（电磁场与微波技术专业论文）水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场.pdf

摘要 对电偶极子在三层介质中激起的电磁场的研究有很多实际意义，比如长波 在有覆盖层的海面或地面上的传播，微带天线在导电基底的硅片上激起的电磁 场等。但对这个问题的研究出现了不同的看法和分歧，k i n g 和s a n d l e r 认为：只 要中问层的厚度不大，远区沿介质表面传播的波主要是侧面波，它将以p _ 2 规律 衰减。而w a i t 在他的评论中却认为，在k i n g 和s a n d l e r 研究的情况下，远区场应 该主要以吸附表面波为主，它将以p _ 1 2 规律衰减。后来，m a h m o u d 也对k i n g 的 文章给出了评论。 c o l l i n 、张红旗、李凯等人对这个问提进行了深入探讨。c o l l i n 给出了覆盖 一层介质的地球表面上由赫兹偶极子激励的电磁场e ：分量的严格解。张给出了 垂直偶极子在涂敷介质的理想和非理想导电基底上产生的场，以及水平偶极子 在涂敷介质的理想导电基底上产生的场和埋入基底中的水平偶极子在基底一侧 产生的场。在此基础上，李研究了水平偶极子在涂敷单轴各向异性介质层的理 想导电基底上激励的场。 在实际情况中，不仅要顾及涂敷层的各向异性特性，同时更一般的情况是 有耗基底。针对更实际的情况，本文将研究水平电偶极子在涂敷单轴介质的高 耗介质上激励的电磁场。利用张、李论文中所述的类似方法，本文首先给出了 六个场分量的由三项组成的完整的积分表达式。前两项分别是直达波和理想反 射波，最后一项表示由涂敷层带来的影响。由复变函数理论，把最后这一积分 项的求解分解成求被积函数极点的留数和求沿支点形成的割缝的积分两部分。 由极点留数得到的那项是吸附表面波，而由沿支点割缝积分得到的是侧面波。 最后求得的这些解包括直达波，理想反射波，吸附表面波和侧面波。而且 吸附表面波和侧面波也分别有电型( t m ) 和磁型( t e ) 两种。当涂敷层厚度f 满 足礼7 r 譬( 埒一碟) f ( 他+ 1 ) 7 r ，能激起n + 1 个模式的电型吸附表面波，其 波数在k 0 和k l 之间，当( n 一；) ” ( 碍一瑶) f ( n + ；) 7 r ，能激起n 个模式的 磁型吸附表面波，其波数则在k o 和b 之间。在垂直边界的方向上，吸附表面波随 指数衰减。在p 方向上由于基底的损耗，吸附表面波有较大衰减。侧面波不管 是电型还是磁型，其波数都是k 。，并且受基底导电性的影响较小。 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 关键词：水平电偶极子，侧面波，吸附表面波，高耗介质，单轴介质 a b s t r a c t i nt h ep a s tm a n yy e a r s ，t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l dg e n e r a t e db yad i p o l e s o u r c ei nt h ep r e s e n c eo ft h r e e - l a y e r e dr e g i o n sh a sb e e nv i s i t e db ym a n yi n v e s t i g a t o r sb e c a u s eo fi t sw i d eu s e f u la p p l i c a t i o n s ，s u c ha st h ep r o p a g a t i o no ft h el o w f r e q u e n c yw a v eo v e rt h ee a r t ho rs e ac o v e r e db yal a y e r ，a n dt h ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l dg e n e r a t e db yam i c r o s t r i pa n t e n n ao nt h es i l i c o nc h i pw i t hac o n d u c t i v e s u b s t r a t e i ne a r l y1 9 9 0 s ，r w p k i n g ，e ta 1 c o n c l u d e dt h a tt h ed o m i n a n tf i e l di n t h ef a rr e g i o ng e n e r a t e db yae l e c t r i cd i p o l ei st h el a t e r a l - w a v e ，w h i c ha t t e n u a t e s w i t hp i n1 9 9 8 j r w a i th a sc l a i m e dt h a tu n d e rt h ec a $ ea d d r e s s e db yk i n g a n ds a n d l e r ，t h em a i nf i e l di nt h ef a rr e g i o ni st h et r a p p e ds u r f a c ew a v e ，w h i c h a t t e n u a t e sw i t hp1 2 l a t e l y , m a h m o u da l s op r e s e n t e dc o m m e n t so nk i n g s w o r k s t h ed e b a t e sb e t w e e nk i n ge ta 1 a n dt h ec o m m e n t e r sn a t u r a l l yr e k i n d l e d t h ei n t e r e s ti nt h es t u d yo nt h eo l dp r o b l e m r e c e n t l y , c o u i np r e s e n t e dt h ee x a c tf i e l do fah e r t z i a nd i p o l ei nt h ea i ra b o v e ad i e l e c t r i c - c o a t e dl o s s ye a r t h f r o m2 0 0 2t o2 0 0 5 ，z h a n ge ta 1 h a v ei n v e s t i g a t e d t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l do fv e r t i c a la n dh o r i z o n t a le l e c t r i cd i p o l e si nt h et h r e e - l a y e r e dm e d i u m a l o n gt h er e s e a r c h i n gl i n e ，l ih a se x t e n d e dt h ei n v e s t i g a t i o n o nt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l di nat h r e e - l a y e r e dr e g i o nc o n s i s t i n go fa i r ，au n i a x i a l l a ya n dap e r f e c tc o n d u c t o r c o n s i d e r i n gt h ea c t u a ls i t u a t i o n s ，i nw h i c ht h es u b s t r a t el a y e ri sa l w a y s i m p e r f e c t ，i ti sn e e d e dt os t u d yt h ef i e l df r o mah o r i z o n t a le l e c t r i cd i p o l ea b o v e ah i g hl o s s ym e d i u mc o a t e dw i t hau n i a x i a ll a y e r i nt h i sp a p e r ，t h ee x p l i c i t f o r m u l a sw e r ed e r i v e df o rt h es i xc o m p o n e n t so ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l di na i r e x c i t e db yah o r i z o n t a le l e c t r i cd i p o l eo v e rap l a n a rh i g hl e s s yd i e l e c t r i cc o a t e d w i t hau n i a x i a ll a y e r n u m e r i c a lr e s u l t sw e r ea l s oo b t a i n e d s i m i l a rt ot h ep e r f e c tc a s ea d d r e s s e db yl i ，e ta 1 ，t h ec o m p l e t ef i e l di n t h ep r e s e n tc a s ei sa l s oc o m p o s e do ft h ed i r e c tw a v e ，t h ei d e a lr e f l e c t e dw a v e ， t h et r a p p e d s u r f a c ew a v e ，a n dt h el a t e r a lw a v e b o t ht r a p p e d s u r f a c ew a v ea n d 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 l a t e r a lw a v eh a v et w ot y p e s t h ee l e c t r i ct y p e ( t m ) a n dt h em a g n e t i ct y p e ( t e ) t h ew a v en u m b e r si nt h e pd i r e c t i o no ft h ee l e c t r i c - t y p et r a p p e ds u r f a c e w a v e ，w h i c ha r eb e t w e e nk oa n dk l ，a r ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo ft h em a g n e t i c t y p e t r a p p e ds u r f a c ew a v e ，w h i c ha r eb e t w e e n a n dk t w h e nt h et h i c k n e s slo f t h eu n i a x i a l l a y e rs a t i s f i e sn 7 r ( 瑶一瑶) 1 2 f ( n + 1 ) 7 r ，t h e r ea r e 竹+ 1 m o d e so ft h ee l e c t r i c t y p et r a p p e ds u r f a c ew a v e s w h e nt h et h i c k n e s sfs a t i s f i e s ( 礼一；) 7 r ( 磷一瑶) 1 2 一 m ，俨电 v 由 舭 胪鳘衄 = | i = 巩也日 ，i-_-(1iii 捣 协瑶砰砌k 麓似 6 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 而对于t m 波，应为 其特征方程为： e z = 一b s i n k 2 2 0 4 既= 一b c o s k 2 ze ”0 。o( 1 7 ) 巩= 一哿b c o s k 2 z e i ” l 玩= 一a e “p 护 易= 蔷a e 一局。e 啦 。d ( 1 8 ) 【巩= 等a e “”e ” 辫r ( 1 9 ) 这种表面波，在空气一侧，离开贫质表面后，场分量以指数规律衰减，在传播方 向( z 方向) ，则以波数7 传播，1 在k o 和1 之间，可由特征方程求出，它与介质的 厚度以及介质的传播波数有关。如果介质是无损耗的，金属板是理想导电平板， 则这种表面波在向外传播时幅度不衰减。 1 2 3 沿两种介质分界面传播的侧面波 上面简单介绍了z e n n e c k 柱形表面波，同时给出了几种常见的能产生表面波 的结构，接下去介绍的侧面波是位于空气和地面( 土壤，湖水，海水) 或海底 和海水边界的垂直和水平偶极子产生的一种特殊的表面波。典型的侧砸波是指 当发射或接收天线都放置在地下或水下有耗介质中时，电磁波能量首先从发射 天线向上渗透过土壤( 或水) ，进入空气层，然后沿空气与土壤( 或水) 的分界面传 播，到接收天线上方后再次渗透过土壤( 或水) 到达接收天线的波。其传播路径 概括起来就是“向上一沿界面向下”，如图1 9 所示： 2 0 世纪8 0 年代，b r e k h o v s k i k h 2 小b o a r d m a n 2 1 】以及w u 和k i n g 等人1 7 2 成 功地得到了水平电偶极子( 地上或地下) 在均匀半空间两侧的适合于工程计算的 精确的解析表达式。若收发天线都放置在有耗介质一侧，则接收点的电场可表 为： e l ( p ，2 ) = 日”( p ，z ) + e ：e l ( 岛z ) + e ( p ，。) ( 1 1 0 ) 第一章引言 7 1 呈竺竺! 竺j ， 厂。、弋 i 区域1 ：岛，日，嘶抽 一一i ：j 图1 9 ：侧面波传播路径示意图 接收天线 其中第一项表示直达波( l 1 ) ，第二项表示反射波( l 2 ) ，第三项表示侧面波( l 包 含d 和z ) ，这三项的传播路径分别如图1 1 0 中所示。 。甚荔磊i 。l l 一，二 蓉磊i 一：j ：j = ：i 二? 接收天线 图1 1 0 ：直达波、反射波及侧面波传播路径示意图 k i n g 在他的专著里【l 】，研究了电偶极子( 水平和垂直) 在均匀半空间所产生 的场( 地上或地下) 。按照他的分析，侧面波是沿两种介质中损耗小的一侧传播， 其传播波数是( 损耗小的那种介质中的波数) ，其幅度随距离的变化规律可用 误差余函数或f r e s n e l 积分表达。有趣的是，当接收和发射天线都位于海水中时， 有可能产生两种不同途径的侧面波。第一种情况是，天线在靠近海水空气 界面的海水中，这样的话，侧面波从发射天线垂直向上到达界面，在空气中沿 界面径向传播到接收天线上方，最后垂直向下到达接收天线，这是一种比较明 显的途径，但是在海水足够深的地方，以这种途径传播的波可以被忽略。他指 出，当收发天线在海水深处靠近海底的地方，存在以另外一种途径传播的侧面 8 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 波，即垂直向下到海底岩石中，在岩石中沿着海底传播，最后向上到接收天线 的“向下一沿界面一向上”的路径。地质学家们就是利用这样的方式来采集地壳 的导电特性的。 1 2 4 电偶极子在涂敷介质层的导电基底上激起的电磁场 9 0 年代初，k i n g 等人分析研究了电偶极子在涂敷介质层的导电基底 附近激起的电磁场f j l 一h 。w a i t 等人对k i n g 等人的研究结果提出质疑。后 来，c o l l i n 、】给出了覆盖一层介质的地球表面上由赫兹偶极子激励的最分量的 严格解。张红旗等人【“】一l 叫研究了电偶极子在涂敷介质层的导电基底上激起的 电磁场。这些研究包括垂直偶极子在涂敷介质层的理想导体和非理想导体上激 起的场，水平偶极子在涂敷介质层的理想导体上激起的场，以及位于有介质层 覆盖的非理想导电基底中的水平电偶极子在导电基底一侧激起的电磁场。张等 人的研究认为，电偶极子在涂敷介质层的导电基底上激起的电磁场包括直达波， 理想反射波，吸附表面波和侧面波四项，其重点是对吸附表面波的计算和研究。 他研究证明，垂直偶极子和水平偶极子都能够在涂敷介质层的导电基底上有效 地激励起吸附表面波，和侧面波一样都是不能被忽略的。并且水平偶极子能激 励电型和磁型两种不同的吸附表面波和侧面波。但是这种表面波不同于w a i t 在 评论h 中谈到的表面波。该表面波是从场分量表达式的被积函数的极点留数得 来，并非从f ( p ) 函数中分离出来；同时，该表面波的波数既不等于空气中的波 数也不等于介质中的波数。，而是介于和之间的数，并取决于极点方程， 受影响于介质层的厚度、介质层的介电常数与导电率及传播频率的。同时，在 介质厚度满足一定要求时能激励出多种模式的吸附表面波。 2 0 0 5 年，李凯【i 习又对张的工作进一步拓展，给出了水平偶极子在单轴各向 异性涂敷介质层的理想导体上激起的场。在实际情况中，不仅涂敷介质层很可 能是各向异性的，导电基底般也是非理想的，换句话说就是有损耗的，这样， 就有必要对水平偶极子在涂敷各向异性介质层的有耗介质上激起的场进行计算 和讨论。 1 3 本论文的主要研究成果和内容编排 本论文主要对水平偶极子在单轴各向异性涂敷介质层的非理想导电基底上 激起的电磁场进行了研究和分析。 第章引言 9 1 3 1 本论文主要研究成果 ( 1 ) 、从麦克斯韦方程和边界条件出发，推导出电磁场的一般积分表达式。 对电磁场各分量的积分表达式进彳亍了深入研究和分析，根据复变函数理论以及 贝塞尔函数的特性导出了水平电偶极子在涂敷各向异性介质层的非理想导电基 底上激起的电磁场的完整的解析表达式。 ( 2 ) 、给出了相应的数值结果，从计算结果中可以看出明确的物理意义和规 律性。 ( 3 ) 、研究结果证明，在交界面附近，水平电偶极子在涂敷单轴介质层的高 耗介质表面能有效地激励起电型和磁型( 当介质层厚度f 满足一定要求时) 两种 吸附表面波，即表面波和侧面波都存在，蹶者均不能被忽视。 ( 4 ) 、本文中的吸附表面波由场分量表达式中被积函数的极点留数得到，侧 面波由沿被积函数的支点的割缝积分得到。 ( 5 ) 、当介质层达到一定厚度时，吸附表面波将有多个传播模式存在。对于 电型表面波，当介质层的厚度满足扎7 r 鲁 砭= 碌 伽+ 1 ) 丌( 轧，b 为虚数 时取其实部) 条件时，电型吸附表面波将会有礼+ 1 个传播模式。而对于磁型表 面波，当介质层厚度满足( 仃；) 丌 d ( 2 2 4 ) g p o ( p ，z d ) = g p o ( p ，z d ) = 一砌p ) e k 卅| 胁 d 。 ( 2 2 5 ) g p o ( p ，z + d ) = g 。o ( p ，z d ) = g ：o ( p ，z + d ) = g 。，0 ( p ，z + d ) = 矗( a p ) e 。加( 2 + 田a d k ( 2 2 6 ) j 0 ， 面1 。1 ( x p ) e i r 。l ”4 i a 2 n( 2 2 7 ) j o ， 百1j l ( m p ( “d ) 2 d x ( 2 2 s ) 直达波和理想反射波的积分表达式已经在【 】中求出，下面直接列出。 眦删= 一 等+ 筹+ ( 等) 2f ，堡r l 一百3 k o 一筹) 卜龆删 ( p , z + d ) = 2 嵋k _ _ 2 + ，2 a ；+ ( 等) 2f ，煎r 2 一虿3 k o 一鬈) e 慨( z s o ) 第二章公式推导 ( p ，z d ) = ( p ，z + d ) = 如( a z d ) = e o ( p o + d ) = g 加( p ，。一d ) = g p o ( p ，。+ d ) = g m p ，z d ) = g , o ( p ，z + 田= 一( 等一再k o 一轳栅l ( 竖一虿k o r 2 一驴b r 2 疃趣。 一( 暑) ( 等) ( 等+ 等一驴如1 + ( 薏) ( 等) ( 等+ 警一驴姚 g 伽( p , z - - 回= ( 等) ( ；_ 一k o 驴如l 酬”+ 回= ( 等) ( i 啦k _ _ 2 一去) 加 一( 罢) ( 鲁+ 寿) e n ( 驯i _ 一k o 驴姚 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 ，3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 场分量( 2 1 1 ) 一( 2 1 6 ) 式最后一项表示介质的影响，可以分解为电型( t m ) 波 和磁型( t e ) 波。 乃l ( p ，z + d ) 耳- 伽，z + 固 只1 ( p ，2 + d ) g p l ( p ，z + d ) g p l ( p ，z + 回 g 。1 ( p ，2 + d ) = ( p ，z + d ) + ( p ，z + d ) = f 知f p ，2 + 回+ d 3 ( p ，z + d ) = 疋2 ( n o + d ) = g p 2 ( n 2 + d ) + g p 3 ( p ，。+ d ) = g p 2 ( p ，。+ 固+ g 3 ( p ，z + 田 = g 。3 ( p ，z + d ) ( 2 3 9 ) f 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 上藤式子中，下标为2 的表示电型( t m ) 波，下标为3 的表示磁型( t e ) 波。其 中，e 1 只有电型( t m ) 波分量，而g ：1 只有磁型( t e ) 波分量。具体有下面的表 达式： f p 。( 舭+ d ) ：。 j o 砌，：+ 回：；，。 zj o g 应( p ，2 + d ) ；i 1 。 j 0 7 0 ( q 3 + 1 ) 【j o ( a p ) 一以( a p ) 】e i l o ( ”a ) a d a ( 2 4 5 ) 伽( q 3 + 1 ) f 而( a 力+ 五( 捌je 咖如+ 砷a 戳f 2 4 6 ) ( 0 3 + 1 ) 【j o ( a p ) + j 2 ( a p ) 】e i l o ( 外田a 烈( 2 4 7 ) 1 6 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 g p 2 ( 妒，z + d ) = ；z 。( q 。+ 1 ) 【j 0 ( a p ) 一也( a 州e 扛+ 由a 烈 ( 2 4 8 ) ， f z 2 ( p ，z + d ) = ( q 3 + 1 ) ( a p ) e 嘞( 2 斗田a 2 d a ( 2 4 9 ) d 0 ( p ，。+ d ) ：一譬f 。百1 ( 尼一1 ) 【山( a p ) + j 2 ( a p ) 】e ( 升d ) a 扒 j 0 ( p 。+ 回：一譬厂。百t 一1 ) ( 捌一如( 枷) 】e 嘞( 外 o k d k j 0 ( 舻+ d ) = 一；z 。( b _ 1 ) 瞰m 一蚴硎e 确。胁( 2 5 2 ) g ；。( p ，z + d ) = 一；z 。( 忍一1 ) ( 而( a 力+ 五( a p ) e t m 扣+ 母a ( 2 5 3 ) ， g ：3 ( p ，z + d ) = 一。1 ( 岛一1 ) ( a p ) e 咖扛+ d ) a 2 d a( 2 5 4 ) 因为( 2 4 5 ) 一( 2 - 5 4 ) 式中包含有因子( 酝+ 1 ) 的分量有昂2 、昂2 、如、g k 和g 锄， 但没有磁场的纵向分量g m 所以它们可称为电型( t m ) 波分量；类似的，包含 有因子( 忍一1 ) 的分量有f 知、砌、g k 、g 和q 3 ，但没有电场的纵向分量足3 ， 所以它们可称为磁型( t e ) 波分量。系数q 3 与b 分别是电型波与磁型波在介质 上方的反射系数，它们可分翱表为： 警( q s + 1 ) = 2 k 。0 2 ( d 3 1 ) = 伽( 薏一下i q l t a n 7 l 1 ) - 睁( 毒+ 糍) t a n 讹f - 1 偿s s ， 一瑶( 老一i t a n 竹z ) 卜+ 老伽一i 0 + 譬) t a n 竹4 皿嘲 其中， m = 雁巧，渊即t ；讹= 鲁g t v 历2 ( 2 s ，) m = 、碍一a 2 ，t = o ，2 ；讹= 百v “l a 2 ( 2 5 7 ) 到这里，空气中电磁场的完整解只剩下对( 2 4 5 ) 式一( 2 5 4 ) 式的求解。接下去 我们分别对( 2 4 5 ) 式一( 2 4 9 ) 式和( 2 5 0 ) 式一( 2 5 4 ) 式进行估算。 第二章公式推导 1 7 2 2 电型( t m ) 波分量 首先分析含有q 3 因子的积分项，也就是电型波积分项( 2 4 5 ) 一 2 4 9 ) 式。 为不失一般性，先分析( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) 式。考虑到贝塞尔函数和汉克尔函数之 问的关系： 1 厶( a p ) = ； 硝( a p ) + 砰( a p ) ( 2 5 8 ) 三搿( 一枷) = ( 一1 ) 蚪1 碰? ( a p ) ( 2 5 9 ) ( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) 式变成： ( p ，。+ p ) = d ：( p ，2 + p ) = ；仁们。+ 1 ) 硪1 ) ( m 一唾1 ) ( m e i m ( 。+ 6 9 k d k ( 2 6 0 ) ；仁们s + 1 ) 毹1 ) ( m + 碰1 ) ( m 】 e 竹o ( 。+ d ) a d a ( 2 6 1 ) 将( 2 5 5 ) 式代入( 2 6 0 ) 和( 2 6 1 ) 式，可以得到 = ；仁 1 b ( 落一鬻t a n 7 l 1 ) 剐外d ) 背+ 薏一t ( 聋+ 糍) t a n 砌 l 碰”( a p ) 一碰”( a p ) la 烈 ( 2 6 2 ) = ；仁篙老篙三 1 碰”( a p ) + 碰”( a p ) ik d k ( 2 6 3 ) 图2 2 给出了( 2 6 2 ) 和( 2 6 3 ) 式中被积函数的极点和支点示意图。现在用】中 类似的方法，把对积分( 2 6 2 ) 式和( 2 6 3 ) 式的求解等效为求解极点方程的根和 2 2 1极点方程的根的求解吸附表面波的求解 ( 2 6 2 ) 和( 2 6 3 ) 式中的极点方程为： m ) = 嚣+ 薏一i ( 毒+ 竖k o k 2 y l 、 t a n 钆 ( 2 e t ) 1 8 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 图2 2 ：电型波被积函数中的极点和支点 当基底是理想导体时，k 2 一o o ，( 2 6 4 ) 退化为 私) _ 嚣一。- 琢t l t a n 7 二1 = o ( 2 6 5 ) 和】中的( 2 9 ) 式相同。在讨论非理想导电基底情况之前，先来看一下理想 导电基底的情况，也就是极点方程( 2 6 5 ) 式的根的情况。因为伽= 瑶= 甭， = 冬、砭。= 二页，所以当 a 乜时，钧是一个正虚数，两舰是一个正实 数，这样 m 冲午一i 笔罕t a n 笔舾一o 。， 在理想导电基底且涂敷层是无耗介质的情况下，求出的极点，也就是极点方程 的根是实数。求上面极点方程等于零的根等价于求下面两个函数口( a ) 和6 ( a ) 的 交点，通过简单变形就得到 m ) = 峄厄巧 ( 2 6 7 ) m ) = t a n 鲁瓶一脚 ( 2 6 8 ) 第二章公式推导1 9 由上面两式可以看出，在 a k l 内，o ( a ) 的值都大于零，并当b 和k l 确 定时，它就确定了；而6 ( a ) 是一个正切函数，并且它的周期随涂敷介质层厚 度l 的增加而减小，使得与交点也产生变化图( 2 3 ) 和( 2 ，4 ) 给出了不同涂敷层 厚度的情况下o ( a ) 和6 ( a ) 交点大小和个数。由上面两个图可以看出，当f 变大 时，6 ( a ) 的周期变短，使得其在k o a h 内与o ( a ) 的交点增多。一般地， 若n 7 r 1 ，由指数函数e k o p r 2 的衰减性质可看出，沿割 缝的积分主要集中在支点附近，此时可取近似 7 0 、，e t 孥7 | 舰吒= 瓦k t vn 。忑 他z = 店i 由此( 2 7 8 ) 式中沿割缝r o 的积分为 ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) ( 2 8 3 ) ；二蔫蓑笔篙z e t a n 7 l i v 。k o - - - - p “肋 2 屯嚣+ 聋一i ( 译+ 赣) 。 一旷 2 妒5 v 厅；瓦- ；ai h - = 制m 5 翌彻 矿稚t v 臣r c k o p 蜘卜, v - 。叭- 牙- - ( z + pd 砌) + 扣p 降( 字州) 2 卜 1 j ( 2 。8 4 其中， a = 竺1 ( 垄- i ! 嚣竺兰t a 竺n7 1 f l 墨) ( z s s ) 舰和劬如( 2 8 2 ) 式和( 2 8 3 ) 式中所表示。上面的推导用到下列关系 所以 ( 料d ) + i ( 却一三) = i v 臣k o e i 叶( z + d ) 似旷i 三一b 2 ：p m ( 字) 2 卜h ( 丁+ 叫2 ( 2 8 6 ) 。蜘扛删e i t o p - 箐一幻p r 2 ：。却【- + ( 字) 2 卜孚。一咖( r + i 筹字) 2 ( 2 8 7 ) 第二章公式推导 同时用到 r 2 = 以巧币干矛= p 这样( 2 6 2 ) 和( 2 6 3 ) 式最终可以改写成 = p 1 ( z + pd ) 2 仁s s ， c 舭+ 回；衙莩堕尘掣e c 删磕 两1 ( 啦p ) 一碰1 ( 磕p ) 】 + 扣十警( 字卅) 2 er，civ-ik。p(z+d-ia)2y-p-) ( 2 8 9 ) 乃。c 岛z + d ) ：t ”乏：! 堡铲w s c z + 田e 硪1 ( 慌p ) + 哦1 ( 强p ) 仫喵啪岳岍卜压( 字州) + 三a 2 唧卜警( 字一t a ) 2 ( 一去) 叫 ( 2 9 0 ) 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 类似地，可以得到其他几个电型波分量 g 廊c n 。+ 回：i ”莩【掣e t 啦t 升由芍f 皤1 ) ( 枷) + 碰1 ) ( 驯地弘正斋慨( 一面i ) 岳“；磊细降( 字一t 们 叫压殍习) 仁 删一莩掣一回磕 陋1 ) ( 梳力一趔1 ( 糯p ) 卜：啪v 辱涵m 信+ 西磊a o x p 一t 警( 字一i 02 “v 压2 匝p 习 ( 2 9 2 ) f ：d p , z + d ) 一莩掣渺础捌 蚴啪岳慨 信 w ；磊a e x p 一z 警( 字卅) 2 e r ，c 压浮习) ( 2 9 3 ) ( 2 8 9 ) 一( 2 9 3 ) 式中的第一项和式表示由极点留数得到的吸附表面波项，其传 播波数为a 知，其实部介于和虹( 实部) 之间。并且在z 方向上，也就是垂直分 第二章公式推导 界面的方向上，该吸附表面波随指数e 一礤衰减，所以只在界面附近有效； 第二项表示由沿支点割缝积分得到的侧面波项，其传播波数为。 2 3磁型( t e ) 波分量 接下去用类似的方法分析( 2 5 0 ) 一( 2 5 4 ) 式，含有的磁型波积分项。先 分析( 2 5 0 ) 和( 2 ，5 1 ) 式，利用式( 2 5 8 ) 和( 2 5 9 ) ，并将( 2 5 6 ) 代入( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) ，得到 = ；仁 a d a = ；仁生篙善笋a 烈 图2 8 给出了磁型( t e ) 波被积函数的极点和支点示意图。 2 3 1极点方程的根的求解吸附表面波的求解 这里，磁型波的极点方程为 p c a ，= 坩+ 警一i ( 饷+ 誓) t a n 叫= 。 理想导体时，七2 一o o ，则上式变为 p ( a ) = 7 t 一竹o t a n 7 t l = 0 ( 2 9 4 ) ( 2 9 5 ) ( 2 9 6 ) ( 2 9 7 ) 即l 中的( 4 7 ) 式。同样，考虑在 a b 内，1 0 = 、瑶= 可为正虚数， 而垤= 、霹= 可为正实数。这样，( 2 9 7 ) 可以改写成 p ( a ) = 店五一t 店再t a n 厕= o 令 m 卜一矮 9 ( a ) = t a n 厨 ( 2 9 8 ) ( 2 9 9 ) ( 2 1 0 0 ) 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 图2 8 ：磁型波极点和支点 则求极点方程( 2 9 7 ) 的根等价于求，( a ) 和夕( a ) 的交点。从( 2 9 9 ) 和( 2 1 0 0 ) 式可以 看出，( a ) 在 a k r 内的值都小于零，而g ( a ) 是与厚度2 相关的周期函数。 图2 9 署f 1 2 1 0 给出了不同厚度f 时，( a ) 和9 ( a ) 的交点。图2 9 中， 碍i ：j 礤= 0 6 7 r ， 有一个交点；图2 1 0 中， 霹i 二磅f = 1 6 1 r ，有两个交点。一般地，若m 一) 、爵= 刁 + 詈) ，则，( a ) 和g ( a ) 就有n 个交点，极点方程有礼个极点，就有礼个 模式的吸附表面波。与电型时的情况不同的是，当 霹i 二焉f ”2 时，磁型波 没有极点，也就是说不能激起磁型吸附表面波，但电型表面波仍然能被有效激 起。在非理想导体时，极点出现虚部。同样地，我们引入s 来表征基底导电能力 的一个量，则( 2 9 6 ) 变为 p d ，s ) 。竹+ i i 7 斋- i ( 伯+ i i 南) t a n 7 t z = 。( 2 1 。1 ) 上式二端对s 求导数可得 拿d s = 黜a ( 2 1 0 2 ) 一 izl i j z l ，i s l 、 其中 g ( 如) - 箭1 三篙帮 ( 2 螂) 硒【一j 2 星三差坌塞推导 、 垫 图2 9 ：嘲- - 0 6 7 r 时磁型波的极点 图2 1 晓、陶之1 6 丌时磁型波的极点 曩扯+誊ia。an一7tl f 堡一11 。o 川 哆k a 葡丽云7 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 a j m 碍+ 广糟s ( 2 蛐) 这样( 2 9 4 ) 式中极点留数部分可表示为： 衍莩! ! ( ! i ；：；喜等掣e t k ”c ：+ 由，峙m 硪1 ，( a ；m 力+ 硝1 ，( 芍肘，) ( 2 1 0 6 ) 其中 , 一a o ，= 一鲁一鲁( 薯+ 篝一警) + i 铷t a n 缁( 去+ 吾一善_ - - 7 5 ) + 鲁2 伊( + 等) ( 2 1 0 7 ) = 而峙；厩，呓= 瓜 ( 2 1 0 8 ) 2 3 2 极点方程的根的变化规律 以基底为理想导体时得到的实数极点为初值，进行积分迭代，得到基底为 非理想导体时的复数极点。假设工作频率，= t 0 0m h z ，钾= 6 2 5 + 0 0 2 i ，5 l = 4 0 + 0 0 1 i ，良导体时e 2 = 8 0 ，盯2 = 4s m ，弱导体时旬= 8 ，0 2 = 0 4s m 。 图2 1 1 给出了基底为理想导体和良导体时磁型波第一个极点的实部随涂敷介质 层厚度的变化。图2 1 2 和2 1 3 分别给出了基底为良导体和不良导体两种情况下涂 敷层是有耗和无耗介质时磁型波的第一个极点的虚部随f 的变化。 上面通过求解被积函数的极点来求吸附表面波，接下去则通过对支点形成 的割缝求积分得到侧面波。在前面图2 8 上画出了在a = k o ，幻和也三处割缝， 分别为r o ，r t 和r 2 。对应( 2 9 4 ) 挞- - - 个割缝的积分可表示为： 是= j l h + ，+ ni i ；羹当湍矿扛+ 由 1 硪1 ( a p ) + 趟”( a p ) la d a ( 2 1 0 9 ) 第二章公式推导 图2 1 l ：磁型波第一个极点的实部随瀚变化 图2 1 2 ：良导体时磁型波第一个极点的虚部随z 的变化 观察( 2 1 0 9 ) 的被积函数，发现该被积函数关于竹是偶函数，也就是说在r t 两 边的相位是一样的，这样，沿r 丁的积分为零。而沿r 2 的积分从物理上看是波在 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 图2 ，1 3 ：不良导体时磁型波第个极点的虚部随f 的变化 基底中的传播，由于这里的基底是高耗介质，所以波在其中传播时衰减很大，可 以忽略不计。这样，只需计算沿割缝r o 的积分。同样用到近似式( 2 8 1 ) ，( 2 8 3 ) 以及 可以求得 竹= 店再z 店i ( 2 1 1 0 ) 如= ；z 鬟蔫z 岳z 盼打c 毒， 一i 瑶岳m ( 意) 仁薏7 打 = 地t s 正丢“ 信一砺7 1 舀b 唧卜警( 字+ i b ) 2 e r ，c 俺网) ( 一寺) ( 2 1 1 1 ) 第二章公式推导 其中 一高 现在，( 2 9 4 ) 可以由磁型吸附表面波和侧面波来表示为 ( 2 1 1 2 ) = t ”莩! 掣e ；”c “田a ；m 陋1 ，( 碍m 力+ 碰1 ，( a ；m 力 趔瑞3 v f 而- t - - 沙” 信 叫 一b e x p 一i 警( 字邶) 2 类似可以得到( 2 9 5 ) 以及其他几个磁型分量的表达式： ( 2 1 1 3 ) ：衙莩堡掣e 嗡”c 抖田碍肘 硪1 ，( 巧m 力一硝1 ，( 芍m p ) 秘瑶岳慨 信- 去2 e b e x p 降( 字+ 循) 2 e r ，c 压网) ( 2 1 1 4 ) = 衍莩兰铲e c ”印芍m h o ( ) ( x i m p ) - 趟1 ) ( 芍村力 + 2 k 2 e i岳硒” 卜( 字棚) + 三b 2 e x p - i 警( 字瑚) 2 卜r ，c 压嘲) ( 2 1 1 5 ) 水平偶极子在涂敖单轴介质的高耗介质表面激励的场 g。：t”莩!铲et嵋”t计由舛m毹1，(碍力+碰1，(譬mp)】 协拇岳岫( 若) 卜( 字埘) 压+ b a 唧降( 字瑚) 卜凡 压嘲) ( 2 1 1 6 ) 一。妇莩茅一嗽鳓驯 一。皤正吾慨 届一磊e 幻唧 一i 警( 字+ i b ) 2 】 e r ，c 压嘲 2 4 各场分量的完整的表达式 ( 2 1 1 7 ) 由2 1 节可知，得到电型波及磁型波之后，加上直达波和理想反射波，就得 到水平电偶极予在涂敷单轴介质的非理想导电基底上激励的场分量的完整解析 解。下面的每个分量按顺序分别由直达波、理想反射波、电型吸附表面波、磁型 吸附表面波、电型侧面波和磁型侧面波六项组成： = 一等警c o s 妒 一 等+ 筹+ ( 等) 2 ( 鲁一百3 k o 一筹) b n + 等+ 砖2 2 + ( 警) 2 ( 警一虿3 k o 一荔) 】e 撕 + t 仃乏：2 1 二( j i f ：云喜 ；! 型e 竹函c ：+ 田a ；层 硪1 ，( 薯e 力一趣1 ，t 磕p ) 蜘莩掣一飞m 瞰粕力硼酬 第二章公式推导 拙喵啪岳慨卜压( 字捌) + ；a 2 唧降( 字卅) h 俺浮习) 瑶岳( 云) 岳 一护呐降( 字瑚) 2 e r ，c 俺再硼) ) = 等咖 一( 鲁一再k o 一轳觚+ ( 警一弓k o 一毒) e t b n + + 衙莓! 望皆e i 。g e ( z + d ) q 芍e 士。 ( 粥p i ” 日51，(薯ep)+丑1，(一e力】+t仃莩!簪 e i ：a “：+ 田芍m h 0 1 ( a ；m 力一噬1 ( 譬m p ) 】+ 2 e - i 一 - h 3 a 姚( 丢) 卜压( 字埘) + 三a 2 e x p 一i 警( 字卅) 2 e r ，c 压k o p 再z + d 吲2 ) 铡a v 磊1 慨 岳 e r ，c ( 2 1 1 8 ) 一磊2 e i b e x p 一i 警( 字+ i 0 2 ( 2 1 1 9 ) ! 咖 水平偶极子在涂敷单轴介质的高耗介质表面激励的场 如= 等c o s 妒 一( 罢) ( 百z