（车辆工程专业论文）基于doe的柴油机数学建模及电控参数标定.pdf

摘要 摘要 d o e ( d e s i g no fe x p e r i m e n t s ) 是- - f l 基于数学和统计学的开发方法学，在 国外被普遍应用到发动机的标定中。本文以发动机标定方法为研究对象，将国 内尚未普及的d o e 方法学应用到某款高压共轨电控柴油机的标定中，讨论了基 于d o e 的标定方法相对常规标定方法的优势。 本文首先对d o e 方法学进行了研究，分析了d o e 相关的数学、线性代数和 统计学理论。比较了在我国较为流行的“正交设计”( 属于经典试验设计理论) 与基于计算机建模辅助发展成型的新d o e 理论的区别，指出现代d o e 理论相对 经典理论的优势。 随后在对d o e 理论的理解基础上，同时借鉴在国外公司d o e 部门实习时获 得的项目经验，在m a t l a b 平台下编写了研究所需的程序，包括： 试验设计程序：全因子设计、d 最优设计、v 最优设计、最大化最小间距标 准的拉丁超空间设计； 多项式建模及优化程序：伪逆法、最小化p r e s s 法、s t e p w i s e 、基于学生化 残差的异常值判别程序； 其他必要的程序：多维曲面绘图程序、自动遍历寻优算法等。 在完成程序的编写后，制定了基于d o e 方法的标定流程，并对某款高压共 轨电控柴油机进行了离线标定，标定流程包括： 根据发动机外特性曲线设置了模型的边界，对数据采样试验进行了多次取点 分布设计计算，通过一系列统计学参数( d 、v 、a 值和条件数) 的综合评 价选取了v 最优设计的方案作为最终方案； 选择不同模型进行建模计算，通过最小化p r e s s 法和s t e p w i s e 法对模型进 行优化修正，并通过r m s e 和p r e s sr m s e 两个参数对模型质量进行分析， 最终选取经过最小化p r e s s 法优化后含2 2 个项的多项式模型作为最终模 型： 基于模型进行基本控制策略的分析，结合分析结果进行计算机模拟试验和自 动寻优，对喷油压力和喷油提前角的m a p 图进行了离线优化； 摘要 通过试验对优化后的万有特性油耗曲线进行验证，证明了基于模型的标定取 得了显著的优化效果，优化后的油耗接近常规标定后的结果。 基于d o e 方法的标定流程仅花费了2 个工作日的试验量就完成常规标定需 要2 周才能完成的标定任务，显著地提高了标定工作的效率，证明了基于d o e 方法的标定流程具有减少试验成本、缩短标定周期的优点。 本文所作的离线标定以相对少量的试验为后续的在线标定打下了基础，若 在此基础上再结合d o e 进行在线标定可进一步提高标定效果。 关键词：试验设计，数学建模，优化标定，开发方法 a b s t r a c t a b s t r a c t d o e ( d e s i g no fe x p e r i m e n t s ) i sam e t h o d o l o g yf o rd e v e l o p m e n tb a s e do n m a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s i th a saw i d ea p p l i c a t i o ni ne n g i n ec a l i b r a t i o ni nf o r e i g n c o u n t r i e s t h i sp a p e ru s e st h ed o e m e t h o d o l o g y , w h i c hi sy e tn o tp o p u l a ri nc h i n a , i nt h ec a l i b r a t i o no fac o m m o n - r a i ld i e s e le n g i n ea n dd i s c u s s e st h ea d v a n t a g eo ft h e c a l i b r a t i o nw o r k f l o wb a s e do nd o e a g a i n s tt h ec o m m o nc a l i b r a t i o nw o r l d l o w f i r s t l y , t h r o u g ht h es t u d yo fd o e t h e o r i e s ，ac o m p a r i s o no ft h e o r t h o g o n a l d e s i g nt h e o r y ，w h i c hi so n eo ft h ec l a s s i c a ld e s i g nm e t h o d sa n di sv e r yp o p u l a ri n c h i n a , a n dt h en e wd o e - t h e o r i e s ，w h i c ha r ed e v e l o p e dt h r o u g ht h es u p p o r to f c o m p u t e r , i sc a r r i e do u t t h ea d v a n t a g eo fn e wt h e o r i e si ss h o w nt h r o u g ht h ea n a l y s i s o fm a t h e m a t i c a la n ds t a t i s t i c a lt h e o r i e s s e c o n d l y , b a s e do nt h ek n o w l e d g eo fd o e t h e o r i e sa n dt h ee x p e r i e n c ef r o mt h e i n t e r n s h i p i nt h e d o e a p p a r t m e n to faf o r e i g nc o m p a n y , p r o g r a m sa b o u t d o e a l g o r i t h m sa r ew r i t e no nm a t l a b p l a t f o r m ，i n c l u d i n g ： e x p e r i m e n t a ld e s i g np r o g r a m s ：f u l l - f a c t o r i a l d e s i g n ，d o p t i m a ld e s i g n ， v - o p t i m a ld e s i g n ，l a t i n h y p e r c u b e d e s i g n ( b a s e d o n m a x i m i z e - m i n i m a l d i s t a n c e ) ； p o l y n o m i a l m o d e l i n gp r o g r a m s ：p s e u d o i n v e r sm e t h o d ，m i n i m i z e p r e s s m e t h o d ，s t e p w i s em e t h o d ，p r o g r a m f o ro u t l i e r - i d e n t i f i c a t i o nb a s e do n s t u d e n t i z e d - r e s i d u a l ； o t h e rp r o g r a m s ：p r o g r a mf o rm u l t i - d i m e n s i o n p l o t t i n g ，a u t o m a t i c a lo p t i m i z a t i o n p r o g r a ma n d s oo n a tl a s t ，ac a l i b r a t i o nw o r k f l o wb a s e do nd o e m e t h o d o l o g yi sm a d ea n da o f f - l i n ec a l i b r a t i o no fac o m m o n r a i ld i e s e l e n g i n ei sc o n d u c t e d t h ew o r k f l o w i n c l u d e s ： t h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni ss e tb a s e do nt h ep e r f o r m a n c ec o n t o u rc u r v e s e v e r a l e x p e r i m e n t a ld e s i g nc a l c u l a t i o n sa r ec o n d u c t e da n dt h eb e s td e s i g ni ss e l e c t e d b a s e do nt h ec o m p a r i s o no fd ，v ，av a l u ea n dc o n d i t i o nn u m b e r ； i i i a b s t r a c t d i f f e r e n tm o d e l sa r et r i e di nt h em o d e l i n ga n dm i n i m i z e - p r e s sa n ds t e p w i s e m e t h o da r eu s e dt oo p t i m i z et h em o d e l s t h r o u g ht h ee v a l u a t i o nb a s e do nr m s e a n dp r e s s ，ap o l y n o m i a lm o d e lw i t h2 2t e r m si ss e l e c t e da st h eb e s tm o d e l ； t h r o u g ht h ea n a l y s i s o ft h eb a s i cc o n t r o l s t r a t e g y a n dt h ea u t o m a t i c a l o p t i m i z a t i o nb a s e do nt h em o d e l ，ao f f - l i n eo p t i m i z a t i o no f t h ei n j e c t i o np r e s s u r e m a pa n di n j e c t i o na n g l em a p i sc a r r i e do u t ； t h ec h a r a c t e r i s t i cp e r f o r m a n c ec u r v ea f t e rt h eo p t i m i z a t i o ni se v a l u a t e dt h r o u g h e x p e r i m e n t s 1 1 1 em o d e l - b a s e dc a l i b r a t i o nh a sa r c h i v e dn o t a b l ee f f e c t w h i c hi s c l o s et ot h er e s u l to fac o m m o nc a l i b r a t i o n t h ec a l i b r a t i o nw o r k f l o wb a s e do nd o e m e t h o d o l o g yc o s t so n l y2d a y s e x p e r i m e n t sa n dc o m p l e t e dt h ec a l i b r a t i o nt a s k ，w h i c hn e e d sn o r m a l l y2w e e k s b y c o m m o nc a l i b r a t i o n t h ee f f i c i e n c yo fc a l i b r a t i o nw o r ki sg r e a t l yr a i s e d ，w h i c h p r o v e dt h a tt h ec a l i b r a t i o nw o r k f l o wb a s e d0 1 1d o e m e t h o d o l o g yh a st h ea n v a n t a g e i nr e d u c i n gc o s t sa n dt i m e k e y w o r d ：d e s i g no fe x p e r i m e n t s ，m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ，o p t i m i z a t i o na n d c a l i b r a t i o n , d e v e l o p m e n tm e t h o d i v 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 论文的研究背景及意义 1 1 1 论文的研究背景 改革开放以来，中国汽车产业经过3 0 年的技术引进和企业合资得到了飞速 发展。1 9 7 8 年，全国生产的所有汽车是1 4 万辆，其中生产轿车2 6 5 0 辆，市场 份额只占到全世界市场的3 5 ，。1 9 7 9 年，德国大众在中国开办了第一家合资 经营企业上海大众汽车公司，之后大量国外汽车企业进入中国，建立了合 资企业。到2 0 0 0 年时，中国生产的2 0 0 万辆车占到全世界份额的3 5 。到2 0 0 7 年，中国汽车产量占全世界份额的l 7 ，生产汽车8 8 8 万辆，其中轿车约4 9 0 万 辆，汽车工业总产值已经超过了2 万亿元，这中间是翻天覆地的变化。 虽然从产量上看，中国汽车产业的发展取得了很大的成果，但从先进技术 的掌握程度上看，我国的汽车自主开发能力还很薄弱，合资企业的外方掌握着 技术，关键技术有严密的保密措施，并且设计和开发流程也很少全部在中国进 行，使得中方难以学习和掌握先进技术和开发流程。例如发动机方面，国内普 遍使用国外已经完成基础标定( 与整车匹配前的发动机标定) 的发动机，而国 产发动机电控系统的复杂程度与国外还有着相当大的差距。因此在中国汽车的 发展中，不但需要先进技术的引进，同时也需要自主开发的尝试。 尝试自主开发需要大量的试验支持，耗费大量的成本和时间，对于发展中 的中国企业，应该尽可能减少开发所造成的经济负担。因此有必要引入国外的 先进开发方法，对试验方案进行合理设计，通过较少的试验达到预定的开发目 的。 d o e ( d e s i g no fe x p e r i m e n t ) 直译为“试验设计 ，由于作为一个专用名词 具有比试验设计本身更广泛的涵义，因此本文仍使用原文缩写。d o e 是一门通 过统计学理论指导工业活动的方法学，它对试验过程进行合理规划，缩短开发 周期，减少开发费用。汽车产业是d o e 的重要应用领域之一，而在汽车开发中， d o e 的一个主要应用领域是发动机的标定。 第1 章绪论 1 1 2 发动机的标定方法 发动机在特定工况下总是存在一组最佳的控制参数，传统的机械控制只能 以某种固定曲线的规律来控制参数的变化，通常只能在某一个或几个工况下达 到最优，而不可能在全工况同时达到最优。参数的电控化可以实现精确控制， 避免了不同工况的优化需要妥协的问题，对汽车的经济性、动力性、排放等各 方面都起到显著的改善作用，今后电控将逐步取代机械控制，并且电控系统也 将越来越复杂。 发动机的控制参数存储于e c u 中，通过读写e c u 即可改变电控参数，确 定各工况下最佳电控参数的过程称为标定，其实质是一个优化过程。在发动机 运行状态下即时改变控制参数来寻优的方法称为在线标定( o n 1 i n ec a l i b r a t i o n ) ， 在脱机情况下利用试验中获得的数据进行标定的方法称为离线标定( o f f - l i n e c a l i b r a t i o n ) 。其中在线标定又分为直接使用e c u 硬件的h i l ( h a r d w a r ei nt h e l o o p ) 和使用计算机软件控制的s i l ( s o f t w a r ei nt h el o o p ) 。 1 1 3d o e 在发动机标定中的意义 汽车的零部件开发越来越多地借助计算机建模仿真【l 捌，现代d o e 通过试验 设计与数学建模的结合，成为辅助发动机标定的有力工具。 标定即是确定最佳的电控参数组合的过程，对所有的组合都进行一次试验 一定能找到最优值。但是随着现代发动机控制系统的复杂化，为了标定逐步增 加的控制参数，例如进排气正时、e g r 率、分段喷射等，理论上需要的试验数 量随参数数量按指数上升。当前的先进发动机中，整车匹配前汽油机有6 - 9 个待 标定参数，柴油机有1 1 个左右，1 0 个参数的标定需要的试验次数接近千万。实 际情况是，对于待标定参数大于6 个的情况，全面试验无论在开发费用和周期 上都是无法接受的。常规标定方法在无法进行全面试验的情况下，应用每次改 变一个参数的方法( “o n e f a c t o r - a t t h e t i m e ”) 依次对每一个参数进行寻优，但由 于各参数之间存在着相关性，常规标定很难找到实际的最优值。 d o e 在发动机标定中的目标是实现“基于模型的标定 ，也可以将“基于模 型的标定”看作是基于d o e 标定流程的一个步骤。d o e 的原则是选择有限个工 况点以及电控参数组合进行试验，通过试验取点的合理分布使数据对建模作出 最大的支持，尽可能提高模型精度。完成建模后基于模型的模拟结果进行标定， 2 第1 章绪论 估计出最优的电控参数，而不像常规标定那样借助大量的试验直接进行电控参 数的寻优。 d o e 既可用于在线标定，也可用于离线标定。 d o e 离线标定指在已知发动机运行边界的前提下进行试验设计，按照设计 方案进行试验获得数据，然后利用数据进行建模，最后基于模型分析发动机特 性关于电控参数的变化规律并作出离线优化。在对发动机的运行界限有一定了 解的情况下，例如有可参考的同类型发动机数据，可进行离线标定。 d o e 在线标定指直接在试验台架上找出各工况点最优的参数组合，适用于 对发动机运行界限不了解的情况。在线标定通过集成在硬件中的试验设计算法， 以一个可以稳定运行的工况点( 又称“安全点 ) 为中心进行试验设计，然后进 行试验。如果在试验过程中遭遇不稳定运行的工况点，则自动后退寻找附近的 可运行工况点，然后记录下边界，如此自动完成所有试验。 1 2d o e 在国内外的发展现状 1 2 1i ) o i ：理论的发展历史 d o e 的发展历史可追溯到上世纪初，最早由英国的r a f i s h e r 发展起来， 先后应用于农业和工业，其1 9 3 5 年出版的试验设计一书开创了这门新学科。 二次世界大战后，日本质量学家田口玄一将试验设计应用于改进产品质量，并 发展出了正交设计1 4 j 。 本文所使用的主要是7 0 年代后借助计算机的大运算量发展起来的优化回归 设计和数学建模理论，国外对此进行了大量研究和应用，期间产生了多种算法 和新理论，不断完善着d o e 理论。回归设计的基本思想是为建立回归模型而进 行试验设计，其基础是线性模型，即用多项式对数据进行多维拟合。之后为了 应对线性模型无法很好描述的对象，非线性模型又得到了很大发展，例如近年 来得到广泛应用的神经网络模型。试验设计从基本的经典设计发展出针对线性 模型的最优设计和比经典设计具有更高灵活性的空间填充设计，每种设计方法 之中还有多种不同的具体算法。目前，这些基于计算机建模辅助的现代d o e 理 论正应用于包含汽车、化工、电子等各工业领域。 第l 章绪论 1 2 2d o e 在国外汽车行业的应用 汽车行业中，d o e 在优化发动机排放和经济性的运用时间略超过l o 年，应 用领域包括冷起动排放【5 1 、进排气门设计1 6 1 、催化系统优化【7 ，引、可变传动链的优 化【9 , 1 0 】等。d o e 的应用缩短了发动机的开发周期，它能视觉呈现了不同参数的互 动关系，辅助了优化过程【l 。在汽车业自主运用d o e 的领先者是德国和美国， 其主要使用者是一些实力强的大公司以及从事开发和技术支持的企业，如美国 福特、奥地利的a v l 、德国的i a v 1 2 j 设有专门从事d o e 研究和应用的部门。 目前使用最广泛的d o e 离线标定工具是m a t h w o r k s 的m a t l a b 下的m b c 工具箱( m o d e l b a s e dc a l i b r a t i o n ) ，它集成了多种常用的模型和算法，得到国外 企业的广泛使用。m b c 工具箱支持“试验设计一数学建模_ 基于模型的优化 的一整套功能，是强大的应用软件。在其开发过程中也包含了同汽车行业企业 的合作，例如t w os t a g e 模型是m a t h w o r k s 同福特公司共同开发的。 虽然m b c 工具箱在从事d o e 的企业中有很高的普及率，但也存在不足之 处( 见3 1 1 章节) ，因此也有公司独立开发了自己的离线d o e 软件，例如i a v 公司的模型分析软件m o d e l a n a l y s e r 、用于h i l 的r t - l a b 以及面向非专业用户 的e a s y - d o e 。 在线标定方面，a v l 公司的c a m e o 软件配置了多个经典试验设计和最优 设计算法，同时支持离线标定和在线标定，具有相当的知名度。支持e c u 读写 的软件是在线标定的必备工具，其中应用最广泛的是e t a s 公司的i n c a 1 2 3d o e 在国内的发展现状 国内对d o e 的理解及应用还明显落后于国外，大量关于试验设计的书籍都 还停留在以正交试验设计( 包括本质仍为正交试验设计的田口试验设计) 为主， 少有提及最优设计或建模理论，容易给人造成“试验设计等价于正交设计”和 “试验设计仅仅是对试验的设计”的错觉1 1 3 。2 4 。 正交试验设计在我国自8 0 年代开始得到广泛应用，具有使用简单、取点合 理等优点，有助于数据分析。但正交设计的灵活性较差，水平数和试验次数都 不能自由确定，若直接应用在发动机标定上，由于步长过大、试验次数过少等 特点是无法满足电控系统精密控制的要求的。此外，由于建模对试验次数有一 定要求，次数较少的正交设计也不适合用于建模。 4 第1 章绪论 在数学建模方面，数学模型这个概念的接受程度不如物理模型。国内书籍 对回归理论( 常用的数学建模理论) 的介绍不够普遍也不够深入，大都以介绍 简单的一元、二元回归为主，即使提到多元回归也只以一阶线性回归为例，而 国外已经发展出很成熟的多元高阶线性回归方法【2 5 五7 1 。 国内高校在基于模型的发动机标定上也做了一定的研究。离线标定方面， 清华大学的汽车工程系利用m b c 工具箱对某款高压共轨柴油机作了建模优化， 使用了二阶段( t w o s t a g e ) 试验设计方法和径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ， 通常简称r b f ) 模型【2 8 】。在线标定方面，吉林大学利用a v l 的c a m e o 软件进 行了某款电控柴油机的标定研究，使用了集成在软件中的d 最优设计算法 ( d o p t i m a l ) 2 9 1 。 国内在d o e 应用上的不足在于： 1 )在理论的推广和应用上远远落后于国外。 2 )应用基本仅限于高校，企业对d o e 的应用几乎为零，但某些大型企业 例如上海大众表示将逐步将d o e 引入中国。 3 )不论在线标定还是离线标定都依赖国外的软硬件，缺乏自主程序开发 和研究。 1 3 本论文的主要工作和意义 本文将d o e 方法引入到发动机的标定中，用较少的试验量对一款高压共轨 电控柴油机进行了标定，基于d o e 的标定流程分为以下步骤： 1 )对d o e 理论进行研究，分析各种方法的优缺点并进行选择； 2 )根据理论利用m a t l a b 编写程序并用m b ci 具箱对其进行验证； 3 )根据发动机的外特性边界条件进行试验设计； 4 )利用试验数据建立发动机万有特性曲线的数学模型； 5 )通过统计学分析和验证数据对模型进行评估和验证； 6 )基于模型进行离线标定，并对标定结果进行试验验证。 本文通过“理论一编程_ 应用”的流程对d o e 在发动机标定上的应用作了 研究，与基于专业软件的国内其他研究相比，填补了理论到应用之间的空白， 具有创新意义，同时对今后国内d o e 软硬件的自主开发也具有参考价值。 第1 章绪论 国产发动机的电控系统将越来越复杂，标定将涉及越来越多的电控参数， 最终也将遭遇国外的类似情况，即很难依靠常规方法进行标定。但d o e 在中国 的汽车产业中还没有普及应用，国内企业还不够重视方法学对自主开发的重要 性，本文对于d o e 在中国的推广和应用具有一定参考价值。 6 第2 章d o e 理论基础 第2 章d o e 理论基础 起初，d o e 指试验样本取点方案的设计，后来随着对数据处理的要求提高， 并且计算机的发展提供了硬件基础，现代d o e 理论的涵义不但包含了试验设计， 也包含了数学建模阶段和基于模型的标定( 图2 1 ) 。对于本文重点介绍的最优设 计方法，这2 个阶段之间有很强的相关性，在整个流程中相互影响，必需共同考 虑。 在逻辑关系上，与物理模型有所不同，数学建模必需先获得数据，而不同的 模型有不同的最佳试验方案，因此对试验作设计之前又需要考虑使用什么模型。 考虑到循环的逻辑性关系，本章先介绍建模再介绍试验设计。 l 设计试验取点 l建模 r 基于模型 的标定 l 试验验证 l 经典设计 l i 最优设计 l i 空间埴充设计i 图2 1 基于d o e 的标定流程图 2 1 数学建模的理论基础 2 1 1 物理模型与数学模型 物理模型是常见的模型类型。很多科学研究涉及到复杂的物理模型，例如将 一个复杂的物理模型通过一套复杂的物理公式表达： 7 梗型特征反馈 第2 章d o e 理论基础 y = g ( 五，t ) ，x 2 ( 五，t ) t ( 2 1 ) 式中，x 由若干个输入参数组成，y 为响应( 输出) 参数，t 为输入空间。 函数g 可以是一系列方程的组合结果，包括线性、非线性、常微分、偏微分方程。 在很多情况下，进行物理试验以便解析出输入x 和响应y 之间的准确对应关系是 非常耗费物资或时间的，此时就需要借助较抽象的数学模型。数学模型的主要目 的之一是寻找一个比物理模型简单的近似模型，这对解析复杂物理现象是很重要 的【3 0 1 。 物理模型根据科学定律描述客观对象，目标是真实而完整地反应出该对象的 特性，对于一个由多个部件组成的系统需要计算每个部件的相互作用以求得系统 的某个输出量。数学模型中不要求存在与实际零部件一一对应的模型，如果对象 是一个复杂系统，可以饶过系统内部的复杂关系，将整个系统当作黑箱，用近似 的解析式来表现系统输入与输出之间的关系。 数学建模是对数据的拟合，拟合是一种近似的方法，拟合得到的数学模型是 对某种客观规律( 物理模型) 的估计，但这并不代表数学模型不如物理模型。评 价一个方法或理论的标准不在于是否准确，而是是否有助于认识客观现象、解决 客观问题，而某些需要简化的情况下，数学模型比物理模型更有利于解决问题。 常用的模型种类分为线性模型和非线性两大类，它们具有不同的特点和适用 条件。 2 1 2 线性模型与线性回归 线性模型的发展早于非线性模型( 见2 1 3 节) ，理论相对较简单但发展较完 善，涉及到建模的d o e 理论大都是基于线性模型理论发展起来的。线性模型是 本文的重点，第3 章的编写程序也大都是针对线性模型的。 数学建模方面的线性模型指的是多项式模型，线性模型的本意指一阶多项 式，在这里等价于多项式的原因是不同的视角。建模过程是解线性方程组的逆运 算，高阶的未知数在逆运算过程中视作常数，一阶的多项式系数则视作未知数， 因此方程组从高阶变成了一阶。为避免误解，后面的章节仍然将“线性模型 称 为“多项式模型”。 线性回归是常用的多项式模型建模标准，本文的建模计算都是基于这一标准 的。在拟合曲线时，把每个点的测量结果都作为真实值的估计值，由于测量误差 的存在，严格要求曲线通过每一个点有时不是好方法。线性回归不要求曲线通过 8 第2 苹d o e 理论基础 每个测量点，而是以曲线上的点到测量点的差距最小化为目标，这是一种对抗测 量误差的有效方法。 例如在m a t l a b 中，建立一个抛物线形式的物理模型y = 0 5 * x 2 ，对曲线 上的1 1 个点加入一定的随机扰动以模拟测量误差y = y + 3 * ( r a n d ( 1 1 ，1 ) 0 5 ) ( 图 2 2 ) ，测量值均匀分布在实际曲线两侧，按照最小二乘法线性回归拟合得到的结 果则准确地复元了原曲线。 a 最小二乘法 图2 2 对抛物线轨迹进行测量的误差分布 线性回归有多种标准，其中最小二乘法以最小化模型值和测量值之差的平方 和作为标准： ( 允一只) 2 专而n ( 2 2 ) i = l 理论上还存在其他回归标准，但绝对值求和的数学性质不好，不利于计算分 析，而高阶求和的方法计算复杂，而效果往往不如平方求和【3 1 】【3 2 j ，因此最小二 乘法是最常用的。 9 第2 章d o e 理论基础 b 回归矩阵 回归矩阵( r e g r e s s i o nm a t r i x ) 是多元回归计算的基础，它是设计矩阵与模 型信息的合成。 由被测参数和各组测量构成的矩阵称为设计矩阵( d e s i g nm a t r i x ) ，每一列 代表一个被测参数，每一行代表一次测量( 表2 1 ) ，通常用字母x 表示( 式2 3 ) 。 表2 1 设计矩阵( 灰色部分的注解不属于矩阵元素) ；“试警序7 蒜。菇矩e g r 。：蠢 ： ，施 1 a l la 1 2a 1 3 。 ， 2 j a 2 1a 2 2a 2 3 。 i ， 3i a 3 1a 3 2a 3 3 j4 。 a l 4 la 4 2a 4 3 象 。 ，i 。 x = 0 1 1q 2 c 2 1a 2 2 a 3 1a 3 2 口4 la 4 2 a 1 3 口2 3 q 3 3 q 3 ( 2 3 ) 试验设计的计算还需要对设计矩阵进行所谓的标准化操作，将每个元素的值 域都转化至【1 ，1 】，实现标准化的m a t l a b 命令参考附录a 程序段1 。 模型信息可以表示成一个模型矩阵m ，模型矩阵的列与设计矩阵的列一一 对应，模型矩阵的行表示回归矩阵每列的组成信息。 f x = m 隹n 1 2 誊 1 0 第2 章d o e 理论基础 j ，x =( 2 4 ) 式中，删为表示阶数的自然数，面为表示测量值的有理数，x 为设计矩阵， m 为模型矩阵，f x 为回归矩阵。 式( 2 4 ) 是回归矩阵的合成规则，回归矩阵的行代表一个测量点，列代表 多项式的一个项。 生成回归矩阵的程序需要用到循环语句的嵌套，参考附录a 程序段2 。 c 线性回归的代数性质 线性回归的目的是建立多项式模型，用回归矩阵f x 和回归系数( 即多项式 系数) 来表示模型响应。 建立回归矩阵后即可建立线性方程组f x * b - - - - y ( m a t l a b 命令表示的矩阵计 算) ，然后计算多项式系数b 。方程组解的状态由回归矩阵的秩决定：设f x 的行 数为m ，列数为n ，将由f x 和y 组成的增广矩阵 f x ，y 】看作有m 个n + 1 维行 向量组成的向量组，增广矩阵的行秩指该向量组的最大无关组的数量，即最大无 关组中的任意向量不能以其他向量的线性组合表示。当行秩等于n 时，方程组有 唯一解；当行秩小于1 1 时，方程组有无穷多个解；当行秩大于n 时，方程组无解 3 3 1 o 线性回归要求行秩大于n ，也就是解线性方程组过程中导致无解的情况。 但与解方程组的要求不同，线性回归不强制要求曲线通过测量点，也就是说，不 要求模型响应值夕与测量值y 完全相等，因此并不受“方程组无解”的限制。另 一方面，由于测量误差的分布特性，测量点越多，越能反应出实际曲线的形状， 回归结果的可靠性越高。这一特点在方程组中的表现就是，增广矩阵的行数减列 数之差越大，对于线性回归越有利。 由于线性方程组无解，回归矩阵不可逆，所以不能用式( 2 5 ) 的矩阵除法求 得系数向量b ： b = y f x ( 2 5 ) 而需要通过回归矩阵与其转置乘积的逆矩阵求出b ： 3 弘 ” 幸 宰 事 弛 恤 矾啦伪以也一，吩 伪仍级以 卟” 毒 2 2 2 2 玩现以m 也也也啦 识现以矾 吣吣吣吣 宰 奉 + 2 2 2 2 愧 吨 仇 2 2 2 2 巩现西矾 宰 + 宰 l i i i 唧 愧 吨 吨 ；lq 呸吩q 第2 章d o e 理论基础 b = ( f x r 木麟) 。1 幸麟r + y ( 2 6 ) 用于发动机特性曲线拟合的多项式一般为2 阶至4 阶，更高的阶数很少使用。 多维高阶多项式模型有相当强的变化能力，在选择适当的前提下能满足大部分宏 观系统的拟合需要【3 4 】。图2 3 和图2 4 展示了几种形态的多项式模型曲线，曲线 形状除了受阶数和交叉项影响，也和多项式系数有关。 图2 3 一维2 、3 、4 阶多项式模型 ，吨缸l 爷 和r n l 坼m ，i o 呻p 竹 2 1 3 非线性模型 图2 4 二维2 、3 、4 阶多项式模型 随着研究对象的复杂化，线性模型无法满足拟合要求的情况逐渐出现，非线 性模型的应用逐渐增多1 35 。近2 0 年来，神经网络在非线性函数关系上的拟合能 力得到广泛认可并成功运用于建模工作1 3 引。与经典的线性模型相比，神经网络的 函数结构具有隐藏性( m a s k ) ，因为神经网络的输出是多若干个被称为神经元( 图 2 5 ) 的函数共同作用的结果。神经网络模型无法预先确定一个数学定义式，而 是在获得数据后通过被称为“自学习”的过程来确定模型。最常见的神经网络是 多层感知型( m u l t il a y e rp e r c e p t r o n ，简称m l p ) ，多个输入被分配不同的权重 后进行相互作用，获得多个中间输出量，再由这些中间输出量再次分配权重并进 1 2 第2 章d o e 理论基础 行相互作用，如此进行若干次后合成为输出参数，工作原理见图2 6 。常用的神 经元类型是l o g - s i g m o i d ( 式2 7 ) 和t a n - s i g m o i d ( 式2 8 ) 。 知 砭 】c 3 输入 输出 枝状晶权重传递函数轴突 图2 5 神经元的工作原理 图2 6m l p 神经网络的工作原理 吣) = 专 盯( x ) = 丽e x e - x ( 2 7 ) ( 2 8 ) 径向基函数( r b f ，r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 是另一种常用的非线性模型，由 于作用原理相似，有时也被视为神经网络的一种。一个r b f 函数由若干个核心 ( k e r n e l ) 构成，这些核心分布在空间的不同位置，各自具有一个核心值，并对 周边范围产生影响，影响力随距离变化。模型同样以“自学习 的方式根据数据 确定每个核心的位置、核心的值以及随距变化的函数，模型的输出值是多个核心 相互影响、共同作用的结果，并且是关于空间位置的函数( 图2 7 ) 。 第2 章d o e 理论萆 = f i j r 蒸y oiy02“t + “2 f 八卜爪八j i xl v ) 1 ，i ? ? 、j ，! 、j xj |i j l 二一7 令拿一 幽27r b f 的j 作原理 以r b f 桉心的蛹数表达分类，最常见的是商晰型( 幽28 ) ，此外常用的r b f 植一t l , 见h29 。 “”f “”= 17 j ”一“f + 口2 i ：) ：匆2 9 图28 自斯卤数核心的r f i f 第2 章d o e 理论革础 嗲i 掺 今 h29 h i np l a t e 样条、i , o g is t ic i m u l t iq u a d r ic s 核心的r b f 22 试验设计理论 j 、义的试验设计包括试验设计本身、数学建模以及后续的优化过程，奉牾所 讨论的足试验殴训的原义即试验的样本取点分如敬玑也就足r 义d o e 总流 程上的第步。 2 21 试验设计的意义 试验设汁的目的是为丁降低丌发费刖和剧期。墟过数学挫模可以利用相对较 少的试验数据展现出发动机特降曲线的走势，预测m 来进彳试验的试验空间的特 性，从而减少试验标定的试验最。而试验垃计的口的是通过对试验样本空问分靠 的合理殴计进一步减少建模所需的试验数据，也可以理解为使一定数量的试验取 点具有最大的信息含量p 7 1 。 试验设汁的摹硎埕统训学误差分析。样本分向足否合理是改定建模成功的咒 键，以最简单的儿。次蛹数为例，为确定模型所需的测母点最少为2 ，如果i 测最2 点，这2 点的问距越大，函数斜；年受测量误差影响的变动范围越小( h 第2 章d o e 理论基础 2 1 0 ) 。 羽 绿 l 扣 丑 簿 k 图2 1 0 不同取点位置对模型精度的影响 d o e 的试验设计方法分为经典设计( c l a s s i c a ld e s i g n ) ，最优设计( o p t i m a l d e s i n ) 和空间填充设计( s p a c e f i l l i n gd e s i g n ) 3 个大类。 2 2 2 经典设计 经典设计是最早的试验设计方法，其计算简单( 某些方法不需要计算) ，缺 乏针对性，对统计学计算的利用较少，减少试验量的效果有限，通常只适合用于 简单系统的建模或分析，无法满足像发动机标定这种对精度要求较高的工作。下 面介绍以下基本的经典设计方法。 a 全因子设计 全因子设计( f u l lf a c t o r i a ld e s i g n ) 是经典设计的基础，同时也是所有试验 设计方法的基础，全因子设计涵盖了所有的试验取点可能性，其他设计方法是在 全因子设计的结果中选取一定数量的取点。 b b o x b e h n k e n b o x b e h n k e n 设计由g e o r g ee p b o x 和d o n a l db e h n k e n 在1 9 6 0 年发明，是 1 6 第2 章d o e 理论基础 针对响应表面的设计方法。该方法将每个因素3 等分，组成一个试验空问，在每 个面上取各边中点，最后再加上试验空间的中心点，见图2 1 1 【3 引。 c 中心复合设计 左：三维空间的点分布；右：每个表面的点分布 图2 11b o x - b e h n k e n 设计结果 中心复合设计( c e n t r a lc o m p o s i t e ) 在周长方向上均匀取点，再加上中心点 作为设计结果，试验空间为方形和球形时会有不同的设计结果( 图2 1 2 ) 。 d 正交设计 图2 1 2 球形和方形试验空间的中心复合试验 正交试验通常以标准正交表的形式进行，其特点即正交性的含义是，任意2 个因素对应各试验的水平之差的向量积为0 ，以l9 ( 34 ) 为例的标准正交表见表 2 2 。4 因素、3 水平的正交试验次数为9 次，s u m ( ( n , 一嘭) 掌( 嘭一吼) ) = o ，i 、j 、 1 7 第2 章d o e 理论基础 k 为任意不相等的自然数。 正交试验的优点是：查明各因素对试验的影响，分清主次因素和无效因素， 区别独立因素和交互因素。其不足之处是：水平数( 步数) 小于因素数，试验次 数少，且受因素数和水平数控制，无法自由选择，只能在所进行的试验中选取最 名士 3 9 ，4 0 】 i - t -o 表2 24 因素3 水平正交试验表 试验序号a l a 2 a 3a 4 l1l11 21222 3l333 4 2l23