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单调升温的复形一模拟退火法在动力优化中的应用 固体力学专业 研究生丁艳红指导老师于建华 传统工程设计及优化方法主要基于静强度理论，而结构动力优化设计以动 力学理论为基础，设计时考虑结构动力特性以及动响应对结构安全的影响，是 对设计理论的进一步发展。目前，结构动力优化设计的主要障碍是需要进行结 构动力重分析，对大中型及复杂优化问题计算量大，计算效率不高。 鉴于单纯形一模拟退火法算法在系统低温时难以跳出局部最优，影响计算效 率。本文借鉴单调升温的模拟退火法的思路，当系统在低温状态陷入局部最优 时对其进行升温，以帮助算法跳出局部最优解。同时，为使算法不仅适用于线 性优化问题而且能适用于非线性优化问题，将单纯形法推广至复形法，提出单 调升温的复形一模拟退火法。 能量目标函数集中体现了质量、阻尼、刚度对系统动力响应的作用，具有 较强的综合性。本文分别采用重量、造价、能量三种目标函数对算例进行动力 优化。文中以地震作用下吸收能量最小为目标对框架结构进行的动力优化是建 筑结构优化领域中一种较新的尝试。采用有限单元法计算结构动力响应。约束 条件依据混凝土结构设计规范g b s 0 0 1 卜2 0 0 1 和建筑抗震设计规范 g b s 0 0 1 0 2 0 0 2 等工程规范建立。 本文算例1 ，对正弦激振动力作用下的三杆桁架进行了以重量最轻为优化目 标的动力优化。算例2 ，对框架结构分另进行了结构在地震作用下吸收能量最少 和造价最低为优化目标的动力优化。经数值结果验证，单调升温的复形一模拟退 火算法可行、有效。另外，本文还对单调升温的复形一模拟退火法的参数设置问 题做了讨论。 关键词：单纯形一模拟退火法；单调升温的模拟退火法；能量目标函数； 框架结构动力优化 a p p l i c a t i o n o f t e m p e r a t u r er i s i n gc o m p l e x m e t h o d s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h mi ns t r u c t u r a ld y n a m i c o p t i m i z a t i o n s o l i dm e c h a n i c s g r a d u a t es t u d e n t ：d i n gy a n h o n g s u p e r v i s o r ：y uj i a n h u a t h et r a d i t i o n a ls t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nm e t h o d sa r eb a s e dm a i n l yo nt h es t a t i c s t r e n g t ho fs t r u c t u r e s b yt a k i n gi n t oa c c o u n t t h ei n f l u e n c eo f d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s a n dr e s p o n s e ，t h ed y n a m i co p t i m i z a t i o nm e t h o d sh a sb e e nt h el a t e s td e v e l o p m e n ti n t h ef i e l d so fs t r u c t u r eo p f i m i z a t i o n h o w e v e rt h ev a s tc a l c u l a t i o ns t e m m i n gf r o m d y n a m i c a lf e ma n a l y s i sh a n d i c a p p e di t sa p p l i e a t i o n ，e s p e c i a l l y t ot h e1 a r g eo r c o m p l e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m s c o n s i d e r i n gt h es i m p l e xm e t h o d s i m u l a t e da n q e a t i n ga l g o r i t h mh a r dt oj u m p o u to ft h el o c a lv a l l e yu n d e rm el o ws y s t e mt e m p e r a t u r e as c h e m ew h i c hr i s e s t e m p e r a t u r em o n o t o n o u s l yi se m p l o y e dt oh e l p t h ea l g o r i t h mt or e a c ht h eg l o b a l o p t i m i z a t i o n b yr e p l a c i n gt h es i m p l e xm e t h o dw i t ht h ec o m p l e xm e t h o d t om a k et h e a l g o r i t h m d of o rn o n l i n e a ro c c a s i o n s ，t h en e w a l g o r i t h m o f c o m p l e x m e t h o d s i m u l a t e da n n e a l i n gw i t ht h es c h e m eo fm o n o t o n o u st e m p e r a t u r er i s e i s p r e s e n t t h ea b s o r b e de n e r g y b ys t r u c t u r ei sa d o p t e da st h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，a n di ti sa t r i a li nt h ef i l e do fb u i l d i n gs t r u c t u r ed y n a m i co p t i m i z a t i o n t h et o t a ls t r u c t u r e w e i g h ta n dc o s tc a na l s ob et r e a t e da so b j e c t i v ef u n c t i o n t h ef e m w a sa d o p t e dt o c a l c u l a t et h ed y n a m i cr e s p o n s e ，a n dt h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r ec h o s ea c c o r d i n gt o c o d ef o rd e s i g no fc o n c r e t es t r u c t u r e sg b5 0 0 1 0 2 0 0 2 a n d c o d ef o rs e i s m i c d e s i g n o f b u i l d i n g s g b5 0 0 1 1 - 2 0 0 1 i nt h ef i r s te x a m p l e ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o no fw e i g h tw a sa d o p t e dt oo p t i m i z ea t h r e e - b u rt r u s s ，w i n c hw i t hs i n ef o r c ep u to ni t i nt h es e c o n de x a m p l e ，t h eo b j e c t i v e f u n c t i o no fc o s ta n de n e r g ya b s o r b e db ys t r u c t u r ew e r ea d o p t e dt oo p t i m i z eaf r a m e s t r u c t u r er e s p e c t i v e l y t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et e m p e r a t u r er i s i n g c o m p l e x m e t h o d - s i m u l a t e d a n n e a l i n g a l g o r i t h m i se f f e c t i v e i na d d i t i o n ，t h e i n f l u e n c eo f p a r a m e t e r s t ot h e t e m p e r a t u r er i s i n gc o m p l e xm e t h o d - s i m u l a t e d a n n e a l i n ga l g o r i t h mi sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：s i m p l e x m e t h o d s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m t h eo b j e c t i v ef u n c t i o no fe n e r g y d y n a m i co p t i m i z a t i o n f o rf r a m es t r u c t u r e t e m p e r a t u r er i s i n gc o m p l e xm e t h o d - s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m 四川大学硕士学位论文 1 概论 结构动力优化是有限单元法、结构动力学、数学规划法、数值计算及程序 设计等诸多学科相互交叉，有机结合的产物，是现代工程结构设计领域中一个 新兴的分支，同时也是当前工程结构设计研究领域中的前沿性课题。 1 9 6 5 年n i o r d s o n , 对0 1 简支梁实现基频最大化所做的研究问世，开创了结构动 力优化的先河。此后几十年，人们对结构动力优化的研究逐渐深入，内容涉及 优化设计的理论方法、建模、灵敏度分析、软件设计及工程应用等各方面。 1 1结构动力优化的发展与研究现状 1 8 6 9 年及1 9 0 4 年，m a x w e l l 和m i c h e l l 分别“对桁架重量理论下限进行了研 究。这两项工作虽然基于高度理想化的假定，但在结构优化问题和设计方法方 面提出了相当重要的见解。二十世纪四、五十年代，由于计算机的有效利用， 线性规划技术在框架的塑性设计中得以应用。这一早期工作特别重要，因为它 运用了运筹学界发展起来的数学规划技术来解决结构设计问题。六十年代初， 国外首先在航空部门开始了结构优化，不久，在土建、造船、机械等部门也相 继开展了优化工作。1 9 6 5 年n i o r d s o n 对简支梁实现基频最大化所做的研究问世， 结构动力优化的研究从此拉开序幕。 结构动力优化可分为结构动力特性优化和结构动响应优化两方面。结构动 力特性优化是以结构固有频率及振型为目标函数或约束条件的优化。结构动响 应优化是以动力激励下结构的动响应物理量，如位移、速度、加速度、应力、 应变等，为目标函数或约束条件的优化。 分布参数设计法是结构动力特性优化初期采用的一种解析方法。n i o r d s o n 在对简支梁基频最大化设计问题的研究中，应用的就是分布参数设计法。他首 先采用l a g r a n g e 乘子法导出梁最优断面应满足的积分方程。由于该方程直接求 解困难，又构造了一个数值渐进解的迭代求解公式，从而获得了梁断面积的最 佳分布。此后，开展类似工作的还有k a r i h a l o o 等。k a r i h m o o 利用分布参数法对 悬臂梁进行了频率优化设计。 由于分布参数设计法求解偏微分方程困难，故其仅适用于简单结构，如， 简支梁、悬臂梁等，对于稍复杂的结构便无能为力。鉴于分布参数设计法的这 单调升温的复形模拟退火法在动力优化中的应用 一局限，人们在后来的结构动力优化中逐渐将注意力转向了准则设计法和数学 规划法。 准则设计法是通过力学概念或工程经验来建立相应最优设计准则的方法。 其优点是：物理意义明确，方法简便，优化中结构动力重分析次数少，收敛速 度较快。1 9 6 8 年，z a r g h a m e e 首先给出了。1 具有线性刚度阵和质量阵的结构在满 足固有频率约束时的动力优化设计准则。即，当结构按某一阶固有模态振动时， 若所有构件的应变能密度和动能密度之差与其质量密度的比值为一常数，则该 结构即为在此固有模态下的最小重量设计。此后，一些学者又通过数学推导相 继建立了各种不同的准则。如：v e n k a y y 通过l a g a r a n g e 乘子法导出t v e a k a y y 准 则公式。1 9 8 1 年林家浩0 1 在给定频率禁区约束条件下，通过k t 条件，给出了一 种双因子迭代准则，较之单因子迭代显著地改善了迭代的收敛性。这可能是我 国学者在结构动力优化方面较早公开发表的一篇文献，产生了较大的影响。1 9 8 2 年王生洪应用准则法对具有频率约束的天线背架结构( 桁架结构) 进行了优化 目标为结构重量最轻的优化设计。此后，尹健。1 将准则法应用于具有频率约束的 摩托车车架结构的优化设计中。同一时期，开展这方面工作的还有王慕强，王 健等。 数学规划法是以规划论为理论基础的优化方法。它的优点是数学严谨，适 用面广，且收敛性有保证；缺点是计算量较大，收敛较慢，特别是对于多变量 优化问题更甚。7 0 年代中期以后，研究人员将准则法引入数学规划法中，并根 据力学特性进行了某些改进，如，显式逼近、选择有效约束、引入倒数变量、 采用对偶求解技术等。这些都使得数学规划法的计算效率得到了提高。如：2 l a a o 等。1 利用同步渐进优化方法对具有多个固有频率要求的二维连续体结构进行了 形状优化设计。对于飞机、汽车等交通工具，通常不仅需要对固有频率进行限 制，而且常常对振型节点( 线) 或腹点( 线) 的位置也有一定的限制。向锦武等“ 提出一种同时满足固有频率、振型节线位置和质心位置等约束要求的结构动力 学优化设计方法，建立了振型节线位置及变化与独立设计参数之间的关系。同 时，还给出了模态空间中固有频率、振型灵敏度分析的数值算法。并将其应用 于某型机翼吹风模型的优化设计。 现实生活中，结构本身和作用荷载的随机性都是客观存在的，而确定性建模 恰恰忽略了这一点。在文献“”中，陈建军等依据结构可靠性理论，考虑结构材 2 四川大学硕士学位论文 料物理参数的随机性，推导了结构动力特性的概率表示。并在此基础上建立了 以重量最轻为目标函数，同时具有基频、频率禁区、振型位置三种类型的概率 约束以及设计变量上下限约束的结构动力特性优化数学模型。并通过梁、板算 例证明了模型的合理性。随后，在文献n 2 1 中，他又进一步考虑了几何尺寸的随 机性，对结构物理参数和几何尺寸同时具有随机性的桁架结构动力特性进行了 分析。采用复形法对空间四杆桁架进行了以杆截面面积为设计变量，结构重量最 轻为目标函数，满足基频和频率禁区可靠性约束的动力特性优化。同时，通过讨 论，指出这两种频率约束的统一性。 结构动响应优化是结构动力优化的另一个重要部分，较之结构动力特性优 化，其求解更为困难。历年来已开展的工作有：童卫华等“3 1 提出了一种将结构 在随机激励下某些自由度上的均方响应作为约束的动力学设计方法，分析了随 机荷载不相关和相关两种情况，并推导出任意给定自由度的均方响应对设计变 量的灵敏度计算公式。宋海平等o ”对模糊环境下具有多个目标函数的结构进行 了动力优化设计研究，将其中的结构位移和应力等约束条件均视为模糊函数。 t o n g 等0 5 1 提出了一种具有离散随机变量和动力约束的桁架结构优化方法。该优 化方法包括两部分：第一，采用连续变量优化方法获得该问题对于连续变量的 优化解；第二，通过连续变量优化解寻找一个可行的离散解，并将该优化问题 转化为线性0 - 1 问题进行优化。作者以重量最轻为目标函数，应力、固有频率和 动响应为约束条件，对一个十杆平面桁架进行了优化，证明该方法可行。c h e n 等“”基于一阶泰勒展开，为具有离散参数的振动系统提出了一种离散优化方法， 并以减震器和框架结构算例证明了方法的有效性。基于地震的随机性，谢能刚 等“”3 由能量设计法建立了动力优化的能量目标函数，并提出结构动力优化设 计应为非确定性的机会约束设计。 对结构动响应优化的应用具体到各领域有：机床优化方面，胡如夫等o ”提 出对磨床部件进行分离优化的思路，分别以机床重量、整机和部件的模态频率、 磨头与工件间的相对位移等为优化目标函数，对磨床部件进行了分离优化。结 果表明，优化后的磨床整机在固有频率和磨头与工件的相对位移方面都有较大 的改进，提高了机床加工精度。张波等o ”通过试验确定机床主轴部件动刚度薄 弱是引起机床切削结构颤振的主要原因，对机床主轴部件进行了动响应优化。 建筑工程方面，欧阳义为等o ”将框架跨度和梁柱刚度作为设计变量，应力、位 单调升温的复形- 模拟退火法在动力优化中的应用 移、频率和尺寸约束作为约束条件，运用序列二次规划法，对多层框架进行了 地震作用下，框架结构重量最轻为优化目标的动力优化。戴君等0 2 1 考虑结构物 理参数和作用荷载都具有随机性的情况，建立了具有动应力、动位移可靠性约束 和设计变量上下限约束的结构优化设计数学模型。孙树立等1 将构件截面尺寸 作为设计变量，构件单元强度、尺寸和自振周期作为约束条件，用惯性力作为一 种静力荷载组合工况对结构进行静力分析，得到了一个2 9 层三维框架结构以重 量最轻为目标函数的最优解。c h o i 等0 4 。2 目为动力荷载作用下的弹性结构提出了 一种准静态结构优化方法r 即，将作用于结构的动力荷载转化为当量静态荷载 序列，而这些当量静态荷载所产生的位移与某一时段结构在动力荷载作用下产 生的位移相同，用所有时间段的若干当量静态荷载来表征结构在动力荷载作用 下的不同状态，这样，连续性的动态荷载就被看作为若干静态荷载。文献最后 作者用一个受正弦激振力作用的1 8 杆平面桁架算例证明了所提出方法的可行 性。h e c t o r 等o ”提出了一种有效的近似优化方法，即，以一系列近似的子优化 方法替代优化问题，对随机荷载作用下的线性体系实现基于可靠性的动力优化。 显然，以上三种方法都是对动荷载的一种近似处理，具有一定的局限性。但它 们能简化计算，提高优化效率，从工程角度来说不失为一种好方法。动响应优 化在其他方面的应用还有：罗鹰等对周边桁架式星载展开天线进行了目标函 数为结构质量最轻，设计变量为周边桁架各单元截面面积和反射索网中各拉索 单元预应力的动响应优化。苏超等对小湾拱坝进行了以主拉应力最小为目标 函数的优化设计。王兴国等1 把导管架海洋平台看作钢框架结构，以结构重量最 轻为目标函数，导管平均直径和壁厚为设计变量，考虑强度、刚度和稳定性等约 束条件，对渤海b z 2 8 1 油田储油平台进行了优化。顾元宪等啪1 对海洋平台结构 进行了动响应优化。朱伯方等o ”对多拱梁进行了考虑地震荷载作用的多目标优 化，发展和完善了我国提出的建立在拱坝优化基础上的二次曲线及混合曲线拱 坝新体形，使拱坝优化技术能适应高拱坝的体形设计。王玉娟等。”将动力优化 理论应用于高密度硬盘磁头形状优化。 随着智能算法的兴起，近年来智能算法与数学规划法相结合的混合优化算 法有了一定的发展。p a n t e l l d e e 等0 3 1 将改进的模拟退火法应用于求解具有动应力 和动位移约束的结构优化问题，并将优化结果与一般优化方法的优化结果进行 比较。结果表明，即使初始设计点为非可行点，改进的模拟退火法最终也能收 4 四川大学硕士学位论文 敛于全局最优解。此结论对于可行域不连续的动力优化问题十分有意义。考虑 到模拟退火法在低温时难以跳出局部最优，刘岩等。”改进模拟退火算法，对其 进行人工升温，提出了单调升温的模拟退火法。岳琪等0 5 1 将单调升温的模拟退 火法应用于板式家具下料优化。鉴于高维复杂函数缺少高效率优化方法，而传统 方法很容易陷入局部极小，王凌等o o 将模拟退火法与单纯形法结合，同时利用概 率突跳性搜索和基于凸多面体结构的几何搜索，提出了具有全局并行化优化特 性的单纯形一模拟退火法。通过对多种函数的仿真分析，证明单纯形一模拟退火 法是一种高效的混合优化算法，能高效率、高性能地解决高维复杂函数的优化问 题。近年来对单纯形一模拟退火算法做进一步研究的还有：范千等。”将单纯形一 模拟退火法应用于参数估计，王凌等”1 用单纯形一模拟退火法设计自适应n r 滤波 器，董杰等o ”应用它对飞机压力加油管路进行节流配置，郭建青等1 将单纯形一 模拟退火法用于估计河流水质参数。智能算法与优化方法的结合还有：利用神 经网络的预测功能，毛海军等“”采用b p 神经网络对机床大件结构进行动响应优 化。f a r z a d 等“2 1 采用神经动力学模型对加强混凝土板进行造价优化设计。罗鹰等 1 用遗传算法实现了目标函数为大型星载天线基频最大化的优化设计等。 1 2 论文主要工作 优化效率和可靠性是选择优化方法时需要重点考虑的问题。本文借鉴已有 单纯形一模拟退火法和单调升温的模拟退火法的思想，提出单调升温的复形一模 拟退火法，并借助算例证明其可行性和有效性。文中以地震作用下吸收能量最 少为目标函数对框架结构进行的动力优化是建筑结构优化领域中一种较新的尝 试。 本文所做主要工作如下： 1 在阅读大量文献的基础上，概括了结构动力优化的发展沿革及其在结构 动力特性优化、结构动响应优化、优化算法方面的研究现状。 2 介绍优化设计基础理论，对各优化算法的适用性以及不同数学模型下的 算法选择进行了比较详细的介绍。介绍了模拟退火法和复形法。 3 介绍结构动力优化设计中常用的目标函数，重点介绍能体现位移、速度、 加速度、质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵等状态反应量的共同作用，具 有较强综合性的能量目标函数。介绍动力特征值问题、动响应计算方法 单调升温的复形模拟退火法在动力优化中的应用 等结构动力优化的具体实现问题。介绍单纯形一模拟退火法和单调升温的 模拟退火法，借鉴二者思路提出了单调升温的复形一模拟退火法，并给出 算法流程图。 4 采用单调升温的复形一模拟退火法对算例进行优化。算例l ，对受正弦激 振力作用的三杆桁架进行以质量最轻为目标函数的动力优化。算例2 ，对 双排四层框架分别进行了以结构在地震作用下吸收总能量最少和造价最 低为优化目标的动力优化。其中，将框架结构在地震作用下吸收的总能 量最少作为目标函数的做法，目前的优化文献中尚未涉及。约束条件的 建立依据混凝土结构设计规范g b 5 0 0 11 2 0 0 1 ) ) 和建筑抗震设计规范 g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 ) ) 等工程规范。另外，本文还讨论了参数设置对单调升温 的复形一模拟退火法在优化效率和优化结果方面的影响。 6 j，i， j j1】1i1；1】， 四川大学硕士学位论文 2 结构优化设计简介 结构优化设计主要包括两方面内容：一、从实际需要出发提出问题，并把 问题用数学表达式表示出来，即数学建模；二、选择优化方法求解。 本章介绍优化问题的数学模型以及不同数学模型下的优化方法选择。 2 1 优化问题的数学模型 介绍优化问题的数学模型前，需要首先提出设计变量、设计空间、约束条 件、可行域和目标函数等概念。现在简要介绍这些概念。 2 1 1 设计变量与设计空间 在设计过程中需要进行选择并最终必须确定的各项独立参数，称为设计变 量；而哪些可以根据设计要求事先给定的独立参数则称为设计常量。优化设计 的计算量会随着设计变量数目的增多而增大，因此，设计变量的选择非常重要。 需要对影响设计指标的所有结构设计参数进行分析、比较，从中选出对设计指 标有显著影响，并且能直接控制的独立参数作为优化变量，其它独立参数则可 作常量处理，以简化优化设计的数学模型。设计变量的值一旦确定，设计方案 也就确定了。根据不同设计要求，设计变量可以是构件的截面参数，如截面尺 寸、截面面积、截面惯性矩等；也可以是结构的几何参数和选用材料的物理参 数，如节点坐标、梁的跨度、材料的抗拉强度、抗压强度、弹性模量等；还可 以是其他各种对结构优化产生影响的量。 在一般情况下把第i 个设计变量记为工，全部设计变量用n 维向量表示为 x = l , q ，屯，矗】t 。设计变量的数目称为优化设计的维数，它表征设计的自由度。 在优化设计中，以设计变量为坐标轴组成的实空间称为设计空间。设计变量越 多，则设计空间维数越高、设计自由度越大、能够选择的设计方案越多，但同 时也增加了问题的复杂程度，使得求解更困难。一般，含有2 一1 0 个设计变量的 设计为小型设计问题，1 0 5 0 个设计变量的设计为中型设计问题，5 0 个以上设计 变量的设计为大型设计问题。 2 1 2 约束条件与可行域 一个可行的设计方案必须满足一系列要求，这些要求称为优化设计的约束 7 单调升温的复形- 模拟退火法在动力优化中的应用 条件。按约束的性质，约束条件可分为性能约束和侧面约束。针对性能要求而 提出的限制条件称作性能约束，如强度约束、刚度约束、稳定性约束、频率约 束等。针对设计变量的取值范围加以限制的约束称为侧面约束，如尺寸约束等。 约束条件有的可以表示成设计变量的显式函数，即反映设计变量之间明显的函 数关系，称为显式约束：有的则只能表示成设计变量的隐式形式，称为隐式约 束。 在优化设计问题中，全部约束的约束面联合起来把设计空间分成两个区域， 可行域和不可行域。可行域内任何一个设计都满足所有的约束，而不可行域内 则反之。 2 1 3 目标函数 目标函数是选择优化方案的标准，表达为各设计变量的标量函数，表征设 计所关心的某个重要指标，如重量、性能或成本等。优化设计的过程就是调整 设计变量，使目标函数达到最优或较优的过程。 在一个优化问题中，可以只对一个目标函数进行优化，称为单目标优化； 也可以同时对多个目标函数进行优化，称为多目标优化。目标函数越多，设计 效果越好，但问题求解也越复杂。多目标优化的特点是不同目标之间往往互相 矛盾，设计中某些设计变量的改动可能会使某个目标得到改善，但对其他目标 却可能相反。例如，减小构件截面积，造价会随之下降，满足了经济这一优化 目标：但同时也可能使得动响应幅值随之增大，与安全优化目标相矛盾。因此， 多目标优化并不存在绝对最优解，而只能找到各个目标间的相互妥协解。 优化问题的数学模型是实际优化问题的数学抽象。确定了设计变量、约束 条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。优化问题的 数学模型通常可写为如下形式： 求设计变量x = “，x 2 ，】t 使目标函数f ( x ) 一m i n 并满足等式约束和不等式约束 岛( x ) = o q = 0 ，1 2 。p ) g j ( x ) o ( j = 0 ，1 2 肌) 四川大学硕士学位论文 优化问题可以按不同的角度进行分类。若f ( x ) 、啊( x ) 、g ，( x ) 都是设计 变量x 的线性函数，这种优化问题称为线性优化问题：若它们不全是x 的线性函 数，则称为非线性优化问题。若设计变量x 只能取整数，称为整数优化问题。 若等式约束和不等式约束都不存在，称为无约束优化问题，否则称为有约束优 化问题。 优化设计中数学模型的建立是至关重要，模型建立得当与否关系到能否得 到满意的优化解。因为对任何优化问题，获得的优化解均相对于当前所选模型 而言，模型建立不当不可能得到满意的优化解。对于复杂优化问题，建立数学模 型往往会遇到许多困难，有时甚至比优化求解更为复杂。另外，有些因素对结 构设计有一定影响，但其影响又难以在数学模型中表示出来，这就需要设计者 在求得优化解后，对其做必要的修改。当然，由于建立数学模型时对主要影响 因素都已做了考虑，所以通常这种修改都是不会影响设计大局的小改。如，由 于材料和制品规格的限制( 如型钢截面等) ，设计变量的取值范围常是一些离散 性数，如果将这些问题以离散优化方法来处理会过于繁琐。通常，可在优化过 程中先把这些离散的设计变量作为连续设计变量看待，求得连续最优解；确定 具体方案时，再选用靠近连续最优解而稍偏“安全”的离散值作为设计方案。 这个方案可能与离散最优解重合、接近，也可能是边界附近的一个不可行解， 因而一般还需进行可行性校核。 2 2 优化方法的选择 选择优化方法，一方面要考虑优化数学模型的特点，另一方面也要了解各 优化方法的特点。数学模型的特点包括：问题的规模，如变量的维数、目标函 数及约束函数的数目等；目标函数及约束函数的性质，如函数的非线性性质、 连续性及计算时的复杂程度等。这些特点是选择优化方法的重要依据。优化方 法的特点包括该方法所适用的模型范围、收敛速度、稳定性、可靠性等。另外， 是否已有现成的程序可用以及编制程序所要花费的代价也是应该考虑的内容。 下面介绍一些常用的优化方法。 2 2 1 常用优化方法介绍 常用的优化设计方法包括：力学准则法、直接搜索法、解析搜索法、序列 逼近法和特种规划法等。 9 c 。 f l_l； 单调升温的复形- 模拟退火法在动力优化中的应用 力学准则法的“”基本思路是充分发掘材料的强度潜力和贮能能力，实现等 强度或等应变能密度状态，以使结构达到最轻或造价最低等优化目标。优点是 容易被人接受，算法简单，收敛较快。缺点是难于适应多种性态约束，且一般 只能解决结构体积最小、重量最轻等目标函数基本上与结构体积成正比的优化 设计问题。常用的力学准则法有满应力法和能量准则法等。 直接搜索法是指优化过程中不需要求目标函数导数的哪些方法。这些方法 直接比较和利用各设计点的目标函数值和约束函数值进行搜索，不需要求导数。 它们的优点是特别适于计算函数求导比较困难或不可能的问题；逻辑结构简单， 直观性强，易于程序化，并且应用时准备工作少，减少出错机会。缺点是迭代 收敛较慢，当设计变量多时，计算工作量较大；目标函数为非线性函数时，用 直接搜索法易陷入局部最优。直接试验法和复形法是典型的直接搜索法，齿行 法也是利用力学准则的一种直接搜索法。 解析搜索法是利用目标函数和约束函数的导数来指导搜索方向的优化方 法。它在搜索中不但要利用目标函数和约束函数的值，而且还要利用目标函数 和约束函数的导数。一般来说，如果目标函数求导数方便，解析搜索法比直接 搜索法效率高。常用解析搜索法包括可行方向法以及各种梯度方法。 序列逼近法是“”把复杂的规划问题用一系列简单的规划问题来趋近的优化 方法，通常后者已有成功的解法可利用。由转化成较简单数学规划问题的类型 不同而有各种不同的序列逼近法，如序列线性规划法和序列二次规划法等。 特种规划法1 是指可用于某些特殊规划的方法。如几何规划、动态规划等， 当目标函数和约束函数都是正定多项式时，几何规划法最为有效。对某些可分 段处理的问题宜用动态规划法。 不确定性规划法是考虑荷载、结构抗力和目标函数中所包含的随机性和模 糊性因素的规划方法。 2 2 2 不同优化模型下优化方法的选择 选择优化方法应结合优化模型和优化方法自身的特点。只有选择了适合的 方法，优化工作才能顺利进行。 中小型问题宜用直接搜索法。它逻辑结构简单，直观性强，易于程序化， 并且应用时准备工作少，减少出错机会。虽然其计算精度不及其他方法好，但 1 0 jj1j-1 ，ilj1i1，111 ， 、 四川大学硕士学位论文 对于一般工程问题已经足够。直接搜索法需要一个可行的初始点，不过这对已 完成传统设计，需要进行优化的工程问题来说也不难，因为传统设计通常就可 作为一个可行初始点。多变量多约束条件的大型问题，采用可行方向法比较有 效，虽然其程序较复杂但计算效率高。 目标函数一阶导数不连续的问题，可采用p o w e l l 法与罚函数内点法相结合的 方法。目标函数和约束函数比较复杂的问题，应尽量选用不需要计算函数梯度 和迭代过程中调用函数次数少的方法，以避免复杂的运算。对目标函数和约束 函数比较复杂的问题可尝试直接搜索法。当约束函数和目标函数高度非线性时， 应选用稳定性好的方法，如将变尺度法与罚函数内点法相结合。 具有明确分析公式而且变量个数适中的问题宜用罚函数法。具有线性约束 的非线性优化问题，使用梯度投影法最好。对易求导的问题，可行方向法的求 解效率较高；不易求导的问题，可将罚函数法与另一种不需要计算梯度的无约 束优化方法结合。 2 3 复形法 复形法实质上是对单纯形法的修正，其思想于1 9 6 5 年由博克斯提出。复形 法( c o m p l e xm e t h o d ) 是解决中小型非线性优化问题的一种有效方法，属于直接搜 索法。 2 3 1 复形法基本思路 复形法的基本思路是m 1 在可行域内，由k ( k n + 1 ) 个满足约束条件的点构 成一个超多面体的顶点，这个超多面体称为复形，它的每个顶点都代表一个设 计方案。当数学模型有两个优化变量时，复形至少为平面上的四面体，而当数 学模型有n 个优化变量时，复形至少为n 维空间中的n + 2 超多面体。复形法的 迭代过程就是对复形各顶点的函数值逐一比较，不断丢掉函数值最劣的顶点， 代之以满足约束条件且函数值有所改善的新顶点，如此反复，直到复形收缩到 预定精度、逼近最优点的过程。图2 1 为可用域内的复形示意图。 复形法和单纯形法基本思想一致，但单纯形法仅限于求解线性问题，而复 形法能有效地处理非线性问题，因此复形法应用范围更广。 单调升温的复形模拟退火法在动力优化中的应用 h t ( x ) 图2 1 可用域内复形示意图 2 _ 3 2 复形法计算步骤 复形法主要有以下四个计算步骤：确定初始顶点、形成初始复形、调优搜索 和检验收敛条件。下面以数学模型如下式的优化问题为例，对各步骤做简要介 绍。 优化的数学模型： 求设计变量x = k ，屯，】t 使目标函数f ( x ) _ m i n 并满足等式约束和不等式约束 鸭( x ) = o ( 1 = 0 ，1 2 ，p ) g ，( x ) o ( j = 0 ，1 ，2 ，m ) 2 3 2 1 确定初始顶点 初始顶点的产生有两种方法： 1 人工给出初始顶点 2 利用随机数产生初始顶点 ，l 表示设计变量个数，k 表示复形顶点编号，则2 n 个初始复形顶点的坐标 为： 芹= a f + 龟( 包一a i )k = l 2 ，2 nf = 1 2 。n 式中a i 、包分别为随机变量的上下限，七为在区间( o ，1 ) 上均匀分布的随 机数。 2 3 2 2 形成初始复形 四川大学硕士学位论文 检查初始顶点的可行性，假设已有s 个顶点( s 1 ) 在可行域内。则可求出 这些点所构成点集的中心点： x ”= 三y x j s 符 若第s + 1 个顶点不在可行域内，则将该点x “取为 x 。“= x s c + o 5 ( x 5 “一x ”) ( 2 - 1 ) 检查新点x “1 是否可行，不可行则重复式( 2 - 1 ) 的做法，直到x “1 可行为止。 照这种方法，继续判别其他点的可行性，直到全部2 ，1 个顶点均为可行点，从而 构成初始复形。 2 3 2 3 调优搜索 1 计算复形各顶点函数值，找出目标函数最大值点x “，称为最坏点，目标 函数值最小点x ，称为最好点。计算其余各顶点的中心点x c | 12 n x 。：土v x 2 ，l 一1 等 t 日 检验x 。是否可行，是则进行步骤2 ；否，则以最好点x 为起点x 。为端 点，重新利用随机数产生新复形。 2 确定反射系数a ( a 1 1 ，由最坏点x ”通过中心点x 。作倍反射，得反射 点x 8 ： x 。= x 。+ a ( x 。一x ”) ( 2 2 ) 检查x 8 的可行性，不可行则减小反射系数，通常取a = o 5 a ，收缩到第二 个x 。点，再检验x 。点的可行性。如此反复，直到x 。可行为止。复形顶 点的反射与收缩如图2 2 所示。 3 计算反射点与最坏点的函数值，并进行比较。 1 ) 若f ( x 。) f ( x ”) ，则以f ( x 2 ) 代替f ( x ”) ，x 。代替x ”，形成新复 形，转回步骤2 。 2 ) 若f ( x 2 ) f ( x “) ，则令a = 0 5 a ，按式( 2 - 2 ) 再求x 。和f ( x 8 ) ，若 f ( x 。) 有改进，则以f ( x 2 ) 代替f ( x ”) ，x 。代替x 8 ，形成新复形， 转回步骤2 。否则再将a 减半，如此反复，直到a 值小于一个预先给定的 很小的正数卢。如果目标函数仍无改进，则将步骤l 中选择最坏点改为 选择次坏点x ”，然后，再计算不包括x 在内的复形各顶点中心，并由 单调升温的复形模拟退火法在动力优化中的应用 次坏点x 通过此中心反射，寻求反射点。重复步骤2 以后的工作。 图2 2 反射与收缩示意图 2 3 2 4 检验收敛条件 反复执行以上诸过程，直到复形收缩到预期精度范围，即复形顶点目标函 数值满足以下条件： 1t 。 【f ( x 。) 一f ( x ) 】2 s 式中为预先给定的一个较小正数，可根据初始目标函数值的大小或问题实 际要求确定，一般取为初始目标函数值的1 1 1 0 0 - - 1 1 1 0 0 0 。 对复形法更详细的描述参见文献 4 4 。 2 3 3 复形法算例 算例数学模型如下： n c m f ( x ) = - = ； 五恐。 s t “耻s o 一熹2 0 9 2 ( x ) = o 0 1 0 0 0 4 - x l x 2 0 2 0 4 0 o 5 t 1 0 由于算例设计变量，l = 2 ，因此取顶点数为k = 2 n = 4 ；将x o = 【2 2 0 ，0 5 5 1 1 作 为优化初始点，初始目标函数为f ( x o ) = 6 8 3 0 1 ；算法终止控制精度取为 e = 0 5 。6 8 3 0 1 1 1 0 0 。计算结果如图2 3 ： 1 4 四川大学硕士学位论文 图2 3 复形法五次优化结果比较 优化变量x 1 图2 4 复形法优化轨迹对比 1 5 f值标目化优 单调升温的复形- 模拟退火法在动力优化中的应用 由于计算中除优化初始点x o 外，初始复形的其他顶点都随机产生，所以每 次所得优化结果略有不同。这些不同的优化结果实质上是目标函数在特定复形 下的局部最优解。目标函数为非线性函数时，难以跳出局部最优是复形法的一 个缺陷。由图2 3 可知，虽然五次优化结果不尽相同，但都在优化均值1 0 8 左 右波动，波动幅度不超过6 ，证明复形法的可靠性能满足工程精度要求，可 以将复形法用于工程结构优化设计。 图2 4 反