（计算机应用技术专业论文）非线性理论研究及在信息安全中的应用.pdf

大连理t 大学硕士学位论文 摘要 非线性理论由三大理论构成：混沌理论、分形理论、孤立子理论，它们是非线性这 门学科的理论基础。基于非线性理论，本文研究了混沌、分形领域中的若干问题及其在 信息安全等领域的应用，具体研究内容如下： 推广了b a k e r 、d e v a n e y 稀l r o m e r a 等人的工作，并构造出一系列复指数映射的广义 m a n d e l b r o t - j u l i a 4 f e ：，给出了复数阶的广义j l l l i a 集发生突变的理论依据，从理论上分析了 广义m a n d e l b r o t j u l i a 集的对称性和周期性。 研究了二维l o g i s t i c 映射不动点的性质，给出了在参数空间中二维l o g i s t i c 映射发生 第一次分岔的边界方程。采用相图、分岔图、功率谱、l y a p u n o v 指数计算和分维数计 算方法，描述了二维l o g i s t i c 映射从规则运动转化到混沌运动所具有的普适特征。 给出了二种数字水印算法。一种是基于图像特征和超混沌迭代的图像认证算法，另 一种是结合迭代函数系( 1 t e r a e df u n c t i o ns y s t e m ，i f s ) 理论，利用1 f s 吸引子抗几何失 真的特性，实现了非对称数字水印算法。研究结果表明：二种算法剥噪声、滤波、压 缩、旋转等图像处理方法具有较好的鲁棒性。 基于离散线性系统的稳定性理论，对r 6 s s l e r 混沌系统进行控制，使之追踪连续参考 信号，并证明该控制系统指数收敛到参考信号，数值仿真进一步表明发方法的有效件。 推广了p e i t g e n 、p i c k o v e r 和c a r l s o n 的方法，构造了一系列拟3 d 广义m a n d e l b r o t j u l i a 集，研究了拟3 d 广义m a n d e l b r o t - j u l i a 集的结构拓扑不变性和裂变演化规律。 以上的部分研究工作己发表在自然科学进展、计算机研究与发展和应用 力学学报等刊物上。 关键词：混沌；分形；数字水印；保密通信；迭代函数系统 非线性理论研究及在信息安全中的应用 r e s e a r c ho nn o n h n e a r t h e o r y a n d a p p l i c a t i o ni ni n f o r m a t i o ns e c u r i t y a b s t r a c t n o n - l i n e a rt h e o r yc o n t a i n st h r e ei l n p o l 。m n tp r o - i s ：f r a c t a l ，c h a o sa n ds o l i t o nt h e o r y t h e y a r et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fn o n - l i n e a rt h e o r y b a s e do nn o n l i n e a rt h e o r e t i c a l a n a l y s i s ，t i l e r e s e a r c hh a ss t u d i e ds o m ec h a o t i cm i df r a c t a lp r o b l e m sa n d a p p l i c a t i o ni ni ，n f o m n a t i o ns e c u r i t y a sf o l l o w s ： t h e p a p e rd e v e l o p sb a k e r ，d e v a n e y a n dr o m e r a s s t u d i e s ，c o n s t r u c t s as e r i e so f g e n e r a l i z e d m a n d e l b r o t j u l i a s e t s ，p r e s e n t s t h et h e o r e t i c p r o o fi n t h e e x p l o r a t i o n o ft h e g e n e r a l i z e d js e tf o rt h ec o m p l e x e x p o n e n t t h e o r e t i c a l l ya n a l y z e st h en a t u r eo fs y r m n e t r y ，m l d p e r i o d o f t h e g e n e r a l i z e d m a n d e l b r o t j u l i as e t s t h en a t u r eo ft h ef i x e d p o i n t so f t h ec o u p l e dl o g i s t i cm a pi ss t u d i e da n a l y t i c a l l y ，a n dt h e b o m l d a r ye q u a t i o n o f t h ef i r s tb i f u r c a t i o no f t h e m a p i nt h ep a r a m e t e rs p a c ei sd e r i v e db y p h a s e p l o t ，b i f u r c a t i o np l o t ，p o w e rs p e c t r a ，l y a p u n o ve x p o n e n ta n df f a c m ld i m e n s i o n ，t h ep a p e r r e v e a l st h eg e n e r a lf e a t u r e so f c o u p l e dl o g i s t i cm a pt r a n s f o r m i n gf r o m r e g u l a r i t yt oc h a o s i nt h i s p a p e r t w ok i n d so fw a t e r m a r k i n g a l g o r i t h m i s p r o p o s e d o n e i sa n i m a g e a u t h e n t i c a t i o na l g o r i t h mb a s e do nf e a t u r eo f o r i g i n a li m a g ea n dh y p e r c h a o t i ci t e r a t i o n ，t h eo t h e r i saa s y m m e t r i cd i g i t a lw a t e r m a r ks c h e m eu s i n gt h er o b u s tc h a r a c t e r a g a i n s tg e o m e t r i c d i s t o r t i o no fi f s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h e ya r er o b u s tt on o i s ea d d i n g ，f i l t e r i n g ， c o m p r e s s i o n ，r o t a t i o n b a s e do nt h et h e o r yo fs t a b i l i t yo ft h el i n e a rs y s t e m ，as t r a t e g yo ft h er 6 s s l e r sc h a o t i c s y s t e mt r a c k i n gc o n t r o li sp r e s e n t e d t h i ss t r a t e g yc a n t r a c ka l lk i n d so fr e f e r e n c es i g n a l si ti s a l s op r o v e dt h a tt h es t r a t e g yc a nm a k et h es y s t e ma p p r o a c ht oa n yd e s i r e ds l n o o t ho r b i ta ta n e x p o n e n t r a t e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sh a v es h o w nt h ep r o p o s e d s t r a t e g yi se f f e c t i v e t h i sp a p e rd e v e l o p sp e i t g e n ，p i c k o v e rm a dc a r l s o n st e c h n i q u e as e r i e so fp s e u d o 一3 d g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t - j u l i as e t sa r ec o n s t r u c t e d t h ep a p e rs t u d i e st h es t r u c t u r et o p o l o g i c a l i n f l e x i b i l i t ya n d t h ef i s s i o no f e v o l u t i o nl a wf o rp s e u d o 一3 dg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t - j u l i as e t s s o m es t u d i e sh a v eb e e np u b l i s h e di np r o g r e s si nn a t u r a ls c i e n c e ，h m r n a lo f ( ) o m ) u l e r r e s e a r e h a n d d e v e l o p m e n t a n dc h i n e s e j o u r n a l o f a p p l i e d m e c h a n i c s k e yw o r d s ：c h a o s ；f r a e t a l ；w a t e r m a r k ；i n f o r m a t i o ns e c u r i t y ；i t e r a t e d f u n c t i o n s y s t e m s i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位沦文是我个人在导师指导卜进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同上作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：丕皇些日期：墨! 堕生兰墨! 虽 大连理工大学硕士学位论文 1 本文的理论依据 1 1 混沌理论 1 9 0 3 年p o i n c a r 6 在他的科学与方法一书中指出了三体问题中，在定范围 内，其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混沌，从而p o i n c a r 6 成为世界上最先 了解混沌存在的可能性的第一人 1 。2 0 世纪的2 0 、3 0 年代，g db i r k h o f f 建立了动力 系统理论的2 个主要研究方向：拓朴理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研 究得到了突飞猛进的发展，a n k o l m o g o m v 与v1 a r n o l d 及jm o s e r 提出了著名的 k a m 定理，k a m 定理为揭示h a m i l t o n 系统中k a m 环面的破坏以及混沌运动奠定了 基础。给出混沌解第一个例子的是1 9 6 3 年美国数学家en l o r e n z 的在美国大气科学 杂志上发表的文章“确定性的非周期流” 2 。在他的天气模型中，l o r e n z 看到了一 种细致的几何结构，发现了天气演变对初值的敏感依赖性。l o r e n z 提出了一个形象的比 喻：“巴西的一只蝴蝶煽动几下翅膀，可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候”， 这被称为“蝴蝶效应”。用混沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。 1 9 7 5 年，李天岩和y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，c h a o s 一词也自此正式使用 3 3 。 混沌运动很复杂，有时直接观察状态随时间变化即使时间极长，电不能看出一点头 绪。下面介绍的几种方法，可作为混沌的诊断与判据。 ( 1 ) 相空间重构：混沌运动至少在三维自治动力系统中才能出现，因此，把h , i - f 日l 序列 扩展到三维或更高维的相空间中，就能把时间序列的混沌信息充分地显露出来，这就是 时间序列的重建相空间。 ( 2 ) 功率谱分析法：它是由相空间中坐标的f o u r i e r 变换求得的。对于混沌系统，尽 管其功率谱仍可能有尖峰，但它们多少会增宽一些，而且功率谱上会出现宽带的噪声背 景。对周期和准周期现象的识别以及研究它们与混沌态的转化过程是非常有力的。 r 3 ) 关联维数：由实验数据进行相空间重构的基础上计算得： c ( ，) = 矿1 。川，h ( r 一睁贾小 凡是距离小于给定正数r 的矢量，称为有关联的矢量，这里的h 是h e a v i s i d e 函数 关联维数定义为d 2 ：一l i 碘墨g 堕，在计算中随着嵌入维数d 变化，双对数 f - ” i n ” 1 f 线性理论研究及在信息安全中的应1 【_ j l o g c ( r ) 口l o g r 图曲线束中，互相平行的直线段的斜率，就是关联维数d 2 ，该方法为研 究一维时间序列信号的动力学特征提供了有力的工具。 ( 4 ) l y a p u n o v 指数：可定量表示奇_ 陉吸引子的运动性态。对于”维相空间中的连续 动力学系统，考察一个无穷小”维球面的长时间演化。由于流的局部变形特性，球面将 变为h 维椭球面。第i 个l y a p u n o v 指数按椭球主轴长度定义为 丑= 舰，n 器0 。 rp ( ) 。 l y a p u n o v 指数的大小表明相空间中相近轨道的平均收敛或发散的指数率，一般说 来，具有正和零l y a p u n o v 指数的方向，都对支撑起吸引子起作用，而负l y a p u n o v 指数 对应着收缩方向，这两种因素对抗的结果就是伸缩与折叠操作，这就形成奇怪i 吸引子的 空i 司j l 何形状。 1 2 分形理论 m a n d e l b r o t 最先引入分形( f r a c t a l ) 一词，意为破碎的，不规则的，并且曾建议将分 形定义为整体与局部在某种意义下的对称性或自相似的集合【4 】。 般地，称集f 是分 形，即认为它具有下述典型的性质：f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节；f 是 不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述；f 通常有某种自相似的形式，可能是 近似的或统计的；f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。在分形 的理论研究中j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集中重要的研究方向。 取，：c 斗c 为复系数 2 阶的多项式f ( z ) = a o + & 1 z + + 口。z ”。记厂2 为函数的k 重复合，厂“= 厂。l 厂，j k ( 甜) 为撕第次迭代。如果f ( c o ) = ，蹴称为，的不动 点，如果存在大于1 的整数p ，使厂9 ( 珊) = e o ，则称黾厂的周期点，使厂( o j ) = 0 3 的最 小正整数p 称为理点的周期。而称 c o ，( o ) ，f 9 ( 国) ) 为周期p 的轨道。 定义1 1 设， ：e 斗e 是阶数大于1 的多项式，表示c 中那些轨道不趋于无穷点 的点的集合，即：b = z c ： l f 4 0 ) i ) ：，是有界的) ，称此集为相应于厂的充满的j u l i a 集，的边界称为多项式厂的j u l i a 集，记为i ，即j ，2 弼 定义1 2 相应于系统鸱z = ，+ 0 的m a n d e l b r o t 集是m = c p ：也是唾通咏。 由定义1 2 可见m a n d e l b r o t 集看来似乎与j c 的一个相当特殊的性质有关，事实上， m a n d e l b r o t 集包含了关于j u l i a 集构造的无穷信息。 2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 j 3 数字水印概述 数字水印是以可感知或不可感知的形式嵌入到数字多媒体产品中的、用于版权保 护、内容检验或提供其它信息的信号。数字水印的基本性质如下： ( 1 ) 不可见性：即数字水印是透明的，它的嵌入不会引起原始数据质量明显下降。 ( 2 ) 普遍性：指设计的数字水印技术最好对任何数字媒体都适用。 ( 3 ) 明确性：抽取出来的数字水印应当能明确确定作者的身份。 ( 4 ) 鲁棒性：是指水印应当难以去掉。 其中最重要的是不可见性和鲁棒性，但二者是矛盾的，所以必须在两者中权衡。 1 4 离散小波变换( d 、t ) d w t 是一种时间一尺度信号的多分辨率分析方法，在时频两域都具有表征信号局部 特征的能力，图1 1 为经过2 级小波分解后示意图，经分解后图像分解为4 幅，其中左 上角是原图像的平滑逼近( 低频) ，左下角为垂直细节，右角为水平细节，右下角为原 图像的细节分量( 高频) 。d w t 方法可以将图像分解到频域中，同时还保留图像在空 间上分布，它不仅可以匹配f i v s 特性，而且与j p e g 2 0 0 0m p e g 4 压缩标准兼容。 图1 1 二级小波分解示意图 f i g 1 1d e c o m p o s i t i o na tl e v e l2 1 5 数字签名和时间戳 1 ，5 1 数字签名 数字签名的目的是保证信息的完整性和真实性，能够实现以下功能： ( 1 ) 收方能够证实发方身份。 ( 2 ) 发方事后不能否认发送的报文。 ( 3 ) 收方或非法者不能伪造、窜改报文。 在网络传输过程，具体数字签名处理过程如下： ( 1 ) 发送方将要发送的信息原文用函数编码，产生一段固定长度的数字摘要 3 非线性理论研究及在信息安全中的应用 ( 2 ) 发送方用自己的私用密钥对摘要加密，形成了数字签名，并附在要发送的信息原 文后面； ( 3 ) 发送方产生个通信密钥，并用它对带有数字签名的信息原文进行加密后，传送 到接收方； ( 4 ) 发送方用接收方的公开密钥对自己的通信密钥进行加密后，传到接收方； ( 5 ) 接收方收至发送方加密后的通信密钥后，用自己的私用密钥对其进行解密，得到 发送方的通信密钥： ( 6 ) 接收方用发送方的通信密钥对收到的经加密的签名原文解密，得到数字签名和信 息原文； ( 7 ) 接收方用发送方的公共密钥对数字签名进行解密，得到摘要：同时将收到的原文 用s h a 函数编码，产生另一个摘要。 ( 8 ) 接收方将两个摘要进行比较，如果两者一致，则说明发送的信息原文在传送过程 中信息没有被破坏或篡改过，从而得到准确的原文。 1 5 2 数字时间戳 数字时间戳( d t s ) 是为电子文件发表时问所提供的安全保护和涯明。d t s 是网上 安全服务项目，由专门的机构提供。时间戳是一个经加密后形成的凭证文档，它包括j 三 个部分： ( 1 ) 需要加时间戳的文件的摘要； ( 2 ) d t s 机构收到文件的日期和时间； ( 3 ) d t s 机构的数字签名。 时间戳的产生过程是这样的：用户首先将需要加时间戳的文件用h a s h 编码加密形 成摘要，然后将这个摘要发送n d t s 机构，d t s 机构在加入了收到文件摘要的日期和时 间信息后，再对这个文件加密( 数字签名) ，然后送回给用户。书面文件的时间是由签 署人自己写上的，而数字时间戳则不然，它是由认证单位d t s 机构来加的，以d t s 机构 收到文件的时间为依据。 4 大连理工大学硕十学位论文 2 一类复指数映射的广义m - j 集 数学家m a n d e l b r o t 用分形来描述所有尺度上复杂结构的不规则、破碎形状，从此把 许多人引进了分形百花园 5 。利用计算机的强大的计算和绘图能力进行分形学的实验和 探索，人们已发现分形集中深藏着规律性的结构，从而丰富了分形理论【6 。1 9 8 1 年， m i s i u r e w i c z 首次从理论上分析了复指数映射z 卜e 。的动力学行为 7 ，此后b a k e r 、 d e v a n e y 和r o m e r a 等人分别利用计算机构造并研究了复指数映射z 卜p “、z 卜加2 、 z + - - 8 一“和z _ p 。似( 兄c ) 的广义m - j 集 8 。本章拟将b a k e r 、d e v m l e y 和r o m e r a 等 人的工作推广，探讨下列复指数映射所构造的广义m ，j 集的分形结构 ：z 卜加2 ”( 五，w c ) 2 1 广义j 集的突变 ( 2 1 ) f 2 2 、 f 2 3 1 ( a ) 1 4 = 3 ，丑= 0 5 ( b ) w 23 ， 2 04 9 图2 1 映射( 2 1 ) 的广义j 集的突变 f i g 2 1t h ee x p l o s i o no f g e n e r a l i z e djs e ti ne q 【2 1 ) 对于复指数映射乙+ 。= ，( 乙) ( f _ l ，2 ，3 ) ，如果，( ) = ，则称龌不动点，如果存 在大于1 的最小整数p ，使f p ( c o ) = c o ，则称吐) 是周期为p 的周期点。设( 厂9 ) ( ) = ， 如果圳 1 ，则称点动斥性的。利用m o n t e l 定理，可以得出，的广义j 集l ，为f 斥 性周期点的闭包 9 。广义j 集l ， 和广义m 集m f 参见定义1 1 和1 2 。 5 一 非线性理论研究及在信息安全中的应用 基fd e v m l e y 的逃逸标准，选取逃逸时间限制n = 5 0 ，利用逃逸时间算法绘；g l j t 式( 2 1 ) 、式( 2 2 ) , 1 1 式( 2 3 ) 的m ，i 和，图中黑色代表稳定区m ，和f l ，白色为不稳定 区而万。 ，f3 d e v a n e y 和r o m e r a 等人曾发现当五= 1 e 时，复指数映射z 卜恐：的j u l i a 集具有突 变现象。经研究发现，当五为实数时，映射( 2 1 ) 、( 2 ，2 ) 和( 2 1 3 ) 的广义j 集也存在突变现 象。图2 1 给出了映射( 2 1 ) 在突变点两侧的j u l i a 集。由t a y l o r 公式，经计算可得出与图 2 1 对应的映射( 2 1 ) 的突变点为旯= 04 9 6 。 “ 7 j ， 2 夕 t 一 ( a ) 函数 ，：( z ) = 2 e 2 ”的曲线( b ) 函数“( o ) 的迭代过程 图2 2 w = 1 时，函数z ( z ) = 2 e 2 ”的曲线图 f i g 2 2 c u r v e so fz ( z ) = 2 e 2 w i t h w = 1 根据映射( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可知厶( 2 ) = t 2 e 2 。 = 矿) 和 ( z ) = ( y ) = p 7 ”( y = z 五咖) ，可 见复动力系统 、疋和z 等价，故对突变现象的解释，只需考虑复映射z 的情况：设 w = 1 、五= v 时，曲线f l ( z ) = 2 e 。”与直线厂( x ) = z 相切 图2 2 ( a ) q u 血线( 1 ) 】。这样当 0 ( 丑 p ，则 ( x ) x ，敞有 l i r a ”( r ) 0 0 。若z x ， 1 i m a ”( x ) - - - o 。【图2 2 ( b ) 。可见当兄= v 时一将发生s a d d l e n o d e 分岔。下面将从理论 上分析复映射f 的砌i a 集的突变原因。 n 1 0 五 y 时 映射z 在且上有不动点p 、q ，点q 是吸引的，点p 是斥性的。 因为 ( 1 ) = 2 e 、，1 ( ( 一i n 旯) “”) = 1 ，故有 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 4 ) 考虑半平面h = z i r e z ( _ i n 2 ) ”“) 。若2 h ， 当1 w i 较小时，可使 ( 刁l = 纠侧z l w l e x p ( r e z ”) c1 ，则h 在z 作用下被压缩为单位圆盘。故由压缩映射原理 知：v x h ，9 l i m z ”( x ) = q 。若用w ( q ) 表示点g 的吸引域，则有h ( q ) 。显然 ( q ) 中的点都有稳定轨道，因为它们在工作用下都趋于同一点。下面将分析在( g ) 巾 石的动力学行为：由式( 2 4 ) 选择合适的v ，满足1 z ( v ) ( 一i n 丑) 1 加 v a t w l l v r e ” 1 。这表明在h ，上：是扩张映射。 引理2 1 设b j ( z o 是半径为占，球心为的开球，若v z 1 3 d ( z 。) ( 占 ，则存在一个开集uc y b az 。) ，使一：u 寸b u 8 ( 工( z 。) ) 是同胚的。 证明： 占 1 ( = t , e ”) 。选取j ，使岛( z ) cu ，则由引理21 知 l ( b 。( z 。) ) b 。( _ ( z 。) ) 。利用反证法：若设b ( ( z 。) ) n h ，= a ，则由引理2 1 及 ；”( ：。) g h ，可推出b u s ( ”( ) ) n h ，= a ，若选取足够大的”使，f ”巧 2 万，则 b ，。( z ”( 白) ) 一定与直线y = ( 2 女+ 1 ) 丌( 女z ) 相交。但该宜线在 作用下被映别到 中的负实轴上，故假设不成立，命题真。 推论2 1w ( q ) 是复平面c 中稠的开集。 定理2 2 = ( q ) c 定理2 3 若0 v 时 在半平面r e z ( 一l n 2 ) 1 ” 中，当j 训较大时，可使 t z ) f = 叫h ”le x p ( r e z ”) 1 。- 若r e ( f , ( z 。” ( 1 n 3 ) ”，则：( z 。) i2 ：- 3 。由引理2 1 知 可扩充z 。的小邻域3 倍。 定理2 4 设r e ( j ；( z o ) ) ( i n ( 3 五) ) 归+ 3 丌( = 0 , 1 “2 ) 。令f ，是含的开集且 s ：。( 一”( z 。) ) 是中心为_ “( z 。) 、边长为2 石的正方形，则存在 0 ，满足：若n n ， 则存在开集u ，cu 使”：u 。s ：。( ”( ) ) 是同胚的。 证明：因为r e ( f , 7 ( z 。) ) ( 1 n ( 3 丑) ) v w + 3 丌，故可推出：若z b h ( 一”( z 。) ) ，当1 w i 较大时，有f i z ) = 丑z r l le x p ( r e z ”) 3 ，假设曰。( ) cu 。选取n ，使3 ”1 占 0 ， 3 cb ( _ “( z 。) ) ， 使z ：k 坟。( ，“( z 。) )是同胚的。因为 色。( 一“( z 。) ) 3 s ：。( “( ) ) ，故对w 匕k 可限制”使，：町斗s ：。( ，“。( z 。) ) 也 是同胚的。则若月= n + 女，令= z “( 琢) ) 。可推出z ”：u 一最。( z “( ) ) 是同胚的。 假设白是逃逸点，! i r a f , ”( z o ) l jo 。，故! i r a r e 石”( z o ) j0 ( 3 。故所有逃逸点都按 同一一方向x 轴正向趋于m 。图2 2 ( b ) 给出了丑 v 时，曲线 与直线f ( x ) = x 不在有 交点且工”( 0 ) jo 。 引理2 2 令z 。a f 且设u 是包含点z o 的开集，则存在z u 和n 0 ，满足 。”( z ) r 。 证明：因为点z 。逃逸，故可设r e ( f l 。( z o ) ) ( 1 n ( 3 肛) ) “”十3 ，r ( j o ) 。由定理2 4i 叮 知存在开集u 。c u 使 人连理丁大学硕士学位论文 ：u ，j s 2 ，( ( z o ) ) 是同胚的。但s ：。( 工”( z 。) ) 必与直线y = 女7 r ( 为整数) 相交，故爿( ，。) n r o 。 定理2 5 若五 v ，则屯= 。 模仿定理2 3 的证明过程，再由定理2 4 的结论可证该定理。 定理2 6t ，。为映射z 的斥性周期点的闭包，它是不含孤立点的不可数紧子集，如 果z i ，则山是u z “( z ) 的闭包aj 是i 的包含无穷远点在内的每一吸引不动点 t = l 的吸引域的边界，而且 在l ，上的作用是混沌的。 推论2 2 若z n j = c 。 由此，由定理2 - 3 和推论2 2 知：在卫= v 时，映射( 2 1 ) 的j 集存在突变现象。 2 2 实验结果 2 2 1 广义m j 集的对称性 定理2 7 由复映射石、五和磊构造广义m 集，- 当i m w = 0 时，有 z ( 五) = z ( 万) ( f = 1 ，2 ，3 ；尼= 1 ，2 ，一，) 。 利用数学归纳法，易证定理2 7 。定理2 7 表明i m w = 0 时，五、五和五的广义m 集关于x 轴嚣寸称。图2 3 ( j ) 给出石的广义m 集主轴的倾角0 = a r g w 一这是因为厶临界 点的轨道为：o ，1 ，e ”，e x p ( 0 批) ”z ) ，e x p ( ( e x p ( ( e 1 肛) ”肛) ) ”肛) ，。若a r g a = a r g w ， 则“恤= g i 叫q 将达到最大值。由逃逸时间算法可知：满足a r g 五= a r g w 的点五m 。 定理2 8 由复映射_ 、厶和石构造广义j 集，有 ，三翌 ：“( z ) = z 。( z 口”) o = 1 , 2 ，3 ；尼= 1 , 2 ，一，；0 j 1 ，因此构造 的j 集的轨道b 2 ”风，e x p ( ( e2 “似。) ”如) ，比构 1 2 造m 集的轨道o ，1 ，口“，e x p ( ( e l i a ) ”x ) ，发散的速度慢的缘故。反之，若选取凡使刘c 1 ，则广义m 集分形生k 速度要比广义j 集的慢。 2 2 5 广义m 集m i s i u r e w i c z 点( 密氏点) 处的分形生长 定义2 1 已知映劓z 。l = f ( z 。) ( f = 1 , 2 ，3 ) 的临界点为z 。= 0 。对于大于1 的最小整 数nk n p ，若满足方程( o ) = ”( o ) 的点为m 。则称m 。，是f 的个( 密氏点) 。 ( a ) i 1 - 3 i ，= 3 0( b ) 卢3 i ，= 4 5( c ) 点慨3 的放大，= 4 0 ( d ) 点螈3 的放火，= 5 0 图2 9 随n 值的增加映射( 2 2 ) 的广义m 集( 密氏点) 处的分形生长 f i 巳2 9f r a e t a lg r o w t hn e a rt h em i s i u r e w i c zp o i n ti nt h eg e n e r a l i z e dm s e ta b o u tm a p ( 2 2 ) d e v a n e y 和r o m e r a 等人发现密氏点在复动力系统的分形生长中担任重要角色f 1 0 1 。 为此构造了映射( 2 2 ) f j t , j y 。义m 集在密氏点附近的分形生氏过程如图2 9 所示，其中图 2 9 ( a ) 、图2 9 ( b ) f 1 4 j 左l 角坐标为( 一2 8 9 8 ，6 5 0 2 ) 、边长为0 , 0 0 8 ，图2 9 ( c ) 、图2 9 ( d ) 的a 士角坐标为( 2 8 8 9 6 1 4 ，65 0 2 3 6 1 ) 、边长为00 0 0 0 0 2 4 。在图2 9 ( a ) 、图2 9 ( b ) 中，可见到 广义m 集中有一些很明显的螺旋花束中心，它们对应密氏点。通过读取图2 9 ( b ) 叶川1 个 螺旋花束中心点的坐标，计算出这四个密氏点为硒3 、尬3 、尬3 和a 仍。将点蚴j ，即 兄= 一28 8 9 6 1 5 + 6 5 0 2 3 6 2 i 处的邻域放大 图2 9 ( c ) 、图29 ( d ) ，叮见围绕m 8 、3 点的双 螺旋花束结构。在图2 9 ( c ) 中可见有两个主要的c a n t o r 花束分枝围绕密氏点m 8 ，3 生 氏，随迭代次数n 的增加，其它c m l t o r 花束的分枝也围绕其它密氏点生长 图29 ( d ) ， 由于广义m 集中有无限多密氏点，因此这种分形生长导致无数大小不一成对的螺旋状 c a n t o r 花束在不刊水平上嵌套出现，形成网状且具有自相似结构的广。义m 集。 2 3 本章小结 本章采用复变函数理论和计算机制图相结合的实验数学方法，做了如下创新：复1 数 阶的广义j 集存在突变现象，并给出了突变的理论依据；分析了整数阶的广义m 。j 集的 对称性和复数阶的广义m 集的周期性；给出了拙述广义m 集周期花瓣分却的新| ，| 勺， 1 邻 规则；发现广义m 集包含了广义j 集构造的大量信息；复数阶的j j + 义m 集的分形生艮 指向多分分点或密氏点。 1 3 非线性理论研究及在信息安全中的应用 3 二维l o g i s t i c 映射中的一种新型激变、回滞和分形 生态学中没有l 世代交迭的虫口模型( 现称l o g i s t i c 映射) ，可用非缘| 生差分方程 x 。+ 】= 4 o c 。( 1 一x 。) ( 3 1 ) 来描述。这是1 9 7 6 年数学生态学家m a y 在英国“自然”杂志发表的一篇后来影响 甚广的综述中所提出的 1 1 。对l o g i c 映射的研究发现，l o g i s t i c 映射是经过倍周期分 岔达到混沌的 12 。在此基础上，人们对二维l o g i s t i c 映射中的混沌，又从实验到理论 方面进行了探讨【1 3 1 5 。那么具有二次耦合项的二维l o g i s t i c 映射式( 3 2 ) 中的分岔与 分形又具有那些特征呢? 对此本章作了进步考察。 i “= 4 u x k ( 1 l y = 4 ( 1 ( 3 2 ) 3 1 第一次分岔 控制参数变化到某个i 临界值时，非线性系统的动力学性态发生定性变化的现象被称 为分岔，它是非线性系统内部固有的一种特性。1 9 8 1 年，e c k m a n n 曾对各种可能的分 岔现象进行了研究，归纳出走向混沌的三种途径【1 6 ：f e i g e n b a u m 途径( 通过倍周期分 岔) ；r u e l l e t a k e n s - n e w h o u s e 方案( 通过h o p f 分岔) ；p o m e a u - m a n n e v i l l e 途径( 通 过阵发混沌) 。 研究式( 3 2 ) 的混沌，可从对其不动点的稳定性分析开始。式( 3 2 ) 可表示为 毛+ 。= ，( 瓦) 。设其不动点为磊= ，y 。) ，则不动点为下列方程的解 l x = 4 ，。( 1 一z 。) + + y 。 i y 。= 4 , u y ( 1 一弘) + y + ( 3 3 ) 由式( 3 3 ) 可求得不动点为伍) 。= ( o ，0 ) 、( 乏) ：= ( ( 1 4 u ) ( r 一4 肋，( 1 4 p ) ( r 一4 1 0 ) 、 ( 置) 。= ( o ，1 1 ( 4 ，坊和伍) = ( 1 1 ( 4 肋，o ) 。 这些不动点的稳定性与j a c o b i 矩阵的最大特征值( 其绝对值用lkf 。表示) 在不动 点处的取值有关。设厂( 毫) 表示映射f 在不动点处的j a c o b i 矩阵，则 一1 4 ，、，仁，= 翘= r 8 m f i x , n 。扩。y 删x , ，坍+ 若l k k 。 】，则不动点是不稳定的：若 i k k 。= 1 ，则系统( 3 2 ) j 辱发生第一次分岔【1 7 。求，( j ) 的特征多项式的根，得两个特 征值如下 k + = 三( l + 呖石) k 一= 当( 上一历百丽) 式中工= 8 , i t + ( y 一8 ，0 ( 矗十弘) ，m = ( 8 ；y ) ( 弘一五) ，n = 7z x ，h 。则 乩，傺器嚣2 黔描 ( 34 ) ( 35 ) 式( 3 5 ) 表明l 足| l 】1 a 、是参数和y 的函数。根据lkk 、= 1 的条件，利用式( 35 ) - j 1 。在参 数空间中得到系统( 3 2 ) 发生第一次分岔的边界方程为 ( 4 , u 一8 z x + y n 干1 ) ( 4 一8 , u y , 十y 矗) 一y 2 墨 + 1 9 - ( 4 1 8 , u x , + y 弦) = 0 ( 3 6 ) 式中“干”中的“一”对应1 k k 。= k + ，“+ ”对应1 k k ，= k 。 3 1 2 实验与结果 3 2 1 分岔过程 系统( 3 2 ) 的动力学行为是山控制参数，f 和，决定。为了在控制参数空削对系统的行 为进行较全而的考察，分别利用相图、分俞图、功率谱、l y a p u n o v 指数耵1 分维数计算 的方法，有选择地研究了控制参数沿参数空| 白_ j 中某条轨线变化时系统行为的演化。 3 2 1 1 相图与分翁图分析 选取参数空间中的轨线为y = 0 1 3 、，f 【0 ，0 9 i g l ，墩初始点( x 。y ) = ( 0 3 ，0 4 ) ，计 算时方程( 32 ) 最初的2 0 0 0 次迭代被抛弃，以保证系统的轨道已收敛到吸引子匕，然后 一1 5 非线性理论研究及在信息安全中的廊j = | = | 再让方程( 3 2 ) 迭代2 0 0 0 0 次，构造了系统( 3 - 2 ) 的吸引子与分岔图。图31 、图3 2 为具有 代表性的一组结果。 定理3 , 1 令乙= x 。+ y n i ，记z ：= y 。+ x 。i ，可将式( 3 2 ) 表示为z 。= f ( z 。) 。若由 式( 3 2 ) 构造吸引子，则有【。( o ) 】。= 厂。( z ：) ( k = 1 ，2 ，；| v 为迭代次数) 。 利用数学归纳法，易证定理31 。定理31 说明式( 3 2 ) 的吸引子关于直线y = x 成轴 对称。由图3 1 给出的奇怪吸引子，可见奇怪吸引子是一种始终限于有限区域且轨道永 不重复的、性态复杂的运动。它所具有的精细结构在所有尺度上都存在，甚至在无穷长 时间极限下，吸引子也不会在相空间内形成个实体。另外，图3 1 给出的吸引子关于 直线y = x 成轴对称。其对称性的证明如下： ( a ) j = o8 2 4 6 2 ( d ) = 08 8 4 7 x ( e ) z = 0 8 8 9 6 “x ( d 卢= 0 9 图3 , 1 系统( 3 2 ) 的吸引子 f i g 3 1a t t r a c t o r so f s y s t e m ( 3 2 1 0 “o 7 0 3 9 5 时，系统收敛于不动点( 图3 2