2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2练习：第三章　推理与证明 测评 含解析.docx

教学资料范本2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2练习：第三章推理与证明 测评 含解析编 辑：_时 间：_第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面.”()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,边的中点对应正四面体的面的中心.答案:C2.用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.B.C.D.解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为.答案:B3.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜出椭圆=1的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析:由归纳推理的特点知,选B.答案:B4.下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(x)y=f(xy)”的是()A.指数函数B.对数函数C.一次函数D.余弦函数解析:当函数f(x)=ax(a0,a1)时,对任意的x0,y0,有f(x)y=(ax)y=axy=f(xy),即指数函数f(x)=ax(a0,a1)满足f(x)y=f(xy),可以检验,B,C,D选项均不满足要求.答案:A5.观察下列各等式:=2,=2,=2,=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为()A.=2B.=2C.=2D.=2解析:观察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.答案:A6.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义,故选B.答案:B7.(20xx年广西市高三上学期一模)给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上解析:f(x)=3+4cos x+sin x,f(x)=-4sin x+cos x,由f(x)=-4sin x+cos x=0,得4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0+4sin x0-cos x0=3x0,所以点M(x0,f(x0)在直线y=3x上,故选B.答案:B8.(20xx北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.答案:B9.观察按下列顺序排列的等式:90+1=1,91+2=11,92+3=21,93+4=31,猜想第n(nN+)个等式应为()A.9(n+1)+n=10n+9B.9(n-1)+n=10n-9C.9n+(n-1)=10n-1D.9(n-1)+(n-1)=10n-10解析:先观察已知等式的左边,可得第n(nN+)个等式的左边应为9(n-1)+n;再观察已知等式的右边结果1,11,21,31,知它们构成以1为首项,10为公差的等差数列,所以第n(nN+)个等式的右边应为1+10(n-1)=10n-9,故选B.答案:B10.如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,Pi(i=1,2,3,)分别是所在线段的中点,则线段P7P8的长为()A.B.C.D.解析:因为正方形ABCD的边长为1,又P1,P2,P3分别是BC,CD,DA的中点,所以P1P2P2P3,且P1P2=P2P3=.所以P2P5=,连接P3P5,则P3P5=,因为P7,P8分别是P3P4,P4P5的中点,所以P7P8P3P5,且P7P8=P3P5=.答案:A11.在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),按此规律一直运动下去,则a2 017+a2 018+a2 019=()A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009解析:依题意a1=1,a2=1;a3=-1,a4=2;a5=2,a6=3;归纳可得a1+a3=1-1=0,a5+a7=2-2=0,进而可归纳得a2 017+a2 019=0,a2=1,a4=2,a6=3,进而可归纳得a2 018=2 018=1 009,a2 017+a2 018+a2 019=1 009.答案:D12.(20xx湖北武汉区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:这四人的供词中,都提到乙,我们假设乙是罪犯,那么,甲和丙的供词是真话,乙和丁的供词是假话,符合题意.假设成立.如果我们假设其他人为罪犯,如果罪犯是丙,那么,说真话的就有甲、乙、丁三人;如果罪犯是丁,那么,说真话的只有甲;如果罪犯是甲,那么说真话的只有丙;后面三个假设都与题目要求不符合,假设不成立.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆=1类似的性质为.解析:圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆=1类似的性质为:过椭圆=1上一点P(x0,y0)的切线方程为=1.答案:经过椭圆=1上一点P(x0,y0)的切线方程为=114.(20xx年湖南省市长郡高三上学期第三次月考)设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根据以上事实,当nN+时,由归纳推理可得:fn(1)=.解析:通过条件归纳推理可知fn(x)=,fn(1)=,故填.答案:15.当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN+时,你能得到的结论是.解析:根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN+时,左边第二个因式可知为an+an-1b+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1.答案:(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+116.如果一个凸多面体是n(nN+)棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条,这些直线共有f(n)对异面直线,则f(4)=,f(n)=.(答案用数字或n的解析式表示)解析:所有顶点所确定的直线共有棱数+底边数+对角线数=n+n+.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)=42+2=12,所以f(n)=n(n-2)+(n-2)=.答案:12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若x,yR,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-180.(1)求x2+y2的取值范围;(2)求证:xy2.(1)解:由(x2+y2)2+(x2+y2)-200,得(x2+y2+5)(x2+y2-4)0.因为x2+y2+50,所以有0x2+y24,即x2+y2的取值范围为0,4.(2)证明:由(1)知x2+y24,由基本不等式得xy=2,所以xy2.18.(12分)观察以下各等式:sin230+cos260+sin 30cos 60=,sin220+cos250+sin 20cos 50=,sin215+cos245+sin 15cos 45=.分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.解:猜想:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=.证明如下:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=sin2+sin =sin2+cos2-sin cos +sin2+sin cos -sin2=sin2+cos2=.19.(12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PMBB1交AA1于点M,PNBB1交CC1于点N.(1)求证:CC1MN;(2)在任意DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.解:(1)证明因为PMBB1,PNBB1,又PMPN=P,所以BB1平面PMN,所以BB1MN.又CC1BB1,所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有-2cos .其中为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角.证明如下:因为CC1平面PMN,所以上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中,因为PM2=PN2+MN2-2PNMNcosMNP,所以PM2C=PN2C+MN2C-2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP.由于=PNCC1,=MNCC1,=PMBB1=PMCC1,所以-2cos .20.(12分)(20xx陕西高考)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1) 证明:在题图中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC.即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=SA1O=a2a=a3,由a3=36,得a=6.21.(12分)已知a,b,c都是不为零的实数,求证:a2+b2+c2(ab+bc+ca).证明:要证a2+b2+c2(ab+bc+ca),只需证5(a2+b2+c2)4(ab+bc+ca),只需证5a2+5b2+5c2-(4ab+4bc+4ca)0,只需证(a2-4ab+4b2)+(b2-4bc+4c2)+(c2-4ca+4a2)0,只需证(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)20.因为(a-2b)20,(b-2c)20,(c-2a)20,且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号,则必有a=b=c=0),所以(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)20,所以原不等式成立.22.(12分)已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)从小到大的第i(iN+)个零点,证明对一切nN+,有+.解:(1)f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.令f(x)=0,得x=k(kN+).当x(2k,(2k+1)(kN)时,sin