（应用数学专业论文）任意随机变量序列关于广义随机选择系统的若干极限性质.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 概率论是有着广泛应用的一门学科，是许多应用学科的理论基 础。诸如信息论、数学风险论、保险精算理论等均是建立在概率论基 础上的而强极限定理一直以来都是概率论研究的中心问题之一其 在许多相关领域有着极为广阔的应用背景。而鞅论与停时更是现代金 融学、破产理论、风险投资、保险学的理论基础。利用鞅论方法研究 强极限定理，讨论随机变量序列的强收敛性与强大数定律有着重大的 科学研究意义。 本论文包含四章：第一章，介绍本论文的选题背景，并对已有的 工作进行扼要的介绍；第二章，介绍后续章节所需用到的理论知识； 第三章主要利用鞅极限理论的有关结果，研究对于任意随机变量序列 广义随机选择普遍成立的强大数定理并把赌博系统的随机变换概念 推广到任意随机变量序列的情况，得到任意随机变量序列随机选择与 公平比的若干极限定理：第四章，采用条件矩母函数与鞅理论相结合 的方法，研究m 阶非齐次马氏链关于公平赌博系统的一类强极限定 理。通过允许选择函数在一个区间中取值，推广了随机选择的概念。 作为推论得到了一般情况下m 阶非齐次马氏链的强大数定理以及m 元 序组关于广义随机选择的一类强极限定理。 关键词：任意随机变量序列，马氏过程，鞅差序列，随机公平比， 强极限定理：m 阶非齐次马氏链，公平赌博，广义随机选择 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yt h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c sd e a l i n gw i t hc h a n c e p h e n o m e n aa n dh a sd e a r l yd i s c e r n i b l el i n k sw i t ht h er e a lw o r l d i ti st h e f r a m e w o r kf o u n d a t i o n so fm a n ya p p l y i n gs u b j e c t s ，s u c ha si n f o r m a t i o n t h e o r y , m a t h e m a t i c sr i s kt h e o r y , a n di n s u r a n c et h e o r yf o ra c t u a r i e se c t t h es t r o n gl i m i tt h e o r e mi so n eo ft h ec e n t r a lq u e s t i o n sf o rs t u d y i n g p r o b a b i l i t y m a r t i n g a l e s a n ds t o p p i n gt i m e sa r et h eb a s i so ff i n a n c e t h e o r y , r u i nt h e o r y ，r i s kt h e o r y , a n di n s u r a n c et h e o r y i ti si m p o r t a n t m e a n i n g f u lt os t u d yt h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c e so fr v b y u s i n gm a r t i n g a l e s a n ds t o p p i n gt i m e s t h i sp a p e rc o n t a i n s4c h a p t e r s ，i n c h a p t e r1 , w ei n t r o d u c et h e r e l a t i v eb a c k g r o u n do nt h i sp a p e ra n dg i v es o m es i m p l ee x p r e s s i o n so f t h ew o r kw h i c hh a v eb e e ns t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i c t h e o r yw h i c hn e e d st ob eu s e di nt h es u b s e q u e n tc h a p t e r s i nc h a p t e r 3 , s o m es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c eo fa r b i t r a r yr a n d o m v a r i a b l eo ng e n e r a l i z e dr a n d o ms e l e c t i o na r ed i s c u s s e db ym e a n so f m a r t i n g a l em e t h o d m o r e o v e r ，t h ei d e ao fr a n d o mt r a n s f o r m a t i o no f g a m b l i n gs y s t e m i se x t e n d e dt ot h es e q u e n c eo f a r b i t r a r yr a n d o mv a r i a b l e ， a n da sc o r o l l a r i e s ，s o m el i m i tt h e o r e m sf o rt h e i rr a n d o ms e l e c t i o na n d r a n d o m e q u i t a b l er a t i o sa r eo b t a i n e d i n c h a p t e r4 ，a c l a s so f s t r o n g l i m i tt h e o r e m sf o rm o r d e r n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n so nf a i rg a m b l i n gs y s t e ma r ed i s c u s s e d 江苏大学硕士学位论文 b yu s i n gt h e c o n d i t i o n a lg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dm a r t i n g a l em e t h o d m o r e o v e r ，t h ec o n c e p t i o no fr a n d o ms e l e c t i o ni sg e n e r a l i z e db ya l l o w i n g t h es e l e c t i o nf u n c t i o nt ot a k ev a l u e si na ni n t e r v a l a sc o r o l l a r i e s ，t h e s t r o n gl a r g en u m b e rt h e o r e mf o rm - o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i n so nt h ec o m l l l o nc o n d i t i o na n dac l a s so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o r m - t u p l eo ft h es e q u e n c e o nt h eg e n e r a l i z e dr a n d o ms e l e c t i o na r e o b t a i n e d k e yw o r d s ： a r b i t r a r yr a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e ，m a r k o v p r o c e s s ，m a r t i n g a l e d i f f e r e n c e s e q u e n c e ， r a n d o me q u i t a b l er a t i o s ， s t r o n gl i m i tt h e o r e m s ，m o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n ，f a i r g a m b l i n g ，g e n e r a l i z e dr a n d o m s e l e c t i o n 1 1 1 江苏大学硕士学位论文 缩写符号与说明 q全集 空集( 不可能事件) 厂仃一域 p概率 石 厂的子仃一域 国样本 a s 几乎必然地 a e 几乎处处 r v 随机变量 e x 随机变量x 的数学期望 e 【ki 磊。】随机变量邑的条件期望 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 学位论文作者签名：銮敛捷一 略年6 旯l e t 指导教师签名： 如略年彳月，6 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：妻盘龟 日期： 油矿年月佑e t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1本课题研究的目的与任务 概率论是研究大量随机现象的规律的，所谓“大量 ，从数学角度来讲，就 是当对随机现象的观测次数趋向无穷时，它的“极限 呈现出来的某种规律性。 因此，强极限定理在概率论中有着极其重要的地位。前苏联数学家k p l m o g o r o v 和格涅坚科曾说过，“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没 有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义 。概率论的真正历史 开始于b e r n o u l l i j ( 假设的艺术，1 7 1 3 年) 的大数定律。从那时起概率论的 研究中心之一就是“极限 理论。而r v 序列的强收敛性与强大数定律由于在 理论与实践中有着广泛的应用和重要意义，一直是概率极限理论中研究的主要课 题之一。 对于r v 序列的收敛，有多种意义下的收敛。研究的较多的有几乎处处收 敛( a s 收敛) ，即强收敛、依概率收敛、按分布收敛、平方平均收敛等。对于 任意r v 序列，上述各种收敛恒有如下关系： a s 收敛j 依概率收敛j 按分布收敛 介 平方平均收敛 一般来说，上述关系是不可逆的。 本论文主要应用鞅方法研究任意随机变量序列得到相关的强极限定理。第三 章，通过构造鞅差序列，利用鞅差级数收敛定理及条件期望的性质，研究了对任 意随机变量序列关于广义随机选择普遍成立的一类强极限定理。并作为推论得到 了m 阶马氏过程，鞅序列，鞅差序列，独立随机变量序列的一类强极限定理，并 把赌博系统的随机变换概念推广到任意随机变量序列的情况，得到任意随机变量 序列随机选择与公平比的若干极限定理。第四章采用条件矩母函数与鞅理论相结 合的方法，研究m 阶非齐次马氏链关于公平赌博系统的一类强极限定理。通过允 许选择函数在一个区间中取值，推广了随机选择的概念。作为推论得到了一般情 江苏大学硕士学位论文 况下m 阶非齐次马氏链的强大数定理以及m 元序组关于广义随机选择的一类强极 限定理。 1 2 本课题的研究现状与趋势 在概率论的极限理论发展历史过程中，十九世纪二十年代以前，中心极限 定理是概率论研究的中心课题。十九世纪中叶，切比雪夫的古典工作为概率论发 展开创了新纪元。在二十世纪二十年代至六十年代，以k o l m o g o r o v 、l e o v e 、c h u n g 为代表的一批概率论学者对独立随机变量序列的强收敛性和强大数定律进行了 细致的研究，借助于截尾法、对称法、中心化法等手段，得到了较为完善的结论。 之后，各种混合r v 序列的极限理论又有了很大发展。其中我国学者，诸如陈希 孺、林正炎、苏淳等做了大量工作。1 9 4 7 年，许宝禄和r o b b i n s 又提出了完全收 敛性概念。期间，由美国概率论学者d o o b 于1 9 5 3 年详细介绍了其对鞅论的研究后， 由于鞅论在理论与应用上的广阔前景，使得近几十年鞅理论得到了突飞猛进的发 展。 刘文在二十世纪7 0 年代末提出了一种不同于传统的研究强极限定理的纯分 析方法，后被不断发展，得到了一种新的研究概率论强极限定理方法。该方法的 要点是通过构造含参数的似然比或鞅，利用似然比几乎处处收敛或鞅收敛定理来 证明某些极限几乎处处存在。利用该方法，刘文对任意r v 序列的局部强极限定 理、非齐次马氏链强大数定律、m a r k o v 随机场的强大数定律及信息论中的熵定理 进行了深入的研究，并通过任意随机场与马氏链比较，得到了任意随机场用不等 式表示的强极限定理，即小偏差定理。 由于在信息论、计算机、随机决策、金融、投资、数学风险与精算等诸多方 面具有广阔的应用前景，深化对任意随机变量序列的强极限定理的研究具有实际 意义，同时把鞅论应用于数学风险、精算是有待发展的一个重要课题。 2 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论与概念 2 1 随机变量序列的收敛性 定义2 1 1 设x ，x 。，刀1 是概率空间( q ，厂，p ) 上的随机变量。如果存在集 a e 厂，p 似) = 0 ，使当功a 。时，；育。l i m 。x ( c o ) = x ( 砷，则称，刀q 几乎 必然收敛于r v x 。简称 邑，胛1 ) 口幺收敛于x ，记为溉x 。= x q e 。 定义2 1 2 设( q ，尸，p ) 为所讨论的概率空间，z ，刀= 0 , 1 ，2 ，是厂的子仃一 域，且f 。如果对于每个刀，x 。是巧可测函数，则称 x 。，z ，疗田是随机序 歹l i 。 2 2 条件期望的定义和性质 2 2 1 条件期望的定义 定义2 2 1 设毋为厂的子仃一域，x 为( 准) 可积随机变量，y 为满足下列 条件的随机变量： ( i ) y 为回可测的。 ( i i ) 对每一个b 圆， r d p = x d p 。 d日 则称y 为x 关于国的条件期望，记为】，= e ( xb ) 。特别地，当圆= 仃( z ) 时，也 称y 关于z 的条件期望，记为e ( xz ) 注：2 2 1 ：e ( x l z ) 是a ( z ) 可测的。 2 2 2 条件期望的性质 以下国，囝，嘞等都是厂的子仃一域。 引理2 2 1 【文1 】( i ) 若x ，y 为可积随机变量，口，为任意常数，则： e ( a x + i 回= a e ( x i 回+ 邱 i 回a e ( 2 2 1 ) 3 江 苏大学硕士学位论文 ( i i ) e 0 f 回= la e ( 2 2 2 ) ( i i i ) 若x l ，则：e i 回e i 回 a e ( 2 2 3 ) 特别地，当x o 时，e ( xib ) - o ( e ( xib ) i - e ( ix b ) a e 引理2 2 2 【文l 】设l ，为可积随机变量，弘。，捍1 为随机变量序列，则： ( i ) ( 条件期望的l e v i 引理) 若】厂邑个x ，则：l i 力m e ( 瓦i 回= e ( x ib ) a e ( 2 2 4 ) 若y x 。山x ，则：( 2 2 4 ) 式也成立。 ( i i ) ( 条件期望的f a t o u 引理) 若x 。l ，则： e ( 1 i mi n fx 。i 回 l i r a i n f e ( x 1 回 ( 2 2 5 ) 若x 。y ，则： e ( 1 i ms u p x 。i 回 l i r as u p e ( x 。i 回 ( 2 2 6 ) 月 ( i i i ) ( 条件期望的l e b e s g u e 控制收敛定理) 若i 以i l ，e x a e 则： l i r 。a e ( x 。i 回= e ( xi a e ( 2 2 7 ) 引理2 2 3 【文1 】( i ) 若y 为圆可测的随机变量，且z ，腰可积随机变量， 则： e ( 胛l 国) = r e ( x l b )( 2 2 8 ) ( 啦圆l cb ，x 为可积的随机变量，则： e ( e ( xi 嗥) l 圆) = e ( x i 毋。) = e ( e ( xi 圆) l 吗) ( 2 2 9 ) ( i i i ) 爿f f x 为可积的随机变量，仃( x ) 与圆独立，则： e i 回= 删。 一， 特别地，当x 与y 相互独立时，e ( x l y ) = e x 。 4 江苏大学硕士学位论文 d ! a _ k - - 个引理的证明见文【1 】 2 3 鞅和鞅差序列 定义2 3 1 设( q ，厂，p ) 是完备概率空间，n = ( o ，1 ，2 ，) 是非负整数全 体。如果厂的子仃一域族f = 石，门n ) 满足下列条件： i ) 石包含一切厂的可略集 i i ) 对每一个”n ，巧c 磊lc 厂 则称f = 石，聆n ) 为盯域流。( q ，厂，f ，d 为带流概率空间。 以下的概念和性质都是在带流概率空间( q 厂，f ，p ) 上讨论。 定义2 3 2 设 疋，石，n 0 为随机序列，如果 i ) v n ，x 。为可积的 i i ) 对于每个玎0 ，研以+ 。i 石】- 以伽 则称 x 。，巧，疗田为鞅。 如果上述定义中的i i ) 为e x n + 。i z 】k 口，则称 x 。，巧，阼吣为下鞅； 如果上述定义中的i i ) 为e 【以+ 。i z 】k 口曩，则称 e ，石，n 田为上鞅。 定义2 3 3 如果y = ，巧，珂0 为可积适应序列，rv n ，有研k 。 巧】- o 伽贝0 称y 为鞅差序列。 定理2 。3 。1 文1 ( d o o b 鞅收敛定理) 设x = 弘。，职田为下鞅， 若s u p e x + 0 0 ，或等价s u p e i 邑l o o 。则 l i m x 。= 以a e 且el 以i 0 ，总有 p ( x 州= i 川i x o = i o ，x l = z l ，一，x 。= f 。) = p ( x 槲= 屯+ ll x 。= f 。) ( 2 4 1 ) 成立，则称x 为离散参数的马尔科夫链。若s 为可列集或有限集，则称x 分别 依次为离散参数的马尔科夫链和有限马尔科夫链。 下面我们给出马氏链的等价性质： 定理2 4 1 文2 设x = x 。，以田是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上的随机 序列，x 的状态空间s 是可列集或有限集，则下列陈述互相等价： ( i ) x 是离散参数的马氏链，即式( 2 4 1 ) 成立。 ( i i ) 对任何正整数行，任何非负整数列：0 t o f l 0 ，以后不再一一声明。 ( i i i ) 对任何正整数甩，任何非负整数列：0 t o t l ，州以及任何 6 江苏大学硕士学位论文 i o , i l 一，f 州s ，恒有 p ( x 吣= f o ，x f i = ，k + 。= + 1 ) = p 傅f o = f 。) p 岱，= f li x ，。= 毛) p ( x k 。= i 州i x = f 。) = p ( x 。= f ) p p = f olx 。= f ) p ( x 。= + 。ix 。= f 。) l e s ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( i v ) 对任何正整数聆、m ，任何非负整数列：0 t o t l t 。 t 州 t 。+ 卅 以及任何i o ，f 1 ，f 。，+ l ，厶+ 肘s ，恒有 p ( x + 。= f 。+ l ，x ，。+ 。= f 。+ 埘ix r o = f o ，x 。= f 。) = p ( 墨岛+ 。= 屯+ l ，x 。= z 斛研i x 。= 屯) ( 2 4 5 ) ( v ) 对任何正整数n 、m ，任何非负整数y d - 0 t o 乙 乙+ l f 肿， 以及任何i o ，f 1 ，f 。，厶+ l ，厶+ 。s ，恒有 p 僻f o = “一，x “= i n - i ) x “= 厶+ l ，x = i i x = 厶) = p ( y f o = i 0 ，x 。一。= 厶一ll x 。= 屯) p y + 。一- - i n + l99 x 。+ 。= i 肿肼l x 。= 屯) ( 2 4 6 ) ( v i ) 对任何正整数疗、m ，任何非负整数列：0 岛 厶 t 州 f 斛搠 以及任何i 。，f l ，f 。，厶小厶+ 。s ，恒有 p ( x f o = f 0 ，x 一。= 屯一lix = 乙，x k + = f 。+ l ，x “。= 厶+ 朋) = p 呸i o= 扣一，x “= f “i x = z 。) ( 2 4 7 ) ( v i i ) 对任何正整数胛以及任何f s ，记尸弘t ，0 七”一1 鼬x o ，咒一l 生 成的最小盯- 代数，即包含q 及一切形如 ：z ( 国) = j o k n ，歹s 的国集， 并对取余及可列并运算封闭的最小集类，又记厂弘。，k 刀+ q 是由 x 州，以+ 2 ，生成的最小仃一代数，则对任何a 厂( 瓦，0 七咒一1 ) ， b 厂( j l ，k 咒+ 1 ) ，恒有 7 江苏大学硕士学位论文 p ( 曰ia ，x 。= i ) = p ( 曰iz 。= 。f ) ( v i i i ) 对任何正整数n ，任何i s ，以及任何记a f ( x k ，0 七万一1 ) ， b 厂( x k ，k 刀+ 1 ) ，恒有 ( 2 4 8 ) p ( a bix 。= i ) = p ( aix 。= i ) p ( bix 。= i ) ( 2 4 9 ) ( x ) 对任何正整数疗，任何f s ，以及任何记a 厂( 邑，0 - k 万一1 ) ， b f ( x k ，k n + 1 ) ，恒有 p ( aix 。= f ，b ) = p ( aix 。= i ) ( 2 4 1 0 ) 注2 4 1 由马氏链定义及等价定义的( i i ) 、( v ) 、( v i i i ) 知，在已知x 。= i 的条件 下，系统过去的历史与它的下一步是独立的，及对它的将来的任何转移都是独立 的。 注2 4 2 由等价定义的( v i i ) 、( x ) 知如果随机序列弘o ，x l ，x 。，以+ l ，是马 氏链，那么 o9 x 槲，x 。，x l ，工。) 仍是马氏链。 注2 4 3 除性质( i i i ) 之外，其它定义形式都是通过条件概率来刻画马氏性的。 定义2 4 2 设弘。，胛田是马氏链，其状态空间s 不妨取为n 2 ，或 凸2 ，) ，x 在时刻胛处于状态i 的条件下，经过m 步转移，在时刻n + m 到达 状态的条件概率p ( x 斛。= j lx 。= i ) 7 你为x 的研步转移概率，记为 乞( 咒，l + 历) 或 。巧帕 。p ”= 。曩”称为x 的m 步转移概率矩阵列。 当m = l 时。巧n 、。p 1 分别记为o ，j ) 、只。则称 只( f ，j ) ，疗q 为马氏链 弘。，z 吣的一步转移概率，简称转移概率；若随着门的变化也变化，则称 x 。，刀田为非齐次马氏链，以，刀1 ) 为其一步转移概率矩阵列，简称转移概率 矩阵列；若随着刀的变化只不变化恒为p ，则称弘。，珂0 为齐次马氏链，p 为 其一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。 8 江苏大学硕士学位论文 第三章任意随机变量序列关于广义随机选择系统的若干极 限性质 3 1 引言 概率论的极限定理是概率论研究的基本领域之一。众所周知，对独立随机变 量序列，马尔可夫链，鞅差序列的强大数定律已有了大量的研究，并得到了相当 完善的结果( 参见文献 3 5 ) 。本章中主要利用鞅极限理论的有关结果，研究对 于任意随机变量序列广义随机选择普遍成立的强大数定理。并作为推论得到了m 阶马氏过程，鞅差序列，独立随机变量序列的一类强大数定理。 随机变换的概念最早起源于赌博系统，三十年代r v m i s e s 首先发现了这个 问题的重要性。并把它作为公理引进概率论( 参见文献 6 ) 。m a r t i n - l o f 和 k o l m o g o r o v a n 分别讨论了其与随机性，k o l m o g o r o v 复杂性及与概率论逻辑基 础的关系( 参见 7 8 ) ，b u r k h o l d e r d l 在文献 9 中系统的研究了鞅变换的 性质。近来，刘文与汪忠志在 1 0 一1 1 中讨论了任意随机变量序列的一种特殊的 随机变换( 随机选择) 的强极限定理。本章参考杨卫国文献 1 5 中的鞅差序列构 成方法将随机变换的概念推广到任意随机变量序列的情况，得到任意随机变量序 列随机选择与随机公平比的若干极限定理。 3 2 主要定理 引理3 2 1 ( k r o n e c k e r 引理，文 1 ) 设 砟 是实数的一个序列，p 。) 是是满足0 吼个o o 的一个数列， 则由莓鲁 叭可得到去a 荟一0 0。篇“ 本章所涉及的问题都将在固定的完备概率空间( q ，厂，尸) 上进行讨论，设 石，以1 是厂的自然仃域流。即巧= 仃( 墨。，z 。) ，并约定石= o ，q ) 。 设 x 。，胛田是定义在概率空间( q ，厂，尸) 在字母集s = 俩，龟，) 中取值的 9 江苏大学硕士学位论文 任意随机变量序列。下面我们展开讨论。 定义设( 而，) 0 = 1 2 ，- ) 是定义在s 上并取值于卜m ，彤】的函数列。 令 己+ l = l ( x l 一，x 。) ，缶= 厶，i 厶i m ( 3 2 1 ) 我们称 己，n q 为广义随机选择函数。 定理3 2 。1 设仁。，以田为取值于状态空间s = s ，s 2 ，) 的任意随机变量序 列， 色，n q 如上定义。 ，n 0 ) 为一列单调不减的 磊。，n 0 ) 可测的随机变 量序列。令 o o = 国：善砰e ( 鼢 t ，2 ( 3 2 4 ) 则对任何f 1 ， 砭，k 1 ) 为一个鞅差序列。事实上，当f 2 时，由条件期望的 性质有 研蹬1 耳n 础烹e e y 搬k ( 墨滁翰艘，凹， = ”l k ，也一，】旧，础) 、7 又由于 e e ( 彘x ki 瓦，x k - t + 1 ) ix 。，x k 。】 = 研e ( 彘邑lx 。，x k 一，) ix 。，x 。一+ 。】 = e ( 彘x 女lx o ，x ) 1 0 k t ( 3 2 6 ) 江苏大学硕士学位论文 于是由( 3 2 4 ) 与( 3 2 6 ) 有e ( 砭l x o ，鼍叫) = 0 。再由( 3 2 5 ) 式有 e r r s ”i 耳，础】= 0 因而 砭，k 1 ) 是鞅差序列。 对于f = 0 ，l ，由条件期望的j e n s e n 不等式有 e e ( 善k x kx o ，五刊) 】2 ) e 研( 彘鼍) 2x o ，以卅；】) ( 3 2 7 ) m 2 e e x k 2x o ，五刊】) = m 2 啦2 ( 3 2 8 ) 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 4 ) 与( 3 2 8 ) 有 研】2 o 。因为弘。，刀吣为m 阶非齐次马氏 过程，则当f = 1 时，有e 僻ii x o ，噩一。) = e 僻。l x k 一。，邑一1 ) 由定理3 2 1 有 l i m a 二1 荟( 五一e ( 置i 以一卅，丘一) ) = o a s 缈d o ( 3 2 1 3 ) 即当t = 1 时( 3 2 1 2 ) 成立。完全类似于定理3 2 1 的证明，可得当t 2 时，( 3 2 1 2 ) 1 1 江苏大学硕+ 学位论文 也成立。 推论3 2 2 设弘。，甩町为一鞅序列，a 。与d d 如定理3 2 1 中定义。则有 这时有 l i m a l , 1 ( 鼍一x o ) = 0 a s o ) ed o ( 3 2 1 4 ) 证明：在定理3 2 1 中令，彘= 1 ，t = 1 。注意到这时 e ( x ti x o ，x ) = x h a s 矗 ( 鼍一e ( 鼍ix o ，以4 ) = ( 鼍一五一。) = 以- x o 。 于是由( 3 2 3 ) 得( 3 2 1 4 ) 成立。 推论3 2 3 设弘。，n 田为一鞅差序列，a 。与见如定理3 2 1 中定义。则有 。l i m 。a ：1 荟五= o a s 缈d d ( 3 2 1 5 ) 证明：在定理3 2 1 中令，磊= 1 ，t = 1 。注意到这时e ( x i x o ，也一。) = o a s 由定理3 2 1 即得( 3 2 1 5 ) 成立。 则有 推论3 2 4 设弘。，即q 为独立随机变量序列，a 。与d d 如定理3 2 1 中定义。 l i m a i l 荟( 鼍一e x k ) - o a s 缈d o ( 3 2 1 6 ) 证明：在定理3 2 1 中令，彘= 1 ，t = 1 。注意到这时 e ( 也i x o ，五一1 ) = 厨i a s 由定理3 2 1 即得( 3 2 1 6 ) 成立。 定理3 2 2 设 x 。，刀田为定义在状态空间s = ( 1 ，2 ，历) 上的任意随机变 量序列， 己，l q 和 口。，刀町如上定义，且：o ( a - ) 。则对任意f 1 ，有 。l i r a 。a , ：1 荟【彘五一e ( 4 , x , ix o ，鼍一，) 】= o a s ( 3 2 1 7 ) 其中主卅刀1 为常数。 江苏大学硕士学位论文 从而 证明：由假设= o ( 去) ，因而有l 。i m 。= ，又由力之 有口：2 。 刀 ”。 蒿篙” 口产e ( 霹) 竹2 口孑 + ( 3 2 1 8 ) n = ln = l 因而知d o = q 。由定理3 2 1 知( 3 2 1 7 ) 成立。 3 3 任意随机变量序列关于随机变换与公平比的一类极限定理 我们假设形，五。，n q 是随机适应序列，即 k ，刀q 为可预报序列。 定义3 3 1 设弘。，疗田为任意随机变量序列。 k ，磊l ，忍q 为随机适应序 列。我们称 f 。= k 噩 k = l 为 以，厅q 关于 k ，疗1 ) 的随机变换。 令 ( 3 3 1 ) 定理3 3 1 设弘。，珂田， k ，刀1 ) 如前定义。设 口。，n 1 ) 也为可预报序列。 q = t o ：e 。一2 2 钼2 + ，! i m 。a n = ) ( 3 3 2 ) 疗以 则町1 巧一a s 缈d l 收敛的充要条件是町1 巧e ( ik ，一。) a s j f f i l = l 缈d l 收敛。 证明：令 = 五一e ( tl x o ，五一1 ) ， k 1( 3 3 3 ) 由定理3 2 1 的证明易知，k q 为鞅差序列。又因为k 及口。为磊。可测的。由 1 7v 文献 1 2 n - f f 丁知 量量，巧，万1 ) 也构成一鞅差序列。令 a 江苏大学硕士学位论文 于是 7 一k 厶n 一 a ” e ( 乏l 磊。) ：研( 盟) ：l 磊。】_ ( 丘) z e k ：i 矗。】 a na n ：( 丘) z a ( 丘) z a 月 e e x - e e 霹ik ， ( 以ix o ，疋一，) 】2i 磊。) 以一】 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 由( 3 3 5 ) 有 磁= 研e ( 露l 磊。) 】e e 【( 曙霹) 露i ：c o ，e 一。】) = e l ( 曙2 ) 】 ( 3 3 6 ) 由( 3 3 2 ) 与( 3 3 6 ) 有 e ( z ：) 国d l 由( 3 3 6 ) 与( 3 3 7 ) ，并根据l e v i 引理有 ( 3 3 7 ) ：。e ( z ：i 磊。) a s c o e d ,( 3 3 8 ) 于是由鞅差序列收敛定理( 参见文献【1 3 】) 有 喜普收敛a s 日 3 m 又由( 3 3 3 ) 知若丐1 巧一a s 国e d , 收敛，必有町1 巧e ( ix o ，一一。) a s 国b 收敛；反之亦然。 推论3 3 1 在定理3 3 i 的假设条件下，有 l i m a 2 1 k = l 圪( 五一e ( x 1x o ，以一) ) = o a s 缈d l ( 3 3 1 0 ) 证明：由( 3 3 3 ) 与( 3 3 9 ) 式及k r o n e c k e r 引理即得( 3 3 1 0 ) 成立。 下面假设形，n q 为一种特殊的随机变换( 也称为随机选择) ，即形，n 1 ) 是 在 o ，1 中取值的布尔函数。 定义3 3 2 设 x 。，石，万0 】为非负随机适应序列，形，厅1 ，为随机选择函 1 4 江苏大学硕士学位论文 数，如果 慨喜圪t 喜圪e ( 4 l 巧_ 1 ) = 1 a s 国。 ( 3 3 1 1 ) 在集合d 上成立，则称上述比在集合d 上是随机公平的，也称随机公平的极限 定理。 推论3 3 2 在定理3 3 1 的假设下，令= k e ( ti k ，t 一。) ，有 k 五 坚翼i 盟一= 1 a s 缈d l ( 3 3 1 2 ) 一 圪e ( 五i 五，鼍一。) 证明：由推论3 3 1 即得( 3 3 1 2 ) 成立。 推论3 3 3 设似，n 田为定义在状态空f b j s = ( 1 ，2 ，历) 上的任意随机变量 序列， 形，力1 ，如定义3 3 1 定义，记吒= ：，k 。令 则有 砬= c o ：e ( 嘭爵) 蛾。l i m o - = o 。 ( 3 3 1 3 ) 。l i m 。o ：1 k = l 五一层( x 1x o ，以一) 】- o - a s 缈色 ( 3 3 1 4 ) 证明：在定理3 3 1 中令= 吒。由于 g 。一2 。2 ) 】所2 ee t v ：, ：j o o ( 3 3 1 5 ) n = l = l 由( 3 3 1 3 ) 与( 3 3 1 5 ) 知d 2 q 。于是由定理3 3 1 的推论3 3 1 可得( 3 3 1 4 ) 成立。 在考虑任意随机变量的随机选择问题时，根据k 的值来选取序列 彘，磊，磊，的子序列。当且仅当k = 1 时选取六。于是得到上面序列的子序列 4 ( f ；缈) = 圪喀( 磊) ，其中4 ( ) 为k r o n e c k e r 函数。 江苏大学硕士学位论文 推论3 3 4 设 己，n 田为定义在状态空间s = 1 ，2 ，朋) 上的任意随机变量 序列。 k ，n q ， 吒，n q ，d 2 与