（基础数学专业论文）变分迭代法在抛物型方程反问题中的应用.pdf

摘要 变分迭代算法是由何吉欢提出并广泛应用于一些微分方程的求解和一些特 殊的非线性方程变分迭代算法在非线性问题研究中有非常重要的作用，是解决 一些非线性问题强有力的工具 在求解抛物型方程反问题的同时，也必须决定一些未知的控制系数，这类问 题在工程和科学的许多分支都起着重要的作用变分迭代法应用于求解反问题中 具有收敛序列的精确解 本文共分为五章 第一章叙述了变分迭代算法的研究现状和本文的研究内容 第二章给出有关变分理论的预备知识及结论 第三章首先介绍了变分迭代算法的基本思想，然后叙述变分迭代算法及其简 单的应用，最后给出改进的变分迭代算法 第四章介绍变分迭代算法应用于抛物型方程反问题 第五章的主要内容是改进的变分迭代算法在多维抛物型方程反问题中的应 用 关键词：变分迭代法；拉格朗日乘子；精确解；抛物型方程；反问题 a b s t r a c t v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o dw h i c hh a sb e e np r o p o s e db yj i - h u a nh ei sw i d e l y a p p l i e dt os o l v es o m ed i f f l e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds o m es p e c i a ln o n l i n e a re q u a t i o n s v a r i a t i o n a l i t e r a t i o nm e t h o di sv e r ) ri m p o n a n ti ns t u d y i n go ft h en o n l i n e a rp r o b l e m s a n dh a s b e e nap o w e r 向lt 0 0 1 w h i l ed e t e n n i n i n gt h es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m s ，w es h a l ld e t e m i n a t es o m e u n k n o w nc o n t r o lp a r a m e t e r s t h e s ep r o b l e m sp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nm a n y b r a n c h e so fe n g i n e e r i n ga n ds c i e n c e s a p p l i c a t i o no ft h ev a r i a t i o n a l i t e r a t i o n t e c h n i q u et ot h e s ei n v e r s ep r o b l e m ss h o w st h er a p i dc o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e c o n s t r u c t e dt ot h ee x a c ts o l u t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s i ns e c t i o nl ，w eb r i e n yi n t r o d u c et h er e s e a r c hs t a t u so fv a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o da n dt h ec o n t e n to ft h i sp a p e r i ns e c t i o n2 ，t h ep r e p a r a t i o na n dt h ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n so ft h ev a r i a t i o n a l t h e o r ya r e 舀v e n i ns e c t i o n3 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a s i ci d e a so ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ， t h e ni t ss i m p l ea p p l i c a t i o n sa n dt h em o d i f i e dv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o da r e d e s c r i b e d i ns e c t i o n4 ，t h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di s a p p l i e dt oi n v e r s ep a r a b o l i c p r o b l e m i ns e c t i o n5 ，t h em o d i f i e dv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt ot h em u l t i d i m e n s i o n a li n v e r s ep a r a b o l i cp r o b l e m 1 ( e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ；l a g r a n g em u l t i p l i e r s ；e x a c ts o l u t i o n s ； p a r a b o l i ce q u a t i o n ； i n v e r s ep r o b l e m i l 号 符号说明 含义 实数集 刀维实数集空间 第七个迭代点 矽( x ) 在迭代点鼍处的函数值 变分 限制变分 l a g r a n g e 乘子 l i i 符r肜以妙a 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 忽o f 日期州年厂月? 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 知i v 日期：力哆年y 月z 占日 导师签名：劫咖场日期：川年厂月，z 日 第一章绪论 非线性问题是当今世界最热门的课题之一传统的数值计算方法一般对初 值非常敏感，这是非线性问题的特征，因此一般的数值计算方法存在以下困难： 数值解易产生振荡或发散，从而得不到真正的物理解；或者即使得到收敛解， 有时也很难判断它与真正物理解的拟合程度 近年来，多种用来寻找非线性微分方程解的方法得到发展，主要有以下方 法：变分法1 2 1 、同伦摄动法、改进的l i n s t e d t p o i n c a r e 【1 6 】、摄动法i l o 】、 人工参数法f 2 3 1 、分裂法【1 1 1 等 在工程计算过程中，经常会遇到各种各样的大型线性方程组如各种数值 计算方法( 有限元、有限差分法等) 都需要求解大型线性方程组，因此求解大型 线性方程组的迭代方法得到了普遍的关注由于计算能力的限制，迭代格式的 收敛性及收敛速度就成了一个关键问题本文介绍一种收敛速度很快的算法： 变分迭代算法 1 9 7 8 年砌d 砌8 】提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法，该方法起初主 要应用于量子力学，但这种方法的主要缺陷是只能求解一些特殊点的值，而不 能得到近似的解析解变分迭代法是何吉欢在广义拉氏乘子法的基础上提出 的，同时把这一思想发展成为一种迭代算法并广泛应用于一些问题的求解和一 些特殊的非线性方程如非线性分数阶微分方程n 7 咙】在文献 9 中何吉欢对近 年发展起来的各种近似方法作了综述和比较得出变分迭代法的收敛速度最快， 并把变分迭代法和a d o m i a n 分裂算法作了比较，结果表明变分迭代算法的收敛 速度远远快于a d o m i a n 分裂算法通过许多学者的研究证明该方法是解决一 些非线性问题的有力工具它成功的应用在了b u r g e r s 方程【2 0 1 ，双曲型偏微 分方程，d e l a y 微分方程2 2 1 ，非线性微分方程2 3 _ 2 5 1 ，广义非线性b o u s s i n e s q 方程和广义k d v 方程中同时d e h g h a n 将变分迭代法应用于反问题中【7 1 文献 2 6 2 8 中有许多作者对此方法作了改进使收敛速度加快d e h g h a n 【2 6 】对 该算法的收敛性作了说明 通过一些约束条件求解抛物型方程中的未知参数在大量的文献中被称为 反系数问题( i c p s ) 物理上，反系数问题是通过介质边界的状态测量介质内 部特性( 如传导率或电容率) 同时，很多学者对半线性抛物性方程的反系数 问题也进行了相关的研究，如c a n n o n 和l i n 【，e m i n el z 。，h a s a n n o y 和 l i u 【3 1 ，l i u 【扣6 】，t a t a r i 和d e h g h a n l 7 1 等等 本文主要介绍变分迭代算法在抛物型方程反问题中的应用，并将改进的变 分迭代法的应用范围加以推广，使其应用于多维抛物型方程反问题通过 l a g r a n g e 乘子进行简便计算求得未知参量的精确值，再应用于多维抛物型方 程反问题可以快速得到收敛于反问题精确解的收敛序列，从而得到精确解 2 第二章变分基本理论 变分是变分理论中最基本的概念，本章首先介绍了相关变分理论的预备知 识包括变分的基本概念，变分学的一些基本引理及变分方法 2 1 变分法基本概念 2 1 1 泛函概念 定义1 【4 4 】设，= y ( x ) ) 是给定的某一函数类如果对于此函数类中的每个 函数类中的每个函数y ( 曲，量歹按照一定的规律有一个确定的值与之对应，则 称量j 为函数y ( 曲的泛函，记为j = j y ( 曲) 这里用方括号而不是用圆括号， 是为了区别于普通的函数。泛函也称为函数的函数 一个在其上定义了泛函的函数类成为泛函的容许函数类( 或容许曲线类) 类似地也可定义依赖于多元函数或多个函数的泛函 2 1 2 泛函的极值及其分类 定义2f “1 设以y ( x ) 】为在某一个容许函数类j = y ( 曲) 中定义的泛函， ( 的为，中的一个函数如果对于，中任一个函数y ( 功，都有 ，= ，【y ( x ) 卜歹【蜘( 功】o ( 或so ) 则泛函以y ( x ) 】称为在( 功上取得绝对极小值( 或绝对极大值) 绝对极小值与 绝对极大值统称为绝对极值 如果作为比较的函数y ( 曲仅限于( x ) 的某个领域，且有 ，= ， y ( 石) 】一【( x ) 】o ( 或o ) 则泛函以y ( x ) 】称为在( 力上取得相对极小值( 或相对极大值) 相对极小值与 相对极大值统称为相对极值 绝对极值和相对极值统称为极值使得泛函取得极值( 极小或极大) 或可 能取得极值的函数( 或曲线) 成为极值函数( 或极值曲线) 定义3 设以y ( 功】为在某一个容许函数类j = y ( x ) ) 中定义的泛函，( x ) 为歹中的一个函数如果在( 功的零级6 领域有 ，= 【j ，( x ) 】一， ( x ) o ( 或o ) 则称泛函，在( 力上取得强极小值( 或强极大值) 如果仅在非( x ) 的一段6 领域内有 ，= 【y ( 石) 一， ( x ) o ( 或o ) 3 则称泛函，在上取得弱极小值( 或弱极大值) 强( 弱) 极小值和强( 弱) 极大值统称为强( 弱) 极值 由于一级领域是零级领域的一部分，所以如果泛函以y ( x ) 】在( 功上，取 得强极值，它也一定在这个函数上取得弱极值但反之不然，即如果泛函以y ( x ) 】 在( 功上取得弱极值，却不一定取得强极值 2 1 3 泛函的变分 求泛函极值的方法称为变分法它非常类似于求普通函数的极值的方法 我们知道，在求函数的极值时要应用函数的导数和微分，同样，在求泛函的极 值的时候需要用到泛函的变分概念因此，在具体讨论变分方法之前，先介绍 泛函的变分概念 ( 1 ) 函数的变分【删 对于任意定值x 【，五】，可取函数y ( 功与另一可取函数( x ) 之差 j ，( x ) 一( 功 称为函数y o ) 在( 力处的变分，记作砂，6 称为变分符号，这时有 砂= y ( 曲一( 功 函数的变分有以下的性质 如果函数少( 石) 与另一函数( 功都可导，则函数的变分砂有以下性质 砂= y ( x ) 一二成( 曲= y ( x ) 一( x ) 】= ( 砂) 由此得到变分符号6 与导数符号之间的关系 d x 6 = 丢( 聊 即函数导数的变分等于函数变分的导数 上面的性质可推广到高阶导数的变分情形，即 砂= ( 妙) 。，砂。= ( 砂) ，妙”= ( 砂) 厅 ( 2 ) 泛函的变分 设f ( 石，y ( x ) ，y 。( 曲) 是3 个独立变量x ，y ( x ) ，y ( 对在区间 ，而】上的已知函 数，且二阶连续可微，眇( 功】为在某一个可取函数类f = 少( z ) ) 中定义的泛函， 设泛函， y ) 】为 脯 j y ( x ) 】= i 。，( x ，y ( x ) ，y ( x ) ) c 氏 在j ，= y ( x ) 的邻域内，任取曲线j ，= y 。( 石) ，则有： 妙= m ( x ) 一少( x ) ，砂= y 。l ( x ) 一y 。( x ) 泛函以y ( 工) 】的增量为 4 刖。，l m ( x j j 一，l y 【工j j2 【j ，【z j + l 沙j 一，l ) ，l x j j2 f i ，k j ，+ 砂，y + 砂) 出一if ( x ，j ，j ，) 出= 蝴棚 r f ，y + 砂，+ 砂。) 一，( y ，y 。) 】出 临 由二元函数的泰勒中值定理得 f ( x ，少+ 妙，y + 妙) 一f ( x ，y ，y ) = 万，砂+ 万，砂 上式中，万y 与f ，分别表示e 与乃在 ，歹( x ) ，歹( 工) ) 处的值，歹( 功介于y ( 功与 弗( 功之间，歹( 力介于y ( x ) 与y 。，( x ) 之间因而l 歹( 功一y ( 功l o ，当讲乃( 曲，y ( x ) 】充公小时， 必有 l 万y ei 。，i 万y 一0i 2 因此，有 = f 旷( 工，y + 砂，y + 砂) 一f ( x ，y ，y ) 】出= c l ( y 砂+ 万y 砂) 出 嘶 = ( e 砂+ 弓t 砂) 出+ 【( 声j c ) 砂+ ( 声，一0 ) 砂】出 = e ( e 砂+ 乞t 砂。) 出+ 耐【y 。( x ) 一y ( 功】 上式中 一- 一一 ， 耐 乃( x ) 一y ( x ) 】- 上。1 ( 乃一乃) 砂+ 旷，一) 砂。】出 蛹t 7 ， 且随d 【少。( 力一少( 功】趋于零而趋于零这是由于 i e ( 瓦一e ) 砂+ ( 万，一o ) 砂】出i i 万y 一弓li 砂i 出+ ep y 一0 1i 砂i 出 ( l + 2 ) d y i ( x ) 一y ( x ) ( 五一而) = d 乃( x ) 一y ( x ) 】 而随d 【y ，( x ) 一y ) 】趋于零而趋于零 这样1 1 ( 妙+ f ，砂) 出与相差一个比d 乃( x ) 一y ( x ) 】为更高阶的无穷小 蝙 7 ， 一 量，是泛函增量的主要部分则有 设函数f = f ( x ，儿y ) 关于x ，y ，y 连续，且有足够次可微性，f 的增量为 舒= f ( x ，y + 妙，y + 砂) 一，( x ，y ，y ) = 髟砂+ 气妙+ 则 即= c 妙+ 只妙 称为函数，的变分泛函的变分式可写成 【y ( 功】= 6e f ( z ，y ，y 。) 出= 萨( x ，y ，y 。) 出 2 1 4 泛函极值的必要条件 变分在泛函的极值研究中所起的作用，有如导数在函数极值的研究中所起 的作用一样我们有下面的定理 定理1 4 4 1 设泛函以y ( x ) 】为在某一个容许函数类j = y ( x ) ) 上有定义， y ( 功，如果以y ( x ) 】在少( 力上取得极值( 极小或极大) ，则在y ( 功上必有 = o 2 2 变分法引理 引理l 【4 4 1 设函数厂( 工) 在区间【口，6 】上连续，任意函数1 1 ( x ) 在区间【口，6 】上 具有n 阶连续导数，且对于某个整数所沏= 0 ，1 ，刀) ，当满足条件 1 1 ( 口) = q q ( 6 ) = o ( 七= o ，1 ，7 竹) 时，如果积分 i 厂( 功t 1 ( x ) 出= o 总成立，则在区间 口，纠上必有 厂( x ) 三o 特别，当上面引理中m = ，l = 0 时，有下面的引理 引理2 设函数厂( x ) 在区间【口，6 】上连续，任意函数” ) 在区间 口，6 上连 续，且当满足条件 1 r l ) = 1 1 ( 6 ) = o 时，总使积分 l 厂( x ) t 1 ( x ) 出= o 成立，则在区间【a ，6 】上必有厂( x ) 三o 6 引理3 设函数厂( x ，y ) 在闭区域d 内连续，任意函数t 1 ( x ，y ) 及其一阶偏导 数在区域d 内都连续，且在d 的边界线三上t 1 ( x ，y ) 等于零，总使积分 l 厂( x ，y ) ”( x ，y ) 蛐= o 成立，则在区域d 上必有( x ，y ) 三o 引理4 设函数( 功在区间【口，6 】上连续，任意函数q ( 功在区间【口，明上具 有万一l 阶连续导数，且 t 1 七( 口) = t 1 七( 6 ) = o ( 七= o ，1 ，疗一1 ) 都有积分 ( ? 厂o ) n ( 一( x ) 出= o 成立，则在区间 口，纠上厂( 石) 是刀一1 次多项式 2 3 变分方法 变分的直接方法【删主要有以下几种：里兹法、坎脱洛维奇法、欧拉差分 法和有限单元法、有限条法、最小二乘法、配置法等等 2 3 1 经典里兹法 瑞利一里兹法是变分直接方法中最重要的一种其基本思想是 取定一族坐标函数系 q ，：，。，) ，它具有以下性质 ( 1 ) ；都在泛函的定义域d 内有定义 ( 2 ) 任意多个函数都是线性无关的 ( 3 ) 对于任一可取函数( p 连同它的某阶导数及正数，恒可找到坐标函数 的某个线性组合 9 。2c 1 l + c 2 2 + + q 一 使在定义域内成立以下不等式 l ( p 一叩。l l ( p 一( p 。i 8 l ( p n 一( p i ：q ；都属于可取函数类，可设所有；都满足齐次 _ 一 f = l 边界条件若微分方程的边界条件是非齐次的，则可取两种方法：使边界条件 齐次化；在满足齐次边界条件的( o ，外，再添加一个充分光滑且满足非齐次边界 7 条件的函数，使v | = 吼+ o 属于可取函数类 将含有j | 个待定系数的试验函数v 七= + 巳_ ，代入泛函以“】，则以吼】 f = l 成为含后个变量的函数，即坷吼】- ，( q ，吃，咯) 为使坷吼】取极值，令芸= o ，j = l ，2 ，后，解出c l ，c 2 ，q 代回即得极值 u 吣j 函数的近似式这时还可算出相应的泛函值v 。】- 巩 其中q ，c 2 ，q + 。是待定的重复以 上两步，又可得出极值函数的另一近似式和泛函极值以v 】= 噍+ 1 若有 v l ，v 2 ，v 七，使4 吐以d ，则称 v i ) 为极小化序列常用的 坐标函数有幂函数 1 ，石，石2 ，) 和三角函数 1 ，c o s x ，s i n x ，c o s 2 石，s i i l 2 x ，) o 卜7 【，7 【】) 或这些函数的某种组合 2 3 2 坎脱洛维奇法 坎脱洛维奇法用于多自变量的情形本质上与里兹法相同，为了提高收敛速 度，坎脱洛维奇改进了早期的里兹法，提出：在对自变函数做假设时，不是只 保留若干个可变函数，而是保留若干个可变的一元函数即在近似解式中将里 兹法所使用的待定系数改为某一自变量的待定函数对于二自变量来说，这种 方法又叫做化为常微分方程法，因为求解的后一阶段归结为求解若干个常微分 方程 2 3 3 欧拉差分法和有限元法 欧拉差分法其实是有限单元法的最早例子，这里介绍下有限元法有限元 法是里兹法和伽辽金法的继续，克服以上两种方法的缺点，把区域分成若干单 位，然后对每一单元选择一组简单的坐标函数，并用以上两种方法应用于这些 单元，借助于近似积分作为一系列方程后，在保持一定连续性的前提下，进行 组集以求得整体的数值解 2 3 4 伽辽金法 设微分方程为：甜= p 伽辽金法的基本思想是( 前提是边界条件是齐次 的，非齐次的可化为齐次的) ( 1 ) 选取一个相对完备的坐标函数系 l ，2 ，。，) ，这些，都能满足所 给的齐次边界条件，不但要满足本质边界条件，还必须涉足自然边界条件 玎 ( 2 ) 取试验函数为屹= 0 c ，0 ) ，若所设的恰好是边值问题的解，则应有 8 o 勺 m 瑚 + o i l “v 做 取 数函验试将再 l 屹2p ( 3 ) 一个个地用q 乘三吃= p 的两边，然后令积分 j l ( 三屹一p ) ，d g = o ， f = l ，2 ，刀 即 l c 三( 喜仅以卜叫。- o ，名，刀 ( 4 ) 积分后，得出刀个含0 【，的方程组，解出0 【j 代入心 ( 5 ) 将，l 改为以+ 1 ，重复以上步骤，屹可作为原问题的一个近似解由于 是近似的，所以可以把= 三一p 看作是剩余项，因此可以把迦辽金法理解为 这样一种方法：它使剩余的项沿着各坐标方向的分量在某种意义下平均为零， 即儿q d 。= o 若把q 作为权函数，则该方法又称为加权剩余法 9 第三章变分迭代法概述 1 9 7 8 年砌d 妇8 1 提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法，该方法起初主 要应用于量子力学，但这种方法的主要缺陷是只能求解一些特殊点的值，而不 能得到近似的解析解，因此该法没有得到广泛的应用这种基本思想后来被何 吉欢发展成为一种迭代算法，称之为变分迭代算法【9 1 4 1 6 1 3 1 变分迭代算法 为了说明这种算法的基本概念，现考虑非线性方程 “( f ) 】+ m “( f ) 】- g ( f ) ( 3 1 ) 其中，工为线性算子，为非线性算子，g ( f ) 是已知的连续函数 变分迭代算法最基本的特点是为式( 3 1 ) 构造一个校正泛函如下 + ( f ) = ( f ) + f 兄 三o ) + 胍。o ) 一g o ) ) 幽 ( 3 2 ) 其中，兄是广义拉氏乘子，可用变分理论最佳识别；( f ) 为初始近似解( 可以 包含待定常数或待定函数) ，行。( 占) 为限制变分量，即万吃= o ，中的拧表示第刀 次近似解 对于线性方程，应用式( 3 2 ) 一次迭代即可得到精确解如 y 。+ 缈2j ，2 彳酊? 彩f + b s i n ( 3 3 ) 【y ( o ) = 1 ，y 。( o ) = o 其校正泛函可表示成 y 。+ 。( f ) = y 。( f ) + ra y 。( s ) + 缈2 y 。( j ) 一彳s i n 国j b s i n s ) 凼 令上述校正泛函取驻值，注意到观( o ) = o ，我们有 万j ，。+ 。( f ) = 万y 。( f ) + 万j ：a 少。( s ) + 缈2 少。( s ) 一彳s i n 国s bs i nj ) d s l o = 万j ，。( f ) + z ( s ) 万j ，：( j ) l ，。，一名。( s ) 万y 。( s ) f ，；，+ r ( 旯+ 缈2 五) 万夕。( s ) d s = ( 1 一见( f ) ) 万y 。( f ) + a ( f ) 万j ，：( f ) + r ( 五。+ 缈2 兄矽y 。( j ) 幽 = 0 于是可得以下驻值条件 f 万y 开 由常微分方程理论得 于是得以下迭代公式 ：名”( j ) + 国2 旯( j ) = o ：允( s ) i ，：，= o ：l 一允( s ) i ，：，= o 名：上s i n 彩( s f ) 国 j ，州= y 以) + 去f s i n 叫( 卅国2 y 小) 一心n 缈s 一心n s ) 凼( 3 4 ) 以齐次方程的解作为初始近似解 由式( 3 4 ) 可得 o ) = c o s 国f y 心) = y 心) + 吉j ：s i n 缈( s f ) 枞( s ) + 缈2 夕。( j ) 一么s i n 国s 一召s i ns 净 = c 。s 研+ 去f s i 彻( 卜吼卅咖蜘柚s i ”) 出 = c o s 研一乏f c 。s ( 一缈f ) 一c 。s ( 2 哪一彩f ) ) 出 一丢f c o s 【( 彩- 1 ) s 一刎s ( 国+ 1 ) s 一刎) 凼 = c o s 纠一丢r c 。s 纠一丢 j i _ 陋n c r ，一s m c 一国明一j 旨c s m r 一蓟n c 一纠， = c o s 投 一f c o s 缈f 一 i s l n i f ) 一s m i 一国f ) l 一_ l s m f s l n i 一f j l 2 缈 2 彩l 国一r 、7、 缈+ l 。 、 j ：c o s 缈f 一生f c o s 国f + 丢( s i n f + s i n 国f )= c o s 缈f 一f c o s 国f + 了一s l n f + s l n 国f 2 缈国2 1 、 此为式( 3 3 ) 的精确解 对于非线性方程，把非线性项作为限制变分量，由于拉氏乘子是近似识别的， 所以必须通过迭代得到近似解如 “。+ m 2 = 0 ( 3 5 ) 初始条件为“( o ) = 1 其校正泛函可表示为 材。+ l ( f ) = “。( f ) + 允( “：( j ) + 订：( s ) ) d s ( 3 6 ) 材。+ l ( f ) = “。( f ) + j o 允( “。( j ) + 订：( s ) ) d s ( 3 6 ) 式中( f ) 为初始近似解，玩为限制变分量 令上述校正泛函取驻值，注意到砌。( o ) = o 可得以下驻值条件 二_ 。 ) ( 二三。l l = 。 拉氏乘子九可近似识别得 兄= 一1 把兄= 一1 代入式( 3 6 ) 得以下迭代公式 “。+ 。( f ) = ”。( f ) 一c ( “：( j ) + 甜：( s ) ) d s “。+ ( f ) = ”。( f ) 一j 。( “：( j ) + 甜：( s ) ) d s 如果初始近似解设为( f ) = “( 0 ) = 1 ，则可得到一个收敛列 “o ( f ) = 1 “l ( f ) = l f z f ：( r ) = l r + r 2 一三r 3 “，o ，= - 一r + r 2 一三r 3 + 丢r 4 ：i 归l 一2 一号“+ ( 叫川嘉，1 故在甩哼时收敛到精确解甜( ，) 2 击 3 2 改进的变分迭代算法 为了加快收敛速度，许多人对此法进行了改进n 5 2 2 ，2 3 1 ，此处主要介绍何吉 欢对变分迭代法的改进【：8 1 对不同阶数的微分方程，运用变分迭代算法可以得到不同的解的迭代公 式，总结如下 p + ( “，甜) = o k 鸹一胁川舢 7 f “+ 0 【甜+ 厂( 甜，甜) = o k 心) = 姒d f 秒卅以( 卅q 姒咖m ：) ) 出 舟 f “。+ 厂( “，“，“。) = o k ) = + f ( s 卅 域( 卅似：，甜_ ：) ) 出 固 p + 国2 h + 厂 ，“，“。) 寻o 1 嘣归删+ 去r s i i l 吣叫绯咖吨坝，以，棚凼 。1 0 f “。一0 c 2 砧+ ( 砧，甜，“。) = o t + 。( 于) = o ) + 珐( 矿。- f ) 一p 刚，曲) 以。) 一0 【2 。) + 厂( ，“：，“：) ) 出。1 1 f “。+ 厂( “，甜，甜。，“。) = o k = 姒沪c 吾( 州) 2 “：( 卅m ：，“：，域) ) 出 。1 2 f “4 + 厂( “，“，材。，“。，“( 4 ) = o 1 “。+ 。( f ) = “。( f ) + 吉( s f ) 3 “? ( s ) + 厂( “行，“：，甜：，“：，“，) ) 凼 3 13 f “m + 厂( “， ，“，“( 所) = o 卜刮以) + ( - 矿f 志( 州广川簖k ) + 以砖办，) ) 出 1 4 在上面各式中，分别记 ( f ) = 一f 厂( ，“：) 出 ( 3 1 5 ) 心( f ) = 一矿( 州厂 一，甜：) 出 k ( f ) = o f ) ( 材。，“) 凼 啪) = 去f s i i l 叫似 “：) 凼 讹) = f 去( h 婶叫肿。，以，“：) 出 屹= 一f 圭( 川) 2 厂( k “：) 出 心( f ) = f 丢( j f ) 3 厂( ” ，“：，“：，“：，“? ) 出 啪) = ( - 1 ) 肼f 志 0 一f ) 卅- 1 厂( ，”：，“，“，) 凼 对上面各式对f 进行简单的求导运算，我们可以得到以下各式 t ( f ) + 厂 。，“：) = o t ( f ) + 仪( f ) + 厂( “。，“：) = o t ( f ) + 厂0 厅，“：，l l ：) = o e ( f ) + 2 ( f ) + 厂( “ ，“：，“：) = o t ( f ) 一0 【2 屹( f ) + 厂( ” ，”：，“：) = o ( f ) + ( ，“：，“：，“：) = o 埠( f ) + 厂( ，“：，“：，甜：，“? ) = o ( f ) + 厂( ，“：，“， ，) = o ( 3 1 6 ) ( 3 17 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 验证式( 3 2 5 ) 和( 3 2 8 ) 对式( 3 2 5 ) 两边关于f 求导，得 t ( f ) = 厂( ( s ) ，“：( j ) ，甜：( s ) ) ( s f ) k f ( ( s ) ，“：( s ) ，“：( s ) ) 出 = 一厂( “一( s ) ，“，“) 凼 再对上式两关于f 求导，得 即 e ( f ) = 一八“。( f ) ，“：( f ) ，“：( f ) ) 吒( f ) + 厂( 甜。， ：，“：) = o ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 同理，对式( 3 2 8 ) 两边关于f 求导，得 t ( ) = 去【厂( ( 珐域( 珐铭_ ：( s ) s i n 彩。一嘞l f c 。s 缈。一矽( ( s ) ，铭：( s ) ，“：( s ) ) 凼 = 一r c 。s 缈( s f ) 厂( “。( j ) ，”：( s ) ，”：( s ) ) 出 再对上式两边关于f 求导，得 t ( f ) = _ 厂 一o ) ，以( s ) ，以o ) c o s 烈s f ”】。可一彩s i n 缈。一f y ( o ) ，铭：o ) ，以o ) ) 凼 = 一厂( “。，“：， ：) 一国fs i n 缈( j f ) ( “。( s ) ，“：( j ) ， ：( s ) ) 如 有 y ：( f ) = 一厂( 甜一，“：，“_ 二) 一彩2 1 ，厅( f ) 即 ，】：( f ) + 彩2 y 一( f ) + ( “一， ：， j ：) = o 则由比较可知，屹( f ) 是一个特解，于是可以构造更简单的迭代公式 l l 开+ l ( f ) = “o ( f ) + ，斗( f ) 式中( f ) 是初始近似解( 可含待定常数) ，如果无待定常数，( f ) 应满足初始或 边界条件；若有待定常数，可以在迭代几次后再由初始或边界条件识别 于是，式( 3 7 ) 一( 3 1 4 ) 可改写成下面更简单的形式 1 沁) = 姒沪f 厂( 铭：) 幽 似+ 伐铭+ ( 铭，l l ) = o t = 姒沪f 州甜：) 出 f “+ 厂( “，“，“。) = o 1 1 ( f ) = + f ( s q 厂( ：，“：) 出 1 5 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) “。+ 。( d ：“。( f ) + 丢f s i i l ( s f ) ( ，“：，“：) 凼 3 3 4 f “一o 【2 “+ 厂( “，“，甜。) = o k 刚+ 去( 。”矿。抛以以) 出 。3 勋 弦+ 厂( “，“。，”，“。) = o 1 “丹+ 。o ) = “。( d f 圭( s f ) 2 ( ，甜：，。c ，e ) 出 3 3 6 f “( 4 ) + 厂( “，“，”， 。，“( 4 ) = o 1 甜。+ 。 ) ：“。( 力+ 吉( s f ) 3 厂( “一，”：，“：，域，“r ，) 出 3 3 7 f ”( 朋) + 厂( 材，“，“。，“( 肼) = o k 强+ ( - i ) 朋f 志卜川以以，出 3 8 3 3 变分迭代算法与分裂法的比较 本节主要是运用变分迭代法和分裂法3 1 1 求解k 1 e i n g o r d o n 方程，通过比 较得知前者比后者要好 首先给定k l e i n g o r d o n 方程的一般形式 “甜一“巅= 一f ( “) ( 3 3 9 ) 及初始条件 “( x ，o ) = 厂( 功咋( 五0 ) = g ( 曲 ( 3 4 0 ) 其中f ( ”) 是线性或非线性函数 3 4 1 分裂法 将未知函数甜( 石) 定义为以下序列 “( 曲= “玎( x ) ( 3 4 1 ) 栉= o 非线性算子， ) 定义为以下序列多项式 f ( “) = 4 ( 3 4 2 ) 厅= o 其中4 称为a d o m i a n 多项式， 1 6 以：去等叭窆如地圳刀：o ，1 2 ，3 一 以2 五万【，缶以| o ，舻u ，1 ，2 弘一 或者 如2 ，( ) ， 彳i = “l ，( “o ) ， 如= f ( ) + 三材i ! f 。( ) ， 鸣= 甜，f ( “。) + 材。吃f ( ) + 三“? f 。( ) ， 铲妒( u 啪鹃+ 扣) f 。( + 三”；妒( ) + 去“秒气) 3 4 2 两种算法的比较 考虑线性的k l e i n g o r d o n 方程 “盯一甜材= “ 初始条件为 “( x ，o ) = 1 + s i i i x ， “f ( x ，0 ) = 0 3 4 2 1 变分迭代法求解 由变分迭代法得 “肘l ( x ，f ) = ( 五f ) + f 名 “( 五f ) + 址( x ，f ) 一( 而f ) ) d f 令限制变分撕刀= o ，有 如肿l ( x ，f ) = 帆( 工，f ) + 万f 允 n ( f ) + ( 毛f ) 一( 五f ) d f 或者 如州( 石，f ) = 帆( 工，f ) 一a 魄( v ) b + 五万( x ，f ) i ，可+ f ( 五一名芦( v ) d f 可得以下驻值条件 五一允= o 卜兄f 爿= o 1 7 ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) 求解可知 代入( 3 4 7 ) 得到 疋= 彳= o 允( f ) = s i n h ( r f ) + ( 五f ) = ( 五f ) + f s i n h ( f f ) ( 而r ) + “。( x ，f ) 一( 毛f ) ) d f 又由 o ，d = ”( x ，0 ) + m f ，0 ) = l + s i i l 石 只需一步迭代就可以求得 “( 石，f ) = s i i l 石+ c o s h x 即为精确解 3 4 2 2 分裂法求解 由分裂法方程( 3 4 5 ) 可转化为 厶“( 工，f ) = 厶“( 五f ) 一，( “) 其中厶和t 分别为 厶= 善，厶= 罢 令 巩) = ff ( 础 应用1 于式( 3 5 7 ) 两边得到 “( x ，f ) = “( x ，o ) + 以( z ，o ) + 与1 t “( x ，f ) 一1 f ( “) 或者 “( x ，f ) = 厂( 工) + 留( 力+ 与1 ( ) 一1 f 似) 由初始条件可知 “o ( 石，f ) = 厂( 功+ 留( x ) 吆+ l ( x ，f ) = 与1 ( 蚝( 石，f ) ) 麒一f 1 ( 4 ) ，后0 由式( 3 4 6 ) ，多项式“。“。，甜：计算可得 “o ( x ，f ) = 1 + s i n f 甜- ( 五f ) 2 1 ( ( 五f ) ) 。+ f 1 ( ( x ，f ) ) 。岳 “z ( x ，f ) 2 1 ( “t ( x ，f ) ) n + f 1 ( “( 圳) ) 2 乏 ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) ( 3 5 7 ) ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) ( 3 6 1 ) ( 3 6 2 ) ( 3 6 3 ) 则 坞( x ，f ) = 与1 ( ( 石，) ) 。+ f 1 ( “：嘞= 岳 ( x ，f ) = 与1 ( “，( x ，嘞。+ f 1 ( ”，( 石，嘞= 翕 ( 3 6 4 ) z z c ，c ，f ，= = s ；逾，c - ，- 翕- + 翕j 岳妄 c 3 6 5 ， 收敛到 以( x ，f ) = s i n x + c o s h x ( 3 6 6 ) 通过上述例子可知变分迭代法相比分裂法而言，求解过程和求解速度前者更 好，后续两章变分迭代法应用于抛物型方程反问题的时候，就不再用分裂法一一 对比求解了 1 9 第四章变分迭代法求解抛物型方程反问题 4 1 引言 考虑下述含有p ( f ) 和”( x ，f ) 的抛物型方程反问题 “f = “盯+ g “工+ p ( f ) “+ 厂( x ，f ) ，z ( o ，1 ) ，f ( o ，刀 ( 4 1 ) 初始边界条件为 “( 石，0 ) = g ( 功，x ( 0 ，1 ) ，f ( o ，z 】 ( 4 2 ) “( o ，f ) = 曩( f ) ，f ( o ，丁】 ( 4 3 ) “( 1 ，f ) = 吃( f ) ，f ( o 刀 ( 4 4 ) 附加条件为 ”( ，f ) = e ( f ) ，x 。( o ，1 ) ，f ( o ，丁】 ( 4 5 ) 其中f ) ，g ( z ) ，啊( f ) ，噍( f ) 和e ( ，) o 都是已知函数，g 为常数，石是( o ，1 ) 一个 定点，