（电路与系统专业论文）多小波预处理方法的研究及其在矢量量化中的应用.pdf

摘要 本论文在综述了小波、多小波变换理论的基础上，较详尽地分析了几种常用 的多小波预处理方法，从多个角度研究了预处理方法与多小波系统之间的适应性 关系，并通过计算机仿真试验证明了采用合适的预处理方法比不采用预处理方法 ( 即简单的格式转换) 能提高分解后图像能量的聚集程度。进一步还研究了对于 特定的多小波而言，预处理方法是与之相匹配的，即运用不同的预处理方法能量 聚集程度不同。基于上述研究，本文提出了一种蘸进预处理方法，并通过仿真实 验确认了该方法具有更好的能量聚集性。 作为新的多小波预处理方法的应用，本文把多小波图像处理与矢量量化相结 合，对三种预处理方法之下的分解图像分别作矢量量化，用计算机仿真实验证明 了采用合适的预处理方法，可望得到更好的数据压缩效果。 关键词：多小波小波预处理矢量量化 a b s t r a c t o nt h eb a s eo fs u m m a r i z i n gt h em u l t i w a v e l e tt h e o r yt h et h e s i ss t u d i e ds e v e r a l p r e f i l t e f i n g m e c h o d sb e f o r ed e c o m p o s i t e dt h ei m a g eb ym u l t i w a v e l e ta tj a 唱ea n d a n a l y s i s e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nm u l t i w a v e l e ta n dp r e f i l t e r i n gm e t h o d sf r o m s e v e r a lp o i n t so fv i e w s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sp m v e d t h a tu s i n g p r e n l t e r i n g m e t h o d c a n g r e a t l yi m p r o v et h ei m a g e se n e r g yc e n t r a l i t yt h a nn o tu s i n gp r e f i l t e r i n g a n d d i f k r e n tm e t h o d s b r i n g s o u td i 妇 e r e n te f r e c t st o s p e c i f l e dm u l t i w a v e l e t ，、v h i c h e x p l a i n e dt h a tp r e f i l t e r i n gi sc o n n e c t e dw i t hs p e c i 6 e dm u l t i w a v e j e t ，n e x t ，t h ea u t h o r b r o u 曲t f o r w a r dan e wm e t h o db a s e do na b o v es t u d y ，w i t hs e v e r a l e x p e r i m e n t s v a l i d a t i n gt h i sc o n c l u s i o nb yc o m p u t e l a s a p p i i c a t i o n o ft h i sn e wp r e f i l t e r i n g m e t h o d ，t h et h e s i sc o n n e c t e dt h e m u l t i w a v e l e t d e c o m p o s i t i n gi m a g e w i t hv e c t o rq u a n t i z a t i o n i tq u a n t i z a t e d i m a g e s t h a t d e c o m p o s i t e db yg h mm u l t i w a v e l e tu s i n gt 1 1 r e ep r e n l t e r i n gm e t h o d sa n dt e s t m e d t h a ti m a g ew i t he x c e l l e n te n e r g yc e n t r a l i t yc a l lg e tg r e a t e rp s n r a n e rq u a n t i z a t i o n a n dr e s t m c t i o n k e yw o r d s ：m u l t i w a v e l s t sw a v e l e t s p r e n l t e r i n g v e c t o rq u a n t i z a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 身 的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得 酉j 匕太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：杨，欲签字日期：? 。哆年月日 西北大学坝士研究生论文 第一章概述 1 1 小波变换的研究 11 1 小波变换的特点 1 9 8 0 年法国科学家m o r l e t 提出了小波变换( w t ，w a v e l e tt r a n s f o r m ) 的概 念，这理论在后来众多学者的共同努力之下迅速地发展和完善。小波变换相对 于图像处理与压缩的其他变换方法比如d c t ( 离散正交余弦) 变换，k l 变换来 说，具有许多十分优异的性能 1 ： l 、 小波变换是一个满足能量守恒方程的线性变换，能够将一个信号分解成 对空域和频域的独立分量，同时又不失原信号所包含的信息； 2 、 小波分析相当于一个具有放大、缩小和平移等功能的数学显示镜，通过 检查不同放大倍数下信号的变化来研究其动态特性； 3 、 小波函数系的时宽带宽积很小，且在时间和频率轴上都很集中，也就 是说展开系数的能量较为集中； 1 、它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率，较好地解决了时间和频率分辨的 矛盾：在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率( 宽的分析窗口) ：而在高 频段则用低的频率分辨率和高的时间分辨率( 窄的分析窗口) ，这与时变信号的 特性一致； 5 、小波变换有m a l l a t 塔形快速算法，该算法在小波分析中的地位相当于 f f t 在经典傅立叶分析中的地位。 彳一2瑶 d 1 2 d 二 d 三 _ d ! ld 二 图卜1小波分解图像的形式 6 、一维离散小波正交基将原始图像在独立的频率与不同的空间方向上分 解，便于利用h v s ( h u m a n s v i d e 。s y s t e m 人的视觉系统) 在相应频率与空 间方向选择上敏感性的不同 2 。 7 、小波变换具有时一频定位能力并初步实现了图像中平稳成分和非平稳成 第l 页共4 3 负 西北大学硕士研究生论文 分的分离 3 。 1 1 2m a l l a t 算法与多分辨分析 m d l l a l 算法又叫金字塔算法 4 ，它是利用理想低通滤波器( x ) 和理想高 通滤波器甲( x ) 将图像4 + 。分解成分辨率| i 下的4 幅子图像：4 、d i 、d ：、珥， 其中爿。- 厂经历了水平( 行) 与垂直( 列) 两个方向的低通滤波，因而相应于a + ， 较低的水平频率和垂直频率，保存了原图像的近似，一般表示为l l ；叫在行方 向低通滤波列方向高通滤波，更多地保存了4 + 的垂直高频分量( 水平边缘) ， 表示为l h ：d ：在列方向低通滤波行方向高通滤波，更多地保存了4 + 。的水平高 频分量( 垂直边缘) ，表示为h l ；d ：则在行与列两个方向均为高通滤波，因而 更多地保存了爿。水平与垂直两个方向的高频分量，一般表示为h h 。图卜1 是用 单小波进行图像二级分解的形式。 从上可知，l l 部分包括了水平方向和垂直方向的低频部分，是图像的近似， 其余三个部分l h 、h l 和h h 则是图像的细节，显示的是图像的边缘和纹理。低频 成分精确定位于频率域，且基本上是平稳的：高频分量精确定位于空间域且为非 平稳的。 小波的多级分解形成一个塔式结构的多分辨率分析，随着分辨率的递增不断 地区分出低频成分，这与人眼由粗到精，由全貌到细节的观察习惯相一致。因此， 小波变换在图像处理领域可以达到两个目的： 改善图像压缩性能：分解后的低频子图像是经过多重水平和垂直方向低通 滤波面得到的结果，能量高度集中，系数相关性强，应采用较细致的压缩方法( 如 d c t 编码) 。而其余三个高频子图像中的系数除图像的边缘与细节外，等于零或 接近于零值的小系数很多，如果先采用闽值设定，再使用量化编码的方法，则可 以大大地减少计算复杂度。这时候可以用到的编码方法很多，例如预测编码，算 术编码，矢量量化( v q ) 编码和方块编码均可奏效，其中矢量量化编码以其优异 的压缩性能与小波变换实现了较好的结合，也是图像编码领域领域的研究热点之 一。 第2 页共4 3 贝 西北大学硕士研究生论文 改变图像传输方式：以前发送端是将整幅图像进行编码传输，由于数据量 过大传输和译码都成为一件颇为费时的工作。而采用了小波变换之后，可以先 将最低分辨率的低频子图像迅速地传递给接收端( 因为数据量较小，大约只有原 t 图像的，女为分辨级数) ，这时用户可以先看到图像的概貌，对这幅图像有一 d “ 个感性的认识，如果对其不感兴趣就可以终止传输，如果还想深入了解的话可以 把与这个低频子图像处于同一分辨率级的三个高频子图像传输过来进一步细化 图像，即恢复为高一级的低频图像，以此反复操作，可以得到清晰度逐级提高的 静止图像 5 。 小波变换所带来的分级累进传输图像的方式既节省了用户的时间，又节约了 信道，是将来图像传输标准的取向。 总的来说，小波变换是一个非常不错的时一频分析工具，在信号与图像分析、 地震信号处理、计算机视觉、语音分析与合成、信号谱估计等方面都已取得了突 破性的成果，尤其在图像编码领域的进展尤为显著。理论研究和应用实践都表明： 传统上使用傅立叶变换的地方，都可以用小波分析来代替 6 。由此可见小波分 析在信号与图像处理中的地位。 1 2 多小波变换 1 2 1 多小波理论的发展概况 多小波是指由两个或两个以上的函数作为尺度函数生成的小波，它是相对于 单小波而言的，是小波家族里的新成员。多小波集对称性、光滑性、短支撑性、 正交性和高阶消失矩于一身的良好特性，加上它本身符合多通道滤波的理论，使 得多小波广泛地引起了研究者们的浓厚兴趣。 a l p e r t 和r o k h i i n 最早研究并构造了多小波 7 ，他们构造了r 个尺度函数， 每个尺度函数都是支集在 o ，1 】上的f l 阶多项式，但是他们所研究的多小波没 有受到足够的重视，因此没有得到发展。另外，g 0 0 d m a n 、h a r d i n 和m a s s o p u s t 于1 9 9 4 年共同建立了基于r 重多分辨分析的多小波理论框架，并且给出了多小 波的示范 8 。同年，他们三人利用分形插值的方法成功地构造出了具有正交、 短支撑、实对称和二阶消失矩等特性的多尺度函数m ( x ) = 【办，疵r ，纠在 o ，1 上 第3 页共4 3 页 西北大学硕士研究生论文 支撑，：在 o 2 】上支撑，氟和：是对称的，都具有2 阶消失矩，我们通常称之 为g h m 多小波( 本文用到的多小波之一就是g h m 多小波) 。 继g h m 多小波的成功构造之后，1 9 9 6 年，c h u i 和l i a n 利用对称性构造出 支撑在 0 ，2 上且具有2 阶消失矩，满足h e r m i t e 插值条件的二重多尺度函数和 多小波，我们称之为c l 多小波。他们还不用分形插值的方法重构了g h m 多小 波 9 】。同年，d o n o v a n 等人研究了互卷多分辨分析，认为紧支r 重多分辨分析总 包含有另一个，+ p 重多分辨分析，并构造出正交的样条多小波【1 0 】。比较著名的 是s t r e l a 的博士论文多小波：理论与应用【1 1 。s t r e l a 的论文中对多小波在时 域和频域上的性质做了比较深刻的分析，提出了两尺度相似变换的概念，并利用 这种变换来改进和构造多小波。1 9 9 7 年，j i a n g 对多小波进行细致深入的研究， 利用视频分析中的窗函数特性构造出具有最优时频分辨率的二重多小波。该小波 蛾是对称的，欢是反对称的，妒。和：都在【o ，3 】上支撑，且具有2 阶消失矩，我 们称之为j i a n g 多小波1 1 3 。 1 9 9 6 年一1 9 9 8 年是多小波理论迅速发展的几年，除了在多小波的构造方面 取得了显著成果以外，在多小波性质的理论研究上也有不少突破。p 1 0 n k a 用两尺 度相似变换来分析多小波的相消失矩性质，给出有关矩阵两尺度符号分解形式的 重要结论 1 2 】；h e i l 和c l o l l a 研究了向量为尺度函数解的存在性及唯一性问题， 分析了矩阵两尺度方程解的无条件收敛、条件收敛和超条件收敛的情形 1 5 ；同 年，m i c c h e l i 和x u 从向量细分法的角度讨论矩阵两尺度收敛的充分必要条件， 并研究了多小波的正则性【1 4 】；另外还有j i a 和w 孤g 从矩阵尺度符号的谱分解出 发，讨论了矩阵两尺度方程的稳定性并给出了稳定的充要条件：l i a n 给出了多尺 度函数是否正交的各种判断标准：以及r u c h ，s o 和w a n g 讨论了多尺度函数的 支撑特性等等。 经过科学家多年的努力研究，多小波理论得到了很大的发展，但是在实际应 用中，理论上完美的多小波却没有达到令人期望的效果。其根本原因是： 大部分构造出来的多尺度函数不满足低通特性； 如何将信号转换成多小波需要的向量输入流 1 5 】，这个问题尚未得到妥善 的解决。这实际上是多小波预处理的问题。 第4 页共4 3 贝 西北大学坝士研究生论文 因此如何构造一种适合于图像处理的多小波系统以及与之匹配的预处理方法是 当前多小波理论研究的热点之一。 1 2 2 多小波的多分辨分析结构 多小波的多分辨分析与单小波类似。对于只包含有一个尺度函数和一个小波 函数的单小波来说，每一级分解都能把一幅图像生成4 幅子图像，那么t 级分解 就可以得到3 + l 幅图像。而对于包含有r 个尺度函数和r 个小波函数的多小波来 说，每一级分解也是把幅图像分成了4 幅子图像，而每一幅子图像里又包括，2 幅分量图像。因而用多小波进行级分解可以到r2 ( 3 + 1 ) 幅图像。例如r = 2 的 g h m 多小波一级分解就要生成1 6 幅图像，如图卜2 。 l i 三2h l 2 h l l l h 2h h 2 l 】1 1hh 1 图卜2 多小波分解图像的形式 1 2 3 多小波预处理 从多小波本身的特点来看，它具有，个尺度函数和r 个小波函数( ，2 ) ， 因此应用多小波来处理图像的时候，将形成一个多输入多输出系统( m i m o ， m u l t i i 叩u ta n dm u l t i o u t p u t ) ，而如何将一幅图像转化为与这个多输入多输出系 统相适应的向量输入流，这是多小波应用中所特有的一个问题，叫做多小波预处 理( 或预滤波) 。预处理是多小波处理图像时的第一个关键环节。经过预处理的 图像比没有经过预处理的图像能量更集中、去噪效果更好。预处理器是与特定的 多小波密不可分的，一个多小波可以设计出很多种预处理方法，但是只有一种是 较其它来说效果更好的，故且称之为最优预处理器，然而把这个预处理器应用于 别的多小波时效果却又不是那么尽如人意，因此只能称它为某个多小波的最优预 处理器，这说明预处理方法与多小波的选择存在一定的匹配关系。因此在多小波 第5 页共4 3 口1 西北大学硕士研究生论文 构造和形成理论得到很大的发展之后，如何选择一个最优预处理器迅速地成为研 究的热点。 1 3 论文的内容及意义 1 3 1 论文的结构 本论文共分五章。 第一章概述了小波的特点以及多小波理论的背景和发展的历史，阐明了研究 本课题的意义所在。 第二章较为系统地论述了多小波变换理论。第一节给出了多小波尺度函数和 小波函数的定义，并引入了多小波的多分辨分析。第二节介绍了多小波的一些具 体性质，多小波比单小波优越的地方就在于同时满足这几条性质。第三节给出了 两种重要的多小波系统：g h m 多小波和c l 多小波。第四节介绍了用多小波来 处理图像的过程。 第三章在综述现有多小波预处理方法的基础上，用计算机仿真了预处理方法 对多小波分解图像效果的影响。第一节分述了几种常用的多小波预处理方法，其 中重点介绍了x i a 所提出来的方法以及针对此方法的改进预处理方法。第二节是 预处理方法在能量聚集性方面的研究，通过实验比较了采用预处理方法和不采用 预处理方法对图像分解结果的影响，以及将同一种预处理方法用于不同多小波系 统时图像分解结果的影响。在本章第三节中提出了一种新的改进预处理方法，并 给出了它的理论依据和仿真实验结果。 第四章主要讨论的是( 多) 小波系数域与矢量量化相结合。第一节是矢量量 化的概述。第二节介绍了常用的量化编码码书的设计过程。第三节介绍了矢量量 化用于( 多) 小波系数域时的码矢构造。第四节对上一章中提出的新的预处理方 法处理后的图像进行量化，并与其它两种预处理方法处理的图像量化后进行比 较。 第五章是对全文的总结。 1 3 2 论文的主要贡献 本论文主要贡献表现在以下几个方面 第6 页共4 3 负 西北大学硕士研究生论文 1 、在熟悉相关资料的基础上，综述了( 多) 小波变换的理论与方法，这也 是奉论文基础性的工作之一。 2 、分析研究了几种常用的多小波预处理方法，以此为基础提出了一种改进 的预处理方法，并通过计算机仿真证明了该方法具有更好的能量聚集性。 3 、较系统地研究了预处理方法与多小波系统之间的适应性关系，并得到了 一些有意义的结果。 4 、在对预处理方法进行研究的基础上，把多小波图像处理与矢量量化相结 合，对三种预处理方法之下的分解图像分别作矢量量化，用计算机仿真实验证明 了采用合适的预处理方法，可望得到更好的数据压缩效果。 第7 页共4 3 页 西北大学硕士研究生论文 第二章多小波变换理论 2 1 多小波的多分辨分析 多小波的基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩 展为由多个尺度函数生成，以此来获得跟更大的自由度。因此多分辨分析与多小 波的生成是密切相关的，是构造多小波的重要方法之一。 多小波由多个小波母函数经过伸缩平移生成，对应的有多个尺度函数，具体 地，定义函数 中= ( 妒l ，妒2 ，- ，办) r ，办上2 ( 月) ，= 1 ，2 ，r( 2 一1 ) r ( r ) 为线形可积空间，由式 ：e 弛) 不谤 ( 2 2 ) 定义，其中每元素，e 三2 ( r ) 都满足2 = 1 厂( x 2 出 m 如果巾( x ) 满足如下的两尺度矩阵方程 o ( d = h l ( 2 x 一_ 】 ) ( 2 3 ) 其中 以) ( 七= o ，l ，m ) 是，r 的矩阵，并称它为两尺度矩阵序列，m ( z ) 称为r 重 尺度函数。 对( 2 3 ) 式两边进行f o u r i e r 变换得 金( 巧) = ( z ) 金( ，z ：e 一孚， ( 2 4 ) 其中j v ( z ) ：妻艺。z t ，称日( ：) 为两尺度矩阵序列 。) 的两尺度矩阵符号 定义 子空间序列矿，c f ( r ) 为 _ = c d j 2 ，7 2 痧( 2 z 一i ) ：1 f sr ，i z - ，z ( 2 5 ) 那么由( 2 - 3 ) 式定义的中( z ) 生成一个，重多分辨分析 _ ，它满足 ( 1 ) 嵌套性 c ckc 仁； 第b 硪按n 敷 西北大学硕士研究生论文 ( 2 ) 完备性 ( 3 ) 稠密性 咖s 反。) ( 垡_ ) = f ( r ) ny ，= o ) ； ( 4 ) 尺度性 厂( x ) _ 厂( 2 x ) 一+ l ，z ； ( 5 ) 2 巾谚( 2 ，x 一) ，1 f 豹支辫嚣闽为冷， j ，砍( x ) 静 支撑区问为f o ，2 j ，两且踩善= l 夕 ，破冬) 狂欢( x ) 在整数点上取零馕，这是g i 醚 多小波函数的特点。 懿慕我销把，( x ) 袁整数轰黧奎| 生整数菲上酌摘样看戒怒离散浆样信号，也就 是，擘+ 知和，( 女+ 1 ) 位鬟【2 3 】。依据这令特点，爨( 3 一”式霹季譬： 厂( 七+ 1 ) 鬻日2 o 2 ( 1 ) 厂( + 三) = 疗，t 办( 主) 十口。n 。疵( 圭) + 口。n 。如( 兰) 杰 ( 3 。6 ) ( 3 7 ) 强式转纯溪褥 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ，( + 毒) 厂( 十l 溉 ，( 女) 如。 西藏 * 1 童一产一手 ( 3 8 ) 磊( 音)如( 1 ) 破( 毒)疵( 1 m ) 。( 靠+ 1 ) 吼n 。乐矿 ( 3 9 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 两式就是x i a 方法对g h m 多小波的预滤波公式。由g h m 多小波 蹬荔知戎秘) = l ，结合多小波兹爨尺度方稷程尺度涎数懿瓣称特瞧，霹褥： 弘。= 一警她，+ 竽斑+ 争警曩， 淫卿 第l s 页莛4 3 强 堕! ! 查堂堡主堑壅兰堡兰 苟2ok = 厂( 七十1 ) ( 3 1 1 ) 为了与实际分解的近似系数相区别，这里把经过预处理后的系数写成玩n 。和 瓦。，从( 3 1 0 ) ( 3 一1 1 ) 中可以看出预处理实际上就是把原始图像的数据重新 组合，使之适应于多小波矢量滤波的处理方式。组合后图象的数据变成了 阮雌i 2 k 。i 2 一生! ! ! ! 1 2 ! ! ! ! 办( 1 ) 破( 1 2 ) 预处理方法的第一个分量组合方式可图示如下。 ( 3 1 2 ) 匿3 1 a 所提出的多小波预处理方式 这里的x 代表信号数据的位置。可见，由于多小波的分量数为2 ，如果一个长度 为n 的信号经过这样的预处理变成了2 譬的矢量信号，才可以用多小波来进行 滤波。如果是尺寸为肘的二维图像，则可以把它的每一行看成单独的一维信 号，用同样的方法进行预处理。 2 4 】。这种方法首先构造一个非常庞大的块矩阵破，这是一个尝矩阵，它 可以看成是单位矩阵j 。去掉了奇数行( 以第一行下标记为o ) 。如式3 1 3 。 。： ： 。 ：。 i 。 3 - 1 3 ) 第1 9 页共4 3 弧 西北大学硕士研究生论文 小波分量进行优化设计。相对于其它方法，它具有很好地编码效益，只是因为有 个很大的块矩阵，计算量要比别的方法大出很多。 3 1 4 平衡多小波法 有些多小波预处理方法达不到应有的效果，是因为它破坏了多小波固有的特 性。平衡多小波就是较好地解决这个问题的方法之。“平筏”这个概念是l e b r u n 和v e t e e r l i 于1 9 9 8 年提出的 2 5 。 平衡多小波的定义是： 构造一个低通合成算子l ，由低通滤波器饥组成( 的数目由特定的多小波 所包含的小波函数数目而定) ，如式( 3 1 4 ) 。 知oh l h 2 o l 2矗3 o厅l 1 3 ( 3 - 1 4 ) 当保持向量“= 卜l ，l ，l ，1 ，1 t 】7 ，即“。= “时称正交多小波系统是平衡的。 一般来说，构造个平衡多小波是很复杂的，现有的很多不平衡的多小波 可以经过平衡处理，转化为平衡多小波 2 6 。这种平衡变换的关键之处是希望 i ) 1 】7 是何( 0 ) 对应于特征值l 的右特征值向量。一般方法是用一个酉矩阵u 使得 州： 经过平衡变换，使得原有的低高通滤波器既满足了向量的多通道特性，又尽 可能地保持了多小波的正交性、逼近阶、对称性和短支撑性没有受到破坏。在现 有的多小波中，g h m 多小波因为两个分量尺度支撑不相等，不适合于平衡处理 2 7 1 。除了g h m 多小波，对其余可以使用平衡变换的多小波来说，转换为平衡 多小波也是一种较好的预处理方法。目前已有一些文章【2 8 】【2 9 】【3 0 】对此进行了研 究。 3 1 5 基于x i a 方法的改进方法 如果说x i a 等人提出的方法只是适应于一维信号或二维信号的某一行( 列) 第2 0 页共4 3 页 西北大学硕卜研究生论文 那么有一种针对于二维图像的推广方法 3 1 ，是按下式把厂( n ，m ) 转化为g ( ”，朋) 厂( 2 门+ 1 ，肌)庐2 ( 3 2 ) 厂( 2 n ，埘) l ( 1 2 )庐i ( 1 2 ) 矿2 ( 1 ) ( 2 门，m + 1 ) ：( 1 ) 第一个分量的组合用图3 2 来表示： ( 3 1 6 ) 图3 2 基于x i a 方法的改进多小波预处理方式 这种方法同样是把，( h ，川) 相邻的两行看成是某个连续信号的采样，其中第 一行看成是信号在整数点上的抽样，按( 3 1 6 ) 式转化为g ( h m ) 中的一行，也是 得到一幅婴m 的矢量图像。 二 ( 3 1 6 ) 式与( 3 1 2 ) 式相比较，虽然都是把原始图像的数据经过某种变换 转化为新图像中的一“矢量行”。但是在转换思路上有所不同。如图3 1 所示， ( 3 1 2 ) 式只是在单一方向( 行或者列) 上将邻近数据进行重组，没有考虑另一 个方向上的相关性。而如图3 2 所示，( 3 1 6 ) 式不仅综合了行方向的相邻数据， 也综合了列方向上的相邻数据。因为二维图像的像素在行和列方向上与其周围的 像素都具有很强的相关性，把这种相关性考虑进预处理方法里会改善图像处理的 效果。具体的我们将在3 3 节中讨论它的优点并据此提出一种新的多小波预处 理方法。 3 2 预处理方法在能量聚集性方面的研究 3 2 1 实验方法 为了进一步研究多小波预处理方法与多小波系统之间的一些关系，这里采用 c l 多小波和g h m 多小波系统，按照x i a 所提出的方法，分进行预处理和不进 第2 l 页共4 3 贝 西北大学硕士研究生论文 行预处理两种情况分别对5 1 2 5 1 2 的标准l e n a 图像( 2 5 6 级灰度) 做一级分解， 以此来说明同一种多小波在不使用和使用预处理的情形下对多小波分解图像效 果的影响以及两种不同的多小波在同时不使用或同时使用预处理的情形下对多 小波分解图像效果的影响。 我们拟从四个方面，通过计算机仿真实验按如下思路进行具体的研究工作。 g h m 多小波不经过预处理的情况 由单小波做图像分解的经验可知，用多小波进行分麓同样也要经过行滤波和 列滤波的过程。只不过为了适应g h m 多小波函数包含两个分量这种情况，在对 图像进行滤波之前，要进行一些处理工作。即使没有经过预处理，也要通过某些 简单的变换将数据变成2 l 的矢量形式。 这里用到的就是3 1 1 所提到的行和列格式转换。 处理一幅m 的图像，先对其做行格式转换。我们将图像的每一行中两个 相邻的数据第一个作为矢量的上一个数据，第二个作为矢量的下一个数据，这样 l ， 一行长度为肘的数据就变成了2 冬的矩阵。如图3 3 所示。 圈 图3 3 不经过预处理的多小波行格式转换方法 再将这个矩阵用g h m 多小波的高通滤波器和低通滤波器进行行滤波，得到 经过行滤波后的4 幅x 等子图像。 然后将每幅子图像的每一列中两个相邻的数据按照( 3 1 2 ) 式进行列格式转 图3 4 不经过预处理的多小波列格式转换方法 换，把这样一个长度为等的列就变成等的列，其中每一个像素都是一个2 1 的 第2 2 页共”页 矢量，懿墨3 4 掰示。 再将每一个经过转换的予图像矩降用g h m 多小波的高遇滤波器和低通滤 波器进行掰滤波，得到列滤波静4 幅芸等予图像，这样一共可以褥翻强个子 謦像。焱后按照 竺篇卜位耋箨嬲矧瓣是蔫g 瓣m 多小波进行无滤波处 理豹一缀分鼹终栗。魏避3 5 ( a ) 掰示。 g l 酝多套渡经避蔟处瑗鹣涛凌 预处理的方法如3 1 2 所介绍的，先按照( 3 1 2 ) 式将图像中的每一行转 化成2 警的矢整，再进行矢量的行滤波，得到4 幅等的予图像；列的预滤 波公式魄是( 3 1 2 ) 式，把经避往滤波耱鹜像簿弱转诬残娶2 款矢爨，霉逡 行矢量的列滤波。最后也是德到1 6 幅等等的子图像，如图3 5 ( b ) 所示。 c l 多，l 、渡不经避溪楚瑷豹壤嚣 这种情况与第一种情况相类似，只不过把g h m 多小波换成了c l 多小波。 因为c l 多小波鼢分虽数也是2 ，其体做法与穗况类钕，这受就不爵赘述。分 解结果的1 6 幅子图像如图3 5 ( c ) 所示。 c l 多小波经过预处理的情况 对c l 多小波虽然也是用的x i a 他们所提出来的预处理方法，但是由于c l 多枣波与g 珏m 多枣波滚数穗毖其存不耀羚点，所菇不缝塞接囊耀( 3 一豫) 式。 从图2 3 ，2 4 ( c l 多小波图) 可见，。( x ) 、庐：( x ) 的支撑区间均为【o ，2 ，这 是c l 多小波函数的特点。同样，把，( x ) 在整数点和半艇数点上的抽样瞀成是离 数采梯德号，鄂么由( 3 + 4 ) 式嚣褥 ( 后) = d l l 0 i l ( 1 ) ( 3 1 7 ) 厂( 七十吉) = a 。n 。旃( 吉) 一口：n 。( 丢) + 口。n 。一。( 吾) + 口：a 。妒，( 吾) ( 3 一1 8 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 s ) 式就是e 乙多夺液匏预楚理公式，经过獭处理霰莠霸c l 第2 3 炎菸幸3 癸 西北大学硕士研究生论文 多小波的低通滤波器和高通滤波器进行图像处理，可以得到1 6 幅鲁等子图像。 按照瞄矧的删例棚酚s 腻 3 2 2 计算机仿真及结果分析 我们使用5 1 2 5 1 2 的标准l e n a 图像( 2 5 6 灰度) ，按上一小节的四种方式 进行处理，得到图3 5 。 图3 5 四种多小波图像分解方法的比较 ( a ) g h m 多小波不经预处理的图像 ( b ) g h m 经过预处理的图像 ( c ) c l 不经预处理的图像 ( d ) c l 经过预处理的图像 笫2 4 页共4 3 页 堕韭查兰堡主里塞竺堡塞 一 从图3 5 中可以明显看出结台不同的多小波以及是否有预滤波过程，在同一 级分辨率分解的子图像在能量的分布会有很大差别。 为了便于定量比较预处理方法对图像分解的作用，本文采用能量比的方法， 即分解后低低频子图像在整个图像中的能量比可用下式计算： 一高 其中三上。是低频子图像的各像素能量，z 删。，。是整幅图像各像素的能量， 1 f ，_ ，2 5 6 ，l 聊，以5 1 2 。 低低频子图像中的第一个分量图像在整幅图像中的能量比可用下式计算 俐= 盏丧 z 。， 其中上一l u 是低频子图像的第一个分量的能量， 1 s f ，1 2 8 ， l m n s5 1 2 。 几种情况的能量比数值示于表3 1 。 表3 14 种多小波处理方法对图像分解的结果 t a b l e lr e s u l t so f i m a g e sd e c o m p o s i t i o nb y4f l l t e r i n gm e t h o d s l e n ar a t e lr a t e 2 g h m 无预滤波 0 9 2 3 6o 2 2 9 4 g h m 有预滤波 o 9 2 4 1o 4 0 9 8 c l 无预滤波 0 9 7 1 3o 2 4 9 l c l 有预滤波 o 9 7 4 70 6 6 5 2 从上表中可以看出以下几点： ( 1 ) 无论是使用g h m 多小波还是c l 多小波，采用了预处理方法都会使分解 后的图像能量更集中于低低频部分。在没有预处理时，g h m 多小波的 r a t e l _ o 9 2 3 6 ，r a t e 2 ；o 2 2 9 4 ，经过预处理后变成了r a e 1 = 0 9 2 4 l ，r a t e 2 = 0 4 0 9 8 ，分别 提高了o 0 5 和1 0 0 4 ；在没有预处理时，c l 多小波的r a t e l = 0 9 7 1 3 ，r a t e 2 = o 2 4 9 1 ， 经过预处理后变成了r a t e l = o 9 7 4 7 ，r a t e 2 = o 6 6 5 2 ，分别提高了o 3 4 和4 1 6 l 。效 薷2 5 页共4 3 页 西北大学硕士研究生论文 果是很显著的。预处理不但将分解后图像的能量更多地集中到低低频部分同时也 使低低频部分的能量更多地集中在它的第一个分量上，这将有利于将分解的系数 进行编码，压缩图像时可以得到更大的压缩比。 ( 2 ) 经过预滤波后，图像具有更好的能量集中性，能量的集中程度又与所采用 的小波系统密切相关。同样是采用x i a 的方法，在这里c l 多小波比g h m 多小 波的在能量集中性方面表现要好得多，编码后原图像的绝大部分能量都集中在低 低频子图像尤其是它的第一个分量上，这表明所采取的预滤波方法与c l 多小波 有更好的“匹配性”。 对于图像编码来说，各子图像及其分量的能量分布是比特分布的重要依据， 这对后面的矢量量化工作很重要。c l 多小波变换能量汇聚的力量越强，就意味 着需要分配比特编码的系数越少，提高压缩比的空间就越大。 鉴于预处理在多小波变换中的重要性，我们试对同一种多小波用多种预处理 方法进行图像分解，比较出能量聚集程度的好坏，来进一步说明预处理与特定多 小波系统存在一定的匹配关系。在下一节中将进行这个工作，我们会提出一种新 的多小波预处理方法，并与另外两种已有的预处理方法比较分解图像后的能量集 中度。 3 3 一种新改进的预处理方法 3 3 1 基本思想 由3 1 2 可知，x i a 的方法是针对于一维信号提出来的，当应用于二维的图 像时就必须把图像的数据分割成一维的序列才能进行处理，即一次只能处理一行 ( 列) ，这样往往只能利用一个方向上的相关性，而忽略了另一个方向的。图像 是一个二维的信号，每一个像素与它四周的像素在数值上应该具有很强的相关 性，在x i a 的预处理方法基础上，我们开始考虑是否会有更好的针对于图像的预 处理方法。 3 1 5 中提出来的那种改进方法，把厂( n ，聊) 相邻的两行看成是某个连续信 号的采样，其中第一行看成是信号在整数点上的抽样，按( 3 一1 5 ) 式转化为g ( 行，肌) 第2 6 页共4 3 页 西北大学硕士研究生论文 中的一行，也是得到一幅；m 的矢量图像。 2 这给我们开拓了一个新思路，可以考虑把一个像素和它在行和列两个方向上 的某些相邻像素结合起来组成一个新的元素，作为预处理方法。到底是哪些相邻 的像素相关性更强呢，是行方向的、列方向的还是对角方向的? 这要借鉴先验知 识，面向特定的对象，并通过实验来决定。依据上一种方法，同样是对行方向上 数据的考虑。我们对像素在行方向上的两个相邻像素进行加权平均，期望能够更 充分地利用数据之间的相关性。因此提出一种新的多小波预处理方法，该方法按 照下式把图像厂( n ，m ) 转化成g ( n ，m ) ： 烈，功= 一垒鱼! 型塑塑一垒q ! 垄蔓堕竺坠一 破( 1 2 ) 戎( 1 ) 2 破( 1 固呜( 1 ) 第一个分量的组合用图3 6 来表示。 ( 3 2 1 ) 图3 6 新的多小波预处理方法示意图 从理论上来讲，这种预处理方法不但联系到行方向上的相邻像素，也联系到 列方向上相邻像素，更多地利用了图像数据之间的相关性，能够更有利于图像的 能量集聚。 3 3 2 仿真实验及结果分析 在这次的计算机仿真实验中，我们运用三种预处理方法对两幅标准图像进 行一级分解，对它们作出比较。 首先，仍然用s 1 2 5 1 2 的l e n a 图像( 2 5 6 级灰度) 来实验，采用的是g h m 多小波和c l 多小波，滤波方法有i ) x i a 所提出来的方法( 3 1 2 ) ，i i ) x i a 方法的改进方法( 3 1 5 ) ，i i i ) 作者所提出来的方法。实验结果如图3 7 所示。 仍然按照( 3 - 1 7 ) ( 3 1 8 ) 式计算级分解的低低频图像及其第一分量图像 第2 7 页共2 7 页 西北大学硕士研究生论文 在整幅图像中所占能量的比重。计算结果如表3 2 。 图3 7 三种多小波预滤波方法结果之比较 ( a ) g h m 采用预滤波方法一 ( b ) g h m 采用预滤波方法二 ( c ) g h m 采用预滤波方法三( d ) c l 采用预滤波方法一 ( e ) c l 采用预滤波方法二( f ) c l 采用预滤波方法三 表3 2 三种多小波预处理方法对分解图像能量比的影响 l e n a方法一方法二方法三 g h m r a t e lo 9 2 3 60 9 2 4 0o 9 2 4 2 g h m r a t e 204 0 9 8o 4 0 8 60 4 0 9 9 c l r a t e lo 9 7 4 70 9 7 5 2o 9 7 5 4 c l r a t e 2o 6 6 5 2o 6 6 5 0o 6 6 5 3 从表3 2 中可以看出：对于同一种多小波，采用不同的多小波预处理方法也 会使分解后图像的各部分能量有所不同。方法一只是在同一个方向上的相邻数据 进行处理，已经可以达到一定程度上能量大部分集中在低频分量上，方法二结合 第2 8 页共2 8 页 耍韭叁兰塑生! ! 塑兰堡墨 一一 一 了一个行方向上的相邻数据和一个列方向上的相邻数据，开始由一维转向了二 维，所以低低频予图像的能量聚集程度有了提高。方法三综合了以上两种方法的 特点，既结合了同一个方向上的左右两个相邻数据，也结合了另个方向上的相 邻数据，得到了能量更大程度上的集中。表中的数据显示，无论对于哪种多小波， 采用方法二比采用方法一都能使低低频图像的能量比略有提高，而采用方法三又 比采用方法二要再略微提高一些。 接着，我们再将另一幅5 1 2 5 1 2 的g i r l 图像( 2 5 6 灰度) ，用g h m 多小波 分别经三种预处理方法作图像分解。结果如图3 - 8 所示。 图3 8三种预处理方法采用g h m 多小波的分解结果 ( a ) 第一种预处理方法的结果( b ) 第二种预处理方法的结果( c ) 第三种预处理方法的结果 计算各部分能量比的结果如表3 3 所示。 表3 3 三种预处理方法分解g i i 也图像的能量集中度比 g i r l 方法一方法二方法三 g h m 多小波r a t e l 0 9 2 4 0o 9 2 4 60 9 2 4 8 g h m 多小波r a t e 2 0 4 1 0 50 4 1 0 lo 4 1 0 7 横向比较表3 3 中的数据，计算低低频子图像的能量比重m 把l 时，从方法一 到方法三，a 把1 呈递增趋势，使用方法三时效果是最好的；计算低低频子图像的 第一个分量图像的能量比重r a 把2 时，使用方法三也较使用前两种方法能量比有 了一些提高。这与处理l e n a 图像时效果是相一致的。 再对比表3 2 和表3 3 可以看出，同样是使用g h m 多小波时，虽然针对的 是不同图像，但用本文提出的预处理方法时，分解图像的能量集中度同样都有一 第2 9 页共2 9 页 西北大学硕士研究生论文 定程度上的提高。 由此可以推出，图像中的像素与其周围相邻的每一个像素都具有密切的相关 性。只有充分利用这种相关性，才能得到能量更大的集中；相关性利用得越多， 能量的聚集性也就越好些。本文所提出的新的多小波预处理方法正是利用了这种 相关性，因此能改善分解后图像的能量聚集性。但是结合的像素越多，计算的复 杂度也会越大，在面对具体的问题时要综合考虑这两个因素。 3 4 小结 多小波预处理是多小波特有的问题，预处理的方法与所使用的多小波密切相 关。通过上述分析和计算机仿真实验，本文认为： 1 、使用适当的预处理方法比不使用预处理方法能够提高分解后的图像在低 低频子图像处的能量集中程度。 2 、使用同一种预处理方法，不同的多小波得出的结果不尽相同，这说明预 处理方法对多小波有依赖性。 3 、对同一种多小波，不同的预处理方法也会得到不同的结果。可见只有多 小波与相应预处理方法相结合，才能得到更好的图像处理效果。 4 、在综合分析了现有的一些多小波预处理方法之后，本文提出来一种基于 x i a 方法的改进预处理方法，并通过计算机仿真验证了，它确实比其它方法具有 能使分解图象的能量更多地集中于低低频子图象的特点。而这种能量的集中性又 使得当它与矢量量化相结合的时候，恢复图象的质量也有一定程度的改善。 第3 0 页共3 0 页 西北大学硕士研究生论文 第四章矢量量化 4 1 矢量量化概述 4 1 1 率失真函数 信源编码是通过如图4 1