（光学工程专业论文）波差法设计非球面光学系统方法研究.pdf

摘要 目前光学系统初始解求解方法十分有限，对于传统的光学自动设计方法，光学设 计求解仞始解时常用p w 法，先确定系统类型，然后在各种库中选择合适的再经过优化， 不过简单的很容易，结构复杂的系统可能比较困难，而且对于要求特殊的系统则需要 坚强的光学理论知识做后盾。 本文对传统的像差理论和光学设计方法进行了新的探讨，以球差与波差的关系为 基础推导了波差与结构参数之间的关系，用它来计算光学系统的初始解。利用波差法 可以较快、较准确地求解球面光学系统及非球面光学系统，然后再用计算机稍加校正， 就可以得到满意的结果。 随着空问光学系统的发展，光学树脂的普遍应用，菲球面光学系统应用越来越多。 本文主要利用波差法求解初始解，设计了非球面光学系统，并举出实例，通过m e m a x 进行优化，输出结果，作验证比较，可以看出其设计结果是令人满意的。 关键词：波差法非球面光学系统光学设计 a b s t r a c t a t e s e 力t ，o p t i c a ls y s t e md e s i g nm e t h o di sv e r yl i m i t e d ，o p t i c sd e s i g n st h a tt h ei n i t i a l s o l u t i o no f t e nu s e sp ，wm e t h o dt ot h et r a d i t i o no p t i c sa u t o m a t i o nd e s i g nm e t h o d ，f i n d i n g t h es o l u t i o n , a s c e r t a i ns y s t e mt y p e , a n dt h e ns e l e c ta l lt h ea p p r o p r i a t ew i t ho p t i m i z a t i o n 。a s i m p l eo n ei sv e r ye a s y ，b u tt h es t r u c t u r ei sc o m p l i c a t e dp o i n tm a y b ct r o u b l e ，a n df o rt h e s p e c i a lr e q u i r e m e n t so ft h eo p t i c a ln e e d ss t r o n gb a c k i n go ft h ek n o w l e d g e i nt h i sp a p e r , t h en e w i n v e s t i g a t i o na n dd i s c u s s i o nh a sb e e nc a r r i e do u to nt r a d i t i o n o p t i c a la b e r r a t i o nt h e o r ya n do p t i c sd e s i g np r o c e d u r e s t h ew a v e d e v i a t i o nm e t h o d sa l e 0 0 n c c m e d , b a s i n go nt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ew a v e - d e v i a t i o na n ds p h e r i c a la b e r r a t i o n , t h e o r i g i n a ls o l u t i o nc a l lb ew o r k e do u tf o rt h ea s p h e f i co p t i c a ls y s t e mt 0s o l v ei n i t i a ls o l u t i o n a f t e ral i t t l em o d i f i c a t i o nb yt h ec o m p u t e r , t h es a t i s f i e dr e s u l t sw i l lb eo b t a i n e d w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs p a c eo p t i c a ls y s t e m s ，a s p h e r i co p t i c a ls y s t e mg e tm o r ea n d m o r ea p p l i c a t i o n s i nt h i sp a p e r , t ot h eo p t i c a ls y s t e mo fa s p h e r i co p t i c a ls y s t e mh a su s e dt h e w a v e - d e v i a t i o nm e t h o d sf o rs o l v i n gi n i t i a ls o l u t i o na n dc i t e de x a m p l e ，o p t i m i z e dt h r o u g h z e m a x ，o u l p n tr e s u l t sf o rv e r i f i c a t i o nc o m p a r i s o n , i tc a ns e et h a ti t sd e s i g nr e s u l t sa l e s a t i s f a c t o r y k e yw o r d s ：t h ew a v e - d e v i a t i o nm e t h o d sa s p h e r i co p t i c a ls y s t e m t h e o p t i c a ld e s i g n 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，波差法设计非球面光学系统方法 研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：茏鱼k企g 年互身翌日 指导导师签名；亟纠! i 年三月丛日 引言 第一章光学设计的发展 光学设计方法的理论依据就是赛得象差理论，它的建立已经百年了。由于光学系 统的象差种类多，影响因素多，要建立象差与其影响因素的准确关系很困难，所以赛 得象差理论主要是关于初级象差的理论，至于高级象差，表达式更复杂，更难求出， 实际意义不大，因此没有人再去研究它了。特别是计算机普及以后，出现了光学自动 设计，人们更觉得没有必要去研究象差理论了，但计算机不是万能的，正如美国塔弗 茨大学得耐特教授指出计算机弊病那样：“它排除了随时产生的偶然新发现，而一旦被 它放过去的信息就永远找不回来了，更重要的是它往往不能提供更完美的方案，而设 计人员依赖计算机就容易放弃追求更完善的解决方法和探索动力。”随着计算机的应 用，人们从理论上解决设计问题的动力减少了。从而放弃追求更完善的解决方法和探 索动力。任何先进理论都有不断完善、发展的必要。更何况初级象差理论是在作了许 多假设和忽略了许多因素上建立起来的。在光学设计领域，在广泛使用计算机的情况 下，更应对传统的象差理论加以重新认识和完善。 传统的光学设计求解初始解的方法通常用p w 法，这种方法是根据球差s 1 、彗差 s 2 、色差c 1 与结构参数( r ，d ) 和玻璃仳v ) 的关系，利用编制好的表格来求解初始解。 首先确定系统类型，然后在各种库中去选择，再经过优化，一般都能达到要求。简单 的系统很容易，如用该方法设计望远物镜，低倍显微镜还算可以0 1 。因为视场小，只要 其校正球差、彗差和位置色差，用双胶合物镜即可。但是在设计复杂的结构时就会遇 到相当大的困难，而且使用这种方法进行结构调整时是很需要经验的，如果不合理， 可能根本优化不下去。由于科技的不断发展与迸步，光学系统求解初始解的方法却十 分有限，因此本文对光学设计方法进行了更加深入的研究与讨论。 1 1 光学设计的发展历程 光学设计是根据技术要求设计光学系统。在设计一个实用光学系统时，需先将使 用要求归结为几点设计要求，然后由具体的设计过程来实现这些要求。首先须判定这 些要求原则上是否可行，亦即是否与几何光学与物理光学的基本定律相矛盾，然后定 出实现这些要求的方案，亦即决定物面与光阑的位置、需要成像传递的次数、焦距和 倍率等长度以及孔径、视场等量值，再决定所需要的成像范围和清晰程度”3 。一般而言 设计方案对具体设计有决定性意义。不好的方案，虽做了特别好的具体设计，结果仍 然是不好的。考虑方案的主要基础是高斯光学和物理光学以及像差理论。 由于光学设计的最终目的是实现一个光学仪器，因此在设计中也应考虑到仪器的 机械设计和工艺方面的要求，以致装校调整的可能性。在具体设计要求确定后，光学 设计工作中最主要的是拟定校正像差的步骤。充分利用像差理论的概念和结果，经过 慎重考虑后决定正确的工作步骤，这将使1 作尽量少走弯路。另一个重要问题是仔细 分析计算结果的含义，并作一些必要的补充计算，使能得到明确肯定的结论。这类似 于物理学上的一些判定性的试验工作情况，要求明确的判定是或非。只能得出模棱两 可的结论的计算工作是很少有价值的。还有一个问题就是充分利用已有的结果，通过 比较来发现问题，一般来说这是一个有效的方法。 在光学设计中应用计算机已经引起了很大的变革。一开始是用于光路计算，将人 们从繁重的光路计算工作中解放出来，并使复杂的光学系统( 如变焦距物镜) 的设计 计算工作变为易于进行。再进一步，使人们能够对具体的光学系统作认真地质量评价 和分析工作。这是由于质量评价通常涉及衍射积分计算、光学传递函数计算、部分相 干照明下的成像计算等等。不用电子计算机时，这些工作都难以进行。用计算机作自 动修改自动平衡，逐步变更结构以使光学系统最优化，它是一种重复性劳动，可以用 计算机实现。这也就是所谓自动设计工作啪。这几方面的成功已导致光学系统的质量和 性能的水平都有显著的提高。 随着电子计算机用于光学系统计算工作，在五十年代就开始对光学系统自动设计 进行探索，到六十年代初期已经有几个可用的程序。在六十年代，自动平衡工作受到 广泛重视和发展，形成了多种不同的方法，用于作设计已有相当的把握。反映这方面 的进展是召开了数次国际性会议，如1 9 6 3 年在美国召开的会议，及1 9 6 6 年和1 9 7 5 年 两次关于用大型计算机作光学设计的会议。可以认为，在1 9 6 3 年后并没有发生本质性 的进步，但以后的工作使程序设计更趋完善和多用。在美国已有多个商业程序对各界 服务，并建立了多个以此为主要业务的公司。 在1 9 8 0 年召开了第三次国际光学设计会议，反映了近年的情况和动向。由于光学 设计的现状是既是- - i - j 科学又是- - i 艺术，谁也不能说设计已经最优，不能再改进了。 在这个问题上，可以说电子计算机对设计工作者几乎没有什么帮助。在这次会议上 r c 1 u e r g e n s 的报告叙述了2 3 人利用9 个不同程序，设计两个完全一样的课题的结果。 表明：同一程序对于不同的人会得出差异很大的结果m 。不同的程序看不出弱显的优劣， 没有经验的工作者多用4 0 倍的时间所得的结果也不优秀等等。 除这方面以外，人们当然期望机器做更多的代替人脑力劳动的工作。例如在自动 平衡过程中更少需要人的干预，更少依赖设计工作者的光学知识水平，自动选择结构 形式和到处改进方向等等。但是现在有的自动设计程序的基础是：依据光学系统的质 量( 以一定的评价函数为标志) 随自变量变化的微分值，作逐次接近而求解。从光学 角度看，它也还不能解决一般的多变函数空间中求函数的极值的问题。因此，事实上 现在的程序还是要求程序使用者有尽可能多的像差理论知识和设计经验。因此光学自 动设计是尚待进一步研究的课题。 光学设计方法随使用工具的更新而改变面貌，使用电子计算机之前的方法统称为 手工描光路设计法。那时主要通过追迹光线，计算像差和逐次修改结构参数使之接近 使用要求的方法来做设计“1 。电子计算机的使用，使得对光学系统( 特别是复杂系统) 的分析计算更加完善了，进而使光学自动设计逐步发展起来。在光学设计中应用计算 机已经引起了很大的革命。一开始是用于光路计算，将人们从繁重的光路计算工作中 解放出来，并使复杂的光学系统( 如变焦距物镜) 的设计计算工作变为易于进行。再 进一步，使人们能够对具体的光学系统作认真地质量评价和分析工作。这是由于质量 评价通常涉及衍射积分计算、光学传递函数计算、部分相干照明下的成像计算等等。 不用电子计算机时，这些工作都难以进行。用计算机作自动修改自动平衡，逐步变更 结构以使光学系统最优化，它是一种重复性劳动，是用计算机来实现的“1 。这几方面的 成功已导致光学系统的质量和性能的水平都有显著的提高。 1 2 波差法光学自动设计 建立初级象差理论的那个时代，还没有计算机，计算工具计算速度都很落后，所 以初级象差理论建立的一个指导思想就是尽量少算光线，尽量用计算量少的近轴光线 追迹代替实际光线追迹，以便使计算量大大减少。 7 0 年代前设计者往往是利用已有的典型结构通过缩放，再根据自己的经验进行设 计，所以有人称光学设计是一门手艺，即它主要不是依据理论而是凭借经验。随着计 算机技术的飞速发展，科学工作者已编制出光学设计软件，有人称之为光学自动设计 程序。如美国的z e m a x ，c o d ev ，以及s o d 软件包和长春光机所c a o d ，主要是 围绕描述镜头的“数据库”进行优化设计的。我国有人称这种数据库为专家系统，即 将国内外已有的镜头数据拷贝到计算机中，光学设计者可根据需要从中选取一种或几 种，像差自动平衡软件功能设计出所要求的光学系统”。这种光学自动平衡程序不能改 变原有的结构形式，只能发挥其潜力，使像差和性能指标达到预定的目标值。在像差 自动平衡过程中，程序规定了某些数值的限制，如透镜的中心厚度，工作距离等，称 为边界条件，并根据像差和性能指标提出目标函数，使之趋于极小值。常用的方法有 阻尼最小二乘法，自适应法等。不论使用什么方法，均要求设计者不但熟悉计算机技 术，更主要的是懂得像差理论和有一定的设计经验。 光学镜头设计水平的高低，可以从两个方面评价：一是在保证像差和性能指标的 前提下，所用的透镜片数少者为佳；二是同样在保证像差和性能指标的前提下，采用 普通玻璃者为佳，因为特殊玻璃价格比普通玻璃价格高几倍甚至几十倍。显然利用所 谓的自动设计程序解决不了嘲。另外，由于光学自动设计程序要求设计者提出受控像 差，相应的目标函数及权因子阻尼系数等参量，初学者掌握起来比较困难。如设计聚 焦照相物镜，设计者要控制的参量就达三十余个。此外还会出现局部极值等问题。1 。 光学自动设计程宁解决了光学设计问题，这种观点是错误的，计算机技术的发展 主要是提供了先进的计算手段和提高了计算速度，但它不能代替人的思维。百年来光 学设计方法没有更新就是因为原有设计方法的数学模型不够完善，又没有提出新的数 学模型。计算机技术的发展，给我们提供了重新认识这些初级像差理论，不断完善和 发展它，提供新的设计方法的有利条件。 自从有了计算机代替手工计算光线及进一步自动作光学系统结构优化之后，光学 设计的面目发生了革命性的变化“。各种不同的像质评价结果都可以随时获得。能计 算各种各样非球面的自动优化光学设计程序已成为商品，好像光学设计已没有什么难 题了，什么都可以用计算机。其实，事情不是这样简单。就某一种已经成熟的系统而 言，如果稍为改变一下参数，例如口径、焦距等的确用计算机很快就可以算出你所要 的结果。但如果这个改变超出了本来结构形式的能力范围，那么功能再强的自动优化 程序也算不出满意的结果。这些改变对不熟悉光学设计的工程总体设计者来说，不一 定意识到其对光学设计所面临的问题。对于本文重点研究的非球面设计而言，最重要 的参数是系统的相对口径和视场。另外，中心遮拦要尽量小，甚至没有中心遮拦，对 反射系统而言也是一大难题，有时视场渐晕系数指标也会成为设计的难题”1 。为了解 决新出现的各种各样的对光学系统的要求，现在光学设计者的主要精力是放在找到一 个合适的结构形式，按照这个形式，自动优化程序能算出满意的结果。 所以，计算机技术的发展主要提高了计算速度，但它不能代替人的思维。百年来 光学设计方法没有更新就是因为原有设计方法的数学模型不够完善，又没有提出新的 数学模型。计算机技术的发展给我们提供了重新认识这些初级像差理论，不断完善和 发展它，提供新的设计方法的有利条件“4 。基于以上思想，本文针对大口径小视场光 学系统，应用波差法进行自动设计做了详尽的探讨。波差法以球差与波差的关系为基 础，推导了波差与结构参数之间的方程式，用它来计算出初始结构，这样可以更充分 地发挥计算机的优势，具有求解快速准确等优点。下面就对波差法基础理论进行探讨。 1 3 波差法理论 1 3 1 波差概念 波差法以球差与波差的关系为基础，推导了波差与结构参数之间的方程式，用它 来计算出初始结构，这样可以更充分地发挥汁算机的优势，具有求解快速准确等优点。 由某一点发出的一光线束，与此光线束1 e 交的曲面称为波面，当光线都交于一点 时，对应的波面就可以认为以此点为中心的球面，球面是理想波面。若光束经折射后 变形，不交于一点，此时相应得波面就不再是球面，即为实际波面。实际波面与理想 波面的偏离称为波差或波像差。 由物点发出的同心光束对应的单色波厩经光学系统后，由于产生像差而成为非球 面波，它相对于某一波面中心相切的参考球面的偏离就是波像差。波面和光线是一个 曲面和法线的关系，几何像差理想像点算起表示实际光线位置与理想光线位置之间 4 的偏离。波像差由理想波面算起，表示实际波面与理想波面之问的偏离，理想波面可 以使以理想像点为中心的仍为一波面。因此，光程差就是波像差。 在非球面光学系统中，可以利用波差法来进行光学设计。例如同轴非球面系统， 具有同轴球面系统像差的一般性质，只是具体的像差分布值不同。在初级像差范围 内，单个非球面的自由度只有一个，只能用来校正一种初级像差。用单个非球面校正 球差，是使波面最终成为准确的球面，也就是侵光束准确的交于一点。用平面和二次 曲面可以组成一个校正像散的单透镜( 目镜) 。平面对无限远物体而言没有像散，它和 有特定光阑位置的不产生像散的二次曲面透镜组成的单透镜，对于特定光阑位置和物 体是完全校正像散的。但由于大视场，单片非球面透镜在完全校正像散时，像面弯曲 很大，为此设计时应将系统各面产生的主光线偏角分配均匀，使各面折射角减少，以 达到减少高级像面弯曲的目的；合理选择非球面位置用非球面化校正相应多余部分的 像散；不断修正非球面系统，改变折射点，观察像差效果。这样重复多次，即可获得 较好的结果。 1 3 2 光束波差计算 m a l u s 定律指出；垂直于波面的光束( 法线集合) 经过任意多次反射和折射后，无论 折射面和反射面的形状如何，出射光束仍垂直于出射波面，保持光束仍为法线集合的 性质，并且入射波面与出射波面对应点之间的光成为定值“”。 由某一点发出的一光线束，与此光线束正交的蓝面称为波面，当光线都交于一点 时，对应的波面就可以认为以此点为中心的球面，球面是理想波面。若光束经折射后 变形，不交于一点，此时相应的波面就不再是球面，即为实际波面。实际波面与理想 波面的偏离称为波差或波像差。 根据m a l u s 定律，算出光程差，即可知道折射后波面形状，即可以得出波像差。 波面和光线的关系是一个曲面和法线的关系；几何像差由理想像点算起，表示实际光 线位置与理想光线位置之间的偏离。波像差由理想波面算起，表示实际波面与理想波 面之间的偏离，理想波面可以是以理想像点为中心的任一波面“”。因此光程差也就是 波像差。 对一个单折射面而言，轴上点a 发出的孔径角为u 的光线与近轴光线在理想像面 处的波差( 或波像差) 可用两光线光程差表示。 图1 1 中l ，u 分别为物方和像方的物距和像距，u 和u 吩别为物方和像方孔径角， s 和s 分别为物方和像方的边缘光光程。单折射面孔径光线和近轴光线( 零光线) 到达理 想波面的波差由下式计算： 形。( 堋+ 以_ 一竺呈) 一( 一n l + 玎r 一愿昆) c o s u 、 7 - ( 一旦s i n u + 芝s i n u 一型c o s u i ) 、， 十一面h 叫“击卅。昆】 = n h ( 2 u - 一南“ ( 赤一面1 ) + ( n - n 虹“缸( 1 一扫 ( 1 1 ) j il 亨 弋 1 1 2 r x j ，村 二 1 一 a 歹 一x 1 j 笋 x ： 、 气 吲 b o 一ii 2 一5l l 图l 1 单透镜产生的波差示意圈 6 同理，单透镜的孔径光线和近轴光线( 零光线) 剑i 丕理想像圆日刁缓左田r 戌计异： 州一n 箍“一南 吖也呻，) 一r 一缸+ 以苗】 i 【土+ 以堪+ 上一三】 s i n u ls i n u is i n u 2 c o s u 2 。 十面h l 乩- x ，+ n ”蝴+ 南z “】 吐c 面1 一南吨矗一南 咖孵咖卅姒壶一南“( 1 一壶) ( 1 2 ) 同理空气中的透镜组的孔径光线和近轴光线到达理想像面的波差由下式计算： 呲击一南地矗一南+ 弘一训 + 舯- 以n ，赢一由“o 一赢，n 。， 对于密接薄透镜系统，各面光线高度可以认为相等，孔径光线和近轴光线7 ( 零光 线) 到达理想像面的波差由下式计算： n c 壶一南+ 壶一击 + 薹一驰。嘲“( 1 一南、 1 4 波像差与几何像差的关系 首先导出轴对称波像差和轴向像差( 球差) 间的关系。对于轴对称的波面来说，由 于对称性，波面法线一定与对称轴相交；因此为表征其几何象差，只需用这个交点的 截距就够了；而为考察波象差也只需考察波面的一个截面就行了。这个截面应当是包 含对称轴的，如图1 2 所示。 7 y b b ：6l x 图1 2 截面图 o x 为波面的对称轴( 一般也就是光学系统的光轴，但并不一定是光轴) ，o 是出瞳 中心，实际波面o a 上任一点a i 的法线( 即光线) 与轴交于b t 点。点b 为o a 与在o 点 相切的球面o a 的法线与光轴的交点。点b 作为参考点，则距离b b 就是实际光线的 轴向几何象差，以l a 表示。以参考点b 为中心的球面就是参考波面，它也就是以b 为参考点时的理想波面光线a 1b 与理想波面o a 交于a 点距离h a v 乘以此空间中介 质的折射率n 后即为波象差，以w 表示。a ，b 连线为球面半径，a b 与a b 两线夹角 为d ，当l a 不太大时有： 6 。l a s i n 0 r ( 1 5 ) 式中0 是a b 与轴的夹角，r 是理想波面半径，a b ，a b 各为理想波面与实际波面 的法线，馥角e 也就是两波面在a 键的夹角，这个波面夹角可以由下述考虑得出：以 b 点为中心通过a t 点再作球面a t c ，a c 与o a 间等光程，且两面相互平行，所以角 d 也就是o a 与a c 的夹角，由此可见： 6 。一1 d w ( 1 6 ) hp , , d 0 由( 1 5 ) ，( 1 6 ) 两式得： d w - n l a s i n o d 0 ，_ ，吐4 d c o s 0 ( 1 7 ) 这就是所求的波差和几何象差之间的关系。 更加一般的波面的法线，即更加一般的光线束，就不能如上述那样用一个量来表 示它的几何象差了；为描写这个光束，本文用光线与某一平面( 即理想像面或称参考像 面) 的交点距离某一定点( 即理想像点或参考像点) 的坐标t a y 和t a z 来表征，所以称 之为垂轴像差。如图1 3 所示： 8 a a 图1 3 参考点表示图 取光阑中心o 与某一点b o 的联线作为_ o x 轴，分别以o 和b 点为原点作相互平 行的光阑和像面的右手坐标系o x y z ， b o ；d d 。点a ( x ，y ，z ) 与点a g c ，y ，z 各为通过光阑中心o 的理想波面和实际波面上的点，距离a a 僳折射率1 1 后即为波像 差。o b 为理想主光线，它通过我们选定的理想像点( 参考点) b ，o b 之长以r 表示。 通过a f 点的实际光线a b 之方向余弦是c o s a ，c o s b ，c o s 7 。b 是实际光线与b o d d 坐 标平面的交点，故参考平面方程式为： 暖一r o ) 2 + ( 1 ，一日) + z2 - r 2 ( 1 8 ) 式中r 0 ：o b o ，h - b 。b ，实际波面方程为： f ( x ，y ，z t ) - - 0 ( 1 9 ) 由以上两式微分得： ( x - r 。) d x + ( y h ) d y + z d z = 0 c o s a d , v + c o s f l d y + c o s 彬z 一0 ( 1 1 0 ) 再由于波像差在三方面的投影为： n ( x x 、一w c o s a n o - v ) = w c o s f l 抖( z 。一z ) 一w c o s y 微分后得： n 一d y ) 一c o s a d w w s i n a d a n ( d r 一d r ) - c o s 届d w w s i n 届d 声 n ( d z 一d z 、- c o s 弘w w s i n d y 上列三式各乘以c o s 口，c o s # ，c o s ? ，然后相加即得： n ( c o s a d x + c d s + c o s r d z ) - n ( c o s+ c o s 届d y + c o s r d z ) - d w + 三胧 8 2 a + o o s 2 芦+ c o s 2 y ) 由上式及方向余弦平方和恒等于1 而得： d w 一- n ( c o s a a , 1 + c o s 届d y + c o s ) _ d z ) 由于方向余弦可表示为： r o x c o s a 一 r c o s 艿。h - t a y - y c o s ，。二丝= 墨 r 式中r = 彳一b 以之代a ( 1 1 3 ) 式及( 1 1 2 ) 式，即得： d w ，兰唧，d y + t a ：d z ) ， 亦即 堡，n t a y a y r _ ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 。1 5 ) 塑。n _ t a d z r 2 ( 1 1 6 ) 为了利用( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 式由波像差求几何象差或反过来从几何象差求波象差，可 将其取近似值r ，将r 看作常数，并将t z 看作是光线与出瞳的交点坐标。 将式( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 中的y ，z 除以光线的最大孔径y 。，并将结果写作y ，z 。又 因为垃。“。，故两式成为： ， 1 0 及 d w 一栉“o t a ，方+ n u o t z ：d z ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 黝 m “ 强 n ， l 邢一即 渺一：窨 第二章波差法在光学系统中的实现 波差法在实际设计中能够运用到许多光学系统中，它分别适用于球面光学统系统 与非球面光学系统。针对波差法理论，首先将其应用于三胶合复消色物镜中，对其进 行求解设计，通过这个系统来实现波差法理论的初步实践。 2 1 波差法设计三胶合复消色系统 2 1 1 三胶合复消色物镜初始解的确定 若三胶合透镜消位置色差和二级光谱，则下式成立： o d l 一1 ) g l + ( 甩d 2 1 ) g 2 + ( n d 3 1 ) 6 i - 妒d ( 厅，1 1 ) 6 j + ( 7 l ，2 1 ) g ：+ ( 3 - 1 ) ( 7 3 - 九 ( 拜f l 一1 ) g 1 + ( 斥c 2 一1 ) g 2 + ( h c 3 - 1 ) g 3 _ 贴 以上三式互相作差得： ( 即l 一1 ) g 1 + ( ，1 2 1 ) g 2 + ( 打3 - 1 ) g 3 - 妒 翻f c l g l + 锄，c 2 g 2 + 翻，c 3 g 3 = 0 锄，d 1 g 1t 锄f d 2 g 2 + 胁，d 3 g 3t 0 其中 g it p l p 2 g 2 一p 2 一p 3 g 3 一p 3 一p 4 当三种玻璃选定后，则g 1 ，g 2 ， g 3 可解。 若系统某一1 2 径的球差为零，三胶合物镜的波差公式可变为： ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 矽。h ( 上二士+ 三一上) t a n us m us i n u t a n u + 0 1 1 ) ( j 2 一x 1 ) + 0 2 1 ) ( 彳3 一x 2 ) + ( ，1 3 - 1 ) ( x 4 一算3 ) 对矢高x 用r 、h 进行级数展开，忽略高次项 工- r 一石_ _ * 生2 r + 芸8 r 一生2p + 壁8p 3 ) j 其中h = d 2 ，d 为物镜口径，因此 x - 嘎= 圭a 2 岛+ 1 衍一i 1 2 驴言一4 p ； - 三 2 ( p 。一p ：) + i 1 4 ( p 。一p ：x p ? + p 。p ：+ p ；) - 圭a 2 ( 反峨) + i 1 巩角嘞姒p ，一p ：) 2 + 3 p i p 2 ) 一l z h 2 g l + 1 5 h 4 g 。( g ? + 3 q 1 ) 一l h 2 g , + 吾1 4 q + 吾讹，q 1 ) 将上式代入( 2 4 ) 有 w 礼( 上一土+ 三一三) l a n u s l i l t ls l n ut a n u 式中 一三o ，一1 ) h 2 g 1 一拇1 一啪4 四一n ，一a ) h 4 g x q , 一三。：一啪2 g ：一n 2 - 1 冲4 g ：3 一百3 0 ：一1 ) h g 2 q 2 芝瓴一1 ) h ：g 3 - 1 ( 驴啪4 g ；一i 3 0 ，一1 ) h 4 g 3 q 3 q p , p 2 q 2 一p 2 p 3 幺一p 3 p 4 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 由( 2 7 ) 式可知，当玻璃、妒和孔径一经确定，透镜波差只与q 1 、q ：、q ，有关， q l 、q ：、q ，反映了透镜的结构形状。 将q 1 分别表示成p 。和g 的形状，即 q i p ，p 2 。g l p 2 + p ；一 q 2 一p 2 p 3 一g 2 p 2 + p ； q 3 一p s p 4 - p ；- ( 2 g 2 + g 3 ) p 2 + g ；+ g 2 g 3 ( 2 8 ) 代入( 2 7 ) 式，令w - - - o ，则三胶合透镜的波差表示形式恰好是一个关于p ：的一元二 次方程： 彳正+ b p 2 + c 0 解之 一b - 4 a c 。 p 2 1 广一 ( 2 9 ) 其中 a 0 1 1 ) c l + 0 ：一1 ) a 2 + 3 - 1 ) c 3 - 爹 b - ( 厅l - 1 ) g ；- ( n 2 1 ) g ：一( n ，一1 ) g 3 ( 2 g 2 + g ，) c - 嘉妒+ 扣一啊+ i 1 睁1 ) ( 7 2 3 + 弘1 一孵 + 嘉( 去一击+ 志一去) 地- 1 ) g ：g 3 ( g ：+ g ) ( 2 t o ) 对于小视场光学系统应满足正弦条件，则有“- s i n u ，h t s i n u ，第( 2 1 0 ) 式 用u 的级数表示，则 1c - o s u 1 一h 211 1 ， t a n u s i n u “28 ( 2 1 1 ) 因此 1111 面了一五了+ 而一面 i 三( h 一“) + ! ( “3 一h 3 ) 28 _ 1 一一1 ；了1 ；妒 一；l l ，1 7 hh h ， f 。了。7 “妒叫叫 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 1 4 1111 面了一i i + 而一面 一- 扣一警阳2 + “) 。一三 妒一竖一毛蛳 ( 2 。1 4 ) 288 因此可得： c 一；。一驰卜j i 。：一垆；+ 了i q ，一班； + ( 1 1 3 - - 崛暖+ g 2 g 3 ) _ 譬+ 等妒 ( 2 1 5 ) 至此，a b c 中的变量全是设计三胶合物镜的技术指标和选定的玻璃的折射率参数， 都为已知量，可以唯一确定p ，p ，成、口。 2 1 2 波色差 以上为求解初始解步骤，求得的为薄透镜系统的结构参数。但因上述解是在忽略 高级量的影响和忽略透镜厚度的情况下得到的，再加入透镜厚度后，象差会有变化， 还需要用波色差进行微量修正，再介绍校正方法之前，先介绍一下波色差的有关概念。 由物点发出的同心光束对应的单色波面在经过光学系统后，由于象差而变成为非 球面。它相对于某一波面中，二相切的参考球面的偏离就是波象差。如果物体发出的 波面不是单色的，各色波面经过光学系统后，将因各自的象差不同而有不同程度的变 形。如波长为h 和波长为元k 的二色光波面之间的偏离可用来度量色差，称之为波色 差。某一口径的波色差公式按下式计算： h 巴1 z 卜 j b 乏， g d曼 乜 i 一6l i 一 一5l 芝l l f 一 6l 。f c 一 - l 一 lc 一 图2 i 波色差示意图 如图2 1 为一轴上点a 经透镜产生的波色差示意图。由a 点发出的白光经透镜后 发生色散，取其中的两条光线f 光和c 光为代表计算波色差。令e b 为c 光线，f g 为 f 光线，b 、g 分别为c 光和f 光与光轴的交点。延长e b 、f g 的反向延长线交于d 点，以d 点为圆心，b d 为半径作圆交d g 延长线于h 点。假定c 光到达b 点时，f 光到达p 点。令c p 为越，p h 为配：，因为b e c 和p g f c 光程相等，则 c f 。n f + f g + g p t c e n c + 耶 ( 2 1 6 ) 即 驴d ，+ 去+ 瓯仇珥+ 瓦h c ，j 戳。面h c 一面h f + d c 嘶肌 ( 2 1 8 ) 其中s i n v ；，和s i n 以。分别为f 光和c 光在第二面的出射孔径角。 在a d b h 中，g b 为f 光和c 光的位置色差，用昆二表示，因此，d b 为： g bd b s i n ( v 2 ，- s i n u 2 c ) s i n u 2 ， 即 册i 戤面藏s i n u ： ( 2 - 1 9 ) 因为d b 和d p 为由虚物点d 点发出的两条光线，b p 为c 光到达b 点时，f 光正 好到达p 点，部是在波面b h 上，因为d h 等于d b 。所以 6 + 6 t + d g - d b d e + e b 雹+ 戳+ k 丽s 丽i n u 2 c 一戤。面s 丽i n u 2 v 乩2 。乩f c sinu2v-sinuic s i n ( u i ，一u 之) 破酸畿slnu ul，。一，1 一昆1 ( 2 2 0 ) 昆：即为全孔径f 光和c 光的波面之间的偏离，所以对于整个光学系统的某一口径 光束的波面色差公式按下式计算： 肌醅轴翁一且s i n u k 。十彘 + 善t d 一：d n ：一弘： ( 2 2 1 ) 式中 一，a ：分别为波长为九，九光线的象距 d m ，d a ：分别为波长为 ，如孔径光线在各介质中的光路长度 d ；各透镜中心厚度 ( 2 1 6 ) 为波色差准确计算公式，康拉底在他所著应用光学和癖设计一书中 提出的波色差计算公式是近似公式。 啪。骅一删 一 ( 2 2 2 ) 相比之下，除( 2 2 1 ) 式精度高以外，( 2 2 2 ) 式须要借助中间波长计算和波长光的波色 差，而( 2 2 ) 式可直接计算任何两种波长光的波色差。( 2 7 ) 式对折射率n 进行微分， 忽略p 的高次项，则： i - ( 向”1 g 1 + 翻w 2 g 2 + 翻k 3 g 3 ) 每 lz - ( 加。g ，+ 血。：g ：+ 觑。，g 3 ) 譬 ( 2 2 3 ) 上式中的a 砰么，矸分别为f 光和c 光，f 光和d 光的波色差的初级量。 2 1 3 象差的微量校正和玻璃的选择 因第一次解出的r 是在忽略透镜厚度等条件下得到的，波色差值和二级光谱不一 定恰好为零，把波色差的负值代入( 2 4 ) ，以补偿上次产生的波色差。 1 7 即： q l 一1 ) g i + ( 彪2 1 ) g 2 + ( 以3 1 ) g ，毫妒 t s n p c t g l + 面r c 2 g 2 + g 3 一 加口l g l + 锄d 2 g 2 + 翻3 g 3 - 一云 ( 2 2 4 ) n 由( 2 1 8 ) 式重新解出的一组g 1 、g 2 、g 3 ，再代入( 2 9 ) 式，( 2 1 0 ) 式，( 2 1 5 ) 式，求出新的n 、p ：、p ，、p 。 再计算波色差直到为零，如此求出的结构参数，满足d 光边缘球差、正弦差、波 色差、二级光谱为零。如果玻璃选的合适，d 光带球差也会在容限内，若总不合格， 需换玻璃组合“”。透镜厚度是在解出半径f 后，按光学设计技术手册的规定选取，以 上求解的迭代过程可用计算机实现：其程序原理结构如框图2 2 所示。 以上为波差法设计球面镜的基本思路，由以上的解法可以看出，它完全不同于p w 法。波差法的一个主要特点是在解出初始结构后，在修正的过程中每次修正都要重复 考虑各象差的影响因素，因此用波差法解出的最终结构的象差结果一定能满足己考虑 的各种象差容限。在像差校正方面，复消色物镜除了更满足消色差物镜的像质要求外， 主要矛盾是解决二级光谱和球差的校正，为此用波色差来讨论显得尤为方便。物镜达 到复消色最简单的方法是使用具有同样相对色散的玻璃作透镜，在满足消位置色差条 件下，二级光谱自动消除，因此选玻璃成为实现复消色的瓶颈。 由以上的波差及波色差的推导可以看出，我们并没有考虑如何选择玻璃组合，玻 璃选择合适与否对于校正二级光谱起着决定性作用。为此用三种作法。一是按以前所 叙述的那样，选择以p v 为坐标的三块玻璃围成面积最大的三种玻璃组合形式，这样 对校正二级光谱有利，这是因为第一块玻璃和第三块玻璃组合成的新的玻璃的( 声，矿) 轨迹应在第一块和第三块的州r 连线上，故有： 业。旦二里! 匕。矿”3 一”l 、 得 歹。鲨出+ i - ( p 3 - 1 ) ”3 一”l 如一”1 ( 2 2 5 ) 在选玻璃时应尽可能使第一和第三块玻璃的点的连线与第二块玻璃的点要远，若 f v ，= 5 1 0 就有可能用来校正二级光谱。 2 2 图三胶合物镜初始结构参数计算程序结构框图 1 9 第二种作法也就是如流程图所示，建立三个玻璃库，以冕牌、特殊、火石( 三种玻 璃组合顺序任意) 三种顺序分别建立玻璃库，让计算机自动选取玻璃，去计算哪三种玻 璃组合形式合适，对校正二级光谱有利“力。这样作法的好处是全面，能给出全部满足 象差要求的玻璃组合形式与结构参数。刚开始时担心的就是效率，因每种组合计算机 都要去计算一下。但从实践看出，在微机上平均3 0 秒就可以算出一种令人满意的结果。 因此可以从众多的解中选取一种最好的，再经微量修正就可以实现三色光在o 7 0 7 带 交于一点，d 光边缘孔径球差为零。这也就是象差所要求的最好结果。 从程序给出的结果中，基本上都是几种固定组合形式，这就说明长焦距物镜复消 色差确实很难，与玻璃的组合形式有重大关系“”。只有玻璃的组合形式合适，才能消 除二级光谱，否则也会因为曲率半径过小而失去意义。 第三种作法是根据经验，己知这三种玻璃组合形式对消二级光谱最为有利。直接 在玻璃库中建立三个玻璃的数据文件，让计算机去计算，当然这种作法是最快、最有 利的。 在公式的推导和编制程序过程中，一直考虑以消色差为目的：在三胶合物镜的求 解过程中，建立了三个方程，其中有两个是消色差方程，这就保证在f 光、c 光消色 差的同时，d 光、f 光也消色差，即实现0 7 0 7 带三种色光交于一点，实现复消色。对 于双胶合物镜，只有一个消色差方程，只能实现f 光、c 光在0 7 0 7 带交于一点实现 消色差，而不能实现复消色。 当玻璃库建立后，按此原理和公式编制的程序即可成为设计复消色物镜的傻瓜系 统，在计算机上很快就能绘出多种玻璃组合和结构参数，象差结果令人满意。 2 2 其它球面透镜的设计 2 2 1 双胶合物镜的设计 波差法可用于求解双胶合物镜的初始结构，下面予以简要说明。双胶合物镜能消 色差，不能复消色( 主要因为玻璃原因) 。若双胶合物镜能消色差，则下式成立 以，一1 ) g l + 0 2 一垆：妒 ( 2 2 6 ) 加，c l g 】+ 翻，c 2 g 2 = 0 ( 2 2 7 ) 两种玻璃选定后，g 1 、g 2 可以解得，再异j 公式( 2 1 6 ) 修正几次，应用完全相同 于以上方法，就可求得双胶合物镜的结构参数。不像p w 法