（计算机应用技术专业论文）面向有限元的四面体网格生成算法研究.pdf

t h er e s e a r c ho ft e t r a h e d r a lm e s hg e n e r a t i o n a l g o r i t h mf o r f i n i t ee l e m e n t b y y a n h u ac h e n u n d e rt h es u p e r v i s i o no f p r o f m i n g j a nl i u at h e s i ss u b m i t t e dt ot h eu n i v e r s i t yo fj i n a n i np a r t i a lf u l f d l m e n to f t h er e q u i r e m e n t s f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ro fe n g i n e e r i n g u n i v e r s i t yo f j i n a n j i n a n ，s h a n d o n g ，p r c h i n a j u n e3 ，2 0 1 1 38舢8 iiii-y 原创性声明 本人郑霍声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独寺进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：谣盈仁 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解济南大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借鉴；本人授权济南大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 口公开口保密(年，解密后应遵守此规定) 论文作者签名：哗导师签名 济南足学硕卜学位论文 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼舅曼皇! 曼曼曼舅曼量曼量曼曼曼曼曼曼曼曼! ! ! 曼! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼量曼曼曼曼曼量曼! 曼曼曼曼曼 目录 摘要i i i a b s t r a c t 、f 第章绪论1 1 1 选题背景及研究意义1 1 2 有限元网格乍成研究现状2 1 3 本文的主要研究内容3 第二章相关理论知识5 2 1 网格划分5 2 1 1 网格划分的基本步骤5 2 1 2 网格划分的基本原则6 2 1 3 网格质黾= 的度量准则8 2 2 四面体网格，# 成算法9 2 2 1 八叉树法1 0 2 2 2 推进波前法1 2 2 2 3d e l a u n a y 三角化法1 3 2 2 4 四面体网格乍成算法比较1 6 2 3 计算几何基础1 7 2 3 1 凸壳1 7 2 3 2v o r o n o i d f r i c h l e ti 型1 8 2 3 3d e l a u n a y 三角剖分1 9 2 4 本章小结2 l 第一三章限定d e l a u n a y 四面体网格划分2 3 3 1 引占2 3 3 2 限定三角四面体剖分2 4 3 3 限定d e l a u n a y 四面体削分( c d t ) 2 5 3 4 三维限定d e l a u n a y 四面体网格生成算法2 6 面向自限几的阴由体网格隹成管法研究 3 4 1 经典的d e l a u n a y 三角化算法2 6 3 4 2 随机增量变换法2 8 3 4 3c d t 算法3 0 3 5 边界恢复3 0 3 5 1 限定边的恢复3 1 3 5 2 限定面的恢复3 5 3 6s l i v e r 单元3 7 3 6 1 四面体网格单元质最的度量方法3 7 3 6 2s l i v e r 单元的产生3 8 3 6 3s l i v e r 单元的消除3 9 3 7 本章小结4 2 第四章c d t 算法的实现4 3 4 1 引言4 3 4 2 程序运行平台4 3 4 3 数据结构4 3 4 4 几何判断4 5 4 5 算例4 6 4 6 本卷小结4 7 第五章总结与展望4 9 5 1 总结4 9 5 2 展望5 0 参考文献5 l 致谢5 7 附录5 9 一、在校期间发表的学术论文5 9 二、在校期间参加的项目5 9 n 济南丘学够l 学9 沦艾 摘要 有限单元法是将连续介质离散成一组有限个单元，使无限自由度的问题转化 成有限自由度的问题，再利用计算机进行求解。该方法的提出足数值分析方法研 究领域内的重大突破性进展。在利用有限单元法进行数据分析之前，需将待分析 的物理实体做网格划分，所以面向有限元的网格生成算法的研究和实现就显得非 常蘑要。目前，对于二维模犁的问题，现有的有限元网格乍成方法获得了一定程 度的成功，基本上满足了实际工程的需求。但对f 维模型的问题，在三维空间 中，单元的点、线、面和体的关系更复杂，有限元网格生成方法只是取得了一定 程度的效果，还需要进一步的研究和发展。 本文首先对几种常用的四面体网格生成算法一八义树法、推进波前法、 d e l a u n a y 三角化方法进行了深入研究，并对这屿算法的原理及优缺点进行了比 较，由于d e l a u n a yi 角化方法具有成熟的数学理论基础，算法效率高，具有严 格的判断准则，非常适用于三维实体的四面体网格划分。主要研究内容包括： ( 1 ) 基于d e l a u n a y 三角化的计算几何基础，研究了凸壳、v o r o n o i 图以及 d e l a u n a y 三角剖分的相关概念及其之间的关系。 ( 2 ) 引入三维限定条件表示分段线性复合p l c ，导出三维限定d e l a u n a y 四面体剖分的概念，基f 经典d e l a u n a y 三角化算法：增量算法和局部变换法， 提出随机增量变换法，采用边插入点边交换的方法，使生成的网格一直满足 d e l a u n a y 准则，而且小用考虑节点插入的先后顺序，有效地生成初始的四面体网 格。 ( 3 ) 霞点研究了d e l a u n a y 三角化方法存在的两个关键性问题：边界恢复的问 题和薄元消除的问题。在生成的初始四面体网格的基础k ，采用“先恢复限定边， 再恢复限定面”的思路，运用在丢失的子线段上增加辅助点的限定边恢复算法， 以及在不添加辅助点的情况下，通过空腔霞新四面体化的限定面恢复算法，实现 边界的恢复。通过薄元分解的方法消除s l i v e r 单元，完成了四面体网格划分算法， 提高了网格单元的质量，进一步满足有限元分析的要求。 在以上研究内容的基础上，采用c + + 实现王维限定d e l a u n a y 四面体网格的 划分，并应用f 有限元的实际工程应用中。实践表明，采用本文提出的改进的初 i i i 曲u t , i f l 限儿的p q 血体网格t 成算迂研究 始四面体网格的生成算法及边界恢复算法，生成的网格质最较高，通过s l i v e r 单 元的消除，生成的有限元网格的单元质量得到很大程度的提高，网格质量得到保 证。 关键字：网格生成，限定d e l a u n a y 四面体网格划分，边界恢复，s l i v e r 单元 i v 济南上学硕卜学似论之 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o dd i s p e r s e sc o n t i n u o u ss u b s t a n c ei n t oab a t c ho fe l e m e n t s ， a n dt h i sc a r lt r a n s f o r mt h ep r o b l e mo fi n f i n i t yf r e e d o md e g r e ei n t ot h ep r o b l e mo f f i n i t ef r e e d o md e g r e e ，a n dt h e ns o l v e si tb yc o m p u t e r s i ti sap o w e r f u ln u m e r i c a l a n a l y s i sm e t h o di ns o l v i n ge n g i n e e r i n gp r o b l e m s b e f o r ea n a l y s i su s i n gf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，t h em o d e lt o b ec a l c u l a t e dm u s tb em e s h e d s o ，t h er e s e a r c ha n d i m p l e m e n t a t i o no fa l g o r i t h m sf o rf i n i t ee l e m e n tm e s hg e n e r a t i o ni sq u i t ei m p o r t a n t t ot h ep r o b l e mo ft w o d i m e n s i o n a lm o d e l s ，t h ee x i s t i n gm e t h o d so ff i n i t ee l e m e n t m e s hg e n e r a t i o nh a v ea c h i e v e dm u c hs u c c e s sa n do nt h ew h o l ef u l f i lt h er e q u i r e m e n t o fa c t u a le n g i n e e r i n g h o w e v e r , t ot h ep r o b l e mo ft h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l s ，m e s h g e n e r a t i o nm e t h o d so n l yh a v er e c e i v e da l i t t l eb i to fe f f e c t ，s ot h e ym u s tb er e s e a r c h e d a n dd e v e l o p e df a r t h e r a tf i r s tt h i sp a p e rd i s c u s s e ss e v e r a lc o m m o na l g o r i t h m so ft e t r a h e d r a l i z a t i o n ， o c t r e e ，a d v a n c i n gf r o n tt e c h n i q u ea n dd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o nm e t h o da n di n - d e p t h s t u d yo f t h e m a n dt h e nc o m p a r e dt h e i rp r i n c i p l e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s s i n c ed e l a u n a y t r i a n g u l a t i o nm e t h o db a s e do ns o p h i s t i c a t e dm a t h e m a t i c a lt h e o r y , g o o df l e x i b i l i t y , e a s y t oc o n t r o la n ds t r i c tc r i t e r i o n ，s oi t a p p l i e s t ot h et e t r a h e d r a l i z a t i o no f t h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l s t h em a i nc o n t e n t si n c l u d e ： ( 1 ) b a s e do nt h e o r i e so fc o m p u t a t i o n a lg e o m e t r ya b o u td e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ， t h i sp a p e rs t u d i e st h ec o n c e p t sa n dc r i t e r i o n so fc o n v e xh u l l ，v o r o n o ia n dd e l a u n a y t r i a n g u l a t i o na n dr e s e a r c h e st h e i rr e l a t i o n s h i p s ( 2 ) b y i n t r o d u c t i o no ft h r e e - d i m e n s i o n a lq u a l i f i c a t i o n p i e c e w i s e l i n e a r c o m p l e x e s ( p l c ) t od e s c r i b et h eg e o m e t r i c a lb o u n d a r y , e x p o r tt h ec o n c e p t o f t h r e e - d i m e n s i o n a lc o n s t r a i n e dd e l a u n a yt e t r a h e d r a l i z a t i o n t h i sp a p e rs u b m i t sa n i n i t i a ld e l a u n a yt e t r a h e d r a l i z a t i o na l g o r i t h mw h i c hi sr a n d o m i z e di n c r e m e n t a lf l i p a l g o r i t h m t h ea l g o r i t h mb a s e do nt h ec l a s s i c a ld e l a u n a yt r i a n g u l a t i o na l g o r i t h m s ： i n c r e m e n t a la l g o r i t h ma n dl o c a lt r a n s f o r m a t i o n a la l g o r i t h m w ea d o p tt h ea l g o r i t h m t h a ti n c r e a s i n gp o i n t sw h i l ec h a n g i n g ，s ot h a tt h em e s ht h a th a sb e e ng e n e r a t e da l w a y s v 面向存限，c 的四血体网格乍成算法研究 m e e t st h ed e l a u n a yc r i t e r i o n t h i sa l g o r i t h mw i t h o u tc o n s i d e r i n gt h eo r d e ro f i n s e r t i o np o i n t ，e f f e c t i v e l yg e n e r a t et h ei n i t i a lt e t r a h e d r a lm e s h ( 3 ) t h ep r o b l e m sa b o u t c o n s t r a i n e dd e l a u n a ya l g o r i t h mt ob er e s o l v e da r e r e s e a r c h e d ：t h ec o n f o r m i n go ft h eb o u n d a r ye d g e sa n db o u n d a r yf a c e t si ns p e c i f i e d a r e a ，a n dt h ep r o b l e mo fs l i v e rd e m e n t b a s e do nt h ei n i t i a lt e t r a h e d r a lm e s h ，t h i s p a p e ra d o p t st h em e t h o do fr e c o v e r i n gt h ec o n s t r a i n e de d g ef i r s t l y , a n dt h e nr e c o v e r t h ec o n s t r a i n e df a c e ，i no r d e rt oe n s u r et h ec o m p l e t ec o n s i s t e n c yo ft h eb o u n d a r y u s i n ge d g er e c o v e r ya l g o r i t h mb ya d d i n gs t e i n e rp o i n t st or e c o v e rm i s s i n gs e g m e n t s a n dd o e sn o ta d ds t e i n e rp o i n t st or e c o v e rm i s s i n gf a c e t sb yc a v i t yr e g e n e r a t e t e t r a h e d r a lm e t h o d r e m o v e dt h es l i v e re l e m e n t sb yd e c o m p o s i n g , c o m p l e t et h e t e t r a h e d r a lm e s hg e n e r a t i o n ，a n di m p r o v et h eq u a l i t yo ft h em e s he l e m e n t ，t of u r t h e r m e e tt h er e q u i r e m e n t so ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s a c c o r d i n gt ot h es t u d ya b o v e t h ea l g o r i t h mi sc a r r i e do u tb yc + + l a n g u a g ea n d a p p l i e dt op r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n t t h ee x p e r i m e n t ss h o w t h a tt h ea l g o r i t h mp r o p o s e di nt h i sp a p e r , w h i c ha l ei m p r o v e di n i t i a lt e t r a h e d r a lm e s h g e n e r a t i o na l g o r i t h ma n db o u n d a r yr e c o v e r ya l g o r i t h m ，t h ea l g o r i t h mg e n e r a t e sh i g h q u a l i t ym e s h ，t h r o u g ht h ee l i m i n a t i o no f s l i v e rc e l l s ，t h eq u a l i t yo ft h eg e n e r a t e df i n i t e e l e m e n tm e s hh a sal a r g ee x t e n ti m p r o v e m e n t ，a n dt h em e s hq u a l i t yh a sb e e n g u a r a n t e e d 。 k e yw o r d s ：m e s hg e n e r a t i o n ；c o n s t r a i n e dd e l a u n a yt e t r a h e d r a l i z a t i o n ； b o u n d a r yr e c o v e r y ；s l i v e r v l 济南上学硕t 学位论艾 第一章绪论 1 1 选题背景及研究意义 在近代工程科学技术发展的过程中，由于车辆、船舶、机械、水坝、房屋、 桥梁等工程设计l 的需要，及许多物体的几何形状、支承约束及载倚状况等_ e 常 复杂，要精确获得反映物体应变、应力和位移的解析解很困难，有时甚至是不可 能的，而过多的简化和假设，通常将导致不精确甚至错误的解答i l 之】。截至上世 纪4 0 年代，人们普遍使用变分方法、松弛方法、差分方法等方法来计算分析结 构形状相对简单的物理实体，但在实际的工程应用中对结构形状相对复杂的物理 实体进行精密准确的分析却有点困难。出现电子计算机后，人们基于计算机求解 杆件结构力学中位移法和力法的基本方程，提出矩阵位移法和矩阵力法。基f 此 思想，5 0 年代中期提出有限单元法，将连续介质离散成。组有限个单元，使无 限自由度的问题转化成有限自由度问题，再利用计算机进行求解【3 j 。 有限单元法的提出足数值分析方法研究领域内的重大突破性进展。在此之前 的有限差分法、最小二乘法、力矩法、配点法等数值方法在不同领域的应用都取 得了一定程度的成功，然而使用这螳方法解决实体结构相对复杂的问题时，解析 的精确度较低，不能成功应用【3 l 。有限单元法的基本思想是用离散化的模型替代 物理实体的模型。町以用有限单元法求解物理结构十分复杂的实体模型，因为单 元有各种各样的形状，而且可以按小同的连接方式将有限个单元进行组合，这样 就可以把几何形状复杂的物理实体进行模型化，而且伴随着单元数目和自由度的 增加，还有插值函数次数的提高，也会提高求解的精确度。 近年来，有限单元法的应用研究逐渐由弹性力学问题延伸到板壳、空间问题， 由静力平衡问题延伸到稳定问题、波动问题和动力问题。分析的对象也从弹性材 料扩展到翅性、粘翅性、粘弹性和复合材料等，从固体力学发展到流体力学、电 磁学、传热学等连续介质力学领域【4 1 。随着计算机技术的迅猛发展，在桥梁结构 分析和优化领域，有限元法作为种日益重要的分析工具应用于许多复杂机械的 刚度、强度、稳定性分析计算等。 面向f i 限j 1 2 的四嘶体网格乍成算法研究 1 2 有限元网格生成研究现状 近年来，有限单元法无论是在理论研究方面还是在实际工程应用方面都 取得了有效的成绩，日益成为实际r 程设计与分析的主要技术，很多结构复 杂的物理工程设计都用该方法模拟。该方法解决实际工程问题时一般包括3 个步骤：前处理阶段、计算阶段和后处理阶段。在整个分析计算过程中，第 阶段占整个过程的4 0 5 0 ，第_ 二阶段占整个过程的5 ，第三阶段占整 个过程的5 5 一6 0 。后两个阶段足在前处理阶段的基础卜进行的，所以在用有 限元方法进行数据分析前，需要把待分析的物理实体进行网格划分，将待分 析的实体区域用组有限个单元来表示。为了确保分析计算的精确度，争成 的网格的数目、拓扑形状和尺寸大小要符合物理实体的模型，并且满足有限 元分析的要求，因此面向有限元的网格划分的合理性非常重要。 有限元分析用大量几何形状简单的单元的组合来近似描述整体结构，利 用单元节点变量对单元内部变最进行插值，来实现对整体结构的分析。将整 体结构离散成简单单元的组合，称为有限元网格划分，简称网格划分。所有 简单单元的集合称为有限元网格，简称网格。 有限元网格生成技术是研究空间数据场离散为简单几何的方法，目前有 限元网格生成技术已获得很大成功，困内外许多学者对多种网格划分的方法 进行了概括和总结，如t h a c k e r 晦1 ，k e nh o l e m l ，s t e v e no w e n 1 ，s h e p h a r d 旧1 ， g e o r g e 引，关振群n 0 1 ，胡恩球n 1 1 等。 最初提出有限单元法时，要处理的物理实体的结构相对简单，通过手工 操作就可以实现待分析模型的网格离散。由于要处理的物理实体的结构形状 日益复杂，自动生成有限元网格的算法也随之产生。映射法是最早提出的自 动乍成有限元网格的算法。映射法包括三种方法：保角映射法2 ( c o n f o r m a l m a p p i n gm e t h o d ) 、基于偏微分方程法3 1 ( p d e b a s e dm e t h o d ) 以及代数插值法 n 4 1 ( a l g e b r a i ci n t e r p o l a t i o nm e t h o d ) 。1 9 7 2 年s u h a r a 和f u k u d a n 副提出节点连接 方法，之后c a v e n d i s h n 6 1 采用生成随机节点的方法对其做了进一步的改进。 1 9 7 6 年h e r m a n n ”提出l a p l a c e 网格光顺的方法，对网格质量做了进一步优化。 1 9 7 7 年和1 9 8 1 年l a w s o n n 引和w a t s o n 引提出了不同的d e l a u n a y 三角化方法， 利用该方法进行网格划分，生成的单元质量好，可以全自动实现网格划分， 2 济南夫掌硕l 宁侈涂艾 因此得到广泛应用。w o r d e n w e b e r 陋2 提出的拓扑分解法，是基于分解的角度 实现了待分析区域的网格划分。1 9 8 0 年g o n z a l e z 、t h a c k e r 心2 1 等人提出栅格法 ( g r i d b a s e d ) ，基于此方法，y e r r y 和s h e p h a r d 担3 1 提出了对网格生成有很大影 响的四叉树方法( f i n i t eq u a d t r e e ) ，之后s a m e t 心4 1 提出的用于实现该方法的数 据结构使这种方法得到了进一步的发展。该方法的思想是将围绕待分析区域 的j f 方形迭代细分，直至正方形的大小满足要求为止，再按一定的原则在划 分的小的i f 方形单元内进行三角剖分。1 9 8 3 年，b y k a t 心副提出几何分解法。 2 0 世纪8 0 年代中后期，国内外学者将对l 维平面网格，仁成算法的研究转 向三维审问。w o r d e n b e r l 2 6 l 把拓扑分解法延伸到三维空间的网格划分，该方法 虽然理论比较简单，而f j l 实现起来也比较容易，但是在几何因素方面考虑欠 缺，生成的网格形状不理想。s h e p h a r d 、y e r r y 瞳7 。2 8 1 等人基于四叉树法的思想， 提出八叉树法，用于实现三维宅间的网格划分。a m r e s h 心 将几何分解法应用 到二维空间的网格广e 成，首先找出一个分割面，然后用该面将待划分区域用 递旷l 的方法将其分割成两个子体，循环操作，直全所有的子体都变成四面体。 从二维平面到一维空间，有限元网格的生成算法不断地被提出和改进。二维 平面中一般选择i 角形和四边形的单元，而i 维问题所采用的单元一般是四面体 和六面体。三角形网格单元和四面体网格单元的灵活性较强，可以很好地逼近边 界，从而对任意复杂的实体结构进行网格划分，所以应用非常广泛f 3 0 】。日l ，对 于二维模型的问题，现有的有限元网格生成方法获得了很大的成功，基本上满足 了实际工程的需求。但对于三维模型的问题，在三维宅间中，单元的点、线、面 和体的关系更复杂【3 1 1 ，有限元网格生成方法只足取得了一定程度的效果，还需要 进一步的研究和发展。 1 3 本文的主要研究内容 本课题以生成的网格满足有限元分析为目的，基于d e l a u n a y 三角网格生成 的计算几何基础，对四面体网格生成算法做了大量研究，概述了d e l a u n a y 算法 的基本原理，基本思想，以及算法存在的问题，基于此，本文主要研究d e l a u n a y 算法的改进、边界恢复和薄元的消除等内容，使生成的四面体网格更好的反映实 体模型的特征，有利于有限元分析。 3 血向有限元的四面体网格生成算法研究 本文共分为五个章节，各个章节内容安排如下： 第一章绪论 丰要讲述了选题背景及研究意义，介绍了有限单元法的基本思想及网格划分 的意义，网格生成的研究现状，并简要地介绍了本文的选题依据及章节安排。 第二章相关理论知识 概述地介绍了网格划分的相关内容，以及几种常用的四面体网格生成算法的 基本思想，并对各种算法的优缺点进行了比较，并选择d e l a u n a y 三角化方法作 为本文四面体网格乍成的方法，最后介绍了与网格划分相关的一蝗计算几何基 础。 第i 章限定d e l a u n a y 四面体网格划分 首先概述了限定三角四面体剖分，限定d e l a u n a y 四面体剖分的概念，然后 提出了限定d e l a u n a y 四面体网格划分的算法，详细介绍了初始d e l a u n a y 四面体 网格乍成算法，边界恢复算法，以及s l i v e r 单元的消除。 第四章c d t 算法的实现 介绍了算法实现中使用的数据结构、几何判断等问题，并通过算例表明该算 法能够快速、正确且有效的实现四面体网格划分，生成的有限元网格的单元质量 得到很大程度的提高，网格质量得到保证，能够成功应用f 实际工程的有限元分 析中。 第五章总结与展望 总结了本文的研究内容，并在此基础上展望了本课题的进一步发展方向。 4 济南丈举硕卜学伊论文 2 1 网格划分 第二章相关理论知识 有限单元法是将连续介质离散成一组有限个单元，使无限自由度的问题转化 成有限自由度问题，再利用计算机进行求解【3 2 1 。有限单元法包括3 个阶段：前 处理阶段、计算阶段和后处理阶段。在这三个阶段中，后两个阶段是在前处 理阶段的基础 ：进行的，前处理阶段主要足构造有限元的模型，并对其进行网 格离散。网格离散就是将要分析的物理实体模型做网格划分，从而用一组有 限个单元来表示它，这是有限单元法前处理阶段的t 要工作。为了确保计算 分析的精确度，生成的网格的数目、拓扑形状和几何尺寸要符合物理实体的 模型，满足有限元分析的要求。 有限元网格划分的基本思想【3 3 1 ：首先进行整体模型规划，包括几何模型 的构造、单元类型的选择、网格布局、网格疏密等内容。在进行网格划分和 初步求解时，要坚持先简单后复杂，先粗略后精细，二维单元和二维单元合 理的搭配使用。 2 1 1 网格划分的基本步骤 有限元网格划分的过程包括以下几步： ( 1 ) 了解计算分析任务，不同的任务对网格的要求不同。研究分析对象， 对象包括几何模型、载倚、约束条件等；对几何模型进行分析简化；了解载 荷的特征；分析约束等。 ( 2 ) 确定要选择的单元，包括单元类型、阶次和形状的确定。应考虑多方 面的因素，如结构的复杂程度、应力和变形特点，载倚和约束条件等来选择 单元，合适的单元选取可以提高计算效率，减少计算模型，反之则町能影响 计算结果。 ( 3 ) 划分网格。有限元分析计算的精确度和效率与生成网格的质量有很大 关系，所以划分网格时要充分考虑各种因素，如误差准则，以及网格划分的 基本原则和方法，以减少产生质量差的网格。 5 面向何限儿的p q 画体网格件：成尊法硼冗 ( 4 ) 检查网格质量，修改和编辑网格单元。要及时检查并修改存在问题的 网格，通常采用手动操作，调整单元的节点位置尺寸大小等。修改操作通常 是在已生成网格的基础上进行，不建议荤新划分网格。 ( 5 ) 对网格的节点和单元进行优化。网格划分检查完成后，还要对网格的 节点、单元的编号进行优化，因为这些标号会影响结构总刚度矩阵的带宽与 波前数，从而影响计算的时间和存储宅问的大小。合理的爷点编号有利于提 高计算速度和计算精度，这对于大型的复杂结构非常重要。 2 1 2 网格划分的基本原则 网格划分是有限元分析前处理阶段的。霞点f 作，需要考虑很多问题，工作量 也很大，# 成的网格单元对计算的速度、精确度和规模有决定性的影响。为使构 造的有限元模型能够正确合理的模拟实体结构，提高生成的网格单元的质量，网 格划分时一般遵守如下原则【3 4 】： ( 1 ) 网格数量 有限元分析计算的精确度和规模的大小与网格的数目有关。网格数目变大， 虽然会提高计算的精确度，但相应会扩大计算规模，因此应充分考虑这两个因素 的影响来确定网格的多少。首先要确保计算的精确度，对f 结构形状相对简单的 实体模型选择较多的网格；相反，为了小降低计算的精确度而又要保证网格的数 量不要过多，一般使用分布式计算法或其它的方法降低模型的计算规模。 ( 2 ) 网格密度 网格疏密是指网格在结构的不同位置大小不相同。疏密不同的网格划分基于 以下原则：在计算分析的数据变化较大的地方，采用较密集的网格，来更好的反 映数据变化的规律；相反，在计算分析的数据变化较小的地方，采用相对稀疏的 网格，来减小模型的规模。基f 以卜原则，实体结构的网格划分密度便表现的疏 密不同。 ( 3 ) 单元阶次 有限元分析计算的精确度与单元阶次有关。单元分线性、二次和三次三种形 式，后两种形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界可以近似的逼 近实体模型的曲线或曲面边界，因此对于结构形状不规则或很复杂的实体模型可 6 济南上学硕i 一学位论文 采用高阶单元，以便提高计算的精确度。由f 高阶单元有很多节点，网格数目相 同时，由其构成的模型的规模会很大，所以在选择时要综合考虑计算的精确度和 规模。节点数量相同时，选择高阶次的单元会更好。 ( 4 ) 网格质量 网格质量足指网格几何形状的合理性。有限元分析计算的精确度与网格质量 的好坏有关。质量太差的网格有可能会中止有限元计算。 ( 5 ) 网格分界面和分界点 划分网格时，网格的形式应该满足边界条件的特点，而不足让边界条件去满 足网格。实体模型中的某些特殊界面和特殊点可以分为网格边界或节点，这样利 于定义模型的物理特性、材料特性、载倚和位移约束条件等。常见的特殊界面和 特殊点有材料分界面、分布载荷分界点或分界线、集中载荷的作用点、几何尺寸 突变面和位移约束作用点等。 ( 6 ) 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩，可以由爷点传递至邻接单元。网格划分中 为了保证此原则，应该保持节点，即一个单元的节点也是其邻接单元的节点，而 不应该在邻接单元的内部或边界上；相邻单元的公共节点保持相同的自由度。 ( 7 ) 网格布局 当实体模型的结构形状对称时，为使其表现出这种对称性，生成的网格最好 也保持对称。动态分析时，实体的结构形状对称，若生成的网格不保持对称，那 生成的网格质黾也不具有对称性。如图2 1 所示，利用集中质鼍矩阵计算质量分 布时，采用图( a ) 中的对称网格，结果是对称的；采用图( b ) 中所示的不对称网格， 结果是不对称的，这将不利于动力计算。 日田囹囫圉囫 日田囹，囫圉团 ( a ) 釉 图2 1 对称结构模型的网格划分和质晕分布 ( 8 ) 节点和单元编号 7 雾鬈翌 面向有限几的四面体网格生成算法研究 网格节点和网格单元的编号会影响结构总刚度矩阵的带宽与波前数，从 而影响计算时间和存储空间的大小。合理的节点编号有利于提高计算速度和 计算精度，这对于大型的复杂结构更为蕈要。 2 1 3 网格质量的度量准则 为了保证有限元分析计算的精确度，我们期望生成的网格的质量尽量高。对 网格质量的度量，是网格生成和网格优化过程中的重要环节。网格质量的好坏将 直接影响有限元分析的计算结果。高质壁的网格可以为后面的处理阶段提供好的 单元刚度矩阵，提高计算精度。因此网格划分后生成的网格单元的质量是一个好 的网格生成算法必须考虑的方面。 如今，二维网格的剖分已能够生成质肇很好的网格，本文不再做讨论。三维 窄问中，网格划分的单元主要有两种：四面体单元和六面体单元。四面体网格简 单灵活，对复杂的边界有较强的适应能力，故成为三维有限元网格划分中常用的 单元。网格单元质量的度量标准应满足以下原则：单元的旋转、反射、平衡、均 匀绽放都不应该改变其度量值；当四面体的体积趋近f 零时，其度量值也近似于 零；当且仅当四面体是正面体时，其度最值取得最大值。近年来，许多学者从各 种角度提出了各种各样的度最标准，下面介绍几种常用的标准【3 5 1 ： ( 1 ) 半径比 p = 3 r r式( 2 1 ) 其中，、尺分别为四面体内切圆和外接圆的半径，其表达式为 厂= j l 式( 2 2 )厂= 式f 2 1 s l + s 2 + s 3 + s 4 r = ( 口+ 6 + c ) ( 口+ 6 一c ) ( 口+ c b ) ( b + c - a ) 2 4 矿 式( 2 3 ) 其中，研、& 、岛、是四个面的面积，a 、b 、c 分别为对边边长之积，矿是 四面体的体积。 ( 2 ) 系数q 8 济南大学硕l 学p 冷之 妒q 奇 式2 4 ) 其中c a = 1 8 3 2 8 2 0 8 ，l v 为连接顶点i 和的边的长度。c , t 的取值叮以保证正 户簖 础2 5 ) 0 = m i n ( t 9 i ，幺，岛，幺)式( 2 6 ) s i n 阱面1 2 研v 都7 ) 其中v 是由顶点1 , 2 ，3 ，4 ，组成的四面体体积，l v 为连接顶点i 和的边的长 2 2 四面体网格生成算法 迄今为止，提出并得到应用的有限元网格生成算法有很多，主要分为两类： 结构化方法，非结构化方法。 结构化方法足指单元的节点之间只有有限的几种连接方式。生成的网格区域 内所有的内部节点都具有相同数最的毗邻单元和相同数量的邻近结点。网格单元 全是阴边形单元( 二维平面或三维曲面) ，或是六面体单元( 三维实体) 。 非结构化方法是指单元的节点之间可以以任意形式的方式连接，生成的网格 区域内的内部节点不具有相同的毗邻单元，即与网格剖分区域内的不同内管点相 连的网格数目是不同的。网格单元一般是三角形单元和四面体单元。 图2 2 列出了当前常用的网格生成算法。非结构化网格生成方法要比结构化 网格生成方法复杂，研究的程度也远不如结构化网格。本文t 要关注 乍结构化网 9 面向有限庀的四面体网格牛成算法研究 格生成方法，下面主要介绍三维窄间中常用的非结构化四面体网格乍成方法：八 叉树法，推进波前法a f t ( a d v a n c i n gf r o n tm e t h o d ) 和d e l a u n a y 三角化方法。 2 2 1 八叉树法 图2 2 常用的网格生成算法 八义树法最初是在c a d c a m 造型体系中产生并发展起来的。八叉树又称 为分层树结构，该方法的基本思想【3 6 l ：将待剖分的实体窄间递归的划分成8 个部 分，每个部分称为节点，组成具有8 个分支的树形，每个节点包含各自的信息： 节点的状态信息，节点与其父节点及其子节点之间的关系。由指定的判断程序来 判断每个节点的状态信息，即节点与实体的位置关系：常点在实体宅问外状态为 窄；节点在实体宅间内状态为满；节点一部分在实体内一部分在实体外则状态为 部分空。如果节点的状态是窀或者满，就不再划分该节点并使其成为叶子节点。 如果节点的状态是部分空，则使其成为父节点，并将其所在的实体空间划分成8 部分，每部分成为其子节点，重复操作此划分，直至待剖分的实体空间划分完毕。 其实，八叉树法是一种基于栅格法( g r i d - b a s e da p p