（计算机应用技术专业论文）非线性理论在信息安全及景观模拟中的应用.pdf

摘要 非线性理论由三大理论构成：混沌理论、分形理论、孤立予理论。对非线性理论的 研究常常以理论研究为主，本文在非线性理论研究的基础上探讨了混沌保密通信、分形 自然景观模拟两个实际应用方向。 本文研究了复合l o g i s t i c 映射不动点的性质，给出了参数空间中复合l o 百s t i c 映射 发生第一次分岔的边界方程。采用系统混沌的定量判据准则，揭示出复合l o g i s t i c 映射 从规则运动转化到混沌运动所具有的普适特征：按倍周期分岔走向混沌；复合 l o g s i t i c 映射存在混沌危机及逆分岔现象；同时，本文分析了复合l o g j s t i c 映射临界点 的轨道，给出了复合l o g i s t i c 映射m a n d e l b r o t j u l i a 集的定义，并构造了一系列复合 l o 西s t i c 映射的m a l l d e l b r o t j u l i a 集。同时探讨了复合l o g i s t i c 映射的m a l l d e l b r o t j u l i a 集 的对称性。阐述了i f s 理论及随机迭代算法，通过理论解析给出了求由两个仿射映射所 构成的一类i f s 吸引子的界的方法，介绍了i f s 吸引子的l y a p u n o v 指数和关联维数的 算法，分析了i f s 吸引子的动力学特征。 利用l o g i s t i c 映射、h e7 n o n 映射的遍历特性，提出了基于搜索机制的混沌加密算法： l 0 9 1 s t i c 映射字符加密算法、h e n o n 映射加密算法。对不同文件类型的文件如文本文件、 图像文件、视频文件等进行了加密解密测试，测试结果表明满足常规的保密通信要求。 对提出的基于搜索机制的混沌加密算法进行了已知明文攻击及安全性分析，最后给出了 抵抗已知明文攻击的改进措施。 将二维( 2d i m e n s i o n ，2 d ) 迭代函数系统( i f s ) 分形理论推广到3 di f s 分形理论，并 且利用本文给出的3 di f s 吸引子模型生成了一些自然景观。将彩色空间理论与i f s 分 形理论相结合，提出了q 甲一i f s ( q 甲表示r g b 、c m y 、y i q 、h s v 或h l s ) 模型，并 利用本文提出的真彩色i f s 模型构造了一系列2 d 、3 do q 甲i f s 吸引子( 即真彩色i f s 吸引子自然景观) 。 关键词：混沌；分形；l o g i s t i c ：迭代函数系统；界：信息安全；自然景观模拟 韭堑世罂论在值恳室全盈量狸摄毯圭曲应用 0 前言 本章是全文的引言。首先简单介绍了非线性理论以及本理论的一些相关实际应用； 然后交待了本论文所作的一系列的工作，使读者整体上了解论文，并对面临的主要工 作有一个概括性的认识；最后给出了章节安排，使读者对文章结构有一个大致的了解。 非线性理论主要有三个重要部分构成：混沌理论、分形理论、孤立子理论。本文 的研究重点放在了混沌、分形理论研究以及混沌、分形理论在计算机领域的实际应用。 混沌理论基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮大于2 0 世纪g o 年代，被认为是继相对论、量子力学，2 0 世纪人类认识世界和改造世界的最 富有创造性的科学领域的第三次大革命。混沌理论与计算机科学理论等领域相结合， 使人们对久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观世 界的复杂性方面发挥了巨大作用。混沌保密通信大致分为三类：第一类是直接利用混 沌进行保密通信；第二类是利用同步的混沌进行保密通信；第三类是混沌数字编码的 异步通信。混沌保密通信具有许多优点：( 1 ) 保密性强，因为具有宽带特性，特别是利 用时空混沌增强抗破译、抗干扰能力；( 2 ) 具有高容量的动态存储能力；( 3 ) 具有低功 率和低观察性；( 4 ) 设备成本低等。目前已经提出的同步混沌保密通信技术主要有：混 沌掩盖技术、混沌调制技术、混沌开关技术。 分形理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。在过去 2 0 多年中，分形理论已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并使得一系列研究取 得突破性进展。分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是 自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论在图像、数据压 缩技术中发挥了重要作用。b a m s l e y ，c o l l a g e 等应用迭代函数系统编码在分形信息压 缩方面做了有益的尝试。8 0 年代末，美国数学家b a m s l e v 提出了一种利用图像本身的 复杂性中包含的自相似性进行压缩编码的新方法。b a r n s l e v 和s l o a n 在一篇文章中令 人惊讶地宣称，利用他们的方法对静止图像压缩可获得高达1 0 ，o o o ：1 的压缩比。因此， 分形技术是计算机真实感几何造型方面十分活跃并且有效的方法和手段。分形方法提 供了一种描述自然界各种生长现象的新的模型。著名的d l a 模型和l 一系统模型在模拟 无机生长现象和植物生长形态描述方面取得了令人鼓舞的成功，各种新的模型和方法 也正在不断发展之中。 本论文所作的工作有以下三个方面：对非线性理论中的混沌、分形理论进行了 一些基础理论研究。分析了复合l o 西s t i c 映射的非线性特征发现了复合l o 舀s t i c 映射 的逆分岔现象，对一类i f s 吸引子界进行了动力学特征分析。分析并且改进了基于 搜索机制的混沌加密算法。给出了基于搜索机制的l o g i s t i c 映射加密算法、h d n o n 映 射加密算法。将i f s 吸引子分形景观模拟推广为真彩色i f s 吸引子自然景观模拟， 同时采用本真彩色i f s 吸引子模型描绘了一系列的二维、三维自然景观。 本论文一共由五章构成。第一章主要交待了本论文所涉及的一些非线性理论。第 二、三、四章为本论文的主要工作内容。其中第二章是对复合l o g i s t i c 映射的非线性 特征以及i f s 吸引子界进行了分析，第三章对基于搜索机制的混沌加密算法进行了研 究，第四章对真彩色i f s 自然景观模拟进行了探讨。第五章为论文总结与展望。 韭垡世堡监廷篮最塞垒霆量塑攫赵生鲤廛旦 1 本文涉及的非线性理论 1 1 混沌理论及其应用 1 1 1 混沌理论及其算法 非线性混沌、分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后， 发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的 统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。混沌、分形理论被认为是继相对论、 量子力学，2 0 世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造眭的科学领域的第三次大革 命【1 1 。 1 9 0 3 年p o i n c a r e 在他的科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他指出三体 问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而 p o i n c a r e 成为世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人【”。2 0 世纪的2 0 、3 0 年代， gd b j r k h o f f 紧跟p o i n c a r e 的学术思想，建立了动力系统理论的2 个主要研究方向： 拓朴理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，a n k o l m 0 2 0 r o v 与v - i a r n o l d 及j m o s e r 深入研究了h a m i l t o n 系统( 或保守系统) 中的 运动稳定性，得出了著名的k a m 定理，k a m 定理为揭示h 锄i l t o n 系统中k a m 环面 的破坏以及混沌运动奠定了基础。给出混沌解第一个例子的是1 9 6 3 年美国数学家e n l o r e n z 的在美国大气科学杂志上发表的文章“确定性的非周期流” 3 】。在他的天 气模型中，l o r e n z 看到了比随机性更多的东西，看到了一种细致的几何结构，发现了 天气演变对初值的敏感依赖性。l o r e n z 提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶煽 动几下翅膀，可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候”。这被称为“蝴蝶效应”。 用混沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。1 9 7 5 年，tyl i ( 李天岩) 和j a y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，被认为是混沌的第一次正式表述，c h a o s 一词也自此正式使用1 4 】。现如今，混沌己成为各学科竞相注意的一个学术热点。确定 性系统的混沌使人们看到了普遍存在于自然界而人们多年来视而不见的一种运动形 式。混沌无所不在，它存在于大气中，海洋湍流中，野生动植物种群数的涨落中，风 中飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋涡中世界是混沌的，混沌遍世界! 为了研究混沌运动，我们可以采用直接观察状态变量随时间的变化这种直观的方法 和在相空间( 或相平面) 观察其轨迹。但是混沌运动很复杂，有时直接观察状态随时 间变化目口使时间极长，也不能看出一点头绪。直接观察相空间或相平面中的轨线固然 不失为有效方法，但是运动复杂时，轨线可能是混乱一片，甚至很可能充满某一区域 而看不出什么规律。由于以上两方面的局限性，为了研究混沌运动，还必须有其他有 效方法。下面介绍的几种方法，可作为混沌的诊断与判据。 1 、相空间重构：实际问题中，我们往往可以得到一个等时间间隔的单变量的时间 序列。传统的做法是直接从这个序列去形式地分析它的时间演变，这有很大的局限性。 因为时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴藏着参与运动的全部变量的 韭堂篷堡监垄信息塞全厘基强燕型空曲廛且 痕迹。而且，形式上看，序列似乎是随机的，但实际可能包含混沌运动的信息。而混 沌运动至少在三维自治动力系统中才能出现。因此，我们要把时间序列扩展到三维或 更高维的相空间中去，才能把时间序列的混沌信息充分地显露出来，这就是时间序列 的重建相空间。 2 、功率谱分析法：研究复杂非线性系统的运动常用到功率谱，它是由相空间中坐 标的f o u r i e r 变换求得的。这里介绍w e l c h 所提出的平均周期图方法来计算标量信号的 自功率谱估值。该方法要点如下： 设序列x n ) ( = o ，1 ，一1 ) 的功率谱为匕洄) ，把x ( ”) 序列分成长度为三的k 个 重迭段，就可求得修正的周期图谱估计。在实现过程中，诸序列段重叠三2 个样点， 诸序列段的总数目为足= ( 一，2 ) ( 上2 ) 。第f 段的数值定义为 x ，( m ) = x ( 见，2 + m ) w 。，( m )( 卅= o ，l ，三一1 ；f = o ，l ，足一1 ) 其中w ，( m ) 为工个点的数据窗函数( 如：矩形窗函数，汉明窗函数等) 。经窗处理 后序列段z ( 州) 的m 点( m 工) 离散付里叶变换： 置( t ) ：芝一( m ) p _ ，鲁“( 女：o ，1 ，m _ 1 ，f _ o 1 ，k 1 ) 是用f f t 算法计算的( 如果工 o ，其中p ，= 1 。取并且依照递归方式独 k 1 立地取 x 。 w l ( x 。一1 ) ，w 2 ( x ，卜1 ) ，w ( x 。一1 ) j ， ”= 1 ，2 ， 其中事件x ，= w ，( x 一) 的概率是n 。选取充分大的整数。，则序列 x 。h 。 收 敛于i f s 的吸引子a 。 同样拼贴定理1 5 也保证了在计算机屏幕上，利用随机迭代算法迭代”次i f s 后 的分形集e 就是这个i f s 的吸引子a 的一种逼近。 1 2 2i f s 景观模拟 分形模拟自然景观所涉及的主要学科包括计算机图形学、仿射几何、形式语言等， 并且它们也都因此而突然变得活跃起来。分形几何的基本特征是自相似性，即局部结 构与整体结构相似的特征。这种相似性，形成分形体的层次结构，各个层次之间以一 定的标度因子相联系，即其有标度不变性。因而，分形集应与所谓相似变换相关。另 一方面，层次结构实际上反映了一种递归性质。所以，可以通过相似变换的递归迭代 过程产生分形结构”7 。”。这类分形称为i f s 的分形吸引子。迭代函数系统( i f s 简称迭 代函数系自然景观模拟的方法是美国佐治亚理工学院的b a r n s l e y 教授首创的。在构造 i f s 吸引子时，一个十分重要的问题是预测i f s 吸引子的界，否则只能基于所计算出 的i f s 吸引子上的几个点近似估算i f s 吸引子。预测i f s 吸引子的界，将对分形理论 的信息压缩以及图像重建自然景观模拟等都具有重要理论意义”。”j 。 在分形图像压缩中，首先要将所给待压缩现实图像近似看成一个分形图，再寻找 一个以该分形图为吸引子的i f s 。最后，要求出确定该i f s 的参数做为现实图像的“分 形编码”。这样，现实图像的信息就“浓缩”在了“分形编码”i f s 参数之中，从 而达到信息的压缩。反之，根据“分形编码”所提供的信息，利用随机迭代算法、确 定性算法等可以生成近似的现实图像。分形解码过程就是本文的分形自然景观模拟过 程，如图1 4 所示。 考虑如下的仿射变换 图1 4i f s 模拟与分形压缩 f i g u r e1 4i f ss i m u l a t i o na n df r a c t a ic o m p r e s s j e 些焦垄监延篮息室全盈基堑燕拯史曲应用 2 非线性映射混沌、分形及i f s 吸引子界 2 1 复合l o g i s t i c 映射的混沌与分形 】9 7 6 年，m a y 提出了描述昆虫种群数涨落的l o g 确c 映射 x ，+ = 厂( x ，) = 工，( 1 一x ) 卢【o ，4 】x o ，1 ( 2 1 ) 1 9 7 8 年，f e i g e n b a 哪发现l o g i s t i c 映射是经过倍周期分岔达到混沌的。这种周期不断 加倍的方式被d o u a d y 和h u b b a r d 称为单调性分岔。1 9 9 2 年，k 且n 等人在h e n o n 映 射中发现了非单调性分岔( 并将其称为逆分岔) ：随控制参数的增加，系统从混沌经过 周期不断减半的方式而达到菜一周期状态。1 9 9 9 年，k u r u v i l i a 和n a n d a k u m a r a l l 利用 逆分岔成功地抑制了半导体激光器中的混沌】。由此可见对逆分岔现象的研究不但具 有理论意义，而且还具有应用价值。he n o n 映射出现逆分岔的主要原因是：二维 h e n o n 映射比一维l o g i s t i c 映射复杂，使得分岔的形式多样化f 2 ”。那么一维复合 l o g i s t i c 映射 置+ 。= ( ，( t ) ) = 【腭( 1 一t ) 】 1 一p r ，( 1 一x ，) 】( 2 2 ) 是否会出现逆分岔现象昵? 为便于研究，作者将式( 2 2 ) 改写为 1 x ，“= g ( x ，) = 一三石，( 1 一x ，) 【x ，( 1 一x ，) 一；】，7 【o ，1 0 2 4 9 】x o ，1 】 ( 2 3 ) 而基于式( 2 - 3 ) 所得到的复映射 1 z 川= 一 z ，( 1 一z ，) z ，( 1 一三，) 一丢】+ c ( 7 7 ，c c ) ( 2 4 ) 斗6 的m a n d e l b r o t - j u l i a 集会出现什么图形? 它们又将给我们什么启迪呢? 为此，本论文对 复合l o g i s t i c 映射的动力学行为进行了研究。 2 1 1 复合l o 舀s t i c 映射的混沌 2 11 1 第一次分岔 由式( 2 3 ) 可求出 1】1 g ( x ) = 一叩( x 一言) ( x 一言) ( x 一三) ( 2 5 ) 故复合l o g i s t i c 映射的临界点为x = l 4 ，l 2 ，3 4 。当x = l 4 或3 4 时，式( 2 3 ) 具有极大 值9 _ 1 0 2 4 ；当x = 1 2 时，式( 2 3 ) 具有极小值，7 1 2 8 。若设o 吁1 0 2 4 9 “1 1 3 7 7 8 ，则 满足g ： o ，】【d ，1 】。用y = g ( 苫) 表示复合l o g i s l i c 函数，图2 1 为q = 2 0 、5 0 、8 0 和 1 1 0 的复合l o g i s t i c 函数曲线。可见曲线的结构与上述分析的结果相符。 韭线性型业延篮最垂全丛量理燕赳虫的逛旦 图2 ，1 _ ；2 0 ，5 0 ，8 0 ，1 0 0 时的复合l o 舀s t i c 函数曲线 f i g u r e 2 1 t h ec u r v eo f c o m p o u n dl o g j s t i cm a pw h e n 2 0 ，5 0 ，8 0 ，1 0 0 分析复杂的非线性系统可用在相空间观察其轨道的方法。非线性系统随时间的演 变将趋向于维数比原来相空间低的极限集合吸引子。通常的简单吸引子有不动点、 极限环和环面，简单吸引子又受控制参数的影响，随着控制参数的变化，简单吸引子 可逐渐发展为奇怪吸引子，此时系统是混沌的。这种当控制参数变化到某个临界值时 而使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔，它是非线性系统内部固有的一 种特性。1 9 8 1 年，e c k m a n n 曾对各种可能的分岔现象进行了研究，归纳出走向混沌的 三种途径：f e i g e n b 鲫m 途径( 通过叉状分岔) ；r u e l l e - t a k e n s n e w l u s e 方案( 通 过h o d f 分岔) ；p o m e a u m a n n e v i l l e 途径( 通过阵发混沌) 【2 5 】。 研究式( 2 3 ) 的混沌，可从对其不动点的稳定性分析开始。设其不动点为五，则不 动点为下列方程的解 t 11 丘2 一昔丘( 1 一矗) 矗( 1 一丘) 一尹 ( 2 t 6 ) 由式( 2 6 ) 可得不动点k ) = o ，其余不动点是方程 一+ 兰 1 。未舢 ( 2 7 ) 4 23 2 。 3 2 。 、 的实数解。设矗= y + 2 3 ，则式( 2 7 ) 可化为 y 3 + ，叫+ g = o( 2 8 ) 其中p = l 2 4 ，g = 4 叩一1 l 2 1 6 。方程( 2 8 ) 的判别式为= ( g 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 叩【0 ，1 0 2 4 9 ， o 。由三次方程解的公式：此时方程( 2 8 ) 有一个实根。这样可 求出另一不动点 | e 垡整堡垃延值垦童垒丛量塑攥型里啦堕旦 时，其分岔值从( 玎= l ，2 ，) 序列收敛过程中，间隔比的极限占= 4 6 6 9 2 0 ，是一个普 适常数，被称为f e i g e n b 姗常数，它反映了倍周期分岔通向混沌道路的规律性田】。基 于f e i g e n b a u m 的思想，作者利用解析计算和实验分析相结合的方法，求出复合l og i s t i c 映射通向混沌道路上出现倍周期分岔的分岔值玑，( = 1 ，2 ，) 序列的间隔比极限分别为 - l i m 盈! 乙= l = 4 6 6 5 4 8 ( 2 1 0 ) ”碡i + l 一即” 由式( 2 1 0 ) 可见，作者计算的占与f e i g e n b a u m 常数占相差很小。这说明l o g i s t i c 映射与复合l o g i s t i c 映射所决定的系统具有一些共同规律：即在通向混沌道路的一系 列倍周期分岔过程中，在参数空间和相空间中都表现出自相似性和尺度变换下的不变 性。这种演化过程在非线性系统中带有通有的( g e n e r i c ) 性质。 2 ，1 1 - 3 功率谱分析 鼍 i 鲁 益 们 矗 蛊 f r e q u e n c y 但z ) ( a ) 叩= 1 0 0 鼍 i 宅 拉 缸 蔷 f r e q u e n c y ( b ) 叩= 1 0 1 鲁 i 鲁 矗 昌 皂： 日 皂- 岂 。 。 苫 f r c q u e n c y ( c ) 叶= 1 0 23 p f c q n c y f r c q u e n c y f ”驴c n c y ( d ) n2 1 0 24 ( e ) 1 12 l l l6 8【nn = 1 1 36 图25 系统( 2 3 ) 吸引子的功率谱 f i g u r e 2 5t h ea t t c ”a t o rp o w e rs p e c t r a lo fs y s t e m ( 23 ) 根据w e l c h 的平均周期图方法，我们编制了功率谱分析软件，以便于研究式( 2 3 ) 的动力学特征。计算中所用数据为式( 2 3 ) 迭代1 0 0 0 次后所得到的x 。( n = l ，2 ，3 ，) 序列 值，y 。值舍弃不用。选取采样频率为l h z ，计算了系统( 2 3 ) 的某些吸引子所对应的功 率谱( 如图2 5 所示) 。分析中所用的参数为：f f t 长度掰：1 0 2 4 ，窗形：矩形窗，窗 长l ：1 0 2 4 ，数据总量v ：1 0 0 0 0 0 ，分段数目k ：1 9 4 。 田p)b扫昔a矗譬。山一铝_)m扛甚4矗事。山 韭毯世堡监查1 直星塞全屈量现攫越主盥应旦 一 2 1 1 4 关联维数和l y 印u n o v 指数的计算 根据g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 所提出关联维数d 2 的算法，作者编写了d 2 的计 算程序，并利用该程序对h n o n 映射的维数进行了试算，验证了程序的正确性【2 9 1 。 根据b r a i l d s t a t e r 和s 淅n n e y 对圆c o u e n e 流系统奇怪吸引子的d 2 计算时参数的讨 论】。选取如下参数：采样频率为1 h z ；嵌入维数m 值是经过多次试算，发现所得吸 引子的d 2 趋于稳定时得到的；数据总量为1 0 0 0 0 。作者计算出系统( 2 3 ) 吸引子的l n r l n c ( r ) 关系曲线如图2 6 所示，d 2 的计算结果见表2 1 ( 因周期吸引子的性质相似， 故本文仅计算了有代表性的图2 2 ( b ) 吸引子的d 2 ) 。 t # n i s k h b 量 b 量 - l 么j ， l n ( r )l n ( r )i n ( r ) ( n )= l ：【m = 4 2 m = 6 3 叫= 8 ( b 】、= i i l6 8 ：】口= 4 ，2 叫6 ：j w = 8 ( c ) t = ： 6 ：l 巾i ，2 一= 6 ，3 m = h 图2 6 系统( 2 3 ) 吸引子的l n ，i n c 关系曲线 f i g u r e 2 6 t h er e i a t i v ec u r v ei n ，i n c ( ，1o f a t t r a c t o r s i n s y s t e m ( 2 3 ) 表21系统( 2 3 ) 吸引子的关联维数d 2 t 曲l e 2 1l h er e l a t i v ed i m e n s i o nd 2o fa t t r a c t o r si ns y s t e m ( 2 3 ) 表2 1 中平均值d 2 无解是因为图26 ( a ) 中不存在无标度区。 分维数可对奇怪吸引子的几何特征及集于奇怪吸引子上的轨道随时间的演化情况 进行数量上的描述。分维数的大小反映了具有分形结构的奇怪吸引子所占空间的程度： 奇怪吸引子的维数越大，空间被它占有的部分越大，其结构越致密，系统越复杂：反 之，则结构越稀疏，系统越简单。 韭誊世理监廷信显窒垒盈孟理燕毯生曲廛旦 ：咿_ 利 坩，、f 4i 、，y 五111 五 ； _ l j ，7 ( a ) 叶【0 ，1 1 4 】 玎 d ) 目【1 1 0 ，i i2 歹j 1 y r 。f 玎 ( b ) 【9 4 ，1 0 4 了1 1 刀 ( e ) 口 1 1 0 9 i i i1 】 一栅胛栅 y i t t i i | ，7 i c ) 口【1 0 2 1 0 4 l ”i y1 旷f 图2 7系统( 23 ) 的l y a p u n o v 指数图 f i g u r e 2 7l y a p u n o ve x p o n e n t i a lf i g u r eo f s y s t e mf 2 3 1 叩 d 口e 【i i l6 4 1 1 l7 8 】 利用第一章给出的l y a p u n o v 指数定义，计算时让方程( 2 3 1 最初的1 0 0 0 次迭代被 抛弃，以保证系统的轨道已收敛到吸引子上，然后再让方程f 2 3 1 迭代1 0 0 0 0 次，作者 计算出控制参数变化时系统f 2 3 1 吸引子的l y a p u n o v 指数旯的变化曲线( 图2 7 ) 。观察 图2 7 ( a ) ，当r 1 0 2 5 2 时，有五 0 ，故系统进入混沌，但混沌区存在明显的周期窗口 ( 对应a l ，则称点为斥性的。利用著名的m o n t e l 定理作为出发点，可以得出g 的j u l i a 集t ，。为暑斥性周期点的闭包。 定义2 1 设g ：= = 一詈2 ( 1 一z ) z o 一= ) 一a + c 为黎曼球d 上n 复n n ，表示c 中 那些轨道不收敛到无穷远点的点z 的集合，即： = z c ： ( g ”( z ) ) 二l 是有界的 称此集为相应于g 的充满的j u l i a 集，疋的边界称为复映射g 的j u l i a 集，记为j 。，即 jg = 6 f ：。 在复动力学研究中，临界点的轨道起着主导作用，所谓临界点即是使( z ) = 0 的 点。故由式( 2 5 ) 可知g 的l f 岛界点为矗2 。= 1 4 ，1 2 ，3 4 。由式( 2 3 ) n 知i g ( 1 4 ) = g ( 3 4 ) ， 故临界点z ：”= 1 4 的前向轨道0 + ( 1 4 ) = 1 4 ，g ( 1 4 ) ，9 2 ( 1 4 ) ，) 与临界点z 扩= 3 4 的前 向轨道0 + ( 3 4 ) = 3 4 ，g ( 3 4 ) ，9 2 ( 3 4 ) ，) 相同。为此作者给出m a n d e l b r o t 集定义如下： 定义2 2 设g ：z = 一等z ( 1 一z ) z ( 1 一z ) 一匀+ c 为黎曼球e 上的复映射，对于给定的 吁，m 。表示c 中z ( j = 1 ，2 ) 点的轨道有界的复数c 的集合，即 2 m 。- - n m ：”， 彳；”2 m 。( 磊) 2 c e c ： g ( zc o j ) ) ：9 - 界- ( ，= 1 ，2 ) ，z 2 = 1 4 ，1 2 ，= l 则称m 。为相应于只的m a n d e l b r o t 集。 1 9 8 9 年，w e l s t e a d 和c r o m e r 曾提出了构造经典m a n d e l b r o t 集的逃逸时间算法与 周期点查找算法o ”。本论文推广该方法，并利用该方法构造了复合l o g i s t i c 映射的 m a n d e l b r o t j u l i a 集。具体方法为： ”1 ( i ) 对于复映射g ：z = 一等：( 1 一z ) z 0 一z ) 一二】+ c ，若构造m a n d e l b r o t 集，则取视窗 q -6 坝w 亡c ) 内的点c o ；若构造j u l i a 集，则设定复常数c ，并取视窗瞰矽c 动内的点z o 。 然后利用逃逸时间算法判断c o 或奶是否属于m ，或f ，。若c o m 。或z o e f ，则判断 c o 或z o 周期性，即求出i g p ( c 0 ) 一c o l a - 或k 9 ( 气) 一知l ( s 为误差范围，一般s 取1 旷5 ) 成立的最小正整数p ，然后根据p 值赋予c o 或z o 点相应的颜色；若c 0 6 取或劲瓦， 则赋予c o 或2 0 点为白色。 ( i i ) 重复过程( i ) ，直到穷尽视窗缈内所有的点，即可获得m a n d e l b r o t j u l i a 集。 j e 堡蛙型论在筐恳塞全星量盥搓赵虫曲直围 2 1 2 2j u l i a 集 图2 8 为利用逃逸时间与周期点查找结合法所构造的复合l o g i s t i c 映射的广义 j u l i a 集。图中白色为逃逸区：彩色为稳定区，其中蓝色代表1 周期，绿色为2 周期区 域，青色为3 周期，红色为4 周期，紫色为5 周期，黄色为6 周期，深灰色为7 周期， 浅灰色为8 周期，黑色为9 周期，。 i j r 20 , 5 c 200 i l4 6 2 5 io ) q 20 5 ，c 2 - 0 9 7 + 06 i( k ) 2 05 c 2l4 + 09 2 5 i1 ) 口2 05 ，c 525 2 0 4 i 图2 8 复合l o g i s t i c 映射的j u l i a 集 f i g u r e 2 8j u l i as e t so f c o m p o u n dl o g i s t i cm a p 由图2 8 可见j u l i a 集并不具有从一周期开始的连续周期，而是只具有某些周期区 域。当复常数c = 0 时，j u l i a 集的周期区域较少；c 0 时，j u l i a 集周期变得比较复杂。 当c = 0 且l m ( 叩) 一0 时，随r p ( 咖的增加，j u l i a 集的周期区域增多，结构变得复杂( 图 2 ，8 ( a ) - 2 8 ( a ) ) ；若r e ( ，7 ) = 0 且胁( r ) 0 时花瓣又表现出逆时针旋转的特征( 图2 8 ( e ) 2 8 ( h ) ) 。若固定，7 = 韭缮挂堡监廷焦星蟊全丝蠡班援型生曲壁出 0 5 ，改变参数c ，则j u l i a 集的结构和周期区域将发生明显改变( 图2 8 ( i ) - 2 8 ( 1 ) ) 。 定理2 1 由复映射g ：z = - - 署2 ( 1 一z ) z ( 1 一z ) 一百3 + c 构造的j u i i a 集具有4 倍的旋转 对称性。 证明：设他国= 2 2 + v ，若令坂= ) = + 麒口0 ) ，则h - ( 识( 讯z ) ) ) = ( 矿= 2 + 2 0 皿+ 矿一y 一历屈。 可见适当地先取a 、和v 的值，就可以得到二次函数p ( z ) 3z ( z 一1 ) + i 。此时因为 妒= h 吼厅，所以动力系统 0 ，吼) 与 0 ，西是等价的由此。对识，轨道性质的研究， 就能有效地了解相应的二次多项式妒的轨道性质。依此类推， g ( z ) = 一罟z ( 1 一z ) 【z ( 1 一z ) 一尹3 + c 轨道性质的研究与g ，( = ) = 矿+ y 轨道的性质相同n 2 f j g ：( = ) = g ：( z e 4 ) ( k = 1 ，2 ，3 ，；j = o ，1 ，2 ，3 ；v 为逃逸时间限制) ，又基于文献瞄1 ，可知 所以复映射g 的j u l i a 集及其周期区域具有4 倍的旋转对称性。 定理2 2 由复映射g ：2 = - - 署z ( 卜2 ) 【z ( 1 一z ) 一尹3 + c 构造j u l i a 集，若c 3 o 且砌( 刁) = 0 ，则有 g ( z ) = g ( 手) = g ( 一手) ( 尼= 1 ，2 ，3 ，一，) 利用数学归纳法易证定理2 2 。该定理说明：当c = 0 且而( 玎) = 0 时，j u l i a 集关 于x 轴和y 轴皆对称。 21 2 3m a n d e l b r o t 集 图2 9 为复合l o g i s t i c 映射的m a n d e l b r o t 集其中不同色彩的点所代表的周期值 与j u l i a 集的相同。由图2 9 可见：m a n d e l b r o t 集与复映射z + _ z 3 + c 的m a n d e l b r o t 集 相似：当r e ( 巧) = 0 或伽( 功= 0 时，m a n d e l b r o t 集具有对称性( 图2 9 ( a ) 9 ( d ) ) ：当 艇( r t ) 0 且砌( 们0 时，m a n d e l b r o t 集不具有对称性( 图2 9 ( e ) 一2 9 ( h ) ) 。 定理2 3 若r e ( 印) = 0 或l m ( r 1 ) = 0 ，则由复映射g ：z = 一等z ( 1 一z ) k ( 1 一z ) 一+ c 构造的m a n d e l b r o t 集具有3 倍的旋转对称性。 证明：根据定理2 1 ：g ( z ) = 一等z ( 1 一z ) z 0 2 ) 一习+ c 轨道性质的研究与 g ，( ：) = r y , 4 + ，轨道的性质相同。又基于文献2 “，当r e ( 7 7 ) = 0 或i m ( 7 7 ) = 0 时，有 韭线世堡监延信基童垒尽量麴堪型虫殴堙崩 ( = l ，2 ，3 ，；- ，= o ，1 ，2 ) ，所阱此时m a n d e l b r o t 集峨具有3 倍的 旋转对称性( 图2 9 ( a ) - 2 9 ( d ) ) ，但由周期点定义知周期区域并不具有旋转对称性。 t a ) 口；05 i( b ) 口= 一o 5 ic ) 口05( d ) 口2 05 ( e ) h = o 5 + 05 ii dh 2 - 05 05 i( g ) 口25 - 5 i 图2 9 复合l o g i s t i c 映射的m a n d e l b r o t 集 f i g u r e 2 ，9m a n d e l b r o ts e t so f c o m p o u n dl o g i s t i cm a p ( a ) 2 05 ( a ) 目2 05 ( b ) 各周期区域所占面积的比例 b 1p r o p o r t i o nt h a te v e r yp e r i o dp o i n t so c c u p i e d 幽2 1 0 复合l o g i s t i c 映射m a n d e l b r o t 集各周期点位置示意图 f i g u r e 2 1 0p o s i t i o ns c h e m a t i co f e v e r yp e r i o dp o i n t so f c o m p o u n dl o g i s t i cm a p m a n d e l b r o ts e t 定理2 4 由复映射g ：z = 一兰z ( 1 一z ) 【z ( 1 z ) 一声+ c 构造m a n d e l b r o t 集：，若r p ( 呷) 2 ) 堡， p ， ， g l i )y( t ， g 韭弦世堡监垄值显童全丛丞丑搓毯主曲应用 0 ，则有g ( c ) = - g ( 一万) ( = l ，2 ，3 ，一，) ；若m ( _ ) = 0 ，则有g ( c ) = g k ( 石) 。 利用数学归纳法易证定理2 4 。该定理说明：当m ( 功= 0 时，m a n d e l b r o t 集关于 y 轴对称；当m ( 功20 时，m a n d e l b r o t 集关于x 轴对称。 2 1 2 4m a n d e l b r o t 集上选点构造对应的j u l i a 集 a ) i 点c = 2 , 8 1 + 0 ，0 1 2 5 i b ) 1 1 - 1 点，c ；0 ，5 4 一1 4 8 8 i( c ) i i - 2 点，c = i9 5 0 5 i 1 0 ) i i 3 点c = 一0 , 6 7 + 1 0 5 ( e ) l l 一4 点c 2 10 i + 09 2 5 1m i | l 点，c 21 4 6 + 09 5 i ( g ) i v 点，c = 一06 4 一i9 5 i( h ) v 点，c = 0 3 3 14 7 i 【j ) v 1 点，c 。一0 1 l l7 i0 ) v 点c5 0 0 4 + 15 i( k ) v i i 点c = 06 2 i3 2 5 i ( 1 ) i x 点c = 一0 0 5 14 5 i 图2 11m a n d e l b r o t 集上取点构造j u l i a 集 f i g u r e 2 11j u l i as e t so f t h ep o i n t si nm a n d e l b r o ts e t 图2 1 0 ( a ) 为玎= 0 5 时m a n d e l b r o t 集的放大。为了研究m a n d e l b r o t j u l i a 集的对应 关系，作者在m a n d e l b r o t 集上选取了有代表性的一个l 周期点( 记为i ) 、4 个2 周期 点( 记为i i 1 、i i 一2 、i i - 3 、i i 一4 ) 、1 个3 周期点( 记为i i i ) 、1 个9 周期点( 记 为i x ) ，作为参数c ，构造了j u l i a 集。图2 1 0 ( b ) 给出了订= 0 5 的m a n d e l b r o t 集的各周 期区域的面积所占的比例，其中1 周期区域占8 3 7 1 左右、2 周期区域占1 0 9 4 左右、 3 周期区域占3 0 3 左右、4 周期区域占1 1 6 左右、其余的周期区域共占1 1 6 。由 m a n d e l b r o t 集可见，m a n d e l b r o t 集边界吸附着无数按一定规则排列的周期区域序列， 这种结构在不同水平上嵌套出现，m a n d e l b r o t 集的周期区域分布体现了拓扑不变性， | e 毯丝堡监延埴星塞全盈丞理搓越生鲍廑围 即自相似性。 在m a i l d e l b r o t 集上选取上述所有的周期点c ，作者构造了对应的j u l i a 集如图2 1 1 所示( 图中不同色彩的点所代表的周期值同前述) 。观察图2 1 1 可见：j u l i a 集具有4 倍的旋转对称性( 符和定理2 1 的结论) ：由同一周期的不同点构造的j 1 l l i a 集，其结 构和周期区域分布随参数c 的变化而变化；由不同周期的点构造的j u l i a 集的结构与周 期区域分布互不相同。这表明：在m a n d e l b m t 集的不同周期区域取点c 构造j u l i a 集， j u l i a 集在形状、周期区域分布等方面有很大差别，可见m a n d e l b r o t 集包含了j u l i a 集 构造的大量信息，即m a n d e l b r o t 集是对应的j u l i a 集的图解目录集。 2 2 一类i f s 吸引子界的动力学特征观测 在自然景观模拟构造i f s 吸引子时，一个十分重要的问题是预测i f s 吸引子的界， 否则只能基于所计算出的i f s 吸引子上的几个点，近似地估算出该i f s 吸引子的界， 但这样得出界的精度取决于这几个点是否接近该i f s 吸引子的边界。预测i f s 吸引子 的界，将对基于分形理论的自然景观模拟及信息压缩等都具有极其重大的理论意义口”。 为此，本论文给出了预测i f s 界的算法，并利用计算机构造了i f s 吸引子，计算了i f s 吸引子的界、l y a p u n o v 指数和关联维数，分析了i f s 吸引子的动力学特征讨论了当 参数变化时i f s 吸引子界的变化规律。 2 2 1 i f s 吸引子的界 若x ，= w ，( x ，) ( f = 1 ，2 ，) ，则茁，称为映射的不动点。若以圆心为x ，、半径为 的封闭圆球骂来覆盖w ，( 4 ) ，如选取足够大使得b ，3 w ，( 爿) ，定义f ： f = u b 。 - i 由压缩映射定理可知f 3 爿，故可称f 的边界为i f s 吸引予a 的界。因为地曰， j d ( 石，x ) d 。+ d ( x ，x ) sd + r ，这里d 口= d ( x ，x ，) ( f ，= 1 ，2 ，一，) ，所以v ze b ， j d ( x ，工，) 生r 。= m a x j ( d f + ，) 。若令_ y = w ，( 工) ，则d ( 工，y ) c ，d ( x ，x ) c ，r ，。因此，如 果选取半径f 满足 = # ，m a x (