（基础数学专业论文）广义带导数的非线性schrodinger方程的精确解.pdf

摘要 本论文主要内容包括：通过h i r o t a 方法得到广义带导数的非线性s c h r s d i n g e r 方 程( g d n l s e ) 的孤子解；利用w r o n s k i a n 技巧得到g d n l s e 的双w r o n s k i a n 解及 广义双w r o n s k i a n 解；首次得到广义带导数的非线性s c h r s d i n g e r 方程族( g d n l s e s ) 的两族对称、相应的l i e 代数结构、h a m i l t o n 性质及l i o u v i l l e 可积性 第二章，叙述双线性导数、w r o n s k i a n 行列式、对称及h a m i l t o n 结构的一些基 本知识及相关概念 第三章，利用h i r o t a 方法得到g d n l s e 的孤子解；通过约化给出带导数的 非线性s c h r s d i n g e r 方程( d n l s e ) h i r o t a 形式的孤子解 第四章，导出g d n l s e 的双w r o n s k i a n 解，进而讨论h i r o t a 形式的解与w r o n - s k i a n 形式的解的一致性；通过约化得到d n l s e 的双w r o n s k i a n 解；将双w r o n s k i a n 元素满足的条件推广到矩阵情形，得到g d n l s e 的广义双w r o n s k i a n 解，其中包括 孤子解、有理解、m a t v e e v 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解 第五章，从l a x 对导出g d n l s e s 的无穷守恒律；证明g d n l s e s 递推算子 是强遗传对称算子，进而给出g d n l s e s 的两族对称及相应的l i e 代数结构；研究 g d n l s e s 的h a m i l t o n 性质及l i o u v i l l e 可积性 关键词：g d n l s e ；g d n l s e s ；d n l s e ；h i r o t a 方法；w r o n s k i a n 技巧；孤子 解；有理解；m a t v e e v 解；c o m p l e x i t o n 解；混合解；无穷守恒律；强遗传对称算 子；l i e 代数；h a m i l t o n 结构；l i o u v i l l e 可积 a b s t r a c t t h em a j o rc o n t e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s to f t h en - s o l i t o ns o l u t i o n so ft h e g d n l s ea r eo b t a i n e dt h r o u g ht h eh i r o t am e t h o d t h ed o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o no f g d n l s ei sg o tb ym e a n so ft h ew r o n s k i a nt e c h n i q u e t w os e t so fs y m m e t r i e sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo fg d n l s e s a r ed e r i v e d t h eh a m i l t o ns t r u c t u r e o ft h eg d n l s e si sp r e s e n t e da n dt h el i o u v i u ei n t e g r a b i l i t yi sd e m o n s t r a t e d t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea n dr e l a t e dc o n c e p t so ft h e b i l i n e a rd e r i v a t i v e ，w r o n s k i a nd e t e r m i n a n t ，s y m m e t r ya n dh a m i l t o ns t r u c t u r e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s tg i v et h en - s o l i t o ns o l u t i o n so fg d n l s e f u r t h e r ，t h e m u l t i s o l i t o ns o l u t i o n so fd n l s ea r eo b t a i n e db yr e d u c i n g i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ef i r s to n ei st og i v et h ed o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o no f g d n l s e f u r t h e r ，t h ec o i n c i d e n c eo fb o t hs o l u t i o n si sd i s c u s s e d w h a t sm o r e ，t h e d o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o no fd n l s ei sg i v e nb yr e d u c i n g t h es e c o n do n ei st oo b t a i nt h e g e n e r a ld o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o no fg d n l s eb yg e n e r a l i z i n gt h ee q u a t i o us a t i s f i e db y w r o n s k i a ne n t r i e s 咖it ot h em a t r i xe q u a t i o n ，i n c l u d i n gs o l i t o ns o l u t i o n s ，r a t i o n a ls o l u t i o n s ， m a t v e e vs o l u t i o n s ，c o m p l e x i t o ns o l u t i o n sa n di n t e r a c t i o ns o l u t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ed e r i v et h ec o n s e r v a t i o nl a w so ft h eg d n l s e sf r o mt h el a x p a i r ，a n dp r o v et h er e c u r s i o no p e r a t o ro ft h eg d n l s e si st h es t r o n gh e r e d i t a r ys y m m e t r y o p e r a t o r ，a n dg i v et h et w os e t so fs y m m e t r i e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e o ft h eg d n l s e s f u r t h e r ，w er e s e a r c ht h eh a m i l t o nn a t u r ea n dt h el i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t y o ft h eg d n l s e s k e yw o r d s ：g d n l s e ；g d n l s e s ；d n l s e ；h i r o t am e t h o d ；w r o n s k i a nt e c h n i q u e ； s o l i t o ns o l u t i o n s ；r a t i o n a ls o l u t i o n s ；m a t v e e vs o l u t i o n s ；c o m p l e x i t o n ss o l u t i o n s ；i n t e r a c - t i o ns o l u t i o n s ；t h ei n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w s ；s t r o n gh e r e d i t a r ys y m m e t r yo p e r a t o r ；l i e a l g e b r a i c ；h a m i l t o ns t r u c t u r e ；l i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t y i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 貅狂更咻如叩 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：器曼导师签名：酞擎这日期；为妒9 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 第一章引言 1 1孤立子的产生与发展 随着自然科学发生的深刻变化，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空间 科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域孤立子作为非线性科学的一 个重要分支，已广泛应用于非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤 孤立子通讯等 孤子的发现应追溯到1 8 3 4 年，英国科学家j s r u 8 s e l 【1 】骑马追踪观察运河中船 只突然停止时激起的水波，发现了他称之为“孤立波”的现象r u s s e l 将这种水波形 容为。一个滚圆而平滑，轮廓分明的巨大孤子波峰，以很快的速度离开船头向前运动 着，在行进中它的形状和速度并没有明显改变”，但是由于当时条件的限制， r u s s e l 未能从理论上证实孤波的存在直到1 8 9 5 年，荷兰数学家d j k o r t e w e g 和他 的学生g d e v r i e s 在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并 以此建立了浅水波运动方程 鲁= 候委c 茎7 2 + a t + 詈盯= 面t h ( 1 ) 其中叩为波面高度，h 为水深，g 为重力加速度，p 是水的密度，a 是与水的匀 速流动有关的常数，t 是水的表面张力此后他们利用行波法求出与r u s s e l 描述 一致的孤立波解 如果作变换 t = 三屈，z = 一嘉，t t = 扣- q 1 ( 1 地) 则方程( 1 1 1 ) 可写成 u t + t i z + 6 u u z = 0 ，( 1 1 3 ) 后人为纪念这两位伟大的学者对孤波作出的贡献，将( 1 1 1 ) 或( 1 1 3 ) 称为k o r t e w e g - d ew i e s 方程 2 】，简称k d v 方程时间跨越了六十年，直到1 9 5 5 年，著名的物理学 家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 3 1 三人在研究非线性弹簧联结下的质点系统时，再次发现 了类似孤立波的性质，之后t o d a 继续研究该问题提出t o d a 链方程，并由此得到孤 立波解【4 】，从而激起人们对孤立波研究的兴趣 k d v 方程的孤立波解具有波形在传播过程中不随时问而改变且传播速度与振 幅成正比的特性，因此较高的波比较低的波运动的快一个自然的问题是t 两个不 同的孤立波经叠加后还是原方程的解吗? 由于k d v 方程的非线性，人们普遍猜测 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 答案是否定的但1 9 6 5 年，美国著名物理学家m d k r u s k a l 和n j z a b u s k y 5 将描 述孤立波的函数表示为 疗彳 u ( x ，t ) = 3 d s e c h 2 ￥( z d t ) ， 并在计算机上用数值模拟的方法详细考察了等离子体中孤立子碰撞的非线性作用过 程，却得出了相反的结果：两个孤立波碰撞后仍表现为两个形状不变的孤立波于 是他们就称其为。孤立子”，意思是具有某种粒子的行为和特性后来人们发现光 纤通信，神经细胞脉冲传导、木星红斑活动等都存在孤立子特征孤立子作为一种 普遍存在的非线性现象进一步激发了科学家们更大的研究热情 1 - 2孤子方程的求解 在孤子理论中，寻找孤子方程的解是非线性发展方程的一个重要的研究课题 随着孤子理论的蓬勃发展，一些行之有效的求解方法应运而生，如反散射方法【6 一、 d a r b o u x 变换【8 - 1 0 、h i r o t a 方法【1 l l 、w r o n s k i a n 技巧 1 2 - - 1 4 、b i c k l u n d 变换【3 9 删， p a i n l e v d 分析法【1 5 】、变量分离法【1 6 】等等 h i r o t a 方法提供了一种获得孤子解的简单直接的方法，其一般步骤为；首先通 过引入位势t t 的变换，将孤子方程化为双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到 双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，并可得到线性指数 函数形式的单孤子解、两孤子解和三孤子解等具体表达式，并由此猜测出孤子解 的一般表达式对于一般表达式可利用数学归纳法验证其成立，但过程比较复杂 由于h i r o t a 双线性方法以双线性导数为工具，且仅与求解方程有关，而不依赖于方 程的l a x 对，具有简捷、直观的鲜明特点，其使用范围几乎涵盖了所有反散射变换 可解的方程近年来陈登远、张大军、邓淑芳等还利用这种方法发现某些经典的等 谱方程也存在非指数函数形式的多孤子解 1 7 , 1 8 另一种有效而直接的方法是w r o n s k i a n 技巧该方法以h i r o t a 方法为基础， 即首先得到孤子方程的双线性导数形式或双线性b i c k l u n d 变换，然后选择适当的 函数构成w r o n s k i a n 行列式w ( v l ，妒2 ，妒) ，再代入到双线性导数方程或双线 性b i i c k l u n d 变换进行验证在解的验证过程中须利用w r o n s k i a n 行列式的性质与行 列式的恒等式，运算非常简洁 f r e e m a n 、n i m m o 等人应用该方法获得了一系列 方程的w r o n s k i a n 形式的解，如k d v 方程 1 2 , 1 9 、k p 方程 1 2 , 1 9 1 、b o u s s i n e s q 方 程【1 3 1 ，非线性s c h r 6 d i n g e r 方程【1 4 一，m k d v 方程【2 1 1 、s i n e - g o r d o n 方程【2 l 】， m k d v - s i n eg o r d o n 方程等等能够进行解的直接验证，这恰是w r o n s k i a n 技巧 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 的优势所在 除了孤子解可以表示为w r o n s k i a n 形式之外，其他形式的解，例如有理解一冽、 p o s i t o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解也可用w r o n s k i a n 行列式表示 有理解的w r o n s k i a n 形式是由n i m m o 和n e e m a n 【2 3 】根据a b l o w i t z 和s a t s u m a 2 7 提 出的长波求极限的观点给出的 1 9 8 8 年，s i r i a n u n p i b o o n 、h o w a r d 以及r d y 【2 8 1 将 w r o n s k i a n 元素满足的方程推广到一个下三角形式的偏微分方程，由标准的w r o n - s k i a n 过程得到k d v 方程的p o s i t o n 解、n e g a t o n 解和混合解等许多解p o s i t o n 解是 由m a t v e e v 随3 0 1 9 9 2 年引入的，这种解是由稳态s c h r s d i n g e r 方程的特征值取正值时 得到的解类似的，稳态s c h r s d i n g e r 方程的特征值取负值时得到的解称为n e g a t o n 解2 0 0 2 年马文秀 3 1 1 提出了k d v 方程的c o m p l e x i t o n 解，它是稳态s c h r s d i n g e r 方 程的特征值为复数时得到的解，这种解本质上是呼吸子【3 2 1 或高阶呼吸子他还考 虑了w r o n s k i a n 条件中系数矩阵的规范形式，利用常数变易法给出所有w r o n s k i a n 元素的递推公式最近，陈登远等将w r o n s k i a n 行列式元素满足的下三角方程推广 到任意的矩阵方程，得到a k n s 方程的新w r o n s k i 解【2 5 】张大军利用线性常微分方 程组解的结构理论及t o e p l i t z 矩阵的性质给出一种构造w r o n s k i a n 解的方法【3 3 一 1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 3 5 等证明了当s c h r s d i n g e r 方 程的位势系数按孤立子方程演化时，特征值保持不变，以此为突破点，他们利用特 征值问题的成果，发展出一套反散射方法该方法已被成功地应用到其它的非线性 发展方程中，如s i n e - g o r d o n 方程、非线性s c h r s d i n g e r 方程等等这一方法有其严 格的物理背景和数学严谨性，而且可以求出与谱问题相联系的整个等谱发展方程族 的多孤子解一般说来，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及所对应 的离散谱、连续谱等散射数据称为正散射问题，反之给定散射数据求谱问题的位势 称为反散射问题它的主要步骤是先从与方程相联系的线性问题出发，将所求的位 势归结为g e l f a n d l e v i t a n m a r c h e n k o ( g l m ) 线性积分方程，并建立散射数据与时问 的关系，然后由g l m 积分方程的解获得初值问题的解 在求孤子解的方法中，b 娩k l u n d 变换也是一种重要的求解方法b i c k l u n d 变 换是指给定方程的一组解到同一方程的另一组解或者另外方程解之间的一种关系 式，它反映的是一个方程的两组解之间或者两个方程之间的联系 3 6 _ 3 9 】1 9 7 4 年， h i r o t a 利用双线性导数的优势提出了一种从双线性方程出发直接构造b i i c k l u n d 变 换的方法所得到的变换称为双线性形式的b i i c k l u n d 变换【柏】在b i i c k l u n d 变换中， d a r b o u x 形式的变换是一种非常重要的一类变换，如果非线性偏微分方程是一对线 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 性问题( 谱问题与时问发展式) 的相容性条件，这时借助将线性问题化为自身的具有 相同的谱参数但位势不同的规范变换可得到位势函数和特征函数之间的联系。这就 是d a r b o u x 型的b i c k l u n d 变换同时也可直接从方程引出b i c k l u n d 变换称为w e 形式的b i e k l u n d 变换，一般个方程同时存在这三种形式的b i e k l u n d 变换，他们 往往是等价的 当然，精确求解孤子方程的方法远不止这些，并且不断有新的方法出现比如 曾云波等提出通过约束流来构造孤子解的方法 4 1 , 4 2 ，王明亮、张卫国、范恩贵、 李志斌等提出非线性发展方程孤波解的构造性方法【铝一删，代数几何方法，齐次平 衡法，双曲正切函数法等都极大的丰富了求孤子解的方法 1 3可积系统的守恒律 无穷守恒律是孤子方程可积的一个重要特征设给定一般非线性偏微分方程 f ( t ，z ，牡) = 0 ，( 1 3 1 ) 其中u = u ( ，z ) 是t 与z 的函数，而f ( t ，z ，u ) 是t ，z ，仳及u 的导数的函数，若存在 一对连续可微函数u ( t ，z ，“) 和j ( t t t ) ，使得当u 按方程( 1 3 1 ) 发展时满足关系 式 o t u ( t ，z ，u ) = 如j ( t ，z ，乱) ，( 1 3 2 ) 则称此关系式为方程( 1 3 1 ) 的守恒律，而w ( t u ) 和，( ，z ，u ) 分别称为守恒密度 与连带流 如果当趋于无穷时，密度与流充分快地趋于零，则将守恒律在整个数轴上 对z 积分得 爰仁u ( t , x , u ) d x = 0 ， ( 1 3 3 ) 可见积分熙“，( u ) d x 与时间t 无关而为方程( 1 3 1 ) 的守恒量这就是函数 w ( t ，z ，u ) 称为守恒密度的由来 就( 1 + 1 ) 维可积系统而言，自从m i u r a 、g a r d n e r 、和k r u s k a l 发现k d v 方程 的无穷守恒律之后m ，先后出现了一系列的构造方法，其中w a d a t i 等人作出相当 大的贡献【8 一一般说来，一个连续系统的无穷守恒律或守恒量可通过以下几个途 径来获得： ( 1 ) 通过b i i c k l u n d 变换【8 】一一般方程的b 五c k l u n d 变换都包含x - 部分和乞- 部 分由t - 部分可以构造守恒律的一般表达式，而具体的守恒密度由x 部分导出的 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 r i c c a t i 方程来获得，这一方法只与所讨论的方程有关，不受l a x 对限制，但只能获 得单个方程的无穷守恒律 ( 2 ) 直接通过l a x 对【8 】一从与方程联系的谱问题导出r i c c a t i 方程，由此按谱 参数展开得守恒密度再从l a x 对的时间发展式出发，利用相容性构造守恒律此 方法可以获得整个发展方程族的无穷守恒律 ( 3 ) 通过特征函数的形式解【镐】一根据特征函数所满足的谱问题给出用指数函 数表示的特征函数的形式解，再利用分析技巧构造守恒律该方法也是从l a x 对出 发，可以获得整个发展方程族的无穷守恒律，但是计算过程复杂，实际应用起来不 方便 ( 4 ) 通过散射问题及散射量口( a ) 的渐进展开式【4 9 】一散射量n ( a ) 可以通过线 性无关的特征函数构成的w r o n s k i a n 行列式表示，利用特征函数的渐进式可得n ( a ) 的渐进式，进而利用口( a ) 与t 无关的特点，可以得到与谱问题相联系方程的无穷多 个守恒量但该方法并不能构造守恒律 ( 5 ) 1 9 9 8 年，t s u c h i d a 和w 矾a t i 【5 0 】给出一个漂亮的迹恒等式用以获得该多元 系统的守恒律 尽管获得无穷守恒律的途径是多样的，但得到的守恒律除去全微分后一般是 相同的 1 4可积系统 对有限维h a m i l t o n 系统，其优美的几何理论已被建立，其中经典力学中著名 的l i o u v i l l e - a r n o l d 定理 5 1 】给出了h a m i l t o n 系统可积的一个充分条件对于无限 维h a m i l t o n 系统，无穷多个彼此对合的首次积分的存在并不足以引出显式解因 此，对无穷维h a m i l t o n 可积系统至今还没有一个确切的定义通常采用两种可积性 定义，即l a x 意义下的可积性与l i o u v i l l e 意义下的可积性 判断一个方程是否l a x 可积是非常困难的，迄今比较成功的方法是延拓结构 法1 9 8 3 年，d r i n f e l d 和s o k o l o v 以k a c - m o o d y 代数为工具系统地构造了k d v 方 程的l a x 表示1 9 8 5 年，谷超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出一类方程 的可积性判别准则，是这一方向上的一项重要进展 5 2 1 1 9 8 9 年，曹策问提出保谱发 展方程换位表示的新框架，促进换位表示的发展【5 3 1 1 9 8 8 年，屠规彰等提供了建立孤立子方程h a m i l t o n 结构的简单途径 5 4 1 1 9 8 9 年，屠规彰又运用约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式【5 5 一，运用这一迹恒等 2 0 0 8 上海大学项士学位论文 6 式，可以十分有效地建立相应方程族的h a m i l t o n 结构马文秀称这一格式为屠格 式胡星标将屠格式由l o o p 代数五1 推广到a 2 上，给出迹恒等式的推广形式，从 而扩大屠格式及其应用范围【5 7 1 研究h a m i l t o n 结构的另一系统的方法是由f u c h s s t e i n e r ，f o k a s 和a n d e r s o n 等 人提出的, 5 9 j 在这一方法中，递推算子发挥着关键作用确切的说，这一算子具 有由谱问题导出的发展方程族的遗传强对称性质，并且可以分解为两个与h a m i l t o n 算子有关的算子针对具有遗传强对称性质的递推算子l 的等谱发展方程族，陈登 远例给出该方程族具有h a m i l t o n 结构的一个条件；工具有逆辛一辛分解张大 军对f u c h s s t e i n e r ，f o k a s 和a n d a r s o n 等人的结论推广到离散系统【6 ” 随着对可积系统研究的深入，人们逐渐发现很多可积系统之间有内在的联系 1 9 8 9 年，曹策问提出l a x 对非线性化方法f 6 2 】曾云波、李翊神将这种方法推广到 高阶约束情形删，这种方法实质上是把原系统的位势约束到其相空间的不变子流形 上，后来称用这种方法得到的约束为对称约束，其后人们发现许多经典的( 1 + 1 ) 维 可积系统也可通过高维l a x 可积系统的对称约束非线性l a x 对得到作为一个典型 的例子，程艺等利用对称约束非线性化k p 系统的l a x 对与共轭l a x 对导出经典的 a k n s 系统 1 5本文的主要工作 本文的主要工作包括：通过h i r o t a 方法给出g d n l s e 的n 孤子解；约化得到 d n l s e 的多孤子解；利用w r o n s k i a n 技巧导出g d n l s e 的双w r o n s k i a n 解；h i r o t a 形式的解与w r o n s k i a n 形式的解的一致性被讨论；约化得到d n l s e 的双w r o n s k i a n 解；将双w r o n s k i a n 元素满足的条件推广到矩阵情形，进而求得g d n l s e 的广义双 w r o n s k i a n 解，其中包括孤子解，有理解，m a t v e e v 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解； 首次构造出g d n l s e s 的无穷守恒律，通过证明g d n l s e s 递推算子是遗传强对称 算子给出这族方程的k 一对称、丁一对称及对称的l i e 代数结构，进而研究这族方 程的h a m i l t o n 性质及l i o u v i l l e 可积性 论文组织如下： 第二章简要地叙述论文所涉及到的孤子理论一些基本概念和定理 第三章中，首先给出g d n l s e 的h i r o t a 形式的n 孤子解，然后通过约化给出 d n l s e 的h i r o t a 形式的n 孤子解 第四章中，首先给出g d n l s e 的双w r o n s k i a n 解，然后讨论h i r o t a 形式的解 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 7 与w r o n s k i a n 形式的解的一致性；第三节约化得到d n l s e 的双w r o n s k i a n 解；在第 四节中，将双w r o n s k i a n 元素满足的条件推广到矩阵情形，得到g d n l s e 的广义双 w r o n s k i a n 解，然后通过取矩阵为各种特殊的形式，得到孤子解、有理解、m a t v e e v 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解 第五章，构造g d n l s e s 的无穷守恒律，并证明g d n l s e s 递推算子是遗传强 对称算子；第三节给出这族方程的k 一对称、r 一对称及对称的l i e 代数结构；第 四节研究方程族的h a m i l t o n 性质及l i o u v i l l e 可积性 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 8 第二章预备知识 2 1 双线性导数的概念及性质 双线性导数法是由日本数学家h k o t a 提出【1 1 】并在近年发展起来的一种重要 的直接方法，它已广泛应用于求各种孤子方程的多孤子解这里我们简要叙述双线 性导数的定义与性质 设y ( t ，z ) 与a ( t ，z ) 是变量t 与z 的可微函数，引进微分算子玩与玩，使对任 意的非负整数m 和n 成立 硝d 2 ，9 = ( 侥一盈，) m ( 如一吃，) 虹，0 ，z ) 9 ( ，z ) i ，：t 。，：霉， ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与9 对t 施行m 次仇，对z 施行n 次眈的双线性导数这 种导数具有性质： 1 。函数y ( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零即当m + n 为奇数时 d m tu n 。l | = 0 0 2 1 2 1 2 。交换函数y ( t ，z ) 与a ( t ，z ) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值不变， 而导数是奇次时要改变符号 d d 2 ，g = ( 一1 ) m + “d p d 2 9 ，( 2 1 3 ) 事实上，从定义可得 d p 磷，夕= ( 1 9 l 一色，) ( 屯一吃，) n f ( t ，x ) a c t , z ) i ，：t ? ，：。 = ( 一1 ) m + ”( 印一侥) ( 吃，一以) “9 ( 一，z 7 ) ，( t ，z ) l _ t ，。：z ， = ( - 1 ) ”+ ”d d 2 9 ， 特别当m + n 为奇数且a ( t ，z ) = y ( t ，z ) 时，公式( 2 1 3 ) 化为( 2 1 2 ) 3 。函数f ( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数，即 d d ：，1 = a ；n 露，( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与z 的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 4 。两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当倍 数即设 白= w i t + 如z + f ：o o = 1 ，2 ) ， ( 2 1 5 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 则有 d p d 2 l 毋= ( u l u 2 ) ”( k l k 2 ) “e e l + 已，( 2 1 6 ) 由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零 d d ；e 6 毒，= 0 ( 2 1 7 ) 5 。设a ，b ，c 与d 为任意可微函数，则成立 ( 珑口6 ) c d + n 6 ( 理c d ) = ( 噬口d ) 幻+ a d ( p ：c 6 ) 一2 ( d = a c ) ( d z b f ) ，( 2 1 8 a ) ( 谚n b ) c d a b ( d ：c d ) = d z ( d z a d ) c b + a d ( d = c 6 ) 】，( 2 1 8 b ) ( d z a b ) c d + a b ( d z c d ) = ( d = a d ) c b + d ( d x c 6 ) ，( 2 1 8 c ) 眈柚c d = ( d 。a d ) c 6 一a d ( d z c 6 ) ( 2 1 8 d ) 2 2w r o n s k i a n 行列式及其性质 2 2 1w r o n s k i a n 行列式 设函数咖= c a t ，z ) d = 1 ，2 ，) 对一切t ，z 具有任意阶的连续导数，则向 量= ( 西1 ，咖2 ，如) t 的阶w r o n s k i a n 行列式定义为 w ( 咖l ，咖2 ，) = i 毋，咖( ，( n - 1 ) i = 1 i 1 ) 如姑 r _ 1 ) 拶。1 ) 其中? = 伊咖a 一行列式( 2 2 1 ) 常缩写为紧凑格式 w = 1 0 ，1 ，n 一1 i = i n 一1 1 ( 2 2 2 ) 更一般地。我们用j 6 ，1 2 ，f p i 表示i 咖，( ，( 。，妒( 。纠，( 。，i ，用i 爵， 2 ，b 表示l 庐( ，咖( 2 ) ，( h l j ，( 2 ) ，咖( ，) 1 由定义可以看出，w r o n s k i a n 行列式中从第二列开始每一列都是前一列对z 的 导数，所以这种类型的行列式的导数只是少数几个同阶行列式的和依照行列式按 列求导法则以及行列式的基本性质可知，一个w r o n s k i a n 行列式的导数所包含的项 数与行列式的阶数无关，而只依赖于导数的阶数 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 0 设咖= c a t ，z ) ，奶= 吗( ，z ) u = l ，2 ，+ m ) 对一切t ，z 具有任意阶的连 续导数，则向量妒= ( 咖l ，锄，咖+ m ) t ，1 f ，= ( 砂l ，仍，c n + m ) t 的( + m ) 阶双 w r o n s k i a n 行列式类似的定义为 w m ( ；妒) = 咖l咖( 一1 ) ； 妒l妒：1 ) 妒p 一1 + m j m 譬镏；c n + m 妒j - m 妒( m - 1 ( 2 2 3 ) 行列式( 2 2 3 ) 可简记为 w ，m ( ；妒) = i 咖，a ，o n 一1 妒；妒，a 妒，0 m - i 妒 = i g - = - 1 ；庐1 1 ( 2 2 4 ) 2 2 2w r o n s k i a n 行列式的性质 成立 w r o n s k i a n 行列式具有几个重要性质 性质2 2 1 【1 2 1 若记m 为n ( n 一2 ) 矩阵，a ，b ，c 和d 都是维列向量，则 m ，口，b l l m ，c ，d i i m ，a ，c l m ，b ，d i + i m ，a ，d m ，b ，c i = 0 ( 2 2 5 ) 事实上，构造2 n 阶行列式 1 兰po 川l ， ( 2 2 6 ) 兰ll ，( 2 6 ) 0m 口bcd 从后行的每一行减去前行的相应行得 i ：l mo 0 6 州i ， ( 2 2 7 )= ll ，(7 ) 卜mm 0 0 0 0 再将第n 一1 列，列，2 n 一4 列依次加至第一列，第二列， ，第n 一2 列，有 a ：imo 州l ， ( 2 2 8 ) = il ，( 2 ) l 0m0 0 0 0 可见行列式的值为零将( 2 2 6 ) 按前行展开，应用著名的l a p l a c e 定理，即得 所要的等式( 2 2 5 ) 性质2 2 2 【1 2 】设a a j = 1 ，2 ，n ) 是具有个分量的个列向量，一j ( j = 1 ，2 ，) 是个不为零的实常数，则成立 ( 2 2 9 a ) 口 町 72 口口 硝 = 口 2 nn 斟 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 1 式中7 a j 为列向量 f a j = ( y l a l j ，一f 2 a 2 1 ，7 n a n , ) t ( 2 2 9 b ) 事实上。设元素n i j 的代数余子式为a 玎，于是( 2 2 9 a ) 的左端可展开成 ( 2 2 1 0 ) 此即为( 2 2 9 a ) 的右端 性质2 2 3 1 3 4 1 设a = ( ) n 是一个n 阶矩阵，它的列向量和行向量分别为 和岛u = 1 ，) p = ( p i j ) n 是一个阶的算子矩阵，则有 隗 尻一1 r s | z s + l 1 3 n 其中q 哟= ( p l j a l j ，p 2 j a 2 j ，p n j a n j ) t ，风风= ( p s l a 8 1 ，p s 2 a 8 2 ，p s n a 。) 事实上，( 2 2 1 1 ) 的左端为 ( 2 2 1 1 ) 恰是( 2 2 1 1 ) 的右端 此性质说明算子只f 分别作用于行列式各列向量相应元素所得个行列式之 和与分别作用于行列式各行向量相应元素所得、r 个行列式之和相等 2 3 对称及h a m i l t o n 系统的基本概念 定义2 3 1 设t = u ( t ，z ) 是在整个数轴上定义的光滑函数，而k = k ( t ，z ，t i ) 是，x ，t l ，o u ，伊u ，0 1 u ，a 一3 u 的连续函数且具有对各变数的连续偏导数，则对 任意的函数h ( t ，z ，t ) 和实参数，k 在方向h 上的g a t e a u x 导数定义为 k i n = 乏k ( 缸，t + 如) i , - - o ， ( 2 3 1 ) 一= i a 一= i n 侃 澍 博 = 一= a 一： n 触 侃 谢 i i n 2 o 叽仉 汹 耐 = n “ 叼q o 毗 筒 曲 a 一 a 硝 汹 i i 神 a u 口 斟 触 = 口 “ qom 硝 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 2 g 鑫t e a u x 导数具有通常导数的运算法则，例如乘积求导的l e i b n i t z 法则设f = f ( t ，z ，u ) 与g = c ( t ，z ，t ) 的g a t e a u x 导数都存在，则其乘积f g 的g a t e a u x 导数也 存在，且成立 ( f g ) ，【 】= f ，【l 】g + f g ，【i l 】( 2 3 2 ) 定义2 3 2 设非线性发展方程 u t = k ( t ，z ，u ) ，( 2 3 3 ) 的线性化方程为 o t = k 矿，( 2 3 4 ) 则称方程( 2 3 4 ) 的解仃为方程( 2 3 3 ) 的对称 定义2 3 3 若存在不显含时间t 的线性算子圣= 西( u ) 满足等式 西【k 】= k 7 垂一圣j r 7 ， ( 2 3 5 ) 则称圣为方程( 2 3 3 ) 的强对称算子 定义2 3 4 若对任意的函数，= f ( t ，z ，t 1 ) 与g = g ( t ，x ，t ) ，线性算子圣= 圣( t 1 ) 满足等式 西7 v f g 一圣 西9 】，= 圣( 圣7 【门9 一圣【g 】，) ，( 2 3 6 ) 则西称为遗传对称算子 与g 茂t e a u x 导数密切相关的另一类导数是泛函导数 定义2 3 5 设给定实值泛函w = w ( t ，z ，t ) ，如果存在函数，= l ( t t ) ，使对 任意函数h = h ( t ，z ，u ) 。均有沿方向h 的g & t e a u x 导数等于，与h 的内积 w 协】= ( ，九) ， ( 2 3 7 ) 则，称为的泛函导数或梯度，记为 _ 5 w ：v ：9 r n d ：，( 2 3 8 ) o u 定理2 3 1 删设，= ，( t ，z ，u ) 是实值泛函w 的泛函导数，= 尝，则，的 g a t e a u x 导数，为对称算子，= ，；反之，若，坪= ，7 ，则，是泛