（电路与系统专业论文）小波基的选取与构造方法讨论[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 小波分析是近几十年来迅速发展起来的新兴学科，小波变换理论深刻，应用广泛， 应用研究与理论研究紧密结合，近年来倍受国内外专家学者的重视，小波分析的应用波 及科学研究和工程技术应用研究的许多领域。 小波变换方法是一种在时域和频域均具有良好局域性的分析方法，尤其适用于非平 稳信号的处理。选用不同韵小波基及尺度进行信号处理会产生不同的分析结果，因此， 选择合适韵小波基是小波变换的重要内容。文中讨论了规则性系数相似法，即根据相似 性，可以用规则性系数大的小波表示平滑的函数；用规则性系数小的小波表示非平滑的 函数。 基于框架与规范正交基之间的关系，总结从小波框架出发构造小波基的一般方法， 构造出一组规范正交小波基，并证明其规范正交性，该小波基不仅规范正交，而且时频 局部化较好。 关键词：小波；紧框架；规范正交基 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e ws u b j e c ti nr e c e n ty e a r sa n da l s oi nan e a rf u t u r ei ti sa l s oa h o t s p o t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e ns h o w nt oh eu s e f u lm a 也e m a f i c a lt o o lf o rm a n yp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sa n db e c o m et of o c u s o fa t t e n t i o nr e c e n t l y w a v e l e tt r a n s f o r mi sag o o da n a l y a mm e t h o di nt h et i m ed o m a i na n dt h ef r e q u e n c y d o m a i n ，e s p e c i a l l ya p p l i c a b l ef o rn o n s t a t i o n a r ys i g n a lp r o c e s s i n g h o w e v e r ，h o wt oc h o o s e p r o p c rb i o r t h o g o n a lw a v e l e tb 鹊e sa n di t s s c a l et e c t i o ni nt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sa l l i m p o r t a n ta n dd i s p u t a b l ei s s u e i ti sb a s e do nt h ef a c tt h a tt h ew a v d e ti ss i m i l a rw i t ht h e s i g n a lt ob ea n a l y z e di nr e g u l a r i t y t 1 l a tm e a n sw ec a nu s es m o o t hw a v e l e tt op r e s e n ts m o o t h s i g n a la n ds i n g u l a ro n et op m s e mn o n s m o o t hs i g n a l t h er e l a t i o nb e t w e e nf r a m ea n do r t h o n o r m a lb a s e si sd i s c u s s e da n dan e wm e t h o df o r c o n s t r u c t i n gt h ew a v d c tb a s i sb a s e do nt h ew a v d e tf r a m ei sa l s op r e s e n t e d a no r t h o n o r m a l w a v e l e tb a s i si sc o n s t r u c t e d i th a sr e l a t i v e l yg o o dt i m e - f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na sw e l la si s o r t h o n o r m a l k e yw o r d s ：w a v e l e t ：t i 曲tf r a m e ；o r t h o n o r m a lb a s i s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：王乏逸 日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编八有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：垃 日 期：砬。! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日 期： 雳菊 迦z ! ! 电话： 邮编： 第一章引言 1 1 小波发展概述 小波分析是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析之后 的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在 科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的数学理论，又是工程应用 中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其它学科和领域的发展，使得其 本身具有了多学科相互结合、相互渗透的待点。探讨小波的新理论、新方法以及新应 用已成为当前数学界和工程界一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。 实际上，小波的诞生可以追述到本世纪初。1 9 1 0 年h a a r 提出了一个规范正交小 波基， 但那时还未涉及到“小波”的概念。1 9 3 8 年l i t t l e w o o d - p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了一种l - p 理论，即按二进制频率成分分组f o u r i e r 变换的相位变化本质上 不影响函数的大小和形状。c a l d e r o n 在1 9 7 7 年利用他早年发现的再生公式将抛物线 空间上的原子进行分解，成为许多函数分解的出发点，其离散形式已接近小波展开， 但还没有得到有关正交系的结论。1 9 8 2 年s t r o m b e r g 对h a a r 系做了改进，证明了小 波函数的存在性。1 9 8 2 年在构造量子场论时使用了类似c a l d e r o n 再生公式的展开。 1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e t 分析地震波的局部性质时发现f o u r i e r 变换难以 达到要求，在信号分析中首先引入小波概念，通过物理的直观和信号处理的实际需要 经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。幸运的是，在二十世纪七十年 代，a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小 波变换的诞生作了理论上的准备，而且j 0 s t r o m b e r g 还构造了历史上非常类似于现 在的小波基，1 9 8 6 年著名数学家y m e y e t 偶然构造出了一个真正的小波基，并与 s m a l l a t 合作建立了构造小波基的同样的方法及其多尺度分析之后，小波分析才蓬勃 发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s 对小波的普及起了重要推动作用，它与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换相比，这是 一个时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运 算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难 问题，从而使小波变换被誉为“数学显微镜”它是调和分析发展史上里程碑式的进 展。 1 2 小波分析的特点 小波分析是当前数学领域中一个迅猛发展的新方向，是由f o u r i e r 分析发展起来 的一种新的数学方法，同时具有理论深刻相应用广泛的双重意义。在小波分析中，利 l 用小波基取代传统的三角函数基，对函数进行分析和研究。由于小波基是由一个小波 函数y ( z ) ( ( z ) 充分光滑、快速衰减、具有振动、状如小波) 经过平移和伸缩得到 的，因此具有简单、灵活、随意的特性，又具有多分辨分析的功能。它为诸多应用领 域提供了一种新的更为优越、更为方便的分析工具。 我们知道传统f o u r i e r 分析是纯频域分析，是将一个函数表达成三角级数之和的 变换。三角基函数虽然在频域中有良好的局部性，但在时域其支撑集是无限且函数无 衰减性。为计算单个频率的频谱，就要使用信号再过去和将来的信息；在时空域中没 有任何分辨率，反应不出时间与频率的关系。而在故障诊断、处理瞬态和非平稳随即 信号时，往往需要知道信号在任一时刻的频率特征，实现信号在时域和频域上的局部 化，这是传统f o u r i e r 分析做不到的。 与f o u r i e r 分析类似，小波分析中也存在积分小波变换、小波级数和离散小波变 换。与f o u r i e r 变换相比，小波分析是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从 恃号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 ( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) 、解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题。两者的本质 区别在于：f o u r i e r 分析只是考虑时域和频域之间的一对一映射，它以单个变量( 时间 或频率) 的函数表示信号；小波分析则利用联合时间尺度函数分析非平稳信号，从根 本上克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号的缺点。小波分析与时频分析的区 别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号：小波分析描述非平稳信号虽然也在 二维平面上、但不是在时频平面上，而是在所谓的时间一尺度平面上。在小波分析 中，人们以不同的尺度( 或分辨率) 来观察信号。信号分析的这种多尺度( 或多分辨率) 的观点是小波分析的基本点。 1 3当前小波应用研究工作的几个主要方面 在小波理论发展的同时，小波应用的研究工作也在不断地开展，丰要集中在以下 几个方面： ( 1 ) 小波在数学其它分支中的应用，如求微分方程、积分方程，函数逼近，分形、 混沌问题，概率小波，非线性分析等等。1 9 8 8 年，a r n e o d o 和g r a s s e a u 把小波理论运 用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生成现象；1 9 9 0 年，b e y l k i n 和c o i f m a n 把小波用于算子理论：1 9 9 1 年，j a f f a r d 与l a u r e n e o t 把小波变换运用于偏微分方程 的数值解。 ( 2 ) 小波在信号处理中的应用，包括信号检测、目标识别以及去噪等，比如语音信 号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震信号、机械故障信号等。 ( 3 ) 小波在图像处理中的应用，其中包括图像数据压缩、去噪，数字水印，指纹鉴 别，模式识别等。 ( 4 ) 小波在通信中的应用，如在c d 姒、自适应均衡、扩频通信和分形调制等方面的 应用。 2 综上所述，小波分析既被认为是调和分析这一纯数学重要领域半个世纪以来工作 之结晶，也是信号与图像分析、量子物理等科学和工程技术近十年来在数学方法上的 重大突破，从而被认为是应用数学的新趋势。 1 4 主要研究工作 我们的研究从分析小波构造理论入手，系统介绍了多分辨分析理论 ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 和小波分析的m a l l a t 算法。阐述了小波基选择的一般 原则，使用几种常用小波基对周期信号，非周期信号及混沌信号进行处理和分析。所 有计算与实验均在m a t l a b 语言环境中模拟实现。最后，在m e y e r 紧框架小波的基础 上，构造了一组新的紧支撑规范正交小波基，并对其规范正交性进行证明。 第二章小波分析概述 2 1 小波分析与f o u r i e r 分析1 1 。4 】 从数学上看，小波分析与其它分析( 如f o u r i e r 分析、有限分析等) 一样，都是用 特殊的基函数来展开和研究一个任意函数。在此以前，以三角函数基的应用最为广 泛。自1 8 0 7 年法国数学家f o u r i e r 提出f o u r i e r 分析以来，分析方法起了关键性的变 化，它最重要的意义是f o u r i e r 变换引进了频率的概念，它把一个函数展开成各种频 率的谐波的线性叠加，由此引出了一系列频谱分析的理论，使对函数性态的研究可以 转化为对f o u r i e r 系数和f o u r i e r 变换的研究。很多在时域中看不清的问题，放到频 域中却能一目了然。因此，长期以来，f o u r i e r 分析理论不论在数学中还是工程科学中 一直占据着极其重要的地位。但是，f o u r i e r 分析理论也不是完美无缺的，它的丰要缺 陷大致可归纳如下： ( 1 ) 对任意函数，三角基是否最好。 ( 2 ) 分辨率不高，在f o u r i e r 级数中，由于频谱点的等距分布突变的非平稳函 数。 ( 3 ) 不能同时作时域及频域分析。一个函数经f o u r i e r 变换，就失去了时间特 性，f ( u ) 只能作频域分析。虽然窗函数的引进在一定程度上解决了时域、频域分 析的问题，但由于窗口大小是固定的，因而无法适应非平稳信号，且缺乏离散正交 基。 ( 4 ) 三角基在时域上没有局部化，因此在时域上不能作局域分析。事实上，因为 ( o ) 是厂关于频率的谐波分量的振幅，它是由的整体待性决定的，我们无法从 厂) 知道厂在任一时刻的性态。同时，全域基也使计算变得复杂和麻烦。 ( 5 ) f o u r i e r 分析只在三2 ( 尺) 有效，对p 2 的( r ) ，f o u r i e r 系数只是形式展 开，而不能到刻画函数的性态。 为了克服傅氏分析不能同时作时频分析的缺点，g a b o r 在1 9 4 4 年引进了“窗口” f o u r i e r 变换，其主要思想是取一个光滑函数g ( t ) ( 称为窗函数) a 取 f 1 t ( 一+ 文一j ) g ( t ) = 光滑的寸0t ( - a - 8 ，一+ 艿) ，t ( 一j ，+ 回 ( 2 1 1 ) l 0 其它 于是窗口f o u r i e r 变换定义为 4 g ，( 六f ) = i f ( t ) g ( t - r ) e - j e t d t ( 2 1 2 ) 通常选用能量集中在低频处的实偶函数作窗函数g ( f ) ，从而保证窗口博氏变换在 时域和频域内均有局域化功能，窗口傅氏变换的时域、领域窗口的大小一旦选定就固 定不变，与频率无关。因此，它只适于分析所有特征尺度大致相同的过程，窗口没有 自适应性，不适于分析多尺度信号和突变过程，而且其离散化形式没有正交展开。 因此，长期以来，人们一直在寻找另外的基来展开和描绘任意函数，以弥补 f o u r i e r 分析不足。经过多年的探索和总结，逐渐发展成为目前的小波分析理论。 小波变换继承和发展了窗口傅氏变换时域、频域局部化的思想，同时又克服了窗 口大小不随频率变化、没有离散正交基的缺点。个小波基函数的作用相当于一个窗 函数，小波基的平移相当于窗口的平移，它既有随频率变化的自适应窗口( 低频区有大 的时域窗口，频率越高，则时域窗口越小) ，而且具有离散化的规范正交基，因此小波 变换是比较理想的时频分析工具。 2 2 基本小波变换 5 , 7 - j l 】 设函数妒( f ) r ( r ) ，且满足以下容许条件： c ，砌挚 o 。 汜z ， 则称函数g t ( t ) 为母小波或基小波，其中令驴( )q ( t ) 的傅里叶变换。如果( f ) 满 足 抄( f ) 1 2 d t = l ( 2 2 2 ) 则称( f ) 是规范的。 由基小波生成的小波函数系可表示为： 咖o ) ：j 口| 巧缈( ! 二鱼) ( 2 2 3 ) 口 将信号在这个函数系上做分解，就得到了连续小波变换的定义。 定义：设，o ) r ( r ) 则对其基小波函数。( f ) 的连续小波变换为 ( 既似口，6 ) = e f ( t ) 瓦( t ) d t ( 2 2 4 ) 在表达式( 2 2 4 ) 中，求得信号在固定小波函数虬。( f ) 上的分量，对参数a 和b 进 行展开以后，就得到了任何时刻，任意精度的频谱了。所谓小波变换，就是将信号或 函数分解成不同频率的分量，依每个分量的尺度( 频率高低) 按相应的分辨率对分量 进行研究分析的方法。 由于连续小波变换的伸缩和平移系数是相互独立的，所以通过伸缩和平移得到的 各个小波函数虬。 ) 之间有定的相似性，抛开小波函数本身的正交性不谈，由于这 两个系数之间的独立，就引入了信息的冗余。在分辨率一定的情况下，描述了多余的 信息，使得反映信号特征的一些参数相互重叠，给我们的分析带来不便，但这个特点 可以用在本身就有的相似性的信号上，可以让我们更清楚地看到信号自身的自相似 性。 此外由于信息的冗余，也使得小波逆变换的重构过程不惟一，也就是说由同一 个母小波生成的不同的小波变换函数可能重构成同一个信号。对比f o u r i e r 变换， f o u r i e r 变换的逆变换是惟一的。所以，如何减少小波变换的冗余度也是近年来研究的 主要问题之一。 为了达到减少信息冗余的目的，就引入了离散小波变换概念，其中的伸缩和平移 系数是可数的。重构过程用求和的形式给出。把参数口或b 或( 口，b ) 同时做离散化， 就得到了离散小波变换。 离散小波函数可表示为： 缈m ( r ) = 面九( 口i ，一忌) ，k z ( 2 2 5 ) 离散小波变换的系数可表示为： 女( f ) = ( r ) ( o a t ( 2 2 6 ) 类似离散f o u r i e r 级数，其重构公式为： 邝) = c 形，蚧。( ，) ( 2 2 7 ) 其中c 为与信号无关的常数。如果选取的离散点满足a o = 2 ，b o = l ，则称为二进 小波变换。当然，做了这种离散化以后，为了小波能够正确的把信号进行分解，还要 做一些限制条件。 设函数y ，j l 2 ( r ) ，如果存在两个常数a ，b ，且0 a b o 。使得稳定性条 件； a - z i 驴( 2 一) 1 2s b ( 2 2 8 ) ，e z 几乎处处成立，如果a = b 则称为最稳定条件。那么函数序列 ，f ( k ) l 。 叫做函 数厂的二进小波变换。其中 ( t ) - - - 古e 厂( f ) - 虿j 7 二i ( 2 2 9 ) 由小波变换重构原始信号的逆变换为： 6 ，( f ) = j f ( k ) * q 2 ，( t ) j e z ( 2 2 1 0 ) 由小波的定义可知，小波函数和其f o u r i e r 变换沈。( 缈) 满足窗函数的条件。那么 小波函数的时间窗和频率窗就可以表示为： 6 ( f ) ：【b + a t o a a r ，b + a t o + 以】 e i 1a 堕a + 1 a a a ，】 口口 可见，h 越大，频率窗越小，时间窗越大。而通过选取不同的a ，时间窗和频率 窗的比例可以自行调节。这样小波分析就可以获取任何时间任何感兴趣的频谱，不必 像短时f o u r i e r 变换那样只能获取固定时间窗内的固定频率段了。 件： 2 3 小波函数的特点t 6 l 2 3 1 小波基的形式和特点 彬= s p a n ￥， j , k e z ( 2 3 1 ) 其中，小波基。的基本格式为 ，t = 2 圻t u ( 2 j x - | i ) l n ( 2 3 2 ) 它们构成( r ) 的规范正交基。其中，缈( x ) 称为正交小波，它满足以下三个条 ( 1 ) ( 工) 与它的各阶导数( 如t n 阶，m 1 ) 都属于r ( 胄) 。 ( 2 ) ( 工) 及它的棚阶导数在c o 处速降。 ( 3 ) 对o 七m ，有e x k y ( x ) d x = 0 。 由式( 2 3 2 ) 给出的小波基具有以下特点： ( 1 ) 可以同时作时频域分析，小波函数中包含两个整数变量_ ，七，分别代表频域 分辨率和时间平移量。 ( 2 ) 小波基具有良好的局部化性质，便于作局部分析，并有利于减少计算量。 ( 3 ) 多分辨功能数学显微镜。小波基函数可按分辨率伸缩，波形可窄可宽。 可以把分辨率聚焦到研究对象的任意细节，具有很强的分辨功能。 ( 4 ) 小波中2 的伸缩率与计算机视觉及人眼视觉特征相吻合，有利于图像数据的 压缩。 ( 5 ) 小波基是大多数b a n a c h 空间的无条件基，因此，它的适用范围比f o u r i e r 7 分析更广。 ( 6 ) 小波子空间是一串互相正交的闭子空间序列 ，j e z 。每个w j 中由小波 基函数整数平移构成该子空间的规范正交基 ，t l 。：。 由于小波基的平移、展缩功能，使小波具有灵活可变的时间一频率窗。在高频 时，时间窗变窄，而在低频时，时间窗变宽。这有利于分析非平稳信号。 2 3 2 小波基的特性 小波基的特性除了连续性、正交性外 失矩、时频窗的中心、半径和面积等。 1 小波矩和消失矩 定义t = i 。f 旷( n 出 为小波( f ) 的第r 阶小波矩。 一般还包括对称性、紧支性、衰减性、消 称小坡( f ) 具有m 阶消失矩，如果对所有0 n l m ， 有 f “( f ) 出= o 消失矩在探测信号中的奇异点是非常有用，小波具有的消失矩越高， 的能力就越强。 2 时频窗的中心、半径和面积 母小波缈( f ) 的时窗中心乇和半径定义如下 f o = ，) m ( 玎d t 妒= i f o f o ) 2l y ( f ) 1 2 l l 妒o ) 1 2 疵 上二式中，i 炒( f ) 0 = ( 工妙( f ) 1 2a t ) 必 则相应的频窗中心和半径a g 为 = 上妒( 国) 2 i i 矿( ) 砌 驴= 量( 一吐b ) 2i 矿( ) 1 2 l l 驴 ) 1 1 2d 卯 啦 上二式中，j 眵( ) 0 = ( i 矿( ) 1 2d a 0 1 2 时频窗的面积为 ( 2 3 3 ) 洲 解 | | 川 汜 删 汜 汜 泣 s = ( 2 缈) ( 2 痧) 2 ( 2 3 9 ) 式子( 2 3 6 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 决定了一个小波v ( t ) 的时频局部化特性，s 的值越小l i r ( t ) 的时频局部化能力就越强，即其聚焦能力越强的值越小，v ( t ) 的 时域局部化能力越好，沙的值越小，v ( t ) 的频域局部化能力就越好。 3 紧支性和衰减性 如果小波1 l r ( t ) 有紧支集，则称其是紧支的；如果当t 一一时，1 l r ( t ) 快速衰减 或按指数规律衰减，则称其是急衰的。紧支性与衰减性是小波的重要性质，紧支宽度 越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好；紧支小波应用时不需要做人为的切断精度 很高。但是v ( t ) 不可能在时域和频域上都是紧支的，顶多是一个紧支，另一个急衰。 4 线性相位 l 2 ( r ) 中的函数1 l r ( t ) 具有线性相位，如果它的f o u r i e r 变换满足 矿( 缈) = 眵( ) i e 叫” ( 2 3 1 0 ) 式中a 是某个实常数而号与u 无关。对称的实函数具有线性相位，在信号的小 波分析中小波作为滤波器具有线性相位，则能避免信号在小波分解和重构时的失真。 2 4 多分辨率分析口一j 2 2 0 1 1 9 8 8 年，m a l l a t 与m e y e r 合作提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n - a n a y s i s ， 简称m r a ) 的框架，其主要思想是将l 2 ( r ) 分解为一串具有不同分辨率的子空间序列。 该予空间序列的极限就是l 2 ( r ) ，然后将l 2 ( r ) 中的，描述为具有一系列近似函数的逼 近极限，其中每一个近似函数都是， 在不同分辨率子空间上的投影。通过这些投影可 以分析和研究，在不同分辨率子空间上的性态和待征，这也就是多分辨分析这个名称 的由来。 当尺度q 较大时视野宽而分析频率低，可以做概貌观察；当尺度a 较小时视野 窄而分析频率高，可以做细节观察。但不同。值下分析的中心频率与带宽的比值却保 持不变。这种由粗及精对事物的逐级分析称为多分辨率分析，它是小波变换的核心部 分，也是小波变换联系工程应用的重要方面。 设 巧 脚是r ( r ) 的一串闭子空间序列，如果满足以下五条，则称 巧 ，zy 口l 2 ( r ) 的一个蝴认： ( 1 ) 单调性：巧，； 9 ( 2 ) 平移不变性：若“( ? ) 巧铮u ( x 一| ) 巧； ( 3 ) 二进制伸缩相关性：若“( x ) 巧营u ( 2 x ) e 巧+ l ，u ( 2 x ) ： ( 4 ) 逼近性：u = f ( 胄) ，n - - o ) ； ，e zj z ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在g ，使 g 一七) ) 。是的r i e s z 基。 从条件( 1 ) 中可以看出，闭子空间序列 是一个包含一个的，由条件( 4 ) 可知它 们的极限位置： z 2 ( r ) z ：g = v j 3 巧一，3 二二眈3 o ) ( 2 4 1 ) 从条件( 2 ) 可以看出，当j 固定在同一个子空间中，可由一个基函数g ( x ) ( 称为尺 度函数) 通过平移得到该子空间的基f 9 0 一后) 。又可推出g ( x ) 满足双尺度方程 g ( x 2 ) = a 。g ( x 一七) 。 j e z 从条件( 3 ) 可知，任何两相邻子空间之间相差一个二进分辨率，也就是说，只要知 道了任一个子空间中的基，就可通过分辨率的二进伸缩，立即得到相邻子空间中的 基，因而也就可得到所有予空间中的基。 通过条件( 5 ) ，我们可以通过r i e s z 基的规范正交化构造出r o 中的规范正交基，因 而也就可以构造出所有 一 ( ，z ) 中的规范正交基。但因为 。不是r ( r ) 的正交分 解( 而是单调的嵌套子空间序列) ，所以不可能由 一 ( z ) 中的基来合成r ( r ) 的规范 正交基。因此，m r a 进一步的工作是要从 巧 。通过正交补的方法构造出r ( r ) 的正交 分解子空间序列 形 。( ，z ) ( + 巧= 巧+ t ) ，即所谓的小波子空间序列。具体的做法 是要从巧的基构造出形的基，然后合成全空间r ( r ) 的基小波基。 2 4 。1 尺度函数与尺度空间d 6 7 , 2 2 1 定义函数o ( t ) r ( r ) 为尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) ，若其整数平移系列 c a t ) = q k ( t - k ) 满足式： 瓦 ( 2 4 2 ) 尺度函数( ，) 在平移的同时又进行了尺度的伸缩，得到了一个尺度和位移均可变 化的函数集合： ( f ) = 2 - j 2 妒( 2 一t - k ) = 唬( 2 7 r ) ( 2 4 3 ) 则称每一固定尺度j 上的平移系列噍( 2 一，) 所张成的空间为尺度为j 的尺度空间。 尺度函数o ) 在不同尺度下其平移系列张成了一系列的尺度空间。随着尺度j 的 增大，函数式妒，。( f ) 的定义域变大，且实际的平移间隔也变大( 2 ，) ，则它的线性组 合式不能表示函数( 小于该尺度) 的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度 的缓变信号：相反，随着尺度j 的减小，函数时o ) 的定义域变小，且实际的平移间隔 也变小。则它的线性组合便能表示函数的更细微( 小尺度范围) 变化，因此其张成的尺 度空间所包含的函数增多( 包括小尺度信号和大尺度缓变信号) ，尺度空间变大。也即 随着尺度的减小，其空间增大。 2 4 2 小波函数和小波空间”6 7 0 1 多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，也即一 个多分辨率分析 巧 ，z 对应一个尺度函数，虽然有鬯巧。r ( r ) ，但 巧) 间空间相可： 包含，不具有正交性。因此它们的基式矿。( ) - - 2 一，胆( 2 t 一七) 在不同尺度空间不具有 正交性，也即 哆，t ( f ) m ：不能作为r ( r ) 空间的正交基a 为了寻找一组r ( 五) 空间的正交基，我们定义尺度空间 匕 。的补空间如下： 设与k 在圪一，中的补空间，即： 一i = 圪。既 ( 2 4 5 ) 显然，任意子空间与w n 是相互正交的( 空间不相交) ，并且既上。当m ” 和h z ，由此可知： 工2 ( r ) = o ，z ( 2 4 6 ) 因此 形 。构成了r ( r ) 的一系列正交子空间。并且： 形= 巧一t 一巧 ( 2 4 7 ) 若设 戎，。；k e z 为空间w o 的一组正交基( w o 的正交基可能有许多，我们取其中一 组来讨论) ，对所有尺度j e z ，l = 2 。胪g t ( 2 7 t - k ) ；k z 必为空间i f ( r ) 的正交基， ，t 的整个集合 蚧， ；j e z ，k z 必然构成了r ( r ) 空间的一组正交基。 对照离散小波基的定义，此处的。( ，) 正是由同一母函数伸缩平移得到的正交小 波基，因此可称y 为小波函数，相应地称矽是尺度为j 的小波空间。小波空间是两个 相邻尺度空间的差。 相邻尺度空间的投影之间的细小差别即为函数f ( x 1 在相应尺度小波空间上的投 影，因此小波空间有时又称为细节空间。 由多分辨率分析的定义： v o = k 0 = o 0 彬= 巧o o 0 一 ( 2 4 8 ) 对于任意函数f ( x ) ，我们可以将它分解为细节部分彬和大尺度逼近部分k ， 然后将大尺度逼近部分k 进一步分解，如此重复就可得到任意尺度( 或分辨率) 上的逼 近部分和细节部分。若将函数f ( x ) 向不同尺度的小波空间矿投影，则可得到不同尺度 下的细节信号。 离散正交小波变换同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理论为正交小 波变换提供了数学上的理论基础。 2 4 3 尺度函数( x ) 和小波函数妒( x ) 的重要性质4 1 p o i s s o n 公式用于描述整数平移系列的正交归一性在频域的表现： 邝一l q ) f ( t - k 2 ) d t = 6 ( k 2 一毛) 则此正交归一性质的频域表现为： z l f ( o j + 2 k - ) 2 = 1 其中f ( 0 2 ) 是f ( t ) 的f o u r i e r 变换。 设z ( ，一毛) ，l ( t - k d l q ，屯z 是两组正交的函数集合， 上彳( f 一岛) 丽乏= o ；毛，乞z 则此正交性质的频域表现为 f l ( c o + 2 k x ) f 2 ( 0 2 + 2 k n ) = 0 其中e ) ，f 2 ( c o ) 分别是石( f ) l ( t ) 的f o u r i e r 变换。 ( 1 ) 尺度函数 1 2 ( 2 4 9 ) 以j ( f ) = 2 一胪妒( 2 t - k ) ；j ，ke z 在同一尺度函数具有正交归一性，不同尺度之间的尺度函数不具有正交性。 ( 2 ) 小波函数 蚧 ( f ) = 2 口i f ，( 2 一t j ) 对所有的_ ，忌z 都是相互正交的。 ( 3 ) 同一尺度之间，小波函数，i ( f ) 与尺度函数吒，。( t ) i e 。 2 5m a l l a t 算法一一信号的离散小波变换及其逆变换口。6 一“”】 s m a l l a t 在1 9 8 6 年将计算机视觉领域的多分辨分析的思想巧妙地引入n d , 波分 析中，从而统一了在此之前各种小波基地构造方法，并给出了一种子带滤波器构造地 离散小波变换与重构算法。这样算法在小波分析中的地位相当于经典f o u r i e r 分析中 的f f t 奠定了离散小波变换的图象处理，图象编码等领域中的应用基础。 在一维情况下m a l l a t 算法可描述如下： 对一个m r a y ， 是关于k 的补空间，则l 2 ( r ) 可以分解成空间的直接和 三2 ( r ) = = 年一1 羊矿。羊矿l ； ez 所以对于，( x ) = i f ( r ) 都有唯一分解 厂( 工) = g 女( x ) 一+ g - 。( x ) + 蜀( x ) + 其中g k ( x ) 。令z ( x ) 圪，贝0 ( x ) = 岛一1 ) + 颤一2 ( x ) + 并且 厶o ) = g 。- 1 ) + 正4 ) 写出中( x ) 与l l ，( x ) 的两尺度关系 妒( 曲= p 4 k ( 2 x - n ) 缈( x ) = q 一功 即中( x ) 与v ( x ) 的分解关系 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 x - 1 ) = q 2 。( 了一行) + 6 ，一2 。( x 一行) ，= o ，1 ，2 ， ( 2 5 6 ) 其中， = k = 扣 写 丘( 算) = q ，痧( 2 x - y ) g a x ) = y 以，y ( 2 x - y ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 在q ，d k ，中k 代表分解的“水平”。对于每个( x ) = i f ( r ) 厶= p rj v , ， 。 ( 2 5 9 ) 这个投影不一定是正交投影。可以把看成“抽样空间”而把厶看作厂在k 上的“数据”( 或测量值) 。对于任何正整数m ，因为 = 一。- i - 一，一一，阜一：阜阜一。；一。 ( 2 5 ，1 0 ) 所以厶( 工) 有唯一解： ，【x ) = g n 一1 ( 叫+ g 一2 ( x ) + + g 村( x ) + 厶一村【x ) 上式中的唯一分解称为小波分解。 对于固定的k ，由 c 。，) 求 q ，。 和 矾。 的算法称为分解算法。 应用分解关系式3 3 6 及一些数学推导，可以得到分解算法 f q 。= q 。c k 扎， i 以户6 ，。c k 。， l l 固定k ，由 q ，。) 和 4 ，。 求 q “。 的算法称为重构算法。 应用两尺度关系及一凿数学推导可以得到重构算法 。= 岛。q ，+ ：，钆 ， 分解和重构可以用下图来表示其中q = 吒。 ，以= 以。 1 4 ( 2 5 1 1 ) ( 2 5 1 2 ) ( 2 5 1 3 ) ( a ) 分解 图中：l2 表抽取向量中标号为偶数的元素。 ( b ) 合成( 图中：个2 表在向量中插值) 图2 1 一维离教小波变换 其中的g 为高通滤波器h 为低通滤波器，利用可分离滤波器的形式( 或张量 积) 可以很容易地将上述结论推广到二维。 二维信号进行小波分解和重构地数据流如下图所示 ( a ) 分解 ( b ) 合成 图2 2 二维离散小波变换 2 6 小波包分析 i o , m 3 0 , 3 2 】 在正交小被变换中，每次都是对低频部分进行分解、所以在高频部分频率分辨率 很低，而在低频部分时间分辨率太低，根据实际的直观印象，这种分解方式很直接， 因为高频部分频率很高，不需要太高的分辨率就能区分能量的差别。低频部分需要较 高的频率分辨率确定频谱成分，但在有些应用中只有这样单一模式的分解是不够 的具体到一些实际问题，可能需要对某些时频窗口进行精细的分析，而这些分析选 取的规律并不一定那么明显，只能靠对变换的某些参数进行分析得到，小波包分析 ( w a v e l e tp a c k e ta n a l y s i s ) 能够为信号提供一种更为精细的分析方法，它将频带进 行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信 号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时一频分辨 率，因此，小波包具有更广泛的应用价值。 在多分辨率分析中，r ( 足) = o ，表明多分辨率分析是按照不同的尺度因子j 把 ，e z 。 t t i l b e r t 空间l 2 ( 尺) 分解为所有子空间，( ，z ) 的正交和，其中矽，为小波函数( f ) 的闭 包( 小波子空间) 。 现在我们希望进一步对小波子空间形按照二进制分式进行频率的细分，以达到提 高频率分辨率的目的。一种自然的做法是将尺度子空间v ，和小波子空间缈用一个新的 子空间【厂? 统一起来表征，若令： 黔膨 ( 2 6 1 ) 我们可用一个新的子空间叼将两个子空间统一起来：吸。= u ? o u j ，j e z 。 定义子空间叼是函数甜。( f ) 的闭包空间，而町”是函数“：。( ，) 的闭包空间，并令 “。( f ) 满足下面的双尺度方程： “：。o ) = 4 5 z h ( k ) u ( 2 t 一七) 竺2 ( 2 6 2 ) i 甜m i ( f ) = 压g ( 七) ( 2 t 一七) 。 式中g ( k ) = ( - 1 ) h ( 1 一k ) ，即两系数也具有正交关系。 定义( 小波包) 由此双尺度方程构造的序列( “。o ) 称为由基函数u 。( f ) = 妒( f ) 确定 的正交小波包。 。 小波包的空间分解，对每个j 值( ，= ) 的小波子空间，进一步分解有： = u 知o u ；一， = u ，4 一：o u 二：o 啦：o u 二： ：u 之。u 盘- 。【，鬈一， 2 6 3 一- - u 。2 。o u o o 簖。 对每个j 值( j ：) 的小波子空间，进一步分解可得小波包的h i l b e r t 分解空 间： r 纽) = o 一o 矽。o w o o u ；o u ；o ( 2 6 4 ) 随着尺度j 的增大，相应正交小波基函数的空阔分辨率愈高，丽其频率分辨率愈 低，这是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j 增大而变宽的频谱窗口进一 步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的这一点不足。小波包可以