（基础数学专业论文）几类具分段常数变元脉冲微分方程的定性性质.pdf

本硕士论文由二章组成 在第一章我们首先研究方程 摘要 0 0 ) z ( t ) + n 。( t ) z ( 2 【0 + 1 ) 2 ) ，t 0 ，t n ，n z 1 一) 一x ( 2 n 一1 + ) = c n x ( 2 n 一1 ) ，n z 的振动性和稳定性然后讨论了方程 fz ( ) + o ( t ) z 0 ) + 6 ( z ) z ( p 一1 】) = 0 ，t2 0 ，t 礼，n z ， i 。( 他一) 一z ( n + ) = c k z ( 礼) ，c k 一1 ，几z 的振动性和非振动性最后讨论方程 fz ( ) + n ( ) 口0 ) 七6 ( t ) z ( 弘一女】) = 0 ，t 0 ，t 礼，佗z ， i 。( 礼一) 一z ( n + ) = c f n 。( 礼) ，c k 一1 ，n z 的振动准则 在第二章，通过构造差分方程的周期数列解，研究了方程 fz ，i t ) = 4 0 ( t ) x i t ) + a l ( t ) z ( t 】) + a 2 ( t ) ( 弘一1 1 ) + a 3 ( t ) x ( 1 t + 1 ) + ，( t ) ，t n ，n z i 茁( n 一) 一茁( 佗+ ) = 6 z ( n ) ，n z 周期解的存在性 本文结果揭示了所讨论的脉冲方程与相应的非脉冲方程在定性性质方 面的内在联系，也刻画了脉冲产生定性性质的脉冲扰动条件 关键词：脉冲微分方程， 分段常数变元， 稳定，振动，周期解 a b s t r a c t t h et h e s i so fm a s t e r sd e g r e ei sc o m p o s e do ft w oc h a p t e r s i nt h ef i ls t ：h a t ) t e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o no ft h ee q u a t i o n st i r s t fz ( t ) = a ( t ) x ( t ) + a c ( t ) x ( 2 ( t + 1 ) 2 ) ，t 0 ，n ，礼z ， ix ( 2 n l 一) 一x ( 2 n 一1 + ) = g x ( 2 n 1 ) ，n z n e x tw es t u d yt h eo s c i l l a t i o nt h en o n o s c i l l a t i o no ft h ee q u a t i o n s ix i ( ) + a ( t ) x ( t ) + 6 ( t ) z ( 瞳一1 】) = 0 ，t 0 ，t n ，n z iz ( n 一) 一z ( n + ) = c 二z ( n ) ，c i - - 1 ，n z l a s tw es t u d yt h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i ao ft h ee q u a t i o n s ix t 0 ) + a ( t ) x ( t ) + 6 ( ) z ( 陋一叫) = 0 ，t 0 ，t n ，n z ix ( n 一) 一x ( n + ) = i z ( n ) ，c t n 一l ，礼z i nc h a p t e rt w o ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n s f z 7 ( ) 二a 0 ( t ) z ( ) + a l ( ) 。( ) + a 2 ( ) 。( 瞄一1 】) + a 3 0 ) z ( 陋+ 1 ) + ，( ) ，t n ，n z 1 z ( 礼一) 一z ( n + ) = 6 z ( 礼) ，n z i ss t u d i e db yc o n s t r u c t i n gp e r i o d i cs e q u e n c es o l u t i o n so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h er e s u l to ft h i sp a p e rr e v e a l st h ei n t e r n a lr e l a t i o n so ft h eq u a l i t a t i v ep r o p e r ti e s b e t w e e nt h ei m p u l s i v ee q u a t i o n sw ed i s c u s sa n dt h ec o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n sw i t h o u ti u q ) u l s e i ta l s od e p i c t st h ei m p u l s i v ec o n d i c t i o n sw h i c hr e s u l ti nt h eq u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s k e yw o r d s ：i m p u s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t ，s t a - b i l i t y ，o s c i l l a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n 前言 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域有着非常 广泛的应用它在几何学，力学，天文学，物理学及其他学科中，如核物 理，电子技术，自动控制，星际导航等许多尖端科技领域中，已成为强有 力的杠杆，推动这些学科的发展在现代的生物学，人工神经网络动力学 和经济学领域，微分方程的理论和方法也是不可缺少的 随着现代科学技术的飞速发展，人们发现脉冲微分方程较之相应的不 带脉冲的微分方程能更准确地描绘现实生活中的某些现象，如在生态学， 医学，网络，光学控制，经济学模型中出现的变量状态的突变就可通过带 脉冲扰动的模型来更准确的描述，因此脉冲微分方程研究已引起了大量学 者的兴趣1 - 3 ，1 2 2 0 具分段常数变元微分方程最早在1 9 8 3 年由c o o k e 和w i e n e r 4 ；s h a l l 和 w i e n e r 5 研究这类方程之所以引起大量学者的兴趣【7 1 1 ，2 6 2 7 】是因为它 们描绘了连续和离散动力系统的混合，同时具有微分方程和差分方程的性 质 在文f 7 1 中，c o o k e 和w i e n e r 研究了方程 一( t ) = a z ( t ) + o o z ( 2 【( t + 1 ) 2 1 ) ，x ( o ) = q ，( 1 ) 得到了下面的结果： 定理a 方程( 1 ) 在【0 ，。o ) 上有唯一的解 x ( t ) = a ( r ( ) ) ( a 1 a1 ) f ( + 1 ) 2 1 c o ， 其中r ( t ) = t 一2 o + 1 ) 2 1 ， a ( t ) = e “+ a - 1 0 0 ( e “一1 ) ，a l = ( 1 ) ，a - 1 = a ( 一1 ) 定理b 方程( 1 ) 的僻z = 0 是渐近稳定的充要条件是i a t a 。i 1 4 ； 是非振动的，如果骗p n 一，1 4 对充分大的他成立 定理e 假设对某个整数k 0 kl l i m s u p ( q 。r t + t i 骗一，一- p n j 一2 ) 1 。 i ：o j = o 那么方程( 2 ) 是振动的 问题2 方程( 2 ) 在一定的脉冲扰动下以上定理结论是否能保持? 本文的目的之二就是通过考虑脉冲微分方程 j z 7 ( ) + n ( ) z ( t ) + 6 ( t ) 。( p 一1 ) = 0 ，t 芝0 ，t n ，扎z ， ix ( n 一) 一x ( n + ) = c k z ( 佗) ，c k 一1 ，礼z 回答上面的问题，我们也将揭示脉冲产生解振动的本质 在文f 2 7 1 中，l u o 和s h e n 研究了方程 z ) + a ( t ) x ( t ) + 6 ( t ) z ( p 一叫) = 0 ，t 0 ，( 3 ) 得到了方程( 3 ) 的振动准则 问题3 方程( 3 ) 在有脉冲效应的情形下，方程振动的充分条件是什 么? 在文 2 6 j 中，房辉研究了方程 iz ( t ) = a o ( t ) z ( z ) + a 1 ( ) 。( 胡o ) + a 2 ( t ) x ( t 一1 】o ) + a a ( t ) x ( t + 1 o ) + ，( t ) ，t 礼，n z lz ( n + ) 一x ( n 一) = 妇( 扎) ， z 作者得到r 方程有唯一d , 。u 一周期解的充分条件 问题4 脉冲微分方程 j 一0 ) = a o ( f ) z ( ) + a 】( ) z ( 【t 】) + a 2 ( t ) x ( t 一1 】) + a 3 ( t ) x ( t + l 】) + ，( ) ，t 扎，n z ， lz ( n 一) 一z ( n + ) = 6 z ( n ) ，礼z 存在周期解的条件又是什么? 本硕士论文基于上述思想，其主要目的是研究和回答上述这些问题 2 第一章稳定性与振动性 1 1 引言 本章，我们首先考虑脉冲微分方程 x t ) = a ( t ) x ( t ) + a o ( t ) x ( 2 ( t + 1 ) 2 1 ) ，t 0 ，t 佗，佗z ，( 1 1 1 ) x ( 2 n 一1 一) 一x ( 2 n 一1 + ) = c n x ( 2 n 一1 ) ，n z ，( 1 1 2 ) 其中z 为整数集，o ( t ) ，a o ( t ) c ( r ，r ) ，【】表示最大整数函数 变量的偏差丁( t ) = t 一2 ( + 1 ) 2 当2 n 一1st 2 n 时，t ( t ) o ；当2 n - - 1 ，( 1 1 4 ) 其中o ( t ) ，b ( t ) 是 一1 ，。】上的连续函数，b ( t ) o ( o ) ，t 0 1 【】表示最大整 数函数 称函数z ： 一1 ，0 ) u ( 0 ，o 。) - r 是方程( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 的解，若它满足条 件： 1 ) 当t n ( n z ) 时，z ( t ) 连续可微且满足方程( 1 1 3 ) ； 2 ) 对于札z ，z ( 札+ ) ，x ( n 一) 存在，x ( n + ) = 。( n ) ( 即x ( t ) 在t = n 处右连续) ， 且( 1 1 4 ) 成立 最后我们讨论脉冲微分方程 茁7 0 ) + a ( t ) x ( t ) + 6 ( t ) 茹( 瞳一叫) = 0 ，t 0 ，t n ，礼z z ( n 一) 一z ( n + ) = c i 茁( 礼) ，i 一l 3 ( 1 1 5 ) f i i 6 ) 其中u ( 1 ) ，b ( t ) 是卜 ，o o 】上的连续函数，b ( t ) 0 ，为正整数，【】表示最大 整数函数 称函数z ：卜，k + 1 ，一1 ，0 ) u ( 0 ，。) _ r 是方程( 1 15 ) 一( 11 6 ) 的 解，若它满足条件： 1 ) 当n ( n z ) 时，z ( ) 连续可微且满足方程( 1 1 5 ) ； 2 ) 对于礼z ，x ( n + ) ，x ( n 一) 存在，z ( 礼+ ) = z ( n ) ( 即。( t ) 在t = n 处右连续) ， 且( 1 1 6 ) 成立 如通常那样，方程的解 z ( ) 称为非振动的，如果z ( t ) 最终为正或最 终为负；否则，称茁( t ) 为振动的方程称为振动的，若它的所有解振动 记n ( n o ) = 扣o ，礼0 - 4 - 1 ，礼0 4 - 2 ， ，珊为任意整数 1 2主要结果 定理1 2 1 如果下列条件之一成立，那么方程( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 是振动的： a ) q 一l ，1 呱群尝+ 1 a o ( t ) e x p ( 一盛a ( s ) d s ) d t 0 ， 在区间2 n 一1 t 0 ，所以 1 ) 当g + 1 一1 时，j 象“a 0 ( t ) e x pf 一成o ( s ) d s ) d t 一1 最终成立， 或 1 镪爱f 如2 。r * + 1 a o ( t ) e x p ( 一盛n ( 8 ) d s ) d t 一1 这与条件a ) 矛盾，所以方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 是振动的 2 ) 当g + ， 1 ( 1 2 4 证明不妨设方程( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 有一个最终正解z ( t ) ，对( 1 2 2 ) 两边从 t 到2 住积分，得 球) 唧( 一。( s ) d s ) 一( z 2 na o ( s ) e x p ( 一厶。( u ) 删) d s ) 坤小。 令t 。( 2 n 1 ) + ，由z ( t ) 的右连续性，有 即 f 1 巾) d s ) 一( 州小x p ( 一。( u ) d u ) a s ) 坤扯o ( ，一伫，州她p ( 一巾) d s ) d t ) 坤佗) = 地扎- 1 ) e x p ( 一e 。冲) 因为最终z ( t ) 0 ，所以有 如2 。n 一。嘞( t ) e x p ( - f 矗口( s ) d s ) 出之1 最终成立， 或 。一仁，邮) p ( 一e 巾) d 3 dlira s u p e x d t 墨1 。一l 一1 咖( t ) p ( 一厶o ( 8 ) d 3 墨 5 这与( 1 2 4 ) 矛盾，所以方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 ，2 ) 是振动的，定理证毕 下面我们考虑脉冲微分方程 ( ) = a z ( t ) + o z ( 2 【( 亡+ 1 ) 2 ) ，z ( o ) = c b ，t o ，t 忆，札z ，( 12 5 1 x ( 2 n 一1 一) 一z ( 2 n 一1 + ) = b , t x ( 2 n 一1 ) ，凡z ( 1 2 6 ) 定理1 2 3 脉冲微分方程( 1 2 5 ) 一( 1 2 6 ) 在 0 ，o 。) 有唯一解： 。( z ) = a ( f ( t ) ) ( a ，a 1 ) 吣+ 1 7 2 】i j 二；：= c o ，a l o ， ( 1 2 7 ) 其中r ( f ) = t 一2 【( t + 1 ) 2 ， a ( t ) = e 8 。+ a - 1 a o ( e 时一1 ) ，a l = a ( 1 ) ，a l = a ( 一1 ) 证明假设z 。( t ) 是方程( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 在区间2 n 一1 t 2 n + l 的一个 解，记z 。( 2 n ) = 岛。，我们有 z ：( t ) = a x 。( t ) + a o c 2 。 此方程的通解为 x n ( f ) = e a ( t - 2 n ) c a - l a o g n ， 其中c 为任意常数 令t = 2 n ，得 g n ：c a - 1 a o c 2 因此，我们有 当扣2 n 一1 ，我们有 ( t ) = a ( 一2 n ) g 。 z 。( 2 礼一1 ) = 岛。一1 = a l 岛n ，岛。= a = i c 2 。一l 在( 1 2 8 ) 中，令_ ( 2 n + 1 ) 一，有 z n ( 2 n + 1 一) = a 1 c 2 n 6 ( 1 2 8 ) 由z 。( f ) 的右连续性和( 1 , 2 6 ) 有 州2 n + 1 ) = 州2 几+ 1 + ) = g 。+ - = 去琊n + 1 一) = 丽1 ，g 2 。 因此 嘶= 赢1a - c 2 。= 丽1 ( 批，) = 丽1 ( 批- ) ”g t ， e 2 n = a 二；g 州2 a 一- 1 再毛( a a 1 ) ”1 g 由( 1 2 8 ) 可得 z o ( 1 ) = c 1 = a l c o ， 所以，我们有 晚。；再丢( a h ) “q 从而 州牡非一2 挖) 再告( a t 九t ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 9 ) 与( 1 2 7 ) 是等价的，定理证毕 定理1 2 4脉冲微分方程( 1 2 5 ) 一( 1 2 6 ) 的解z = 0 是渐近稳定的，如 果l a ，a 一- i o ，v t ? 0 ，j 6 = e m ，沌o ，当i l x o l l 6 时，对一切t ；t o 有 盼( t ，t 。，x o ) l l l i m c o l i = m i i x o i e ，所以平凡解稳定 另外，由0 2 7 ) 式易知。，l i + m 。x ( t ) = 0 ，即平凡解是吸引的，从而平凡解= 0 是渐近稳定的 7 下面的结果是对方程( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 讨论得到的 引理l ，2 11 ) 对给定的a 山a 。，和初始条件 z ( 1 ) = 。4 一i ，z ( o ) = a o ， 方程( 1 1 ，3 ) 一( 1 1 4 ) 和( 1 2 1 0 ) 在 n ，n + 1 ) ，n n ( 0 ) 有唯一的解： 。( t ) = 4 。e x p ( r n ( s ) 如) 一a 。一- r ) e x p ( 一，。( 札) d u ) d s 其中系列f a n ) 满足差分方程 ，= 州1 + g ) e x p ( c 。n ( s ) d s ) + 九一t 。吣) e x p ( c ，n ( s ) d s ) 毗n n 0 ) ( 1 2 1 2 ) 2 ) 方程( 1 1 3 ) 一( 1 ，1 4 ) 有一个非振动解的充分必要条件是差分方程( 1 2 t 2 ) 有 一个非振动解 证明1 ) 设茁( t ) 是方程( 1 1 3 ) ( 1 ，1 4 ) 和( 1 2 1 0 ) 的一个解，那么在区间 n t n 十l ，n ( o ) ，方程( 1 1 3 ) 可写为 茹( ) + 凸( o ) z 0 ) 十b ( t ) a 。i 一0 ，他o 扎十1 ，( 1 2 1 3 ) 其中a 。= z ( n ) ，九( 一1 ) 方程( 1 2 1 3 ) 可写成 ( 雄) e x p ( f n ( s ) d s ) ) + 6 ( 归n ( r 小) d s ) a 卜_ 0 n t 川 两边从礼到t 积分，得到 叩) e x p ( r a ( 札) 砒) 一如+ ( r6 ( s ) e x p ( r n ( u ) d u ) d s ) a 。，= o ( 2 t ) 由( 1 2 1 4 ) 式可知( 1 2 1 1 ) 式成立 在( 1 2 t 4 ) 式中令t - ( 仲+ 1 ) 一，注意到x ( n 一) = ( 1 + g ) z ( 礼) ，可得 ( + g 十1 ) 厶+ t e x p ( f + 1 。( 札) d 乱) 一如+ ( f 十1b ( s ) 唧( rn ( u ) d u ) d s ) a 。，：= o ( 1 21 5 ) 8 ) i l l 2 2 q 0 用n l 代替n ，得到( 1 2 1 2 ) 式 反之，设 a 是方程( 1 2 1 2 ) 的解，在 一1 ，0 ) u ( 0 ，。) 上由( 1 2 1 0 ) 和 ( l 2 1 1 ) 定义x ( 0 ，显然，对任意的n ( o ) ，礼 o 那么由( 1 2 1 4 ) 式，我们得到当n t 0 这说明最终z ( t ) 0 ，所以。( t ) 是方程( 1 1 3 ) 一( 1 _ 1 4 ) 的一个非振动解 定理1 2 5 方程( 1 1 3 ) - ( 1 1 4 ) 是非振动的，如果它有一个非振动解；这 也说明方程( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 是振动的，如果它有一个振动解 证明由引理1 2 1 的证明可知，如果方程( 1 2 1 2 ) 的所有解是非振动 的，那么方程( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 的所有解是非振动的嘲予方程( 1 2 1 2 ) 是一个 二阶线性差分方程，由文献( 6 】中的已知结果，如果方程( 1 1 1 2 ) 有一个解 是非振动的，则它的所有解是非振动的，由引理1 2 1 ，定理1 2 5 得证 记 r = 唧( 仁。) 出) ，q 。= 仁。吣) e x p ( 。8 ( 8 ) d s ) 妣 那么差分方程( 1 2 1 2 ) 可写成 a 。一1 = p n ( 1 + g ) a 。+ q 。a 。一2 ， ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) 由引理1 2 1 ，如果。( t ) 是方程( 1 1 3 ) 一( 1 - 1 4 ) 的一个解，那么a 。= z ( n ) 满足( 1 2 1 7 ) 9 引理1 2 2 假设存在h f o ， 】使得对充分大的n q 。r 一1 ( 1 十g 1 ) h 设 a 是方程( 1 21 7 ) 的一个最终正解，令 那么 荛( 1 + g ，) ，呱z ) ：竽 一n 1 l i m s u 。p 呱1 + _ x 1 广- 一4 h ，江l ，2 n 叶o o 证明我们先证当i = 1 时( 1 2 1 9 ) 成立由( 1 2 1 7 ) ，我们有 a n 一2 r l ( 1 + g 一1 ) a 。一l f 1 ，2 ，1 8 ) f 1 2 ，2 0 1 这表明l i r a s u p 。o 。呱1 1 ，即当h = 0 时( 1 2 1 9 ) 成立下面我们考虑当 0 0 ，因此l i m 。k = a 存在并且满 足a 2 一a + h = 0 因此，我们得到 li。m。sup哪!1+r饥-4hoon 下面我们证明当i = 2 时，( 1 2 1 9 ) 式成立由( 1 2 1 7 ) ，我们有 a 。一1 q 。a 。一2 ， 如一2 = r 一1 ( 1 + g 一1 ) a 。一1 + q n 一1 a 3 由不等式( 1 2 2 4 ) 可得 呱2 ) = 华兰q 。1 ：= a 1 a n - 1 f 1 2 2 4 1 ( 1 2 2 5 ) ( 1 2 2 6 ) n i - 比nh = 0 时( 1 2 1 9 ) 成立当0 ；， 是非振动的，如果对充分大的扎 q 。r 一。( 1 + g t ) ； 1 1 ( 1 2 2 7 ) ( 1 2 2 8 ) 证明首先证明若( 1 2 2 7 ) 成立，方程( 1 1 3 ) ( 1 ，l 。4 ) 是振动的。反设方 程( 1 1 3 ) 一( 1 1 4 ) 有一个最终正解。( ) ，由( 1 ，2 1 6 ) 和引理1 2 1 ，a n = 茹( 礼) 满足 ( 1 2 1 7 ) 一 。舢 2 雨赢 则( 1 2 1 7 ) 化为 或 1 ；昙+ q 。p n l ( 1 + g 一1 ) _ r i 一1 1 5 索+ 骗p n l ( 1 + g 一1 ) _ r i 一1 q 州r 吼= = 蕊磊q 而n + l p 磊n 孤再 ( 1 2 2 。) 显然，o n 。 1 ，从而n 。( 1 ) 由( 1 2 2 9 ) 和( 1 2 3 0 ) ，我们有 q + ( 1 + g ) = d n + t ( 1 一q n ) = 等n n ( 1 q n ) 1 4 令引理1 2 2 中的 h 为l 4 ，那么由引理1 2 2 ，对任意的数e c o ，u 4 ) ，我们有对充分大的n 等圭，荛( 1 + ) 磊1 我们选取s 使得1 ( 2 一s ) 2 c ，那么我们得到 q 。+ 1 只。( 1 + c k ) 硒= 矿雨。研 11 s 4 ( 2 - x ) 2 c o f 1 2 3 3 ) a 1 = 0 、 1 5 而 1 rs 2 m ) ：学，s ； ，( 扣百1 - 2 x 而- v 百孚- 4 x 】0 锄 互 可见，f ( z ) 在( o ，1 4 ) 是严格单调增加的。因为f ( o ) = 0 ，所以当0 0 因此当0 z 0 注意到，( ) = 2 ，并且 姆m ) ：觋1 - , 乒i - 4 z = 删l i m 志_ 1 ) 所以我们有当0 0 ，n ( 一1 ) 将z 。= a 。一。( p o + g ) 如) 代入( 1 2 3 6 ) 得 丽a n - l1 1 一q 。r - 1 ( 1 + g _ 砾万再a n _ 蕊2) = 1 ， 即 a 。一1 = 只( 1 + ( k ) a 。+ q 。a 。一2 ，n ( 1 ) 这就证明了 厶 是( 1 2 1 7 ) ( ( 1 2 1 2 ) ) 的一个非振动解，由引理1 2 1 和定理 1 2 1 ，知方程( 1 1 3 ) 一( 1 ，1 4 ) 是非振动的定理证毕 引理1 2 3 设a 满足方程( 1 2 1 7 ) ，那么下列不等式对任意的整数2 0 成立： a 。一2 = p n 一1 ( 1 + g 一1 ) a 。1 + a 。一 4i iq 。一j l + 圭( f ；一；一。c t + c 麓一t 一。，j i l 臼。一，一- ) a 。一。一。 证明由( 1 2 1 7 ) 式，我们有 ( 1 2 3 7 ) a 。一2 = p n 一1 ( 1 + c k 1 ) a 。一1 + q n i a 。一3 ( 1 2 3 8 ) 由归纳法，对任意i 1 a 。一。一l = p n t ( 1 + ( k t ) a 。一，+ q 。一i a 。一i 一2 ( 1 2 3 9 ) 1 4 在( 1 2 3 9 ) 中分别令i = 2 和i = 3 然后代入( 1 2 3 8 ) 中，有 a 。一2 = p n 一1 ( 1 + c n 一1 ) a 。一l + q 。一1 只。一2 ( 1 + ( 一2 ) a 2 + q 。一1 q 。一2 a 4 = p n 一1 ( 1 + g 1 ) a 。一l + q n - 1 r 一2 ( 1 + g 一2 ) a 。一2 + q 。一i q 。一2 r 一3 ( 1 + c k 一3 ) a 。一3 + q 。一1 q 。一2 q 。一3 a 。一5 2 = r l ( 1 + e j 1 ) a 。一1 + j 4 。一5i iq 。一一1 j = o 由归纳法，不难得到当k 1 时 k + r i z ( 1 + ( 矗一f 一2 ) i i 印。一j l a 。一；一2 i = 0 j = 0 由上式和( 1 2 3 8 ) ，( 1 2 3 9 ) 我们得到当k 0 时( 1 2 3 7 ) 成立引理证毕， 定理1 2 7 假设对某个整数0 i l l su(q,。pn-i(i+lim s u p1 ( 1c k 一，+ 圭i iq 。一卜- p i 一，一z c - + c k 一，一。，) 1 e 1 2 4 0 ) n - - + o c i = 0 j = o i g 一1 ) + 。一r 一坤( 1 + g j 一2 ) l ( 、， 那么方程( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 是振动的 证明反设方程( 1 _ 1 3 ) ( 1 1 4 ) 有一个最终正解霹( t ) ，那么由引理1 2 1 a 。= z ( n ) 满足方程( 1 2 1 7 ) ，从而 a 。一l p n ( 1 + ( 矗) a 。 由归纳法可得 1 一l a 。一l a 。r j ( 1 + g 一，) ，i = 1 ，2 一 ( 1 2 4 1 ) j = o 由引理1 2 3 ，a 。满足( 1 2 3 7 ) ，在( 1 2 3 7 ) 中利用a 。一l q 。a 。一2 和( 1 2 4 1 ) ， 我们得到 1 5 以肛 一卜卜q 。瑚 一g 十 q 一r ，! l + 一1nq 倒 4卜铲 a十 一n ag+ o r | | n a mc ；| 1g + oc i |1r r ”q 。：亘 。：l + 2卜 a o+ q rnq 一 2” a 上述不等式两边同除以a 。也我们得到 ，。m 。s 。u p ( 吼r 一，+ g _ + 妻鱼骗一r 一坤c - + g 一坤，) 这与( 】2 4 0 ) 矛盾，定理证毕 记“2 l i 。m _ + i 。n f q n r 一1 ( 1 + c n 一1 ) ，m2 l i m 。- + s o 。u p q n p n 一1 【1 + 一1 ) 定理12 8 假设0sp i 1 ，且对某个整数k 0 k t 、 l i m s u p ( l q 。r l ( 1 + g 1 ) + i iq n 一卜l r 一卜2 ( 1 + g 一卜2 ) l 1 ，( 1 2 ，4 2 ) ”。 i = o j = o 其中l = f 垃辱亚) ，那么方程( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 振动 证明当弘= o 时，由定理1 2 7 可知结论成立 下面证明当0 0 ，下面两个不等式当”充分大时成立 a 。一1 l 。p n ( 1 + ( 名) a n a 。一12l 。q 。a 。一2 ， ( 1 2 4 3 ) ( 1 2 4 4 ) 其中l 。= ( 出乒+ s ) 在( 1 2 4 a ) 式中，应用归纳法，得到下式t f 一1 a 。一。l ：i ir j ( 1 + g j ) a n ，i = 1 ，2 ， ( 1 2 4 5 ) j = o 1 6 由引理1 2 3 ，a 。满足( 1 2 3 7 ) 在( 1 2 3 7 ) 式中利用( 1 2 4 4 ) 和( 1 2 4 5 ) ，我们有 a 。2 三l 。q 。p n l ( 1 + g1 ) a 。一2 = t q 。r 一1 ( 1 + g 一1 ) a 。一2 + a 一2 l ：i iq 州一l r - j 一2 ( 1 + g - j - 2 ) i = o j = o 上述不等式两边同除以a 。一。并取极限，我们得到 ，刈m 。粤s l l ，l q 。rn o o、 令s _ 0 ，我们有厶_ + l ，因而 ，2 h 。n 。ls 。l l p ( l q , , p - 1 ( 1 + g _ + 塞口盟i 骗一r 一坤c + 瓯，z ，) 这与( 1 2 4 2 ) 矛盾，定理得证 推论1 2 1 假设0 ( 坐产) 2 1 + 胡阿 2 由( 12 4 6 ) ，存在e ( 0 ，肛) 使得q 。p n 一1 ( 1 + g 1 ) p e ，并且 i 。m 霉s uq 排1 ( 1 + ) 1 _ 蔷n _ + 1 一d i “一e i ( 1 2 4 6 ) 又因为当m _ 。时，【l ( 1 z e ) 】”- 0 ，所以我们有 l l i 。m 。s 。u pq 。只一，( j + c ；一。) - 一生生二： ：j 麦铲n _ 一u p c ， = 1 一 ( p 一) + 三( p 一) 2 + + 工( p 一叫+ 1 1 ， q 。瑚 曲1g 十 2 l 1 驴。 l qr 。酬 2卜 a+ 1 r 卜 卜q 。n 脚 e 。鲫 + 一 + q 1 r jq ，脚 l 。铷 其中k 是充分大的整数，由上述不等式可得( 1 2 4 2 ) 式成立，由定理1 2 8 知方程【1 13 ) 一( 1 1 4 ) 是振动的 下面我们研究方程( 1 1 5 ) 一( 1 1 6 ) 记 p , 。= e x p ( f + 1 邮) 出) 忍= 琊) e x p ( r 0 ( s 冲) 批 ( 1 z 朋) 引理1 241 ) 对给定的a 幽，a - l a o ，和初始条件 z ( 一k ) = a 一女，x ( - k 十1 ) = a 一女+ t ，z ( o ) 。a o ( 1 2 4 8 ) 方程( 1 15 ) 一( 1 1 6 ) 和( 1 2 4 s ) 在h n4 - 1 ) ，秆( o ) 有唯一的解： 球) ：a n e x p ( 一r 巾) “一tr 6 ( s ) e x p ( 一t a ( “) d u ) d s ，( 1 2 4 9 ) 其中系列 _ n 满足差分方程 a 。= r ( 1 + ( 五+ 1 ) 4 。+ 1 + q n a n 一 ( 1 t 2 ，5 0 ) 2 ) 方程( 1 15 ) 一( 1 1 6 ) 有一个非振动解的充分必要条件是差分方程( 1 2 5 0 ) 有 一个非振动解 证明1 ) 设( t ) 是方程( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 和( 1 ，2 4 8 ) 的一个解，那么在区间 t n + l ，n ( o ) ，方程( 1 1 5 ) 可写为 z ( t ) + a ( t ) x ( t ) + b ( t ) a 。一= 0 ，n t o 那么由( 1 2 5 2 ) 式，我们得到当札st o ， 这说明最终z ( t ) 0 ，所以x ( 0 是方程( 1 1 5 ) 一( 1 1 6 ) 的一个非振动解 引理1 2 5 设 a ) 是差分方程( 1 2 5 0 ) 的一个最终正解，且 。茎弘：一i 。m + i 。n fk 一i = l q 要r _ i - j ( 1 + g 一州) 兰南，( 1 2 5 3 ) 1 * * 那么 a 。nr j ( 1 + c n j + 1 ) l i r a 。+ s 。u p 圭兰j ：= = 一a ( p ) ( 1 2 5 4 ) 其中a ( p ) 是方程”+ - = ( a p ) 在1 0 ，1 】上的最大实根 证明由( 1 2 5 0 ) ，我们有 下pn-i(1+cn-i+1)a-i+l：1一仉一每堂，江1，2，k a ”一i 。 a n t 所以 k a n 订r d i + c n 一，+ 1 ) 生i 一 a n 一 一旦= ! ( ! 鱼! 生! 垦二! f ! 坠= ! ! 墨! = ! 堡二! ! ! 鱼= ! ! 1 2 生= 壁! 一 a n i 4 n 一2a n 一 1 9 a ”一i a 。一th j = j 由a r i t h m e t i c g e o m e t r i cm e a n 不等式，有 k anrj ( 1 + g ! 三! a n k 因此 1 曼i1 一；吾钆i k r 一， j = t a n t o