（计算机应用技术专业论文）基于小波变换的图像处理算法研究.pdf

摘菲 摘要 图像分解和图像增强都是图像处理中关键的预处理技术，而围绕小波变换在 这两方面的图像处理算法一直是人们研究的热点。 本文的研究工作主要在以下两个方面： 首先，传统基于小波变换的图像分解算法通常采用偏微分方程求解，导致很 大的计算量，本文研究了基于小波变换的几何信息特性和变分问题的图像分解改 进算法。使用正则化和最小化变分泛函的方法来求解，从而避免了偏微分方程的 求解过程，使得运算简单化，提高了运算速度。实验证明改进算法在相对于软阈 值滤波器等方法的优越性。 其次，小波变换在图像增强方面不能很好的保留图像中的细节信息，在增大 有用信息的同时，不可避免地会增强噪声。c o n t o u r l e t 变换能够有效地抑制噪声， 弥补了小波变换在多方向性的不足。本文实现了c o n t o u r l e t 变换和小波变换相结合 的图像增强改进算法。实验结果表明改进算法在增强有用信号的同时较大限度地 抑制图像噪声。 关键词：小波变换多尺度分析图像分解图像增强 a b s t r a c t i m a g ed e c o m p o s i t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta r et h ek e yt e c h n o l o g yo fi m a g e p r o c e s s i n g t h ea l g o r i t h m so fi m a g ep r o c e s s i n gb a s e d o nw a v e l e tt r a n s f o r ma r eah o t t o p i c t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e rh a st w oi s s u e s ： f i r s t l y , t h et r a d i t i o n a la l g o r i t h m o fi m a g ed e c o m p o s i t i o nb a s e d o nw a v e l e t t r a n s f o n ni ss o l v e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hl e a d st oag r e a td e a l o f c a l c u l a t i o n s t h i sp a p e rg i v e s ap r o m o t ea l g o r i t h mb a s e do nt h eg e o m e t r i c a l i n f o n n a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dv a r i a t i o np r o b l e m so fw a v e l e tt r a n s f o r m s o l v i n gt h e p r o b l e mo u tb yu s i n gr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sa n dm i n i m i z i n gv a r i a t i o nf u n c t i o n a l t h e o r y , t h i sc a nm a k et h ec a l c u l a t i o nf a s t e rb ya v o i d i n gu s i n gt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o i l s w ea l s op r o v eo u tt h es u p e r i o r i t yt h a nt h em e t h o d sb a s e do ns o f tt h r e s h o l d f i l t e ra n ds oo nb yt h ee x p e r i m e n t s e c o n d l v t h et e c h n i q u eo fw a v e l e tt r a n s f o r mc a nn o tr e s e r v et h ed e t a i lo ft h e i i l l a g eo nt h ei m a g ee n h a n c e m e n t ，a n dw h e nw ee n l a r g et h eu s e f u li n f o r m a t i o n ，t h e n o i s ew i l lb ei n c r e a s e da n y w a y c o n t o u r l e tt r a n s f o r mc a ns u p p r e s st h en o i s ee f f i c i e n t l y ； t h i sc a nm a k eu pt h es h o r t a g eo fm u l t i d i r e c t i o n a la n a l y s i so ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m t h i sp a p e rg i v e st h ei m p r o v e di m a g ee n h a n c e m e n ta l g o r i t h mw h i c h i sb a s e do nw a v e l e t t r a n s f o n n 锄dc o n t o u r l e tt r a n s f o r m t h ee x p e r i m e n t sr e s u l t st e l lt h a tt h ei m p r o v e d a l g o r i t h mc a n e n h a n c et h ei m a g eb ys u p p r e s se f f i c i e n t l yt h en o i s e k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si m a g e d e c o m p o s i t i o ni m a g ee n h a n c e m e n t 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论 本人签名： 不实之处，本人承担一切的法律责任。 日期q 呈：至! ! l 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 妻赏篓薹! 蛩 本人签名：翌盈 刷醛名：带 年解密后适用本授权书。 日期垒墨：兰：! ! 日期2 星：刍jl 第一章绪论 第一章绪论 图像作为对客观物体一种相似性的生动模仿或描述，既反映物体的客观存在， 又能够体现了人的心理因素。图像处理的目的是通过对图像信息进行加工处理和 分析，以满足人的视觉、心理需要和某种目的的要求。图像处理跨学科、跨行业 的特性，与数学、计算机科学等许多学科都起到相互辅助借鉴的作用，并且其发 展和应用与这些学科有着不可分离的联系，因此图像处理成为一个十分活跃的边 缘学科。 1 1 图像处理应用的现状 图像处理方法的研究主要源于两个应用领域：首先是为了便于人们对图像的 进一步分析；其次是为使机器能够更好地自动理解图像数据而对其进行存储、传 输以及显示等过程中的研究和处理。伴随着科学技术的进步，从上世纪六十年代 至今，图像处理技术已经得到了很大的发展。而现在图像处理技术不仅仅应用在 医学和空间项目等高新技术领域上，且已经更广泛的应用在工业、生物科学等其 他更多的交叉学科领域中1 5 j 。 图像处理系统的构成如图所示： 图1 1 图像处理系统的构成 图像处理技术已经具有很长的历史，它的应用始于六十年代，当时美国喷气 推进实验室在对其太空飞船发回的大批月球照片进行了有效地图像处理，获得巨 大成功。从此图像处理技术发展应用到了各行各业：如宇宙探测中，其他星体图 像处理；通信中，图像信息传输、卫星通信等主要是压缩图像处理数据和动态图 像序列传送；生物医学领域中，细胞分析、染色体分类、各种c t 、放射图像处理 2 基于小波变换的图像处理算法研究 等；较新领域中，信息安全的信息隐藏和数字水印等，以及基于内容的图像检测、 识别和检索。相比较于语音信息，图像信息占用的带宽要大几个数量级。因此无 论在成像、传输、存储、处理、显示等各处理环节的实现上，都相对有一定的技 术难度和成本。目前的研究趋势表明，图像处理技术应用正在呈现爆炸式增长， 并将持续稳定地进入相当长的研究和应用发展阶段。 图像的有效表示方法【2 5 1 ，应具有如下几个特点： 对多尺度分解的多分辨率特性的快速逼近算法； 在多尺度特性上又能包含多个方向的选择特性，并且能够很好地对边缘轮 廓进行处理的算法； 在变换域中，算法支撑基跟随尺度变化的局域性进行定位，较低的冗余结 构的临界采样特性； 运算量相对小的快速算法是图像表示的更好选择。 近年来，随着图像表示的不断地更新和发展，许多图像表示的新方法，包括 余弦包、边缘小波、脊波、曲线波等等都为图像处理技术带来了崭新的活力。这 些图像表示方法的发展趋势就是要不断适应于人类视觉特性的要求，以推动新的 图像处理技术领域的应用。在图像处理领域中，小波变换作为一门新兴的信号处 理技术，它具有时一频局部化特点，多分辨特性，从而得到了广泛应用。在过去 的一些年里，小波所产生的重大影响，不仅在于它给出了理论上的一致性，而且 在实际应用中它也取得了很多的成功。对于分段光滑的一维信号，小波为其提供 了简单有效的表示方法；而对于高维上的图像处理，小波却无法处理图像上边缘 轮廓的平滑性【3 1 。而多方向多尺度几何分析由于它适合处理某些高维空间数据的特 性，现在正在被人们广泛研究并且应用。例如曲线波c u r v e l e t 变换，作为一种非 自适应的高维函数的表示方法，还有c o n t o u r l e t 变换也是很好的表示方法，这些表 示方法的研究都有着广阔的研究前景。 1 2 图像分解和图像增强概述 图像分解【4 】是用于区分图像的不同特征的技术，是图像分析的一个重要问题。 图像分解作为一个预处理过程，是图像处理领域的一个较为重要的步骤。图像分 解是图像处理和分析中一个重要的基本问题。在图像分解和重构处理上，图像分 解，作为图像增强的基础，图像恢复研究的深入，是图像处理中一项十分重要的 步骤，它的发展具有很高的研究价值。小波变换作为近些年来研究的热点，在图 像分解处理技术上发挥了重要的作用。 图像增强是有效地增强图像，作为改善图像质量的方法研究，是图像分析和 计算机视觉问题中的一个重要环节。图像增强通过采用一系列技术去有选择的突 第一章绪论 出图像中用户感兴趣的某些特征，不考虑图像质量降低的原因，衰减掉不需要的 图像信息，通过增加图像细节的动态范围以提高图像的可理解程度，使图像变得 更有利于计算机处理。通常系统中由于存在着很多各种影响图像清晰程度的因素， 使得一些图像产生了灰度过于集中和细节不清晰等质量需要改善的问题。我们往 往在对目标背景对比度低，噪声大的图像先进行平滑处理后，图像的边缘轮廓更 加模糊不清，也需要做图形增强的处理。 互补的图像增强技术来达到满意的效果。 行强调或尖锐化。 对于给定的图像增强目标需要应用多种 例如对于边缘、轮廓或对比度等特征进 1 3 本文的研究内容和文章结构 本文研究了基于小波变换的几何信息特性和变分问题的图像分解改进算法。 该算法利用正则化和最小化变分泛函的方法来求解，从而避免了偏微分方程的求 解过程，使得运算简单化，提高了运算速度。其次本文实现了结合c o n t o u r l e t 变换 的基于小波变换的图像增强改进算法。对于改进算法都进行了实验仿真，对比分 析。 本文的主要研究内容安排如下： 第一章：介绍关于图像处理技术研究和应用现状，且对图像处理中的图像分 解和图像增强进行详尽阐述。 第二章：介绍图像多尺度几何分析的不同表示方法，着重研究了小波变换的 及c o n t o u r l e t 变换发展和研究现状。 第三章：研究图像分解的模型和图像分解的常用方法，研究了基于小波变换 和变分问题的图像分解改进算法，并详尽描述其算法原理，同时进行了实验仿真。 第四章：阐述了图像增强算法中常用的空域法和变换域法，主要研究了基于 小波变换的和基于c o n t o u r l e t 变换的图像增强算法。将c o n t o u r l e t 变换和小波变换 结合使用到图像增强算法中，并对算法进行了实验仿真和结果分析。 第五章：本文的工作总结及对今后的工作的展望。 第二章小波变换基础 第二章小波变换基础 在上世纪五十年代末，傅里叶变换一直作为图像处理的基础数学理论被广泛 研究与应用。直到上个世纪八九十年代，小波变换才作为一门新兴的数学方法， 以惊人的速度发展起来。近些年小波变换的应用领域大量地涉及到数学、信号处 理和图像处理等其他很多学科中，甚至已经超越了傅里叶变换的应用范围。我们 所熟知的傅里叶变换仅仅是作用于频域的分析方法，所以它反映的是整个信号在 全部时间下的整体频域特征。而小波变换【3 j 是信号的时间一尺度分析方法，既具有 多分辨率分析的特性，同时又在变换域有表征信号局部特征的能力。所以在图像 处理等很多领域中，小波变换已经被越来越多的理论工作者和工程技术人员所运 用，并多在实际中取得了很好的成效。 2 1 图像的多尺度分析 2 1 1 多尺度分析概念 多尺度分析 7 1 ，也称多分辨率分析或多分辨率逼近。理解多尺度分析时，图像 金字塔、子带编码和h a a r 变换都占有很重要的份量。h a a r 构造了第一个正交小波 基，是r ( r ) 的一个标准正交基。但由于其不连续性，因此在应用方面很受限制。 m e y e r 于1 9 8 5 年构造了第一个具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与 平移构成了l 2 ( r ) 的规范正交小波基。后来在小波分析理论的基础上，m e y e r 等人 又从尺度函数出发构造了正交小波基，使得小波分析得到真正的发展。不久以后， m a l l a t 在构造正交小波时提出了多尺度分析概念。它在空间的概念上很详尽地说明 了小波变换的多分辨率特性，将以前的各种正交小波基的构造法巧妙地统一起来， 而且也给出了构造其他小波基的方法。在正交小波基的构造框架下，m a l l a t 给出了 将信号和图像函数分解为不同频率信道的算法以及信号重构算法，即著名的m a l l a t 算法，一种快速算法，它的地位相当于f f t 算法在傅里叶变换中的地位。1 9 8 8 年， d a u b e c h i e s 利用多尺度分析特性构造出了具有紧支撑集和一定正则性的正交小波 基，即d a u b e c h i e s 基。 理解多尺度分析，需要明确其最终目的是为构造一个在频率上高度逼近的 l 2 ( r ) 空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基都相当于是带宽各异 的带通滤波器。多尺度分析在对于低频部分做进一步分析，使得频率的分辨率变 得越来越高。通常不同的分辨率描述了景物的不同物理结构，反映图像的不同细 节要求。所以说，多尺度分析表示为图像信息的解释提供了很好的理论框架，进 6 基于小波变换的图像处理算法研究 而达到由粗到细的常用算法，即先用粗的分辨率分析图像的大范围，然后逐渐提 高分辨率，深入到细节。“多尺度分析这一概念的提出是一大的理论突破，揭示 了函数结构的自相似性及小波等变换与分形几何的内在联系。 2 1 2 图像的多尺度分析表示法 表2 1 主要的图像的多尺度分析表示法 几何表示方法方法描述 e m m a n u e l 提出的脊波变换6 】是一种非自适应的高维函数表示方法。 它对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能，但是对于含曲线 脊波变换 奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线 性逼近误差衰减阶。 e m m a n u e l 提出了单尺度脊波变换，表示曲线的奇异性，并构造了 单尺度 r 【o ，1 】上的局部脊波框架，主要为了解决含有曲线奇异的多变量函数的 稀疏逼近问题。该变换的思想：当把曲线无限分割时，每- d , 段可以近 脊波变换 似的看作是直线段，再把脊波分析应用到这些线段上。同时给出了n 项 重构的逼近速率。单尺度脊波是在一个基准尺度s 进行的脊波变换【2 9 】。 e j c a n d 6 s 和d l d o n o h o l 3 1 1 4 2 】构造了多尺度脊波，也被称为曲线波 ( c u r v e l e t ) ，他是在所有可能的尺度s 0 进行脊波变换，在二维情况， c u r v e l e t 变换 当图像具有奇异曲线并且曲线是二次可积的，则曲线波可以自适应的“跟 踪”这条奇异曲线：并且他们构造了曲线波的紧框架，对于具有光滑奇 异性曲线的目标函数，曲线波提供了稳定的，高效的和近于最优的表示。 小波变换的基本思想来源十日j 变窗1 2 1 的伸缩和平移。m a l l a t 1 心提出 小波变换 的实现小波变换的金字塔快速算法m a l l a t 算法，才得小波变换真正进 入了实际应用。 m i n h n d o 和m a r t i nv e t t e r l i l l 2 】提出了塔型方向滤波器组( c o n t o u r l e t 变换) ，是一种图像的二维表示方法。它继承了c u r v e l e t 变换的各向异性 尺度关系，是另一种多分辨的、局域的、方向的图像表示方法。与c u r v e l e t 塔型方向 不同的，c o n t o u r l e t 变换将多尺度分析和方向性分析分开来分别进行，先 滤波器组 ( c o n t o u r l e t 变 由l p ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 3 1 - 3 2 l 变换对图像进行多尺度分解以“捕获”点奇 异，其由方向滤波器组( d f b ，d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ) 将分布在同方向上的 换) 点奇异合成为一个系数，且其基的支撑区间具有随尺度而长宽比变化的 “长条形”结构。 第二章小波变换基础 7 2 2 小波变换 短时傅里叶变换由于其时间一频率窗是不可变的，当对于分析具有较高或较 低频率的信号进行分析是不适合的。对于突变信号和非平稳信号，傅里叶变换的 处理效果也并不显著，因此需要寻找到新的分析工具例如小波变换来进行分析此 类信号。 小波变换基于一些称为小波的小型波【7 】，是具有变化的频率和有限的持续时间 的方法。小波变换是一种信号的时间一频率分析方法，它具有多分辨分析 ( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，而且在空域和频域都具有表征信号局部特征 的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变而且时间窗和频率窗都可以 改变的时频局部化分析方法。根据高频和低频使时间频率变窄或变宽，即在低频 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分布率，很适合于探测正常信号中加带的瞬态反常现象并展示 其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。原则上讲，传统上使用傅里叶变换的地 方，都可以用小波变换取代。小波变换优于傅里叶变换的地方是，它在空域和频 域同时具有良好的局部化性质。 1 、连续小波变换 设l f ，( x ) r ( 月) ，其傅里叶变换为驴( w ) ，当旷( w ) 满足允许条件( 完全重构条 件或恒等分辨条件) 时，我们称l f ，( x ) 为一个基本小波。即式( 2 1 ) q = 上祭 l ，b o 1 ，使 得 a = a o j ，b = n bo a o 。歹，忌z ( 2 - 5 ) 且将y 柏( x ) 改记为l f 厂似( x ) ，即： 叫垆“7 e l l sc 半卜2 ”扩j 蛾) ( 2 6 ) 相应的离散小波变换为： 取a 。= 2 ，b o = 1 ，则y 似( x ) = 2 j 2 y ( 2 7 x - k ) 。 3 、二维小波变换 在二维尺度函数是可分离的情况，即： 9 ( x ，y ) = 妒( x ) 9 ( y ) 其中妒( x ) 是一维尺度函数。y ( x ) 是与之相对应的小波函数， 二维小波变换的三个基本小波函数： v 1 ( x ，y ) = t p ( x ) v ( y ) y2 ( x ，y ) = u ( x ) t p ( y ) y3 ( x ，y ) = y ( x ) l f ，( y ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 那么就可以得到 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 需要注意的是这里使用的上标只是索引而不是指数。 ：( r 2 ) 的函数可以写为如下形式 f ( x ，y ) = c 啦吼，。( x ，y ) + 蟛。y 基( 墨y ) ( 2 1 2 ) 女女= l ，2 ，3 由m a i l a t 算法可知，二维图像的分解可以通过沿x 方向和y 方向分别进行一维 第二章小波变换基础 9 滤波得到。于是图像的正交小波分解可以理解为一组独立的空间有向的频率通道 上的信号分解。每一尺度分解成四个子带l l 、h l 、l h 和h h ，分别表征图像的 低频信息及水平、垂直和斜方向上的细节。图2 1 所示为图像的三层小波分解的结 果。 l l 3h l 3 h l 2 l h 3h h 3 h l l l h 2 h h 2 l h i h h l 图2 1 图像的三层小坡分解不惹图 4 、多尺度分析特性 各个不同的尺度或分辨率中信号( 特别是图像) 常常包含有物理相关特性， 因此对于信号和图像处理的应用来说，要正确理解图像信号，多分辨分析方法就 至关重要，同时由于多分辨率算法【5 1 在计算上的优越性，多分辨( 或多尺度) 技术 也是不可缺少的。 空间r ( r ) 中的多分辨分析是指满足以下条件的一个空间序列 匕 越 单调性：对任意z ，c + 。 ，r、 逼近性：n 巧= o ，c l o s e u 巧 = r ( 尺) 伸缩性：( t ) 巧厂( 2 ，) 巧+ l ，伸缩性体现了尺度的变化，逼近正交小波 函数的变化和空间的变化具有一致性。 平移不变性：对任意七z ，有竹( 2 一彳f ) v j = r p j ( 2 - f 一七) v r i e s z 基存在性：存在妒( f ) v o ，使得 妒( 2 一f 一七) 陋z 构成巧的r i e s z 基。 2 3c o n t o u r l e t 变换 c o n t o u r l e t 变换，也称为塔型方向滤波器组，是另一种多分辨的、局域的、方 向的图像表示方法。它继承了c u r v e l e t 变换的各向异性尺度关系，它的实现首先 由l p ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 变换t 2 8 1 对图像进行多尺度分解以“捕获”点奇异，再由方 l o 基于小波变换的图像处理算法研究 向滤波器组( d f b ，d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ) 将分布在同方向上的点奇异合成为一个系 数，且其基的支撑区间具有随尺度而长宽比变化的“长条形”结构。实际上 c o n t o u r l e t 变换的最终结果是用类似于线段( c o n t o u rs e g m e m ) 的基结构来逼近原图 像，因此被称为c o n t o u r l e t 变换。当采用小波滤波器组，迭代的金字塔方向滤波器 组( p d f b ) 可与连续域系统联系起来。通过对小波多分辨分析1 37 】的研究，这个联 系变得更加准确。其结果是多尺度分析和多方向分析的组合1 4 7 。 c o n t o u r l e t 中的多尺度分析是通过拉普拉斯金字塔来完成的，由拉普拉斯金字 塔生成的多尺度空间。c o n t o u r l e t 变换是在继承小波变换多尺度分析思想基础上， 引入多方向性并由m n d o 和m a r t i nv e t t e r l i 提出的【3 0 】。在实现上采用了塔形方向 性滤波器组( p d f b ，p y r a m i d a ld i r e c t i o n a l f i l t e rb a n k ) ，每一级结构相同，可快速 实现。图2 2 是c o n t o u r l e t 变换分解实现框图，它由两个主要部分组成：子带分解 ( l p ) 和方向性滤波( d f b ) 。重建是分解过程的对偶操作，同样可快速实现。 c o n t o u r l e t 变换分解是l p 和d f b 的结合，l p 和d f b 是各自完全重建的，经对偶 操作可实现c o n t o u r l e t 变换完全重建原信号。 图2 2c o n t o u r l c t 变换实现过程 l p ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 用来实现多尺度分解，每一级分解得到一个近似信号 和细节信号，然后细节图像进一步送入方向性滤波器组( d f b ) 进行分解，得到 各方向子带信号。近似信号可以重复上一级操作，从而实现对图像多尺度多方向 性分解。l p 实现子带分解避免低频成份泄漏到各个方向性子带图像中，而d f b 的 特性是它能够提取图像中2 维方向性信息。p 在每一尺度上可以有不同数量的方向， 通常为2 的幂且频带降低一半，方向数减少一半。图2 3 显示了c o m o u r l e t 变换对频 域的种划分情况。 第二章小波变换基础 t 0 2 jlt 7 ；【。充 7 ? 。 x又 产弋 7 7； ：幔1 图2 3c o n t o u r l e t 变换对频域的划分 2 4 本章小结 随着研究者和数学家们的不断努力，小波变换，作为应用数学调和分析领域 一种新的有效的分析方法，经历着迅速的变化和发展。s m a l l a t 在构造正交小波基 时提出了多尺度分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) ，将于此之前的所有正交小波基 的构造方法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及著名的m a l l a t 快速算法。 多尺度分析是对低频部分进一步分解，而在高频部分则忽略不去考虑。后续部分 将对基于多尺度分析的图像处理上进行深入研讨及实验仿真。 第二章图像分解算法研究 第三章图像分解算法研究 对于图像分解问题，如果采用传统的偏微分方程求解，算法本身的运算量十 分巨大，必然导致在信号实时处理的瓶颈。图像分解问题可以使用正则化和最小 化变分泛函的方法来求解，从而避免了偏微分方程的求解过程，使得运算简单化， 提高了运算速度。本章研究了基于小波变换在图像处理中图像分解的算法应用， 论证了它在图像处理算法上的优越性，对w o m a n 图像的实验结果表明：基于小波 变换的图像处理算法有着更好的效果。基于小波变换的图像分解和重构算法是对 图像恢复研究的一个深入，已经成为近年来图像处理的一个热点讨论。 3 1 图像分解的数学模型 d a u b e c h i e s 提出的一种用小波求解变分泛函的图像分解方法，可将图像分解问 题转化成对偏微分方程的求解。而在b e s o v 空间，问题可以通过小波系数来描述。 本文所建新模型就是将图像分解问题转化到小波域中求解，降低了利用偏微分方 程的算法复杂度。 基于离散小波变换的图像分解，其模型的一般形式如下： ，i n f k ( ”，v ) = e ( 材) + a e ( v ) ) ( 3 1 ) ( 却，v ) e x - x x 9 、 此图像分解模型将给定图像7 r ：q r 分解成两部分的和，即u + 1 ，。其中u 是 模糊图像，即图像厂中的结构部分，包含图像的主要特征，即是厂的一个好的逼近， u 于研( 厶) 空间表示：而v 是细节图像，即图像厂中的振荡部分，包含纹理和噪声， 其中日常噪声都服从或近似服从高斯分布，v 于壤1 ( 匕) 对偶空间表示。在某种意 义上，u 和，这两部分是正交的。a 是调节参数，大于零；e 和e 是非负泛函；五 和z 是函数空间。当且仅当( ”，v ) 五工时，e ) ，只( “) o o 。一个好的图 像分解模型，除了依据选择的函数空间x 和z 具有上述给定的性质外，还应满足 f i ( u ) 五( v ) - 五& ) 五( d 等条件。 本文所研究的图像分解模型是将图像分解通过求解泛函最小值将问题转化到 小波域，从而在b e s o v 空间求解，先求泛函极值问题，转化为变分问题，再根据 对应欧拉方程求出通解，代入归一化条件得到极值。从而避免了偏微分方程的求 解过程，使得运算简单化，提高了运算速度。利用a u j o l 的求解泛函最小值的方法 得到图像分解部分的小波系数序列，并重构该序列的极限来得到图像的分解部分。 尝试把该算法运用到图像缩放等图像处理问题上，同样能很好的达到预期的实时 1 4 基于小波变换的图像处理算法研究 处理以及更优的效果。尤其在低噪声图像处理上，相比d a u b e c h i e s t e s c h k e 模型， 该算法能更好的分解图像。 3 2 基于小波变换的图像分解算法 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有深刻的理论基础 和广泛的应用能力。小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发展，使得其 本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。与傅里叶变换、加窗傅里叶变换2 4 】 是一个基于时间和频率的局部变换，因而能有效的从信号中提取信息。通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了 其它时一频变换不能解决的许多困难问题。它是调和分析发展史上里程碑式的进 展，也是工程应用中的强大工具。 3 2 1 图像分解的常用算法 图像分解作为对图像恢复研究的深入，具有很高的研究价值。现在存在很多 有效的处理方法，如基于软阈值和硬阂值滤波器的图像分解方法、基于修正小波 阈值的图像分解方法等都是得到了广泛研究的方法。 一、基于软阈值滤波器的图像分解 d o n o h o 将阈值处理函数分为软阈值和硬阈值，设w 是小波系数的大小，w ，是 施加阈值后的小波系数大小，a 是阈值。 ( 1 ) 硬阂值( h a r dt h r e s h o l d i n g ) 当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0 ，而大于阈值时，保持其不变， 即 f i 叫a w x2 0 。 l ，h o 。其中，刀 【0 i 蚓允 可以是任意整数。这两类阈值滤波为修正小波阈值。 图3 2 分段n ( n = 2 ，3 ，4 ) 次多项式滤波器因子关于a 的变化图像 1 6 基于小波变换的图像处理算法研究 图3 3 指数滤波器因子( n = 1 ，2 ，3 ，4 ) 关于a 的变化图像 由于非冗余小波滤波总是在不连续处产生伪吉布斯现象，模糊边界。处理这 样的图像问题需要运用平移不变小波表示图像。可以通过平移不变小波的阈值修 正得到图像分解的近似最小解。 3 2 2 基于小波变换和变分的图像分解改进算法 此图像分解算法的基本思想是：在小波域，根据图像分解模型，通过最小化 一个关于变量u 和v 的变分泛函( 式3 1 ) 来分解图像，即求解泛函极值，作为变分 法的核心问题。本算法将求解该泛函最小值问题转化到小波域中求解，通过迭代 方法得到解。利用a u j o l 的求解泛函最小值的方法得到图像分解部分的小波系数序 列，并重构该序列的极限来得到图像的分解部分。 d a u b e c h i e s 提出的图像分解模型1 7 j 如下： v ) e i n 鼬fx ，( “，v ) = i l 厂一( “+ v ) 嵫q ) + 州h q ) + 2 al 甜h ( q ) ) ( 3 4 ) 根据b e s o v 空间壤1 ( 匕) 表示图像的细节，得到新的图像分解模型如下： 躐啦( ) = i v 一( z f + v ) ) + 2 兄iv b ) ) + 2 a uh ( q ) ) ( 3 - 5 ) 新模型( 式3 5 ) 的特点在于：基于模型( 式3 4 ) ，根据函数的b e s o v 半范数与其 小波系数范数之间的等价关系，可以将求解泛函的最小值问题转化到小波域中求 解，得到图像分解部分”和v 的值。算法步骤如下： s t e p l 初始化：设定初值为( u r ) o = ( w ) o = 0 s t e p 2 迭代过程：( u r ) 州= & ( 一( 匕) 。) ( ；) 。“= ( 一( “，) 。) 一& ( 一( “，) 。“) s t e p 3 停止条件：= ( 叶) 。l f ， y u n + l = ( ) l f ，y 第三章图像分解算法研究 1 7 = ( _ ) 。l f ，+ 。= ( _ ) 。+ 。l f ， y， s t e p 4 算法结果：如果满足下列条件停止，m a x ( u n + 1 一i ，ik “一屹i ) ，其 中为某一较小正数。由于该算法的收敛性，聍寸z ： t ；k ) _ ( & = d 。 图3 4 改进算法流程图 琏于小渡娈搀的i h 像处蚝掉法 f 宄 3 3 实验仿真和结粜分析 旧像经过小波变换后能够获得良好的空间频率多分辨率表示，小波变换 具有以f 主要特扯： l 小仅保原幽像的伞间特性，而上王报盯的提取了图像的高频信息。存低频 处育很壹的频率特陀，在南频处有很好的窄f q 选样性： 2 小波分量有方r u 选扦性，分为水平、垂直、斜向，这些特性都和人类的视 觉特d , f f l 吻合； 3 能量上监集一 】在低频予带幽像： 4 低通模糊子料l 有很强的柏芙性，水甲了带剧像在水、f 方向相关系数人， 而垂直方向小垂直了带图像在壬豇方向相关系数大，而水平方向小：斜 m 子带幽像n 疆! 直方向昶l 水平方向相关系数都小。 在用小波求解图像分解近似最小解的仿真实验中，奉文采用平移不变小波对 如f 标准的w o m a n 图像进行分解。往引对不同特点的罔像仿真中，；，t 适当修订参 数的值。仿真过程中，我”j 取多数d 、 、s 分别为05 、00 l 、o5 。由丁二在实骑 中如果采用非凡余的小波滤波，很可能在非连续处产乍模糊边界，即伪青布斯现 雾，因此采用曲4 i f 空小波，做屡冗余的甲移不变小波分解。 ( a ) 原始h 像( h ) u 部分图像( c ) v 部分嘲像 圈35 实验中仿真i 封像 实验中，分别给w o m a n 图像加均值为0 ，方差为00 0 5 、00 1 和o0 2 的高斯 白噪声，然后州本文中提到的算法模型和d a u b e c h i e s 算法模型进行数据对比，用 信噪比( s n r ) 和均方根误差( r m s e ) 衡量图像分解效粜。从上图的仿奠结累明 显u ，以看旧小波分析在幽像分解算法l 的优越性，尤其足对于低噪声罔像的分解， 效果尤为明显。 仿真结果的具体数据如r 表所1 i ： 第三章图像分解算法研究 1 9 表3 1 两种模型进行图像分解的性能比较 加噪l e n a 图像 d a u b e c h i e s 模型 本章算法模型 噪声方差 s n rr m s es n ri 之m s es n ri t m s e 0 0 0 57 0 8 11 7 7 2 21 0 7 51 1 6 6 51 1 3 3 01 0 8 8 1 0 0 14 2 2 32 5 0 1o9 11 21 4 2 0 19 8 0 51 1 2 5 5 o 0 21 3 3 03 2 2 5 16 8 3 01 8 1 0 56 9 0 5 17 9 4 0 本章所研究的算法，通过求解泛函最小值将问题转化到小波域中求解。利用 a u j o l 的求解泛函最小值的方法得到图像分解部分的小波系数序列，并重构该序列 的极限来得到图像的分解部分。从实验结果看出，基于小波变换和变分的图像分 解算法能够更好地保留图像边缘，在纹理部分则差别较小。尤其在低噪声图像处 理上，相比d a u b e c h i e s t e s c h k e 模型，该算法能更好的分解图像。 3 4 本章小结 本章深入研究了基于小波变换的图像分解算法，并对基于小波变换和变分的 处理方法进行了归纳整理和实验仿真。该处理方法是将图像分解问题转化成在小 波域中求解图像分局的变分问题。此理论方法可以尝试地运用到图像缩放或者其 它图像处理问题上，很可能会达到更好的预期实时处理效果。 第四章图像增强算法研究 2 l 第四章图像增强算法研究 图像增强技术，目前已经存在很多且较为有效的处理方法。例如我们熟悉的 修正直方图、自适应直方图均衡、图像平滑和锐化等。但这些方法中普遍存在着 不足，在于对低信噪比的图像处理上，往往不能达到很好的效果。小波变换由于 它的时频局部化能力，很好地被运用于图像处理算法上；但对含噪图像，c o n t o u r l e t 展现出来很大优势，它能捕获图像的方向信息，所以为更好地实现含噪图像的增 强提供了更优的选择。 4 1 图像中的不同噪声 在一个图像系统中，由于各种因素，噪声是不可避免的。下面介绍几种常见 和被经常用到的噪声，实际统计和分析研究都已经证明这些噪声的特性是符合具 体信道特性的。 1 白噪声：是最经常遇到的噪声类型。它的功率谱密度函数在整个频域内服从 均匀分布，是常数。之所以称它为“白 噪声，是因为它类似于光学中包括全部 可见光频率在内的白光。凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声。白噪声的 功率谱密度通常被定义为： ( 国) = 詈 ( 一 + ) ( 4 1 ) 其中，是一个常数，单位为w h z 。 实际中不存在完全理想的白噪声，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的 频率范围远远超过通信系统工作频率范围时，就可近似认为是白噪声。例如，热 噪声的频率可以高到1 0 ”h z ，且功率谱密度函数在0 1 0 1 3h z 内基本均匀分布，因 此可以将它看作白噪声。 2 高斯噪声：另一种常见噪声是高斯噪声。它其概率密度函数服从高斯分布( 即 正态分布) 的一类噪声。其一维概率密度函数可用数学表达式表示为： m ) = 志e x p 一警】 ( 4 2 ) 其中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；仃2 为噪声的方差。 3 高斯白噪声：指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率 谱密度函数是常数的一类噪声。这里值得注意的是，高斯型白噪声同时涉及到噪 声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数均匀性，二 者缺一不可。 基丁小波变换的i 目慷处理岸法研冗 白噪，就是说频谱为常数，i j 样本点互小相关。所以，“自”t o “小白”是 和分布没彳j 关系的：当随机的从蔷斯分布中获取采样值时，采样点所组成n 勺随机 过程就是“高斯n 噪声”；旧理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所 组成的随机过程就是“均匀白噪卢”。 高斯分布模型能很好地描述许多噪声，但是在实际戍用中也存扯大量的非高 斯噪声，例伽马( 爱尔兰) 噪声等噪声。其他的噪声类型吐有：窄带高斯噪声， 即通过窄带系统的高斯噪卢：正弦信号加窄带高斯噪声等特殊娄型的噪声。本节 # 譬通过加入白噪声使得l e n a 圈像和c 蜘盯锄如幽像含噪从而进步埘禽噪h 像进行增强处理。 交