（环境工程专业论文）十字交叉形河道水流水质模拟.pdf

十字交叉形河道水流承质模拟 摘要 我国水资源人均占有量仅为世界人均占有量的2 5 。而在我国社会、经济、 文化较发达的河网地区，水质型缺水已经成为该地区经济持续发展一大障碍。为 此，人们不仅日益重视该地区水资源保护的研究，同时还采取相应的水流、水质 模拟方法对其进行环境规划和管理。 本文从河网水流水质模拟及其交叉口处理方法的现状和发展趋势出发，应 用有限体积法及黎曼近似解建立二维水流、水质模型模拟河网交叉口水动力学特 性和相应的扩散质输运规律。数学模型舍弃交叉口扩散质均匀混合假设，从扩散 质输运机理出发，分析研究不同水流条件下扩散质在交叉口的输运规律。同时， 采用物理模型模拟交叉口水流流动及扩散质的输运扩散情况，对数学模型进行了 率定和验证。通过分析不同流量组合案例的扩散质输运情况的预测结果，建立流 出交叉口断面的平均质量浓度与流入交叉口断面的平均质量浓度间的响应关系， 并将得到的响应关系应用于河网交叉1 ：3 的处理，提出更为合理的针对水流为多进 多出情况下的河网交叉口处理方法，为克服河网水质数学模型扩散质模拟方法的 理论缺陷和提高模拟精度提供参考。 关键词：河网交叉口数学模型物理模型响应关系 河海大学硕士学位论文 t h ep e rc a p i t aw a t e ra m o u n ti no u rc o u n t r yo n l yi s2 5 o fa v e r a g el e v e li nt h e w o r l d a n di nt h en e t w o r kr e g i o n ，w h e r et h cd e v e l o p m e n to fs o c i a l ，e c o n o m ya n d c i v i l i z a t i o ni sf a s t , p o u u t i o n - i n d u c e dw a t e rs h o r t a g ei so n eo fm a i nb a r r i e r so f e c o n o m ys 惦t a i n a b l cd e v e l o p m e n t s ot h es t u d yo fp m t e 面o no fw a t e rr e s o u g e e si s m o r ea n dm o r ea t t a c h e di m p o r t a n c et o , a n dt h en u m e f i c a ls i m u l a t i o no fw a e rq u a n t i t y a n dw a t e rq u a l i t yi sa p p l i e dt ot h ee n v i r o n m e n tp l a n n i n ga n dm a n a g e m e n ti nt h e r e g i o n d e p e n d i n go nt h ep r e s e n ts t a t u sa n dd e v e l o p i n g t r a c eo ft h en u m e f i c a l s i m u l a t i o no fw a t e rq u a n t i t ya n dw a t e rq u a l i t yf o rf i v e rn e t w o r ka n dt h em a n a g e m e n t o fn e t w o r kc r o s s ，2 - dd e p t h - a v e r a g e df l o w sa n dp o u u t i o nm o d e l su s i n gt h ef f m i t e v o l u m em e t h o d ( f v m ) w i t ha p p r o x i m a t er i e m a n ns o l v e r sa r ea p p h e dt ot h e s i m u l a t i o n so fh y d r o d y n a m i c sc h a r a c t e ra n dd i f f u s i v es u b s t a n c e st r a n s p o r tf e a t u r e si n t h i sa r t i c l e i nt h em a t h e m a t i c a lm o d e lt h eu n i f o r m l ym i x e da s s u m p t i o ni sa b a n d o n e d ， a n db a s e do nt h ed i f f u s i v es u b s t a n c e st r a n s p o r tp r i n c i p l e ，t h er u l eo fd i f f u s i v e s u b s t a n c e st r a n s p o r ti ss t u d i e do nd i f f e r e n tc o n d t i o n so fw a t e rq u a n t i t ya tt h el t o s s a tt h es a n l et i m e 。t h ep h y s i c a lm o d e li sa p p l i e dt os i m u l a t ef l o wa n dd i f f u s i v e s u b s t a n c e sa n di su s e dt ot h ec a l i b r a t i o no fv a r i o u sp a r a m e t e ra n dt h ev e r i f i c a t i o no f t h em a t h e m a t i c a lm o d e l t h er e s p o n s er e l a t i o no fa v e r a g em a s sd e n s i t yb e t w e e n e f f l u e n ta n de n t e r i n gi se s t a b l i s h e db ya n a l y s i n gf o r e c a s tr e s u l to fd i f f u s i v es u b s t a n c e s o nd i f f e r e n tc o n d i t i o n so fw a t e rq u a n t i t y t h er e s p o n s er e l a t i o ni sa p p i i e dt od e a lw i t h f i v e rn e t w o r kc r o s sa n dm o r er e a s o n a b l em e a n st od e a lw i t h 也ec l o s si na l l u s i o nt o e f f l u e n ta n de n t e r i n gf l o w sm o r et h a no n ei sp u tf o r w a r d a n dar e f e r e n c e dw a yi s o f f e r e dt oc o n q u e rt h el i m i t a t i o no ft h e o r ya n di m p r o v et h es i m u l a t i o np r e c i s i o no ft h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n o f w a t e r q u a l i t y f o r f i v e r n e t w o r k ， k e yw o r d s ：r i v e rn e t w o r kc l - o a s ；m a t h e m a t i c a lm o d e l ：p h y s i c a lm o d e l ：r e s p o n s e r e l 撕o n 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：年月日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 论文作者( 签名) ：年月日 十字交叉形河道水流水质模拟 1 绪论 l 。1 研究的目的和意义 我国水资源总置不少，但由于人口众多，人均占有量仅为世界人均占有量的 2 5 【1 1 。而河网地区是我国社会、经济、文化较发达的地区，水资源的供给与需 求，环境质量与经济发展的矛盾更为突出，水质型缺水已经成为该地区经济持续 发展一大障碍。为此，入们不仅日益重视该地区水资源保护的研究，同时还采取 相应的水流、水质模拟方法对其进行环境规划和管理。 在河网地区，河流交汇现象非常普遍。许多单一河道由交汇点相互连接形成 一个河网系统。一般来说，系统中水流相互影响，不能作为单个孤立的情况考虑， 而必须作为一个系统综合考虑。交叉口如何处理是任何有关河网的数学模型( 无 论是水流还是水质) 必须解决的问题，对河流交叉1 3 的水流特性及污染物输移特 性的研究具有重要的理论与实际意义。近年来，交叉口流动特性和污染物混合规 律的研究已成为环境、水利方面广泛关注的课题1 2 1 。目前河网交叉口水流及污染 物输运缺乏系统研究，水质模拟方法存在较大系统偏差。为进一步完善河网地区 水质模拟方法，可在研究交叉口水动力特征、污染物输运规律基础上，提出交叉 口非均匀混合的河网水质模拟方法，开发研制精细河网水质数学模型，为水环境 管理提供更为精细的模拟工具【3 】。 本文通过建立二维水流、水质数学模型，舍弃交叉口扩散质均匀混合假设， 从扩散质输运机理出发，分析污染物在交叉口的输运规律。同时，采用十字交叉 形水槽物理模型模拟交叉口水流流动及污染物的输运扩散情况，对数学模型迸行 了率定和验证。通过研究不同水流条件下污染物在交叉1 3 的输运情况，建立流出 交叉口断面的平均质量浓度与流入交叉口断面的平均质量浓度问的响应关系，对 河道交汇段水流及污染物特性进行了模拟。本文的研究工作不但对克服河网水质 数学模型扩散质模拟方法的理论缺陷和提高模拟精度具有重要的理论与实际意 义，而且可以为河网地区水质评价、水质预报、水质规划与管理以及水资源保护 等提供决策性的依据，对水环境的保护和治理有一定的指导意义。 河海大学硕士学位论文 1 2 河网水流水质数值模拟研究现状 1 2 1 河网地区水流模拟 河网地区水流数值模拟方法可分为2 类：第1 类为常用的一维圣维南方程组 数值解法；第2 类为组合单元解法。其中，第i 类解法又可分为直接解法和间接 解法2 种。w i l l i a m s 及n o s e d a 提出了一种将计算断面交替取为水位和流量断面 后对河网在所有计算断面上统一对一维圣维南方程组进行差分离散并求解的直 接解法。但该方法未知数较多，在河网规模较大的情况下，由于河道的交叉衔接， 所形成的矩阵是一个不规则、不对称的大型稀疏矩阵。为提高计算效率，需缩小 矩阵规模。为此，李岳生等1 4 提出了河网非恒定流隐式方程组稀疏矩阵解法。该 方法能有效地节省存储空间并提高计算速度，但矩阵中需包含所有断面的未知 数，方程规模仍然较大，实际应用受到限制。而间接解法是将断面未知数集中予 交叉点，待求出交叉点未知数后再求解各单一河道的未知变量，计算效率较高。 间接解法的思想首先由荷兰水力学专家d r o n k e r s 于1 9 7 6 年提出，有关专家据此 思想提出了河网非恒定流的三级解法i s 和四级解法 6 1 。此类间接解法中，三级解 法最为常用。其求解思路为：( a ) 先将单一河道划分为若于子河段，在计算断面上 对一维s a i n t - - v e n a n t 方程组进行有限差分运算，求得各单一河道差分方程组， 然后进行消元计算，求得单一河道首、末断面间流量与水位的相互关系：( b ) 根 据河道交叉点水量守恒方程得到交叉点水位方程组，求解该方程组得到所有交叉 点水位；( c ) 根据交叉点水位返回各单一河道，求得各计算断面水位、流量值。 组合单元解法1 7 】由法国水力学专家j e a n 于1 9 7 5 年提出。我国也有研究者采 用此方法进行河网地区水力模拟的译, 9 1 。此方法的基本思想是：将河网地区水力 特性相似、水位变幅不大的水体概化成单元；取单元中心的水位为代表水位，采 用谢才公式模拟单元间流量交换，根据水量守恒建立每一单元微分形式的水量守 恒方程，离散并得到以单元水位为自变量的代数方程，辅以边界条件即可求得各 单元水位和单元间流量。 上述2 类方法中，组合单元解法对河道进行简单概化，以单元为计算单位， 计算相对简单，但模拟精度较低，仅适用于大尺度水域的水力模拟；而圣维南方 程组数值解法可以精确计算每一条河道的水流状况，所以成为河网水力模拟的主 2 十字奴形河道水流水质模拟 流方法，其中三级联解法最为常甩 a o - 1 3 1 。当采用三级解法模拟长系列大范围河 网水流特性时，需对河道进行概化处理，即将等级较小的河道概化为一条概化河 道，要求该概化河道与被概化河道的过流能力、调蓄量相当。同时，为考虑降雨 对河网水力特性的影喻，还必须对河道包围的陆域面积进行产汇流计算，将产流 量以包围陆域的河道长度为权重分配到周围河道1 1 4 】。由于三级解法以单一河道为 模拟对象，同时还考虑了降雨等的影响，因此其计算精度较高。 1 2 2 河网地区水质模拟 与河网水流模拟相似，按水质控制方程及河道概化方式，河网地区永质模拟 方法可分为2 类：第1 类为常用的一维纵向分散方程求解法；第2 类为组合单元 法。有关文献【1 5 】在河网三级解法水流模型的基础上采用三级解法模拟河网内污染 物质的输运。其求解思路与水流模型类似，即：f a ) 对每条河道的扩散质一维对流 纵向分散方程进行有限差分离散，经消元计算得到各单一河道出流断面质量浓度 与入流断面质量浓度间的线性关系：m ) 在交叉口引入均匀混合假设流出交 叉口的断面质量浓度等于流入交叉口各断面质量浓度的平均值，导得以各交叉口 节点质量浓度为未知变量的方程组，求解得各交叉口质量浓度：( c ) 返回单一河道 计算各断面质量浓度。此方法被广泛应用于河网地区环境模拟和环境规划研究中 【1 6 】，并已成为河网地区水质计算的主流方法。 在组合单元解法水力模型的基础上，有文献1 1 7 1 9 】提出水质模拟的组合单元 解法，完成了与水流模型的匹配。该类方法将水流、水质特性相近的若干条河道 作为一个贮水、贮质单元，建立反映各单元间污染物输运的数学模型，以模拟单 元间的扩散质交换及单元质量浓度的时间变化过程。由于单元概化使精度受损， 因此该方法仅适用于大尺度水环境规划，目前未被广泛应用于生产实践。 1 2 3 存在问题及改进思路 目前水质模拟精度偏低的原因有多种，除了污染源资料误差、水化学动力特 性复杂、水流模拟结果存在偏差等因素外，模拟方法本身采用的假设所带来的系 统误差也是一个重要因素。 ( 1 ) 河道概化 3 河海大学硕士学位论文 大型复杂河网的计算必须对规模较小的河道进行概化处理。概化处理总的原 则是：概化后的河道在不同水位下的流量、河道调蓄量与被概化河道的相等。目 前，在对河道进行概化时主要考虑了水流条件对概化的要求，而对水质要求未能 全面考虑。因为，被概化的若干河道水环境质量、纳污量可能存在较大差异，它 们被概化成一条河道后，无论是纳污量还是客水水质，都被平均化处理了，这种 处理忽略了不同河道的水质差异，当被概化河道水质特征、纳污量悬殊较大时， 模拟结果难以反映具体河道的实际情况。而且，由于被概化河道水质模拟的偏差， 还会造成概化河道下游的模拟偏差。为了有效地避免因概化河道产生的误差，一 方面应尽量减小被概化河道的数量；另一方面，在选择概化河道组合时，不但应 满足水力要求，而且应尽量使得被概化河道的水环境功能、水质类别、水质状况 等水环境特征相近。 ( 2 ) 河道内水质模拟 单一河道，其河道长度基本上可保证污染物质在进入交叉口前达到断面内的 均匀混合，因此可采用一维模式模拟河段内断面平均质量浓度的时空变化。但交 叉口水流、水质特征则较为复杂。 q 晒c 二2 - - - i - 甄1 g 。交叉口 q ，c 0 口 图1 1 交叉点污染物混合输运示意图 如图1 1 所示( 图中箭头指向表示水流方向) ，q k l ，q 屺为交叉t a * 流河 道的流量，g l ，c 0 2 为相应河道污染物的质量浓度；l ，1 2 为交叉口出流 河道的流量，c o ，c 0 f z 为相应的出流质量浓度。均匀混合假设认为：流入交叉 4 十字交叉障河道水流水质模拟 口水体中的污染物在交叉口充分混合，水质达到均匀状态，均匀混合后的质量浓 度定义为交叉口质量浓度即c o 一6 c - l i e 6 ) 。理论上此假设有特定 7，t 适用范围交叉口河道为一进多出或多进一出。但交叉口河道常出现多进多出 的情况，如图l 一1 所示。这种情况下，由于交叉口流程较短，横向混合很不充 分，因此很难达到均匀混合闭。河网三级解法水质模型采用交叉口扩散质均匀混 合假设模拟交叉口的污染物对流输运，必然会产生系统误差。为弥补上述缺陷， 应舍弃交叉口扩散质均匀混合假设，从扩散质输运机理出发分析研究不同水流条 件下污染物在交叉口的输运规律，并研制与之相匹配的河网水质模型。 1 3 河网交叉口水流水质数值模拟研究现状 1 3 1 河网交叉口水流数值模拟 迄今为止，所有河网模型都只能模拟经过概化的河网原型。在复杂河网中， 交叉口被作为节点加以概化。河网水流模拟中，节点概化的合理性决定河网计算 成果的准确程度。吴作平f 2 l i 等提出：实际计算时可采用几何原则，根据河道交汇 范围的大小来定概化方式。当该范围大于某一数值时，则将其视为堰泽或湖泊， 否则将其作节点考虑。_ 般河网都可概化为如图1 2 所示的网络，图中的每条 线既可代表单一河段，也可代表湖泊，而每个交汇点既可代表河网中的节点，也 可代表湖泊。需要说明的是，图中线段的方向仅代表水流在初始时刻的方向，在 实际河网中可能出现的逆流、倒灌的反向流情形，仍可用图1 2 概化，但在建 立水流模型的过程中，应考虑这种情况。 在经过概化的河网中，对每个内节点及边界节点，应满足水流连续性条件， 即进、出节点的水量相等，可表示为： ，h 1 艺口一玩一q m 上式增量形式为 j f m l 艺q 一如一线 河海大学硕士学位论文 中间层 总汇出点 t 图1 2 河网节点示意图 式中， ( m ) 为某节点连接的河段的数目；q f 、q 为各河段进( 或出) 节点的流量 及增量；q | 卅、q k 为连结河段以外酶流量( 如源汇流等) 及增量；q 。为节点槽蓄 量；q 。为槽蓄量增量，与节点的面积知、水位增量z 及时间步长f 等因素 有关，可近似由式a q ：一一爿z & 来计算，当节点可以概化为几何点时q a 、 如为0 。 单独的河道交叉口水流水力模拟目前主要针对y 、t 及y 字形河道。由于在 实际工程中经常遇到，对y 、t 及y 字形河道水流水力特性的研究成果也较多瞄 一2 5 1 。 1 3 2 河网交叉口水质数值模拟 河网中各河道污染物在交叉口处混合，然后随流重新分配，各交汇河道的水 质通过交叉口相互影响。因此，要准确了解大片河网的水质情况，关键在于如何 恰当地处理交叉口。图1 - - 1 是个交叉口的概化图。一般的做法( 2 6 l 是假设交叉 口各断面水质组份浓度相等，即： c j i - - c i 2 = = c i r 式中c 广第，个交叉口水质组份浓度；亢相交河道总数。 这种方法的优点是简捷方便。当河道较窄、各河道水质相差不大且交叉口处 无污染源的情况下，采用此法是可行的。但当河道较宽因而交叉口处范围较大， 或污染较重的河流与相对洁净的河流相交时，这种处理方法便会带来较大的误 十字交叉形河道水流水质模拟 差。显然，这种处理方法依赖于一种假定：即没有考虑交叉口的对流、扩散效应 也没有考虑污染物在交叉口处的降解( 如果污染物是非保守的话) 。假如交叉1 3 处 恰好有污染物排放，如何在模型中反映交叉口处的污染源便成了问题。 另外一种处理方法【2 7 1 考虑了污染物的对流输移，可以表述如下： ：l ；( q c ) j , j 一警 式中：谋交叉口编号： 玉一相交的河道编号； n 相交河道总数； o 球质组份浓度( m g 1 ) ； q i 流量( m 3 s ) ； q _ 交叉口水表面积( m 2 ) ； z 交叉口水位变化( m ) ； f _ 一时间步长( s ) 。 这种方法比第一种处理方法前进了一步，考虑了对流输移，但依然没有考虑 交叉口处污染物的扩散效用和降解，交叉口处如存在污染源的问题依然没有解 决。 陈阳宇【2 8 l 提出：把河网划分成一系列的河道控制体积和交叉口控制体积，把 交叉口控制体积如同河道控制体积一样处理，利用有限体积法导出交叉口离散方 程，不仅可以考虑交叉口处的对流输移和扩散效应，而且可以考虑交叉口处的污 染源和污染物降解。 目前针对十字形交叉口水质数值模拟的研究不多，已有成果主要集中在t 字形交汇河道的污染物输移模拟。针对t 字形交汇河道，m c g u i r k 和r o m f 2 9 1 最 早采用深度平均形式的i 一s 紊流模型计算冷却水岸边排放近区的温度分布。洪 益平【刈采用s p e z i a l e 的非线性表达式模拟深度平均雷诺应力，在方程引入 y a l d a o t 的附加生成项，在r o d i 和s p e z i a l e 工作的基础上，构造了深度平均紊动 物质通量的非线性表达式，由此建立了交汇河段深度平均非线性紊流模型，首次 完成了对天然交汇河段中污染混合区特性的数值模拟。茅泽育等【3 1 】针对明渠交 汇口流动特性应用深度平均h a n j a l i c - l a u n d e r 紊流模型和污染物传输方程建立了 7 河海丈学硕士学位论文 明渠交汇口水流流动及污染物输移模型；采用有限体积法离散格式及交错网格上 的水深一速度校正算法进行了数值计算并应用实测资料对数值模型进行了验证。 1 4 本文的研究内容 1 4 1 研究内容 本文通过建立二维水流、水质数学模型，采用守恒的二维非恒定流浅水方程 组描述水流流动，用二维对流一扩散方程描述污染物的输运扩散。应用有限体积 法及黎曼近似解对浅水方程组及对流一扩散方程进行数值求解，从而模拟出交汇 河道的水流情况和相应的污染物输运扩散情况。同时，通过建立变态河道物理模 型进行水槽试验，模拟交叉口水流流动及污染物的输运扩散，利用物理模型试验 的结果对数学模型进行了率定和验证。 利用经过率定和验证的数学模型预颡i 不同水流组合的交叉口扩散质输运扩 散情况，通过分析其中的规律得出流出交叉口断面的平均质量浓度与流入交叉口 断面的平均质量浓度间的响应关系，为基于非均匀混合的河网水质模拟提供有参 考价值的交叉口处理方法。 1 , 4 2 技术路线 本文的技术路线见图1 - - 3 。 图1 - - 3 技术路线示意图 8 十字交叉形河道水流水质模拟 2 交叉口水动力学特性研究 通常采用物理模型、数学模型或二者的结合来研究流体的水力、水质特性。 采用物理模型时，由于在原型和模型中实地量测可得到有关物理过程的最可靠、 最准确的信息，物理模型在解决实际问题中发挥了巨大的作用。但是，由于流体 运动的复杂性、模拟场地的限制和模型率定的制约等方面的原因，物理模型在许 多情况下并不尽如入意，雨且，物理模型需要占用巨大的场地，耗费大量入力、 物力，实验周期长。与之相比，数学模型不受实验条件限制，速度快，信息完整， 模拟能力强，但是数学模型的模拟结果往往要通过物理模型试验来验证。因此， 二者的结合被广泛应用于科学研究与工程设计的各个领域f 3 2 1 。 本章通过建立二维水流数学模型模拟交叉口水流流动，同时采用水槽模型试 验对数学模型进行率定和验证。通过数学模型和物理模型相结合，在综合两者优 势的基础上，研究交叉口水动力学特性。 2 1 交叉口水动力学数值模拟 天然河流一般是相当宽浅的明槽，水面宽度远大于水深，水深、流速等水力 参数沿垂直方向的变化与沿水深方向的变化相比要小很多，常可忽略不计，所以 普遍采用平面二维数学模型进行计算。 本节应用二维非恒定流浅水方程组描述交叉口水流流动情况，通过求解黎曼 问题得到数值通量，研究交叉口水动力学特性。其基本思想为：将计算区域划分 成一系列连续但互不重叠的控制体积，采用有限体积法对备控制体进行水最、动 量的平衡计算，使用o s h e r 格式逐时段、逐单元计算跨越控制体界面的法向数值 通量，从而模拟出水流过程。 2 1 1 控制微分方程及其积分离散 ( 1 ) 控制方程 二维浅水方程的守恒形式可表达为： 堕+ a h - _ j + 型。o 魂缸 a y 9 霹海大学硕士学位论文 掣+ 血专型+ 掣。曲g o z - - s i x )(2_1)o t c 睇d v 掣+ 掣+ 韭警型一曲g 。，嘞) 式中，h 为水深：、y 分别为x 、y 方向垂线平均水平流速分量； g 为重力加速度； s 。一一! 竺，为x 向的河底底坡； 氏，一! 导，为y 向的河底底坡： w t 丁o u 届u 2 + v 2 - 学， 为x 向的摩阻底坡； l 旦型h c 2 生i 譬，为y 向的摩阻底坡。 上述式( 2 - - 1 ) 还可表达为如下矢量形式： 塑+ 趔+ 型啪) ( 2 2 ) a t a x却 式中：qt 西，h u ， v 】为守僵物理量；，( g ) 一h u , h u2 + 曲2 2 ，h y 】r ； g q ) 一h v , h h v 2 + g h 2 2 】r ： 6 白) 。 o ，动一l 占 s 。，一汗； ，( 鼋) 为x 向通量；g 白) 为y 向通量；6 ( 口) 为源汇项。 ( 2 ) 方程离散 定义矩阵f 0 ) 一 厂白1 9 0 ) ，在任意形状的单元q 上对方程( 2 2 ) 积分。 利用散度定理，可得有限体积法的基本公式： 儿q t d t o 。f ( g ) n d l + b ( q ) d c o ( 2 3 ) 式中：忍为单元边界a q 的单位外法向量；d c o 及讲为面积分及线积分的微元。 f ( 玎为n 方向的通量，记为l ( q ) a 对于一阶精度离散，在每单元中g 是以常 数近似( 即假设单元内的q 为定值) ，因此利用散度定理，上式的左项及右边第 二项可写成a q t 及a b ( q ) ，a 为o 的面积。这样离散后的( 2 3 ) 式可写为： 一d _ 出e q 一薯列( “咕( 窜) ( 2 _ 4 ) 1 0 十字交叉形河道水流水质模拟 式中为单元第j 边的长度，对于1 1 1 边形单元而言，右边第一项可写成m 项之 和，等于被积函数在单元各边上的法向通量丘国) 与该边边长的乘积。对控制体 i ，可写出显式n ，m 方程为： 4 ( 秽“一彰) - a t ( - f = f ) r i d s + 4 岛) ( 2 - - 5 ) 式( 2 5 ) 左边表示控制体内守恒变量在r 内的变化，右边第一项表示沿各边 法向输出的通量之和，第二项表示控制体内源项( 入流及外力) 在r 内的作用。 f v m 方程反映了守恒物理量的守恒原理：守恒物理量q 一伪，h u ，b y ) 7 在控制 体内随时间变化等于各边法向数值通量的和再加上源项。不含源汇项时，可以用 图( 2 一1 ) 来表示有限体积法中物理量的守恒： f r 图2 - 1有限体积法的守恒原理 设 与石轴的夹角为垂( 由x 轴起逆时针量度) 见图( 2 2 ) ， ( g ) 一c o s m ，) + s i 屯g ( q ) s p e k r e i j s e 3 3 】证明，与g 具有旋转不变性，满足 f ( 零) 无国) a 厂f ( 垂k 】a ，0 ) 或 厶国) 一丁( 垂) 一f f q ) 则有： ( 2 6 ) ( 2 7 ) 式中r ( m ) 是坐标轴旋转角度中的变换矩阵，r ) 。为逆变换矩阵， 1 0 r p ) 一f 0c o s t , 1 0 s i n 1 1 o c o s 西 一s i n 中 1 o 0 -_j1。-_【 i r 、j 垂 ，l r i 一 、， 币 ，l r 河海大学硕士学位论文 守恒物理量的向量盯在此旋转变换下成为 霉* 2 ( 雪，罕为沿单元边界外法向的向量，其中h 不变而流速则分别变换为法向n 及切向f 的流速。 式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 表示：厂国) 及g ( 垡) 的投影， 可转变为先投影g 到；( 法向) ，然后代入，( 鼋) 得 到，国) ，再经过一个坐标逆变换就可求得国) ， 图2 2 有限体积q 示意图 由于此二者等效，g ( q ) 得以消去，也正因为这个特性，使原来的二维问题可转 化为一维问题来处理，即只需计算f ( q ) ，大大简化计算并提高效率。 将( 2 - - 7 ) 式代入( 2 - - 4 ) 式中，则f v m 水流基本方程的最终形式为； 爿鲁羹珊) 4 ( q ) u ，a - b 国 ( 2 - 8 ) 由于在单元备边两侧的q ( 或q ) 的值可能不同，也就是说单元界面上有口或；值 不连续的现象，此时即以下述的一维黎曼问题来求解法向通量，国) 。 2 1 2 法向数值通量 根据前述离散化模型，需沿单元各边法向求解一维黎曼问题。局部一维黎曼 问题是一个初值问题，控制方程为： 塑+ a f ( q ) ，o a ra x 虿玩 ( ； 0 ，t 一0 ) ；轴的原点位于该边上并沿外法向。式中变换后的向量i 一，h u 一, h v 一) 7 ；玩 和孑。分别为向量孑在单元界面左右的状态。通过解算此黎曼问题，可得到- 0 + 时坐标原点处沿边界外法向的通量在x y 坐标系内的表达式，记为，工e 国。，g 。) ， 对其作逆旋转变换r ) ，就可以计算出x y 坐标系下的单元边通量 q ) 。 问题归结为如何估计，厶，目前已有多种方法可供选择。主要有： a 取，0 | 【f ( q 。) + f ( q 。) 】2 或，。+ q 。) 2 】，即取该边内外侧通量的平 十字交叉形河道水流水质模拟 均，或由两侧平均状态来计算通量。 b 采取一维t v d ( 全变差缩小) 删、f c r ( 通量校正输运) 陋培单调性保 持格式的数值通量公式。 c 采用以特征分解为基础的一维f v s ( 通量向量分裂) 【3 5 】、f d s ( 通量差 分裂) i 碉和o s h e r p 6 1 等高性能格式的数值通量公式。 以上第一类格式太简单，其余t v d 、f v s 、f d s 、f c t 及o s h e r 等格式已被 应用于浅水流动的计算中。此外o s h e r 格式还被用于求解二维恒定气流的欧拉方 程组p 3 1 ，本模型中采用了o s h e r 格式，通过解近似黎曼问题计算法向数值通量。 与浅水方程组类似，方程( 2 9 ) 的特征方程为p 一村1 10 ，其中，为单位 矩阵，为雅可比矩阵。定义： ，塑垡。1 c 2 一厅z 珂o l d q l 一万 f i l 式中c 一g ，可求得特征方程的特征值为： 1 一c ：t ，一比：旯。一“+ c 。通过求解，- h 一 扎，得到相应的特征 向量“( k = 1 ，2 ，3 ) ：n g “一c ，y ) ；y 2 一( 0 ，o 1 ) ；y 3 一g “+ c ，v ) a 沿特征值丸 和特征向量) ，+ 相应的特征线瓦，黎曼不变量取( g ) 定义为： v w a q ) - n ( 劢，0 ( 2 1 0 ) 式中v 1 王，。，( _ 盟，盟，旦马黎曼不变量沿着相对应特征曲线保持定值。解( 2 d 口，d 口，d 口1 1 0 ) 可得黎曼不变量的分量： ：瞿m 。+ 2 c墨”一v t ：叱一峨伪一 如：b = “一2 ce ”一v 根据特征值的符号，通量f ( q ) 可分裂成厂( g ) = f + ( g ) + ，( g ) ，式中，+ 0 ) 和 ，一( 窖) 分别为对应于，正负特征值的通量分量。黎曼问题的近似解为： 磕而l l q o = f + 面+ f 。面= f 而o + j 。岳= f 5 0 一童j 函w q t2 一 河海大学硕士学位论文 其中j + ( 西和j ( ) 为相应于，正负特征值的雅可比矩阵。 o s h e r 数值方法求解上述黎曼问题的思路为：在石的状态空间( 或称相空间) 中，两个己知状态玩和张通过相互连接的西段特征线疋( k = l ，2 , 3 ，4 ) 相连成连 续的积分路径，沿o s h e r 格式连续的积分路径计算方程( 2 - - 1 1 ) 中的积分项， 如图( 2 3 ) 所示： r 1 q l 图2 - - 3o s h e r 格式积分路径 由上图可知积分路径为：从i 开始，相继经i 、石，最后以磊结束。图( 2 - - 3 ) 中每一段曲线的积分可表示如下： 篇1 j 2 面矗；一f 歹2 ( ) 塞鸳一r 歹1 ( ) ，( 跏孝，f r 面r ( - ) 蝣 ( 2 一1 2 ) 式中变量q 【0 】和口陪】为每一特征线r 两端的状态，亭是的长度。由于特征向 量y ：和r 3 的线性退化，s p c k r c i j s c 证明f 3 3 j ：，工。与r 2 和r 3 的交点无关，由黎曼不 变量方程式可得： z + 2 c i “j + 2 u _ v l _ 矿 c ic 一 。坚 一当。 r ，一1 3 、 m 矗一2 c 詹i “口一2 u 矗 v riv 8 c r i c 口 。 相应的状态变量霉4 和鼋。可根据方程( 2 1 3 ) 解得： 巩= 品气华；以耳i 三牮) z ( 2 - - 1 4 ) 其中吼一虱+ 2 c 。，。玉一2 c 。- 对于每一段而言，其黎曼近似解为( 2 - - 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 两式的结合，并根据特征值九的符号分为四种情况： 如 ，函l 一，函玉+ ，( 狲以鼢，o ， 函l t 0 ，西卫五( 莉t0 ，以m b 0 ；黜乏黜姑黜：。( 2 - - 1 5 0 ， ，( g k 少 国【0 j t o 。 ( 出少s 式中- 【j 】代表临界流时的；值，点s 即为临界点，在s 点上a ( 讯】) 0 ，经过临界 点a 改变符号。临界点仅存在于l 及r 4 ，分别代表不同变量嚣、z ，其分量为： 吒1 昙咒；。：晏 ，) 1 4 十字交叉形河道水流水质模拟 及噬。阱，g ：h l 。i ： ，g ( 2 1 6 ) 利用式( 2 - - 1 5 ) 来计算法向数值通量无r ( q l ，q d ，共有1 6 种可能的解( 见表2 - - 1 ) 最后由( 2 1 2 ) 求出正( g ) 。 与表2 - - 1 中1 6 种数值通量公式相对应的流态见表2 2 。由表2 一l 可见， o s h e r 格式不但可以求解亚临界流及超临界流，还可求解连续水流或不连续水流。 o s h e r 格式的数值通量虽有1 6 种，但由于利用了黎曼不变量的性质，从式( 2 1 1 ) 到( 2 1 6 ) 推导中未作任何近似处理，计算中只用到通量，而未用到j a c o b i a n 矩阵，从丽既保证守恒性，又减少矩阵运算，也不用对f 进行微分解，计算快速 又准确。 表2 - - 1 给定水力条件黎曼问题o s h e r 格式通量，l 。的估算 球cc 叱屯l c m h r q r1 , 4 r c 冉口r t - c rr _ c r ，眩) 一，( 爵) ，瓴) 一，研) c a “ ，( 硅) f ( q ) + f ( q d + ，( ) ，( q d 一，瞄)，( “) 一，( 岔) f ( q d - ，暖) 一，佩) 0 u 白，国)f 轴。) + f 吨o + ，( “) + i f q , ) ，f 乱) 一，吲)| 地0 一f 畦、 f f q l ) 一，“) 一，g ) - c o “0，国口)+ ，( ) + ( q d + ，缸)+ f ( q s ) f ( q d 一，僦) f l o p 一，佩) n c b f 0 ，( 妇) + ，懈) + ，慨) 表2 - - 2 给定水力条件估算黎曼问题o s h e r 黼t 矗r 的对应流态 计c c l碍l c lo c l 允 i g r - - c r“r - - c rmr-c c a l l a 临界流急流 0 ( 比c 缓流激波 一g 日z _ 0 缓流激波 u a 一c 0 临界流急流 注：“”属于在自然界不太可能发生的情形 河海大学碗士学位论文 2 1 3 边界条件 以上法向数值通量的计算方法只适用于计算域内部单元界面。当单元边为计 算域的边界时，数值通量计算就变成了边界黎曼问题。这种条件下，玩为计算 域内已知状态，而留。是未知状态。一般可根据局部流态( 急流或缓流) 适当选 定法向输出特征的相容关系和指定的边界条件确定未知状态虱。有限体积法具 有两种不同形态的边界：开边界和陆地边界。具体如下： ( 1 ) 开边界 开边界可分为缓流开边界和急流开边界，其特征值符号、相容关系和边界条 件类型见表2 3 。 表2 3 有限体积法边界处理 流态类型 入流开边界 出漉开边界 缓流 急流 缓流急流 特警符二型兰三鳖兰三芝兰赞 国。) ) 0 九国z ) c 0 厶( 吼) ，0凡( 吼) ) 0 注：表2 3 中缓流开边界担容关系是忽略非齐次项疋和s ，的结果，如需计及这种影响， 需增加非齐次项沿特征线的积分项。此外，已有数值试验证明应用给定的精确物理边界条件 以取代某个相容关系也是可行的。 对于缓流开边界，未知状态的确定为： a 给定水位k h 。为已知的水位值，根据“。+ 2 舻r 一。+ 2 、劢。缛 “r - “+ 2 占( 一 r ) ，v r 一叱 b 给定单宽流量q 。 求解方程组f级一 一r k 一吒+ 2 石( 压一丙 1 6 十字交叉形河道水流水质翻h 得到相应的k 和值，一v 。 c 给定边界处的水位流量关系 已知边界处的水位流量关系q 胄一e ( h 。) 求解方程组 fq 。t f ( h 。) k 一口。+ 撕_ ( 、厍一两 得到相应的h r 和h r 值，一v 。 对于急流开边界，不论是水位、流量或水位流量关系，必须同时给定在入流边界 上。 ( 2 ) 陆地边界 单元体的交界面为陆地边界( 又称闭边界) ，表示边界处法向流速为0 。边 界状态可表示为： “r 鼻一“lv r v h 矗i h 2 1 4 定解条件 ( 1 ) 初始条件 “信，r ，o ) 一u o 信，们，v 信，r ，0 ) 一吒佶，叩) ，z g ，智，o ) 一z o g ，叩) ( 2 ) 边界条件 岸边界：“。一0 ( 岸边界的法向流速为零) 上游边界：均给定流量过程线q = q ( f ) ，求得各垂线平均流速。 下游边界：一个出口给定流量过程线q = q ( f ) ，另一个给定出口水位过程线 硎，面o u 一嚣地 2 1 , 5 数值计算结果 数学模型按原型河道的水流情况进行计算，将水槽试验结果换算成河道原型 水流资料对交叉口流场进行率定和验证a ( 1 ) 计算条件的选取 a 计算网格 计算网格的布置如图4 _ 1 所示，采用均匀的矩形网格，网格的大小设定为 1 7 河海大学硕士学位论文 缸。y - 4 m ，计算域为长9 2 0 m ，宽4 0 m 的十字交叉形河道，其中交叉口上游 8 0 m ，下游8 0 0 m ，共4 5 0 0 个计算单元，4 5 9 1 个计算节点。该计算域设为平底， 水流为恒定流。 b 参数设定 水流计算步长分别为0 1 5 s ，x 和y 方向的单元初始流速均取为o o m s ，初始 水位取为2 m 。交汇河道交叉口两个上游入口及一个下游出口给定流量边界条件， 一个下游出口给定水位边界条件。将程序运行足够长时段使之趋于恒定。 图2 4 计算网格示意图 1 2 ) 计算结果 1 ) 水流的率定 a 计算参数选取 水槽糙率取为0 0 1 6 ，紊动粘性系数，取o o m 2 s 。 1 8 十字交叉形河递水流水质模拟 b 计算时段的选择 计算时段步长的选择由计算的稳定性和精度要求确定，根据原型网格单元的 大小，时间步长取为0 1 5 秒。计算时段取1 0 小时。 c 边界条件及初始条件 利用试验工况1 的测量值换算成原型水流数据后作为数值模拟的边界条件并 对水流计算结果进行率定。 d 率定结果 a 、b 水稽对应的原型河道上游边界流量均为1 0 m 3 s ，a