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类卷积型积分微分方程组的初边值问题 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 本文研究下列初边值问题 姓名：林晓静 专业：基础数学 导师：崔尚斌教授 摘要 u t + 五五= ”， 盹= l - f ) p + 掣斗， ”k = o ，k = 0 ， “i t = o = “。( x ) ， l 仁。= 疏( x ) 这个问题描述的是材料力学中有记忆的相场方程。我们运用g a l e r k i n 方法结合先 验估计证明了在一定条件下，该问题整体解的存在唯一性。 关键词卷积型积分微分方程组初边值问题整体解 类卷积型积分微分方程组的初边值问题 i n i t i a ib o u n d a r yv a lu ep r o b l e m sf o ra c o n v o i u t i o n a li n t e g r o d i f f e r e n t i a ie q u a t i o n s m a j o r ： n a m e ： b a s i cm a t h e m a t i c s x i a o j i n gl i n s u p e r v i s o r ：s h a n g b i nc u i ，p r o s s e r a b s t t a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ef o l l o w i n gi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m “ + 五砖= a u ， 砌= l 叫p + 掣+ ”卜， u k = o ，k = q h l e o = i 0 ( x ) ， 矿1 仁。= 疏( x ) t h i sp r o b l e mc o m e sf r o mt h ed e s c r i p t i o np h a s et r a n s i t i o nd y n a m i c sw i t hm e m o r y w e o b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fag l o b a ls o l u t i o no ft h ea b o v ep r o b l e mb y u s i n gt h eg e l a r k i na p p r o x i m a t i o nm e t h o dc o m b i n e dw i t hap r i o ri n t e g r a le s t i m a t e s k e yw o r d s ：c o n v o l u t i o nt y p e ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；i n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ；g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n i i 一共卷积型积分微分方程组的初边值问题 1 引言 微观组织决定铸件的性能和使用寿命。控制铸件成形过程中微观组织的形成 具有非常现实和重要的意义。但是由于成形过程需要控制大量的参数，全部用实 验手段不太现实，因而模拟预测方法显得越来越重要，逐渐成为目前研究的热点。 自1 9 7 4 年，h a l p e r i n ，h o h e n b e r g 和m a 【1 为解决动态临界现象而提出“m o d e l c ”以来，相场方法作为一种新的微观组织数值模拟技术逐步地成为广大研究者 所接受。相场方法是以金兹堡一朗道理论为基础，用微分方程来体现扩散、有序 化势和热力学驱动的综合作用。相场方法又称为直接的微观组织模拟，是一种计 算技术，它能使研究者直接模拟微观组织的形成。相场方法由于引入相场变量 而得名，相场是一个序参量，表示系统在空间时间上每个位置的物理状态( 液 态或固态) 。相场方程的解可以描述金属系统中固液界面的形态，曲率以及界面 的移动。把相场方程与温度场、溶质场、流速场等耦合、可以对金属液的凝固过 程进行真实的模拟。相场方法可以描述平衡状态下新相与母相界面以及固液界面 处复杂的生长过程。 本文讨论具有记忆的相场方程 i i i t + 旯谚= a u k m ，p + 掣廿 “。 这个方程是由古典相场模型考虑“记忆”的影响而得到的方程，这里记忆是指由 于系统的温度梯度和引起相变的策动力a 事实上，当a ( r ) = 6 ( t ) 时，这个方程就 是古典的相场模型。方程中”表示的是温度，是相场变量。在【2 】中给出了带记 忆的相场方程当核是几种特殊情况时一些性质。本文中我们将对日f r ) 为任意正值 连续可微函数的情形，运用g a l e r k i n 逼近方法建立方程满足d i r i c h l e t 边界条件 ”l m = 0 ，庐i a - f ) = 0 ( 1 2 ) 时解的整体存在性和唯一性。 引进下列记号： 符号f ( q ) ( 1 p 0 等如通常意义：符号p ( o ，t 丑) ( r 0 ) 表示定义在区间 o ， 上取值于 b a n a c h 空间b 的有界可洲函数“( ，) 全体组成的函数空间，即对几乎所有的 f 【o ，t ，u ( t ) b 且g 删c ( t ) 0 使 m 佻c ( ，) ，p p f o ， 其范数定义为恤( ，) k 埘2 嚆! 严忙( r ) i f 。c ( o ，丁；b ) 意义类似，表示区间 o ， 上 取值于空间b 的连续函数绢成的函数卒间。 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 2 问题的化简 按照所研究问题的物理背景，我们可以认为所有函数在m 0 ， “k = o ，f 0 ，( 2 5 ) ”j f o = o ( x ) ，x f l 令w = h + 五，贝0 问题变为 = w 一船，x g w b = o ， 0 ， w l 矿0 ( x ) + 碱( x ) ，x e 五 ( 2 6 ) 这是一个非齐次的热传导方程的初边值问题，由偏微分方程的熟知理论可知 娄卷毒只型积分微分方程组的初边值问题 ( 2 6 ) 的解为 w ( 墨，) = 一丑l g ( t y , t - r ) ( y , r ) d y d r + l c ( x , y ，) ) + ( y ) p 其中g ( x ，y ，) 为热方程在齐次d i r i c h l e t 条件下的g r e e n 函数。 下面给出g ( t ，y ，t ) 的一个表达式。为此，我们用 以) 二表示一在n 上的齐 次d i r i c h l e t 边界条件下的特征值列： 0 0 满足以下条件： 1 ) ( f ) r ( o ，r ；n a ( a ) n 可2 ( q ) ) ， 谚( x ，f ) e r ( o ，t 卅( n ) ) ， 丸( 墨f ) r ( o ，r ；r ( q ) ) ； 2 ) 对一切实值函数妒( f ) c ( o ，t r ( q ) ) 成立 r l 卢2 丸一a ( o ) 户2 庐( t ，) 一卢2 ( 。( 卜。r ) ( r ) d r + 庐( t ，) 划：t j o g ( y ，卜t ) 郇( ) 砂+ q 2 0 ( f r ) ( v ) 如 5 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 21 1 ) ( 2 1 1 ) 的 二耋堂塑型墼坌垡坌查翌塑塑塑望堕塑垦 + ，l r a ( r r ) c 0 g ( t y , r - s ) ( 儿s ) d y d t d r 一，( lr ) 一。( o ) 彳( ( x ，f ) ) 一r a ( ，一r ) 石( ( _ r ) ) d r 妒( _ t ) d x d t = o ( 21 2 ) 且 恐妒( 一f ) 2 弼( z ) ，。l i r a + 谚( t f ) = 萌( x ) a ( 2 1 3 ) 6 一类卷积型积分微分方程组的韧边值问题 3g aie r kjn 逼近 作函数序列( 屯( ，) 如下： 丸( x ，f ) ：妻k ( f ) 唯( x ) m ：1 ，2 ， 其中( ，) 是待定函数，满足如下常微分方程： 卢2 吃( f ) + n ( o ) 卢2 五( r ) + 卢2 2 k r a ( t r 弘。( z ) d t + a ( r ) 一五 c l n g ( r ，儿r r k ( r ) 、( y ) 唯( x ) d y a x d r 五五肌l l n ( r r ) g ( t 只r s ) ( s ) 咋p ) 心o ) d y d x d s d ， + 五r 叫r r ) ( r ) 出= 口( 。) l 石( 薹( r ) 唯( x ) k ( x ) 出 + f d ( 叫) 吣) 叫弘( f _ 砒陲”) 吣) 卜) 融 由于g ( x ，儿f ) = ”- a + i v k ( 上) 唯( y ) ，上式即为 2 ( ，) + a ( o ) 2 五( ，) + 2 五f t a t p r k ( r ) d f 十五k p ) 一五巩( e 4 卜k ( f ) d r 一五蚕肌o r 一4 ( k 卜) 出d r + 五州r r ) ( r ) d r = n ( 。) l z ( 喜k ( r ) 唯( x ) u ( x ) 出 + l ，( r ) 咋( x ) 出+ j ：。a 7 ( f r ) z f 羔( f ) 唯( x ) 1 唯( z ) 函甜r ( 3 1 ) k = i 以及初始条件 k ( o ) = ，( o ) = 萌。k = 1 ，2 ，一 ( 3 2 ) 其中 纯e = l 丸( x ) 唯( x ) 出，破。= l 旃( x ) 屹o 皿 以下我们假定下列条件满足： 1 ) 参数五为正数； 2 ) 函数日( s ) 是正值函数，在【o ，+ m ) 上二次可导，且函数a ( s ) 和a ”( s ) 在有 类卷积型积分微分方程组的初边值问题 界集上有界； 3 ) l ( x ，) 在q o ，+ m ) 卜连续，且q o ，忡) 硪( q ) r o ，丁】，v t ，0 ： 4 ) l 石( s ) fc c c 为一正常数；7 ( s ) 在有界集上有界 5 ) 丸( z ) h 2 ( q ) ，西( r ) h 1 ( q ) 此时盛。巩( x ) 丛碱( x ) ，当m 斗m 时 扛1 西。心( x ) 旦西( x ) ，当坍寸。时。 在假定1 ) 一5 ) 下，函数n ( s ) 在【o ，+ o 。) 上连续，f ( 墨r ) 在n 【o ，+ 。) 上连续 丸( f ) 和西( x ) 分别为连续可微和连续，且函数，( j ) 在 o ，+ m ) 上局部l i p s c h i t z 连 续。因而运用p i c a r d 逐次逼近法容易证明初值问题值( 3 1 ) ，( 32 ) 在，= 0 附近 存在唯一的局部解，关于t 两次可微。以下进行能量估计以获得问题( 3 1 ) ，( 32 ) 在 o ，+ m ) 的整体解，且使函数列 丸( x ，r ) ) 有子列收敛于问题( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 的解。 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 得 4 逼近解的积分估计 引理1 在假定1 ) 一5 ) 下，对任意r 0 ，存在常数巨( t ) 0 ，使成立 陪k 2 + 亨0k 2 + 万 ；巨( r ) ( 4 1 ) 证明：( 3 1 ) 两边同乘以( ，) ，再关于k 求和，关于t 从0 到r ( o ，r 积分 善卢2 r ( r ) ( r ) d r + n ( 。) 卢2 善五k ( r ) ( r ) d r 善五肌a ( rs k ( s ) ( r ) 出d r + 五善( r ) ( r ) 如 一 喜五肌e 划一k ( s ) ( r ) 丞d r 一五善五肌m 矿卅k ( 善) ( r ) d f 批 + 五善肿( r s k ( s ) ( r ) d s d r ：r 肌，r ) 堡掣撕+ a ( 。) r l z ( 屯( v ) ) 堡挚k r + 肌m ) 彳( 丸( 洲筹竽枞 i ) 卢2 厶mj 。t ( r ) ( r ) d r = 壁2a f o 。旦d r 隗l 。= , ( ) 卜 ：- 7 i 羔( ( r ) ) 2 一羔姬1 一l k = l = l j 到2l i i 盟o t 川一蝴 i i ) n ( o ) 卢2 兰五r k ( f ( r ) d r) n ( o ) 卢2 五j ：k ( f ( r ) d r = l 9 二耋堂望型堡坌塑坌塑堡塑塑塑望堕塑望 = 华善屯r 岳 嘶) k ：丛粤芝芝五( ( ，) ) 2 一至五婊 。 l t = lk = l 4 0 ) p 2 1 2 ：协川f i i i ) 卢2 厶m j 。t j 。r a ( r s ) k ( s ) ( r ) 凼打 2 喜五肌 s ) ( s ) k ( f ) 幽 2 喜五m 。) ( ( s ) ) 2 出 卢2 喜五r r n ”( t s ) ( s ) ( r ) 捌r 2 肿( ) 掣挚 2 胁( o ) ( 盟掣 2 抛 2 f l f o l a ”) 掣挚d r 记m ( 7 1 ) = j ”咖( s ) | ，m ：( 7 ) = s u pm s ) | ，m 3 ( 7 1 ) 畦f ，眶s r 。 其中 2 喜五朋n p s ) ( s ) 屹( r ) d s d r 。s u 。pi 。侧 州州：叫掣盟掣卜御舻，rj f 盟掣卜 f 1 2 m 3 ( r ) j 3 0 l 掣挚如 朋l 掣挚d r r n ， 望曼牝生皿) k 出 巩 j i 缸 1 0 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 所以 i v ) f 叫掣坩 叫掣1 2 r | l 丝掣盟掣卜 删掣l 掣睁 蚓卜 卢2 喜五肌( r s ) ( s ) ( r ) d s d - t 卅酬忙酬掣卜等剥掣卧 一f 1 2 m ：( r ) rd s 一伊屿( r ) r r 弋1 肿) ：吲侧筑出 c 】( t ) 0 五善k ( 嘁( r ) d r i 2 , 泓mt 石d 陲m ( 训2 卜 要兰( ( r ) ) 2 一兰弼。： l = 1 k = l j 训12 扩2 驯1 融1 | i 2 v ) 一五嵩五肌e 吲一k ( s ) p ) d s d r 耐 一卜lj 出 一一二茎堂望呈堡坌垡坌查矍望塑塑望堕塑里 由于 卅伽。l g k 舻叫丝掣毪掣咖撕打 划肌l l v ，g ( x , y , t - s ) 掣掣蝴咖 = 卅肌。 卅肌l j v ，g ( t y ，r gc x , y , v - s ，f 丝掣j 砂卜j r m 吣川扩州丝剖2 咖 - 一 s ) 忙南 g ( w s ) 陟而c v ，g ( w ，f s l t 2 + ) j 而c h 删掣i i f 掣忆志一 砷i 肌去| f 丝掣丝掣 川嗽曼| | 丝舻志j | 丝掣卜 叫c 嗽1 0 丝赳r r jl f 丝掣 刈c 堍l f 掣u 胁则f 等域 o ( ( ，0 “ 忆“jl “0d f| | h 僻，；恶 l 丝赳鼍域打 - 2 、翌、翌 掣掣 打 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 h 泌0 丝掣卜r ，j ：0 丝掣卜 肌= 警眦川，。 v i ) 记玩( ，s ) 则 p ( h ) p 4 。“d 7 坑( s ，j ) = 0 塑掣纠( 啪吲，+ 肌砂”叫d r 壤( 训仆( r r ) 咿砷_ j p 茎：( ，) l a ( o ) e - 4 ( t - * ) l + r i n ”( f z ) e - ( - - ) i d r m ：( t ) + t m 3 ( t ) 记马( t ) = s u p1 鼠( r ，s ) l ，吃( t ) = s u p o f s “ro s j e f r 一善如肌r a ( r s p 叫州( f ) ( r ) d 善捌r a 善五肌( ) e 凼卜( 暇( r ) 删r 一酗m 川t 。r b t ( l 巩( f ) ( r ) d f 出 五善钊i 玩( 蝣) ( f ) ( r ) 鸳 + 五善五f 最( 善，善) ( ( f ) ) 2 嘴 + 丑善五e c 辨( ；) k ( z ) d 善d r 二茎堂望型望坌垡坌查堡塑塑塑望堕塑望 纠呻“ 晋蔫j i 掣”等铲| j 掣峥 埘喇f f 丝掣必 ：哪) r ：出 沛) 喜肌a p s ) ( s k ( r ) d s d - z - 五d s ：“( z s ) k ( s k ( f ) 出 五善肌。) ( k ( s ) ) 2 出 一嘻肌a ”( 一) ( s ) k ( r 脚r r l n7 ( 卜s 域( 础) 允( v ) 蚴 削( 0 ，j 0 t 0 九( 城( x , s ) d x d s 五f ；f 0 诎，脚v ) 掣捌r 4 脚 印 一8 丁 卜 叭 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 j 脚( v ) 1 2 捌r + 三2j 。l 到o r1 2 掀 = 三1 1 , _ f ) k 2 蚓筑d r i x ) l n ( 。) r j i ，i ( 谚。( z ，r ) ) 挚r 纠。) 删舷“槲l 掣1 i x ) 叫。) 删舭一| | 掣i 掣却圳2 砂r j ；j ；l d ( ) 彳( 丸( 圳掣舭出 2 l d ( ，一s ) 彳( 屯( s ) ) 屯( t r ) 出出 一a ( o ) r l z ( 丸( s ) ) 丸( t s ) 出出 一肌l a ( r s ) 石( 丸( 舻) ) 丸( v ) 击蕊如 t 舻i ( ，一s ) | i 嚷( 舻) 忱( r ) l 撕 十p ( 0 1 r 0 c i 丸( x ，s ) | | 丸( e s ) l a x a s 十c i s l i o ( r s ) 忱( u ) 恢( v ) 陋出咖 掣：i 南i i 帕2 p + 丁4 c t m 2 ( t ) m 瑚牛 + c a t ( o ) f l 阮| | 2 r 出+ c m ，口) 肌l 阪( x ，s ) | | 屯( t r ) l d x d s d r 翱屯c , o r ) j ：l l 0 ，存在常数1 ( t ) 0 ，使 l i 1 1 p 。口 0 ，存在常数巨( t ) 0 ， 矧0 x o t2 e 。7 8 ( 。槲i la 碜i o i z 卯) ( 4 3 ) 证明：对( 3 1 ) 乘以丑屹( ，) ，再关于k 求和，关于t 从0 到t ( o ，t 】积分 p 2 鲁e t b 1 r ) 吃( r ) 出+ 口( 。) 卢2 善以2 r k p k ( r ) d r + 卢2 善矗2 肌a ( f s ) ( r ) 捌r + 五善五r ( r ) k ( r ) d r 卅荟m 2 j 。t j 。re 州叫( s ) ( r 弦出 一五喜霹肌m r s 一4 5 叶6 。( 善) 6 。( f p 善出d 7 + 五善五r ( r s ) ( s ) p 弘m r 喜五r l ，( t r n ( x ) p ) d x d r + a ( 。) 喜五r l z ( 屯( r ) h ( x ) ( r ) 捌r 1 7 2 p姒 魏 旦咿 + 一娄卷积型积分微分方程组的初边值问题 十善五肌m 一) 彳( 丸( 删咋( x ) ( r ) d x d s d , i ) 2 荟m t b 二p 比( r ) 出 2 譬砉磋 丑( ( r ) ) 2 ，r = 能lk = l 五( ”) ) 2 一瓤k = l 叫 = 鲁f 五( r ) ) 2 _ 西。2 五 j 一1 3 ：z 0 2 ，一铷吒眨 i i ) a ( 。) 2 善露( r k ( r ) d r = 华善r 番( 五( r ) ) 2 如 7 1 ( o ) 卢2 障丑啪) ) ) 也2 = 矿( 0 ) j i z o 栅 试) 卢2 善肌a ( k ( s ) ( r ) a s d r 2 2 善露m k ( s ) k ( r ) 出一2 荟m 如2 j 。t n ( 。豫( s ) 出 一卢2 荟m 以2 从t r a ”( ) ( s ) ( r ) 捌r = 卢2 腓一s ) 。等( v ) 等( 掣) 抛 m 。i i o ( 7 ( ) 2 触 一2 肺d 。( 一) 。等( v ) - 芹- j 。( v ) d x d s d r 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 邛螂，r 赫 砌：酬： 一i 1n ( o ) p 2 - 砸+ 等。观卜 州她删等s 恃“r 酬一r ) j ：；1 1 , 司0 2 丸l 2 出 d i ( t ) 0 i v ) 五砉矗k ( r ) ( r ) d r 7 t 坛td 队m 删2 卜 ：丢i 艺4 ( ( r ) ) 2 一芝婊五i l 女= l k = l j = 纠 协饨l v ) 一a 荟m 2 j 。l j 。r e 刈”k ( s ) ( f 划r 卅肌d l gx , y , r - s ) 掣掣批捌r a 肌l 毪字l v c ( f h 嘶l 塑掣帆毗舻叫陟州雩掣阿一 翻c 朋0 掣丑志0 笔掣忆一r h 蚓群肌志0 苎笋絮掣峥r 纠蚓球恶i l 毫赳肌击0 毫魁撕 二茎堂望型望坌垡坌查塑望竺塑望堕塑壁 叫肥i 球恶| | 穹妒jj j 篝掣 刈删恶j | 堕笋南计f | 笔掣卜 _ 肥仲酬等毗：f j 毫斜出 j h 罂 f 穹妒卜蝴，( j | 毫掣睁 其中s = 丙1a ( o ) 2 ，d 2 ( s ，) 。 v i ) 一 艺r c n ( r s p 一 ( 州k ( f ) ( r p 善幽d r = 且善霄c ( e 疗7 ( r s ) e 吲删幽k ( f ) ( r ) 鸳d r 五喜群肌玩( 蝣k ( f ) ( r ) d 触 五善零r 巩( 蟛k ( 孝) ( r ) 嘶 + 且艺r 吼( f ，f k 偕) ( f ) 鸳 五芝k = l 露c c 掣( ) k ( r ) d 善d r ，龋俐2 + 鬻沣 啪印，删警k s ，峪v ) | r = 一华j 穹赳删f0 穹笋卜 d 3 ( t ) 0 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 v ) 丑善五肌a ( t s ) ( s ) p 垮d r = 五善屯r a ( z s ) ( s ) ( r ) 蕊一五善以r 一( 。k ( s ) 凼 五喜丸肺( 一k ( s ) ( r ) 捌z = a 肿( ) 掣掣融 一a 眦( o ) f 型掣 2 融 一五肌) 掣掣r 越c 丁，尚+ 掣阻一叶 删酬胤凼 一肼舸) 肌0 隆( 刮隆( 刮出融 a 4 b ( r ) 0 d 4 ( r ) ( 砌) 善五j ：0 心，t 儿( r ) 唯( x ) 捌r ( i x ) = 脚v ) 等掣捌r = 肚( v ) 急驴舭 咖峨刮纂2 卜2 n ( 。) 喜五肌五( 丸( v ) ) 唯( x ) ( r ) d x d t 2 l 二耋堂堡型型坌燮坌查矍里竺塑望堕塑墨 m ) j f ；f o z ( 仲，) ) 萼掣捌f 1 呻) 吣( ) ) 盟掣鱼篡捌j 矧丁，r 叫掣 掣j 妣 删li i 驯断i i l 2 , 机唰 ( x ) l 喜五胍) z ( 屯( ) 埔) ( r ) 蚴d j 雠m 一) z ( 一) 券批d f | m ”) 五( ，s ) ) 掣栅 + 即) 眦( 枷) ) 掣蝴f + 虹m 一) m “州毪净舭d 4 啦( 丁) 帆彳( 一) 掣掣抛 + ( 。) 帆z ( 讹s ) ) 掣掣蝴 也( ，) 雠m ”一) 丝掣型掣龇d j d 6 ( 丁) fi 盟 f 缸怯 综上各式，得： 隅2p 2 扣) | 瞥挎剐i 类卷积型积分微分方程组的初边值问题 州m 掣卜掣1 纠砖r 俐一 + ；口( o ) s u p + 能酬一1 。1 , 州2 怪吨叫。枷堪 先换变量f 为，再对不等式两边同时关于f 在 o ，r 上取上确界，得 溉醐吲掣恃恶剐： 州m 掣峥甲1 r 刚砖r m + 渊1 l 。 叫2 + 能酬薹酬0 惟酬： 由假设( 4 ) ： 卧呓批m 时 1 1 善嵋眨一| | 矧b ，m m 时 i i 善疏。| | ：呻i l 残喙，m * m 时 桃矧圳瓤吲，) 类似引理1 ，由g r o n w a l l 不等式即得( 4 3 ) 。 证毕。 推论2 设假定1 ) 一5 ) 成立，则对任意t o ，存在常数2 ( r ) 0 ，3 ( t ) 0 ， 使 n 2 ( r ) ， 0 利用引理1 ，引理2 ，推论1 和推理2 ，即知( 4 5 ) 成立。 证毕。 因为 劁：。 劁：。口 ! 哩艺( r ) 1 2 o 括rk = l 器善( z ) 1 2 艘和圳2 故由引理1 和引理3 知，对任意7 t 0 ( r ) ，( ，) ，屹( r ) ( k = 1 2 ，m ) 都在 【o ，r 】上一致有界。因此常微分方程的初边值问题，( 3 1 ) ，( 3 2 ) 在 o ，十。o ) 上整 体解存在，并且在 o ，+ m ) 上二次连续可微a 所以函数列 丸( f ) ) 中每个函数 丸( d r r ) 都在q 【o ，+ m ) 上有定义，并且在其上二次连续可微。 另一方面，由引理l 一引理3 知存在子列 丸，( f ) ) 和函数妒( 苴，r ) ，使得当 卅斗时， 九( f ) 斗庐( t r ) 按h 2 ( q ( o ，) ) 弱收敛 屯( tr ) 斗( tr ) 按r ( o ，t ；h 2 ( q ) ) t 弱收敛 丸，( z ，r ) 斗舜( tr ) 按r ( o ，t ；h 1 ( n ) ) 弱收敛 丸，。( tr ) 斗丸( t f ) 按r ( o ，l r q ) + 弱收敛 由此可知 丸( x , 1 ) 呻庐( e f ) 按r ( q ( o ，丁) ) 强收敛 类卷积型积分微分方程组的初边值问题 由于在有界集上有界，易得 彳( 屯，) 斗i ( 丸) 按r ( q ( o ，) ) 强收敛 现在( 3 1 ) 式中令m = m ，然后两端乘以任意实值函数纯( r ) o ，丁】o 再关于t 在 o ，t 】上积分并令m 斗0 0 ，利用上列收敛条件得 户2 cl 九( e ，溉( r ) k ( x ) 出斫一a ( o ) 2 r l ( t ，) 纯( ，) 唯( x ) 出斫 2 rr 0 n ( r r ) ( r ) 锻( ，) 唯( r ) d 耐r d t 材j ：j 。矿( t ，) 纯( f ) 唯( x ) 蝴 + f f f fg ( t y , t - - i ) ( 弘r ) 纯( f ) 唯( x ) d y d x d f d t + ：r l 。( ，- r ) ( v ) 张( r ) 咋( z ) 删r d t + 五r r l l n ( f r ) g ( y ，z - - s ) ( 儿s ) 昨( f ) 唯( x ) c 移蝴d 砌 = r l ( ，( tr ) + a ( o ) z ( ) + r 。( t r ) 彳( ) 打k ( ，) u ( x ) 威胁 ( 4 4 ) 对任意实值函数妒( t ，) c ( o ，r ；r ( n ) ) ，因为在意义下成立 妒( t f ) = 诈( f ) 心( z ) 其中纸( ，) 是妒( x ，f ) 关于n ( x ) ) 的f o u r i e r 系数。因此由( 4 4 ) 知( 2 1 2 ) 成立。 又由( 3 2 ) 知( 2 1 3 ) 成立。于是( t ，) 是问题( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 的强解。这样 证明了 定理1 设假定1 ) - - 5 ) 成立，则问题( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 存在强解 一类卷积型积分微分方程组的初边值问题 5 解的唯一性 定理2 设假定1 ) - - 5 ) 成立，则问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的初边值问题的强解 唯一 证明：由第二节的证明可知，u 可由表出，所以初边值问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的强解的唯一性等价于初值问题( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 的强解的唯性。 设磊，晚是问题( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 的任意两个解 令= 西一欢，则满足线性初边值问题 p 2 警一a ( 。) 卢2 一2 p ( h ) ( v ) 虮 五( v ) + 五r n g ( l 蹦一r ) 卸( y ，r ) 删r + a p ( ) r 0 g ( y r + a f a ( r - t ) ( 帮弦 s ) 声( y ，s ) 西协d 7 = a ( o ) ：彳+ ( 1 一目) 如矽- 庐 十r n ( r r ) e 工( + ( 1 一口) 晚p 影( r ) d r ( 5 1 ) 矿k = 0 ， r 0 ( 5 2 ) 儿。- o ，詈b = 。 x e q ( 5 3 ) 设t 为任意正数，( 5 1 ) 乘以詈再关于x 在q 上关于f 从。到， o ，丁】积分 甜 。 卢2 肌掣掣( o ) p 2 聃纠掣删r 肌聃( t 。) 型笋融如 制m t ( v ) 型笋捌r 删肌。0 g ( 圳一r ) 卸( 弘一) 型笋巧蝴打 二耋堂塑型墼坌垡坌查堡望塑塑丝篁塑里 十五肌p ( r 。弦( ) 旦掣捌， d f s ) f o f o g ( 一f 冲( y ，f ) 型笋蛐蟛出以 d ( o ) r l 肼( + ( 1占) 欢肌r ) 型笋d 删r + 肌l p ( r s m ( + ( ， 口) 杰) ( 川型笋d 目抛打 由此出发通过类似于引理1 的证明的手续，并利用引理2 ，3 可得下列不等式 j 警”：巾，| | 警峥毛c r ，r 酬鲁i 1m ，j | 警眨 r 由g r o n w a l l 不等式得 却 o 再由边值条件( 5 2 ) 即知( x ，) ；0 , v t ( 0 , t 】。再由于丁 o 任意，可知问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 只有唯一的强解。 证毕 一娄卷积型积分微分方程组的初边值问题 参考文献 1 h a l p e r i nb1 ，h o h e n b e r gpc ，m as hkr e n o r m a l i z a t i o n g r o u pm e t h o d sf o r c r i t i c a ld y n a m i c s ：i r e c u r s i o nr e l a t i o n sa n de f f e c t so fe n e r g yc o n s e r v a t i o n j 】 v h y s r e v b ，1 0 ( 1 ) ：1 3 9 1 5 3 ，1 9 7 4 【2 】2r o t s t e i n ，b r u n d o n ，n o v i c k c o h e n & n e p o m n y a s h c h y , p h a s ef i e l de q u a t i o n sw i t h m e m o r y ：t h eh y p e r b o l i cc a s e s i a mja p p l m a t h ，6 2 ( 1 ) ，2 6 4 - 2 ，2 0 0 1 【3 】s i h a r i h a r a n 、g w y o u n g ，p h a s e - f i e l da n ds h a r p i n t e r f a c em o d e l s ，s i a mj a p p l m a t h , 6 2 ( 1 ) ，2 5 8 - 2 6 3 ，2 0 0 1 【4 4 崔尚斌，半线性卷积型积分微分方程的初边值问题，应用数学学报，1 1 ( 3 ) ， 2 7 1 - - 2 8 6 ，1 9 8 8 【5 屈长征，关于两类方程的解，兰州大学学报，2 5 ( 4 ) ，5 1 4 ，1 9 8 9 6 崔尚斌，一类非线性积分微分方程的整体解，应用数学学报，1 6 ( 2 ) ，1 9 1 - - 2 0 0 ，19 9 3 【7 】崔尚斌，屈长征，一类非线性积分微分方程的初边值问题，应用数学和力学， 1 5 ( 4 ) ，3 6 5 - - 3 7 9 1 9 9 4 、 f 8 h r u s a , c ma n dj a n o h e l ，t h ec a u c h yp r o b l e mi no n e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a r v i s c o e l a s t i c i t y ，j d i f f e q u a 5 9 ，2 3 7 4 1 2 ，1 9 8 5 【9 】r fa l m g r e n , s e c o n d o r d e rp h a s ef i e l d a s y m p t