（工程力学专业论文）SH波作用下双相介质界面附近圆孔和裂纹的相互作用.pdf

哈尔滨t 徉犬学硕十学何论文 摘要 本文在弹性动力学范畴内，采用g r e e n 函数、复变函数和多极坐标方法 研究了双向介质界面附近圆形孔洞及其附近任意方位有限长度裂纹对s h 波 的散射问题。 首要工作是构造适合本问题的g r e e n 函数，这也是本论文的关键技术问 题。本文需要用到两个g r e e n 函数，一个是在含有圆孔和任意方位裂纹的弹 性半空间表面的任意一点承受时间谐和的出平面线源荷载作用时的位移函数 基本解。其中分别给出了在含圆孔的弹性半空间表面和内部的任意一点承受 时间谐和的出平面线源荷载作用时的位移场，在圆孔附近采用裂纹“切割” 方法构造出任意方位的裂纹，从而构造出适合本文问题的第一个g r e e n 函数。 第二个g r e e n 函数为在完整的弹性半空间表面的任意一点承受时间谐和的出 平面线源荷载作用时的位移函数基本解。 研究s h 波对双相介质界面附近圆形孔洞和裂纹的散射问题，求解过程 中将问题的模型视为“契合一问题：即可将所研究的问题沿其界面“剖分一 为两个部分，其一为含有圆形孔洞和裂纹的弹性半空间，而另外部分则可 以是完整的弹性半空间。若在两个半无限空间的自由表面上，分别加置待定 的出平面荷载，利用求出的g r e e n 函数写出界面上的连续条件，建立起确定 待解外力系的第一类f r e d h o l m 积分方程组，采用直接离散的方法将定解积分 方程组转化为线性代数方程组计算求解，从而可以得到双相介质界面附近圆 形孔洞和裂纹对s h 散射的位移场、应力场的解析表达式。针对具体算例， 讨论了不同的入射波数、入射角度、圆孔到界面距离、裂纹与圆孔的距离、 裂纹的角度、长度、双相介质等参数对界面附近圆孔周边动应力集中系数和 裂纹尖端动应力强度因子的影响。 关键词：s h 波散射；双相介质；圆孔与裂纹；g r e e n 函数；契合：动应力集 中系数：动应力强度因子 哈尔滨t 稗大学硕+ 学传论文 a b s t r a c t t h ep r o b l e m so fs h w a v es c a t t e r i n g ，w h i c hi sc a u s e db yh a l f - s p a c ec i r c u l a r c a v i t yn e a rt h eb i m a t e r i a li n t e r f a c ea n dc r a c ko fa r b i t r a r yp o s i t i o n , a r es t u d i e di n t h i sp a p e rb e y o n dt h ef i e l do fe l a s t o d y n a m i c s ，a n dt h em e t h o d so fg r e e n s f u n c t i o n , c o m p l e xv a r i a b l e sf u n c t i o na n dm u l t i - p o l a rc o o r d i n a t e sa r eu s e dh e r e f i r s t , as u i t a b l e g r e e n sf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d ，a n dt h i si st h e k e y t e c h n o l o g yo ft h i sp r o b l e m t w og r e e n sf u n c t i o n sa r en e e d e dh e r e ：o n ei sa n e s s e n t i a ls o l u t i o no ft h ed i s p l a c e m e n tf i e l df o rt h ee l a s t i ch a l f - s p a c ep o s s e s s i n g c i r c u l a rc a v i t ya n dc r a c kw i t ha r b i t r a r yp o s i t i o nw h i l eb e a r i n go u t - o f - p l a n e h a r m o n i cl i n es o u r c el o a d sa ta r b i t r a r yp o i n t ，a n du s i n gt h i s ，d i s p l a c e m e n tf o rt h e s u r f a c ea n di n t e r n a lo fe l a s t i ch a l f - s p a c ep o s s e s s i n gc i r c u l a rc a v i t yw h i l eb e a r i n g o u t - o f - p l a n eh a r m o n i cl i n es o u r c el o a d sa ta r b i t r a r yp o i r i tc a nb eo b t a i n e d ，t h e c r a c k 、析t ha r b i t r a r yp o s i t i o ni se s t a b l i s h e db yu s i n gt h em e t h o do fc r a c k - d i v i s i o n , t h e n , t h ef i r s tg r e e n f u n c t i o nf o rt h i sp r o b l e mi sc o n s t r u c t e d t h es e c o n dg r e e n f u n c t i o ni sa ne s s e n t i a ls o l u t i o no ft h ed i s p l a c e m e n tf i e l df o rt h ee l a s t i cw h o l e s p a c ew h i l eb e a r i n go u t o f - p l a n eh a r m o n i cl i n es o u r c el o a d sa ta r b i t r a r yp o i n t t h es c a t t e r i n go fs h - w a v eb yc r a c ko fa r b i t r a r yp o s i t i o na n dac i r c u l a rc a v i t y n e a rt h eb i m a t e r i a li n t e r f a c ei si n v e s t i g a t e d ，t h ep r o b l e mc a nb er e g a r d e da s h a r m o n y m o d e l ：t h eb i m a t e r i a lm e d i ai sd i v i d e di n t ot w op a r t sa l o n gt h e h o r i z o n t a li n t e r f a c e ，o n ei sa ne l a s t i ch a l fs p a c e 嘶mac i r c u l a rc a v i t ya n dac r a c k ， a n dt h eo t h e ri sac o m p l e t ee l a s t i cw h o l es p a c e t h eh o r i z o n t a ls u r f a c e so ft h et w o p a r t sa r el o a d e dw i t hu n d e t e r m i n e da n t i p l a n ef o r c e si no r d e rt os a t i s f ya tt h e l i n k i n gs e c t i o n as e r i e so ff r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n sc a nb es e tu pt h r o u g h c o n t i n u i t yc o n d i t i o n s t h e n ，t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e mc a nb e r e d u c e dt oa s e r i e s o fa l g e b r a i ce q u a t i o n sa n ds o l v e dn u m e r i c a l l yb yt r u n c a t i n gt h ef i n i t et e r m so ft h e i n f i n i t ei n t e g r a le q u a t i o n s ，t h ee x p r e s s i o n so fd i s p l a c e m e n tf i e l da n ds t r e s sf i e l do f 哈尔滨t 稗人学硕十学传论文 s c a t t e r i n go fs h w a v eb yc r a c ka n dc i r c u l a rc a v i t yn e a rt h eb i m a t e r i a li n t e r f a c e a r eg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt os h o wt h ei n f l u e n c e so fw a v e n u m b e r s ，i n c i d e n ta n g l e ，t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ec e n t e ro ft h ec i r c u l a rc a v i t ya n d h o r i z o n t a ls u r f a c e s ，t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ec e n t e ro ft h ec i r c u l a rc a v i t ya n d c r a c k , t h ea n g l e ，l e n g t ho fc r a c k , a n dp a r a m e t e rc o m b i n a t i o n so fd i f f e r e n tm e d i a u p o nd y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r ( d s c f ) a n dd y n a m i cs t r e s si n t e n s i t y f a c t o r ( d s i f ) k e yw o r d s ：s c a t t e r i n go fs h - w a v e ；b i m a t e r i a l ；i n t e r a c t i o no fc i r c u l a rc a v i t ya n d c r a c k ；g r e e n sf u n c t i o n ；h a r m o n y ；d y n a m i cs t r e s s c o n c e n t r a t i o n f a c t o r ；d y n a m i cs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的引用已 在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 之f j ：趣 日期：6y 年占月，徊 哈尔滨r 程大学硕+ 学传论文 i i i i i i 嗣i i i i i i i i i i i i 宣i i i i i i i i fi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 宣i i i i i i i 第1 章绪论 1 1 本课题的研究背景 在各种各样的天然介质和工程材料中，或多或少存在着各种形式的物理 特性不连续的界面和缺陷。这些界面和缺陷有些是天然存在的，有些是人为 在生产、加工、运输和使用的过程中造成的，甚至有些还是为了满足功能或 工艺要求而人为设计加工的。当这些天然介质和工程材料承受动态载荷作用 时，必然会在它们内部产生弹性波，弹性波在传播过程中遇到障碍物( 夹杂、 裂纹和界面等) 时，将会与障碍物发生作用，这种相互作用的结果会使障碍 物表面上任何一点成为一个新的波源，这些次生的新波源同样会向各个方向 发出次生波，这种现象就是弹性波的散射，障碍物称为散射体。弹性介质中 孔洞、裂纹和夹杂对弹性波的散射问题是弹性动力学研究的基础课题，这方 面的研究一直为广大学者所重视。对于均匀介质中含有孔洞和裂纹的弹性波 散射问题的求解，已有成熟的理论和方法【1 5 】，并成功地应用于工程实际中。 界面波动问题的研究是在弹性波动理论的研究基础上发展起来的，对散 射问题的研究历来就是弹性波动理论研究的重要课题，因此界面附近缺陷对 弹性波的散射问题成为当今应用力学研究中最为活跃的领域之一。界面附近 缺陷在动态荷载作用下，缺陷附近会发生动应力集中现象，对p ( s v ) 波和s h 波入射的情况，缺陷与界面距离比较远时( 不考虑界面影响) 的计算方法较 为成熟，并已开始指导工程设计；而对于界面附近缺陷( 必须考虑界面影响) 的分析和计算，则尚不完善。在诸多的界面附近缺陷结构动力分析的成果中， 多数为理论和数学方法的研究，直接提供数值结果和能够方便指导实践的资 料甚3 。8 】。本文就弹性波散射中最简单的模型稳态s h 波对界面附近缺 陷的散射问题进行了研究。它不但可以提供一个便于工程实践的分析方法， 而且还为研究这类问题提出了一种新方法。 界面断裂动力学是在断裂动力学的研究基础之上发展起来的，研究含裂 哈尔滨1 ：样大学顾十号：何论文 i i i i i i i i i i i i i i i i i i j i 宣i i i i i i i i i i i i i i i i i i ti i i i 宣i i i 宣i i i i i i i i i i i 纹体的界面材料在动态荷载作用下的力学行为。工程和科研的许多领域都要 求对动态荷载作用下含裂纹材料的动态特性给出合理而准确的评价。而裂纹 对材料的动态特性及破坏的影响通常是不可忽视的，甚至是决定性的。对有 界面存在的材料，界面附近缺陷的动应力集中程度过高也会引起裂纹开裂。 最近二十年，断裂动力学的研究得到了迅速的发展，虽然许多问题仍处在探 索阶段，但动态断裂的研究在地震工程、生命线工程、大型压力容器设计， 航空航天飞行器，军事工程上的爆炸与防爆以及受冲击结构安全性预测等方 面都得到了大量的应用。但有关界面附近圆孔与界面裂纹相互作用的动力研 究至今尚无文献论述，利用多极坐标的方法构造出适合本文的g r e e n 函数， 通过契合的方法研究了界面附近圆孔和裂纹对s h 波的散射问题。 人们对界面附近缺陷进行动力分析，一般对两方面的内容感兴趣。一方 面，界面附近含有缺陷的复合材料受动态荷载作用时，材料破坏与否往往取 决于界面附近缺陷的动态应力场的性质，即弹性波在界面附近缺陷的散射特 性，因此界面附近的缺陷对于弹性波散射问题一直受到众多动力学研究者的 重视。另一方面，界面附近的缺陷产生的散射波也携带了缺陷的特征参数， 如形状、尺寸、方位等，因此散射波的研究对于地质勘探、震害预报、无损 检测及探伤( n d t ) 等领域也有重要作用。 1 2 弹性动力学的研究状况 1 2 1 弹性波散射问题的研究状况 a c l e b s c h 是最早对弹性波散射问题进行研究的著名学者。早在1 9 世纪 中叶，a c l e b s c h ( 1 8 6 3 ) 为了弄清光波的散射，首先分析了球状夹杂物对矢 量波的散射效应。1 8 7 2 年，l r a y l e i g h 采用波函数展开法详细讨论了刚性或 充气的球形物对声波的散射问题。1 9 2 7 年，s e z a w a l 9 1 完成了球、圆柱和椭圆 柱对p 波的散射问题研究，并以特殊函数构造了问题的波函数解。2 0 世纪4 0 年代未5 0 年代中期，w o l f = f 1 0 1 ，n a g a s e 川，k n o p o 一1 2 1 先后对球体的散射问题 进行了研究；n i s h i m u r a 和j i m b o l l 3 】求解了各向同性介质中球体孔洞的动应力 2 阶尔浜一f 程人掌硕十学何论文 集中问题：1 9 5 6 年，y i n g 和t r u e l l l l 4 懈答了各向同性介质中一个球体对平面 纵波的散射问题，1 9 6 0 年，e i n s p r u c h 等人【1 5 】解决了球体对平面横波的散射 问题。在同一时期，p a o 等人【1 6 1 和m o w 等人1 7 1 分别探讨了圆柱体内含物的动 应力集中问题：在声学领域，w h i t e t l 8 1 和k a t o 1 9 1 分别利用实验和理论方法分 析了弹性圆柱体的散射问题；b a r o n 等人【2 l 】首次使用积分变换和波函数展 开法给出了圆柱形空腔对压缩波脉冲散射问题的解析解；m o w 2 2 2 3 1 ， n o r w o o d 和m i k l o w i t z t 2 4 - 2 5 1 求解了球形内含物和空腔的瞬态响应问题；j a i n 和 k a n w a l l 2 6 - 2 7 采用波函数展开的方法研究了圆柱形缺陷、内含物及球体对弹性 波的散射问题，得到了长波情况下的位移场、应力场、远场位移、动应力强 度因子及散射截面的近似公式；d a t t a 等人【2 8 - 3 l j 提出匹配渐进展开的方法分析 研究了半空间中柱形孔洞对p 波、s v 波和s h 波的散射问题，给出了远场的 渐进表达式及相应的数值解；黎在良和刘殿魁【3 2 】采用射线理论求解了各向异 性介质中圆柱体对s h 波的散射问题。 刘殿魁等人【3 3 】于1 9 8 2 年成功地将弹性静力学中的复变函数方法推广到 二维散射问题的分析中，并首次提出了“域函数一的概念，不仅大大地拓广 了传统波函数展开法的应用范围，而且，还可以充分利用复变函数方法中的 保角映射技术，将问题中的非规则异质物边界转化成容易处理的规则边界。 同时，该方法与多极移动坐标结合起来处理问题更显示出了它的优越性。 最近，刘殿魁等人应用g r e e n 函数方法求解界面圆孔、界面多圆孔、界 面弹性柱、界面可移动圆柱形刚性夹杂、界面圆环形衬砌以及界面任意形孔 洞等对s h 波散射的一系列问题1 3 4 彤】；采用g r e e n 函数、复变函数、移动坐 标方法成功求解了半空间浅埋圆孔对s h 波的散射 4 6 - 捌；何钟怡等【5 l 】应用波 函数展丌法求解了界面孔对s h 波的绕射问题；杨在林、李宏亮等分别研究 了s h 波作用下半空间和全空间中央杂和裂纹的相互作用【5 2 巧3 j ；林宏研究了 s h 波对双相介质界面附近圆孔的散射问题【5 4 1 。 1 2 2 复合裂纹对弹性波散射的研究状况 3 哈尔滨t 稃人学硕十学位论文 s i h 等人研究了s h 波作用下有限长裂纹散射问题i 5 5 j ，给出了裂纹尖端的 动应力强度因子的数值解。a c h e n b a c h 和他的学生们【5 6 - 6 0 l 对含平面裂纹的弹 性波散射问题进行了深入研究，利用积分方程的方法和射线方法，研究p 波、 s v 波、s h 波等入射时埋藏裂纹、次表面裂纹、表面裂纹的弹性波散射，得 到远场和近场的动力学特性；w i c k h a m t 6 l l 研究了裂纹的g r e e n 函数：m a l 等 人研究了全空间中含有硬币形裂纹时的弹性波散射问题，得到了p 波入射和 扭转波入射情况下的近场特性和远场特性。b o g y 和其他一些人1 6 2 删研究了多 层介质中界面裂纹的弹性波散射问题。i t o u l 6 5 】首先研究了含多个裂纹的弹性 波散射问题，得出双裂纹弹性波散射的动应力强度因子的性状。s r i v a s t a v a l 6 6 1 等人用i t o u 提出的方法研究了无限长弹性带状物内双裂纹的动应力强度因子 的性状。 对于复合裂纹缺陷的断裂特性研究，g c s i h t 6 7 】采用复变函数方法给出了 对称的孔边共线裂纹的型静态应力强度因子的解析解，陆建飞和王建华等 6 s 】利用c a u c h y 型奇异积分方程主部分析方法研究了曲线裂纹和反平面圆形 夹杂相交问题。目前对于直线形边界的边裂纹问题有切实可行的方法来进行 分析，但对另一类工程实际中也经常遇到的边裂纹和弹性波的相互作用问题， 即：研究孔边裂纹或圆夹杂边裂纹问题的报道很少。国内首先对这类问题进 行研究的是刘殿魁教授，利用裂纹切割和弱奇异积分方程方法，对界面圆孔 及其沿界面的径向裂纹对s h 波的散射等一系列问题进行了研究，该研究对 揭示孔边裂纹与弹性波的相互作用问题的规律具有重要意义，刘殿魁、刘宏 伟、史守峡等人1 6 9 - 7 3 1 用g r e e n 函数法研究了介质中夹杂与裂纹同时存在时对 s h 波的散射和裂纹尖端的动应力强度因子。 对于孔洞和裂纹组合成的复合缺陷，在以往的断裂力学研究中，它常常 被简化为单一的g r i m t h 直线型裂纹，并认为是偏于安全的简化。实际上，含 有这类复合缺陷的材料在受力时，非裂纹缺陷必然会影响由其边缘萌生的裂 纹尖端场的特性。根据文献 6 9 】对均匀介质中圆孔孔边径向裂纹在s h 波作用 下，裂纹尖端的动应力强度因子变化规律的研究表明，在动荷载作用下，上 4 哈尔滨t 杵大学硕十学付论文 l i r a_ 述简化并不总是偏于安全的。对于复合缺陷的动力分析还没有进行充分的研 究。本文将对双相介质界面附近圆孔和任意位置的裂纹对s h 波的散射进行 研究，进一步澄清对复合裂纹动应力强度引子的一些模糊认识，给出一些有 意义的数值结果，阐明不同参数组合对裂纹尖端动应力强度因子的影响。 1 2 3 界面动力学研究状况 现今界面动力学的研究内容主要是界面波动问题和界面断裂动力学。界 面波动问题包括正问题，即主要研究界面与各种界面附近缺陷对波传播的影 响和对波的散射以及在此基础上的反问题，即根据散射波所提供的信息，反 演界面的材料特征参数、损伤程度和缺陷分布等：界面附近断裂动力学研究 动态荷载作用下界面的破坏，包括界面裂纹尖端场的动应力强度因子的确定， 裂纹起裂与动态扩展的机理、判据和规律等问题，为工程止裂、结构设计等 提供参考。 非裂纹界面缺陷主要指位于界面处的具有光滑边界的缺陷。它是一种忽 略了不同介质间结合厚度而将其视为一个几何不连续“面 而进行力学分析 的简化力学模型。弹性动力学中有关界面问题的研究起源于c g k n o t t ( 1 8 9 9 ) ， 他研究了弹性波在界面上的反射和折射现象。r a y l e i g h ( 1 8 8 7 ) ，l a m b ( 1 9 0 4 ) 研究了空间问题。s t o n e l y 7 4 】得出了沿着两个半空间组成的界面存在着面波成 分( s t o n l e y 波) 的结论。但有关界面缺陷对弹性波散射的研究一直很少。1 9 5 3 年k o l s k y 出版了专著【7 5 1 ，其中报告与作用于材料和结构上的动荷载有关的弹 性波，粘弹性波，塑性波方面的四十年代以前的进展。这标志着人们对弹性 波的研究进入了新的阶段。在此之后，弹性波的研究有了飞跃的发展。对固 体中波的传播理论，散射理论，动应力集中7 0 年代以前的研究成果较为集中 地反映在n o w a c k i l 7 6 1 、a c h e n b a c h 【7 7 1 、e r i n g e n 和s u h u b i t 7 8 1 ，g r a f t d 7 9 1 和 m i k l o w i t z t 8 0 】、p a o t l 】等人的专著中，其中p a o 在专著中系统地介绍了无限大体 中包含的圆柱形、椭圆柱形、抛物柱形和球形夹杂对p s v 波以及s h 波的散 射。此外，由于地球介质的分层特性，固体界面中波的传播理论也受到地震 哈尔滨i 稃人学硕十学忙论文 学家的密切关注。 应当指出，界面完整接触( 缺陷部分除外) 的介质中的波动问题已经形 成了系统的方法，现今界面波动理论的研究方向更多地转向非完整接触模型 8 1 - 8 3 1 和界面层模型 8 4 - s 7 1 等模型。但是在界面完整接触的框架下，仍有一批难 题有待解决。例如，以上研究工作不涉及存在于两相材料中的界面非裂纹缺 陷对波的散射。所谓的界面非裂纹缺陷对波的散射，是指波在有两种材料组 成的介质中传播时，波射线遇到存在于两种材料中界面非裂纹障碍物( 孔洞、 夹杂) 而偏离直线，但又不能解释为反射或折射的现象。其中的两相材料既 可能是非均匀体，又可能是各向异性体，在以往的文献报道中，研究成果主 要集中在界面附近圆孔和界面裂纹相互作用的情况。对界面附近裂纹、界面 附近缺陷对弹性波散射问题没有作过多地讨论。 本文将在刘殿魁、杨在林、李宏亮和林宏等研究工作的基础上研究双相 介质界面附近圆孔和裂纹对s h 波的散射的问题。 1 3 弹性波动问题的研究方法 近几十年来，一大批有识之士致力于弹性波散射问题的研究，已提出多 种研究弹性波散射的方法。这些方法多数可推广用于界面波动问题的研究， 其中主要有： ( 1 ) 波函数展开法：在曲线坐标中，通过对标量或矢量波动方程作变量分 离，利用一些曲线坐标和与之对应的特殊函数，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 函数来构造波动方程的解，并进一步满足边界条件，求解边值问题。由于曲 线坐标的种类有限，到目前为止有1 1 种( 直角坐标、圆柱坐标、椭圆柱坐标、 球坐标、圆锥坐标、抛物线坐标，扁长球面坐标、扁球面坐标、椭圆球面坐 标、抛物面坐标) ，而对于矢量波动方程，分离坐标的数量仅限于前6 种，因 此，该方法在使用上受到很大限制。但是它所提供的原则和解答，对人们以 后求解弹性波散射和动应力集中等问题起到了非常重要的作用。 ( 2 ) 积分方程法：广泛应用于弹性波散射问题的研究。一般从弹性动力 6 哈尔滨 ：w 人号：硕十学位论文 互等原理出发导出积分方程。根据积分表达式定理，可以用一个面积分和一 个体积分来描述由任意形状的物体产生的散射波。对于材料性质不连续的夹 杂物，可以通过等价的体积力与周围介质g r e e n 函数的体积分来描述由不连 续区域引起的散射波。由于体积分中的未知函数含有总波场，所以我们得到 的是关于散射波的积分方程，其类型主要为f r e d h o l m 型积分方程和具有 c a u c h y 型积分核的奇异积分方程。可用渐近方法或叠代方法进行求解。如果 第一次试函数用入射波长代替总波场，所得的解被称为b o r n 近似；如果用静 态场代替未知的总波场，所得的解被称为静态近似。积分方程对于二维定常 波和瞬态波问题很有效。 ( 3 ) 积分变换法：利用已有的积分变换将偏微分方程化为变换空间的代 数方程或常偏微分方程进行求解，再将得到的解答做逆变换到物理空间，从 而得到真实解答。该方法多被用于瞬态动力问题的分析，但逆变换一般需要 进行数值反演，由于反演具有内在的不稳定型而常常遇到困难。 ( 4 ) 传输矩阵法( t - 矩阵法) ：适用于任意形状散射体的弹性体散射问题。 根据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a n 和p a o 等几乎同时提出了弹性波 散射的t - 矩阵法。这种方法来源于电磁波和声波的散射矩阵理论。它的基础 是弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或未知 函数用波函数表达，考虑边界条件得到求解未知系数的t - 矩阵方程。转换矩 阵的主要特点是如果散射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而且转 换矩阵具有某种正定性。 ( 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然后再进行求解的一 种近似方法。以摄动边界法居多。摄动法也常和其它方法相结合用于问题的 求解。近几十年来这一方法又发展为渐近匹配法，将原问题变为内问题和外 问题，内外问题用不同的级数求解，然后按一定的条件匹配起来。这种方法 用于声波和弹性波，研究任意形状物体的各种参数对散射的影响。 ( 6 ) 射线法：k e l l e r 和l a v y 根据声波理论提出的射线法在波动理论中得 到深入的发展。a c h e n b a c h 等详细阐述了射线法在弹性波散射理论中的应用。 7 哈尔滨1 _ 稗人学硕十学位论文 弹性动力射线法的思想是把波动方程中的势函数取为级数形式，该级数具有 未知的振幅和相位函数，在高频意义下，获得的相位函数满足径向方程，振 幅满足传输方程，其结果与实验结果吻合。尽管射线理论在原理上仅仅对高 频波适用，但是实际上可以用于一定的低频范围。 ( 7 ) 复变函数方法：刘殿魁等人提出的复变函数方法为求解二维散射问 题提供了一个新的有效方法。此法是弹性力学复变函数法的推广，在保角变 换下，引入“域函数 的概念，使得变换后的波动方程的通解可以表示为以 “域函数 为项的波函数的级数形式，通过离散满足边界条件的级数方程为 线性代数方程组，可以数值求解。该方法对任意形状的夹杂以及任意形状的 带衬砌的孔洞的弹性波散射问题较为有效。该方法已经应用于板壳开孔( 包 括大孔) 等问题的研究。 ( 8 ) 数值方法：鉴于弹性波动问题本身的复杂性，人们采用理论分析和 数值计算两种方法来求解问题。在通常的情况下，解析解很难得到，它只限 于几种最简单的情况。由于实际介质的情况的复杂性和多变性，使得解析方 法的应用常常受到限制，而直接的数值方法也被用来分析稳态波入射问题， 其中，透射边界研究取得了重要进展，有限元法、有限差分法、边界元法、 边界法和混合法等数值法取得了大量的在工程中有使用价值的研究成果。然 而，计算量大、高频波入射时误差不易控制以及不易实现对问题的深入分析 等，仍然是数值方法将要克服的缺点。 1 4 本文的主要工作 本文采用复变函数、多极坐标和g r e e n 函数方法研究双相介质界面附近 圆形孔洞和裂纹对s h 的散射问题。首要工作是构造一个满足半空间表面上 应力自由的圆形孔洞的散射波，以及_ 个适合于本文问题的g r e e n 函数，它 应当是含有圆孔和任意位置直线裂纹的弹性半空间在其水平面上任意一点承 受时问谐和的出平面荷载作用时位移场的解答。有了散射波和g r e e n 函数这 一工具，就可以求解双相介质中界面附近圆孔和裂纹对s h 波的散射问题。 哈尔滨r 稃大学硕十学何论文 i i i i i i i i i i i i i i i i i init ii i i i i i 裂纹可以是任意长度并且可以为任意多条。本文具体工作如下： 第l 章概述界面弹性波动理论的工程背景与应用，阐明有关的基本概念、 研究状况和基本方法。 第2 章介绍了弹性动力学的基本理论和基本概念。 第3 章研究了g r e e n 函数，给出了本文g r e e n 函数的构造方法和推导过 程，本文所构造的g r e e n 函数与所研究的问题相匹配，它是一个含有圆形孔 洞和裂纹的半无限弹性空间，并在其水平面上任一点作用有出平面的线源荷 载时位移场的基本解。研究了g r e e n 函数的性状。 第4 章研究了双相介质界面附近裂纹和圆孔对s h 波的散射。本文研究 s h 波的入射问题，并对其进行了讨论。采用g r e e n 函数与“契合 的方法进 行研究。在求解过程中，可将该问题视为“契合问题来求解，即可将所研 究的问题沿其界面“剖分为两个部分，其一为含有圆形孔洞和裂纹的弹性 半空间，而另外一部分则是完整的半空间。若在两个半无限空间的自由表面 上，分别加置待定的出平面荷载，则可利用g r e e n 函数和界面上的应力和位 移连续条件，建立起求解待定出平面荷载的积分方程。积分方程是具有弱奇 异性的第一类f r e d h o l m 型积分方程，可以通过数值方法对其进行求解。 第5 章为算例分析，本章给出了双相介质界面附近圆孔和裂纹同时存在 情况下，不同波数条件、不同的几何特征尺寸、不同的材料常数组合以及不 同入射角度对动应力强度因子和孔边动应力集中系数的影响。 最后总结了本文的工作，并展望了本文方法的应用前景和发展方向。 9 哈尔滨下稃人学硕十学位论文 第2 章基本理论和基本方程 2 1 弹性动力学的基本理论 2 1 1 弹性动力学的控制方程 由动量平衡、角动量平衡和能量平衡三个原理可以推得体积为v ，表面 为s 的均匀各向同性的线弹性体中的动力学问题的控制方程为： 运动方程： 等+ 办= p 争 弘， 呶i 。 融 应力应变： 吻= a 呀+ 2 , u s j ( 2 2 ) 几何方程： ：1+挈)(2-3)sj 2 2 磊+ 蔷 由角动量平衡原理导出的结果是： e i j k o r j k = o 仃业= 仃移 ( 2 4 ) 即应力张量是对称性的。考虑到应力和应变的对称性，上述应力张量、 应变张量和位移矢量的分量共计有1 5 个未知数，当体力、密度和弹性常数为 已知时，( 2 - 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 - 3 ) 共计1 5 个方程恰好可以决定这1 5 个未知数。 设s = 瓯+ & ，表面s 上的边界条件为： “，( x ，f ) = 玩( x ，f ) ，x 瓯( 2 5 ) ( x ，f ) 以，= 历( x ，t ) ，x 砖 ( 2 - 6 ) 由控制方程( 2 1 ) - 至- ( 2 3 ) 所描述的线弹性动力问题的初始条件为： l o 哈尔滨f j 稃大学硕十学何论文 i iitii i i i i i i i ( x ，f 0 ) = u o i ( x ) x v( 2 7 ) 西f ( x ，t o ) = v o f ( x ) ，x v ( 2 8 ) 式中：甜。，( x ) ，f ( x ) ，玩( x ，t ) 和磊( x ，t ) 为已知量。 1 8 8 5 年n e u m a n n 证明了对于有限弹性介质而言，三个基本的边界一初 值问题的解的唯一性。由弹性动力学问题解的唯一性定理可知：若体积为v ， 表面为s 的弹性体的解能满足方程( 2 1 ) 至( 2 8 ) ，则弹性体的位移场、应变场 和应力场的解答是唯一的。方程( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可以合并，得到用位移表示 的运动方程。 对于均匀各向同性材料，把( 2 2 ) 和( 2 - 3 ) 代a ( 2 一1 ) 可得以位移矢量作标志 的运动方程： m，高+兰+仍=p粤，i,j=1,2,30xixo x i x i o t 亿9 ， ， 。 二 2 1 2 波动方程的简化及波的分类 在不受体力作用的情况下，位移运动方程用矢量和张量符号表示为： ( 旯+ a ) v v - “+ 胛2 ”= 彬( 2 1 0 ) 按照h e l m h o l t z 定理，任何一个矢量场都可以表示为一个标量场够的梯 度与一个矢量场l f ，的旋度之和： “= v a p + v x v ，v 缈= 0( 2 - 1 1 ) 缈和称为标量和矢量位移势。将上式代入方程( 2 一l o ) 得： v 【( 旯+ 2 a ) v 2 e - p + v x n v 2 缈一p 少】= 0 ( 2 1 2 ) 如果 c ；，v ， - r p2 ，c 乏2 ( 名+ 2 ) 7 p ( 2 - 1 3 ) e v ! y = 沙，= t z p 哈尔滨i 秤人学硕十学付论文 上述方程( 2 1 2 ) 便可以满足。这里可以看出，妒和缈分别满足个标量波 动方程和一个矢量波动方程。 由于波动方程比原始运动方程简单了许多，所以可以从方程( 2 。1 1 ) 构造出 ”的解，并使其势能满足波动方程( 2 1 1 ) 以及边值条件和初始条件。这种解得 完备性是由c l e b s c h 于1 8 6 3 年首先提出的，证明由s o m i g l i a n a ( 1 8 9 2 ) ，d u h e m ( 1 8 8 9 ) 和后来的s t e r b e r g ( 1 9 6 0 ) 给出的。所有这些作者都假设矢量场应 该是无散度的。由弹性力学的完备性定理可以知道：( 2 1 2 ) 中的每一个解都能 分解为式( 2 1 3 ) ，所含有的9 和y 均满足方程( 2 1 2 ) 。完备性定理还肯定在弹 性固体里仅存在两种类型的波，其一是以速度c d 传播的妒波，其二是以速度 c s 传播的y 波。由于旯 0 和 0 ，故c p 恒大于c ，。这两中波的波速之比 仅仅是材料泊松比y 的函数，用单独符号r 来表示： r ：c p ：( 丛丝) 吉：( 2 - 2 v q - - x - ， c s p i 一厶y , ) ( 2 - 1 4 ) 由v 缈产生的波的速度较快，称为初波( p 波) ，由v 5 f ，产生的波称为 次波( s 波) 。这两种波还可用其它的物理性能来识别它们，所以初波又有 膨胀波、无旋波、压缩波、纵波、p 波等名称。相应的次波的名称又有旋转 波、等体积波、剪切波、横波、s 波等。 固体中平面波表示为： u i = a i f ( x k n k c t ) 或 ( 2 - 1 5 ) “= 4 厂( i 元- c t ) 其中，a 为振幅矢量；厂为任意函数；元为波面法线，即波的传播方向； c 为波速。将式( 2 1 5 ) 代x ( 2 1 0 ) 可以看出，只有在 ( a + l a ) ( a 元) 亓+ ( 一p c 2 ) 彳= 0 ( 2 1 6 ) 时，( 2 1 5 ) 式给出的形式才能代表弹性固体中的平面波。 1 2 哈尔滨1 _ 程人学硕十学位论文 i 图2 1 平面波在同体中的传播 还。可以用位移势将平面弹性波表现出来，p - 波可写成： 9 2 厂( f 石一勺) ( 2 q 7 ) 沙= 0 相应的位移为： “p = v 伊= 矽( 芦元一f ) ( 2 - 1 8 ) 式中撇号表示对宗量的微分。 剪切波可写成： m：0* 沙：甄g g ( - - 尹v 元一乞，) ( 2 - 1 9 ) 式中，甄为垂直于元的任意常矢量。令p 为剪切波的偏振方向的单位矢 量。于是我们可将写成甄= 甄多元并将剪切波写成： 吵。y 。( 声元) 厂( 尹元一c p ) ( 2 - 2 0 ) 矽= 0 式中为标度系数。由( 2 1 9 ) 式中的势求得位移矢量： “，= v f ，= 杪。豆，_ 7 ( 尹万一c 。f ) ，j 万= 0 ( 2 - 2 1 ) 哈尔滨t 秤人学硕十学何论文 由于位移矢量u 。总是与波的法线刀平行的，所以，关于平面p 波的偏振 方向不会有第二种解释。但是，除非( 2 - 2 1 ) 式中的p 是规定好的，否则剪切波 的偏振方向则难以确定，因为u 。可以是许许多多与n 相垂直的单位矢量中的 任意一个( 图2 1 ) 。为方便起见，我们在介质中选一条直线作为垂直坐标轴( 图 2 1 中的屯一轴) 任何一个垂直于该直线的平面均视作水平面。如果剪切波的 偏振方向是与水平的五一轴平行的，则称此剪切波叫s h 波；如果是与垂直 平面( 五一恐平面) 相平行，则称此剪切波叫s v 波。由于地球表面给我们提 供了一个天然的水平基线，所以这种参考系对于处理地震波是非常方便的。 对于其它问题，我们可以有意地选择某个方向作为垂直轴，其它的轴随之也 就确定下来了。显然，p 波和s v 波构成一种平面运动的分量，而s h 波则代 表一种反平面运动。平面运动与反平面运动是两种不相耦合的运动。 本文研究出平面波动问题，即s h 波的散射问题。这时只有沿着j 1 轴方 向的位移分量，即： u l = 0 u 2 = 0 ( 2 2 2 ) u 3 = w ( x 1 ，x 2 ，f ) 相应的不为零的应力分量为： a 形 q 3 = _ 嘉( 2 - 2 3 ) f 2 32 _ o x 2 根据( 2 2 2 ) ，可将( 2 2 1 ) 式所含的第三个运动方程简化为单一的标量波动 方程 a v 2 w ( x 1 , x 2 , t ) ：户罂( 2 - 2 4 ) 2 2 复数形式下的控制方程和波动方程 作为一种数学工具，复变函法最早是由f i l o n 提出来的，后来由著名 1 4 哈尔滨t 秤人学硕十学何论文 数学家k o l o s f f 和m u s k h e l i s h v i l i 等人引入弹性静力学的应力集中问题的 分析中，并将其发展成为一套较完善的理论。刘殿魁、盖秉政、陶贵源 等将这种思想推广到弹性动力学的范畴。 位移函数与时间的依赖关系为w e 妇，则位移函数满足平面直角坐标 系中的h e m h o l t z 方程： 尝+ 粤+ k 2 矽：0 ( 2 - 2 5 ) 缸2却2 对应的应力为： a 形 32 _ 呒 a 形 。_ g x 2 ( 2 2 6 ) 引