（控制理论与控制工程专业论文）数学模型在高校招生预测中的应用.pdf

c a n d i d a t e ： s u p e n 唷s o r ： z h uz h i w e i p r o l u y a n a c a d e i i l i cd e g r e ea p p l i e df o r ：m a s t e ro fe n g i n e e r i n g s p e c i a l 哆： c o n t r o lt 1 1 e o 巧a n dc o n 廿0 1e n g i n e e r i n g d a t eo fo r a le x a m i n a t i o n ： j u n e2 01o u n i v e r s i 够：q i n g d a ot e c l u l o l o g i c a lu n i v e r s i t y 硕士学位论文 数学模型在高校招生预测中的应用 学位论文答辩日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： 碌目 青岛理工大学工学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 选题的背景与研究意义”1 1 2 预测方法和步骤”2 1 3 研究现状”4 1 4 论文的研究内容和结构5 第二章灰色模型在高校招生预测中的应用7 2 1引言- 7 2 2 灰色g m ( 1 ，1 ) 模型8 2 2 1 建立g m ( 1 ，1 ) 模型9 2 2 2 g m ( 1 ，1 ) 模型误差的检验1 0 2 2 3 g m ( 1 ，1 ) 预测值精度估计1 2 2 2 4 g m ( 1 ，1 ) 模型群1 3 2 3g m ( 1 ，1 ) 模型改进1 5 2 4 灰色模型g m ( 1 ，1 ) 在高校招生预测中的应用1 8 2 4 1 招生人数变化情况的概述”1 8 2 4 2g m ( 1 ，1 ) 模型预测1 9 2 4 3 改进g m ( 1 ，1 ) 模型预测“2 1 2 5 本章小结2 3 第三章灰色一支持向量回归机模型在高校招生预测中的应用2 4 3 1引言2 4 3 1 1统计学习理论v c 维2 4 3 1 2 结构风险最小化原则2 5 3 2 支持向量机2 6 3 2 1 支持向量回归机2 6 3 2 2 核函数2 7 3 2 3 损失函数2 8 3 3 支持向量机算法2 9 3 3 1 选块算法2 9 青岛理工大学工学硕士学位论文 3 3 2 分解算法3 0 3 3 3 序列最小最优化算法3 2 3 4 支持向量回归机在高校招生预测中的应用3 4 3 5 灰色一支持向量回归机模型在高校招生预测中的应用3 7 3 6 本章小结3 8 第四章组合模型在高校招生预测中的应用3 9 4 1 引言3 9 4 2 组合预测方法3 9 4 2 1 定性确定权重方法“4 0 4 2 2 基于最优组合确定权重方法。”4 0 4 2 3 时变权重4 2 4 3组合模型在高校招生预测中的应用4 3 4 3 1 组合模型应考虑的问题4 3 4 3 2自适应过滤法- 4 3 4 3 3 组合模型在高校招生预测中的应用一4 4 4 4 本章小结一4 6 第五章高校招生系统4 7 5 1系统简介一4 7 5 2 系统功能模块4 8 5 3生成可执行文件5 0 结论5 1 参考文献5 3 攻读硕士学位期间发表的学术论文5 7 致谢5 8 青岛理工大学工学硕士学位论文 摘要 预测是人类根据历史或己知对未来或未知做出的推断和期望，科学的预测是 做出正确决策的前提和保障。随着改革开放的深入，我国的经济社会得到了迅猛 发展，我国高等教育事业也取得了巨大发展。通过历年来学校的招生情况综合分 析研究，并建立合适的模型预测未来的招生计划对学校招生工作进行指导，对其 进行研究具有重要意义。 本课题研究的主要内容是单一模型的基础上应用组合模型进行预测，以解决 更多的实际应用问题。对于本论文的研究对象是对普通高等学校的招生人数进行 建模预测。本课题提出了两种的模型：灰色g m ( 1 ，1 ) 模型，支持向量机模型。 首先，对高校招生这类样本小、非线性、不确定的研究对象建立灰色预测模 型，并对模型进行改进。与传统模型进行比较，发现灰色g m ( 1 ，1 ) 预测模型很好的 解决了高校招生的预测问题，具有很好的预测效果。 其次，对同一研究对象采用同样针对小样本数据统计估计和预测学习的统计 学习理论的支持向量回归机模型进行建模预测。并把灰色模型和支持向量回归机 相结合对高校招生进行建模，取得更好的预测效果。 最后，将上述的单一模型采用最优组合的方法定权重得到组合预测模型，对 研究对象进行预测。结合各个模型的优势，使模型更符合实际情况，预测精度很 高。 关键词招生预测；灰色模型；支持向量机；组合预测；预测 a b s t r a c t p r e d i c t i o ni sh u m a n si n 衔e n c ea n de x p e c t a t i o n s a c c o i i d i n gt oh i s t o 巧o rs o m 吼h i n g h a v eb e e i lk 1 1 0 w n ，p e o p l em a k ei n f 打e 1 1 c ea n dj u d g m 锄t s c i e n t i f i cp r e d i “o ni s t l l e p r e r e q u i s i t e 眦dg u a r a n t e ef 1 0 r t l l er i 曲td e c i s i o n s w 池t l l ed e e p e i l i n go fr e f o ma 1 1 d o p c i l i n gu p ，c h i n a se c o n o m i ch a sd e v e l o p e dr a p i d l y ，a l sw e na sm ed e v e l o p m e n to f 。d u c a t i o n i ti sv e r ) ，i m p o r t a n tf o rs c h o o l s r o l l i n e n tw o r kt 0d os o m er e s e a r c ho n p r e d i c 恤g 也ee 1 1 r o l l m e n tp l a i lb ye s t a b l i s h i n gp r o p e rm o d e l t h em a i nc o n t e n to ft l l i sr e s e a r c hi st 0d os o m ep r e d i c t i o nt os 0 1 v em o r ep r a 舐c a l p r o b l e m ，u s i n gt h ec o m b i n a t i o nf - o r e c a s tm o d e lb a s e do n as i n g l em o d e l i i lt h i sr e s e a r c h ， t l l eo b j e c ti s 也en m b e ro fs t u d c i l te r l i o l l m e i l t t k si s s u ep r e s e i l t st w om o d e l s ：g r a y g m ( 1 ，1 ) m o d e l ，s u p p o r tv e c t o rm a c h i n em o d e l c 0 1 1 e g ee i l r o l l l i l e i l ti sas 锄p l e so fs m a l l ，n o n l i n e a r 锄du n c e n a i n t y f i r s t l y ，a 野a y p r e d i c t i o nm o d ds h o u l db ee s t a b l i s h e d ，a i l dm 髓m o d i f i e di t c o m p a r c dw i t hm e 仃a d i t i o n a lm o d e l ，w ef o u n d 也a t 笋a yg m ( 1 ，1 ) p r e d i 舐o nm o d e lc a i lg e tab e t t e r s 0 1 u t i o no nm ep r o b l e mo fp r e d i “n gc o l l e g ee n r o l h n e i l t ，粗dh a v eag o o de 日e c to n p r e d i c t i o n s e c o n d l y ，t h es 锄es t u d ya l s of o c u s e so nm es 锄er e s e a r c ho b j e c tb ym e m e t h o d o fs u p p o r tv e c t o rm a c h i n em o d e l c o m b i n i n gt l l ef a ym o d e lw i m 也es u p p o r tv e c t o r m a c h i n em o d e li sag o o dm e t h o df o rt h ee n r o l l m e n tm o d e l i n g ，a i l dc a na c l l i e v eb e t t e r p r e d i c t i o ne f f e c t f i n a l l y ，w ew e i 曲tm e s es i n g l em o d e l s ，锄da d o p tt h eo p t i m a lc o m b i l l a t i o nm e t h o d t 0g e tt h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s tm o d e l ，锄d 也e nw eu s et l l i sm o d e lt op r e 碰c tm e r e s e a r c ho b j e c t c o m b i n i n gt h ea d v a m a g e so fe a c hm o d e l ，t h em o d e li sm o r et a l l y 、j ，i t h 也ea c t u a ls i t u a t i o na n dc a ne 1 1 s u r et h eh i 曲f o r e c a s ta c r a c y k e yw o r d s s 眦e n t s e 1 1 r 0 1 1 m e l l tp r e d i c t i o n ；伊e ym o d e l ；s u p p o r tv e c t o rm a c h i i l e ； c o m b i n a t i o nf o r e c a s t ：f b r e c a s t i i 青岛理工大掌工学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 选题的背景与研究意义 新中国成立时，我国高等教育落后，高校的规模比较小，国家建设发展需要 大量各类人才，教育事业满足不了经济社会快速发展的需要，急需大力发展教育 事业。随着改革开放的深入，我国的经济社会得到了迅猛发展，我国教育事业也 取得了巨大成绩。到现在己普及了义务教育，高中阶段教育也发展很快。为了适 应了当前的社会发展需求，我国高等教育也发生了翻天覆地的变化。从1 9 9 9 年我 国高校大规模扩招以来，招生人数从6 4 3 万人增加到现在2 9 7 9 万人，高等教育的 规模逐步扩大，高等学校规模也逐步扩大但不能盲目扩大要有适度，规模过小或 过大都不利于国家经济社会的发展。2 0 0 2 年我国已经进入大众化教育阶段，但高 等教育不能盲目扩招，不能只求人数上的增加，要调整学科结构，提高教学质量， 培养社会需要的人才，自2 0 0 7 年后招生增长速度放慢。现我国己形成了若干所世 界一流的高水平大学，大批重点院校，为国家发展培育了大批基础研究的人才以 及高科技尖端人才，满足了我国在社会发展、国际竞争中需要的各方面人才。同 时扩招也存在不少困难和问题，如教育质量的下降，失去核心竞争力，背上扩建 包袱等。我国整体招生人数呈平缓逐步增长趋势，与我国的经济持续增长，各项 教育改革措施密切相关。我国的高等教育发展整体上是比较平缓稳定发展的，同 我国社会经济发展是相适应的，虽然教育水平还落后于发达国家，但不可否认的 是它取得了巨大发展，对国家社会经济发展做出巨大贡献。 作为独立的单个普通高等院校，普通高校的招生计划是个有机整体，会受很 多因素的相互影响，既包括国家政策、整个社会的经济状况等外部因素；也包括 学校本身各类设施等硬件条件及教师人数等内部因素。现在的教育是政府和市场 相结合的一种机制，国家每年会根据当前各种实际情况，调整招生比例。因此我 们普通高等院校的招生计划首先要依据国家政策的规定，在此基础上根据市场需 求及自身条件制定招生计划。合理科学的制定高校招生计划将影响高校能否可持 续高校的发展。高校自身应在具备基本办学条件的保障下，充分利用学校的综合 办学条件并保证教育质量的更好的招生。高校要充分清楚自身教育资源即高校的 人力、物力、财力情况。扩招是高校自身发展的机遇和挑战，机遇是由于社会经济 青岛理工大学工学硕士学位论文 发展需要，是高校发展的最好时机。挑战是各种基础设施承受前所未有的压力，很 多高校扩建校园都负债经营。所以我们要把握一个度，宏观上教育发展要与社会经 济发展相辅相成，微观上应考虑学校的自身实力即用于教学的各种“硬件”设 施、师资队伍还有后勤保障等。因此结合内外因素及学校自身的综合条件，制定 出适应社会经济发展，提高学校生源质量的招生计划。本论文是以普通高校招生 人数作为研究对象进行系统预测，为了适应教育改革与发展，给高等学校制定招 生决策培养人才提供一些科学依据。 1 2 预测方法和步骤 人类社会几乎所有的领域都存在预测问题，随着科学技术的发展和社会的进 步，人类越来越想把握未来对未来进行预测。预测是对还没有发生的或目前还不 明确的事物进行预先的估计和推测，根据过去和现在的实际资料情况，运用恰当 的预测技术和手段，对人们关心的事物在今后的可能发展趋势进行探讨，推断出 未来的结果。预测的本质就是通过尽可能准确的估计将来会发生什么事情来试图 减少未来的不确定性。 由于预测对象、范围、性质、属性等的不同，现有预测方法可以分成很多种 类。预测方法可大致分为定性预测与定量预测两大类【1 1 】。 1 定性预测也叫经验预测或者判断预测，它是以预测人员和某些专家的经验以 及掌握的一些直观资料，主观粗略的判断来预测未来。这种方法比较简单容易实 行，只能对事物的发展做出大概的粗略估计，其准确性比较差。但这种预测综合 性较强，需要的数据量很少，能考虑那些无法定量的因素。常用方法有市场调查 法、个人见解法、集思广益法、领先指标法、德尔菲法等。 2 定量预测是以历史统计的大量数据资料为依据，采用定量预测技术，考虑事 物发展变化的规律性和因果关系，建立数学模型，可以对事物未来发展前景进行 科学的定量分析。定量预测技术可分为因果关系预测、时间序列预测和结构关系 预测三种。 因果关系预测是分析考察预测对象与其相关影响因素之间的关系。一般采用 分析各种相关影响因素对预测对象的因果演变过程。预测对象的目标为y ，影响 因素为x ，则这种方法的数学模型为： 】，= 厂( z ) ( 1 - 1 ) 青岛理工大学工学硕士学位论文 称为y x 型。最常用的是各类回归模型，包括一元回归模型、多元回归模型、非 线性回归模型等。 时间序列预测也称趋势外推预测，是考察预测对象与演变过程所经历的时间 之间的关系。时间序列就是一系列定期的观察值，而时间序列预测就是分析预测 对象以往的格局和趋势，并将这种格局和趋势推延到未来。这种方法以预测目标y 为因变量，所经历的时间t 为自变量。其数学模型为： y = 厂( r )( 1 2 ) 称为】，一t 型。常用的方法有移动平均法、指数平滑法、马尔柯夫预测、灰色预测 等。 结构预测是研究不同研究对象之间的比例关系。一般用来分析研究对象之间 的比例演变过程。其数学模型为： y = 厂( y )( 1 3 ) 称为】，一y 型。常用在投入产出技术。 系统预测是对系统对象的发展、演变的客观规律的认识和分析过程。因此， 系统预测应建立在科学的理论基础之上，采用合理的分析、演算以及评论方法和 手段。这样系统预测技术应当包括它所遵循的理论、预测对象的历史和现状资料 与数据、所能采用的计算方法或分析判断方法、预测方法和结果的评价与检验等 要素。尽管不同的预测对象、不同的预测方法可能导致不同的预测实施过程，但 总体看来，特别是定量预测方法大致可分为以下几个步骤。 1 提出、分析预测问题，制定预测计划 这是预测首先要解决的问题，就要紧密联系实际确定预测要解决的问题，通 过分析我们必须要做到以下几点：1 ) 预测对象；2 ) 预测目标；3 ) 预测问题的价值； 4 ) 预测的时间跨度；5 ) 预测目标的影响因素及其主次关系。为确保预测工作的顺利 进行，要有组织、有计划地确定预测方案，包括预测所需的资料，准备选用的方 法，预测的进程和完成的时间等。 2 搜集、审核和整理数据资料，并建立数据库 我们在进行预测时，一般都需要大量的历史数据，掌握与预测相关的各种历 史资料以及影响未来发展的现实资料，要从多方面搜集资料。为保证资料的准确 性，要对资料进行必要的审核和整理，建立数据档案或数据库。 3 选择预测方法和建立数学模型 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 在拥有数据资料的基础上，进一步选择适当的预测方法和建立数学模型，这 是预测准确与否的关键。数学模型也称为预测模型，是指反映经济现象过去和未 来之间、原因和结果之间相互联系和发展变化规律性的数学方程式。要建立数学 模型，就必须估计模型参数，参数估计的方法除传统的最小二乘法外，还有很多 专门的方法。不同的方法得出不同的参数估计值，从而得到不同的预测结果，应 从实际出发，认真分析，决定取舍。 4 检验模型，进行预测 预测模型建立之后必须经过检验才能用于预测。不同类型的模型采用的检验 方法、标准也不同。一般来说评价模型优劣的基本原则为：理论上要合理、统计 可靠性高、预测能力强、简单适用。 5 计算、分析预测误差，评价预测结果 模型求得的结果不等于预测，还应做仔细分析并做适当的调整和修正。通常 应计算、分析预测值偏离实际值的程度及其产生的原因。如果模型误差未超过允 许的范围，即认为模型的预测功效合乎要求，否则，就需要找出原因对模型进行 修正和调整。 6 提交预测报告，预测结果的事后检验。 以报告的形式说明假设前提、所用的方法和预测结果合理性判断的依据。最 后对预测结果与实际发生的情况进行比较，总结经验，为以后预测提供参考。 1 3 研究现状 对于一个实际的系统，随着时间的发展，未来的一些扰动因素将不断进入系 统，从而对系统施加影响。然而单一的某种模型难以反映研究对象数据的变化 规律，并且每种模型都有自己适合的范围和自身模型的优缺点。那么我们可将多 种预测模型进行组合建模，可避免单一模型的不足，充分利用各自模型的优点， 这样建立的预测模型可全面反映研究对象未来的变化发展趋势。本论文就是先选 用单一的灰色g m ( 1 ，1 ) 预测模型对高等院校招生人数进行预测，再与智能的支持向 量回归机组合对研究对象进行预测，避免单一模型的局限性，减少偶然性，提高 预测精度，取得好的预测效果。最后提出基于最优化的组合预测方法对研究对象 进行预测。 文献【1 】【2 】系统的讲解了灰色系统理论的知识，对灰色理论有了充分的理解，并 青岛理工大学工学硕士学位论文 将其应用到高校招生系统中。文献 3 】提出了对灰色g m ( 1 ，1 ) 模型的改进方法，通过 此改进方法可以一定程度上提高模型的预测精度。文献 5 】提出了将灰色增量模型用 到人口预测上，对比与传统人口模型能更好的实际应用性。文献【6 】通过对灰色模型 的深入研究，提出灰色预测公式的理论缺陷，并针对此缺陷对模型进行改进，使 灰色模型更加完善。文献【7 】提出了灰色g m ( 1 ，1 ) 模型的适用范围，通过此理论可以 来判断对某个系统灰色模型是否适用。文献【1 8 】提出了一种支持向量回归机的最优 化学习算法的改进方法，可以更好的提高向量机的学习速度和学习能力。文献【l 9 】 将支持向量机应用到复杂时间序列预测上，并取得了很好的预测效果。说明支持 向量机在回归预测中也有很好的应用。文献【2 2 】系统的讲解了支持向量机的理论、 算法及其拓展，对支持向量机有深入的研究。文献【3 2 】提出一种支持向量机的增量 学习算法，与传统算法有很大的提高。文献 3 5 】提出一种组合预测方法即把灰色理 论与神经网络结合以来做短期负荷预测，对比与单一模型有很好的预测效果。文 献【3 6 】提出了一种智能组合预测方法灰色一支持向量机模型对城市交通流量进行预 测。文献m 】针对传统的组合预测方法，它提出了一种新的计算权重的方法，很好 提高预测精度。文献【4 3 1 对组合预测的误差进行分析，得出误差出项的原因并以此 提出减小误差的方法。文献【4 8 】提出了基于灰色一时序的组合预测方法及其对年降 雨量的分析，组合预测模型较单一模型具有很好的效果。文献 5 5 】提出了最优加权 组合预测的原理及其应用，可以把此方法广泛的应用到其他系统。 1 4 论文的研究内容和结构 本文研究的主要内容是单一模型的基础上应用组合模型进行预测，以解决更 多的实际应用问题。对于本论文的研究对象是对普通高等学校的招生人数，是针 对少量的、具有不确定性、非线性的数据进行建模预测。具体内容是首先选用适 合此类研究对象的灰色预测模型，并结合同样针对小样本统计估计和预测学习的 统计学习理论的支持向量回归机方法模型的优点对研究对象进行建模预测。最后 采用最优化算法求得权重的组合预测模型对研究对象进行预测。 本论文的结构为： 第一章简要介绍了我国普通高校招生预测的研究背景及其意义，并介绍了预 测方法和步骤及现在的研究现状。 第二章主要介绍了灰色系统理论发展及其基本原理，着重介绍了g m ( 1 ，1 ) 预测 青岛理工大学工学硕士学位论文 模型。本章就是用g m ( 1 ，1 ) 对高校招生数量建立模型进行预测，在精度不满足要求 是对模型进行修正和对g m ( 1 ，1 ) 进行改进，使其更适用所研究对象，提高精度，并 与一元回归模型及其他传统模型进行比较，以发现灰色模型对此研究对象的优点。 第三章主要介绍了支持向量机的理论背景，支持向量回归机原理及算法。用 此智能方法对研究对象建模预测并与神经网路方法进行比较。最后把灰色模型与 支持向量机组合新型预测预测，得到更好的预测效果。 第四章介绍了组合预测的基本原理，并对二、三章的方法采用此原理对研究 对象进行预测。并对算法进行改进，使预测精度更高。 第五章基于m a t l 心的强大功能，对模型建模预测的。并建立友好的g u i 界面及并以此建立高校招生系统。 最后是本章的总结与展望。 青岛理工大学工学硕士学位论文 第二章灰色模型在高校招生预测中的应用 2 1引言 系统按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。 黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。 白箱系统：信息完全，明朗，纯净。 灰箱模型：信息不完全，若明若暗。 历史上，普遍认为信息不完全的系统是不可解的，1 9 8 2 年，北荷兰出版公司 出版的s y s t e m s c o n 仃o ll e t t e r s 即系统与控制通讯发表“灰色系统的控制问 题 的论文，宣告了新兴横断学科灰色系统理论的诞生。作者为中国华中理工大 学的邓聚龙教授。后来又相继出版了灰色系统( 社会经济) 、灰色控制理论、多 维灰色规划、灰色预测与决策等2 0 种灰色系统专著，在这一系列的专著中， 邓聚龙一步一步向他设想的灰色世界的前沿迈进。灰色系统理论是一般系统论、 信息论、控制论观点和方法在社会、经济、生态等抽象系统中的延伸，是运用数 学方法解决信息不完备的系统【l 】。 灰色系统理论在我国提出至今已有二十年的历史，它的应用引起了人们的广 泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量的预测模型，还是对湖北2 0 0 0 年宏观 经济发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，无一不是灰 色系统理论结出的硕果。灰色系统有沟通社会科学和自然科学的作用，是使抽象 系统实体化、量化、模型化、优化的功能，是社会、经济、农业、气候、环境的 部门做系统分析、建模、预测、决策的一种有效方法，成功的解决了生产、生活和 科学研究中的大量实际问题【2 】。从1 9 8 2 年至今，灰色系统理论问世仅2 7 年的时间， 就以其强大的生命力自立于科学之林，奠定了其作为一门新兴横断科学的学术地 位。 系统为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类组成的具有某种特定功 能的整体。灰色系统理论把系统分为信息完全明确的白色系统、对内部信息毫不 所知的黑色系统以及既含有已知信息由含有未知信息的非确知的信息的灰色系 统。灰色系统是将抽象的现象、因素等找出某些对应量，将杂乱无章的数据进行 整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列进建立模型并 青岛理工大学工学硕士学位论文 通过它进行决策和预测。常用的方法有：关联度分析法、基于白化权函数的灰色 统计和灰色聚类法、灰色预测g m ( 1 ，1 ) 、灰色决策、灰色提前控制法、灰色优化技 术。 灰色系统的公理【4 】： 1 异信息原理即“差异”是信息，凡信息必有差异差； 2 解的非唯一性原理即信息不完全、不确定的解是非唯一的； 3 最少信息原理即灰色系统的特点是充分利用已占有的“最少信息； 4 认识根据原理即信息时认识的根据； 5 新信息优先原理即新信息对认识的作用大于老信息； 6 灰色不灭原理即“灰色不完全 是绝对的。 灰色系统理论的一个基础是数的生成，即通过对数列中数据进行处理而产生 的新的数据，由此挖掘和寻找数的规律性的方法。灰色理论中常用的生成方法有： 累加生成( a g o ) 即累加生成算子、累减生成或逆累加生成( i n v e r s e a g o ，队g o ) 以及 均值生成z 。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就 数据寻找数据的现实规律途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统了理论认为， 尽管客观表象复杂，数据离乱，但总有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。 关键在于如何选择适当的方法去挖掘和利用它。 2 2 灰色g m ( 1 ，1 ) 模型 灰色系统理论建模的思想是：根据社会、经济、技术等灰色系统的行为特征 数据，充分开发并利用数据中的内在信息或外露信息，寻找因素之间或者因素本 身的数学关系，从而了解系统的动态行为和发展趋势。一般是建立一个按时间增 长逐段分析的离散模型，应用灰色系统理论进行灰色预测。研究灰色系统的关键 是如何处理灰元和如何是系统从结构上、模型上、关系上有灰变白或使系统的白 度增加。由灰变白不是绝对的而是相对的，因而灰色系统允许在模型、预测、决 策、数据分析中存在灰数，并把预测目标定在某一范围的灰平面的满意区域里。 灰色系统建模的任务是少数据建模，目标是微分方程模型，要求是动态的信息开 发、利用和加工【1 2 1 。灰色模型g m ( 1 ，1 ) 模型是灰色系统理论的核心，是灰色预测、 决策、控制的基础。 基于灰色系统理论的g m ( 1 ，1 ) 模型预测称为灰色预测，是灰色系统理论应用的 。一。一j 量墅坠竖兰兰垒垒塑型窒二一 重要组成部分。建立灰色预测模型，需要对原始数据作累加或其他运算处理，转 化后的数据往往有一定的规律性甚至可以进行函数拟合，对处理后的数据建立微 分方程，得到微分方程的离散解，还要对数据进行累减处理，最终求得预测值。 2 2 1 建立g m ( 1 ，1 ) 模型 确定原始序列x o 为g m ( 1 ，1 ) 建模序列： x ( o ) = ( 工( o ( 1 ) ，工o ( 2 ) ，工o ( ，z ) ) ， 工( 七) 0 ，七= 1 ，2 ，n ； ( 2 - 1 ) 进行一次累加生成，得x 1 为x 0 1 的卜a g o 序列： 七 x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ，工( 2 ) ，x ( 玎) ) ， 工1 ( 七) = x o ( f ) ，七= 1 ，2 ，z ； ( 2 2 ) i = l x 1 的均值( m e a n ) 序列z 1 为： z 1 ) = ( z 1 ( 2 ) ，z 1 ( 2 ) ，z 1 ( h ) ) ， ( 2 - 3 ) 其中，z 1 ( 七) = 0 5 ( x 1 ( 七) + x 1 ( 七一1 ) ) ，七= 2 ，3 ，z ； 则g m ( 1 ，1 ) 的灰色微分方程模型为： x o ( 七) + 口z 1 ( 七) = 6 ( 2 - 4 ) 称x ( o ( | j ) 为灰导数，口为发展系统，z 1 ( 七) 为白化背景值，6 为灰作用量。 珏， 其中 称 为灰色微分方程 对其进行最小二乘法估计【1 3 】【1 4 】，得： 会= ( 曰r b ) 一1 曰r y口= ( 曰7b ) - 1 曰。y y = x o ( 2 ) ，工o ( 3 ) ，工0 1 ( ，1 ) r 的白化方程。求解此方程的解得 b = 一z 1 ( 2 ) l z 1 ( 3 ) l z ( 1 ) ( ，z ) 1 笙+ 甜( 1 ) ；6 一+ 口x = d 以 x o ( 七) + 化1 ( 七) = 6 9 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 青岛理工大学工学硕士学位论文 ( f ) ： 工( o ) 一鱼】e 一吐+ 鱼，七：1 ，2 ，l ；( 2 1 0 ) 口 口 从而g m ( 1 ，1 ) 灰色微分方程的解为： p ( j + 1 ) ： 工( 1 ) 一鱼】p 一破+ 鱼，| ：1 ，2 ，珂 ( 2 1 1 ) 口口 取x 1 ( 0 ) = x o ( 1 ) ，贝0 三n ( 七+ 1 ) ： 工( t ( o ) 一鱼】p 一4 七+ 鱼，七：1 ，2 ，以( 2 1 2 )石( 七+ 1 ) = 工1 ( o ) 一兰】p 一4 七+ 旦，七= 1 ，2 ，以( 2 1 2 ) 口口 对上述数据还原，得预测模型为 ( o ) ( 1 ) ( 1 ) 工( 七+ 1 ) = 石( 七+ 1 ) 一x ( 七) ，j j = 1 ，2 ，以( 2 - 1 3 ) 2 2 2 g m ( 1 ，1 ) 模型误差的检验 模型求得的结果不等于就是预测，需要做仔细的分析比较，分析预测值偏离 实际的程度，如果预测误差小则认为模型的预测效果好，否则，就要寻找原因， 对模型进行修正、改进或直接采用新的模型重新进行预测。 g m ( 1 ，1 ) 模型常采用平均相对误差口检验、关联度占检验、均方差比值c 检验、 小误差概率p 四种方法对预测结果进行检验。 由g m ( 1 ，1 ) 模型计算出原始时间序列x o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x o ( ，z ) ) 的预测序 ( o ) ( o ) ( o ) ( o ) 列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，工( ，z ) ) ， 计算残差 ( o ) g ( 尼) = 工o ( 七) 一x ( 尼) ，尼= 1 ，2 ，刀( 2 1 4 ) 得出残差序列 g o = ( g o ( 1 ) ，g o ( 2 ) ，g o ( 拧) ) 。( 2 1 5 ) 则称 p o = ( p o ( 1 ) ，p o ( 2 ) ，p o ( ，1 ) ) ，( 2 1 6 ) 其中e ( 七) = ig o ( 后) x o ( 七) l ，七= 1 ，2 ，力 为g m ( 1 ，1 ) 的相对误差序列；称 拈吉善m ) ( 2 j 7 ) ! - 为g m ( 1 ，1 ) 的平均相对误差； 1 0 青岛理工大学工学硕士学位论文 记残差g ( 七) ，七= 1 ，2 ，以的平均值g ： ；= 耪 记原始数列( 实际数据) 的方差为墨： 记残差的方差为是： 蹄阿 是= ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 定义：后验差比值c c = ； ( 2 - 2 1 ) 定义：小误差概率p 尸= q g ( 七) 一司 o 6 7 4 5 s ) ( 2 - 2 2 ) 指标c 、p 是进行后验差检验的两个重要指标。主要是检验与预测误差方差有 关指标的大小和以残差为基础，考察残差较小的点出现的概率。按c 与p 两个指 标综合评定预测模型的精度。模型精度级别= m a x c 所处的级别，p 所处的级别) 一般地，将模型的精度分为4 级，分级标准及相应的c 与p 值见表2 1 模型精度 等级分类【17 1 。 表2 1 模型精度等级分类 模型精度等级 epc 1 级( 好) 0 0 10 9 50 3 5 2 级( 合格) o 0 1 e 0 0 5o 8 p 0 9 5o 3 5 c 0 5 3 级( 勉强) o 0 5 e o 10 7 p 0 80 5 c 0 6 5 4 级( 不合格) 0 0 1 e 0 2 0 6 5 另外随着对g m ( 1 ，1 ) 模型逐步深入的研究，研究结果显示g m ( 1 ，1 ) 模型的适用 范围与发展系数- a 有关。随着发展系数的变大，预测误差也变大【9 】。有下列结论： 1 当一a 0 3 时，g m ( 1 ，1 ) 模型适合用来预测； 2 当o 3 a 0 5 时，g m ( 1 ，1 ) 模型可用于作短期预测，对中长期预测要慎用； 3 当o 5 a o 8 时，g m ( 1 ，1 ) 模型作短期预测应十分谨慎； 青岛理工大学工学硕士学位论文 4 当o 8 1 时，不适合采用g m ( 1 ，1 ) 模型。 2 2 3 g m ( 1 ，1 ) 预测值精度估计 上述方法虽可以衡量灰色模型的精度，但不能用来评估模型的预测值精度。 由于预测值的精度同原始函数数列本身的机动性以及与系统数据整个的特征有 关，因此对它的评估应以误差在系统内的传播程度来进行。下面以推算预测值的 均值方差作为评定预测值精度的方法同。 设原始数列x o = ( 工o ( 1 ) ，工o ( 2 ) ，x o ( ，1 ) ) 的其误差的均方差为 由式( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 得到g m ( 1 ，1 ) 模型预测方程 ( o ) ( 1 ) ( 1 ) z ( 七+ 1 ) = ( 6 一口幸工o ( 1 ) ) e 一越= x ( 七+ 1 ) 一工( 七) ，七= 1 ，2 ，刀 ( 2 - 2 3 ) 按方差传播理论，其预测值方差为 吮州。( 等) 2 “鲁) 2 弓+ 2 ( 等。等厄+ 纛产砖( 2 2 4 ) 工( 七+ i ) d 口 d dd 口 d d 、 其中，以，西，吒分别为口的方差和协方差。 设q = c b r b ，= ( 曼：宝) 则 = q l 。爵 蠢= q ：靠 吒= q l ：西= q 2 。爵 代入( 2 2 4 ) 中，并略去对误差较小影响的第三项，于是 l _ 。= ( 口七x o ( 1 ) 一工o ( 1 ) 一硒) 2 g l + q 乞+ 2 ( 口红o ( 1 ) 一工o ( 1 ) 一f 6 ) q 1 2 - ( 2 2 5 ) 工( 量+ 1 ) 吼用残差估计，即 州压 ( 2 - 2 6 ) 其中 p = ( p ( 1 ) ，p ( 2 ) ，p ( ，z ) ) r 通过上述方法可得到一个数，有它可知模型预测精度波动的大小。从而可看 成是模型预测的一个区间，这样的区间预测，对于高校招生预测有更好的指导性， 青岛理工大学工学硕士学位论文 经比较可以看出，g m ( 1 ，1 ) 预测模型求得的预测值都在波动范围内，说明灰色 g m ( 1 ，1 ) 模型对于此研究对象有很好的适用性，符合实际。可用此模型对它进行预 测，得出学校在下一年大概的招生人数，学校专家领导以此来制定招生计划。 2 2 4 g m ( 1 ，1 ) 模型群 g m ( 1 ，1 ) 模型除了上述的基本形式之外，为了进步提高g m ( 1 ，1 ) 模型预测的 精度，还存在其他的g m ( 1 ，1 ) 模型，如残差g m ( 1 ，1 ) 模型，新信息模型以及新陈代谢 模型 5 1 。 1 残差g m ( 1 ，1 ) 模型 当g m ( 1 ，1 ) 模型的预测结果误差较大，其模型精度不满足时，可建立残差序列 g m ( 1 ，1 ) 模型，用残差g m ( 1 ，1 ) 的预测值加到原预测值上，对原来的模型进行修正 以补偿原预测值，达到提高精度的目的。 设序列g o 为 g o = ( g o ( 1 ) ，g o ( 2 ) ，g o ( ，z ) ) ( 2 2 7 ) ( o ) 其中，g ( 七) = x o ( 七) 一x ( 尼) ，七= 1 ，2 ，挖为x 1 的残差序列。若存在，满足 ( 1 ) v 七，g o ( 七) 的符号一致； ( 2 ) n 一4 ，则称 ( 1g o ( ) i ，lg o ( + 1 ) | ，ig o ( ，z ) i ) ( 2 2 8 ) 为可建模残差尾断。仍记为 一= ( g o ( ) ，g o ( + 1 ) ，g o ( ，1 ) )( 2 2 9 ) 对其1 a g o 序列 g 1 = ( g 1 ( ) ，g 1 ( 岛+ 1 ) ，g 1 ( ，1 ) )( 2 3 0 ) 建立g m ( 1 ，1 ) 模型 戮七+ 1 ) = 【g ( o ) ( k ) 一生矿m 知) + 笠，七岛( 2 3 1 )9 ( 七+ 1 ) = g o ( k ) 一生 p 一一知+ 鱼，七岛( 2 3 1 ) “g“叮 求解得到的预测序列为 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) g = ( g ( ) ，g ( + 1 ) ，g ( ，z ) )( 2 3 2 ) 其中g ( ”1 ) - 口刈魄) - 。吨囊七0 青岛理工大学工学硕士学位论文 若用g 修正z ，称修正后的时间响应式： 三n ( | j + 1 ) ： 石( 。( 1 ) 一鱼】p 一破+ 鱼，七