（应用数学专业论文）几类非线性厚尾时间序列的估计与应用研究.pdf

摘要 由于具有广泛的应用前景，时间序列近年来得到了研究人员的广泛关注，在 理论和应用方面都得到了长足的发展，逐渐成为现代统计学的主流分支之一，在 经济学，金融学，气象学，信息科学等许多学科都得到了广泛的应用时间序列模 型可以分为线性时间序列模型和非线性时间序列模型两类，其中对线性时间序 列模型的研究最为深入，在实践中应用也最为广泛，可参见b o x 和j e n k i n s ( 1 9 7 0 ) 的经典著作非线性时间序列始于汤家豪在八十年代初对门限自回归模型的研 究，它在近二十年也得到了长足的发展，并且在某些领域( 譬如金融市场) 得到了 成功的应用另一方面，许多时间序列数据具有厚尾性的特征，常见的有金融市 场的收益率数据，交易量数据，久期数据等这样如何对时间序列模型进行有效 地估计就成为理论和应用中的重要课题 本文主要研究了两类非线性时间序列模型关于厚尾性的稳健估计理论，并 考察了在金融市场上的若干应用其中第一类为e n g l e ( 2 0 0 2 ) 所提出的乘积误差 模型，第二类为加性误差非线性时间序列模型最后，本文也研究了厚尾线性时 间序列均值变点的问题具体工作如下： 1 对a r m a - g a r c h 模型，研究了最小偏差一乘估计的性质l i n ga n dl i ( 1 9 9 7 ) ， b e r a na n df e n g ( 2 0 0 1 ) 在四阶矩有限的条件下证明了a r m a g a r c h 的极大似然估 计相合性和渐近正态性本文在二阶矩有限的条件下，证明了最小偏差一乘估计 同样具有相合性和渐近正态性 2 讨论了m e ( 1 ，1 ) 模型条件解与无条件解的关系，得到了条件解收敛于无条 件解的充分条件，任意阶矩有限的充要条件，外生变量与内生变量持续性的充要 条件结论适用于平稳乘积误差模型，也适用于包含单位根的乘积误差模型以及 其他满足条件的非平稳过程 3 首次提出了m e ( 1 ，1 ) 模型对数正态拟极大似然估计，研究了估计的大样本 性质，证明了参数估计的相合性和渐近正态性，相对于已有的参数估计方法，较 好地解决了数据厚尾性问题 4 考察了上证综合指数的收益率数据，利用乘积误差模型预测收益率的波 动率，其中观测变量为收益率的极差( 单位时间内最大值与最小值的差) 考虑到 数据的厚尾性，采用了拟极差和修正极差作为观测变量，利用模拟数据和实际数 据比较了上述模型的波动率预测能力，结果表明所提出的模型无论是对于模拟 数据还是对于实际数据，相对于通常的波动率模型g a r c h ，都有着更好的波动 v i 西安电子科技大学博士学位论文：几类非线性厚尾时间序列的估计与应用研究 率预测能力 5 对加性误差非线性自回归时间序列y 厂，( 既p ) + e f 在二阶矩有限的情形， 利用局部线性近似得到了具有凸样本路径随机过程，再利用凸样本路径随机过 程的性质，证明了0 的最小一乘估计的相合性与渐近正态性；在二阶矩无穷的情 形，提出了自加权最小一乘估计，其中权重函数是观测值的函数证明了若存在 6 1 满足e i e l 6 。，则0 的自加权l 。估计0 l ，是渐近正态的，w a l d 统计量也具有 通常的x 2 分布 6 对无穷方差线性模型a r m a 的均值变点的检测与估计，提出了自加权最 小二乘估计，得到了自加权累计和统计量( c u s u m ) ，由自加权c u s u m 提出了均值 变点的b o o t s t r a p 检验以及变点的自加权c u s u m 估计，证明了自加权c u s u m 估 计的一致性，并得到了估计的收敛速度数值模拟的结果证实了方法的有效性 关键词：乘积误差模型非线性自回归序列拟极大似然估计自加权估计 厚尾性均值变点波动率预测 a b s t r a c t b e c a u s eo ft h eb r o a du s ei ni n d u s t r y , t i m es e r i e sh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o no f r e s e a r c h e r s t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no ft i m es e r i e sh a v eb e e nd e v e l o p e dg r e a t l ya n d a l s ob e c o m eo n eo ft h em a i n s t r e a m so fm o d e r ns t a t i s t i c s i nm a n yd i s c i p l i n e s ，s u c ha s e c o n o m i c s ，f i n a n c e ，i n f o r m a t i o nt h e o r ye ta l ，t i m es e r i e sh a v eb e e na p p l i e de x t e n s i v e l y t h em o d e l so ft i m es e r i e sc o n s i s to fl i n e a rm o d e l sa n dn o n l i n e a rm o d e l s t h el i n e a rm o d e l s h a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l ya n dm o r eo f t e nu s e dt h a nt h en o n l i n e a rm o d e l s ( c f b o x a n dj e n k i n s ( 19 7 0 ) ) a f t e rt h es t u d yo ft h r e s h o l da u t o r e g r e s s i v em o d e lo r i g i n a t e db yt o n g ( 1 9 8 0 ) ，t h et h e o r yo fn o n l i n e a rt i m es e r i e sa l s oh a sb e e nd e v e l o p e dg r e a t l ya n df o u n ds o m e a p p l i c a t i o n si ns o m ef i e l d s ( e g ，t h ef i n a n c i a lm a r k e t ) o nt h eo t h e rh a n d ，m a n yt i m es e r i e s ，s u c ha st h er e t u r n ，v o l u m ea n dd u r a t i o ni n f i n a n c i a lm a r k e t ，h a v eh e a v y - t a i l e dm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n i ns u c hs e t t i n g s ，h o wt oe s t i m a t e t h et i m es e r i e sm o d e lb e c o m ea c h a l l e n g i n gt a s kf o rt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o nf o rt w ok i n d so fn o n l i n e a rt i m es e r i e sa r e i n v e s t i g a t e de x t e n s i v e l y o n ei st h em u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e l ，t h eo t h e ri st h en o n l i n e a r a d d i t i v ee r r o rm o d e l t h ep r o b l e mo ft h em e s x lc h a n g ep o i n ti na r m am o d e lw i t hh e a v y - t a i l e dm a r g i n a ld i s t r i b u t i o na l s oh a sb e e ns t u d i e db yan e wm e t h o d t h es p e c i f i cw o r ki s t h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) f o rt h ea r m a - g a r c hm o d e l ，w ep r o p o s et h el e a s ta b s o l u t ed e v i a t i o ne s t i m a t e ( l a d e ) l i n ga n dl i ( 1 9 9 7 ) ，b e r a na n df e n g ( 2 0 0 1 ) p r o v e dt h ec o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i c n o r m a l i t yo fm l eo fa r m a g a r c hm o d e lu n d e rt h ef i n i t e n e s so ff o u r t hm o m e n t u n d e r t h ef i n i t e n e s so fs e c o n dm o m e n t ，w es h o wt h a tt h el e a s ta b s o l u t ed e v i a t i o ne s t i m a t o r sa l s o e n j o yt h ec o n s i s t e n c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i t y ( 2 ) f o rt h em u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e lm e ( 1 ，1 ) ，u n d e rg e n e r a lc o n d i t i o n st h ea s y m p - t o t i cb e h a v i o r so ft h ec o n d i t i o n a ls o l u t i o na n du n c o n d i t i o n a ls o l u t i o na r ei n v e s t i g a t e d w e d e v e l o ps u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ec o n v e r g e n c eo fc o n d i t i o n a lp r o c e s st ou n c o n d i t i o n a l p r o c e s s ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ef i n i t e n e s so fa b s o l u t em o m e n t so fa n y o r d e ra n df o rt h ep e r s i s t e n c eo fe n d o g e n o u sv a r i a b l e sa n de x o g e n o u sv a r i a b l e s t h er e s u l t s c a nb eu s e di ns t a t i o n a r ym u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e l ，m u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e lw i t hau n i t r o o ta n do t h e rn o n s t a t i o n a r yp r o c e s s e sw h i c hs a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s ( 3 ) f o rt h em u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e lm e ( 1 ，1 ) ，u n d e rs o m em o m e n tr e s t r i c t i o n sw e s h o wt h a ti ft h em o d e lh a ss t r i c t l ys t a t i o n a r ya n de r g o d i cs o l u t i o n w h e t h e ro rn o th a s au n i tr o o t ，q u a s i m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o rw h i c hu s e st h el o g n o r m a ld i s t r i b u t i o na s t h el i k e l i h o o di sl o c a lc o n s i s t e n ta n da s y m p t o t i cn o r m a l m e a n w h i l et h ee f f i c i e n c yo ft h e e s t i m a t o rc a na l s ob ei m p r o v e db yt h eh e a v yt a i lo fl o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n ( 4 ) w eu s et h em u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e lt of o r e c a s tt h ev o l a t i l i t yo fs h a n g h a ic o m - p o s i t ei n d e x ，i nw h i c ht h eo b s e r v e dv a r i a b l ei st h er a n g eo ft h er e t u r n b e c a u s eo ft h e h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o no fr e t u r n ，w eu s et h eq u a s i r a n g ea n dm o d i f i e dr a n g eo fr e t u r n v i i i 堕塞皇量型垫盔堂量圭堂垡迨塞! 丛耋韭垡丝星垦堕塑壁型堕垡过鱼廛旦翌窒 t of o r e c a s tt h ev o l a t i l i t yo fm a r k e t t h er e s u l t ss h o wt h a tt h eq u a s i r a n g ea n dm o d i f i e d r a n g ed oh a v eab e t t e rp e r f o r m a n c et h a ng a r c ha n dc a r ro fc h o u ( 2 0 0 5 ) b o t hf o rt h e s i m u l a t e dd a t aa n di n d e xr e t u r nd a t a ( 5 ) f o rt h en o n l i n e a ra d d i t i v ea u t o r e g r e s s i v em o d e ly = y ( x ，0 ) + 龟，t h es t o c h a s t i c p r o c e s s e sw i t ht h ec o n v e xs a m p l ep a t ha r eo b t a i n e db ye m p l o y i n gt h el o c a ll i n e a ra p - p r o x i m a t i o na p p r o a c h w i t ht h ep r o p e r t i e so fw e a kc o n v e r g e n c eo fc o n v e xp r o c e s s e st h e a s y m p t o t i cn o r m a l i t ya n du n b i a s n e s so fl 1 - e s t i m a t o ra r es h o w nu n d e rt h ef i n i t e n e s so fs e c o n dm o m e n t f o rt h en o n l i n e a ra d d i t i v ea u t o r e g r e s s i v em o d e lw i t hi n f i n i t es e c o n dm o m e n t ， as e l f - w e i g h t e dl e a s ta b s o l u t ed e v i a t i o ne s t i m a t i o ni s p r o p o s e d ，i nw h i c ht h ew e i g h ti st h e f u n c t i o no ft h eo b s e r v a t i o n w es h o wt h a ti ft h e r ee x i s t s5 1s u c ht h a te i e l 6 o o ，t h e n t h ed i s t r i b u t i o no fo l l ，t h es e l f - w e i g h t e dl 1 一e s t i m a t o ro f0 ，i sa s y m p t o t i c a l l yn o r m a la n d t h ew a l dt e s ts t a t i s t i ch a st h e o r d i n a r yx 2d i s t r i b u t i o n t h ea s y m p t o t i c sf o rt h em i n i m i z e r s o fs t o c h a s t i cp r o c e s sd e f i n e do nc ( r q ) a r ei n v o l v e di nt h ep r o o fo ft h e o r e m s ( 6 ) f o rt h el i n e a rt i m es e r i e sa r m a w i t hi n f i n i t ev a r i a n c e ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o b l e m o fd e t e c t i o na n de s t i m a t i o no ft h em e a nc h a n g e - p o i n t t h es e l f - w e i g h t e dl e a s ts q u a r ee s t i m a t i o ni sp r o p o s e da n d c o n s e q u e n t l yt h es e l f - w e i g h t e dc u m u l a t i v es u ms t a t i s t i c s ( w c u s u m ) i so b t a i n e d b a s e do nw e i g h t e dc u s u m s t a t i s t i c s ，t h eb o o t s t r a pt e s to ft h ec h a n g ep o i n ti s p r o p o s e d t h ec o n s i s t e n c ya n dt h er a t eo fc o n v e r g e n c ef o rt h ew e i g h t e dc u s u me s t i m a t o r a l s oi se s t a b l i s h e d t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss u p p o r tt h ev a l i d i t yo ft h eb o o t s t r a pt e s ta n d w e i g h t e dc u s u me s t i m a t o r k e y w o r d s ：m u l t i p l i c a t i v ee r r o rm o d e l ，n o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i o n ，q m l e ，s e l f - w e i g h t e de s t i m a t o r ，h e a v yt a i l ，m e a nc h a n g e - p o i n t ，v o l a t i l i t y , f o r e c a s t 符号说明 m a ( q ) 滑动平均模型 a r ( p )自回归模型 a r m a ( p ，q )自回归滑动平均模型 a r i m a ( p ，d ，q )积整自回归滑动平均模型 a r c h ( p )自回归条件异方差模型 g a r c h ( p ，q )广义自回归条件异方差模型 m e ( p ，q ) 乘积误差模型 c a r r ( p ，q )条件自回归极差模型 q c a r r ( p ，q ) 拟条件自回归极差模型 m l e 极大似然估计 q m l e 拟极大似然估计 m a x 最大或极大 m i n 最小或极小 c u s u m 累积和统计量 w c u s u m 加权累积和统计量 c 0 ，1 】【o ，1 】区间上的连续函数空间 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名： e t 期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 第一章绪论与预备知识 本章首先简要介绍了时间序列的发展历史，在第二节给出了线性时间序列 和非线性时间序列的相关的定义和定理，在第三节给出了随机过程的收敛性相 关概念，收敛随机过程的性质以及厚尾分布的有关定义和分类，第四节说明本文 的主要内容及具体安排 1 1时间序列分析的基本内容与历史回顾 时间序列是在相同时间间隔下的一组观测值，它可以是数值，也可以是向量， 通常假定它是由某一未知的随机过程咒所产生时间序列分析的基本目标就是 由此观测到的数据推断，描述这一未知过程托的分布特性时间序列分析与经 典统计不同之处在于数据之间具有先后顺序，这种次序关系在时间序列分析中 是非常重要的，而在经典统计中则不存在类似的问题 在自然科学和社会科学领域都存在大量以时间序列形式数据，比如经济学， 金融学，管理学，水文学等，都会产生类似的数据，包括每年的g d p ，每月的失业 率，每天股票指数的收盘价等，对此类数据的分析已成为过去四十年中概率统计 学科的主要任务之一对时间序列数据最早的分析可以追溯到y u l e 1 】对太阳黑 子数目的研究在他开创性的研究中，y u l e 第一次提出了时间序列中的第一个 模型线性自回归模型a r 在此模型的基础上，线性时间序列模型不断的丰富， 发展，到七十年代初线性时间序列已经成为一个内容非常广泛的学科，包括了线 性自回归模型a r ，线性滑动平均模型m a ，自回归滑动平均模型a r m a ，积整自 回归滑动平均模型a r i m a 等自八十年代开始，线性模型又有了进一步的扩展， g r a n g e r 和j o y e u x 2 】，h o s k i n g 3 】针对长相依数据，提出了分数维积整自回归滑动平 均模型；h a n n a h 和d e i s t l e r 【4 】针对多变量数据，提出了向量自回归滑动平均模型 v a r m a ；针对非平稳数据，e n g l e 和g r a n g e r 【5 】提出了协整模型由于线性模型概 率结构简单，参数估计的效率较高，并且形式上也非常灵活，所以时至今日，在实 际中得到广泛应用的时间序列模型仍然是线性模型 线性时间序列模型虽然具有上述的诸多优点，但是实践中还有部分时间序 列难以用线性模型来描述m o r a n 【6 】在对加拿大山猫数据分析中发现，若利用线 性模型模拟数据，则较大的观测值的残差较小，而较小的观测值对应的残差则较 大，这说明用线性模型模拟山猫数据是不合适的t o n g 和l i m 7 】提出了门限自回 归模型( t a r ) ，很好的解决了这一问题，这是时间序列中的第一个产生重大影响 2 西安电子科技大学博士学位论文：几类非线性厚尾时间序列的估计与应用研塞 的非线性模型从八十年代初开始，非线性时间序列模型开始有了大的发展最 成功的非线性模型是e n g l e 【8 】所提出的自回归条件异方差模型( a r c h ) ，它描述 了经济学中非常普遍的波动率的聚集性e n g l e 之后，针对常用的a r c h 模型的阶 数过高的缺点，b o l l e r s l e v 9 】提出了广义自回归条件异方差模型( g a r c h ) ，使得利 用低阶的g a r c h 模型就可以很好地模拟绝大多数常见的数据，提高了参数估计 的效率与此同时，一些其他类型的非线性模型也得到了发展，比如双线性模型， 门限滑动平均模型等，但这些模型基本上都处于理论研究的阶段，在实践中还没 有得到广泛的应用 设当前时刻为t ，时间序列分析中最常见的问题是估计t + l 时刻的值五扎即 估计在给定 x t “i 0 】- 的条件下x 的条件分布，托+ - 即为在此分布下的一个 随机抽样回答这样一个问题，首先要了解冠+ 。与 咒“i o 】- 之间的函数关系， 实际中最常见的设定方式为 咒+ 1 = ，( x t ) + e 件1 其中兄= ( 托，冠乩) ，除均值外，坼。的分布可以与兄相关e t 的设定通常有两 种方法，或设为正态分布，或仅仅假定其方差具有某种给定的形式( 譬如方差齐 性) ( 1 1 1 ) 中最重要的一类为，为 五“i o 线性函数的情形 0 0 五+ 1 = n 乱托一t + e t + 1 ( 1 1 2 ) i = 1 模型( 1 1 2 ) 中最重要的统计量为其一阶矩e x t = 批和二阶矩e ( x t 一肌) 2 = 盯 ， e ( x t 一肌) ( 墨一) = m 咄我们假定其都是存在的若想从有限多的数据中得到上 述统计量的估计是不可能的，必须对其加以限制通常的限定条件为设 五】为 二阶矩平稳过程在此条件下，砰与t 无关，7 t ，。只与t s 相关对非线性模型， 常常假定托还是严格平稳的对模型( 1 1 2 ) ，其线性性质依赖于均值p ，方差盯2 ， 协方差舶( 或自相关函数风= 7 , a 2 ) 在假定 五) 是遍历的条件下，p ，o r 2 ，都可以 得到其一致估计除此之外，对模型( 1 1 2 ) 中具体的数据产生过程，如果不进一步 的简化，那么利用有限的数据就不能得到其具体的形式在实际当中，我们一般 会选择下列几个简单的模型 最重要的模型即白噪声序列其中e e t = 0 ，v a r e t 。，c o r r ( e t ，) = 0 ，t s 若k 两两独立，则称其为纯白噪声序列显然，纯白噪声序列不能由其历史值 所预测，而白噪声序列不能由其历史值的线性组合所预测，对未来值的预测只能 是它的均值所以，对于单变量序列，欲产生最优预测，只需要对 五) 作适当的 第一章绪论与预备知识 3 变换之后，使得变换后产生的序列为白噪声序列即可( 可以证明这样的序列存在 且唯一) 在实践中得到最广泛应用的变换为下述a r m a ( p ，q ) 模型所对应的变换 三三 五= ：a i x t l + ：b j e t j ，b o = 1 ( 1 1 3 ) i = 1 t - j 其中e 。为白噪声序列设b 为后向算子( b k x t = x t 一七) ，则a r m a ( p ，q ) 模型可以表述 为口( b ) 五= 6 ( b ) 其中o ( b ) = 1 一是1a i b i ，6 ( b ) = ；：1 若q = 0 ，则a r m a ( p ，q ) 退化为p 阶自回归模型a r ( p ) ；若p = 0 ，则a r m a ( p ，q ) 退化为q 阶滑动平均模型 m a ( q ) h ) 是不可观测的，但在可逆性的条件下，龟可以由 咒) 表示a r m a ( p ，q ) 可逆的充分条件为方程b ( z ) = 0 的根都在单位圆外 若方程口( z ) = 0 的所有根位于单位根= 1 外，则a r m a 模型是二阶矩平稳 的；若存在根位于单位圆= 1 内，则a r m a 模型是非二阶矩平稳的；若存在d 个 根位于单位圆上，其他的根都位于单位圆外，则a r m a 过程即为所谓的d 阶积整 a r m a 过程，记为a r i m a ( p ，d ，q ) ( 1 一b ) d 凸( b ) 五= 6 ( b ) e t( 1 1 4 ) 其中o ( 日) 表示p 阶多项式，它的根全部都在单位圆外，6 ( b ) 为一q 阶的多项式 易知a r i m a ( p ，d ，q ) 模型是非平稳的，但是对其作d 次差分之后，可以得到平稳过 程上述模型之所以可以得到广泛的应用，是建立在下述w o l d 定理的基础之上 定理1 1 1 ( w o l d )设 x d 是一平稳过程，则五总可以表示为x t = 五1 + x t 2 ， 其中托- 表示一确定性过程，托。可以表示为m a ( q ) 的形式，其中q 可以取o o 因为无穷级数总可以由有理函数任意近似，所以m a ( o o ) 总可以由适当的 a r m a ( p ，q ) 来近似而对于非平稳的数据，a r i m a 模型提供了一种简单方便但 又能对数据充分近似的途径 1 2线性与非线性时间序列的基本概念 首先我们给出线性时间序列的定义，然后给出最常用的线性模型a r m a 的 相关性质，以此为基础给出非线性模型的相关结论 定义1 2 1 如果随机序列 咒 可表示为 o o 五= 酗而 ( 1 2 1 ) j = o 其中系数序列 岛 满足 劈 0 0 ， 4 西安电子科技大学博士学位论文：几类非线性厚尾时间序列的估计与应用研究 而k ) 是白噪声序列，满足 e e 严0 ，e e = 盯2 0 和0 p 0 和0 p 7 1 ，使得 7 r i c ，( ) 凡不满足定义1 2 1 的时间序列模型我们统称为非线性时间序列模型在本 文中我们主要关注的是由a r m a 模型推广所得到的可加噪声非线性自回归模型 n l a r ，下述有关定义和定理可参见安鸿志【1 0 】和f a n 和y a o 1 1 定义1 2 2 设序列 五) 满足下述方程， jx t = ( x t 一1 ，置一p ) + e t i ( x o ，足1 ，x 一升1 ) r n 第一章绪论与预备知识 5 其中e e t 一0 ，e 川 0 0 ，e t 与 托，s ) 独立，称x 。服从非线性自回归模型，记为 n l a r 若记x f = ( x ，x t 一舛1 ) r ，u = ( 1 ，0 ，o ) 7 。，西( x t 一1 ) = ( ( x 一1 ) ，x t 一1 ，x t - - p - 1 ) 下， 则上述n l a r 可记为 x 卸( x ) + e t u ( 1 2 2 ) ix o r p 定义1 2 3 设i n 维向量随机序列【托】- 服从一阶m 维n l a r 模型( 1 2 2 ) ( i ) 如果当蜘一f 时，x 产圣( x 。) + e t u f ，则称f 为模型( 1 2 2 ) 的不变概率分 布 ( i i ) 如果硒一f ，且f 为模型( 1 2 2 ) 的不变概率分布，则称从出发由( 1 2 2 ) 式产生的迭代序列 x t ，t o 】- 为模型( 1 2 2 ) 的平稳解 为引入遍历性的概念，我们需要所谓测度全变分的概念设只和p 2 为定义 于同一个概率空间上的概率测度，则p 1 一p 2 全变分定义为 | l p 1 一p 2 | | = s u p j 只( 山) 一p 2 ( a j ) i j 其中 ) 为样本空间的一个可测划分若测度只具有密度函数p i ( i = l ，2 ) ，则有 i ip , 一p 2i i = i p , - 砌i 血 定义1 2 4 设模型( 1 2 2 ) 有唯一的不变概率分布f ，且对任何初始状态x o = z ， 由( 1 2 2 ) 迭代产生的x t 的概率分布记为砰，如果 。魄1 巧一f j i = 0 则称模型( 1 2 2 ) 为遍历的若存在常数0 p 1 ，使得 。l i m p qi i 砰一fi i = 0 t 则称模型( 1 2 2 ) 为几何遍历 关于n l a r 模型的性质，由下列定理给出 定理1 2 2 如果n l a r 模型( 1 2 2 ) 满足下列两个条件 ( i ) 存在某个p 维向量范数”0 ，常数0 p 1 和c 0 ，使得 0 圣( x ) i i p0 x | | + c ， vx 舻 ( i i ) 龟有处处为正的连续分布密度 则模型( 1 2 2 ) 是几何遍历的 6 西安电子科技大学博士学位论文：几类非线性厚尾时间序列的估计与应用里堕 定理1 2 3 设马尔科夫模型( 1 2 2 ) 是遍历的，则存在p 维分布f ，若( x o ，x _ 1 ，x 一州 f ，那么由定义1 2 2 所定义的 五 是严格平稳的 定理1 2 4 设马尔科夫模型( 1 2 2 ) 是遍历的，其平稳分布为f ，则对任意满足 e f l g ( x 。) l 。的可测函数9 ( ) ，由定义1 2 2 所定义的 x d 满足 圭夕阮) 兰所( 9 ( 五) 百 定理1 2 5 若存在某个p 维向量范数i f ，0 p 1 ，n l a r 模型( 1 2 2 ) 满足下 列条件 i | 圣( x ) 一圣( y ) i i p l l x y l i ， vx ，y 俨 其中k ) 为白噪声序列且满足e e o o ，则模型有唯一的平稳解 1 3随机过程的弱收敛与厚尾分布 利用随机过程的收敛性来研究参数估计的收敛性逐渐成为时间序列分析中 常见的方法，下面我们给出随机过程收敛的定义，性质和基本的收敛定理，其中 弱收敛的相关定义和结论可参见b i l l i n g s l e v 1 2 ，厚尾分布的相关概念和结论参见 f e l l e r 1 3 ，e m b r e c h t se ta l 1 4 定义1 3 1 设s 为度量空间，孑为s 中的开集所生成的盯代数r 及p 为s 上 的概率测度，且对s 上任意的有界连续实函数，有 l i m f s f g - - + 0 0 d r _ j l s fd p 则称概率测度r 在s 上弱收敛至p ，记为r 二p 定理1 3 1 设h 为度量空间s 到s 的可测映射，d 为h 的不连续点集合，r 及p 为s 上的概率测度，若r 二p ，p ( d h ) = 0 ，则r - 1 三p 九 推论1 设，x 为度量空间s 上的随机元，若二x ，则在定理1 3 1 的条 件下有h ( x n ) 二 ) 推论2 设，x 为度量空间s 上的随机元，若三x ，则在定理1 3 1 的条 件下有 ( ) 三 ( x ) 设 矗，礼1 ) 为定义于( q ，晒，p ) 上的随机变量序列，品= 1 + + 矗，c o ，1 】 表示定义于【o ，1 】区间上的连续函数空间，其中度量为通常的上确界度量定义 c o ，1 】上的随机函数 ( 2 ，u ) 2 赤s i n 删+ ( 咖赤铀+ l ( u ) ( 1 3 1 ) 第一章绪论与预备知识 7 定理1 3 2 ( d o n s k e r 定理) 设随机变量序列 厶，佗1 为独立同分布，并且e 矗= 0 ，d 岛= 盯2 o 。，则( 1 3 1 ) 中的随机函数满足 二 其中w 为定义于 o ，1 】上的标准b r o w n i a nm o t i o n 关于分布的厚尾性在已有的文献中并没有确定的唯一的定义，可以理解为 由于过多极端值得影响而使得模型不具有正常的渐近性质比如对于独立同分 布的随机变量，无穷方差就导致了中心极限定理不再成立长期以来，具有类 似性质的随机变量被认为是不正常的，没有得到充分的研究在最近的研究中， 越来越多的研究者发现利用厚尾模型能够解释很多实际的数据，比如地震之后 余震的级别，股票市场收益率的波动，保险理赔中索赔的金额等等本文采用 m i k o s c h ( 2 0 0 2 ) 的分类，把尾部衰减速度小于指数速度的分布称为厚尾分布正态 分布，指数分布，r 分布，参数大于1 的w e i b u l l 分布等常见的分布为轻尾分布，对数 正态分布，尾部指数在1 一1 ，贝0 当z 一时 a 三( ) d t 一( o + 1 ) 一1 z a + 1 l ( z ) ( 2 ) 若o l o ) ，则 l i mx f ( x ) - f ( x ) = q x - o o 若f ( z ) 为具有指数一q 的正则变化函数 o ) ，且，( z ) 是最终单调的，则上述极 限同样成立 ( 3 ) 若x 为具有指数n 0 正则变化正值随机变量，则有 e x p = i ： o o 喜箬三： ( 4 ) 后y 2d f ( y ) 是慢变的铮f ( z ) = 。( z 一2 后y 2d f ( 可) ) ，z 0 0 最常见的正则变化的分布为指数参数q ( o ，2 ) 的平稳分布，譬如c a u c h y 分 布正态分布虽然是平稳分布，但它的指数参数o t = 2 ，所以不是正则变化的分布1 1 4 内容安排 本文研究了厚尾非线性时间序列模型的估计与应用的问题，对两种常见的 模型提出了新的估计方法，研究了估计方法的大样本性质，并利用股票收益率数 据作了分析，对厚尾的线性模型研究了其均值变点的估计，提出了一种新的估计 第一章绪论与预备知识 9 方法一自加权最i b - 乘估计，利用模拟数据证实了方法的合理性全文共分六