（车辆工程专业论文）半挂油罐车结构有限元分析及半挂车车架优化设计.pdf

半挂油罐车结构有限元分析及半挂车车架优化设计 摘要 随着科学技术的发展，人们对整车性能的要求越来越高在市场竞争日益 激烈的情况下，采用新技术、新方法已成为提高产品竞争力的主要途径。虚拟 样机技术集建模、仿真、优化等于一体，可以缩短产品开发周期、降低开发成 本、提高产品质量，从而达到提高产品竞争力的目的 随着计算机的广泛应用，有限元法的研究和应用在我国得到迅猛的发展， a n s y s 软件是一个功能强大的结构分析和结构优化软件包其功能除结构分析 以外，还包括热分析、电磁分析、流体分析、藕合场分析多物理场等其中结 构分析可确定结构的变形、应变、应力等 车架是一辆车的关键部件，车架的自主开发技术水平直接影响该车整车的 自主开发水平耳前，在汽车车架的开发设计阶段，也同样由于缺乏必要动态 试验设备和完善的试验方法，对车架在各种加载工况和路面条件下的可靠性不 能进行有效、准确的计算与分析。 本文针对瑞江半挂油罐及低平板半挂车，利用三维软件u g 建立了半挂油罐 车及低平板半挂车的板壳模型，导入有限元软件a n s y s 进行预处理，对所建半 挂油罐车的进行强度，找出强度不足之处，提出改进方案，并借助于该软件求 出罐车模型的固有频率和振型，并对车架的动态特性做了评估；同时基于 a n s y s 对低平板半挂车进行强度分析及优化设计，从而为提高车架的正向开发 速度与质量提供了理论依据。 关键词：半挂油罐车有限元分析模态分析固有频率拓扑优化 f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sf o rs e m i - t r a i l e ro i l - t r u c ka n d o p t i m i z a t i o nd e s i g no ft h es e m i - t r a i l e r f r a m es t r u c t u r e a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , p e o p l eh a v eah i g h e ra n d h i g h 盯r e q u e s tt ot h ee n t i r ev e h i c l ep e r f o r m a n c e 髓a , ei n t e n s i v eo o m p e t i t i o nm a r k e t , u s i n gd e wt e c h n o l o g y , n o w m e t h o dh a sb e c o m et h em a i nw a yt oe 1 1 l i a n c et h ep r o d u c t c o m p e t i t i v ea b i l i t y t h eh y p o t h e s i z e dp r o t o t y p i e a lt e c h n o l o g yo w i 3 sm o d e l i n g , s i m u l a t i o na n do p t i m i z a t i o na b i l i t ya tt h e8 a l n et i m e , w h i c hw i l lr e d u c et h ep r o d u c t d e v e l o p m e n tc y c l e , r e d u c et h ed e v e l o p m e n tc o s t , i m p r o v et h ep r o d u c tq u a f f t y , t h u s a c h i e v et h eg o a lt oo n h a l l e et h ep r o d u c tc o m p e t i t i v ea b i l i t y a l o n gw i t hc o m p u t e rw i d e s p r e a da p p l i c a t i o n , t h er e s e a r c ha n dt h ea p p l i c a t i o n o ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sh a sd e v e l o p e df a s ti no u rc 0 1 n 1 1 y , a n s y si saf u n c t i o n f o r m i d a b l es t r u c t u r ea n a l y s i sa n dt h e 酬玎k ：t i l o p t i m i z a t i o ns o f t w a r e i t sf u n c t i o n b e s i d e ss t r u c t u r e a n a l y s i s ，b u t a l s oi n c l u d e st h et h e r m a l a n a l y s i s ，t h e e l e c l v 3 m a g n e t i s ma n a l y s i s ，t h ef l u i da n a l y s i s ，t h ep a l ep i n k i s hp u r p l ef i e l da n a l y s i s m u l t i - p h y s i c sf i e l da n ds oo i l s t r u c t u r ea n a l y s i s m a yd e t e r m i n et h e s 1 工u c t i 】r e d i s t o r t i o n , t h es t r a i l l ，t h es 血 e s sa n d s oo n t h ef i a m ei sak e yc o m p o n e n to ft h ev e h i c l e , t h ef i - a l n ei n d e p e n d e n td e v e l o p t e c h n i q u el e v e ld i r e c t l ye f f e c t s t h ev e h i c l ei n d e p e n d e n td e v e l o p m e n tl e v e l a t p r e s e n t , i na u t o m o b i l ef r a m ed e v e l o p m e n td e s i g ns t a g e ，a l s os i m i l a r l yb e c a u s el a c k s t h ee s s e n t i a ld y n a m i ct e s te q u i p m e n ta n dt h ec o n s u m m a t i o nt e s t i n gm e t h o d ，c a n n o t c a r r y0 1 1e f f e c t i v ea n da c c u r a t ec o m p u t a t i o na n dt h ea n a l y s i st ot h ef r a m e u n d e re a c h k i n do p e r a t i n gm o d e l sa n dt h er o a df r l l - f a o ec o n d i t i o nr e l i a b i l i t y t h i sa r t i c l ea i m e da tt h es e m i - t r a i l e ro i l - t r u c ka n dt h el o wp l a t es e m i - t r a i l e ro f r u i j i a n gc o m p a n y ，w ee s t a b l i s h e dt h es h e l lm o d e l so ft h eo i lt r u c ka n dt h el o wp l a t e s e m i - w a i l e rw i t ht h et h r e ed i m e n s i o n a ls o f t w a r eu g 。t h e ni m p o r t e dt h es h e nm o d e l s i n t ot h ef i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y st oc a r r yo np l e p r o c 嘲t ot h em o d e l s ， c a r r i e do nt h ei n t e n s i t ya n a l y s i st ot h e s e m i - t r a i l e ro i lt r u c k ，d i s c o v e r e dt h e i n t e n s i t yd e f i c i e n c yp o s i t i o n , a n dp r o p o s e di m p r o v e m e n tp r o g r a m , t h ep a p e ra l s o c a r l y0 1 1m o d ea n a l y s i st ot h eo i lt r u c k 触m ca n de x w a c t e di l a t u r a lf r e q u e n c ya n d v i b r a t i n gf o r mo ft h em o d e l ，a n da l s om a d et h ea p p r a i s a lt ot h ef i a m ed y n a m i c c h a r a e t c r i s t i c ；m e a n w h i l ec a r r i e so nt h ei n t e n s i t ya n a l y s i sa n dt h eo p t i m i z a t i o n d e s i g nb a s e do l la n s y st ot h el o wp l a t es e m i - t r a i l e r , t h u se n h a n c e st h ed e v e l o p i n g s p e e da n dt h eq u a l i t yo f t h ef l - a n l e k e yw o r d s ：s e m i - w a i l e ro i l 订珊c l 【：f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ；m o d ea n a l y s i s ；n a t u r a l 图2 1 图2 2 图2 - 3 图2 - 4 图2 - 5 图3 1 图3 - 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 - 6 图3 7 图3 8 图3 - 9 图3 1 0 图3 1 1 图3 1 2 图3 1 3 图3 1 4 图3 1 5 图3 1 6 图3 1 7 图3 1 8 图3 1 9 图3 2 0 图3 - 2 l 图3 2 2 图3 - 2 3 图3 2 4 图5 1 图5 2 图5 3 图5 - 4 图5 5 图5 - 6 插图清单 平面梁单元简图。5 梁单元平面弯曲简图6 三角形单元简图8 薄板微矩形变形示意图1 4 单元位移、节点力示意图1 6 罐车的结构图。 车架与油罐的装配模型图2 l s h e l l 6 3 单元的模型 模型的网格图 原结构牵引销处应力云图。2 3 原模型靠近防浪板处横梁和纵梁接合处应力放大图2 4 原结构的变形云图2 4 改进后的整体应力2 5 改进后的局部应力放大图 改进后的整体变形 改进后的局部变形放大图2 6 扭转应力云图。 扭转时最大应力放大图2 6 扭转时变形云图2 7 扭转时最大变形放大图 罐体的应力云图2 7 罐体的变形云图2 7 经简化后的模型图2 8 优化后的整体应力云图 最大应力点放大图2 9 整体变形云图2 9 局部最大变形点放大云图。 轻量化后扭转工况应力图 轻量化后扭转工况变形图3 0 梁的优化设计示例4 1 a n s y s 优化设计步骤 低平板半挂车车架布置图 方案一的变形云图4 8 方案一的应力云图 方案二的变形云图4 9 图5 7 图5 8 图5 - 9 图5 1 0 图5 1 1 图5 1 2 图5 1 3 图5 1 4 图5 1 5 方案二的应力云图4 9 方案三的变形云图4 9 方案三的应力云图4 9 方案四的变形云图5 0 方案四的应力云图 拓扑优化的对称模型图。 5 0 拓扑优化结构的网格图5 3 拓扑优化结果的密度图5 4 拓扑优化迭代次数与体积减少的函数图5 4 表格清单 表3 1 模型结构主要参数列表。2 2 表3 - 2 应力最大点及应力值2 3 表3 - 3 最大变形点及变形值。 表3 4 改进后最大变形点及变形值2 5 表3 5 改进后的最大应力值2 5 表3 - 6 材料节省情况清单3 1 表4 1 整车的各阶固有频率及振型特点3 8 表5 1 优化前后梁的厚度、目标函数、约束函数值4 7 表5 - 2 优化前后梁的截面宽度、目标函数、约束函数值 4 8 表5 - 3 优化前后梁的截面高度、目标函数、约束函数值4 9 表5 4 优化前后梁的截面宽度、高度、厚度和数置值 及目标函数、约束函数值5 0 表5 5 优化前后车架的总质量及其下降率5 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得 金蟹王些盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 咎，j 巾 签字日期痧叼年莎月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒目王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权盒胆王些 煺可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：犀，7 谛 签字日期：庐力年多月占日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：h 司年6 月 电话： 邮编： 寻丁 妇 致谢 本研究及学位论文是在我的导师钱立军教授的亲切关怀和悉心指导下完成 的他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染 和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，钱老师都始终给予我细心的指 导和不懈的支持两年多来，钱教授不仅在学业上给我以精心指导，同时还在 思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向钱老师致以诚挚的谢意和崇高 的敬意。 特别感谢芜湖瑞江汽车有限公司总经理王柱江对本课题的大力支持l 在此，我还要感谢在一起愉快的度过研究生生活的格物楼4 1 7 各位同们， 正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的 顺利完成 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利 完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚 挚的谢意! 作者：朱帅 2 0 0 7 年5 月 第一章绪论 1 1 关于强度计算方法的概述与发展 机械强度理论是进行机械产品设计、提高机械产品及其主要零部件的工作 效能、使用效能、使用寿命和可靠性的一项重要的基础技术许多工程分析问 题，如固体力学中的位移场和应力场问题，电磁学中的电磁场分析、振动特性 分析，传热学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等等，都可以归结为在 给定边界条件下，求其控制方程( 常微分方程或偏微分方程) 的问题，求解后 可为机械产品提供合理选材的指导准则和设计依据。因此，它是从根本上提高 机械产品质量水平的重要手段现代机械产品继续向大容量、高参数、高性能 方向发展，对产品的质量、寿命和可靠性的要求越来越高。随着机械产品功率 的提高，产品的零件尺寸和重量也相应地增加，几何形状也越来越复杂。能用 解析方法求出精确解的只是方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问 题。对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状较复杂，或者问题的某 些特征是非线性的，则很少有解析解。传统的方法是引入简化假设，将边界条 件和控制方程简化为能够处理的问题，从而得到它的简化状态解。这种方法在 有限的情况下是可行的。因为，过多的简化将可能导致不精确甚至是错误的解。 为取得满意的结果，人们在广泛吸收现代数学、力学理论的基础上，借助现代 科学技术的产物计算机，来获得满足工程要求的数值解，即数值模拟技术 同样，现代汽车通过采用各种措施不断追求更高的经济指标和动力指标及 舒适性指标，相应地会导致车架的机械负荷不断增加，形状越来越复杂。因此， 对车架强度及刚度的计算，要得到精确的解析解也是不可能的通过传统的简 化方法，也将导致不精确甚至是错误的解。为获得满足工程要求的数值解，我 们也必须运用现代数值模拟技术。数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重 要推动力之一 1 2 工程数值模拟技术和有限元法综述 目前，在工程技术领域常用的数值模拟方法有：边界元法、有限单元法、 有限差分法和离散单元法等但就其实用性和应用的广泛性而言，主要还是有 限单元法。有限单元法的基本思想早在4 0 年代初期就有人提出，但真正用于工 程中则是在2 0 世纪中叶电子计算机出现之后它是计算数学、计算力学和计算 工程科学领域里诞生的一种最有效的计算方法之一。“有限元法”这一名称是 1 9 6 0 年美国的克拉夫( c l o u g h w ) 在一篇题为“平面应力分析的有限单元法” 论文中首先使用的。 用有限元法进行结果分析的思想是；将一个连续的弹性体进行离散化，分 割成彼此用节点连接的有限个单元，然后对单元进行分析，用节点位移来表示 结构的变形，再建立整个结构总位能关于结构位移的表达式。根据变分原理， 可以得到一个以节点位移为未知数的大型线性方程组，然后用人们所熟知的消 元法或迭代法，即可求出各节点处的位移近似值。进一步可求出各节点的应力、 速度、加速度值这种先分后和，以有限个数的单元代替连续的弹性体的方法 就是有限元法的基本思想几十年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面闯 题扩展到空间问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力学问题和波动问 题，由固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。发展到今天，不仅 使各种不同的有限元方法形态相当丰富、理论基础相当完善，而且已经开发了 一批使用有效的通用和专用有限元软件使用这些软件已经成功解决了许多工 程领域的大型科学计算难题。例如，应用有限元法不但能解决工程中的结构分 析问题，也成功解决了传热学、流体动力学、电磁学和声学等领域的问题。有 限元计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据许多通用有限 元分析程序将有限元分析、计算机图形学与优化技术相结合形成完整的计算机 辅助分析系统。这些程序可以显著提高产品设计性能、缩短设计周期、增强产 品的市场竞争力。 很明显，数值模拟技术在工程中的广泛应用是通过上文提到的各种通用或 专用计算机程序来实现的。到8 0 年代初期，国际上较大型的面向工程的有限元 通用程序达到几百种，其中最著名的有：a n s y s 、n | a s l r a n 、a s k a 、a d i n a 、 s a p 等。它们多采用f o r t r a n 语言编写，规模达到几万条甚至几十万条语句， 其功能越来越完善，不仅包含多种程序下韵有限元分析程序，而且带有功能强 大的前、后处理程序以a n s y s 为代表的工程数值模拟软件，即有限元分析 软件，不断吸取计算方法和计算机技术的最新发展，将有限元分析、计算机图 形学和优化技术相结合，已成为解决现代工程学问题的必不可少的有力工具。 1 3 国内外研究现状 我国的汽车工业起步较晚，我国的专用汽车经过4 0 多年的发展哪，特别是 8 0 年代以来的发展，已具有相当规模和水平，成为我国汽车工业的重要组成部 分，我国专用汽车的生产始于6 0 年到初期，是在军用改装汽车的基础上逐步发 展起来的。随着国民经济的发展，我国专用汽车也得到飞速的发展，半挂车也 在国民经济的发展进程中，迅速发展，但是由于专用汽车的特点决定了其很难 规模化发展，大多都采用订单式的发展生产销售方式，这就使前期预算及科研 比较困难，但考虑到我国目前国情及各种体制政策，大规模的科研又很难实现， 因此我们有必要对其主要部件及整车进行强度分析模态分析等，为生产提供信 心，做到心中有数，因此在本文中对瑞江半挂油罐车进行强度及模态分析，找 出危险点并提出改进完善方案，对低平板半挂车车架进行优化设计，使材料的 应用达到更优化，在原结构的基础上，使结构更合理。 随着我国加入w t o ，知识产权将得到更有力的保护我国专用车行业要想 保住自己的市场份额，必须不断地快速开发出拥有自主产权的、质量过硬、造 2 型新颖且成本低廉的产品这就要求我们在专用车新产品的开发中，必须运用 计算机数值模拟技术。目前在汽车车架分析方面，国内有关厂家及院校进行了 车架有限元的初步分析计算 2 1 ，但大多选用了较简单的车架，且计算模型较粗 糙，如将整个车架用梁单元代替，忽略了加强筋板的作用，结果误差较大，实 用性不好，在本文中我们采用板壳单元进行建模 1 4 本文的研究内容 车架是整车的重要部件，在我们所选取的模型中，由于罐体及防浪板厚度 都有相关规定，因此在本文中我们主要是对车架的横梁纵梁及其之间的布置方 式进行仿真计算并在此基础上进行优化改进。不管是新车型的开发设计，还是 老车型较大的外观改进，都离不开车架的开发设计与改进。如何开发设计出等 强度车架，如何将车架的自振频率与常用车速避开，是目前机械工程师们亟待 解决的问题。如果在设计阶段就能比较准确地预测出某一型号汽车架的不同工 况下的危险截面，对其应力分布及其振动模态有比较清楚的了解，无疑会缩短 其开发设计的过程，产生巨大的社会效益和经济效益本文在参考前人研究成 果的基础上，结合工厂实际情况，拟用a n s y s 有限元分析软件，对瑞江半挂油 罐车车架与罐体装配体进行强度及振动模态进行分析，找出影响强度及剐度的 因素，进而寻找改进车架强度和刚度的方法；同时对瑞江低平板半挂车车架建 模并作优化设计及拓扑优化。主要内容有： l 针对本文所应用的板壳问题的有限元分析方法，结合弹塑性理论对有限 元理论进行阐述分析。 2 、参照瑞江半挂油罐车车架及罐体的设计图纸，在三维软件( u g ) 中建 立其板壳模型，在a n s y s 应用中，对其进行操作中的o v e r l a p 和g l u e 处理得到可 行的预处理模型，并在此基础上对其进行划分网格，施加合适的约束及加载， 得到半挂车的有限元计算模型。利用这一模型可直接计算该车架的应力分布及 应变分布云图。 3 、根据半挂油罐车的有限元模型进行不同工况下的应力分析对每个工况， 求出车架的危险面及最大应力，并提出改进方案，并对改进后的模型进行仿真 计算，达到优化设计改进的目的 4 对所建立的半挂油罐车模型进行模态分析，求出该模型的固有频率和振 型，并对该车型的动态性能做评估。 5 基于a n s y s 的优化模块对低平板半挂车车架进行了优化【3 】，同时利用 a n s y s 中的拓扑优化模块对该车架进行结构拓扑优化初步研究。 3 第二章有限单元法的基本原理 2 1 有限单元法的基本概念1 5 1 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方 法它是五十年代首先在连续体力学领域飞机结构静、动态特性分析中应 用起来的一种有效的数值计算方法有限元法分析计算的思路和作法可归结如 下： 1 物体离散化 将某个工程结构离散为由各单元组成的计算模型。离散后单元与单元之间 利用单元的节点相互连接起来：单元节点的设置、性质、数目等应根据问题的 性质，描述变形形态的需要和计算精度而定一般情况，单元划分越细，则描 述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大 2 单元特性分析 1 ) 选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知置时称为位移法；取一部分 节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法；选择节点力作为基本 未知量对称为力法位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中应用 最广。 当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可以把单元中的一些物理量 如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用 一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，我们就将位移表示为坐标变量 的简单函数这种函数称为位移模式或位移函数，如q 其中a ；是待定系数， 百 甲，是与坐标有关的某种函数 2 ) 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单 元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹 性力学中的几何方程和物理方程来建立节点力和节点位移的关系式，从而导出 单元刚度矩阵 3 ) 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元但是， 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的因而， 这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去， 也就是用等效节点力来代替所有作用在单元上的力 3 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起 来，形成整体有限元方程 k q = f ( 2 - 1 ) 式中x 是整体结构的刚度矩阵；q 是节点位移列阵；f 是载荷列阵。 4 求未知节点位移解有限元方程式( 2 - 1 ) 得出节点位移 可以看出，有限元法的基本思想是“一分一和”，分是为了进行单元分析， 和则是为了对整体结构进行综合分析 2 2 结构静力学分析的有限单元法 6 1 2 2 1 单元特性的导出方法 进行有限元分析的基本步骤之一就是要找到所剖分的单元的刚度矩阵和质 量矩阵，一般来说，建立刚度阵的方法有：( 1 ) 直接方法；( 2 ) 虚功原理 法：( 3 ) 能量变分原理方法；( 4 ) 迦辽金法。 下面简述直接方法和虚功原理法的基本原理。 1 直接方法 直接方法是直接运用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的 一种方法这种方法仅能用于简单形状的单元，如梁单元但它可以帮助理解 有限元法的物理概念 图2 1 中( a ) 所示是x o y 平面中的平面刚架简图，考虑单元特性，暂不记轴向 位移，可视为简支梁，e i 为梁的抗弯刚度，a 为截面面积。现在以它为例用直 接方法建立单元的刚度矩阵 ( q )( b ) 圈2 - 1 平面粱单元简图 梁在横向外载荷( 可以是集中力或力矩或分布载荷等) 作用下产生弯曲变形。 对于平面弯曲问题，每个点( 包括支撑点) 处的位移有两个，即挠度和转角； 相应地也有两个节点力，即与挠度对应的剪力和转角对应的弯矩。我们规定挠 度和剪力向上为正，转角和弯矩逆时针方向为正。 如图2 1 中( b ) 所示，当令左支承点为节点i ，右支承点为节点j 时，则节点位 移和节点力可以分别写成 v i 0 a ，v , ，0 t 莉? h ，md ，f 日，m 日。 也可写成矩阵形式 5 q = 【v j 0 _ ，v j ，e # r 式( 2 2 ) 称为单元的节点位移列阵 ，- 【f 一，md ，f 一，可】1 式( 2 3 ) 称为单元的节点力列阵。 显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小位移范围内， 线形的，可用下式表示： 巳 m d 易 m 日 墨，墨 k n k m x n x h x n k h v j e v j 岛 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 这种联系是 或，咕kq(2-4) 方程( 2 4 ) 代表了单元的节点力和节点位移之间( 或力和变形之间) 的关系 式中置称为单元刚度阵，它是单元的特性阵从而可以得出这样的物理概念， 即单元刚度矩阵中任一元素k 。表莉号自由度对i 号节点力( 或矩) 的贡献。如 x 中第一列各元素就分别代表：当第i 个自由度方向产生单位位移时( y ，= 1 ) ， 它对各位移( 包括i ，) 方向上引起节点力( 或矩) f ，l ，md ，f 一，m 。的贡献。由功的互等定理有k 。= k 。，所以单元刚度矩阵是对称的。对于图2 - 2 所示的梁单元平面弯曲问题，可以计算出各系数k 。的数值。 n 2 7 一 r 州 h 函 h z k 、 y ! 。 图2 - 2 粱单元平面弯曲简图 例如，若设v j = 1 ，钆= v 卸对= o ( 如图2 2 所示) ，由悬臂梁的变形公式得 挠度 ，；西f y l l 2 一面m a l 2 ( 2 - 5 ) 转角岛= 1 - f 矿, i 1 2 + 百m j ( 2 6 ) 6 可解得f ，1 2 ，e ，i ，= k l l ，m 。6 f e 。i _ k 2 l 再从平衡条件巳= 一，_ ，膨i2 乃i - m a 得f ，1 2 ，e ，i - k ，l ，m ，_ _ _ 6 f e 。i - k 1 同理，若再假 殳o d ：l ，y ，叫，：o , j 卸( 如图2 2 所示) 由悬臂梁的变形 边界条件可得 k 1 2 = 丁6 e i ，k 。= 半，k 豫= 丁- 6 e l ，k 。2 丁2 e l 类似地，还可求出 k 1 3 ：丁- 1 2 e i = 等 = 等 = 等 k ，_ 6 f e 。i ，k k 2 = 丁2 e i ，k ，= 丁- 6 e i ，k “= 丁4 e i 所以 r1 2 胎等e 【6 1 6 1 1 2 6 1 4 1 2 6 l 2 2 l 一6 1 1 2 6 1 i 型2 一酣郇2j 再考虑单元的梁端轴向位移和梁端轴向力关系 f 。= 孚嘶一孚即f 可= 孚+ 孚“， j t 祥r = f bf d m df qf 镕m y g = b fq 巳“，唧巳j 1 平面梁单元的刚度矩阵或单元特性矩阵为 口口口口口口口口口口口口口 口k 咭 o0 1 2 e ， j 3 6 e r z 2 0 1 2 e r j 3 6 e i 6 e l j 2 4 e l ， o 6 e i j 2 2 尉 ， 7 oo 1 2 正z6 e 1 1 2 6 e 2 日 ，2 z 0 0 1 2 e ， j 2 6 e i ，2 6 e i 1 2 4 e i ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 一1 0 ) 以一，o o尉一，o o 以一，o o泓一，o o 2 虚功原理法 以平面问题中的三角形单元为例，说明其使用方法步骤 1 ) 设定位移函数 设三节点三角形内单元的位移函数为：d ( x ，y ) = 【u ( x ，y ) v ( x ，y ) 】7 ，它是未知的。 当单元很小时，单元内一点的位移可以通过节点的位移插值来表示对图2 3 所 示的三角形，可假设单元内位移函数为】，y 的线性函数，即 u 伍诊= a l + a 2 x + a ，y v ( x ，y ) = a + a 5 x + a 6 y 或写成矩阵形式 扣豳_ ： 工y00 oo1工 图2 - 3 三角形单元简图 j ( x j yj ) ( 2 一1 1 ) u ( x ，y ) ，v ( x ，y ) 既然是单元内某点的位移表达式，当然单元的三个节点i ，j ，k 上的位移函数也可以用它来表示，所以有 却，；4 l + 口2 葺+ a 3 y l u j 2 n 、+ a l xj + o ，y j 甜t 譬q + 口2 & + 4 ，儿 写成矩阵形式为 2 以+ 吒而+ a 6 y l 2 a 44 - a s x + a 6 y 1 v i = 4 + 口5 以+ a 6 y k 8 口口口口口q = 1 毛y t 00 0 000 1 而y ll i 口2 1 _ y jo ook ooo 1 y jh 1 以y k 000l i 毛 000 1 黾儿j l = c a ( 2 1 2 ) 为了能用单元节点位移g 表示单元内某点位移d ，即把d ( x ，y ) 表达成节点位移插 值函数的形式，应从式( 2 1 2 ) 中解s a = c - 1 q 可求出 c - i = 上 2 彳 a l 0 4 j b t 0 b i c l 0c j 0 q 0 0 岛0 0 q 0 式中a 是三角形面积 2 a x iy i x | i 以y k 0吼0 0 6 t 0 0 c 1 0 口，0 吼 屯0b k c j 0 c t = ( x j 一而) o ，i y j ) 一( 屯一x j ) ( y j 一乃) 为不使a 为负值，上图中i ，j ，k 的顺序必须按逆时针方向标注。 把a = c 。1 q 代入式( 2 1 1 ) 中，得 阡却：； 0 a ， 0 q 0 c j a 1 0 岛0 q 0 0 0 i lq 0 玩oj iu o q o 忙 口，0 吼f i 巧 l o b kik 勺0 气儿 ( 2 1 3 ) 相乘后得 u ( x ，y 户击 ( q + 岛工+ q ) ，弦，+ ( 口j + _ x + e j y ) u j + q 。+ 钆z + q j ，。】 v ( x ，y ) = 击【( 口，+ 岛工+ c ，力m + ，( 4 + 。x + 勺y ) _ + 。+ 6 i z + q y ) 】 或写成u ( x ，y 户甜，+ ，“+ i “ n 讧，了户n l v i + n j v i + nk vk 可简写为 d 早n q 9 ( 2 1 4 ) 嘶叶叶y叱唯 式中n = j 爱名i 爱 此式即为单元内的某点的位移用节点位移插值表示的多项式称n 为形状 函数，其中 n j = 0 i + b ，x + c t y ) 2 a n n r 2 ) 由位移函数求应变 由弹性力学知毛= 薏 h 弘忖 或写成 式中l 3 ) 根据 = 0 + b j x + c ，力1 2 a - - - ( a x4 - b i x + c i n l 2 a 】卜 弘寺i o b f ，2 毒，以= 考+ 老可得 镩乱帕群麓b t u ，+ b j 鞴u j + b k u km 孙乱帕群麓鞴m a ya ，j 对于平面问题，有 仃= kq j 7 = d 6 = d b q 其中的。，对平面应力问题为。i = 1 0 - b q ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 丸一丸乱一以a叫a 屯一b 晰竹即以以n rnnl o 气以o 吒 o 勺屯 b o 勺 0 q 岛 鞫 1 o l p o 4 ) 由虚功原理求单元的刚度矩阵 根据虚功原理，当结构受载荷作用于平衡状态时，在任意给出的节点虚位 移下，外力( 节点力)f 及内力。所做的虚功之和应等于零，即 b w r + o t t 7 = o ( 2 - - 1 7 ) 现给单元节点以任意虚位移8 q ： 句= b ；魔。国，川国。机j r 则单元内各点将产生相应的虚位移6 ，6 v 和虚应变6 ，西，a t ，它们都 为坐标x ，y 的函数可分别求得 口阡 出= b 国 求单元节点力的虚功： o w f = 8 u i f 畦七6 、 t f 一+ & lj f 畸+ 函i f 晤+ & t f x k + a t f 讳 或矾= 国一厂。 内力虚功为： 万= 一j r ( 甄吒+ 西，巳+ 西勺) d 矿 式中v 一单元体积。 上式写成矩阵形式为 j 形：= 一j r 昆7 0 d v = 一j r 国，口7 d b q d v = 一国7 rb 7 d b d v q 将内外力的功代入虚功方程，可得 盯f e = 砰i y b t d b d v q e 式中6 qr 是任意的，可消去，得 ，= j p b 7 d b d v q = k q ( 2 - 1 8 ) 式中k = j ，b 7 d b d v 把b 、d 代入式( 2 - - 1 8 ) 可得平面应力问题的三角形单元刚度矩阵为 k 匿鞫 口= l 砀砀如i 攀hx qk h = 去e 誊 ( 2 1 9 ) 毕毕 咖 式中t 为单元厚度 3 位移函数 从前面的叙述可以看出，在单元特性分析时常需设定位移函数。在有限元 法中，一般设定位移函数是多项式的形式) ，= 4 ，昕( 其中a i 是待定系数) ， “i 并用它近似的描述实际的位移变化规律。至于在符合要求的条件下如何选择不 周形式的函数，可以通过计算进行比较，以便确定一种较为理想的函数 从数学意义上看，设定的位移函数，至少应具有分片连续的一阶导数，这 样才能使泛函积分有意义位移函数之所以设定为多项式主要是考虑这样会使 数学运算容易多项式可以是常数、线性函数或二次函数的形式选择多项式 的阶数应考虑几种因素，即完备性、协调性和对称性多项式项数应等于单元 的节点自由度数一般来说，用一个由低阶算起的完全的多项式就能保证完备 性。协调性则要求位移函数在单元内都是x ，y 的连续函数，而在相邻单元的交界 面上两单元间应有相同的位移对称性是指该多项式位移函数应当与局部坐标 系( 单元坐标系) 的方位无关，即几何各向同性也就是，位移函数的形式不 应随局部坐标的更换而改变例如对于二维问题可根据宝塔形的形式选择多项 式 若从物理、几何方面考虑，要求分区设定的位移函数在单元边界上能满足 变形协调条件，否则单元之间在变形后会重叠或裂开；在位移函数的设定中必 须至少满足单元的常应变要求；位移函数也应包含有代表刚体运动的项。 2 3 有限单元法的分析步骤1 1 1 有限单元法的分析步骤一般如下： 1 单元剖分和插值函数的确定 根据构件的几何性质、载荷情况及所要求的变形点，建立由各单元所组成的计 算模型再按单元性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数 u ( 】【y z ) v 瓯y ，z ) w y ，z ) 或d 弓s ( x ，y z ) a 利用节点处的边界条件，写出以a 表示的节点位移 q = khw i “2v 2 r 并写成g = c a 求c 1 及a = c q q ，并代入式( 2 一1 1 ) 。得 d = s c “q 刍q ( 2 2 0 ) 它是用节点位移表示的单元体内任意点位移的插值函数式。 2 单元特性分析 根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出应变为 e = b q ( 2 2 1 ) 式中b 是应变矩阵 由物理关系，得应变与应力的关系为 o=dz=dbq(2-22) 式中d 为弹性矩阵 由虚位移原理l 魔7 耐矿= 国，厂，可得单元节虑力与位移之间的关系为 ，= k 矿 ( 2 2 3 ) 式中，x 是单元特性，即刚度矩阵，并可写成 k = f ，口7 d b d p 3 单元组集 把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构， 与节点位移得到关系，即整体结构平衡方程组 f = k q 式中：k 为整体结构的刚度矩阵； f 为总的载荷列阵； 得到整体结构的节点力 ( 2 - 2 4 ) q 为整体结构所有节点的位移列阵 对结构静力分析，载荷列阵f 可包括 = l t 1 七f 。( 2 - - 2 5 ) 式中 = l n 7 p ，d r ( 体积力转移) ；l = l n 7 p ，凼( 表面力转移) ； ，l = n 7 p ( 集中力转移) 4 解有限元方程