（电路与系统专业论文）基于边缘检测的小波图像去噪[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 论文题目：基于边缘检测的小波图像去噪 学科专业：电路与系统 研究生：于枝伶 指导教师：李福德副教授 摘要 签名：主越塑 签名：当碰 小波分析是继f o u r i e r 分析之后的新的时频域分析工具。在图像处理领域，其应用包 括从图像生成、图像预处理、图像压缩与传输、图像配准、图像分析、特征提取与图像分 类等图像处理的几乎所有阶段。本文主要针对小波分析在边缘检测、图像去噪方面应用的 方法进行了深入研究。 传统的边缘检测基于一阶导数极大值或二阶导数零交叉的定义。这种定义对噪声非常 敏感，因此边缘检测需要通过图像平滑在大尺度下进行。但在大尺度下进行边缘检测的一 个缺点是边缘位置容易发生偏移。这对于基于边缘特征的模式识别而言会造成误识别。小 波分析具有多尺度特性，既有大尺度的基函数，又有小尺度的基函数，因而运用于边缘检 测时，正好解决了这个问题。本文证明了，基于对称小波基的小波变换，在用于多尺度边 缘检测时，可以很好地保持边缘位置；本文的工作提出了通过小波变换的模极大值法和高 低双阈值法对输入的有噪图像进行边缘检测算法。该算法在获得良好边缘的情况下，边缘 定位准确度高。 由于小波变换后的图像能量主要分布在低频部分，噪声基本上分布在高频部分，而图 像的边缘信息是图像最为有用的高频信息。因此，利用传统的方法去噪时，虽然能较好的 去除图像中的噪声，但不能较好的保留图像的边缘信息，而且全局闽值法会“过扼杀”小 波系数，使图像的信息被去除。 针对传统去噪方法不能保留边缘特征和全局阈值法“过扼杀”小波系数的缺点，本文 首先对图像进行边缘检测，在分析软阈值函数的基础上通过对软阈值函数进行修正，提出 了平滑阅值函数。此种函数因在整个取值区间内保持平滑，所以在去噪中可保存图像的部 分细节。具体讲，先求出边缘图像，把边缘信息事先保护起来；然后，逐点贝叶斯门限法 求出的渐近最优阈值，对原有噪图像进行小波阈值去噪，得到尽量保留了图像细节信息的 平滑图像；最后，将边缘图像嵌入平滑图像之中，得到去噪后的图像。理论分析和实验结 果表明，该算法在有效去噪的同时，能较好的保留图像的边缘信息，提高峰值信噪比。 西安理工大学硕士学位论文 关键字：平滑阈值函数，模极大值法，高低双阈值法，边缘检测，逐点贝叶斯门限法，图 像去噪 a b s r a c t t i t i e ：、 f 尉e l e tl m a g ed e n o l s i n gb a s e do n e d g ee t e c t i o n m a j o r ；c i r c u i ta n ds y s t e m n a m e ：z h i l i n gy u s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f f u d el i a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sat o o lo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa f t e rf o u r i e ra n a l y s i s i nt h ef i e l do f i m a g ep r o c e s s i n g , i t sa p p l i c a t i o nc o v e r e di m a g i n gt e c h n i q u e ，i m a g ep r e p r o c e s s i n g ，i m a g e c o m p r e s s i o na n dt r a n s f e r r i n g , i m a g er e g i s t r a t i o n ，i m a g ea n a l y s i s ，f e a t u r ee x t r a c t i o na n dp a t t e r n c l a s s i f i c a t i o n ，e t c i nt h i sp a p e r ，i t sr e s e a r c h e do nw a v e l e t sa p p l i c a t i o ni nt h ef i e l d so fe d g e d e t e c t i o n ，i m a g ed e n o i s i n g t h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fe d g ed e t e c t i o na r eb a s e do no n e - o r d e rd e r i v a t i v e sm a x i m u m ， o rt w o o r d e rd e r i v a t i v e sz e r o - c r o s s i n g t h i sk i n do fe d g ed e f i n i t i o ni sv e r ys e n s i t i v et on o i s e s a n d t h u s ，e d g ed e t e c t i o ns h o u l db ec a r r i e do u ti l ll a r g es c a l e ，b yw h i c h t h ei m a g ew a ss m o o t h e d o n eo ft h es h o r t c o m i n g so fc d g cd e t e c t i o ni nl a r g es c a i i ei st h a ti t sd i f f i c u l tt ol o c a t ee d g e p r e c i s e l y , w h i c hw i l lm a k em i s t a k e si np a t t e r nr e c o g n i t i o nb a s e do nc d g ef e a t u r e s w i t h m u l t i s c a l ec h a r a c t e r i z a t i o n ，w a v e l e ta n a l y s i sw a sw i d e l yu s e dt om u l t i s c a l ee d g ed e t e c t i o n f u r t h e r m o r e ，a na l g o r i t h mo fd e t e c t i n gt h ee d g eo ft h en o i s i n gi m a g et h r o u g hh i g h l o wd o u b l e t h r e s h o l d sa n dt h em a x i m u mv a l u eo fw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l ew a sp u tf o r w a r d ，w i t hw h i c h ， ”g o o de d g e s ”w i l lb eo b t a i n e dw h i l et h ee d g cp o s i t i o n sw i l lb ek e p tw e l l a f t e rw a v e l e td e c o m p o s i n g , m o s to ft h ee n e r g yo ft h eo r i g i n a li m a g ei sc o n c e n t r a t e di nt h e l o w - f f e q u e n c ys u b a n d ，w h i l e n o i s ei sd i s t r i b u t e di n h i 曲- 丘e q u e n c yc o m p o n e n t s ，e d g c i n f o r m a t i o ni st h em o s tu s e f u lh i g h 一丘e q u e n c yi n f o r m a t i o n t h e r e f o r e ，u s i n g t r a d i t i o n a l d e n o i s i n gm e t h o d sc a nr e m o v et h en o i s eo ft h ei m a g e ，b u tt h e yc a nn o tr e t a i nt h ec d g p i n f o r m a t i o n i na d d i t i o ng l o b a lt h r e s h o l d i n gc a l lt h r o wo f ft h ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o no f i m a g e ，s ot h ei m a g ei n f o r m a t i o ni sr e m o v e d b e c a u s eo ft h es h o r t c o m i n g so ft r a d i t i o n a ld e n o i s i n gm e t h o d sw h i c hc a nn o tr e t a i nt h e e d g ef e a t u r e sa n dg l o b a lt h r e s h o l d i n gt h r o w i n go f ft h ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o no fi m a g e ，t h e p a p e rf i r s t l yd e t e c t st h ee d g eo ft h ei m a g e a f t e ra n a l y s i n gt h es o f tt h r e s h o l df u n c t i o n ，t h e s m o o t h n e s st h r e s h o l df u n c t i o ni sp r o p o s e d b ym o d i f y i n gt h es o f tt h r e s h o l df u n c t i o n b e c a u s e t h i sf u n c t i o nk e e p ss m o o t hi nt h ee n t i r ev a l u er a n g e ，s o m ei m p o r t a n td e t a i l si nt h ep r o c e s so f i m a g ed e n o i s i n gc a nb eh e l d ，f i r s t l yw ed e t e c tt h ee d g eo ft h en o i s i n gi m a g e t h u sw ec a b d e l v em a r g i n a li m a g ei no r d e rt op r o t e c te d g ei n f o r m a t i o np r i o r l y t h e nw ed e r i v et h eo p t i m a l 望童墨三查兰翌主堂堡丝查 - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ 。- 。_ 。_ - _ _ - 。_ _ _ - 。1 。 - _ _ _ _ - _ - 。1 - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ 1 t h r e s h o l db yu s i n gp o i n t - t o p o i n tb a y e s i a nt h r e s h o l d w eu s ew a v e l e tt h r e s h o l dt od e n o i s et h e o r i g i n a ln o i s i n gi m a g es ot h a tw eg e tt h es t e p l e s si m a g ew h i c h r e t a i n si m a g ed e t a i li n f o r m a t i o n f i n a l l y ，t h ee d g ei m a g ei se m b e d d e di n t ot h es m o o t h i n gi m a g e ，a n dt h ef i n a ld e n o i s i n gi m a g ei s g a i n e d t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n de x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h m sc 锄r e m o v e n o i s ee f f e c t i v e l yw h i l er e t a i n i n gt h ee d g ei n f o r m a t i o nb e t t e ra n di n c r e a s i n gp s n r k e y w o r d s ：s m o o t h n e s st h r e s h o l df u n c t i o n ，t h em a x i m u mv a l eo fm o d u l e ，h i g h - l o wd o u b l e t h r e s h o l d s ，e d g ed e t e c t i o n ，p o i n t - t o - p o i mb a y e s i a nt h r e s h o l d ，i m a g ed e n o i s i n g 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：主技笠匆棒钿日 学位论文使用授权声明 本人擅。：逢在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位沦文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：j 蝗j 垒导师签名：座盆塑亟d l 。7 年垆月f 日 l 绪论 1 绪论 1 1 本课题研究意义 在人类对信息的传递、处理等各种手段中，对图像信息的处理一直是其中很重要的部 分，早期是将图像作为一种模拟量来进行传输和处理的，如现在一般的电视信号所传送和 接收的都是模拟信号，然而，模拟图像信号有许多固有的缺点：一是不易保存，二是传输 过程中抗干扰能力差，对我们获得和识别图像中有用的信息造成了很大的困难，三是在作 迸一步处理时不够灵活和方便等等。而随着现代电子技术、计算机技术和数学理论( 特别 是离散数学理论) 的发展，图像处理越来越多地朝着数字化方向前进。在2 0 世纪2 0 年代， 图像处理首次应用于改善伦敦和纽约之间的海底电缆发送的图片质量，直到5 0 年代数字 计算机发展到一定水平后，数字图像处理才真正引起人们的兴趣。 视觉是人类最重要的感觉器官，图像( 视觉) 信息是人们由客观世界获得信息的主要来 源，它占人们依靠感官由外界获得信息的7 0 以上。数字图像在采集、转换和传输过程 中经常会受到设备、环境等因素的影响，致使现实图像成为带噪图像，对得到的图像进行 去噪是图像处理中一个很重要的部分。 在早期的图像去噪方法中，去卷积( 逆滤波) 是比较经典的方法之一n ，但现实世界本 质上是非线性的，从2 0 世纪8 0 年代后期发展起来的小波分析技术是继f o u r i e r 分析后的 一个突破性进展，它弥补了f o u r i e r 分析在非线性科学研究中的不足，给许多相关领域带 来了崭新的思想，它提供了时一频域分析的强有力的工具，在数学的许多分支领域以及信 号处理、通信和图像处理中的应用取得7 l l t 好的效果“1 ，在图像去噪方面，小波分析技 术因其独特的时一频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有 用信息等方面较之传统的去噪方法具有明显的优势， 1 2 传统图像去噪概述 1 2 1 含噪模型 在图像去噪之前先建立一个图像含噪声的模型，按噪声和信号之间的关系分为加性噪 声模型和乘性噪声模型。 加性噪声模型：即含噪图像由原始图像叠加上一个随机噪声形成 y 0 2 勤+ ( 1 i ) 其中，嘞为原始图像信号，y # 为含噪声的图像，表示噪声，此类噪声与输入图 像信号无关。乘性噪声模型：此类噪声与输入图像信号有关，原图像与含噪图像的关系可 表示为 y # 2 勃( 1 + ) ( 1 2 ) 西安理工大学硕士学位论文 1 2 2 噪声特性 图像噪声按其产生的原因可分为外部噪声和内部噪声。 外部噪声是指系统外部干扰从电磁波或经电源传进系统而引起的噪声，如电器设备、 天体放电现象等引起的噪声。 主要内部干扰如下； 1 ) 由光和电的基本性质引起的噪声。 电器的机械运动产生的噪声：各种接头因抖动引起的电流变化所产生的噪声；磁 头、磁带抖动引起的抖动噪声等。 3 ) 元器件本身引起的噪声：数码相机内部的电子元件引起的噪声。 系统内部设备电路所引起的噪声：电源系统引入的交流噪声，偏转系统引起的噪 声等。 1 2 3 常用的去噪方法及存在的问题 图像去噪的本质是依据噪声和图像不同的状态实现噪声和图像信号的可分离，利用滤 波的方法去除噪声。从对图像进行滤波过程中所采用的滤波器来分，可分为线性滤波器和 非线性滤波器。 a 线性滤波 线性滤波属于空域滤波平滑技术，主要采用的是邻域平均法，其主要思想是用几个像 素灰度的平均值来代替某个像素。假设有一幅n n 个像素的待测图像( 无噪声污染) 膏。 ( 表示在点( i ，j ) 处的像素值) ，平滑处理后图像为萱则 岛- 罗m ( 1 3 ) ( 抽 式中i ，j = o ，l ，2 ，n - 1 ，s 是( i ，j ) 点邻域中点的坐标的集合( 不包括( i ，j ) ) 点) ，m 是集合内坐标点的总数。 对含加性高斯白噪声( 均值为0 ，方差为盯2 ) 的图像经邻域平均后为 韩一+ ) m x # m + m ( 1 4 ) 处理后剩余噪声的平均值为 e 喑) - o ( 1 5 ) 剩余噪声的方差为 d ( 二1 一击。( 一吉盯2 ( 1 s ) 经邻域平均后，噪声的均值不变，方差将减小m 倍，说明噪声强度变弱了，即抑制 了噪声。最简单的一种均值滤波器模板为 2 1 绪论 日。! 1 1 1 1 l ( 1 7 ) 9 【l 1 1 j 此方法在抑制噪声时，使图像产生模糊，特别是边缘和细节处，邻域越大模糊越严重。 b 中值滤波 中值滤波是一种非线性滤波，设一个一维序列 ，2 ，无。取窗口长度为1 1 1 ( 为奇数) ，对此序列进行中值滤波，是从输入序列中抽出n 1 个数，i 一兀，五 其中正为窗口的中心值，v = ( m 一1 ) 2 ，再将这m 个数值按其数值大小排列，取其序 号为正中问的那个数作为滤波输出。中值滤波表达式为 。m e d 五。，f 正+ ， f zv 一( 册- 1 ) 2 ( 1 8 ) 对图像进行中值滤波，取某种形状( 方形、圆形) 等的二维窗口，将窗口内像素排序， 生成单调二维数据序列。二维中值滤波输出为 圪一m e d ( y “) ( l9 ) 在一定条件下，中值滤波可以克服线性滤波器所带束的图像细节模糊，更适应于消除 图像的孤立噪声点，但是中值滤波适合去除椒盐噪声，对高斯噪声去噪效果不理想。 c 自适应滤波 自适应滤波是近3 0 年来发展起来的。当输入信号的统计特性未知，或者输入信号的 统计特性变化时，自适应滤波器能够自动的迭代调节自身的滤波器参数，以满足某种准则 的要求，从而实现最优滤波。 图像的噪声消除可以采用自适应w i e n e r 滤波，它是一种线性滤波。w i e n e r 滤波将图 像信号和噪声都看成随机信号是基于最小均方误差原则而得到的一种滤波。设图像y 。 是由真实图像和高斯白噪声构成的，设计图像滤波器的目的就是使输出图像毛尽可 能降低噪声信号，同时恢复真实图像。误差信号为 e q 。x q i 4 ( 1 1 0 ) 均方误差为 慨= 上m n ，彩 q “ f i 辱哇c ” k l a t l a b 图像处理工具箱提供了w i e n e r 2 来估计每个像素的局部均值与方差来实现图 像嗓声的自适应滤除。其中，局部均值与方差分别为 胪土m n ，罂口 n 1 2 “辱” n 刍。；彩一彤2 其中，s 是图像中每个像素的m n 局部邻域。w i e n e r 滤波估计式为 ) 3 婚l( 西安理工大学硕士学位论文 毛。嘞一i 嘞一) ( 1 1 4 ) u 在有些应用中，自适应滤波能够根据被滤波区域的图像特性自适应的调整滤波器来改 进结果，但有时却可能探测不到与胡椒( 盐粒) 噪声相同的，内含于常数背景中的盐粒( 胡 椒) 噪声。 针对以上空域去噪的种种缺点，采用变换域去噪的方法，小波变换为首选。小波去噪 是基于小波变换的多分辨率滤波技术，使一个信号的能量集中于小波变换域少数系数上， 去噪后还能较好地保留图像特性，这一点优于传统的低通滤波器。其成功基于如下特点： ( 1 ) 低熵性，小波变换后图像的熵明显降低； ( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的办法，所以可以较好地刻画信号的非平稳特性， 如边缘、尖峰、断点等； ( 3 ) 去相关性，小波变换可以对信号进行去相关，所以噪声在变换后有白化趋势，小 波域比时空域更利于去嗓； ( 4 ) 选基灵活性，小波变换可以灵活选择变换基，因此对不同应用场合和对不同的研 究对象，可以选用不同的小波母函数获得最佳的去噪效果。 1 3 本课题研究背景 1 3 1 小波去噪的发展及现状 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波阚值萎缩方法( w a v c s h r i n k ) ，并给出了 6 - o 2 厩n 的阈值，且从渐进意义上证明了w a v e s h r i n k 的最优性。与此同时，k r i m 等 人运用r i s s a n e n 的m d l ( m i n i m u md e s c r i p t i o nl e n g t h ) 准则也得到了相同的阙值公式“1 。此 后小波阈值萎缩方法被应用于各种去嗓过程中，并取得了很大的成功，对高斯白噪声尤其 如此。但是d o n o h o 和j o h n s t o n e 给出的阈值公式有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向， 因此其它学者对阈值的选择作了进一步的研究，并提出了许多不同的阙值确定方法“1 7 蛐， 而对于阈值函数的选取也有了几种不同的方式 9 | i o l y 但是当这些方法应用于非高斯、有 色噪声场合中时，效果却不够理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的 假设，并且这些方法大多是从d o n o h o 和j o h n s t o n e 给出的理论发展而来，因而它们最后 的去噪性能也依赖于用w a v e s h r i n k 确定阈值时，对噪声服从独立正态分布的假设。因此， 人们又提出了具有尺度适应性的阈值选取法 f l i p 用来解决正态分布有色噪声的小波去噪 问题。 目前，基于阈值萎缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出 现，而且也可以看出，人们的研究方向己经转为如何最大限度地获得信号的先验信息“2 1 “”，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除 了阈值萎缩方法外，k i v a n c j o h n 和x u 等人还提出了不同的去噪方毛登“1 ，例如利用l i p s c h i t z 指数的方法和基于最大后验概率m a p 的比例萎缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。小 4 1 绪论 波去噪方法已成为目前图像去噪方法的重大分支和主要研究方向之一。 1 3 2 小波去噪现状 在对含噪信号进行去除噪声的应用中，一般大多利用噪声的一些先验知识对含噪信号 在最小均方误差意义上进行估计1 9 9 5 年，d ld o h o n o 在小波变换的基础上提出了阈 值去噪的概念n ”，由于此方法在b e s o v 空间上可得到最佳估计值，而任何其他线形估计 ( 包括核估计、近邻估计以及局部多项式估计) 都达不到与此相同的估计效果因此，阈值 去噪的方法引起了国内外很多学者的注意除斯坦福大学的d ld o n o h o 和i m j o h n s t o n e 继续对此方法进行了较深入的理论研究外n “，耶鲁大学的r r c o i f m a n 1 ”、 德克萨斯大学的x i a o - p i n gz h a n g 、m d d e s a i 等都对此方法做了进一步研究和应用，在国 内西北工业大学的潘泉、戴冠中等“”，上海交通大学的李冲泥、胡光锐“”，北京理工大 学的梅文博。都拓宽了此方法的应用前景 由于小波变换后的图像能量主要分布在低频部分，噪声基本上分布在高频部分，而图 像的边缘信息是图像最为有用的高频信息。因此，利用传统的方法去噪时，虽然能较好的 去除图像中的噪声，但不能较好的保留图像的边缘信息为得到轮廓清晰的小波去噪图像， 先通过边缘检测法求出有噪图像的边缘图像，再利用改进的邻域贝叶斯方法求出闽值对原 有噪图像进行小波去噪，得到平滑图像，最后将边缘图像嵌入到平滑图像中，得到去噪后 的图像。 1 4 本文的主要研究内容 针对上述内容，本文章节安排如下： 第l 章介绍了课题研究的背景，意义及发展现状。 第2 章概括介绍了小波变换的基本理论，多分辨率分析及m a l l a t 算法。 第3 章介绍了噪声模型，小波去噪的原理及去噪算法。 第4 章介绍使用对称小波基进行基于小波的多尺度边缘检测技术。 第5 章介绍基于逐点贝叶斯估计并结合边缘检测进行图像去噪。 第6 章对全文进行总结，对本课题未来的研究方向进行展望。 5 西安理工大学硕士学位论文 6 1 5 小结 本章主要介绍了课题研究意义背景，就图像的一些常用去噪方法进行阐述，指出它们 的缺点，进而引出小波去噪并介绍其发展现状。 2 小渡变换基本理论 2 小波变换基本理论 傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o 彻f t ) 是信号处理领域的一个有力工具，它将信号从 时间域转换到频率域，变换频率域包含的信息和原来函数所包含的信息完全相同，不同的 仅是信息的表示方法，使人们从变换分析的观点来研究一个函数。但是f t 无时间局部信 息特征，即信号任何时刻的微小变化会牵动整个频谱。而实际信号往往是时交信号、 非平稳过程，使其应用受限。g a b o r 通过预先加窗的办法使频谱反映时间局部特性，即短 时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r 狃s f o m r s 1 r i 丌) 的方法，由于s t f t 的定义决定 了信号的时宽t 与频宽之积为一常数。因此，变换的时间和频率分辨率不可能同 时任意的好。小波变换是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，它具有多分辨 率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a m a l v s i s m r a ) 的特点，而且在时、频域都具有表征信号局 部特征的能力，因此说小波分析是傅里叶分析的发展。 2 1 傅里叶变换和短时傅里叶变换 2 1 1 傅里叶变换 传统的信号分析是建立在f o u r i e r 变换的基础之上的，其定义为：对于任意一个确定 性信号，( f ) l 2 ( r ) ，在满足平方可积的条件时，则f ( t ) 可以表示为一标准函数族 e 扣： r 的加权和，其表达式为 ，( f ) - 去j = = 脚弦扭d ( 2 1 ) 上石，。” f o u r i e r 变换为 f ( ) 一f 厂p 1 “d t ( 2 2 ) f o u r i e r 变换是将时域信号变换到频域，在频域内再对信号进行分析和处理。由于它 是一种全局的变换，不能将时域和频域有机地结合起来，从而缺乏时频的局域性信息。然 而实际需要的却是信号的局部特征。1 9 4 6 年，g a b o r 提出了s 叮或加窗傅里叶变换 ( w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m ) 。 2 1 2 短时傅里叶变换 s t f t 定义为 s f ( 垃，f ) 一c r e o l e , 一f ) e 。柚出 ( 2 3 ) 其反变换定义为 ，p ) 。i 1 豇跖( 雌) 张一巾m d r _ o d t ( 2 - 4 ) 其中g ( t ) 为窗口函数。s t f t 的实质是将一个任意时域的函数f ( t ) 分解成基函数的 线性叠加，通过窗函数在时域上的滑动来得到对信号的时频局部化分析。但它也存在缺陷： 一旦窗函数窗口的长度确定，其时一频分辨率t 、) 在所有的频率段都是确定的，不 7 西安理工大学硕士学位论文 随t 和的变化而变化，因此，对时变的非稳态信号，s t f t 无法处理。 2 2 小波变换 小波变换是一种信号的时间一尺度( 时间频率) 分析方法，它具有多分辨率分析 ( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s - - - - - m r a ) 的特点，而且在时、频域都具有表征信号局部特征 的能力，因此说小波分析是傅里叶分析的发展。 2 2 1 连续小波变换 ( 1 ) 连续小波基函数恤1 所谓小波，即存在于一个小区域的波。其数学定义是：设l r ( f ) 为平方可积 1 l o ) r ( r ) ，若其傅立叶变换满足： i = 逊屹m 。 ( 2 5 ) j 五 m 则称为一个基本小波或母小波函数，并称上式是小波函数的可容许条件。 根据小波函数的定义，小波函数般在时域具有紧支集或似紧支集，即函数的非零值 定义域具有有限的范围，即所谓“小”的特点：另一方面，根据可容许性条件知妒( 圳。- 。一0 ， 即直流分量为零，因此，小波又具有正负交替的波动性。 将小波母函数妒o ) 进行伸缩和平移，设其尺度因子( 伸缩因子) 为a ，平移因子为f ， 并记平移伸缩后的函数为妒。o ) ，则 妒。，o ) m a ( 竺) ，4 0 , r e r ( 2 6 ) a 式中妒。o ) 为参数8 和f 的小波基函数，由于a 和f 均取连续变化的值，因此又称为 连续小波基函数，它们是由同一母函数妒o ) 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。通常 妒。( f ) 存在许多可能的选择( 例如，正交小波、双正交小波、非正交小波，甚至允许是彼 此线性相关的) 。 若定义小波母函数妒o ) 的窗口宽度为a t ，窗口中心为岛，则可以求得连续小波妒。，o ) 的窗口中心及窗口宽度分别为： t 。- a t o + f ( 2 7 ) a t 。- a a t ( 2 8 ) 同样，设矿( 曲为妒( f ) 的傅立叶变换，且频域窗口中心为，窗口宽度为a 珊，设妒。o ) 的傅立叶变换为妒。 ) ，则 妒。( 一山e s 气o ( a c o ) ( 2 9 ) 进一步求出频域窗口中心和宽度分别为： 8 2 小波变换基本理论 l f o a j 一 a 吐，。! 讲 a ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均随尺度因子a 的变化而伸缩，并且 a t 。，a w ，i l la t a w ( 2 1 2 ) 即连续小波基函数的窗1 ：3 面积不随a ，f 而变。这正是h e i s e n b e r g 测不准原理。 该原理指出a t ，a m 的大小是相互制约的，乘积a t a w 2 妄，并且仅当妒( f ) 为高斯函数 时等式成立。将不同a ，f 值下的时频窗口绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平面， 如图2 1 所示： f i g 2 - 1p h a s ep l a n eo ft h ew a v e l e tp r i m a r yf u n c t i o n ( 2 ) 连续小波变换 将r ( 尺) 空间的任意函数f ( t ) 在小波基下进行展开，称其为函数f ( t ) 的连续小波 变换c w t ，变换式为： 哆) 一知f ( t 9 0 ( t - - 4 t ，渺i ，妒矿 ( 2 1 3 ) 当小波的容许性条件成立时，其逆变换存在。 ，( f ) 苦笨町虬( f 渺 2 书籍，扣呼m 汜 式中c ，= 正监警匕t + * 即为妒( f ) 的容许性条件。 根据c w t 的定义，小波变换同傅立叶变换一样，也是一种积分变换，称，以0 ，f ) 为小 西安理工大学硕士学位论文 波变换系数，由于小波基具有尺度和位移两个参数，因此将小波基展开意味着将一个时间 函数投影到二维的时间一尺度相平面上。而且由于小波基本身具有的特点，函数投影到小 波变换域后，有利于提取某些特征。 连续小波变换具有以下重要性质： ( 1 ) 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 ( 2 ) 平移不变性：若f ( t ) 的小波变换为，( n ，f ) ，则f “一f ) 的小波变换为 町( 口，t f ) ( 3 ) 伸缩共变性：参数a 可以调节小波函数的通带位置和宽窄。 ( 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。 ( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度( r e d u n d a n c y ) 2 2 2 离散小波变换 ( 1 ) 尺度与位移的离散化 对连续小波基函数进行离散化可以得到离散小波变换，减少小波变换的冗余度。这一 离散化是针对连续的尺度参数a 和连续的平移参数f 的，而不是针对时间变量t 的。 在离散化时通常对尺度按幂级数进行离散化，即取口0 - 1 ，a - 4 ；，f - 雄f 。4 ；，得到 离散小波函数： 上 妒。( f ) - a o2 l p o o t - n r o ) ，m ，n e z ( 2 1 5 ) 于是，任意函数f ( t ) 的离散小波变换d w t 为： 伽，咒) 一j ：，o ) l c i ：，( t 弘l t ( 2 1 6 ) ( 2 ) 二进制小波变换灌1 为了使小波具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自 然的需要改变a 和f 的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。也就是说，在实际中 采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即每个网格点对应的尺度 为2 ”，平移为2 “n 。由此得到： ；f ，。o ) t2 “” ；f | ( 2 一”t h ) ，m ，n e z ( 2 1 7 ) 1 ；c r 。( f ) 称为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) 二进小波对信号的分析具有交焦距的作用。假定有一放大倍数2 ，它对应于观测到 信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要放大倍数增加，应减小j 值：反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小倍数，即加大j 值。在这个意义上，小 波变换被称为数学显微镜。 二进小波只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因 此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的 独特优点。 1 0 2 小波变换基本理论 ( 3 ) 小波框架 为了在尺度及位移均离散化时能够重建原始信号，必须引入小波框架的概念。小波框 架的定义是：当基本小波1 ；f ，o ) 经伸缩和位移引出的函数族 妒， ( f ) 一a 0 77 劬( a 0 7 t k r ) j ，k z ( 2 1 8 ) 具有下述性质时： 4 l l r m 2 墨芝l t ，妒肚，1 2 主b 0 厂旷o t 爿t 口t * ( 2 1 9 ) 便称扣肚( f ) l 熘构e 7 - + 4 、波框架，并称上式为小波框架条件，其频域表示为： 口s 艺p ( 2 甜) 1 2 芦 o t 口t 卢t ( 2 2 0 ) ( 4 ) 离散小波逆变换 如果离散小波序列扣似o ) l + 。构成了一个框架，其上下界分别为a 和b ，则 当h = b 时( 称为紧框架) ，离散小波变换的逆变换由下式给出： ，o ) 2 j 1 台w ，帅，j ( f ) ( 2 2 1 ) 当a b 但两者比较接近时，重建公式近似为： ，( f ) 。南善蛳七) 妒，。o ) 2 忽 研究表明，只有在a = b = 1 时，框架扣肚( f ) l 熘变成正交基，此时经框架变换后的信 息无任何冗余。 2 2 3 二进正交小波变换 二进正交小波常表示为 妒，j 一2 4 7 2 妒( 2 t 一七) j , k z ( 2 2 3 ) 它满足条件p ( 2 ) 1 2 1 ，并有框架七c - 肚 构成l 2 ( r ) e e 一组正交基。这时任一函 数f ( t ) r 俾) 可以表示为小波级数 心) - ，娶成) 2 4 式中，c ”- 称为小波系数。 2 3 二维小波变换与可分离多分辨率分析 令f ( 而，工：) 表示一个二维信号，x l ，z ：分别是其横坐标与纵坐标，妒( x i ，工：) 代表二维的基本小波，则二维连续小波变换可定义如下： 令m 。i o p ：) 表示妒( 工。，z ：) 的尺度伸缩与二维位移 西安理工大擘硕士学位论文 也瓴脚= ( 生手，孚) ( 2 2 5 ) 则二维小波变换定义为 w f f ( a ；b 1 ，b ：) - ( ，瓴，x ：) ，妒。 也o ，x ：) ) = ! r r ，“, x z ) p ( 亟二堕，兰2 二生皿。出： ( 2 2 6 ) 口, j j口口 式( 2 2 6 ) 中的因子1 a 是保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一化因子。 若一种变换的基函数是可分离基，那么称这种变换就是可分离变换。可分离情况的特 点是可以沿毛，屯两个方向分先后两步作串级处理。设f ( 置，工：) 是r 僻2 ) 二维实空间 瑶2 ) 内的二维函数。现在把尺度a 按2 的幂级数 a = 2 j ，j z 作函数空间的二剖分， 剖分满足的条件和整个推导过程见文献瑚1 。 在可分离情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿而方向分别用巾( 毛) 和1 i r ( 毛) 作分析，把f ( 置，工，) 分成平滑逼近和细节这两部分( 见图2 2 的左半部分) ，然后对这 两部分再沿x 2 方向分别用巾( z ：) 和1 i r ( 如) 作类似分析( 见图2 2 的右半部分) 。将输 出经巾( 毛) 巾( 南) 处理所得的一路f ( 五，易) 的第一级平滑逼近4 f ( 置，工：) ，作为 信号的低频部分：其余三路输出叫”f ( 毛，屯) ，科2 f ( 毛，而) 和科f ( 毛，工：) 都是 细节函数，作为信号的高频部分。 方向处理 以由( ) 【) 沿x i 一 方向处理 x 方向的 细节函数 x ，方向 平滑逼沂 坠! 垡! 趁圣， i 方向处理 刊 i 燮圭! 鲨堑- 方向处理 。丝! 垡! 丝堑- 呻i 方向处理 i 坠圭垡尘墨垦- 方向处理 图2 2 可分离情况下的多分辨率分析 d o 、( x 。，) d ( 2 ) lf ( x ，池) d ( 1 ) 1f ( x i ) f i g 2 - 2m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i si n p a m t a b i cs i t u a t i o n 再对一次小波变换进行分析得 a , f ( 毛，工：) = ( f ( x ，工：) ，m o ，一雄，) m ：一心) d f l f ( 而，x 2 ) = ( f ( x l ，x ：) 西( j h 一露。) 妒0 ：一一：) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 小波变换基本理论 d f f ( 石，石：) = ( ， 。，x ：) ，妒g ，一以。) 中o ：一挥：) ) d p f ( 工，。工：