐标系之 间的转化关系。 在每个单元的局部坐标系i x y z 定以逆时针方向编码为正向，并且x 轴 的正方向为从节点i 指向节点jo 以节点位移为未知量，并假定单元内任一点 的位移向量可表示为”2 ”，v ，w 1 ，单元节点的坐标 ，位移a e 表示如下 x 。= x 。，y ；，暑，x j y ，z j ，x t ，y ，z 女) 。( 2 _ 3 8 ) 盯。= “，v 。，“，v ，0 ，“，v 女，w 7 ( 2 - 3 9 ) 形函数为 n 1 00 n 2 00 n 3 00 l = l0n 1 00 n 2 00 n 30 | ( 2 - 4 0 ) l 00 n 。0 0 n 2 0 0 n 3 j 其中， m = a 。+ b , x + c y ，( i _ l ，2 ，3 ) ( 2 4 1 ) q = 击臣蚓，t = m ；= 一击 孙铲m ，= 击1 1 卦c z 啦， a 表示单元的面积， 4 ：非斗p 。s ， 1 1 以n l 辽宁工程技术大学顶士学位论文 1 6 下面推导膜单元的几何方程 设在第j 个增量步内的节点位移增量为 a a 。= a u ，a v 。，a w i ，a u ，a v ，a w j ，a u ，a v 女，a w k ) 。一( 2 - 4 4 ) 单元内任意一点的应变增量为 a f t ；= e ，艋。e 。 1 ( 2 4 5 ) 将上式用节点位移增量表示为 o a u o y o a v 口c a a u o a v j - 一 加缸 + 丢 等) 2 + 嗜c 3 a v ) 2 + 掣o x ) 2 】2僦僦 i 1 。( _ 0 a u ) 2 + 警) 2 + ( 警) 2 】 0 a u0 a u0 a v0 a v0 a w a a w + + 勿良砂反砂叙 由式( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 得， b = l n = 盟00 盟00 盟00 0 o n _ l 00 盟00 o n l 3 0 一o n l 一o n , o o n 2 盟。一o n 3 一a n 3 o ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 将式( 2 4 0 ) ( 2 4 3 ) 代入到上式中，得到 1l 乃一m 00 y k 一只 oo y i y j o o l 毋1 2 刍l ：。，缸：一。一0 x i - - 一x k0 一。0 一咒x ) 一- - x i x ky i y k 0 y ky l 0 x i y j ：l 2 4 8 l x ， 一 一 一 0 一 咒一 u l 代入式( 2 3 5 ) 得到单元的线性刚度矩阵 f 捌。= f ： 剀7 。 d t t 眈】hd a = f ；【别。 d ： 吼】ha 一( 2 4 9 ) ，j r o 其中 d 是局部坐标系下的应力应变关系矩阵，具体的求法在后面给出。h 是膜材的厚度。 同理，将式( 2 4 0 ) ( 2 4 3 ) 代入到( 2 2 0 ) 中得， 辽宁工程技术大学硕+ 学位论文 【m 】 仃，0 0 0 盯。0 0 0 盯， 7 w 0 0 0 。w 0 00 7 w 。q 00 0 t x y 0 00 7 w 盯。0 0 0 盯y 0 0 0 盯y ( 2 5 0 ) 将式( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) 带入到( 2 3 6 ) 中，得到单元的几何刚度矩阵 】。= f ；【g p 班g r h 鲥= ：【g 泓】“g f h “( 2 5 2 ) 由式( 2 3 7 ) 得到应力场的等效节点力向量 _r 月。 。= j ； b t 。 仃) 7 h 7 d a 2 ：【b - 】。 盯) 。h 。a ( 2 5 3 ) 。a 其中 o - 表示克希荷夫向量 。 盯) = 盯，盯。f 。 7 ( 2 5 4 ) 下面讨论局部坐标系下的变量与惯性坐标系和整体坐标系下的变换。 本文假定膜材是正交各向异性弹性材料。当局部坐标方向与惯性坐标方向 间的夹角为0 时，局部坐标i x y 上的应变e 局与惯性坐标i ab 面上的 应变e 材之问的关系为： s 局) = 【疋 s 材 ( 2 - 5 5 ) c o s 2 0 s i n 2 0s i n o c o s o l 陵】= i s i n 20 ,cos20 一s i n o c o s o 卜( 2 。5 6 ) i 一2 s i n o c o s o 2 s i n o c o s 0 c o s 2 0 一s i n 2 0 】 0 o 一，o 0 一 ” 0 吩 而 碍o o 叶o o h o o 碍o o 吨 赡 t o 啊o o吨。 此 耳 叶o o 吨o o n 耳 n 弓 巧 n 弓 有 乃 耳 ” 炸 叶 h 隅 一式p