三角函数最值问题

三角函数最值问题的若干讨论目 录摘要IIABSTRACTIII第一章 绪论11.1 三角函数的起源与发展11.2 三角函数的最值问题1第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧32.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题32.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题42.3 利用换元法解决最值问题72.4 利用数形结合解决最值问题112.5 利用不等式解决最值问题12第三章 三角函数最值的简单应用143.1 在数列中的简单应用143.2 在不等式中的简单应用153.3 在几何中的简单应用163.4 在复数中的简单应用17第四章 结论19参考文献20致谢21三角函数最值问题的若干讨论 学生： 指导教师：摘要 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一。解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用三角函数的最值来求解。由此看来，三角函数的最值问题具有一定的综合性和灵活性。本文将从具体的是实例出发，介绍并分析求解三角函数最值问题的几种基本方法和几种比较典型的解题方法，找出一般的解题方法和技巧；在介绍三角函数最值在数列、不等式等题型中的简单应用。 关键字：三角函数；最值；方法；技巧；应用TRIGONOMETRIC NUMBER OF DISCUSSIONS ONTHE QUESTION OF THE MOST VALUEStudent: teacher:ABSTRACT Trigonometry problem is the most value of trigonometric function that the basic knowledge of comprehensive application, In recent years the high exams often appears in, become a hot spot in the university entrance exam proposition, also the high school mathematics required courses in one of several major contents. To solve the most value of trigonometric function, not only can use ask basic trigonometric definition, monotony, parity, the periodicity, the boundedness and trigonometric functions image, and will use trigonometry multiple identical changes. Meanwhile, in the most value problem trigonometric function often involves elementary function, inequality equation, a few problems; how And in solving some problems such as sequence, inequality will also be by trigonometric function of most value to solve. Consequently, the most value problem trigonometric function has certain comprehensive and flexibility. This paper will start from the concrete examples, is introduced and analyzed the most value problem solving trigonometric functions of several basic method and several comparatively typical problem solving method, and find out the general problem solving methods and skills; In the introduction of the most value in the sequence of trigonometric function and inequality in regearching into simple application.Key words: trigonometric function, optimum value, method, technique, adhibition20第一章 绪论1.1 三角函数的起源与发展三角学的概念起源甚早，在古文献莱因德纸草书出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念，来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。至公元前150年至100年间，希腊人热衷天文学，开始研究三角学，于是三角学渐渐有了雏形。后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当成研究天文学的利器。长久以来，三角学就这样依附着天文学发展，直到十三世纪，才从天文学中脱离成一门独立的学科。十六世纪的欧洲，由于航海，历法计算的需要，更增加三角学的重要性。如今它不但应用于天文、地理、航海、航空、建筑、工程、体育等的一门基础学问，甚至在我们日常生活中，也成为不可欠缺的知识。 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。 在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。 三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中的和可由毕氏定理给出它的定义：若一个直角三角形，它的一个锐角角度为，因此得到正弦函数和余弦函数的定义。1.2 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点。其出现的形式，或者是在小题中单纯的考察三角函数的值域问题，或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一，或者在解决某问题时，应用三角函数的有界性会使问题更易于解决。在三角函数最值问题中，不仅仅会考查到三角函数的定义、基本性质、函数图像，它可能会牵涉到数列、几何、方程等高中其他章节的知识。因此，三角函数的最值问题也成为高中必修课中几大内容之一。由于，三角函数的最值问题变化性强、综合性高，学生在解有关三角函数最值问题的题目时，常常出现思路模糊，难以抓住问题的中心导致不能找到适合题目问题的解题方法。本文将针对历年高考中出现的关于三角函数最值的各类问题进行探讨，寻找解决该类题型的基本思路、技巧和方法。查阅三角函数最值问题的相关书籍与1995年到2010年的高考试题，不难发现：三角函数最值问题的出现形式变化多，有时以小题单独考查，有时结合三角函数的其他基本知识综合考查，甚至出现在数列、几何、不等式等大题之中。虽然，三角函数最值问题的题型多而杂，但是我们可以根据解决不同最值问题的方法将其进行归纳汇总。本文中归纳和总结了多种方法技巧，如用三角函数的基本性质解决最值问题、用转化思想与换元思想如何将复杂的三角函数化为较简单的函数来解决最值问题、以及如何利用数形结合或不等式解决三角函数最值问题的。我们在解题的基础上加以分析与点评，使方法技巧更加易懂与迁移。在归纳总结的基础上，本文将简要的介绍三角函数最值在数列、几何、不等式、复数等中的应用。第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题对于一些比较简单的纯粹求三角函数最值的问题，我们可以直接利用三角函数的定义、基本性质和一般三角函数的图像求解最值。(1)、应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律求解问题。三角函数值在四个象限中的符号规律如下：当角在第一象限时： 正， 正， 正， 正；当角在第二象限时： 正， 负， 负， 负；当角在第三象限时： 负， 负， 正， 正；当角在第四象限时： 负， 正， 负， 负.例1 函数的值域是（ ）。A. -2，4 B. -2，0，4 C. -2，0，2，4 D. -4，-2，0，4 分析：由三角函数值在四个象限中的符号规律不难看出，解决这种题型是应当注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。解：当在第一象限时，函数值；当在第二象限时，函数值；当在第三象限时，函数值；当在第四象限时，函数值.所以，函数的值域为 -2，0，4 .选B.(2)、直接应用三角函数的有界性确定最值，就是利用我们所熟悉的三角函数（如，）的有界性帮助我们解决形如函数求与最值相关的问题。例2 设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ）（A） （B） （C） （D） 解析：首先，由于函数的有界性清楚的知道其最大值和最小值分别是1，-1；从而，函数的最大值和最小值分别是，；所以，得到函数的最大值，最小值.因此，得到，即选D.2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题转化（或化归）思想是在解决三角函数最值问题时最常用的方法或技巧，它能很有效的将一些复杂的问题简单化。在中学数学中，转化思想有三种常见的形式：（）化大为小，化繁为简；（）等价转化思想；（）不等价的转化思想。同时，在转化中有几种常用的方法：（）分类讨论的方法；（）极端化的方法；（）特殊与一般互相转化的方法；（）分解与分组的方法；（）关系映射反演原则；（）构造模型与变换的方法。在三角函数最值问题中的转化常常会用到配方法、换元法、三角恒等变化等等。在解决有， ， ，等高次函数问题时，需要先降次，再进行转化。对于分数形式的三角函数也要进行一定的转化，将其化简后再求其最值。（1）、化成的形式例3 求函数，的最大和最小值。分析：根据将原函数解析式转化为只含正弦函数符号的函数式，然后运用正弦函数在某区间的单调性，求得原函数的最值。解：由，得 ，即 又由正弦函数的单调性可知： 在上单调递增故有所以，注意： 此类问题注意函数用定义域求解的范围，在利用所在区间及其函数所具的单调性求解值域。例4 在直角三角形中，两锐角和，求的最大值.分析：在直角三角形中就满足，就可将、两个角中的一个角换成另外一个角，再运用三角公式 （1-1）将其转化即可。解：在直角三角形中，有，那么由，得.则当时，有最大值.例5 求函数在上的最大值和最小值.分析：利用公式 （1-2） （1-3） （1-4）将函数式化大为小，化繁为简.解：将函数化简由，得，那么 得则当时，；当时，.点评：这类题目解决的思路是把问题划归为的形式，一般而言，.但若附加了的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决.（2）、形如与的形式例6 求函数的最大值和最小值.分析：函数式为分数形式，转化为以函数 为主元的不等式，在利用正（余）弦函数的有界性。解：由已知得，即那么，得 （其中角的正切值）所以，因为，因而有将其化简得到解得因此，.此种题型还可以用圆的参数方程和斜率公式求解，我们将在本章第四节讲解。例7 求函数的最大值和最小值.分析：本题与例6很相似，都要利用正（余）弦函数的有界性；但又有不同，这种题型需要用配方法将函数式转化后在解题。解：由，得那么，即故，.点评：此题型是利用了分离分母的方法求解。若用例7的解法同样可求。2.3 利用换元法解决最值问题对于一些比较复杂的复合三角函数，直接运用三角公式转化比较困难。针对题型结构特点，可以通过变量替换，将原来的三角问题转化为代数问题。这样就将比较复杂的函数转化为更容易求最值的代数函数求解。利用建立与之间的关系，通过换元将原函数转化。但是，在换元过程中一定要注意新变量的取值范围与原函数定义域的关系。例8 求函数的最大值和最小值。分析：利用建立与之间的关系。解：设，则那么 .由于，故当时，；当时，.注意：本例也可以直接进行化归，即直接将用代替，然而会使函数式显得很繁琐，在化简、计算过程中易出现错误。用换元法可以将过程简化，保证计算的正确率。例9 已知，求的值域。分析：此类题通常已知量和未知量没有直接联系，把待求式视为一个整体进行变量替换。设，沟通与已知量关系，变成新的式子求值。解：设，将已知式与待求式两边平方得： 将+得： ，即：因为，所以解之得所以通过引入参变量调节命题结构，等价化归把问题转化为对参变量的讨论，简化原函数式从而求解。例10 若，求函数的最小值。分析：不能直接去括号化简，利用万能公式 （1-5） （1-6）将原函数式化简，通过用新变量对原函数求最小值。解：令，则，所以 化简得 ，即 当时，由，得，即解不等式得 或 当时，由于，有故 .例11 求函数的最大值与最小值。分析：通过引入参数,，使原函数式由繁化简，等价化归为对参变量和的讨论求得最值。解：设，由，得因为，所以于是有因为，所以所以函数的最大值为，最小值为.换元法对解决形如的三角函数最值问题也是有效方法。例12 已知，求：的最小值。分析：如果直接利用均值不等式，似有，即有，但是其条件即是无解的。可以用换元法，设，就转化为求函数的最小值。解：设，当时，有，原函数转化为：， 可以证明，函数为减函数：设，有就证得时减函数故，在，即时，得.点评：在求得后，联想均值不等式有.2.4 利用数形结合解决最值问题对于形如的函数可以利用圆的参数方程和斜率公式进行数形结合求解最值问题。例13 求函数的最值。分析：易联想到圆的参数方程，（为参数）。那么，可以利用单位圆来求解最值。解：原函数可以变形为图这可看作过点和的直线的斜率.而点是单位圆上的动点.由图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，.数形结合在解决一些含有待定系数的三角函数最值问题中也是十分有效的方法。例14 函数的最值。分析：函数的解析式可以变换成关于的二次函数，定义域为，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置，才能确定其最值。解：设，则.1图并且（）当时，如图所示，有1图（）当时，如图所示，有为和中的较大者，即1图（）当时，如图所示，有2.5 利用不等式解决最值问题对于一些满足均值不等式特征结构的三角函数，可以运用均值不等式来解决此种类型的三角函数最值问题。均值不等式的一般形式： （1-7）（其中为正数，）在运用均值不等式时，必须注意函数式中各项的正负，需要各项满足正值时方可使用，在解题时应加以论述说明；然后应该注意不等式中等号成立的条件，以及不等式中和的最值与积的最值。例15 求函数的最值。分析：利用 （1-8） （1-9）将原函数式转化为含有与的函数式，由于，都为正则可以用均值不等式求解。解：故有最小值，无最大值.例16 已知，其中,为锐角，求的最大值。分析：由于,为锐角，即、，故利用三角公式沟通、 的关系，并构造为和的形式，运用均值不等式求解。解：由得又由 所以 即 ，有则当即 时，等号才成立.故有的 最大值为.例17 若，求的最大值。解：由 因此有即 由可以解得 故函数有最大值.点评：其中将看作、三项的乘积，根据公式得到 .第三章 三角函数最值的简单应用由于三角函数的特殊性质，使其在数列、不等式、几何、复数等方面有较大的应用。下面我们对三角函数最值在这几个板块中的简单应用。3.1 在数列中的简单应用例18 已知数列满足，（1）求通项；（2）证明是递增有界数列。分析：数列可看作时特殊的函数，函数思想来分析研究数列问题，可加深对数列的理解。注意到，可得，引入三角函数可化为函数问题求解。解：（1）原递推式可化为，用数学归纳法可证明.构造函数则因此 ，而，即所以 ，即.（2）因为在内是减函数，而那么 ，即又 所以是递增有界数列.3.2 在不等式中的简单应用例19 （1）已知：，且，求证：.（2）已知，求证：.（3）已知，求证：.证明（1）由，可设，其中.于是 因为，就有（2）由，可设，其中.于是 （3）设，其中，于是因为故 即 .3.3 在几何中的简单应用例20 已知圆，为圆上任意一点.（1）求的最值.（2）求的最值.分析：可以对圆方程进行三角代换（即圆的参数方程），将问题转化为三角函数的最值问题.解：由.可设， 即 （1）设，将式代入，得 变形得： 即 其中，由，得 . 故 化简得：解得：故得最大值为，最小值为.（2）设，将代入，得： ，其中，由， 得：故的最大值为，最小值为.3.4 在复数中的简单应用例21 复平面上点，对应的复数分别为，点对应的复数为，的辐角主值为，当点在以原点为圆心，为半径的上半圆周（不包括两端点）上运动时，求的最小值.分析：为了求的最小值，必须设法找一个变元，把表示为这个变元的函数，并求出函数的最小值.解：设，则，.图令，由图知，且.因为 ，所以令，则 .再令，则，有.当时，取得最小值.由于在内是增函数，又时，故在内的某点处取得最小值时，在该点处也取得最小