（电路与系统专业论文）基于Volterra级数的非线性电路研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 近年来，随着科学技术的发展和进步，对系统性能要求的不断提高，越来越 多的非线性现象引起了人们的重视，非线性问题已经成为当前研究的热点问题之 一。 一般地，只要电路中有一个元件是非线性的或者处于非线性工作状态的我们 都称之为非线性电路，非线性电路研究属于非线性研究的一个方面。 本文所做的工作就是讨论了非线性电路的y o l t e r r a 级数分析法。y o l t e r r a 级数法是一种比较有效的分析方法，利用该方法可以导出与线性系统传递函数相 似的非线性传递函数。非线性传递函数是系统的固有特性，能完整地表示一个非 线性系统，而与输入信号的选择无关，利用它可以很直观的研究非线性系统的谐 波、增益压缩扩张、频率互调制等频率特性，具有鲜明的物理意义。 本文主要进行的工作如下： 首先，综述了非线性电路的研究现状，介绍了非线性电路的经典分析方法， 以及近年来应用于该领域的新理论和新方法。 其次，在给出非线性系统y o l t e r r a 级数描述的基础上，通过多维傅立叶变换 获得系统的非线性传递函数，然后在频域内基于非线性传递函数来分析非线性电 路，提出了应用于非线性传递函数法的弱非线性电路模型，基于这个模型讨论了 弱非线性系统的正弦稳态响应，并通过解析一个弱非线性电路说明了确定非线性 传递函数的具体步骤。 最后，本文将这种方法应用于实际的非线性电路，分析了射频接收机中c m o s 低噪声放大器的非线性，估算了低噪放的三阶交调点，仿真实验结果证明 g o l t e r r a 级数法是分析非线性电路的一种有效的方法。 关键词：非线性电路 v o l t e r r a 级数传递函数三阶交调 a b s 仃a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i ct e c h n o l o g y ，i ti sa s k e dt h a tr e q u i r e m e n to f s y s t e mp e r f o r m a n c ew a si m p r o v e di n c e s s a n c y m o r ea n dm o r ea t t e n t i o nw a sp a i dt o n o n l i n e a rp h e n o m e n ai nr e c e n ty e a r s n o n l i n e a rs y s t e mt h e o r yh a sb e e nah o t s p o to f t h e o r yr e s e a r c h i ng e n e r a l ，i ti sc a l l e dn o n l i n e a rc k c u i t st h a tt h e r ei san o n l i n e a rc o m p o n e n to r w h i c hi sw o r k e di nn o n l i n e a r l y r e s e a r c ho nn o n l i n e a rc i r c u i t si sa s p e c to fn o n l i n e a r s t u d y v o l t e r r as e r i e sm e t h o do fs t u d y i n gn o n l i n e a rc i r c u i t sw a sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r v o l t e r r as e r i e st h e o r yi sae f f e c t i v em e t h o do fs t u d y i n gn o n l i n e a rc i r c u i t s ，w h i c hc a r l d e d u c et h en o n l i n e a rt r a n s f e rf i 】1 1 c t i o n , hi ss a m ea st r a n s f e rf u n c t i o no fl i n e a rs y s t e m t h en o n l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o ni si n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c so fs y s t e m ，w h i c hc a l le x p r e s s an o n l i n e a rs y s t e mp e r f e c t l ya n di sd e p e n d e n to fc h o i c eo fi m p o r ts i g n a l w ec a l l s t u d yt h ei n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c so fh a r m o n i c ，g a i nc o m p r e s s i o n e x p a n s i o n , f r e q u e n c y m o d u l a t i o nu s i n gn o n l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o nv i s u a l l y ，t h ev o l t e r r as e r i e st h e o r yi s p h y s i c ss i g n i f i c a n c ev i v i d l y t h em a i n j o b sa n dc o n t r i b u t i o n so f t h ep a p e ra l ea sf o l l o w s ： f i r s t l y ，t h er e s e a r c ha c t u a l 时o fn o n l i n e a rc i r c u i t sw a ss u m m a r i z e d ，t r a d i t i o n a l a n a l y s i sm e t h o do fn o n l i n e a rc i r c u i t sa n dt h en e wt h e o r ya n dm e t h o do fa p p l i c a t i o nt o c i r c u i ta n ds y s t e mw a si n t r o d u c e di n ；e c e n ty e a r s s e c o n d l y 。t h ed e s c r i p t i o no fv o l t e r ms e r i e sa p p l i c a t i o nt on o n l i n e a rs y s t e mw a s i n t r o d u c e d t h en o n l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o nw a so b t a i n e dt h r o u g hm a n y d i m e n s i o n s f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n w ea n a l y z en o n l i n e a rc i r c u i t sb a s e do nn o n l i n e a rt r a n s f e r f u n c t i o ni nf r e q u e n c y - d o m a i n t h ew e a k l yn o n l i n e a rc i r c u i tm o d e lb a s e do nn o n l i n e a r t r a n s f e rf u n c t i o nm e t h o dw a sp u tf o r w a r d s i n u s o i d a ls t e a d y - s t a t er e s p o n s eo fw e a k l y n o n l i n e a rs y s t e mw a sd i s c u s s e dw i 廿1t h em o d e l w eh a v eg i v e na l le x a m p l et oa n a l y z e n o n l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o no f w e a k l yn o n l i n e a rc i r c u i t s f i n a l l y ，t h em e t h o d w a sa p p l i e dt oa c t u a ln o n l i n e a rc i r c u i t s t h ec h a r a c t e r i s t i c so f n o n l i n e a ri nc m o sl o wn o i s ea m p l i f i e ro fr fr e c e i v e rw a sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h et h i r do r d e ri n t e r m o d u l a t i o no fc m o sl o wn o i s ea m p l i f i e rw a sc a l c u l a t e d a p p r o x i m a t e l yw i t hv o l t e r r as e r i e s t h er c s u l to fs i m u l a t i o ne x p e r i m e n tp r o v et h a tt h e v o l t e r r as e r i e si se f f e c t i v em e t h o di na n a l y 五n gn o n l i n e a rc i r c u i t s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rc i r c u i tv o l t e r r as e r i e st r a n s f e rf u n c t i o nt h i r do r d e r i n t e r m o d u l a t i o n ( i m 3 ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名导师签名 签字日期：年月 日 签字日期：年 月 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 电路理论是重要的基础理论，是研究电路的基本规律及其计算方法的学科。 非线性电路理论长期以来一直是电路理论的一个重要分支，因为一切实际电路严 格说来都是非线性的。然而，由于非线性电路理论的研究较线性理论的研究困难 得多，其原因在于：( 1 ) 非线性电路要涉及求解非线性代数方程和非线性微分方 程： ( 2 ) 非线性电路不遵循叠加原理，现有的分析线性电路的方法不能直接用 于分析非线性电路； ( 3 ) 非线性元器件的种类和用途繁多，很难找到一个普适 性的模型和方法。因此，在很长的一段时间内非线性电路理论进展缓慢。 尽管如此，世界各国的电路学者对非线性电路的研究兴趣仍然是与日俱增 的。这是因为非线性电路在理论与实践上都具有十分重要的意义。实际上，许多 现代电工技术。就其基本概念来说，都是以非线性的理论作为基础的。例如在通 信系统中，调制、检波、混频、振荡等环节都是依靠非线性器件而工作的，甚至 连“线性放大”也是依靠非线性器件来实现的，为此，人们设计了许多非线性器 件以实现上述种种目的。还有一类问题，其中的非线性虽然不是有意设计出来的， 但它是一种客观存在。在这种情况下，许多非线性现象用传统的电路理论已经无 法解释，忽视非线性的传统做法再也不能适应新技术迅速发展的形势。因此，非 线性电路的基础理论亟需发展，以驾驭这些不同于线性电路的客观规律，避其所 害，用其所利。 近年来，随着新型器件的不断出现、微电子与集成电路技术的发展，以及电 子计算机在电子系统设计领域中的应用，非线性电路理论越来越显示出它的重要 性。并日益受到重视。非线性电路理论与分析已经是信号、电路与系统专业的一 门重要课程。在过去的三十多年时间里，世界上有许多学者在非线性电路理论的 研究工作中作了大量的开创性工作，取得了丰硕的成果。可以预见在今后相当长 的时期内，这将仍是一个活跃的科研领域。 1 2 非线性电路的研究现状 非线性电路的研究几乎是与线性电路平行的，并已经提出了许多具体方法。 如：幂级数法，描述函数法，谐波平衡法，v o h e r r a 级数分析法等。但总的来说， 基于g o l t e z r a 级数的非线性电路研究 由于非线性电路本身所包含的现象十分复杂，这些方法都有其局限性，不能成为 分析和设计非线性电路的通用方法。非线性电路理论的研究目前还处在发展阶 段，还有许多问题有待于进一步探讨。 1 2 1 幂级数法 幂级数法是把非线性系统用一个线性滤波器( 或其它频率敏感网络) 后跟 一个无记忆、宽带转移非线性“元件”加以模型化。如图1 1 所示。 图1 1 非线性系统的幂级数模型 其中线性滤波器的频域特性用线性传递函数h ( f ) 表示，非线性部分的时域特性用 其幂级数系数( a i ，a 2 ，a s ) 表示 如) = z a n u ”( f ) = q “1 ( t ) + a 2 u 2 ( t ) + a 3 u 3 ( f ) + ( 1 一1 ) ，# l 一般级数在n 阶处截断，取有限值做近似计算，以取代无穷项 传递函数变量w ( t ) 和u ( t ) 可以是小信号增量电流或电压，非线性部分可以代表 一个非线性电流、电压、转移电阻、或转移放大器。转移函数f ( u ) 应为单值、弱 非线性的，并且通过取其级数的若干项就可以恰当地代表非线性。线性函数h ( f ) 可以代表一个滤波器或匹配网络。 幂级数模型很容易分析，因为图1 1 中所示的各个部分可以孤立处理，即给 定输入x ( t ) ，可直接使用线性方法求出线性滤波器的输出u ( t ) ：将u ( t ) 的表达式带 入非线性的幂级数表达式( 式( 卜1 ) ) ，则可确定无记忆非线性的输出坝t ) 。 虽然幂级数法的概念简单明了，但它有一定的局限性。首先，如果电路不能 用一个简单的传递非线性来描述，使用这种方法将十分困难，甚至不可能，而很 多实际电路往往都不能用一个简单的传递非线性描述；其次，对含有记忆元件如 电容的电路，不可能写成幂级数，事实上电路是具有这些元件的，非线性电抗的 存在造成在计算交截点时不再是幂级数所认定的直线，而是具有波动，所以采用 2 第一章绪论 幂级数计算的结果存在一些误差，只是一个近似。 1 2 2 描述函数法 系统的方块图表示法是线性系统理论中的一种有效方法，这种方法可以推到 非线性系统。因为许多非线性系统都可以简化为一个闭环反馈系统，如图1 2 。 图1 ，2 g ( s ) 为线性滤波器，n ( a ) 表示一个非线性环节。假定非线性环节的输入信号 为正弦波 x ：= ac o s 脚t 输出信号则是周期函数，可展开成傅氏级数 ( 1 - 2 ) 工。= a 。+ ( 4 。c o sn e a t + b 。s i nh o o t ) ( 1 3 ) 假定非线性特性是对称的，则凡= o 。又假定线性部分具有良好的低通滤波特 性，则高次谐波的影响很小，可以忽略不计。在此情况下，式( 卜3 ) 变为 工o = 口jc o s ( d t + b is i nc o t = n ( a l ，b i ) c o s 出 ( 1 4 ) 式中幅度1 1 是a 和b 。的函数。即 n ( a l ，b 1 ) = 口i 一- 6 仿照线性环节传递函数的定义，可得 r 一1 ：鱼：! 亟：业 工，a ( 1 5 ) ( 1 6 ) 式( 卜6 ) 中n ( a ) 是非线性环节的传递函数，称为描述函数，式( 卜4 ) 可写成 = ) ( 1 - 7 ) 基于v o l t e r r a 级数的非线性电路研究 式( 卜7 ) 与线性环节的描述方程在形式上相同。一般把图1 2 称为等效线性 化系统，而把包含n ( a ) 的系统方程称为等效线性方程。不过在这里，n ( a ) 是振 幅的函数，这一等效线性方程在本质上仍是非线性的。 描述函数法优点是理论分析简单，系统方块图易于变换，n ( a ) 可以通过实验 确定。值得注意的是，描述函数法的有效性条件是系统的非线性环节具有良好的 低通特性，在满足这一条件的情况下，只考虑基波才是合理的。不过对于实际系 统来说，高次谐波分量不一定能够忽略，为此，为了提高分析的精确度，人们提 出了多描述函数法的理论，但这种方法相当繁琐。 1 2 3 谐波平衡法 谐波平衡法“。的基本思想是：把一个非线性电路分解为线性和非线性子网络 两部分，如图1 3 所示，找一组端口电压波形( 或者谐波电压分量) ，使线性子 网络方程和非线性子网络方程给出相同的电流，实际上就是建立谐波平衡方程， 然后采用恰当的方法求解。 线 卜6 l v l 非 o ， 性 ! ： 毛f - 线 2 v 2 ? _ 性 子 子 - b 斗 网网 nv 巴 图1 3 分为线性子网和非线性子网的非线性电路 线性子网络部分按多端口网络处理。用y 矩阵、s 矩阵或其它矩阵描述。非 线性子网络中的非线性元件用其i v 或q v 特性描述，并用时域分析。 如果把端口电流频率分量用向量表示，则有 4 第一章绪论 + ( 1 8 ) 式中的1 。是线性子网的第1 1 个端口上的第k 阶电流谐波分量的向量，它由各端口 电压和线性子网络的y 矩阵求得。厶。表示非线性部分向量，由各端口电压和非 线性元件求得，该方程就是谐波平衡方程，通过求解该方程就可得出每个谐波电 压分量。具体求解谐波平衡方程的方法有：优化法、分裂法、牛顿法和反射算法 等。 谐波平衡法不仅可以用于分析弱非线性电路，而且还可以用来分析多频率大 信号激励下的强非线性电路。该方法建立方程简单，但计算较复杂。 1 ，2 4v o l t e r r a 级数分析法 v o l t e r r a 级数是非线性系统的一种通用的表达形式，是线性系统描述的直接 扩展。利用该方法可以导出与线性系统传递函数相似的非线性传递函数，它能把 寻求非线性电路的1 1 阶转移函数的问题转化为对线性电路进行n 次频域分析。 早在1 8 8 7 年，意大利科学家v i t o3 o l t e r r a 在研究非线性解析泛函数时就提出 t v o l t e r r a 级数的概念”1 ，他当时仅把v o l t e r r a 级数作为t a y l o r 级数的推广。二十 世纪四十年代，n w i e n e r 第一次使用v o l t e r r a 级数描述非线性系统，并把这种级 数用于非线性电路的分析。 从二十世纪五十年代到，k 十年代这一时拐，关于v o l t e r r a 级数的研究一直比 较活跃。但由于一个本质性的困难，目 j v o l t e r r a 级数的维数灾难问题( 随着v o l t e r r a 核阶次的增高，表示v o l t e r r a 核参数的数目呈指数增长) ，以及当时计算能力的限 制，使得应用很少。 o 0 o ：o 00；o；o d j 2 j d j 上 上亿屯：屯乞乞；乞；k j 2 j m j 上 j 几“屯；k k k ；o ；k 基于v o l t e r r a 级数的非线性电路研究 九十年代以来，信号处理界和控制界对v o l t e r r a 级数的研究和应用又出现一 股热潮，国内也有相关专著出现。在基于v o l t e r r a 级数的非线性系统稳定性分析、 v o l t e r r a 核辨识、基于v o l t c r r a 级数的控制研究等方面取得了一定的理论成果“1 。 在文献“3 中，l 。0 。c h u a 和y ，s t a n g 利用v o l t e r r a 级数法提出了分析非线性振荡电路 的r l 阶决定方程以口，w ) = 0 ，a 和w 分别为正弦振荡幅值与角频率，它可以判断非 线性电路中是否存在振荡和以任意期望的精度求得振荡电路的幅度与频率。 v o l t c r r a 级数法的有效性在于是否容易得到非线性元件的v o l t e r r a 核，由于 l 0 c h u a 等人研究出了测量v o l t e r r a 核的方法，可以预见v o l t e r r a 级数分析法将是 研究现代非线性系统的重要方法。 非线性电路的分析方法除了以上列出的几种以外，还有变换矩阵分析法、 等效小参量法“、相平面法、等，在此不再一一列举。 1 3 其它理论在非线性电路分析中的应用 电路与系统的基本规律及其计算方法的研究是电路理论分析与应用研究者 的根本任务。如何建立一套用来分析和设计各种类型的电路与系统的技术是电子 科学技术领域不断创新、不断发展的热点。回顾三十年代电路理论的建立和六十 年代以来近代电路理论的形成，富有成效的分析和设计电路与系统的理论方法和 求解技巧不断出现。 1 0 。2 4 随着v l s i 和计算机科学技术的飞速发展，电路与系统的规模愈来愈大，新 的工程概念不断产生，科学技术的交叉性、综合性越来越强 1 引，计算复杂性日 益提高，因此，传统的分析、研究方法和求解策略已不能完全适应新的变革，从 而促进了应用于电路与系统领域的新理论和方法的巨大发展。主要的理论与方法 有：神经网络计算，遗传算法，面向对象设计，模糊逻辑，小波变换，网络模型 计算复杂度等。目前用于非线性电路理论的理论与方法主要为神经网络计算，遗 传算法，模糊逻辑，网络模型计算复杂度等。 1 3 1 神经网络计算 神经网络计算。2 6 1 是一种仿生信息处理技术，模拟人( 或其他动物) 脑神经 6 第一章绪论 系统中神经元有规律的互连而形成网络的学习、联想、记忆、逻辑推理等智能的 电路系统，与传统的计算机相比人工神经网络在存储方式、信息处理方式、信息 加工对象、运算工作方式等方面上具有显著的优越性。 在非线性电路理论中，主要用神经网格计算寻找最优解。能够进行优化计算 的神经网络有h o p f i e l d 网、b o l t z m a n n 网( 8 m ) 、c a u c h y 网，但最常用的是h o p f i e l d 网，这类神经网络是一非线性动力学系统，可用二次能量函数来描述该系统的状 态，其稳定性对应着能量的大小，因为系统从高能向低能的稳定过程类似于约束 满足问题的搜索最优解过程，所以可以用这类网络求解优化计算问题。 可以看出神经网络计算可归为数值分析法，所以这种方法也同样具有数值分 析法的优缺点，以h o p f i e l d 网为例，凡可将目标函数描述成网络能量函数形式的 求解问题，基本上均能用它来计算，且收敛速度快，但由于h o p f i e l d 网的稳定点 有多个，而且其稳定点可能是局部最优，即h o p f i e l d 网每次计算只能最多得一解， 全局寻优能力差。 1 3 2 遗传算法 遗传算法( g e n e f f ca l g o r i t h n l 简称g a ) 2 “”矧是模拟生物界中的自然选择 与生物遗传机制的一种搜索算法。它将“适者生存”这一基本的达尔文进化理论 引入串结构，并且在串之间进行有组织但又随机的信息交换技术。遗传算法具有 很强的鲁棒性( r o b u s t n e s s ) ，所谓鲁棒性是指能在许多不同的环境中通过效率及功 能之间的协调平衡以求生存的能力。遗传算法正是吸收了自然生物系统“适者生 存”的进化原理，从而使它能够提供一个在复杂空间中进行鲁棒性搜索的方法。 遗传算法在几个基本方面不同于传统优化方法： g a 运算的是解集的编码，而不是解集本身。 g a 的搜索始于解的一个群体，而不是单个解。 g a 通过目标函数计算适应值，而不需使用导数或其他附属信息。 g a 采用概率的，而非确定的状态转移规则。 遗传算法已成为人们用来解决高度复杂问题的一个新思想和新方法。得到了 广泛的应用，尤其是在优化计算等领域啪1 。 g a 从诞生之日起，就引起人们极大的兴趣，新的被改写g a 不断被提出“ 7 基于y 0 1t e y r a 级数的非线性电路研究 埘。对g a 的改进可以分为以下几个方面：编码方法，母本选择，基因操作子的 设计，参数控制技术等，目的是使g a 在一定的环境下，最大限度地避免未成熟 收敛、欺骗问题m “8 1 等缺点与不利之处。 1 3 3 网格模型计算复杂度 当前对于网格模型计算复杂性的分析，重点是仅对存储量和运算量相联系的 空间复杂性和时间复杂性进行的，这有很大的局限性1 。另外神经网格计算、 模糊集合及遗传算法的相互结合，新的智能计算方法在信息处理方式( 信息表示、 程序设计、体系结构等) 上都有重大的变革，因此就必须冲破传统的t u r i n g 模型 意义下的计算复杂理论的制约，建立一个新的理论基础，以适应智能计算系统发 展的需要。 电路与系统模型的建立和计算都会产生组合优化问题，即根据目标函数的某 些性能评价准则在搜索空间中满足问题要求的最佳结构。对于不少问题能够找到 有效的解算方法。计算复杂性理论为评价和区分这两类问题提供了方法论。它研 究在可利用的空间和时间范围完成计算的问题，即研究现实可计算性问题。 1 3 4 模糊逻辑 模糊集合理论是一种仿效生物信息处理模式以获得柔性信息处理的理论方 法n 0 3 。因为现实世界中遇到的对象很多是模糊的、不精确定义的类型，它们的 成员没有精确定义的判别标准。模糊集正反映了这类不满足互补律的“亦此亦彼” 的模糊性，其所对应的逻辑是一种连续值逻辑或称呼为模糊逻辑( f u z z yl o g i c ) ( 3 0 1 模糊现象与随机现象是客观世界中有本质区别的两种现象，与之对应的模糊 性与随机性的数学模型是有根本区别的。如果说概率与统计学将数学的应用范围 从必然现象扩展到随机现象的领域，那么，模糊数学将数学的应用范围从清晰现 象扩大到模糊现象的领域。但是模糊性与随机性之间存在着某种必然的联系 两者都有不确定性。如果求解电路系统涉及到了随机技术，就存在不确定性，显 然就可能用到模糊技术“1 上述非线性电路计算方法还没有进入实用阶段，目前 主要是用于理论计算 第一章绪论 1 4 本文的主要研究工作 本文的研究重点是基于v o l t e r r a 级数的非线性电路传递函数的分析，介绍一 种估算非线性传递函数的方法，并将它应用于实际的非线性电路。本文的主要研 究内容有： 第二章系统地介绍7 v o l t e r r a 级数理论的提出及发展，v o l t c r r a 级数的时域、 频域表示，非线性系统可由v o i t e r r a 级数逼近的条件，并对非线性系统的v o l t e r r a 核进行了分析。这一章是后续章节的理论基础。 第三章在介绍了应用于非线性传递函数法的弱非线性电路模型的基础上，讨 论了弱非线系统的正弦稳态响应问题，并对估算非线性传递函数的方法进行了研 究。一 第四章利用v o l t e r r a 级数法对c m o s 低噪声放大器的非线性进行了分析，通 过仿真实验证明了该方法的有效性。 第五章对本文所做的工作进行总结，并对后续工作提出了设想。 基于v o l t e r r a 级数的非线性电路研究 第二章v o l t e r r a 级数理论基础 2 1 引言 本章的主要内容是对本文所涉及的主要理论一v o l t e r r a 泛函级数进行介绍， 其中包括v o l t e r r a 泛函级数理论的提出，v o l t c r r a 泛函级数的时频域表示，以及 非线性系统用v o l t e r m 级数逼近的条件。 v o l t e r r a 级数是具有存储( 记忆) 能力的t a y l o r 级数，能够用来描述一类非线 性系统。 v o l t e r r a 级数核具有鲜明的物理意义，对工程技术领域非常切合实际，它不 仅提供了一套新的理论，而且为解决菲线性实际问题提供了强有力的方法和工 具。 2 2v o l t e r r a 级数理论的提出 v o l t e r r a 级数是泛函级数，由意大利数学家v i t ov o l t e r r a 宅e 1 8 8 0 年首先提出 的，起初是作为对t a y l o r 级数的推广，用于研究某些积分方程以及积分一微分方 程。直到1 9 4 2 年，才由n o r b e r tw i e n e r 首次把v o l t e r r a 级数用于分析非线性电路， 指出特定的一些含有记忆的非线性系统中，输入输出特性借助于v o l t e r r a 级数 展开式可以很方便地表示。其后在美国的 i i t 一直有人继续w i e n e r 的工作。直到 1 9 6 7 年才把这种方法用于研究具有实际意义的电路问题，这就是n a r a y a n a n 首 次用这种方法来分析晶体管放大器的非线性失真问题。近年来，随着人们对事物 认识程度的不断加深，对系统性能要求的不断提高，非线性系统理论逐渐成为理 论研究的热点，v o h e r r a 船数在非线性电路中的应用也越来越受关注。 2 2 1v o l t e r r a 级数的时域表示 在线性非时变系统中，时域的响应“t ) 可以用系统的单位冲激响应h ( t ) 和输入 信号x ( t ) 的卷积积分来得到 y ( t ) = lh ( f ) 工( t g - ) df( 2 一1 ) 这说明，线性非时变的系统可以用该系统的脉冲响应函数h ( r ) 来加以表征。一旦 1 0 第二章v o l t e r r a 级数理论基础 知道了h ( r ) ，则该系统对于任何输入的响应都可以根据式( 2 - 1 ) 加以确定。 在连续非线性非时变系统中，其输入输出关系就可以表示成如下的v o l t e r r a 泛函级数形式3 1 1 _ y ( f ) = y o ( f ) + p 1 ) x ( t f i ) c 酝 + 胁( l ，f 2 ) x ( f 一一) x ( t r ：) d r l d r 2 + 一 十e 一髓( f f ，f 2 ，一，。) - x ( t - r t ) x ( t 一2 ) x ( t r 。) d r t d z 2 氓+ j = 儿( ) ( 2 2 ) 式中 只( f ) 2 【( q ，乞，) 砸一f 1 ) m 一乇) x ( t 乙地妃d r ( 2 3 ) 式( 2 2 ) 就是非线性系统的v o l t e r r a 级数表示。式中x ( t ) 、y ( t ) er ，分别为系 统的输入和输出，( q ，f 2 ，r n ) 被称为非线性系统的第n 阶v o l t e r r a 懒 ( k e r n e l ) ，或称为( g i r f ) ：y o ( t ) 是输入信号为零时的确应，本文仅讨论y 。( t ) = o 时的情况( 零输入零输出系统) ；y 。( t ) 。n 至1 是由第n 阶v o l t c r r a 核构成的第n 阶 子系统的输出。如果当n n 时，h 一( r 1 ，f 2 ，) 一0 ，则称该系统为有限阶v o i t e r r a 级数系统，或称n 阶v o l t e r r a 级数系统。 由式( 2 2 ) 可以看出，如果当n 1 时， 一( f ，f 2 ，f n ) ：0 ，则式( 2 2 ) 就成 了线性系统的脉冲响应函数模型，其中盔( f 1 ) 是线性系统的响应函数。因此， v o l t c r r a 级数模型是线性系统脉冲响应函数模型在非线性系统中的推广。与线性 系统的脉冲响应函数一样非线性系统的广义脉冲响应函数是一种非参数模型， 它可以描述非线性系统的本质特性。当系统的各阶广义脉冲响应函数确定之后， 该系统对于任何输入信号的响应就可由式( 2 2 ) 计算出来。 n 阶v o l t e r r a 时域核( 广义脉冲响应函数) 具有对称性，且对称核是唯一的， 即：h o ( t 1f 2 ，o ) 2 ( 靠( 1 ) ，o ( 2 ) ，r 一( n ) ) ，其中( ) 表示1 ，2 ，n 的任 意一种排列，且有： 基于v o l t e r r a 级数的非线性电路研究 定理2 1 如果一个非线性系统的输入输出关系可以用v o l t e r r a 级数来描述， 且它的各阶v o l t e r r a 核为对称的，则描述这一非线性系统输入输出关系的v o l t e r r a 级数是唯一的。 该定理的证明见文献m 1 。 利用v o l t e r r a 核的对称性，可大大减少用v o l t e r r a 级数模型描述非线性系统所 需的参数数目，从而可以大大减少计算量。 对于离散的非线性非时变系统，用v o l t e r r a 级数可以表示为 y ( 妨= y o + h ( ，掰：，m 。) x ( k - m ，) x ( k - r n 。) ( 2 4 ) h = jr a l = o - - - 0 式中x ( k ) 、y ( k ) e r ，分别为系统的输入和输出， 吃( ，m ：，m 。) 是系统的 第n 阶v o l t e r r a 核。 2 2 2v o l t e r r a 级数的频域表示 对于线性系统可以通过傅立叶变换或拉普拉斯变换用频域来表示输入输出 频谱的关系，即 y ( j r n ) 2x ( j a o l l ( j c o ) 或y ( s ) 2x ( s ) h ( j ) ( 2 5 ) 其中( ，劝和( j ) 分别为 o ) 的傅立叶变换和拉普拉斯变换。 与线性系统类似。非线性系统的时域响应也可以被转换到频域 r ( j c q ，吐，- ，纪，= q u q ) z ( ，q ) + u q ，- q x o q ) x u 锡) + + 矾u q ，q ，_ ，) u q ) 彳( ，吐) 彳u q ) + = ( ，q ，吡，) n = - i ( 2 - 6 ) ( ，q ，咤，, j o j ) = - ( j a h ，哆，j c o ) x ( 1 c q ) x ( j c a z ) 砌) ( 2 7 ) 式中y ( j c o ) 是y ( t ) 的傅立叶变换，只( c a ) 是y 。( t ) 的傅立叶变换，即： y ( j c o ) = f y ( ，) 】，艺( ，) = f 眇。( ，) 】a 日。( ，q ，j c 0 2 ，- ，峨) 为第n 阶v o l t e r r a 频域 第二章v o l t e r r a 级数理论基础 核，或n 阶广义频率响应函数( c 剥玎) ，它是n 阶v o l t e r r a 时域核的n 维傅立叶变 换，即： h 。( j r o l ，国2 ，q ) = ，阮( f l ，f 。) 】 = c d 。( ，l 矿”慨1 d p d l 因此，非线性系统的广义频率响应函数也是一种非参数模型，它同样可以描 述非线性系统的本质特征。非线性系统的广义频率响应函数具有明确的物理意 义，与线性系统的频率响应函数一样，g f r f 能直观地表示出非线性系统的许多 频域特性，利用它可以很直观的研究非线性系统的谐波、增益压缩和扩张、频率 调制等现象。 和v o l t e 兀a 时域核一样，v o i t e 聃频域核具有共轭对称性3 ”，即 以问，j 咤，q 2 风u ：m - ( 刁，歹一) ) ( 2 9 ) hn 卜j q 广j 吐, - - , - j w ) = h ：u q ，j 吐，j c o ) 其中( ) 表示i ，2 ，n 的任意一种排列。 同样离散v o l t e m 核可以通过多维z 变换得到其z 域核m 1 ，这里不再详细讨论。 2 2 3v o l t e r r a 级数与幂级数的联系 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似 表达。由于多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种运算， 便能求出它的函数值来，因此经常用多项式来近似表达函数。无穷级数是高等数 学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一 种工具，在工程实践中也有广泛的应用。 如果函数f ( x ) 在点的某邻域内具有各阶导数f ( x ) ，( x ) ，( x ) ， 这时函数f ( x ) 的t a y l o r 级数为： f ( x ) - ，( 咖f ( x o - - x o ) + 掣”扩+ 一+ 掣旷+ ( 2 - 1 0 ) 在式( 2 - 1 0 ) 中，如果取= o ，得： 基于y o l t e r r a 级数的非线性电路研究 他m ( o ) 们 掣“+ 牮“ 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数f ( x ) 的麦克劳林级数。函数f ( x ) n 麦克劳林级数是x 的幂级 数，并且，如果f i x ) 能展开成x 的幂级数，那么这种展开式是唯一的。 v o l t e r r a 泛函级数与幂级数有着天然的密切联系和相似之处，易为广大工程 技术人员和科技工作者所接受。v o l t e r r a 级数具有鲜明的物理意义，不仅提供了 一套新的理论，而且为解决工程技术领域非线性实际问题提供了强有力的方法和 工具。v o l t e r r a 级数使得人们能像使j n l a p l a c e 变换和线性传递函数法分析线性系 统那样分析一般的非线性系统，有力地推动和促进了非线性科学的研究与发展。 设式( 2 2 ) 中的v o l t e r r a 级数核为 吃( f i ，f 2 ，0 ) = 口一文q ) 烈f 2 ) 文l ) ( 2 1 2 ) 代入式1 2 - 2 ) ，得到 ) ，( r ) = e e 砸。) 砸一1 ) 谁- - r n 。d r = 4 ( f ) 胆o ( 2 1 3 ) 当传输函数取特定形式时，v o l t e r r a 级数退化为一个幂级数。因此可以说v o l t e r r a 级数是幂级数的推广。 2 3v o l t e r r a 模型对非线性系统的逼近 一个时不变的非线性系统，其输入x ( t ) 与输出y ( t ) 之间的关系可以用一个泛函 f ( 或称为非线性算子) 表示为： y ( f ) = f 工( f ) 】 ( 2 1 4 ) 假设： ( 1 ) 输入信号x ( t ) 能量有限，即 ) i | = 亡以伽 i o o ( 2 - t 5 ) 式中的算子1 1 | l 表示l z 范数。 ( 2 ) 算子( 泛函) f 是连续的，即对任意两个满足条件( 1 ) 的信号x 。i t ) 和x 2 i t ) ，当 第二章v o l t e r r a 级数理论基础 0 x ：( f ) 一x 1 ( ，) 0 ( 2 1 6 ) 时恒有 f f x 2 ( t ) - f x l ( f ) 川寸0 ( 2 1 7 ) 则系统总可以任意准确地分解为一组线性系统和一个非线性即时系统( 如图 2 1 ) ，这就是非线性系统的分解定理。 图2 1 中，函数g ，盈，g 龃成线性系统，而函数矗( a 。，a 2 ，翻) 为非线 性“即时系统”，即f h 对输入【a ，1i = 1 ，2 ，n ) 只进行代数运算，而不进行求导、 积分等“动态”运算。当泛函f 连续时，函数也是连续的。非线性系统分解定理 具有重要而深刻的含义。它说明：满足一定条件的非线性系统总可以进行分解， 分解的结果将系统把所有的记忆因素都归于线性系统，而把所有的非线性因素都 归于即时系统。这样的分解把复杂的非线性系统分解成两类比它简单的子系统。 l l a l r t l 7 i g l r x ( t )a i ( t ) y n ( t ) g i ，r ( ) l 硝q g n 线性系统 非线性即时系统 图2 1 非线性系统的分解 根据函数逼近理论中的w e i e r s t r a s s 定理m 1 ，任何定义于一个闭区间的连续函 数可以用多项式任意准确地逼近，即函数矗，可以在一个闭区间内近似展开为：