（电路与系统专业论文）基于小波分析的心电信号去噪研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 小波理论的形成是数学家、物理学家和工程师们多学科共同努力的结果，现在 小波分析正运用在众多自然科学领域，已经成为当前最强有力的分析工具之一，而 且还在继续蓬勃向前发展着。研究小波的新理论、薪方法以及新应用具有重要的理 论意义和实用价值。在噪声中如何准确地检测到信号一直是信号处理领域所关心的 内容，小波变换由于具有良好的时频局部化特性，能够对各种时变信号进行有效的 分解，从而较好地将信号与噪声加以分离，获得满意的去噪效果。本文对小波分析 在心电信号去噪中的应用进行了较为深入研究和讨论。 本文首先介绍了小波基本理论和基于传统小波分析的信号去噪原理以及几种 常用的方法。在几种方法中，因小波阈值去噪法，原理简单易行，效果较好且是本 文研究的其他几种小波分析方法去噪处理的基础，所以本文在基于m a t l a b 实验平 台上选取实验效果较好的小波函数，在不同阈值和阈值函数的情况下对这种方法做 了较为详细地心电信号去噪比较研究。 在小波阂值去噪原理的基础上，本文将具有各自特点的几种较新的小波分析方 法引入到心电信号去噪研究中，并在相同条件下与传统的小波阈值去噪法作了比较 研究。本文首先进行了平稳小波的心电信号去噪研究。通过实验仿真分析表明平稳 小波去噪效果明显优于传统小波，并能较好的抑制传统闽值法中出现的g i b b s 现象； 针对小波包能更好提供时频局部化信息的特点，将其用于心电信号去噪中，通过实 验分析，达到了较传统闽值法好的去噪效果；本文还将提升小波这种构造小波和实 现小波变换的新方法引入到心电信号去噪当中，实验仿真表明基于提升小波的去噪 方法可以达到传统小波阈值去噪法的去噪效果；多小波作为小波分析理论中正在兴 起的一个分支，虽然人们对它的研究还有待深入，但因其具有良好的特性，所以本 文对多小波处理方法在心电信号去噪处理中的应用进行了探讨，也取得了较好的去 噪效果。 关键词：心电信号去噪：小波分析：平稳小波：小波包：提升小波；多小波 硕士学住论文 m a s t e r st i i e s i s a b s t r a c t t h et h e o r yo ft 王l ew a v e l e io d 西n a t e sw i t hm a t h e m a t i c i a n s ，p h y s i d s t sa n de n 舀n e e r s t o g e t h e r a n dn o w ，t h ew a v e l e ta n a i y s i si sv e r yp o p u l a ri nm a n yf i e l d s0 fs c i c n o ea so n e o ft h em o s t 础c i e n tt o o it oa n a l y s i so rd e a l t h ep r o b l 锄，f i l n h e m o r e ，i tw i l ls t i l l p r o 掣e s sf o n a r di i it h ef i l t u r c 1 bs t u d yt l l en e wt i i e o r y m e t h o d sa i l da p p l i c a i i o n so f w a v e l e t si so f 掣e a t t h e o r e t i c a ls i 伊i f i c a n c ca i l dp f a c t i c a lv a l u e e s t i m a t i n gt h eo f i g i n a l s i g n a l sf 幻mn o i s eh a sa l 、a y sb e e n 姐i m p o r t a n tp a r ti l lt h ef i e l do fs i 印a lp i o c e s s i n g b e c 卸s eo fi t sf i n et i m e - 丘踟u e n c y1 0 c a l i z a t i o nc h 盯a c 吲s t i c ，w a v e l e tt 枷s f o 册c 柚 d f e c t i v e l yd i s c f i m i n a t cs i 萨a l sf 如mn o i s ea n d a c h j e v e sp r e t t yg i d o dp c d b 彻a n c c 。t h i s p a p e rc h i c n ys t i l d y i l l gt i l ea p p l i c a t i o no fw a v e l e t 柚a l y s i si ne c gs i 弘a ld e n o i s i n g f i 刚y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c et h et h e o r yo fw 勰e l c t 彻dp t i n d p l eo fs i 驴a ld e n o i s i l l g b a s e do nw a v e l e t ，釉dt h e ns t u d y i n gs e v 啪ld c n o i s i n gm e t l l o d s b e c a u s et l l | 燃h o l d d e n o i s i n gh a ss i l n p l ca l g o r i t 岫a n d9 0 0 dd e i s i n gr c 如l t ，m o f e o v e ri t i st h cb 鹧eo f o t h c rd e n o i s i i l gm c t h o d sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h i sp a p c rm a k eac o m p a r i s 帆s t l i d yo f e c g s i g n a ld e n o i s i gb a s c d0 nh t a t i 。a bp l a t f b 皿，u s m gd i f f e r e n tt h r c s h o l df l l n c t i o n s a n dt h r e s h o l dv a l u e ，b u tu s i n go n ew a v e l e t 如n c t i o n b 鹊e do np r i n c i p l eo ft l l r e s h o l dd e n o i s i i i g ，s e v e r a l e ww a v e l e t 釉a l y s i s 盯e h t r o d u c e dt oe c g s i g n a ld e i l o i s i n g w 娃hs a m ec o n d i t i o n t h i sp a p e rc o m p a r e d 也e r c s u l t so fm e s em e t h o d sw i t ht h er c s u l to ft l l r e s h o l dd e n o i s i n g e o rt l l es a k eo f s u p p f c s s i n gg i b _ b sp h e n o m e n aa n dr c s e r v 髂c h a m c t c ro fe c gs i g n a l ，t h cs t a t i o 盯y w a v e l e tt r 锄s f b mi sp r o p o s c di nt h i sp a p e f i t ，se x p e r i m e n tr e s u l ti sp t t y9 0 0 d ；w h v e l e t p a c k e ta n a l y s i s 啪g e tm o r et i m e 行e q u e n c y1 0 c d i i z a t i o nc h 甜a c t e r i s t i ci n f o n n a t i o n ，i t s a p p l i c a t i o ni ne c gs i 印a ld e n o i s j n gi sr c s e a r c h e d ，e x p e r i m e n t a lr e s u l ti sb e t t e rt 壬l a nt h e m e t i l o db a s e do nw a v e l e t ；np f e s e n t ，l i f t i n gs c h e m ei sa i in e wm e t h o df o rc o n s t n l d i n g w a v e l e t sa n dp e r f o 咖i n gw a v e l e tt r a l l s f o h n ，i ti si n t r o d u c e di ne c gs i g n a ld e n o i s i n g e x p e r i m e n tr e s u l ts h o w sd e n o i s i n gp e r f o n a n c e0 ft h em e 1 0 db a s e do n1 i f t i n gw a v e l e ti s a p p r o x i m a t et ot h em 甜l o db a s e do nw a v e l e tt r 孤s f o 瑚a sar i s i i l gb m c h o fm e t h e o r y o fw a v e l e ta n a l y s i s ，m u l t i w a v e l e t si sn o wb e i n gs t u d 主e do nt h ef i r s t s t 印，m o r er c s e a r c h e s o nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fm u l t i w a v e l e t sn e e dt ob ec a r r i e d0 u t m u l t i w a v e l e t s s i m u l t a 芏l e o u s l yh a ss e v e r a la d v a n t a g e ss u c ha sc o m p a c t s u p p o r ，o n h o g o a l i t y s y m m e t r y 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s a n ds oo nw h i c ha t ek n o w nt 0b e m p o r t a n ti ns 谵n a lp r o c e s s i n 岛s oi ti si n 仃o d u c e di n e c g s i 鲫a ld e n o i s i n ga i l da c h i e v e ds u p e d o rp e 由r n l a f i c e k e yw o r d s ： e c g s i 印a ld c n o i s i n g ；w h v e l e ta l l a l y s i s ；w a v e l e tp a c k e t ； s t a f i o n a r yw a v c j e t ；i j f t i n gw a v e l e t ；m u l 帅a v e l e t s 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 储签名：1 吁弘 日期：彤年月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：7 留j 饬 日期刃6 年7 5 月占日 导师签名：旧忙年昌 日期：) 一6 年月争日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童篮塞握銮卮进厦! 旦坐生；旦= 生；旦三生蕉查! 作者签名：巧；每 日期：歹彩年6 月日 导师签名：l 习忱甲x 日期：) 一年月旷日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 。l 引言 第一章绪论 小波分析及其应用是当前数学界和信号处理领域一个迅速发展的新兴学科，它 以全新的视角影响着这些领域的思维和分析方法。从数学角度看，它为函数空间提 供了一套逐渐逼近的子空间，这些子空间有不同的逼近度，且逐渐逼近于全空间， 从而可以用具有不同精度和分辨率的一系列函数来逼近原函数；从信号处理角度 看，它提供了一种时间( 空间) 频率的局部化分析，而且时频窗在整个时频平面上 移动时，时宽和频宽会随着频率的变化自适应变化，因此被誉为“数学显微镜”。 经过许多学科领域十多年的共同探索研究，小波重要的数学形式已经建立，理论基 础更加坚实，同时得到了广泛的应用，成为众多研究领域的交叉点。这些研究成果 正在推动着小波理论不断地丰富完善，使其广泛地应用在信号处理、模式识别、图 像处理、数学、物理等众多专业学科和领域中。 心电信号研究是现代生命科学研究的重要组成部分，其目的是为了从获得的信 号中提取有用信息。通过对心电信号的统计和分析，可以得到心脏状态的详实理论 依据，有利于对疾病的客观诊断和生命机能的研究。所以如何才能有效，无创地提 取出清晰，完整的心电信号，就具有了相当重要的意义和临床价值。由于生理机能 的纷繁复杂而使所获取的心电信号呈现出多样随机性，同时还普遍存在着噪声环境， 这些特点决定了提取心电信号比一般工程信号处理难度要大，而且心电信号的处理 对信号真实度的要求又非常高，因此成为近年来十分活跃的科研领域。随着现代科 技的进步，信号处理技术的发展日新月异，相应推动了生物医学信号处理方法的更 新。而信号处理技术在传统的傅里时变换的基础上产生的小波变换优异特性非常有 助于心电信号的处理。 1 2 小波分析的发展 自1 8 0 7 年j f o u r i e r 用函数的傅立叶展开研究热传导方程以来，傅立叶分析 成了亥0 画函数空间、求解微分方程、进行数值计算的主要工具之一。傅立叶变换一 直是信号处理领域中最完美，应用最广泛，效果最好的一种分析手段。但傅立叶变 换只是一种纯频域的分析方法，反应的是整个信号全部时间的整体频域特征，而不 颉士肇住论文 m a s t e r st h e s i s 能提供任何局部时间段上的频域信息。长期以来，人们一直在寻找函数空间l 2 f r ) 的 一种函数基，使得它能保持傅立时分析的优点，又能克服它的缺陷。1 9 l o 年h a a r 构造出h a a r 规范正交基，i 9 8 2 年s t r o m b e r g 提出无限紧支正交的多项式小波。1 9 8 6 年，法国数学家m e y e r 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数妒 它的二进 伸缩与平移 妒( f ) 。2 。辟妒2 - f 一露) ：，足z 构成矿( r ) 的规范正交基。l e t l l a r i e 和 b a t t l e 继h i e y e r 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年， m a 儿a t 利用多分辨分析的概念，统一了这之静的各种具体小波的构造“1 ，并提出了 现今广泛应用的u a t 快速小波分解和重构算法。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 构造了具有 紧支集的正交小波基0 1 。1 9 8 9 年c o i f i 阻n ，m e y e r 等人引入了小波包的概念。基于 样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1 9 9 0 年构造出来。1 9 9 2 年a c o h e n ， i d a u b e c h h i e s 等人构造出了紧支撑双正交小波基“，即保持了紧支撑性又满足了 对称性。1 9 9 4 年，g 0 0 d i i l a n 等人基于r 重多分辨分析建立了多小波的基本理论框架 “1 ，并给出样条多小波的例子“1 。1 9 9 6 年，g e r o n i m o ，h a r d i n ，s s o p u s t 应用分 形插值方法构造紧支、对称、具有二阶逼近阶的g 删小波”，c h u i 和l i a n 利用对 称性构造了c h u i l i a n 多小波m 。s t r e l a 在1 9 9 6 年的博士论文多小波：理论和 应用中对多小波的性质做了比较深刻的分析，提出了两尺度相似变换( t s t ) 的概 念，并用t s t 来改进和构造多小波”。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出一种基于空间域的小波构造方法一提升方法0 1 ，它是构 造第二代小波的基本工具，最初，提升方法是用来改进已有小波，以使其获得特定 的性质，如可以用提升方法构造具有较高消失矩的小波。后来，该方法被推广到了 “第二代小波“”。在第二代小波中，小波不一定是由某母小波通过伸缩和平移 得到的，它们的定义非常灵活，可以是在某区间，也可以是在不规则的网格上。 在二维空间，不是简单的有规律的划分二维平面，而可以定义在曲面上。提升方法 的另一个优点是它包容传统小波，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 证明：任何双正交小波 都可由l a z y 小波经过有限次的提升和对偶提升得到“。 小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集 上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。 1 3 小波分析在心电信号去噪处理中的应用 1 3 1 心电信号及其噪声的特点 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 从某种意义上来说，干扰的分析与抑制往往是发展上述有关学科的关键问题之 一，也往往成为构成相应工程系统的核心环节。通常，正常的心电信号在 o 0 1 h z 一1 0 0 h z 频带范围内，而9 0 的e c g 频谱能量又集中在o 2 5 3 5 h z 之间，在采 集心电信号时，主要有以下几种干扰带入的噪声。 1 工频干扰 工频干扰是由电力系统引起的一种干扰，它是由5 0 h z 及其谐波构成的一种干 扰，从以上各种心电信号的频带来看，工频干扰是心电信号检测与处理过程中必需 考虑的一种干扰，是固定频率干扰，频率为5 0 h z 。 2 运动伪迹 电极与人体接触电阻由于人体轻微运动引起的一种干扰，它虽然也是由于电极 与人体的接触问题而引起，但它不是由接触的“断”“续”而仅仅是接触电阻的变 化而引起的一种干扰，这种干扰同样导致信号基线的变化，但不是基线的跃变，移 动伪迹亦是所有采用接触式电极测量的生物医学信号检测与处理要考虑的一种来 源。 3 基线漂移是由电极移动，人体呼吸等低频干扰所引起。频率小于5 h z 。 4 肌电干扰是由于人体活动肌肉紧张而引起的干扰，它的频率范围较广。 由于心电信号比较微弱，仅为毫伏级，所以极易受环境影响。为了正确进行参 数测量、波形识别和病情诊断，必须抑制这些噪声和干扰。 1 3 2 小波分析在心电信号去噪中的应用现状 f n a z a nu c a r “”提出了基于多分辨率正交小波变换的心电信号的去噪算法， p m a g e n t e 讨论了用软阈值的心电信号去噪，叶继伦“4 1 等在运动心电信号特征 参数识别的研究中应用小波变换方法，表明小波变换对于消除运动信号中基线漂 移和噪声效果是十分明显的。李小燕等“设计了一种新的基于小波变换的自适应 滤波器，可有效消除心电信号的基线漂移，且对s t 段影响小。根据信号和噪声在 小波变换下表现出来的截然不同的性质，王笑梅等“采用二次样条小波对带有白 噪声的e c g 信号进行消噪处理、分解、去噪、重构，该方法在改善信噪比的同时， 又保持相当高的时间分辨率，但重构信号失真，且算法复杂。s e n h a d j i 等“”提出 基于小波分析的e c g 滤波技术可以较好的抑制噪声，进行q r s 波探测，但运算量 还是较大。根据小波包能提供比小波更维精细的分析能力，赵治栋等“”讨论了基 于小波包收缩的心电信号去噪方法。为了解决g i b b s 现象，高清维等“探讨了将 平稳小波用于心电信号处理的方法。e e r c e l e b i 2 0 1 提出了基于提升小波的心电信 3 顾士学位论文 m a s t e r st h e s i s 号处理方法，提高了小波处理心电信号的实用性。 利用小波变换进行e c g 信号去噪过程中，如何降低运算量，并避免不必要的滤 波，尽量少地减少信号失真，同时提高运算速度和减少资源占用率是目前尚需进一 步探讨研究的问题。 1 4 本文研究内容和主要工作 本文主要对心电信号去噪的问题，研究了小波分析理论和去噪理论，分析了多 种传统常用小波去噪方法，对其中算法简单，效果又较好的小波阈值去噪法做了详 细地研究，并在此基础上将平稳小波、小波包、提升小波以及多小波等几种新的小 波分析方法引入到心电信号去噪研究中，以m a t l a b 为实验仿真平台实现了这几种 新的小波去噪方法在心电信号去噪的应用，实验仿真表明，基于以上小波分析的方 法，可以达到保留信号特征，抑制噪声的目的，通过在同条件下与传统小波阈值法 的去噪比较，可以得出几种新的小波去噪方法有优于传统阈值法的去噪效果的结 论。全文具体内容安排如下： 第一章对本论文的研究背景做了一个概述，主要介绍了小波分析的发展，心电 信号噪声特点及小波分析在心电信号去噪中的应用现状。 第二章介绍了小波基础理论，包括小波定义、多分辨率分析、双尺度方程、 m a l l a t 算法及常用小波函数。 第三章介绍了小波去噪的理论和常用的小波去噪方法，对其中的小波阈值去噪 方法做了较为详细的介绍和实验仿真，为介绍后面几种小波去噪方法做了铺垫。并 介绍具有良好去噪效果的基于平稳小波的去噪方法， 第四章介绍了小波包理论及基于小波包的去噪方法；介绍了提升小波理论及基 于提升小波的去噪方法：介绍了多小波理论及基于多小波的去噪方法，并分别做了 心电信号的实验仿真研究，实验仿真说明几种新的小波分析方法在心电信号去噪研 究中是有效的，体现了各自的特点。 第五章对本文所作工作进行了总结，并提出了不足和需要进一步研究的方面。 4 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s = = = = 竺竺= 竺! ! = = ! ! 竺= = 竺= = = ! ! 竺! 尝! = = = ! ! ! 苎 第二章小波理论 2 1 小波变换定义 2 1 1 连续小波变换 给定一个基本函数妒( f ) ，令 小) a 击吖譬)( 2 - 。， 式中，a 6 均为常数，且a o ，显然，妒蚰( f ) 是基本函数妒( f ) 先作平移再作伸缩以 后得到的。若a 6 不断的变化，可以得到一组函数吼j ( f ) 。给定平方可积的信号x ( f ) ， 即z ( f ) r 忙) ，则石( f ) 的小波变换1 ( w a v e l e tt r a n s f o m ，i 盯) 定义为 髑( 岛6 ) = 抄( r 扩陪卜 州姚( f ) 盘t ( f ) ) 2 2 式中，4 ，6 和均为连续变量。因此该式又叫连续小波交换( c w t ) ，占为时移，口 为尺度因子，妒( f ) 又被称为基本小波或母小波，饥。( f ) 是母小波经移位又伸缩所产 生的一组函数，称为小波基函数或简称小波基。母小波可以为实函数也可以为复函 设z o ) 妒( f ) r 似) ，记v ( q ) 为l f ，( f ) 的傅里叶变换，若 勺笛掣拙o o 勺。i nl _ 素2 d q o ) ，妒一) 始终保持了和妒( f ) 具有相同 的品质因数。恒q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且 被广泛应用的一个重要原因。说明了l i ，( q ) 和平0 q ) 的带宽及中心频率随口变化的 情况。 q q o 2q2 q o q 图2 1 甲0 q ) 随n 变化的说明；( a ) 4 - 1 ，( b ) 4 2 ，( c ) 4 1 2 小波变换在对信号分析时有如下特点：当口变小时，对工( f ) 的时域观察范围变 窄，但对盖( q ) 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图2 1 c 所示。反之，当口变大时，对z ( f ) 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且 分析的中心频率向低频处移动，如图2 1 b 所示。将时一频关系结合在一起，我们 可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系， 如图2 2 所示。 硕士学位论文 m a s t e r s t l 促s f s 0 = 1 2 ) 2 q 。 0 = 1 ) q 。 0 t2 ) q o 2 厶2 图2 2 口取不同值时小波变换对信号分析的时一频区间 由于小波变换的恒q 性质，因此在不同尺度下，图2 2 中三个时、频分析区间 ( 即三个矩形) 的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、 频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端( 图中2 瓯处) 的频率分辨率不好 ( 矩形窗的频率边变长) ，但时域的分辨率变好( 矩形的时间边变短) ；反之，在低 频端( 图中吼2 处) ，频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的口值下， 图2 2 中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调 整。 众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后 沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短 的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。 与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的 分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显 然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。 当我们用较小的d 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细 致观察，当我们用较大的n 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概 貌观察。如上面所述，小波变换的这特点即既符合对信号作实际分析时的规律， 也符合人们的视觉特点。适当地选择基本小波使妒( f ) 在时域上为有限支撑，妒f 甜) 在 频域上也比较集中，便可以使”在时、频两域都具有表征信号局部特征的能能力， 因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 综上所述，由于小波变换具有恒q 性质及自动调节对信号分析的时宽带宽等 硕士肇位论文 m a s t e r st h e s 俗 一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。 2 1 3 离散小波变换 我们在( 2 2 ) 式定义了信号z ( f ) 的连续小波变换，式中4 ，6 和f 都是连续变 量。为了在计算机上有效地实现小波变换，f 自然应取离散值，。和务也应取离散值。 从减少信息冗余的角度，口和6 也没有必要连续取值。 减，j 、小波交换系数冗余度的做法是将，j 、波基函觏以) ；击妒( 警) 中 扫在些离散点上取值，一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化( 一 般取2 ) 关于位移的离散化。对于尺度及位移均离散交化的小波序列，若取离散栅格 的口。= 2 ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化， 这类小波称为二进小波，表示为： 吗( ，6 ) i 蛳) 鳓 ( 2 6 ) = 2 7 7 2 卜( f 弦( 2 一o 一6 凇 二进小波介于连续小波和离散小波之闻，它只是对尺度参量进行了离散化，而 在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波交换的时 移共交性，这是它较之离散小波变换所具有连续的独特优点。 令口= n ：，j z ，我们可实现对口的离散化。对扫离散化，最简单的方法是将6 均 匀抽样，如令6 一，6 0 的选择应保证能由暇( j ，七) 来恢复出x ( f ) 。这样，对4 和 b 离散化后的结果是： 妒似( f ) 4 i 劫【口i 7 ( f 一幻抵) 】 = 口i 7 7 气p ( 口i 一硒。)l 蠡z ( 2 7 ) 对给定的信号z ( f ) ，( 2 2 ) 式的连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换， 即 h t ( j ，七) 一p o 渺雎( f ( 2 8 ) 此式称为“离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d 1 盯) ”。注意式中f 8 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 仍是连续变量。记d m = 矸互( ，j | ) ，重建工p ) ，即 工( r ) 。荟罾，弘渺似( r ) ( 2 9 该式称为小波级数，d ，仲) 称为小波系数，妒卅( f ) 是妒卅( f ) 的对偶函数，或对偶小 波。 2 2 多分辨率分析 多分辨率分析( 扎1 t i _ r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称m r a ) ，又称多尺度分析，它 是m a l l a t 在研究图象处理时建立的理论。躲a 不仅为正交小波的构造提供了一种简 单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。同时，它的思想又和 多采样率滤波器组不谋而合，使得我们又可将小波变换和数字滤波器的理论结合起 来。因此，多分辨率分析是小波理论中的精髓，具有非常重要的地位。 多分辨率分析的定义如下：设 匕 ，z 是r 空间中的一系列闭合子空 间，满足以下条件： ( 1 ) 一致单调性：一，3 ( 2 ) 平移不变性：若，o ) ，则，o 一) ( 3 ) 伸缩相关性：若厂o ) 嵋，则，( 纽) u 。 ( 4 ) 逼近性：u _ 一r ( 月) ，n 巧- 0 ) 辟辟 ( 5 ) 正交基的存在性：存在庐( f ) k ，使得 妒( f n ) z 构成k 标准正交基 则称 _ ，z 是由函数庐( f ) 生成的一个多分辨率分析，其中( f ) 称为尺度 函数。从多分辨率分析的定义可以看出，它与人类的视觉有着惊人的相似。当人在 观察某一目标时，可设他与目标之间的距离为尺度工当他在远处观察目标时，对 应大尺度空间，只能看到目标的概貌；当他走近目标时，对应于小尺度空间，可以 对目标进行细致观察。由远及近，尺度相应的由大变小，可以对目标进行多尺度的 由粗到精的观察“。 9 硕士学住论文 m a s t e r l s t h e s l s 从上面的分析可知，多分辨率分析的所有尺度空间 _ ， ，z 都是由同一尺 度函数庐( f ) 在不同尺度下张成的，但由于 _ ) ， ，z 相互包含，不具有正交性， 因此尺度函数在不同尺度下的伸缩和平移办。p ) 一2 叫2 庐( 2 f 一七) 不能构成r ( r ) 的 正交基。为此，我们定义w 为k 在k 。中的正交补空间，即一，a _ o ，上， 因此 ，j z ) 构成了口僻) 的一系列正交子空间，设枷。 ，k z ) 是空间瞩的一组 正交基且满足小波容许性条件，则它的伸缩和 平移的集合妒 o ) 一2 叫2 妒( 2 7 f t ) 必然构成r 似) 的组正交基。其中妒j ( f ) 称为 小波函数，彬称为尺度为的小波空间。 2 3 双尺度方程 前己指出，办，。( f ) 是中的正交归一基，妒m ( f ) 是中的正交归一基，并且 吩上，一，= 0 。这一关系启发我们，在相邻尺度( 如j 和j 一1 ) 下的尺度 函数和尺度函数之间、尺度函数和小波函数之间必然存在着一定的联系。双尺度方 程是多分辨率分析赋予尺度函数和小波函数的最基本特征，它反映的是两个相邻尺 度空间或相邻尺度空间和小波空间基函数之间的内在联系，也是由尺度函数构造小 波函数的桥梁。 由于咖，。( f ) = 2 叫2 妒( 2 一f ) _ ，而咋包含在_ 一，中，这样把九，。o ) 设想成是一。中 的一个元素，因此它当然可以表为，中正交基的线性组合，即 咖。p ) = ( 七) 办小( f ) ( 2 1 0 ) 式中 。( 七) 是加权系数，它是个离散序列。将上式进一步展开，有 2 叫2 庐( 2 1 ) = 2 州 ) 妒( 2 州f _ 七) ( 2 一l1 ) 即 1 0 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 妒( 争压塾( 嘉卅 ( 2 _ 1 2 ) 同理，由于也包含在一，中，因此，中的妒抽( f ) 也可表为一，中正交基办。4 ( f ) 的线性组合，即 妒( 争；只塾雕岳卅 ( 2 _ 1 3 ) j i l l ) 也是加权系数。( 2 1 2 ) 和( 2 一1 3 ) 两式被称为“二尺度差分方程。小”h ，它们揭 示了在多分辨率分析中尺度函数和小波函数的相互关系。这一关系存在于任意相邻 的两级之间，如j = l ，可以得到 妒o ) = 压罾。仲弦( 2 f 一七) ( 2 _ 1 4 a ) 2 曙， ( 扎七) ( 2 _ 1 4 b ) 二尺度方程的一般表达式。 由九 和妒卅各自的正交性， ) r 毛 ) 可由下式求得： 让) = ( 办m o ) ，卉。p ) ) = 了南，妒( 寺) 烈嘉一七矽 ( 2 - 1 5 ) 2 雨刷妒【可即【矿“炒 懈1 训 令。嘉= 一则 ”) ；扫驴( ( f ，一后砂 ( 2 _ 1 6 ) 或 ) 一( 办，。( f ) ，九。o ) ) ( 2 一1 7 ) 同理 ，( 七) = 似( f ) ，奶。0 ) ) ( 2 一1 8 ) 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这两个式子揭示了一个重要得关系，即 。 ) 和啊( 七) 与，无关，它对任意两个相邻 级中的庐和l f ，的关系都适用。这就是说，由，；0 和，；1 的二尺度差分方程求出的 j i l 。 ) 和啊( 七) 适用于，取任何整数时的二尺度差分方程。 2 4m a l l a t 算法 由于明显的原因，正交基是h i l b e r t 空间最理想的基底。小波正交基的存在是 小波分析最重要的特点之一。它不仅能为信号提供唯一的表示形式，而且为小波变 换的快速算法提供可能。正交小波变换分解与重构的快速算法，也称为m a l l a t 算 法，是m a l l a t 在多分辨分析的基础上提出的。它在小波分析中的地位就相当于f f t 在经典傅立叶变换中的作用。正是由于快速算法的提出，才使得小波变换的优良特 性得以充分发挥，从而在众多领域有着广泛地应用。其算法基本思想。o 嘲是：信号 x o ) 的某层小波分解是将x p ) 以某个尺度j 变换到空间r 僻) 的两个正交子空间k 和噬上，由得到离散逼近值口j ) ，由嵋得到离散逼近值d ) 下一层分解中是以 尺度j + 1 再将口， ) 分解到子空间巧+ 。和+ ，中，这样不断分解下去，从而对信号进 行了多分辨率的分解。口， ) ，它对应着信号的低频成分；d ， ) 它对应着信号的高 频成分。 若令n ( t ) ，d ，仲) 是多分辨率分析中的离散逼近系数， ) ，也耻) 是满足二 尺度差分方程的两个滤波器，则口胎) ，d ， ) 存在如下递推关系： n ) ； 一舶p ，o ) = 瓦( 触) + 口j 他) ( 2 1 9 ) d 州 ) = 啊。一筋p j o ) = 匠( 2 七) + 口 ) ( 2 2 0 ) 式中石 ) 一j i l ( 一七) 。整个递推过程如图2 3 所示。 若4 川 ) ，d 川 ) 按( 2 一1 9 ) 和( 2 2 0 ) 得到，则口，( ) 可由下式重建： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s 【s 4 ，( 女) 一n 川( t 弦。 一知) + d 川 冲， 一翻) ( 2 2 1 ) 图2 4 就是重建过程的示意图。 图2 3 多分辨率分解的滤波器组实现 叹( 七) 图2 4 小波逆变换，( a ) 第级，( b ) j 由至0 的过程 2 5 常用小波函数简介 在标准傅立叶变换中，所用到的基函数只有正弦函数；与傅立叶变换相比，小 波分析中所用到的基函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。因此，小波分析 在工程实际应用中，所面临的一个很重要的问题就是小波基函数的选择问题。这是 因为用不同的小波基函数分析同一个问题会产生不同的结果。因此，应首先掌握常 用小波函数的主要性质，然后再结合实际问题的特点，来选择相应的小波基函数。 根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有( 1 ) 小波函数妒“) 和尺度函数妒( f ) 的支撑长度；( 2 ) 对称性；( 3 ) 妒( f ) 和妒( f ) ( 如果存在的话) 的消失矩 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 阶数；( 4 ) 正则性；以下就介绍几种常用的小波函数。“汹1 的性质特点： ( 1 ) h a a r 小波 h a a r 小波是小波分析中最早用到的一个具有紧支集的正交小波，同时也是最简 单的一个函数， f 10 f r w j 谛 a 。 r a ab 图3 1 估计小波系数的软、硬阙值方法 ( a ) 硬阈值方法( b ) 软阈值方法 2 闽值的选取删” 阈值的选择 蝣】删是小波收缩去噪最关键的一步。在去噪过程中，小波阈值a 起 到了决定性作用：如太小，则施加阐值后小波系数将包含过多的噪声分量，达不到 去噪的效果；反之，如太大，则去除有用的成分，造成失真。所以对阈值的估计非 常重要。由( 3 4 ) 式的信号模型，记圹为估计信号，则它与真实信号，的均方误差 定义为风险函数 附) 一专e 伊堆) ( 3 _ 7 ) 我们希望其越小越好。 ( a ) 固定阂值( 匈f 肋昭阈值) 其选取算法是令 a ；盯五而( 3 8 ) ( b ) s t e i n 无偏似然估计阈值( 啪啪阙值) 这是基于s t e i n 的无偏似然估计求出的s u r e 闺值，对于一个给定阈值t ，得到 它的似然估计，再将非似然的t 最小化，就可得所选的阈值。设p 一【风，p ，如一。】， 风cp l t p 。一。；p 的元素为小波系数的平方按从小到大的顺序排列。该阈值产生 的风险为： 聃2 【- 孔帅+ 】， ( 3 9 其中i = q 1 _ i ，一1 ，根据所得到的风险曲线r 佧) ，记其最小的风险点所对应 的值为七。，那么所得的阚值定义为a 一仃扛。 ( c ) 启发式阈值( 胁“舾啪阈值) 它是前两种闺值的综合。所选择的是最优预测变量阚值。当信号x 岱) 信噪比很 小，而战糍估计有很大的误差，这时采用固定值。令 州缸卅，y 一捂学) 3 埘 比较两变量大小，如果口c ，则选用固定闽值，反之则选s t e i n 无偏似然估计阈 值。 ( d ) 极大极小阅值( 胍力j 脚矗阈值) 它的原理是令估计的最大风险最小化，其闽值选取算法是，令 ：讲o 嬲埘溅静， 3 2 ( 3 - 1 1 ) b ，e 3 2 ( e ) 角月a f j z p d 闺值 基于脚怕s 船，f 惩罚函数的方法，可以看成由小波收缩的固定方法变化而 来。设盯是降噪模型中零均值高斯白噪声的标准差，a 是，1 的调整系数，其值越 大，小波表示越稀疏。阈值由极小化下式的惩罚规则得到： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 耐煳：劳出+ 1 0 9 0 一罗孑 ( 3 一1 2 ) 息 其中 一l ，2 门，这里c ( 七) 是按绝对值递减顺序排列的小波系数，n 是小 波系数的个数。设f 是上式的极小值，那么砌。f c ( f ) i 。当a 取值不同时分别有： f p p h 口，f z e d 矗f g ，2 5s 口 1 0 p e 玎，f z 已d 胁e d n 竹，1 5 a 2 5 ( 3 1 3 ) l p e n n f f z 8 df o w ，1 a ( 2 以上列出了常见的阈值选取方法，还有其他方法，在此就不在赘述。 在选择阙值的时候，还要对盯进行估计，其方法是取小波系数在各个尺度下绝 对值的中值，然后将该中值除以常数o 6 7 4 5 作为该尺度下小波系数中噪声强度的 估计f 6 j ，即： b 。