（计算机应用技术专业论文）虚拟牙齿矫正中牙龈变形的计算机模拟方法研究.pdf

论文题目： 专业： 硕士生： 指导教师： 虚拟牙齿矫正中牙龈变形的计算机模拟方法研究 计算机应用技术 靳继红 李占利 摘要 ( 签名) ( 签名) 牙龈变形是开发虚拟牙齿矫正系统的一个重要部分，如何逼真地模拟牙龈变形是一 个很复杂的问题。针对此问题，本文在分析质点弹簧模型的基础上，提出并建立了一 种适合于软组织变形的力学模型来解决牙龈变形问题。 本文首先分析了几种常用软组织物理模型的变形原理，并对它们在模拟精度和速度 等方面进行比较。质点弹簧模型简单易行，计算复杂度低，对拓扑结构变化的适应能 力较好，是软组织变形的常用建模方法。本文所使用的牙龈模型是从s t l 文件的牙齿模 型中分离出来，且由一系列不规则三角面片拼接而成，难以用通常的方法添加弯曲弹簧。 为了模拟抗弯曲效果，在牙龈质点的法方向上施加一个阻力，阻力的大小跟质点位移量 相关，以此来模拟弯曲程度。然后，对变形质点进行了受力分析。变形质点共受到四种 类型的力：弹力、重力、外力、法方向的阻力。在分析这几种力的同时，对边界质点和 非边界质点分别列出了力学平衡方程，用来求解外力和质点位移。 最后，将变形的动态过程离散化，用静态方法模拟出变形过程。先移动牙齿一小步， 得到牙齿的位移并计算牙龈边界质点所受的外力，然后使用迭代的方法计算其他牙龈质 点的位移。在所有质点达到平衡之前，不停地做迭代，直到所有质点均达到平衡。通过 这些计算可以获得所有质点到达平衡态的位移量，画出一帧牙龈变形图像。牙齿一步接 一步移动，就可以获得一系列的牙龈变形图像。 以v c + + 6 0 和o p e n g l 为工具开发牙龈变形模拟系统，实验证明模拟方法有效，模 拟真实自然。 关键词：计算机模拟；牙龈变形；虚拟牙齿矫正系统；计算机图形学；s t l 文件 研究类型：应用研究 s u b j e c t ：r e s e a r c ho nc o m p u t e rs i m u l a t i o nm e t h o d sf o rg u md e f o r m a t i o n i nv i r t u a lo r t h o d o n t i c sm n e a t m e n t s p e c i a l t y ：c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y n a m e：j i nj i h o n g i n s t r u c t o r ：l iz h a n l i a b s t r a c t ( s i g n a t u ( s i g n a t u h o wt o r e a l i s t i c a l l ys i m u l a t eg u md e f o r m a t i o ni sav e r yc o m p l i c a t e da n di m p o r t a n t p r o b l e m i nt h e d e v e l o p m e n to f v i r t u a lo r t h o d o n t i c st r e a t m e n t s y s t e m t h ep a p e r c o n c e n t r a t e do ns o l v i n gt h i sp r o b l e m o nt h ea n a l y s i so fm a s s - s p r i n gm o d e l ，af o r c em o d e l f o rs o f tt i s s u es u r f a c ed e f o r m a t i o ni se s t a b l i s h e d f i r s t l y ，o nt h eb a s i so fa n a l y z i n gt h ed e f o r m a t i o np r i n c i p l eo fs e v e r a lc o m m o ns o f tt i s s u e p h y s i c a lm o d e l s ，t h ep a p e rc o m p a r e st h e i rs i m u l a t i o na c c u r a c ya n ds p e e d m a s s - s p r i n gm o d e l i sa ne x p e r i e n c e dm o d e l ，b e c a u s eo fi t ss i m p l i c i t y ，e a s yo p e r a t i o na n ds t r o n g e rf i t t i n gf o r t o p o l o g i c a ls t r u c t u r a lc h a n g e b u ti n o u rs u b j e c t ，t h eg u mi s e x p r e s s e db yas e r i e so f t r i a n g u l a rf a c e t s ，w h i c hi so b t a i n e df r o ms t l t o o t hm o d e lb yu s i n gs e g m e n t a t i o nm e t h o d f o r c o n v e n t i o n a l m a s s s p r i n g ，t o a d d d i r e c t l yb e n ds p r i n g i sd i f f i c u l t i no r d e rt ov i e w a n t i - b e n d i n gs i m u l a t i o nr e s u l t s ，ar e s i s t a n c ef o r c ei nt h en o r m a ld i r e c t i o no ft h ev e r t e xi s i m p o s e d t h er e s i s t a n c ef o r c ev a l u ei sa s s o c i a t e dw i t hv e r t e xd i s p l a c e m e n t t h e n d e t a i l e d f o r c ea n a l y s i sf o rt h ed e f o r m a t i o nv e r t e xi se m p h a s i z e d t h e r ea r ef o u rk i n d so ff o r c et h a t a p p l yt ov e r t e xi nt h em o d e l ，w h i c hi ss p r i n gf o r c e ，g r a v i t y , e x t e m a lf o r c ea n dt h er e s i s t a n c e f o r c ei nt h en o r m a ld i r e c t i o no ft h ev e r t e x f o rt h eb o u n d a r yv e r t e xa n do t h e rv e r t e x ，d i f f e r e n t f o r c eb a l a n c ee q u a t i o n sa r ee x p r e s s e dt oc a l c u l a t et h ee x t e r n a lf o r c ea n dt h ed i s p l a c e m e n t v a l u e s f i n a l l y , w ed i s c r e t ed y n a m i cp r o c e s so fd e f o r m a t i o n ，a n ds i m u l a t et h er e s u l tu s i n gas t a t i c m e t h o d w h e nt e e t hm o v eas m a l ls t e p ，w ec a nk n o wt h ed i s p l a c e m e n ta n dc a l c u l a t et h e e x t e m a lf o r c eo fb o u n d a r yv e r t e xo f g u m ，t h e nc a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n to fo t h e rv e r t e xb y u s i n gi t e r a t i v ep r o c e d u r eb a s e do nt h e f o r c em o d e l i t e r a t i v ew i l lc o n t i n u et i l la l lg u m v e r t e x e sb e c o m es t i l l b a s e do nt h e s ec o m p u t i n g ，w eg e taf r a m eo fg u md e f o r m a t i o n t e e t h m o v es t e pb ys t e p ，a n dt h e nas e r i e so f f r a m e so fg u md e f o r m a t i o na r eo b t a i n e d 。 t h es i m u l a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e d ，a n di m p l e m e n t e db yu s i n gv i s u a lc + + a n do p e n g l e x p e r i m e n ts h o w st h a tt h em e t h o di se f f e c t i v e a n dt h es i m u l a t i o ni sr e a l i s t i c k e y w o r d s ：c o m p m e rs i m u l a t i o n g u md e f o r m a t i o nv i r t u a lo r t h o d o n t i c st r e a t m e n t s y s t e mc o m p m e rg r a p h i c s s t lf i l e s t h e s i s ：a p p l i c a t i o nr e s e a r c h 妻料技史擎 学位论文独创性说明 本人郑重声明：所里交的学位论文是我个人在导师指导下迸行的研究王作 及其取得研究成果。尽我所知，除了文中加戮标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西安科 技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：勤；落彳善日期：口回，多 学位论文知识产权声明书 本入完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西安科技大学。学校有权保留并向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以 将本学位论文的全部或部分蠹容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位 论文研究课题褥撰写豹文章一律注臻作者单位为西安科技大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：朝锤 指导教师签名：耄彭磊 奠 冽舅年多月，西 1 绪论 1 1 虚拟牙齿矫正系统研究背景 1 绪论 随着全球科技的飞速发展，人们的物质和精神生活水平都得到极大的提高，在工作、 交际、生活各个方面，越来越多的人对自身的外表越来越重视，不断地追求外在形象的 完美，使得近年来整形美容业得到飞速发展。牙齿是人类品尝食物、展现形象的工具， 直接影响个人的仪容和生活质量，拥有一口整齐洁白的牙齿，令人的外表更加出众，对 工作和生活也更加自信。 很多人或多或少有一些牙齿方面的问题，较常见的牙齿问题包括牙齿拥挤、稀疏、 哨牙和反颌等。他们的牙列不齐不但严重影响到他们的形象，还经常性地给社交生活 和工作带来不必要的麻烦。牙列不齐，牙间隙过大，牙排列拥挤，“暴牙 或“哨牙 ( 上颌前牙向前突出) ，“地包天 或“反颌”( 下颌前牙向前突出) 等牙颌面畸形不仅影 响牙颌面容貌，妨碍说话，如说话漏气变音，还会引起咬颌无力，咀嚼不便，甚至导致 消化吸收不良。此外，牙齿排列不齐，还容易藏污纳垢，久而久之可并发口气臭、牙龈 炎、牙龈萎缩、牙周炎及粘膜疾病等。有少数患者因畸形的容貌，长期背负沉重的心理 压力和精神包袱，可导致性格行为及心理状态的改变，如自卑，害羞，内向，不善交 往等。很多人也知道接受牙齿矫正才能重塑一口整齐的牙齿，但一般的金属矫正器【2 j ( 图 1 1 左) 治疗法，由于形状突出、易于造成口腔磨损、影响美观、影响正常饮食、难清洗 等，使很多成年人敬而远之。 在传统牙齿治疗中，治疗设备需要反复调整以达到正确矫正牙齿移动轨迹。这种治 疗方法通常周期较长，代价昂贵，同时对病人也是一种折磨。那么有没有一种既舒适又 不影响美观，易清洗又不影响正常饮食的治疗方法呢? 答案是肯定的。虚拟手术仿真系 统的发展使得人们希望计算机应用于牙齿科学，发展一种计算机辅助模拟矫正系统【3 】， 于是出现了一种利用计算机技术配合现代三维成型技术开发的一种无托槽隐形矫正技 术，所用的隐形矫治器如图1 1 右所示。无托槽隐形牙颌畸形矫治技术是上世纪九十年代 后期首先在美国出现的一种新型的牙颌畸形矫治技术，是最新的计算机图象处理和辅助 设计技术、快速成形技术应用于口腔正畸领域的产物。无托槽隐形矫治技术的原理【2 】是 将与牙颌形状有一定差别的弹性矫正装置配戴于被矫治牙列上时，该装置会产生使牙齿 向其所约束的位置移动的力，并最终使牙齿产生一定量的移动。这种弹性矫正装置叫“隐 形牙套”。 从隐形牙套的出现( 1 9 9 7 年) 到目前只有1 1 年的时间，这种计算机辅助设计制作的矫 治器为患者提供了一种更美观、更舒适的矫治方法，但目前仍有很多不足，已引起广大 西安科技大学硕士学位论文 患者和正畸医生的关注，需要大量研究人员致力于研究并对其改进，扩大其矫治适应度， 为更多患者提供服务。基于此，本文希望在这一方面做出一些探讨设计一个虚拟牙 齿矫正系统用于牙齿矫正。 虚拟牙齿矫正系统是为“隐形”牙套【2 】制造系统输出 模拟矫f 数据的软件。通过对患者牙齿的c t 、m r j 等图 像进行三维重构，组织分割，进而模拟牙齿的矫正过程来 设计整个治疗计划，为患者量身定做设计不同时期所需的 牙套，最后根据设计结果由快速成型制造系统制造出透明 的弹性塑料牙套，患者只需按牙科医生指示，不同时期佩 n o w t h a t t h e r e s ac h o i c e w h i c h w o k u l dy ，、o u 戴不同的牙套就可以达到预期矫正效果【4 | 。图1 1 金属矫正器与隐形牙套 通过计算机技术，可以对牙齿在矫正过程中的移动进行模拟，通过模拟得出牙齿在 矫正各过程中的模型，获得牙齿矫正各阶段所需的参数，对实际治疗有很大帮助。因此 研究牙齿矫i f 过程的模拟对【_ 腔证畸学和虚拟手术仿真的发展有重大意义。计算机三维 技术在口腔正畸领域的应用，为口腔科学的发展带来再一次的革新。 虚拟牙齿矫f 系统是一个特殊的虚拟现实( v i r t u a lr e a l i t y ) 系统，首先应满足v r 系 统的基本要求，即数据在三维场景中的交互与可视化。同时虚拟牙齿矫f 系统又具有其 本身的特殊性，比如如何模拟牙龈活性软组织的变形行为，使之既要达到一定的物理真 实感又要满足实时性的要求。这是开发虚拟牙齿矫正系统的瓶颈问题，也是本文的研究 课题。 1 2 牙龈变形技术研究现状 要逼真地进行牙龈软组织变形模拟，必须了解变形技术的发展，寻求一种理想的变 形工具或变形模型来实现。 一般说来，可变形模型【5 】大体上可分为纯几何模型和基于物理的模型两大类。 几何造型方法比较简单，不直接考虑软组织的粘弹性、各向异性、非均匀性等特性， 只考虑物体各单元的位移随时间的变化，大大降低了计算量和时间复杂度。几何造型方 法模拟出的结果其真实感比基于物理的造型方法要差，但其计算量小，速度快，可以应 用于精确度要求不太高但要求实时可视化的虚拟解剖教学中p j 。 软组织变形的物理造型是计算机图形学中重要的、富有挑战性的研究课题之一。 基于物理的建模方法是基于纯几何的建模方法的重要补充。几何建模方法难以模拟较为 复杂的物体系统的运动、碰撞和受力情况，另一方面，虚拟现实中所需的力反馈技术难 以用几何方法来实现。软组织的物理建模不仅要使用物体的几何特征建立几何模型，还 要利用软组织的生物力学【6 j ( 粘弹性、各向异性、非均匀性等) 特性建立它的动力学模型， 给几何模型赋予适当的物理行为，使其在视觉和触觉上产生一种很逼真的感觉。所有这 2 1 绪论 些构成物理方法在模拟软组织变形上所具有的优势，故在计算机动画、手术仿真等应用 领域中，随着变形技术的不断发展，把软组织物体的物理特性和几何特征相结合进行物 体的变形建模，也逐渐成为一个重要的研究领域。基于物理的几何造型是将物体的物理 特征和行为特征融进传统的模型中，既包含了表达物体所需要的几何信息，又包含了物 体材料的物理性能参数，是物体几何和物理性质的有机结合。d t e r z o p o u l o s 等人1 7 j 在 1 9 8 7 年提出基于物理的变形建模是此领域的开创性工作之一。此后，一些研究人员从不 同的角度和着眼点提出了一些各有特点的方法，但随着应用范围的扩大和应用系统要求 的不断提高，这方面的问题还未得到较理想的解决。比如，外科手术仿真和训练系统不 仅需要逼真地对复杂软组织器官进行建模，而且还要具有实时性、可交互性、可修改性， 正是这些新的需求推动着可变形建模技术的发展。 1 3 论文主要工作及结构 1 3 1 论文主要工作 变形技术的发展离不开计算机图形学、数学、物理学以及生物力学等理论基础的支 持。在图形学领域，图形学的建模思想、坐标变换、三维观察、光照以及消隐等技术直 接影响并作用于变形技术的分析和解决过程中。变形技术本身就是多种学科的综合。它 的发展离不开前人的工作，前人在这些领域所做的研究和实验，得出的结论和经验，都 为本文研究提供了很大的帮助。 本文在研究软组织变形模型的计算机处理机制的同时，分别结合生物力学、弹性力 学、图形学等几个方面对牙龈变形的计算机模拟进行了比较深入的探讨与研究。论文重 点分析了当前应用比较广泛的基于物理模型的变形方法，考虑到物理方法在模拟软组织 变形上所具有的优势，综合分析上述变形方法后，在假定牙龈组织为线弹性物理模型的 基础上提出一种力学计算模型模拟虚拟牙齿矫正系统中的牙龈变形。这种力学模型借用 了质点弹簧模型方法的一些观点，并克服了由于牙龈面片的杂乱性带来的不能直接添 加弯曲弹簧的不足，提出在质点法方向施加一个阻力来模拟弯曲变形的观点，并且在计 算牙龈质点位移时采用迭代的方法。实验表明这种模型和计算方法可以得到相对逼真的 模拟效果。概括起来，主要有以下几个方面的工作： ( 1 ) 深入阐述了当前变形技术研究的发展现状，并对几种常用于软组织变形的计算 模型进行详细介绍，并对它们在计算速度和精度方面做了分析和比较。 ( 2 ) 针对本课题中由杂乱三角面片组成的牙龈面模型，在基于质点弹簧模型的基础 上，提出并建立了一种力学计算模型，详细介绍了牙龈变形的模拟方法和求解方法。 ( 3 ) 简单介绍了牙龈变形模拟的前期准备工作，其中包括牙龈模型数据的获取，分 割算法研究，s t l 文件的特点及拓扑关系分析、主要数据结构的建立等。 3 西安科技大学硕士学位论文 ( 4 ) 对虚拟牙齿矫j 下系统中牙龈变形的系统功能进行详细介绍。并绘制了一些牙齿 矫正过程中牙龈变形的图片，并对模拟结果进行了详细的分析。 ( 5 ) 对变形中的棘手问题真实性与实时性矛盾的解决方法给出了详细介绍，并 给出本课题减小复杂度所使用的方法。 ( 6 ) 对力学模型中参数的选取进行分析。 ( 7 ) 对人体软组织变形方法的进一步研究进行了探讨，并指出将来变形方法研究及 应用的方向。 本文通过对人体软组织变形方法的研究，特别是该方法在虚拟牙齿矫正系统中的应 用研究，得出了一些比较重要的结论。希望本文的研究工作能对变形技术在现代医学口 腔正畸临床诊断与治疗、虚拟手术仿真、三维动画等领域的应用做出积极有效的贡献。 1 3 2 论文的结构 本论文共分为五章，下面按章节详细叙述。 第一章绪论。本章简单介绍了虚拟牙齿矫正系统研究背景及牙龈变形技术研究现 状，阐明了研究牙齿矫诈过程中牙龈变形模拟的必要性及其在实际应用中的意义。 第二章牙龈变形模型。本章详细介绍了牙龈软组织物理建模的相关理论与方法， 对于基于物理模型的变形技术作了重点的叙述，并提出了一种基于质点一弹簧模型的力 学模型解决牙龈变形问题。 第三章牙龈变形模拟方法及其求解方法。本章重点介绍了牙龈变形模拟方法及其 求解方法，将动态的变形过程离散化，用静态方法去实现牙龈变形，并采用迭代方法求 解各个牙龈质点的位移。 第四章牙龈变形的计算机实现。本章首先介绍了本课题中牙龈模型数据的获取及 处理，然后给出了系统功能实现的数据结构，并绘制出牙龈变形模拟的算法流程，最后 展示了牙龈变形效果并对结果展开分析。 第五章结论。本章对本文的工作和研究成果做了总结，并对将来的研究方向进行 了展望。 4 2 牙龈变形模型 2 牙龈变形模型 论文中使用的牙龈模型本身是一个几何模型。它是先使用层析扫描技术获得存储了 牙齿模型几何结构数据的s t l 文件，读取s t l 文件将牙齿模型读入系统，然后将牙齿 模型进行牙齿与牙齿，牙齿与牙龈的分割，分割后的牙龈就是本文的研究对象。对于这 样一个牙龈模型，要将其进行逼真地动画模拟，需要对其建立一个变形模型，基于对软 组织物理、生物特性的分析，本文选用基于物理的变形模型。 在虚拟手术仿真系统中，通常将软组织的物理模型【8 j 分为：线弹性模型、非线性模 型、粘弹性模型。基于物理的计算模型主要有质点弹簧模型和有限元模型。有限元方 法( f e m ) 已经较多地应用于物体的形变建模，其中也包括实时的外科手术仿真中的软组 织建模。有限元模型精确度和稳定性较高、但实施困难、计算机效率较低；质点一弹簧 模型实施简单、计算复杂度较低，且对于软组织拓扑结构变化的适应能力较好，被许多 计算机领域的学者应用于软组织的变形、切割、缝合等虚拟手术仿真。基于质点弹簧 模型的应用主要有人体面部表情建模【9 1 ，人体肌肉等弹性物体变形建模【1 0 d2 1 ，布料仿真 【l l 】竺 1 d o 2 1 软组织物理模型 由于人体软组织极其复杂，而且一般由几个层次组成，通过对软组织生物性质的研 究可以得到物理模型的外在表现和内在参数。最常见的物理模型是遵从虎克定理的“线 弹性模型( l i n e a re l a s t i cm o d e l ) ”，但这个模型一般只使用于位移较小的情况下。复杂一 些的情况必须使用非线性的模型来描述。对软组织而言，据生物力学的研究表明，生物 组织应变的历史影响应力，尤其是在加载和卸载时的应力影响有明显的不同，呈现明显 的粘弹性特征引，因而也会选用“粘弹性模型来描述物理模型。三种不同的物理模型， 线弹性计算简单，较容易实施，非线性模型稍显复杂，粘弹性模型最为复杂，难以实施。 总之，相比较几何模型而言，物理模型显然复杂同时也精细地多，但过度复杂的物理模 型会造成实际计算的困难，因此必须在真实性和处理的实时性上得到折衷。 形变计算，是模拟变形中的关键环节，其算法的精度和复杂度确定了模拟效果的好 坏，恰当的计算模型能使模拟速度和精确度均达到反馈要求( 视觉反馈和触觉反馈) 。当 前变形领域中已经提出了许多种计算模型来反映不同的物理特性。从物理真实的角度来 讲，当模型受到外力作用后就要发生形变，用计算机模拟出这些形变，给操作者以真实 的感受是其主要目的。 基于物理的计算模型从是否连续的角度可分为离散模型和连续模型两大类。离散模 型是从离散的局部入手，然后再综合到整体，与连续模型不同的是，它不遵循一个在整 5 西安科技大学硕士学位论文 个物体空间上连续变化的规律。模型可以是连续的或离散的，但在计算机中实现它的方 法却无疑是离散的。从模型是否考虑物体内部的状态来看，又可分为面模型和体模型。 面模型只考虑物体表面的状态，而体模型还要考虑物体内部的状态。面模型存在无法表 达体数据的问题，但它的计算量比体模型要小很多。另外还有静态模型和动态模型之分。 静态模型只计算物体达到平衡态时的终状态，而动态模型还要计算物体达到平衡的过 程，显然动态模型的计算丌销比静态模型要大得多。 本文将从是否连续的角度对已有的主要计算模型进行分类。 2 1 1 连续模型 常用的连续模型主要有有限元和边界元模型两种。 ( 1 ) 有限元模型 当软组织的变形很小时( 通常小于原模型的1 0 【1 4 1 ) ，可以认为其变形符合虎克定律 所表述的线弹性理论：软组织物理模型中节点的应力和应变成线性关系。这一简化的软 组织力学模型，在小变形范围内可以较真实地反映其力学特征，而且在模拟过程中计算 响应较快，是一种目前常被采用的软组织力学模型。由于在矫正牙齿时，移动幅度较小， 牙龈变形是小变形，假设其为线弹性模型是合理的。 采用有限元方法的物理模型完全基于弹性力学原理来求解变形问题。有限元是工程 中解决弹性力学问题的常用方法，简称f e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，它根据物体的几何 形状、弹性常数、物体所受的外力和边界条件等近似求解出物体内部的应力分量、应变 分量与位移分量。 首先依据最小势能等弹性力学原理得到物体的平衡方程： k u = f ( 2 1 ) 其中，k 称为刚度矩阵，f 是体力、面力和点力的总和。体力指分布在整个物体上 的力( 如重力) ；面力指分布在物体表面的力；点力指施加在物体某一点上的力。u 是未 知的一个由所有单元各个节点的位移所组成的向量。对于动态变形则还要考虑物体的惯 性和依赖于物体运动速度的阻力，从而有平衡方程： m u + c u + k u = f ( 2 2 ) 其中，m 是质量矩阵，c 是阻尼矩阵，k 是刚度矩阵。 f e m 方法把整个物体所在的空间离散化为一个个小单元，划分物体的单元通常有三 角形、四边形、四面体等。如图2 1 所示即为一个弹性体有限元分割的示意图，剖分成多 个四面体单元，每个小单元都有一些节点。然后通过把( 2 1 ) 或( 2 2 ) 式离散到每个小单元， 6 2 牙龈变形模型 ( a ) 有限元分割成四面体单元( b ) 空间坐标系中的四面体单元 图2 1 有限元分割示意图 求出这些节点的位移，再运用预先选定的插值函数来计算单元内每一点的位移及其他所 关心的问题，如应力、应变和内力等。选择划分物体所用的单元和每个单元所采用的插 值函数是有限元方法的重要步骤。划分物体的单元属四面体较常见。一般插值函数是一 个多项式，由于插值函数必须在单元的n 个节点上满足特定的值，所以多项式至少有n 个 系数。 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，把节点的位移作 为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。 同样地，整体刚度矩阵的构造是由单元刚度矩阵整合而成，在计算时，花费了较长时间。 如果是静态变形，通过施加边界条件，消除刚度矩阵的奇异性就可以利用公式( 2 3 ) 来求解： u = k 。1 f ( 2 3 ) 求解过程就是要在已知外部的作用力和整体刚度矩阵( 拓扑结构不变时是常数) 的情况 下，求解模型的整体位移。 如果是动态变形，坐标向量u 是时间t 的函数，求解方程可以利用一系列的 u o ，u 1 ，u 来表示系统中各个节点在f 时刻的位置u ( t ) 。已知外部作用力、整体刚度 矩阵、整体质量矩阵和整体阻尼矩阵，方程( 2 2 ) 将变成二阶常微分方程，求解的时候将 其化成一阶常微分方程组： 衍， ( 2 4 ) m 鲁一 嘲u 也) + f 利用数值计算方法，例如欧拉法就可以求出方程组的解。 7 西安科技大学硕士学位论文 作为体模型，有限元模型比较完备地描述了物体的物理特性，逼真度高。与离散模 型所不同的是，f e m 是一个连续模型，它是从连续方程中推导出来的，因而它用较少的 节点数就可获得较高的精确度。事实上在计算机图形学中，采用严格有限元模型的应用 较少，这主要是因为它所需的计算花销太大。考虑矩阵m ，c 及k 的计算，这三个矩阵 都有3 n * 3 n 个元素( n 是整个物体的节点数) ，所以一般都需采用预处理的方法，如不然即 使物体只有几百个节点也几乎不可能达到实时的要求。另外，虽然预处理之后变形计算 只需几毫秒，但预处理却要花费很长的时间而且随着划分单元数的增加而迅猛增长。比 如对一个有1 9 3 个顶点和7 2 5 个四面体的模型，在d e ca l p h a s t a t i o n4 0 0m h z 上预处理花了 7 分钟，而当网格增加到1 7 3 5 个顶点矛1 8 1 2 4 个四面体时，预处理时间一下子增加到9 小时 【l5 。再有，即使用户可以忍受这样长时间的预处理过程，它也仍然不适用于实时仿真物 体拓扑结构发生改变或发生大的变形的应用，这是因为当物体改变较大后，质量矩阵m 和刚度矩阵k 的变化无法被忽略，从而必须重新计算，即无法采用预处理的技术。 虽然严格有限元模型并不适合图形显示方面的应用，但很多人通过各种简化计算的 技术采用了此模型。m a n d a l 等【1 6 j 人借助力的工具进行动态模型编辑。c o t i n 等人【l5 】利用 预处理技术实现了一个支持力反馈和碰撞检测的实时手术仿真系统。s z e k e l y 等人1 1 7 j 提出 了一个基于并行计算的f e m 算法，从而适合开发虚拟手术系统。 为了减少计算开销，孙剑【l8 】提出了一种模拟软组织变形的实时有限元新算法。该算 法成功地扩展了实时有限元法，使之能够处理手术中经常发生的软组织非线性变形和拓 扑变化，从而为手术模拟提供了更好的物理真实感。通过划分手术区域和非手术区域， 在其中分别采用不同的有限元模型，同时利用预处理方法，使混合模型的有限元方程的 阶数大为降低，以至可以做到实时处理。 除有限元方法外，目前在这一领域还有边界元素法。 ( 2 ) 边界元模型 边界元素法简称b e m ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ，是对弹性力学边界积分方程离散 求解的一种现代数值分析方法【l9 1 。它是把物体的表面划分成一个个小单元，计算每- - d , 单元上节点的位移从而插值出每一点的位移。物体表面划分单元如图2 2 所示。 与作为体模型的f e m 不同，b e m 适用于面模型，它仅把物体的表面划分成一个个 小单元，计算每- 4 , 单元上节点的位移从而插值出每一点的位移。按照弹性力学理论可 得关于物体受力后自由表面的位移和受约束表面的表面力所满足的线形代数方程组： 图2 2 表面离散单元 8 2 牙龈变形模型 h 。u = g p( 2 5 ) 其中霜和g 都是有3 n * 3 n 个元素的矩阵m 是节点数) ，都表示表面各单元节点位移向 量，p 是表面力向量。此时的节点数n 要远远小于f e m 方法中的节点数，因而大大减少 ? 矩阵计算量。 b e m 具有更加适合图形显示方面应用的特点。在b e m 中，要求解的仅是边界上的 位移和应力分布，这正是视觉和触觉上所需要的。作为面模型，b e m 的计算量比起f e m 方法要大大减少，而且它可以采用和图形渲染相同的边界离散技术而不像f e m 那样在物 体内部还需要网格。作为基于弹性力学原理的连续模型，它的逼真性比质点弹簧模型( 一 种离散模型) 要高褥多。 b e m 只考虑边界的本质是它的特色和成功所在，但这也限制了它所使用的材料必须 是质地均匀的材料。另外，不能表达体数据既是它的优点也是它的缺点。在很多工程应 用中，物体内部的力及位移是很重要的，这种情况下采用f e m 就更加臼然。再有，由于 其基于线弹性物理模型，往往使得视觉效果所需的大变形失真，这也是基于线弹性的其 他模型如有限元模型共同的问题，这需要使用时注意克服。梅春晖等人网提出基于l o d 的动态自适应多分辨率边界元模型，在物体变形效果不失真的前提下，减少了计算量， 并提出一种近似的几俺非线性边爨元模型，通过分步加载和迭代，改善物体大变形的j 妻 线性效果。 在仿真物体变形领域中应用边界元方法是由j a m e s 等 2 0 1 入在1 9 9 9 年首次提懑的。他 们基于此模型提出了一个适合动画和交互式虚拟环境的物体变形算法。此后m o n s e r r a t 等人1 2 h 也提出了一个基于b e m 的模型，并通过实验证明如果不采用并行算法的话，对于 至多有1 5 0 个节点的物体，他们的方法可以达到实时。基于边界元方法建立变形模型是 一个新的思路，目前采用它的应用还相当少，不过它已经引起了研究人员的注意，相信 不久就会褥到广泛的应用。 2 1 2 离散模型 离散模型是从离散的局部入手，然后再综合到整体，它不遵循一个在整个物体空间 连续变化的规律。 质点弹簧模型( m a s s s p r i n gm o d e l ) ，也称基于粒子的模型j ( p a r t i c l e b a s e dm o d e l ) 。它 是一种被广泛应用的基于物理的离散模型。该模型将物体离散成一个个相互独立的质 点，同时质点与质点之间用弹簧连接来表示质点间具有某种弹性联系。质点弹簧模型 根据模拟要求可以用来表示面模型也可以用来表示体模型。 在此模型中物体表面或者被分割为三角形网格或者被分割为矩形网格1 8 】，这种模型 是假想在网格的节点闻都离弹簧焊接而连接在一起，这样依据这种假想建立起来的模型 就因为弹簧的存在而产生了内部势能，当有外力施加于模型表面时内部势能阻止模型发 9 西安葶睾技大学磁士学位论文 生变形，当外力消失时内部势能能够使物体恢复原来形状。软组织物理建模技术中的质 点。弹簧模型的面模型和体模型，分别由分布在蓝面上或空闻内的离散的质点以及连接 质点的弹簧阻尼器组成的网格状结构构成，图2 3 ( a ) 、图2 4 ( a ) 所示。 ( a ) 图2 3 软组织面模型 ( a ) 。 在采用质点。弹簧模型时，可用无向 ttr b 、 图中的顶点代表软组织离散后的质点，与 u 其相连的边代表两相邻质点问的弹簧阻 nn尼器。设系统包含n 个质点，则几何拓扑 i i ( c ) 结构的邻接矩阵t ，其元素为： 入一 ：f1 ，f 与，相连接 一 7 一1 函 趴以力督2 笛纂刀 拓扑结构 该矩阵为对称方矩阵，对应第f 行( 或列) 中元素的和即为与i 个质点相连游弹簧 ，、 阻尼器数量，为表示方便，将该行中不为 么! l 零的元素集合定义为f ( 歹) = ( 毒，乏，t ) ，从 i ，6 一 一而定义了与弹簧阻尼器关联的质点。对 出 于质量分布相对均匀的组织采用面模型， 俺、，刀 其网格可均匀划分。 f 石j 孙( c ) 体模型是用来对具有一定体积的实 笙：形 体组织器富进行建模。箕拓扑结构可以简 ，2 呀 单地划分成以下几种：六面体( 图2 4 ( b ) ) 、 洌罢器嚣搿西篙套黧勰晶 乙卜叫 多面体，因此人体组织的几何体模型一般 图2 4 软组织体模型撅接结构 采用四面体模型，与此对应入体组织的物 理体模型的几何结构同样也可以采用四面体结构。四面体质点弹簧阻尼器模型与人体 组织几何模型基本一致，弹簧7 阻尼器数量比六面体模型增加5 0 左右，几何结构稳定， 建模相对较简单，因此也能较好地描述组织的物理特性。t e r z o p o u l s 和w a t e r s l 2 2 1 在利用 质点一弹簧系统对人面部进行建模时建立了一种3 层质量点网格模型，对于这种模型，由 予质量点不均匀分布，各层弹簧阻尼器的特性不相同，模型比较复杂，计算时间复杂度 相对较高。对于精度要求不是非常高，各部分物理特性差别不太大的情况下，一般采用 均匀划分质量点、各弹簧隰尼器特性相同的模型来进行处理。 从图2 5 ( 图中黄色小球代表质点) 可以清楚看到质点弹簧模型中的弹簧类型可以分 1 0 2 牙龈变形模型 为三类：结构弹簧( 图中紫色线条所示) ，剪切弹簧( 图中绿色线条所 示) ，弯曲弹簧( 图中红色线条所示) 。一个质点和它在经、纬方向上 相邻的四个质点存在着结构弹簧，在这种类型的弹簧上，存在着两 种力，分别称为拉伸力和排斥力，其弹性系数很大，以阻止软组织 在经纬两个方向过度的拉压变形；一个质点和它在对角线方向上相 邻的四个质点存在剪切弹簧，在这种弹簧上的力称为剪切力，剪切 弹簧用于模拟软组织内倾斜方向的作用力，弹性系数较大，以阻止图2 5 弹簧结构图 斜向的过度变形并模拟软组织的伸展性；一个质点跟它在经、纬方向上相隔的四个质点 存在有弯曲力，弯曲弹簧用于模拟软组织在弯曲或折叠时的抗弯曲性能，其弹性系数较 小，在大变形仿真中有时可以不考虑。但在模拟牙龈软组织小变形时，由于牙龈表面不 是光滑平面，如果不考虑弯曲变形将导致只有表面上质点的拉伸变形，形成表面松弛拉 伸形状，而没有牙龈表面的凹凸形状，变形失真。故需要想办法在牙龈质点法方向上施 加一个阻力，来模拟弯曲变形，基于这个思想，本文在第2 2 2 节“牙龈变形模型”中提 出了一种力学模型进行牙龈变形模拟。 质点弹簧模型可细分为基于力【5 】的和基于能量的两种。基于力的质点弹簧模型是 从每一质点的受力分析入手，根据物体上每一质点的运动要满足牛顿第二定律可得： 謦叫氛删，k u 纠学+ z ( 2 6 ) 其中是质点f 的位置，是质点f 的质量，y 是阻尼因子，( f ) 是所有与质点f 相邻的 质点，k ，是质点i 和质点，之间的刚度，o f 是质点f 和质点，之间弹簧的初始长度，f 是质点f 所受的其他外力，如重力等。可以看出此模型某一质点的状态是通过它的相邻 质点状态计算的。另外它是一个动态变形的模型，即可以计算物体在过渡到平衡态时的 形状渐变。基于能量的质点弹簧模型则是计算整个系统的能量，然后根据平衡时能量 最小( 最小势能原理) 来决定物体最后的形状。某一质点的能量也是通过它的相邻质点计 算而得的。基于能量的质点弹簧模型计算一个新状态的开销比基于力的要大，而且它 只能描述物体的终态，是一种静态模型。 本文将要提出的力学模型是基于力的，可以用来模拟动态形变，但考虑到变形质点 多，计算量大，于是将动态过程离散化，只取变形前和变形后的两个状态进行模拟，中 间的状态省略，也就是将动态过程静态化。另外借鉴了质点弹簧模型中质点间由无质 量弹簧连接的特点，称这种方法为基于质点弹簧模型的力学模型。 质点弹簧模型系统将变形物体简化成由弹簧连接的线弹性质点系统，利用质点弹 簧系统的运动规律来描述变形物体的弹性变形过程。在质点弹簧系统中，质点的运动 西安葶誊技夭学硕士学位论炙 规律由其连接的弹簧来约束，因质点运动而产生的弹簧变形力通过虎克定理计算。简化 质点弹簧系统瞄1 只考虑因弹簧的拉压变形而产生的弹性变形力，不考虑变形系统的弯 曲和剪切变形。牙龈变形不仅要考虑拉压变形，还要考虑剪切变形和弯曲变形。本文所 使用的模型是三焦面片拼接丽成，要添加结构弹簧和剪切弹簧缀容易，但弯益弹簧不容 易添加。鉴于此，本文在牙龈质点法方向上添加一个阻力，这个力用来产生弯曲变形的 效果。 在质点弹簧系统计算模型中，整个软组织表面律均质和均匀阻尼处理。对于每一 个三角形单元，根据其面积，把质量平均分配到顶点质点上，则质点的等效质量为： m 口为第f 个网格单元的质量分配到单元中第歹个质点上的质量数；m 为第f 个单元的 质点数目；矿为曲面的质量密度函数。假设阻尼直接作用顶点上，将单元的阻尼平均分 配到单元的每一个顶点，则等效的阻尼为： 靠为第f 个网格单元的阻尼分配到单元中第，个质点上的阻尼量；，为第i 个单元的质 点数目；y 为曲面的阻尼分布函数。确定参数p 和y 为单位量，依次对所有的曲面单元 进行计算，将同号质点的质量和阻尼量累加在一起，得到相应质点的质量m ；和c ，。 公式( 2 。6 ) 为常系数二阶微分方程初值闻题。求解此问题豹常用的数值方法是降除 法，将二阶微分方程转换为一阶微分方程组选用合适的数值方法进行求解。 质点弹簧模型相对于连续的物理模型来说，具有简单易建造，便于理解，计算速 度快，实时性和交互性比较容易实现等优点。由于它没有涉及弹性力学理论，从而可对 线性弹性和非线性弹性作统一的处理。另外，通过简单的增加和删除质点就可支持大的 变形和发生拓扑变化的变形。但是，由于网格的拓扑结构很大程度上决定了系统的行为， 因而若拓扑结构设计不合理就会导致失真。对相同的精确度而言，它需要比其它模型更 缨密的网格，这就导致了计算量的增加固。 在具体建立某个物体模型时，需要根据物体的材料来确定所采用的弹簧参数，但这 些参数却很难从物体材料麴特性参数中直接得到，如果选择了不正确的参数值就会导致 系统不稳定，并且有一些材料的属性也没有在模型中得到很自然的表达。对于质点弹 簧模型的参数的选取是本课题的一个难点之一，在第4 3 2 节“力学模型的参数选择”中 详细阐述。此模型也不适合表达刚度大的材料，这称为s t i f f n e s s 5 】问题。在动态质点一弹 簧系统中，刚度k 与计算所需的时间步长成反比，即若物体的刚度大则计算所需的时间 1 2 妒 上以 = 驴 上哆 l l 勺