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。y9 9 5 0 0 6 几类非线性抛物方程解的熄灭 、 基础数学专业 研究生：闰莉指导教师：穆春来教授 摘要：解的熄灭现象是非线性抛物方程解的一个十分重要的性质，它 具有明显的实际背景，在热传导，化学反应，生物的扩散，粘弹性的扩散 和恒星演化中都有广泛的应用，见文【2 】， 1 5 】。 近年来，人们利用能量方法，上下解方法，特征函数法等对非线性抛物 方程解的熄灭问题进行了大量了研究，得出了非常多的结论。本文分别运用 能量估计和上下解方法讨论了一类非线性和带梯度项的抛物型方程解熄灭的 充分条件，并将前者扩展到高阶和p - l a p l a c e 方程的情形。 关键词：非线性抛物方程熄灭能量方法 四川大学硕士学位论文 e x t i n c t i o no fs o l u t i o nf o r t h en o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n s m a j o r ：m a t h e m a t i c g r a d u a t e ：y a r d ia d v i s o r ：m uc h u n l i a a b s t r a c tt h ep h e n o m e n ao fe x t i n c t i o ni nf i n i t et i m ei sa ni m p o r t a n t p r o p e r t yf o rs o l u t i o no fn o n l i n e a re q u a t i o n ，w h i c hh a v ee v i d e n tb a c k g r o u n d ，a n dh a v eb e e ne x t e n s i v e l yu s e dt oh e a tt r a n s p o r t s ，c h e m i c a lr e a c t i o n s ，t h ed i f f u s i o no f o r g a n i s m ，e l a s t i c ya n ds t a r sd e v e l o p ，e t c i nr e c e n ty e a r s ，t h ep h e n o m e n ao fe x t i n c t i o nf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a r e q u a t i o n sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s ，w h i c hu s ee n e r g y m e t h o d s ，c o m p a r i s o np i n i p l ea n de i g e n f u n c t i o na r g u m e n t s ，e t c ，a n d al o to fr e s u l t s h a v eb e e np r o v e d i nt h i sp a p e q w i t he n e r g ye s t i m a t e sa n dc o m p a r i s o np r i n a p l e t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x t i n c t i o no fs o l u t i o n s t oan o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n so rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hg r a d i e n tt e r mw i l lb ec o n s i d e r e d ， a n dt h er e s u l t sw i l lb ee x t e n c e dt ob i g h t e r - p r o b l e m sa n dp - l a p l a c i o ne q u a t i o n s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，e x t i n c t i o n ，e n e r g ye s t i m a t e i l 四川大学硕士学位论文 第一章综述 由于线性方程的解是不会熄灭的，因而解的熄灭现象是非线性抛物方程 的一个十分重要的性质，具有明显的实际背景，在热传导，化学反应，生物 的扩散，粘弹性的扩散和恒星演化中都有广泛的应用。 在对非线性抛物方程解的熄灭性质的讨论中，针对方程不同的初边值条 件，一般会采取不同的方法，如能量估计，上下解方法等。近年来，人们做 了大量的研究，具体结果可参见见文 2 ，3 ，6 ，7 ，9 ，1 0 ，1 2 一1 4 ，1 9 2 1 。 前者多用于已知边界上“g ，f ) = 0 或者兰l 。( ) = 0 的情况，通过能量积 口y 分，构造出一个与能量函数有关的常微分不等式，解此不等式并运用比较原 理可得方程的解在一定时间后全为零。本文第一部分就是运用这种方法研究 了方程虬= a u + , il ul ”1 “一伽9 在满足边界条件“g ，f 】n ( o 。) - 0 时解的性质， 得出了解熄灭的充分条件，并将其扩展到了高阶和p - l a p l a c e 方程的情形。 在对方程c a u c h y 问题的研究中，如果使用能量积分法，将会出现边界上 的积分项，能量估计式一般不容易建立，因而多采用寻找熄灭上解的方法。 一般而言，熄灭上解的找寻多利用特征函数或自相似解，如文 1 2 1 3 1 9 ， 而往往上解的熄灭性质都较为明显，不用再多加证明。通过上解的熄灭再运 用比较原理很容易得到方程自身的解也是熄灭的。在本文的第四部分中，考 虑了方程“，= a u ”- f 旯i v ul 9 的c a u c h y 问题，找到了个自相似的熄灭上解， 从而得到方程的解在有限时间熄灭。 婴型盔兰堡主兰垒丝苎： 第二章预备知识 2 1 几个重要的不等式 1 惦i d e r 不等式 设p 1 ，q 1 ，且土+ ! ：1 ，若，f ( q ) g f ( q ) ，则厂g _ ( q l 且 pg j 。i ，g ) g 例- 0 ，6 0 ，s o ，p 1 ，q l ，且上+ 土：1 。则有 pg 曲坐+ 三二竺翻p + s 叫，6 4口6 + 翻+ 占6 pg 特别的，当p = q = 2 时，它变为 口6 三口2 + 上6 2 22 占 称之为带s 的c a u c h y 不等式。 3 g a g l ia r d o - nir e n b e r g 不等式( g n 不等式) 设“眠ok q ) ，l m a o , 。， t ，去一告，则 0 d 。“0 口。，sc i i d “l | ：恤，i i “l l ：叁) 其中c 只依赖于”，聊，k 与q 。当m n l ( k 一，) 时，q 任意取值于 岛蒜崭帕ma 南，m 卜 2 四川大学硕士学位论文 4 p o in c a r d 不等式 土q = 寺+ 口( l m 守半 刀 l一 r 设l 茎p + o 。，q c r “为一有界区域。 ( i ) 若“列一心) ，则 j 。 出c n i d “ 9 出 ( i i ) 若a q 满足局部三i 筘c _ l l 汜条件，“w ( t a ) ，则 f 。卜1 9 出c f 。例9 出； 其中c 是仅依赖h p 和q 的常数嘞2 南j n “g 皿，这里我 l 、佣i q l 表示q 的测度。 2 2 基本定义及引理 定义l ( 熄灭的定义) u ( x ，f ) 是方程的解，若存在瓦( o ，+ m ) 使得 “b ，f ) 0g ，f ) q ( 0 ，r o 】 “g ，f ) = 0g ，r ) q 阮，佃) 则称解“g ，r ) 在有限时间内熄灭。 引理l ( 比较原理) 设q 是有界区域，e c l ，“，v c 2 1 ( ) n c ( 瓦) 满足 “，一a u 一厂( “) v ，- a v - f ( v ) u r = q ( o ，t ) u ( x ，0 ) v ( x ，0 ) ，x q 3 四川大学硕士学位论文 u ( x ，t ) v ( x ，r ) ，x 施，0 f 0 其中1 o 。 证明：考虑方程 鲁+ ”= o ( o ) y ( 0 ) o ，y ( f ) 0 ， 通过解此方程和应用比较定理可得出上述估计。 4 ：旷 + 砂一甜 四川大学硕士学位论文 第三章几类非线性方程解的熄灭 3 1 引言 在对方程解的熄灭问题的研究中，能量方法适用的范围比较广，特别是适 用于那些极值原理不成立的方程或方程组，如半线性高阶方程，拟线性方程 以及n a v i e s s t o c k e s 方程等初边值问题，是讨论方程解的熄灭性质的一种非常 有效的方法，如顾永耕曾在文 7 1 q b 考虑过方程： 坼= a u a 一“ 鸶b 圹? “b ，o ) = ? 2 0 x ) b ，f ) q ( 0 ，+ m ) 得到该方程解熄灭的充要条件是y ( o ，1 ) ，并提出了可以用能量方法处理高阶 方程和p - l a p l a c e 方程。9 5 年，张健针对上述方程的考虑，在 2 l 】中研究了： “= a u 一旯1 7 2 1 9 “+ “ “g ，r l n ( 忡) = o “g ，o ) = g ) 0 ，f ) q ( o ，+ o o ) x q 方程解的熄灭情况。此种情况实际上是在上文所考虑情况下加入了一个线性 项“，但“的加进是阻止解熄灭的，因此这里的考虑有别于上文。作者通过对 问题的研究发现解的熄灭与空间区域大有关联，即只有在q 满足。 4 7 r 时， 方程的解才可能熄灭，这种关联在过去是很少引起注意的。 陈松林在2 0 0 1 年还考虑过如下方程【4 ： “= “一a b | ，”一伽x ，f ) q ( o ，+ o 。) 詈b 圹o “g ，o ) = x ) x q 较之第一个方程，此方程后面多加了一个扩散项，作者同样利用能量方法对 该方程的解加以讨论，得出方程解熄灭的充要条件。 四川大学硕士学位论文 在前面两个方程中，都不含有梯度项，估计起来相对容易，杨世钦1 9 9 6 年文【1 4 中考虑了一类带梯度项半线性热方程解的熄灭情况，具体方程如下： “，= a u a “。+ l v u l 4 x ，f ) q ( o ，+ o 。) g ，f 】瓶( 。，。) = 0 u ( x ，o ) = , t o g ) x e q 2 0 0 1 年，陈明玉将其扩展到了更一般的情形，考虑了带梯度项非线性双重退 缩抛物方程第一初边值问题 3 】： “，= 西v ( 1 v “”1 9 2 v “) 一a “8 + l v “1 4 u ( x ，f 】n ( o 。) = o u ( x ，o ) = x ) g ，f ) q ( o ，+ m ) 解的熄灭情况。在方程中令p = 2 ，m = 1 知，前一个方程恰好是此方程的特殊 情况。本节同样利用能量方法考察，了几类非线性抛物方程。 3 2 一般二阶方程 f q = , , u + a l u l ”1 “一肛9g ，f ) q ( o ，+ m ) u ( x ，叫n ( 忡) = o ( 3 2 1 ) i“g ，o ) = x ) x q 其e pq 是r “中的有界光滑区域，a q 为其边界，旯，y ，p 为正数，a 是 l a p l a c e 算子，下面我们用v 毒示梯度算子，i i 1 | 。表示空间f 心) 中的范数， 蚓表示q 的测度。 我们有如下结果： 定理1 设o p y 墼l 边，“g ，r ) 是问题( 3 2 1 ) 的非负弱解 1 一口 四川大学硕士学位论文 则存在正常数屁= 屈以，p ，i q i ，) ，使当风时，解“g ，r ) 必在有限时间内 熄灭。并有如下估计： 其中，= ：6 c r 严， i l u l l ：= 0 f 【0 ，瓦】 f k ，佃】 证明：在方程( 3 2 1 ) 中第一式两边同时乘以“，并在q 上积分得 翔小船n 制肾刚瞄 ( 3 2 2 ) 由h s l d e r 不等式 务”1 出s 妒- q i 掣：i l 盯1 i q i 掣 ( 3 2 3 ) y + l 其中 = _ 鬲1 一 将( 3 2 3 ) 式代入( 3 2 7 1 ) 式得 翔心一i i v u 即l q 声卜刚i ： ( 3 z t ) 由g - n 不等式有 。c ( ，p 】1 v “i i ：l l “瞄 再将( 3 2 5 ) 式两边同时p + 1 ) 次方后应用带占的y o u n g 不等式 ( 3 2 5 ) r c ( ，p 广i i v “”删紫川 c ( ，p ) 川b 酬e + c 。帔：) ( 3 2 6 ) 力一 等甏 乏| 错 四川大学硕士学位论文 1l 其中目= 旦料，因为o p y l ，所以o o , = l c ( r ) o 使得 呲- , 7 1 i v “e + c 0 ) l l 吡 ( 3 2 9 ) r ：h 印，c 白) 的任意性知，可选择适当的c 0 ，将( 3 2 9 ) 式代入( 3 2 8 ) 式后有 翱p c 在引理2 中令y = ：o ，y ( o ) = i l u o 即得。 8 3 3 高阶方程 虬= 沁- + 五h , - i u - - 肛ag ，) q ( o ，佃) 孑k 佃) = o f - o ，l 加1( 33 1 ) “g ，o ) = “ox )x q 这里兄，托q 0 ，正整数m 1 ，i , 1 0 g ) 0 ，其余同上。 定理2 设o 可 2 是完全类似的。 同样，用u 乘方程的两边，并在q 上积分得 j l 沙d 峥一蚓卜州瞄一卢l l u l l ：s ： ( 3 3 2 ) 应用g - n ，h s l d e r ，y o u n g 以及内插不等式 1 ，我们有 ；：sl q f 七+ ，sl 纠“”c ( ，g ) ，+ 1 恻眨训忪甜l 寥+ 岫 时b + c ( ，p m “i | ：+ 删o c 1 d 。q + + 。1 ) ( 3 3 3 ) 其中女=瓦no丽-qxr+i)，臼=隔2(y-q)n 4 7 n i 一+ ( 4 一 k 。f y + 衲一口1 因为o 9 0 ，则存在 p ：a i q r 川c ( ，p ) ，“c o ) ，当风：p - p o 时，( 3 3 4 ) 式可以写成 圭屿一九州i p o l l 峨： ( 3 3 5 ) 又由c - n 以及内插不等式有如下估计 ：c 。( ，q ) l i l - e 。v “孵 m 0 ： 0 ，成立 哆k - 0 ，使得 翱陪c 雠一班 ( 3 3 ，) 同理，解此不等式并运用引理2 即可得类似于定理l 的估计： 州i ：s6 l - h 一“，12 * ， o ，瓦】 ：= o ，阢，栅】 其中t ( 一詈) = 1 2 n o 矿- q ) + 8 0 + q ) 3 4p - l a p l a c e 方程 虬= ，“+ 旯卜1 7 一“一“ “( _ 叫。( 。l 帕) = 0 u ( x ，o ) = t ox ) g ，r ) q ( o ，佃) x q ( 3 4 1 ) 璺纠查兰堡主兰垡丝苎 脚舻：爿盯剖耙勘山c e 飘叫，其余眦 定理 3 设0 m l + n ( p 一2 ) p ，u 0 0 ) 0 。并有类似的 估计： 慨氚州呐一。，产 ，r ：= 0 fe 【o ，矗】 t 眈，佃】， 其中。= 孚 = 百_ q r + m l pt n 。1 一q + m 一两十而一p ( q + o 证明：如果p 2 ，则v g l + 0 2 ) p ，同时乘以“4 在方程的两边，并在q 上积分，有 者扣瞄l 石备卜瞄刊h e t z ， 为简便计d = 旦型。 p 令v = “。，则原式可化为 而1 面d ”i i o 刖驯m 争删；m + q ( 3 。s ) 婴业查兰堡主兰垡堡壅一 刿定理的证明，取丢= e 一爿+ 焘m 胁i q + i m q + y ，因 q + ，竹p + q 一1 为p 2 ，y m ，所以0 0 ，使得 翱昏卸噬 “ 口口 懈蝴州斟川i 摹_ r f 鼽圳掣，当 r 阮，佃】时。 最后用v 代替“。即可得上述估计。 0 口) 1 1 大学硕士学位论文 第四章带梯度项的快速反应扩散方程柯西问题解的熄灭 4 1 引言 近年来，人们对“。= a u “+ 可0 ) 型方程解的熄灭性质的研究扩展到了考 虑柯西问题的情形，此种情况由于积分后边界项的存在，再运用能量方法已 不能解决问题，而往往采用寻找自相似上解的方法。如s o u p l e t 等人在2 0 0 2 年就运用该方法在 1 2 中解决了h a m i l t o n - j a c o b i 方程： j “f = “一i 甲i 9 x e r u , t 0 b g ，o ) = g ) o 构造出自相似的上解vx , t ) = 仃一f ) 。兀( 肛l ( r r 一) ，从此表达式，我们不难看 出该上解是熄灭的，因此得到方程自身的解也是熄灭的，并得到熄灭现象的 产生与方程初值“0 g ) 有很大的关系。 石佩虎在上文的基础上引进了快速反应扩散方程 3 ： j “，= a u - 1 w , 1 9 x r ”，f o - g ，o ) = g ) o 的柯西问题，同样通过找到熄灭上解的方法，等到了和上文类似的结果，熄 灭的充分条件是当h = m 时初值满足一定的衰减条件。 到2 0 0 5 年，李玉祥，吴基川在 1 9 中提出了当五 0 时方程解的熄灭问 题。当a 0 时，由于反应函数，0 ) 是阻止方程的解熄灭的，相对来说比较困 难，因此在这里要求0 0 i “g ，o ) = u o g ) o x q 解的熄灭问题。 在本节中，作者通过寻找熄灭的自相似上解，考虑了以下带梯度项方程 的柯西问题： j q = “”+ 旯l v “1 9 x r “，f o ( 4 1 1 ) l u ( x ，o ) = g ) o 解的熄灭性质，这里o 聊 l ，b c ( g ”) 表示r ”中全体连续有界函数a 得到如下结果： 定理t 设。 。 又令 v ( x ，) = 仃一0 0 ( 0 ，r = k i 仃一r 尸 则 v = v ，一a v ”一a m 9 = p f ) ”1 日( 厂，r ) 其中日u ，r ) 二一( ，”) + 一鼍( 厂“) + 一万一a l 厂1 9 。 令 婴业查兰堡主兰竺笙苎 一 ，( ，) = 0 + 酬。吾b 我们定义下面的常数 则一：+ b ，：) - 川【2 b 聊朋一a ( a + b r 2 r , u - , u + l - - 2 砂2 卢c 4 + b r2 r ” 一4 m p ( m + 1 ) b 2 r 2a + b r2 ) - 1一旯( 2 即y 0 + b ，：) - ”川j = a + b r 2 p 。1 j ( r ) j p ) ：2 b m l 。- 叫0 + b r2 ) - 1 一q + 2 励归r 2 0 + 占r 2 ) - 1 4 m l , t ( m g + i ) b 2 r 2 ( a + b r 2 ) 一x ( 2 b ya + b r2 y ”一”。9 下面我们只需证明j ( ，) 0 即可。 令，o2 告，当re 【o ，r 0 】时 j ( r ) 2 b m p n - a - 2 1 t c t - 州m 脚+ 1 ) 一警 1 6 恤乌c 珊堕卑如 刖一二如z 胁导州州州1 ) - 喾p - mi 訾3 p - p r o - 2 十，行c一一了三j-)一一。 下面我们只需证明v g ，o ) g ) 。 当r 时，我们有：g ) s c 。( 1 + h ) - 去c 0 6 + 盯) _ ”： 当o h r 时，由g ) 的有界性知：m a x i ， ；ru o g ) = m o ，因此 g ) 肘0 + r ：r 6 + h 2 ) - 9 ，选取c ：m a x 。，m ( 1 + r2 r ，则对任意x r ”， g ) c 6 + 盯) _ “，又，当丁i ，丁c i b i ，我们有 i 如啦f 呵9 眵耕忪 所以，u ( x ，f ) 在有限时间熄灭。 在读期间发表的论文：一类非线性抛物方程解的熄灭，四川大学学报( 已接 收) 咖 j 执 1 7 四川大学硕士学位论文 参考文献 1 】a d a m s ，r a s o b o l e vs p a c e ，n e wy o r k , a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 5 2 】c c m a cd u f f e e ，v e c t a r sa n dm a t r i c e s ，c a r a sm a t h e m a t i c a lm o n o g r a p h n u m b e r 7 ，m a t h e m a t i c a la s s o c i a t i o no fa m e r i c a 19 4 3 【3 】陈明玉，带梯度项的非线性双重退缩抛物方程解的耗竭漳州师范学院学 报，2 0 0 1 ，1 4 ( 8 ) ：1 1 - 1 5 【4 】陈松林，一类反应扩散方程解的熄灭现象，应用数学和力学，2 0 0 1 ，2 2 ( 1 1 ) ：1 2 1 7 4 1 2 2 0 【5 】陈亚浙，二阶抛物型偏微分方程，北京大学出版社 【6 e d i b e n d e t t oa n dyc k w o n g ，h a r n a c ki n e q u a l i t ya n de x t i o n c f i o np r o f i l ef o r w e a ks o l u t i o n so fc e r t a i ns m e a rp a r a b p l i ce q u a t i o n s ，t r o n , a m e r , m a t h ， s o c ，3 3 ( 1 9 9 2 ) ，7 8 3 - 8 1 1 7 】顾永耕，抛物型方程的解熄灭( e x t i n c t i o n ) 的充要条件，数学学报，1 9 9 4 ， 3 7 ( 1 ) ：7 3 7 9 【8 】8 l a d y z e n s k a ，o a ，s o l o r m i k a v , va a n dv r a l t s e v a , n n ，l i n e a ra n d q u a s i l i n e a re q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e ，a m e r m a t h s o c o r o r i d e n c e ，r i ，1 9 6 8 【9 】9 l c e v a n sa n db f k e n e r r , i n s t a n t e o u ss h r i k i n go ft h es u p p o r to f n o n n e g a v es o l u t i o n g s t oc e r t a i nn o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n s a n d v a r i a t i o n a li n e q a t i o n s ，i l l i n o i s j m a t h ，2 3 ( 1 9 7 9 ) 1 0 m b a r t z ia n dh - k o c h ，d e a c yo fm a s sf o rs e m i l i a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ， c o m m p o r t d i f f e q u a ，2 4 1 ( 1 9 9 9 ) ，8 6 9 8 8 1 【1 1 r o b e r tc ，m c o w e n ，偏微分方程一方法及应用，清华大学出版社 1 2 s b e n a c h o u r , ph l a u r e n c o t ，d s c b m i t ta n dp h s o u p l e t ，e x t i n c t io na n d n o n e x t i n c t i o nf o rv i s c o u sh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n i nr ”，a s y m p t o t i c a n a l y s i s 31 ( 2 0 0 2 ) 2 2 9 2 4 6 1 3 】s h ip e i h u ( 石佩虎) ，e x t i n c t i o n f o rt h ef a s td i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t h 1 8 o 四川大学硕士学位论文 n o n l i n e a rg r a d i e n ta b o s o r p t i o ni n r , 应用数学，2 0 0 3 ，1 6 ( 4 ) ：6 0 6 4 1 4 】s n i n g ，e x t i n c t i o ni nf i n i t et i m eo fs o l u t i o n st od e n g e n e r a t ep a t a b o l i c e q u a t i o n s w i t hn o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t