（车辆工程专业论文）汽车电动助力转向系统的动力学分析与控制研究.pdf

汽车魁i 垄l l l 筮咆丕蕴的弛垄堂坌堑与控制研究 摘要 电动助力转向系统是一种新型的汽车转向系统，具有以往任何助力转向系 统所不具备的车速感应能力，其核心部件e c u ( 电控单元) 能根据车速和 方向盘操舵力矩的不同决定是否助力以及助力的大小。在对电动助力转向系统 的研究过程中，建立一个能准确反映汽车转向特性的数学模型是非常重要的。 本文采用了多刚体系统动力学的方法对转向系统进行建模，并通过对模型的数 值求解，分析了汽车转向过程的运动学和动力学特性。在助力控制方面，采用 了模糊神经网络结合p i d 控制的方法，这种方法适合具有非线性特征的汽车转向 系统，且可以满足控制系统多输入、多输出的要求。仿真和试验结果说明：采 用模糊神经网络结合p i d 控制的电动助力转向系统对提高汽车转向的轻便性和 灵敏性有显著作用，且保证驾驶员在不同行驶车速下均能获得良好的“路感”。 关键词：电动助毋向旧毒i 多刚瀛统模赫经网络 d y n a m i ca n a l y s i sa n d c o n t r o l s t u d y o fe p s s y s t e m a b s t r a c t e l e c t r i cp o w e r s t e e r i n gs y s t e m ( e p s ) i san e wt y p eo f v e h i c l es t e e r i n gs y s t e m ， i th a st h es e n s eo fs p e e d w h i c ha n yo t h e rt y p eo fs t e e r i n g s y s t e md o e s n th a v e a c c o r d i n gt ot h es p e e do fv e h i c l ea n dt o r q u eo ns t e e r i n gw h e e l ，e l e c t r o n i cc o n t r 0 1 u n i t ( e c u lw h i c hi st h em a i np a r to f e p sc a nd e c i d et h ea m o u n to f p o w e rt oa s s i s t d u r i n gt h es e a r c ho fe p s ，i t si m p o r t a n tt os e tu pa na c c u r a t em a t hm o d e l s oa m u l t i b o d ym o d e li sp r e s e n t e d ，t h e nt h em a t hm o d e li s f i g u r e do u tb yap r o p e r n u m e r i ca l g o r i t h m t h i s p a p e ra l s oa d o p t sf u z z y n e r v e n e t ( f n n ) t oa d j u s tt h e p a r a m e t e r s o fp i d c o n t r o l l e r , b y t h i sm e a n s t h en o n 1 i n e a ra n dm u l t i i n p u t & m u l t i o u t p u tp r o b l e m sa r es o l v e d t h er e s u l to fs i m u l a t i o na n dt e s tp r o v e st h a tt h e e p sw i t hf n n & p 1 dc o n t r o l l e rc a ni m p r o v et h ep o r t a b i l i t ya n ds e n s i t i v e n e s s a n d k e e pg o o d r o a d - f e e lo fd r i v e ra td i f f e r e n ts p e e d k e yw o r d s ： v e h i c l ee l e c t r i cp o w e r s y s t e mo f r i g i db o d i e s s t e e r i n gs y s t e m p i dc o n t r o l l e r f u z z y n e r v en e t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金且巴互业太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：幻菇到 签字日期：口弓年r 月咖日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金且巴工业太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权金艘兰业太坐可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：哜勿艿易， 导师签名：也吼 签字日期： 吗年，月n 日签字日期：乜1 年娟f 珀 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 论文完成之际，我首先要感谢我敬爱的导师王其东副教授、陈无畏教 授、王启瑞副教授和范迪彬副教授。是导师们深厚的学术功底、严谨的学 术指导、虚怀若谷的学术作风使我的硕士论文得以顺利完成；导师们有如 父爱般的关心与爱护、鞭策与鼓励使我在学习中得到了无穷的动力和勇气； 导师们对科学真理的无限热情与投入、执著与奉献深深地影响和激励着我。 在硕士阶段的学习中，我从导师们这里不仅仅是学到了丰富的科学知识， 更宝贵的是学习到了一份锲而不舍的钻研精神、一份对理想对事业对生活 的真诚态度，所有这些都将是我人生路上的宝贵财富，愈久弥举地伴我前 行。 我还要感谢我的父母，他们不仅给与我物质上的支持，而且给予我精 神上鼓励，在我迷茫与困顿时是他们以浓浓的亲情抚慰我，在我取得成功 时是他们警醒我戒骄戒躁继续努力。求学路上，亲人们的殷殷之情是我奋 斗的源泉。 最后要感谢王荣贵老师、李智超老师对我试验过程中的指导与帮助， 感谢黄森仁、蒋浩丰、孟树兴、王妍曼、许张红对我的帮助，感谢郁明、 姜武华等同学在我的课题研究和论文写作期间给予我的帮助。 感谢所有关心我、爱护我的人们! 第一章绪论 1 1 电动助力转向系统概述 随着现代汽车技术的迅猛发展，人们对汽车转向操纵性能的要求也日益提高。 为了保证车辆在任何工况下转动方向盘时，都有较理想的操纵稳定性和转向轻便 性，即使在停车情况下转动方向盘也能轻便灵敏，而高速行驶时又不会感到轻飘 不稳，人们对转向系统进行了不断地改进。汽车转向系统的发展经历了从简单的 纯机械转向系统到机械液压动力转向系统，到电控液压动力转向系统，直到更为 节能、操纵性能更优的电子控制式电动助力转向系统( e l e c t r i cp o w e rs t e e r i n g s y s t e m 简称e p s ) 等几个阶段。 汽车电子化是当前汽车技术发展的必然趋势。继电子技术在发动机、变速器、 制动器和悬架等系统得到广泛应用之后，e p s 在轿车和轻型汽车领域正逐步取代 传统液压助力转向系统并向更大型轿车和商用客车方向发展，它已成为世界汽车 技术发展的研究热点和前沿技术之一，具有广泛的应用前景f 2 j 】。 1 1 1 电动助力转向系统的结构及原理 e p s 的机械部分有多种型式，其中较常见的是齿轮齿条式转向机构，助力装 最则由电动机代替传统助力转向系统中的液压缸，电动机从汽车蓄电池中获得电 源。根据电动机驱动部位的不同，e p s 分为：转向轴助力式、转向器小齿轮助力 式和齿条助力式三种。图1 1 为转向轴助力式，即助力电机被固定在转向轴上，从 电动机输出轴上输出的助力矩经减速及离合机构传递到转向轴。但无论是哪一种 形式的电动助力转向系统，其构成和工作原理是大致相同的。如图1 2 所示：该系 统由扭矩传感器、车速传感器、电动机( 一般采用无刷永磁式直流电动机) 、电子 控制单元( e c u ) 、离合器和减速机构等组成，图中瓦表示扭矩传感器测得的方向 盘扭矩信号，表示转向阻力矩，是e c u 确定的目标电流，7 是e c u 接收到 的反馈电流信号，7 值是电动机的实际工作电流值。 电动助力转向系统的工作原理是利用电动机提供转向助力，一旦有转向动作 发生，扭矩传感器可以根据转向轴的扭转变形量迅速测出转向阻力矩的大小，并 将该扭矩信号传递给e c u ，同时e c u 也会接收到来自车速传感器的车速信号，根 据这两个信号，e c u 中的控制程序会按预先设计好的助力特性确定电动机电流的 大小，进而确定电动机的输出力矩，实现了转向助力。此外e c u 还可通过采集电 动机电流信号，7 判断系统工作是否f 常，进而实现故障诊断和安全保护。扭矩传 感器的灵敏程度，助力电动机的可靠与否以及控制算法的优劣是决定e p s 性能的 关键因素】。 图1 1e p s 总成图i - - 2e p s 功能结构图 1 1 2 电动助力转向系统的特点与应用 电动助力转向是，一项采用现代控制方法的高新技术，与传统液压动力转向相 比，它具有下述优点j ： 1 ) 反应灵敏、迅速，转向平稳、精确，路感良好。而传统的液压助力转向系 统，当急转动方向盘时，往往会出现转向迟滞现象。 2 ) 取消了油泵、皮带、皮带轮、液压软管、液压油及密封件等零部件，其零 件数与传统液压助力转向系统相比大大减少，因而其质量更轻、结构更紧 凑，大约可比通常的液压助力转向系统轻2 5 。由于没有液压回路，调整 和检测更方便，且不存在漏汕问题，因此大大降低了保修成本，也减小了 对环境的污染。因为其动力源是电池而不是由发动机驱动的油泵，在发动 机发生故障时，也能继续提供转向助力。 3 ) 从改善空气动力学性能角度考虑，发动机罩下的空间将越来越宝贵。电动 助力转向系统因其外形小巧，在发动机罩下所占用的空间比传统的液压转 向系统要小，故安装电动助力转向的汽车会有更好的空气动力学性能。 4 ) 由于不用发动机直接驱动，仅当需要助力时电动机才提供助力，而传统液 压助力转向在没有转向时，油泵在发动机带动下仍然运转。因此电动助力 转向系统能减少发动机的燃油消耗。 5 ) 具有良好的低温： 作性能。 6 ) 转向操纵力特性能满足不同对象的需要。由于采用扭矩、转角、车速传感 器的信号作为基础，故只需更换软，”即可自由地设计转向操纵力特性。 7 ) 电动助力转向能在各种行驶工况下提供最佳助力，减小由路面不平所引起 的对转向系的扰动，改善汽车的转向特性，减轻汽车低速行驶时的转向操 纵力，提高汽车高速行驶时的转向稳定性，进而提高汽车的主动安全性。 由于电动助力转向系统具有以上诸多优点，国外许多汽车及零部件生产厂商 纷纷致力于该技术的研究。1 9 8 8 年2 月r 本铃木公司首次在其c e o 车上装备电 动助力转向，随后还用在了其a l t o 车上。在此之后，电动助力转向技术如雨后春 笋般得到迅速发展。1 9 9 3 年，本时汽车公司首次将电动助力转向系统装备于大批 量生产的，在国际市场上同法拉力和波尔舍竞争的n s x 跑车上。同时在欧美市场 上，美国的d e l p h i 汽车公司、德国的z f 汽车公司等，都相继推出了各自的电动助 力转向系统。如今，大发汽车公司的m i r a 车、三菱汽车公司的m i n i c a 车、大众的 p o l o 、欧宝的3 1 8 i 以及菲亚特的p u n t o 都装备了电动助力转向系统。 在国内，电动助力转向目前仅处于理论分析和实验室研究阶段，尚未有产品 问世。在这方面，合肥工业大学汽车系做了一定的研究工作，已完成了转向系运 动学、动力学分析计算：提出了关于e p s 的控制策略，并在汽车转向试验台上对 控制策略进行了检验，证明其合理性，为e p s 的产品化奠定了坚实的基础 1 2 汽车转向系统建模及控制研究的现状 控制策略的好坏直接决定整个电动助力转向系性能的优劣。为使转向系获得 合适的助力矩，对电动机f 乜流的控制是关键。近些年，国内外许多专家学者在汽 车助力转向控制方面做了大量的研究工作，采用了诸如常规p i d 控制、模糊控制、 日。等控制策略，并进行了仿真1 6 。“l 。从仿真效果来看，当汽车侧偏角较小时， 仿真结果与试验结果较吻合，而当埘偏角较大时则出现较大偏差；并且这些控 制方法的引入大多是针对转向系的某一方面性能，如仅提高手感或轻便性，对 转向性能缺乏总体考虑。造成这问题的重要原因是尚未建立起一个综合考虑 轮胎接地转向特性和整车转向特性的汽车转向模型。下面，本文将对前人在转 向系统建模与控制方面所做的工作进行简单的回顾和总结。 1 2 1 轮胎动力学模型的研究现状 轮胎是连接地面与汽车这一复杂系统的纽带，除空气的作用力和重力外， 几乎所有影响地面车辆运动的力和力矩皆由轮胎和地面接触而产生。因此，对 轮胎动力学特性的分析，对研究转向性能及其他车辆性能来说是非常必要的。 目前，轮胎动力学建模的方法主要有以下三种： 1 ) 理论方法。这是一种较早的研究轮胎特性的方法，是在对轮胎特性进行 合理简化的基础f ：导出轮胎受力与侧偏角阃的无量纲解析式。f i a l a 模 型便是这种方法的典型代表，其前提假设是轮胎侧向位移只发生于接触 区。该模型的侧向力模型与试验值能够趋于一致，但由于轮胎和地面之 白：】的摩擦耦合特性具有不稳定的多变性，使得回正力矩在无量纲侧偏角 痧 2 时急剧上升【2 0 1 ，与事实存在一定误差。尽管理论方法有精度低的 不足，且无法表达轮胎在各种路面和各种垂直载荷下的全面特性。但因 为其表达式简单，所以它依然是目前被采用最多的方法，许多汽车动力 学仿真软件( 如a d a m s ) 都采用了f i a l a 模型【4 4 1 。 2 ) 经验和半经验方法。这种方法是在理论模型的基础上，通过加入拟合试 验曲线的数学函数来描述轮胎特性。例如文献【2 i 】以f i a l a 理论模型 为基础，通过试验建立了无量纲的侧偏力和回正力矩半经验模型，该模 型还考虑了复杂的胎体变形，有较高精确度和广泛的适用性。由于e 函数或多项式函数的引入，经验和半经验模型形式上较复杂，给仿真计 算增加了一定难度，且需要较多的轮胎特性参数，因此在可行性方面不 如理论模型。 3 ) 人工神经网络建模。采用人工神经网络技术对轮胎这典型的多干扰源 非线形系统建模也是轮胎建模研究的一个新趋向。这种方法是通过 调整神经元之i 铷的连接权值，对轮胎输入输出数据进行训练，训练后的 神经网络能够较好地表达变量阃的非线形关系，并在数值上代替传统轮 胎模型。这种轮胎建模方法尚处研究阶段，应用起来有一定困难，需要 较深的理论知识。 综合以上各种方法的优缺点，兼顾精确性和可行性的要求，本文采用了f i a l a 模型的试验修正表达式，即文献【1 8 】中提到的“f i a l a 一桥石”表达式。该表达 式的形式与f i a l a 模型相似，且修正了回正力矩的误差。 1 2 2 转向机构的建模方法 这罩所说的转向机构是指从方向盘到转向轮的整个转向系统，它包括由若 干刚性体组成的转向系机械部分和柔性体的轮胎部分。由于机械部分构件多， 结构较为复杂，其位置约束关系中存在非线性，轮胎模型的输出与前轮转角间 也存在非线性映射关系。这些都给转向机构的建模带来一定困难。 目前，较简便易行的转向系统建模方法是将前轮和转向机构向转向柱简化 6 - 9 , 5 0 , 5 6 把系统中各构件绕其运动中心的转动惯量等效为绕转向柱的转动惯量， 并以等效阻尼系数代替各连接铰或运动副的阻尼系数之和。而地面对轮胎的作 用力矩也被简化成以下形式的线性关系。 ，厂， = 云。c ，i 占一上，一声l( 1 1 ) u l ” j 式中：占前轮转角 峨一一汽车横摆角速度 一一汽车转向时的质心侧偏角 c ，转向轮的稳态侧偏刚度 g 转向系传动比，即方向盘到转向轮的传动比，g = u a 一一方向盘转角 这种简化方法虽然使仿真计算变得简便，但其准确性不能满足e p s 研究的 要求。转向轮的侧偏刚度在转向过程中是变化的，不能仅用其稳态值c ，代替； 由于转向梯形的作用，转向系传动比g 在转向过程中也是变化的。此外，这种 方法在可行性方面也存在一定困难，等效转动惯量以及等效阻尼系数的计算有 相当大的难度，通常是通过试验测定，而这需要做轮胎的台架试验，这样一来 增加了研究成本。 采用传统方法建模，一k 述问题是无法避免的，而作为新型建模手段之一的 计算多体系统动力学能有效解决以上问题。它以系统中每一构件为对象，通过 构件阳j 的约束关系建立动力学方程组f 7 l ，无需计算等效转动惯量和等效阻尼系 数，且方程能够反映系统输出与输入问的：阼线性关系。目前，将多体理论运用 于汽车研究还不普遍，对转向系进行多体建模也比较少见，本文在这方面进行 了一定的尝试，获得了较理想的效果。 1 2 3 针对e p s 的控制策略 控制理沦从诞生至今已有l o o 多年的历史，经历了“经典控制理论”到“现 代控制理论”发展过程1 3 2j 。前者适用于单输入、单输出的线性系统，根据该理 论设计的控制器具有结构简单、工作稳定的优点。在e p s 研究的初期，研究人 员也曾使用过比例控制，闭环p i d 控制等经典控制方法，希望通过追踪方向盘 转向力矩的方式实现对电动机助力矩的调控。这样设计出的e p s 系统在使用效 果上与传统的液压助力转向系统没有太大差别，无法兼顾汽车高速行驶时保持 路感、低速行驶时消弱路感( 即抑l l ：路面二l 二扰) 的需要。 现代控制理论以状念方程代替传递函数，能同时追踪系统中多个状念变量， 并根据需要选择系统的输出，具有多输入、多输出的特点。此外，随着智能控 制技术的发展，对复杂的非线性时变系统的控制已成为可能。e p s 就是这样一 个复杂的非线性系统，其助力控制环节的输出( 电动机电流) 要同时受到诸多 因素的制约，如车速、方向盘转矩、电动机工作状态等。因此，目前的e p s 控 制研究以基于现代控制理论的智能控制为主，如文献【l o 】、【4 2 】均采用了模 糊自适应控制策略来实现e p s 的理想助力特性。此外，也有将神经网络建模和 模糊控制相结合的。而本文则是通过模糊神经网络控制器调节p i d 各控制环节 参数的方式来逼近e p s 理想助力特性曲线，实现对助力电动机电流的智能控制， 这样做的另优点慰模糊钏j 经网络还l = i _ | 从试验中获取新的训练数据，从而达到 对e p s 的自适应控制。仿真结果和试验结果均证明该方法的正确性，实现了上 文所提出的研究目标。 1 3 本课题的研究目的 众所周知，汽车转向系一直存在着“轻”与“灵”的矛盾i i 8 1 。为缓和这一矛 盾，在传统机械转向系设计中人们常将转向器设计成变速比，在方向盘小转角时 以“灵”为主，在方向盘大转角时以“轻”为主。由于“灵”的范围只在方向盘 中间位置附近，且仅对高速行驶有意义，而传动比不能随车速变化，所以这种方 法不能从根本上解决上述矛盾。另外，转向力与路感也相互制约。转向力小意味 着转向轻便，能减小驾驶员的体力消耗，降低驾驶疲劳感，但转向力过小，就会 使驾驶员缺少路感。传统的液压助力转向方式利用油泵建立起一定的压力，再通 过控制阀来调整压力油的流量，并根据汽车行驶状态，控制转向系统，能较好地 解决转向轻便的问题。但液压助力转向作为一种辅助系统，它所起的作用大小主 要取决于油压的高低。这样的液压助力转向系统在选定参数，完成设计后，转向 系统的助力性能就确定了，不能再对其进行调节与控制。因此传统液压助力转向 系统协调转向力与路感的关系较困难。按低速性能要求设计转向系统，高速行驶 时转向力往往过轻、路感差，甚至感觉汽车“发飘”，从而影响操纵稳定性；而按 高速性能要求设计转向系统，低速时转向力往往过大，且对路面干扰的抑止能力 下降。此外，传统转向系统在满足诸如回聍| 生、直线行驶性、极限行驶能力等方 面，亦存在或多或少的不足。 基于上述汽车转向时应具有的性能特点，以及传统转向系统存在的不足，本 课题将以解决汽车转向时存在的轻便与灵敏的矛盾以及高速行驶和低速行驶时对 路感的不同要求为目标，以不同工况( 即不同车速，不同方向盘转角与转角变化 率) 下电动助力系统为满足性能要求所应具有的助力特性为研究的核心。通过借 鉴国内外已经取得的研究成果和引入先进的建模手段及现代控制方法，在理论和 试验两个层面达到对电动助力转向系统研究的新高度。为今后汽车电动助力转向 系统的设计与产品化奠定越础。 1 4 本文研究的主要内容 本文的主要内容是： i 在对电动助力转向系统机械部分进行合理简化后，建立其数学模型，并在此模 型基础上对汽车分别在角输入和力输入下的转向响应进行运动学和动力学分 析。 1 ) 建立转向机构的多刚体系统模型。 2 ) 建立轮胎的侧偏转向模型，它包括吲征力矩模型和侧向力模型。 3 ) 建立整车二自由度转向模型。 4 ) 在多刚体模型的基础上，连接轮胎模型和整车模型形成完整的反应汽车转 向特性的力学模型，并根据力输入和角输入的不同需要对模型进行适当调 整。 5 1 对模型进行数值求解，获得运动学 i 动力学响应曲线。 i i 在上述模型基础上，对助力电机的助力大小进行控制研究。采用模糊神经网络 技术，按理想的助力规律对电动助力转向系统进行控制，使用m a t l a b 语言编 写仿真程序，观察控制效果，并与无电控助力时的仿真结果进行比较。 i i i 进行电动助力转向系统的试验台试验，扭矩信号由传感器获得，车速信号可通 过微机中的计数器模拟产生，以获取不同车速下的助力效果，检验仿真研究中 所采用的控制方法的有效性和合理性。 第二章基于多刚体理论的汽车转向模型 2 1 对转向模型的要求 研究一个系统时，除了对其物理性质应该有清楚的认识外，还要明确表达 系统内部变量之间的关系，这就需要建立系统的数学模型，由系统的基本物理 定律得出变量之间的特定关系，并利用微分方程加以确定性的描述。当然，对 于同样系统研究目的不同，其数学模型也不相同。进行电动助力转向研究，对转 向模型主要有以下两方面要求。 首先，所建模型应该能够反映在不同工况下，转向动作发生后，转向系以及 整车的运动响应。不同工况是指不同车速、不同路面附着系数等行驶参数：转向 动作既包括在方向盘上的力输入与角输入而产生的转向，也包括侧向力或路面噪 声引起的汽车横摆响应；转向系运动响应有转向轮转角、转向轮侧偏角等的变化 规律；整车的运动响应则是指横摆角速度、转向半径等评价汽车操纵稳定性的参 量的变化规律。由此可见，转向模型中应该包含整车转向模型和轮胎侧向力模型。 其次，电动助力转向研究的主要目的是获得理想的电动机助力矩，而助力矩 的大小是根据转向阻力矩的大小确定的。由图2 - i 可以看出：转向阻力矩的来源是 多方面的，它们经转向机构放大后汇聚到转向柱与方向盘操作力相平衡：有些阻 力矩随工况变化会出现较大的非线性，甚至不能用连续函数表示，比如原地转向 时，由于轮胎没有受到地面作用的侧向力，不产生侧偏，也就不存在回正力矩， 所以回正力矩模型在车速v = 0 工况下不成立。因此，所建模型还必须能准确计算 不同工况下，各部分转向阻力，进而得出驱动转向的方向盘操作力，为研究助力 规律提供数值依据。 图2 一l 方向盘操作力组成 传统建模方法不能很好满足以上两方面要求。采用多刚体系统动力学建模可 以把多项动力学分析统一在一个模型里- 此外，可以针对每个刚体计算各部分转 向阻力并将其放入广义力阵的对应位置中，而不必考虑它们之间的放大与传递关 系，因为这种关系已在系统的约束方程中预先建立了： 2 2 多刚体系统动力学的历史与现状 在动力学建模及分析中，传统方法是根据经典力学导出研究对象的微分方程， 当对象结构简单时该方法是准确和实用的。然而，随着经济与工业技术的发展， 工程对象的构型越来越复杂，表现为这些系统在构型上向多回路与带控制的非线 性系统方向发展，如空间站的太阳电池阵、卫星的天线阵、操作机械臂、带控制 的汽车转向与悬挂系统等。对于这些由多个构件组成且有多个自由度的复杂系统， 采用传统方法需要研究人员大量的智力参与，对研究对象进行等效、简化处理， 难以实现分析过程的程序化、通用化，降低了研究分析的效率。 二十世纪六七十年代，随着计算机技术的发展，综合经典力学和现代计算技 术的多体系统动力学诞生了，并很快走入工程运用的实际。在此期间，美国的r e 罗伯森、t r 凯恩、德国的j 维登伯格、苏联的波波夫等先后提出了各自对复杂多 体系统的解决方案，他们的方法虽然不尽相同，但有一个共同特点，即所导出的 数学模型适于计算机进行编程和计算，因此多体系统动力学又被称作计算多体系 统动力学【2 4 】。 计算培构力学 计算多体幕统动力学 图2 2 计算多体系统动力学在计算机辅助工程中的地位 目前，多体系统动力学的研究正朝着完善多柔体系统动力学理论和多体建模 与控制相结合两个方向发展，其主要分支多刚体系统动力学理论已相当成熟， 且开发出了许多成熟的商业计算软件，如a d a m s 、d a d s 等，为复杂机械系统的 静力学分析、运动学分析和动力学分析提供了自动建模和数值分析的有力工具。 这样，工程技术人员可将主要精力用在对结果的分析与提出改进对策上，从而大 大提高了结构分析和控制研究的效率与精度。图2 - 2 为现代计算机辅助工程示意 图，其中一些很重要的环节，多体系统动力学理论和方法可参与其中。 多刚体系统动力学采用汁算机辅助的程式化的方法，将建模与模型求解等工 作交由计算机完成，分析人贝仅需输入系统的结构参数和初始动力学参数。且多 刚体模型具有准确、通用等! _ 。例如，本文建立的转向系多刚体模型包含了轮 胎模型，可同时解决系统的下、逆问题：多输入多输出的特点又使该模型既能用 于分析方向盘输入时的汽车的瞬态转向响应又能用于地面输入时的路感研究。 2 3 多刚体系统动力学的建模原理 2 3 1 两种基本的多刚体系统动力学建模方法 目前，多刚体系统动力学存在两种不同的建模策略，即拉格朗日法和笛卡儿 法，其主要区别是对刚体位形的描述。 拉格朗曰法以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另 一个刚体相对该刚体的位形由铰的广义坐标阵q ( 又称拉格朗日坐标) 来描述，这 样形成一个拓扑为树的系统。其动力学方程形式为： 爿口= b( 2 1 ) 这种方法的优点是方程个数少，有较高的通用性和程式化，但方程有严重的非线 形。矩阵4 与b 中包含描述系统拓扑的信息。 笛卡儿法则以系统每一个物体为单元，建立固结在刚体的坐标系，刚体的位 形均相对于一个公共参考基进行定义。对于个刚体作空间运动的系统，描述刚 体的笛卡儿坐标阵为： q 。= 旺，y ，z 。唬口。，】 i = 1 。n ( 2 2 ) 其中，x ，y ，z ，为描述第i 个构件的位置坐标，4 口，卢为描述该构件姿态的坐标。 对于平面系统，则只需3 n 个坐标： q ，= ky ，办 笛卡儿法建立的动力学模型的一般形式为： 拦+ 寥础( 2 - 4 ) i m ( 玑，) = 0 式中m 为位形坐标阵q 的约束方程，m 。为约束方程的雅可比矩阵，为拉格朗日 乘子。此类模型是方程个数相当多的代数微分混合方程组。由于笛卡儿法更适于 机械领域所以本文在建立多刚体模型时采用了这种方法。下面将以一般情况下平 面运动的多刚体系统为例简要说明笛卡儿法的建模原理。 2 3 2 基于笛卡儿法的多刚体系统建模原理 图2 3 为作平面运动的多刚体系统中 刚体目的位姿坐标图，为不失一般性，令 连体基、动基和惯性基的第三个基矢量平 行。动基的角速度与角加速度矢量分别为： 西r o = 九z ，西m = # o z( 2 - 5 ) 刚体b ，关于动基的方向余弦阵为： 如p ，。8 m ? i ( 2 - 6 ) l s m 谚c o s # ，j 。 刚体儡关于动基的角速度与角加速度为： o ) i = 旃z ，西，= 旃z( 2 - 7 ) o 图2 - - 3 平面刚体位姿矢量的定义 由此可以看出：作平面运动刚体的位形可由式2 3 所示的笛卡儿坐标完全确 定。根据牛顿一欧拉原理可列出刚体马的质心动力学方程，它为一个二维二阶常 微分方程组，即： m 。t = f + e “+ e 1 ( 2 - 8 ) 其中e 与，1 f 玎分别为外力与理想约束反力主矢在动基上的平面坐标阵，e 1 为惯性 力在动基上的坐标式： e 1 = 一所，t r d + 2 s 4 丸+ ，f 丸一簖j ( 2 9 ) 由于平面运动的刚体只绕z 轴转动，所以刚体的姿态动力学方程仅为一个一维二阶 常微分方程，即： 以谚= m i4 - a 4 - + 吖?( 2 1 0 ) 式中：z 刚体绕垂直基矢量的惯性矩 心1 惯性力矩，卅= 一一巍= 一以藐 尬“约束反力矩 外力矩 方程2 - 8 与2 一1 0 构成刚体目的动力学方程，定义对角阵m , - - - d i a g ( m ，m ，) ，它 们可合并为矩阵形式： z ，辱，= z ，+ z ? + z j( 2 一1 1 ) 其中广义质量阵、力阵、理想约束力阵与惯性力阵分别为： z ，= 7 苫罗 ，z ，= 丢， ，z ? = 丢； ，z j = 荔 c z - z ， 现在考虑整个系统，描述系统位形的坐标个数为3 n ，即： g = b j ”q t 2 时必急剧上升。于是，1 9 6 8 年日本桥石轮胎公司对f i a l a 理论模型 进行试验修正后得到了“f i a l a 一桥石”表达式，也就是本文所采用的轮胎侧偏转 向的数学模型。 f 参2 - 0 0 6 6 8 9 2 。0 1 0 3 2 矿 外1 5 4 ( 2 _ 8 6 ) 丢= 1 0 0 6 3 1 5 4 c 7 一 彘0 姐2 2 5 2 8 y e _ o 0 9 5 产蝴2 n 0 0 3 5 3 脚陋 m l o o ，j 而2 面 抄2 一一 耋；= ! ! i ! ! ! = 堑互丝堕堡型塑担羞童塑 坐型!竺墨! ! ! 型 生! ! 型! ! ! 型 3 8 0 0 01 0 2 1 5 0 0 5 5 0 0o 0 6 图2 - - 1 4 侧偏力模型的仿真结果 侧偏角o ( ) 图2 - - 1 5 回正力矩模型的仿真结果 使用m a t l a b 语畜对2 8 6 式的轮胎侧偏力模型和2 8 7 式的轮胎回正力矩模型 进行仿真计算，通过图2 - 1 4 和图2 - 1 5 可以看出不同垂直载荷下侧偏力和回正力矩 随侧偏角的变化规律与图2 - 1 2 和图2 - 1 3 的试验结果基本吻合。因此，可以将2 - 8 6 式和2 8 7 式代入式2 - 8 2 的广义外反力阵z 中，从而构成完整的转向系多刚体模型。 2 7 整车二自由度转向模型 如本章第一节所述，通过仿真研究未加电控助力和附加电控助力两种情况下 整车的运动学响应，是本课题的重要内容，它将便于我们掌握e p s 对汽车操纵稳 定性的影响。因此，有必要建立整车转向模型。 i ， o | 厶去鬈戮。 -：d 一， p 1 b 牛尹h：7 0 7 钐 x 。r ri l 图2 1 6 二自由度汽车转向模型 图2 1 6 是简化为线性二自由度的汽车转向模型。图中0 为汽车转向中心，d 为汽车质心a 分析中忽略转向系统的影响，直接以前轮转角为输入；忽略悬架作 用，认为汽车只作平行于地面的平面运动；忽略空气动力的作用：忽略左右车轮 由于载荷变化而引起的轮胎特性的变化，即认为左右转向5 f j 相等。“二自由度”指 的是汽车只有沿y 轴的侧向运动和绕z 轴( 过0 点垂直于转向平面的轴) 的横摆 运动。根据文献【3 2 便有该模型的数学表达式： 式中：m 汽车质量 v 汽车行驶速度 d 侧向速度，u = p v l 汽车绕z 轴的转动惯量 劬七，前后轮侧偏刚度 f ， f r 汽车质心至前、后轮的距离 万前轮转角，j ：生生 2 4 ，西由多刚体模型确定的左，右转向轮转角 p 质心侧偏角 ，横摆角速度 为了便于计算，可将式2 - 8 8 变形为类似2 - 8 l 式的状态方程形式 麓骞 o p + 一i z j l 西，j k ，+ k ， l s k ，一i r k ， 由上式可知：二自由度汽车转向模型的输入为前轮转角占，输出为质心侧偏角和 横摆角速度珊，后者是评价汽车操纵稳定性的重要指标。此外，和，代入式2 - 9 0 可以求出前后轮侧偏角瑾，和a ，它们是轮胎模型的输入a 2 8 模型的数值解法 无论是2 7 7 式和2 7 9 式的运动学方程，还是2 8 l 式的增广型动力学微分方 程，它们都是非线性的微分方程组。因为状态变量的系数矩阵中均含有系统的雅 可比矩阵唾，而n 又是状态变量的函数。对于这一类方程组的求解将归结为对 一系列线性代数方程组的迭代求解与数值微分问题。式2 8 9 的二自由度汽车转向 模型是典型的常微分方程组，可通过差分方法求解。 2 8 1 线性方程组的解 本文对模型的求解均是在m a t l a b 语言平台上进行的，其强大的矩阵运算功能 为方程组的求解提供了便利。在求解线性方程组a x = b 时，m a t l a b 语言有以下几 种方法： i 求满秩方阵的逆阵法。其前提是矩阵a 必须是可逆的方阵。 i i 系数矩阵为普通方阵的高斯消去法。其基本步骤为消元和回代。这种方法 具有广泛适用性。但是，在消元过程中每步均要除一个系数，该系数称为 该步的主元，如果主元选择不当，会带来较大的舍入误差和影响计算速度。 i i i 对非奇异矩阵的l u 分解。对矩阵4 总存在非零对角元素的上三角阵u 和含单位对角元素的下三角阵工，使a = l u 。此时，对原方程的求解可变 换为求解l y = b 和u x = y 。因为两个方程的系数矩阵为三角阵，故利用回代 很容易得到它们的解。 i v 对称正定系数矩阵的c h o l e s k y 分解法。其前提是4 i 4 ，。 v 长方阵的正交分解法。常见的是使用q r 因式分解，由于a = q r 且q 是 正交阵，所以可用命令x = r q 一6 进行求解。 翠 母 q 0 一，啡 纂， 以上各法可以通过相应的m a t l a b 函数来完成，而求解者不必关心每种方法具 体的算法结构。可以看出上述解法各有自身的限制条件和缺陷，如果能根据系数 矩阵a 的不同而相应地使用上述方法，则求解将变得更准确迅速。m a t l a b 提供的 矩阵运算符“”恰恰具有这样的功能。比如，如果a 是对称正定矩阵，则使用 c h o l e s k y 分解；如果没有找到可以替换的方法，则采用高斯消去或部分主元法； 一般情况下是对矩阵4 进行l u 因式分解。此外，操作符“”的方法不需直接对 a 进行求逆运算，因此，运算速度快，结果更准确。基于这些优点，本文有关线性 方程组的求解均采用这种方法。 2 8 2 数值积分 上述线性方程组的求解是非线性微分方程组的迭代算法的第一步。虽然矩阵a 是系统状态变量x 的函数，有a = 爿o ) ，但是对于每个离散时间而言，由于系统状 态是确定的，因此矩阵a ，在该离散时间是一常数矩阵。于是，微分方程组a 2 = b 的求解被分解为求解线性方程组和数值积分两个步骤，求解出的系统状态变量x t + ， 又被用以确定下一离散时间的矩阵a 州，如此迭代即可获得非线性微分方程组的离 散解。 以上对非线性微分方程组的求解方法对数值积分的精度要求较高，因此采用 如式2 9 l 所示的二阶辛普森公式法h 们，m a t l a b 语言提供了相应的函数q u a d 8 f ) 。 积分的初值为系统的初始位姿和初始速度。 s 沪丑i f ( x , ) + 4 厂( 丑# ) + m 。) 】 ( 2 9 1 ) 2 8 3 常微分方程组的解 式2 8 9 是典型的常微分方程组，在m a t l a b 语言的符号数学工具箱内有相应函 数可对其直接求解。但为了便于和多刚体模型的衔接，仍采用迭代的方法对其进 行数值求解。由于m a t l a b 未提供相应的求解函数，所以文本采用了经典的四阶定 步长龙格一库塔法进行计算，并编写了算法，其基本思路为： x 打+ l = x 。+ 主( k o + 2 k l + 2 k 2 + k 3 ) ( 2 9 2 ) 式中： k o = h f ( x 矿，。) k l = 向厂( x 。+ 告k o ，。十i h ) 二 1 l k 2 = h 厂( 矗+ 寺墨，+ r 1 ) k 3 = h f ( x 。+ k 2 ，t 。+ h ) 将式3 3 4 中的相应量代入上式： 铲吼 m 沪p 一汀魄卜 k f 七k ， l 恕一l r kr 这种方法可以由初值( t o ，x o ) 自动起步进行积分。步长h 在每一步中固定不变。 由于每积分一步要求计算四次函数贝) ，因此计算工作量相当大，但计算精度较一 般二阶差分法有明显提高。 2 9 本章结论 本章介绍了基于笛卡儿法的多刚体系统动力学建模原理，并在此基础上导出 了转向系统的运动约束方程和动力学方程。动力学方程的广义外反力矩阵中包含 了地面作用于轮胎的侧向力和回正力矩，它们可通过“f i a l a - - 桥石”轮胎模型求 解。此外，为了研究e p s 对整车转向响应的影响，本章还建立了汽车二自由度转 向模型。由于所建立的运动学模型、动力学模型和二自由度模型在形式上不同且 存在非线性特征，因此本章最后还介绍了对这些模型的求解方法。 奉 第三章转向系统运动学与动力学分析 3 1 多刚体系统软件分析的步骤 通过编写软件进行复杂机械系统的运动学和动力学分析，有以下主要步骤： i 输入描述系统初始位置关系的最基本数据，软件即可对系统自动识别。该过程 分为以下几个步骤： 1 ) 定义刚体。对刚体进行编号；统计刚体的个数；建立公共基，在每一个 刚体上定义连体基，此连体基的基点可在刚体的质心，也可从运动学方程简洁 的角度出发定义在其它位置。 2 ) 定义铰。对铰进行编号；定义铰的类型，统计约束方程的个数s 。 3 ) 对模型进行初步的检查。判断机构的奇异构型；排除系统冗余约束和其它 定义错误问题 4 ) 定义驱动约束方程。 i i 开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法，自动得到运动学 规律和动力学响应。 1 ) 系统约束方程的组集。 2 ) 系统约束方程雅可比的计算。 3 ) 系统加速度约束方程右项的求解。 4 ) 动力学微分方程组的数值求解。 i i i 实现有效的数据后处理，采用曲线显示、图表或动画显示等方式提供数据处理 结果。 一堕拦堑 卜压麴 i 模型定义卜_ - j 垂垂至丕匠二卜_ 一t 逮 u 两再衙1 弛造剀 图3 一i 多刚体系统软件分析的总体框图 3 2 转向系统的运动学分析 多刚体系统的运动学分析是讨论系统各构件的位置、速度与加速度间的关系。 讨论的依据是系统的位置约束方程2 - 7 6 、速度约束方程2 - 7 7 和加速度约束方程 2 - 7 9 。对于这几个方程的求解方法已在上一节讨论。 3 2 1 运动学分析软件的组织 运动学分析程序的功能是构造并求解运动学方程，其流程图见图3 2 。所谓系 统约束方程和构型的组集是指根据用户提供的系统参数定义系统约束方程的左函 数、雅可比和加速度右项等，其中包括系统初始位形 和速度的集成，即确定坐标初始迭代值q ( t o ) 和g7 ( 叻。 转向系统的自由度d o f - - - - - 1 ，因此只有一个独立 坐标，它可以是2 1 个笛卡儿坐标中的任何一个。一 旦独立坐标被确定，其余坐标即为非独立坐标，它们 的运动状态将被独立坐标的运动状态唯一确定。假设 仉为独立坐标，且其为时间的已知函数： o = q x 0 ( 3 - 1 ) 上式是对独立坐标吼的非定常约束，称为驱动约束。 可记为： o ”( q ：，r ) = q ；一q ：( ，) = o0 2 ) 上式与2 7 6 式的主约束方程构成新的约束方程组： 帆，f ) = l 。掣，) l _ 0 ( 3 - ，) 此时，系统的d o f - - 0 ，约束方程组3 3 有2 1 个变量， 同时有2 1 个方程，可以求解。同时速度约束方程组、 加速度约束方程组在附加驱动约束后同样可以求解， 但雅可比和加速度右项要做相应调整： 图3 2 运动学分析流程图 毒，- ，面。2 一o ， ，2 奇j ) ：， 2 。 c s - 。， 如果在附加驱动约束后d o f 0 ，约束方程组则无法求解。其中的原因有两个。 附加驱动约束的个数不够，它应该等于系统的自由度数；或者系统存在冗余约束， 此时需要对系统进行自由度分析以删除多余约束。由于约束方程的冗余问题与系 统雅可比也的行秩j 有关，因此要判断冗余约束可采用高斯消去法或l u 分解法 对唾_ 进行处理，将其变形为： 西。书：i ( 3 - 5 ) 其中西，r “”、西：r h ”( 卅为主约束方程个数) ，而m 。r 为对角元 为1 的上三角阵或单位阵。如果m 0 ，则有脚一j 个冗余约束，按变换后的约束 方程的排列顺序删除这r a - - s 个方程，冗余问题即被解决。 3 2 2 运动学仿真结果及分析