全国初中数学竞赛试题.doc

2004年全国初中数学竞赛试题一、选择题:1、已知实数ab，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 。则b +a 的值为（ ）A、23; B、-23; C-2; D-132、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）A、ab=h ; B、+= ; C、+= ; D、a2 +b2=2h23、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）A、只有a; B、只有b; C、只有c; D、只有a和b4、如图所示，在ABC中，DEABFG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。若ABC的面积为32，CDE的面积为2，则CFG的面积S=（ ）A、6; B、8; C、10; D、125、如果x和y是非零实数，使得x+y=3和xy+x3=0，那么x+y等于（ ）A、3; B、; C、; D、4-二、填空题:6、如图所示，在ABC中，AB=AC，AD=AE，BAD=600，则EDC=_（度）。 7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为 次（用t表示）。8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 。9、如图所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D=900，BC=CD=12，ABE=45，若AE=10，则CE的长度为 。10、实数x、y、z满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z的最大值是 .三、解答题:11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。当0x10时，图象是抛物线的一部分，当10x20和20x40时，图象是线段。（1）当0x10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。12、已知a、b是实数 ，关于x、y的方程组 有整数解 ，求a、b满足的关系式。13、D是ABC的边AB上的一点 ， 使得AB=3AD ， P是ABC外接圆上一点 ， 使得 ADP=ACB，求的值。14、已知a0 , b0 ,c0 , 且 =b-2ac , 求b2-4ac的最小值。数学奥林匹克竞赛题：例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？ 此问题的变例（即特殊情况）： 变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？ 变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？ 对变例2 ，我们首先猜测其结论： 令S1，S2，Sn分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，n刀所得块数，则有 S1 =2=1+1 S2 =4=1+1+2 S3 =7=1+1+2+3 S4 =11=1+1+2+3+4 Sn=1+1+2+3+4+n=1+(n+1)n 当n=100时，有S100=1+（100+1）100=5051（块）解：设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有bn=n+1. 设an-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有： an =an-1 +bn-1 （n1，nN） 又： bn-1=n an=an-1+n=an-2+ ( n-1)+ n = =n+( n-1)+( n-2)+2+a1 又：a1=2=1+1 an=n+( n-1)+( n-2 )+ +2+1+1 例2. 有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？解：考虑更一般的情况：在同样条件下走n级台阶，情况如何？ 设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。若第一次走一级，则余下的n-1级有an-1 种走法；若第一次走两级，则余下的 n-2 级有an-2 种走法。 an=an-1 +an-2 (n2，nN) 显然a1=1，a2=2 a3=a1+a2=3 a4=a3+a2=5 a5=a4+a3=8 a6=a5+a4=13 a7=a6+a5=21 a8=a7+a6=34 a9=a8+a7=55 a10=a9+a8=89思考题：用8张12的方格纸覆盖28的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？解题新思路： 探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的：例：如图（1）在梯形ABCD中，ABCD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求证：EF=FB 分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：证明一：如图所示，作BQAD,交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证CEFQBF, 得证EF=FB. 证明二：如左图所示：作FMDA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证CEFMFB，从而结论可得证. 证明三：作CNEB交AB于N，则四边形CNBF是，从而CN=FB. 再证：ANCDFE，可得CN=EF，即EF=FB. 证明四：作DPFB交AB于P，证明ADPCEF，从而得出结论. 证明五：延长EC交AB于G，则四边形ADCG是，CE=AD=GC，即C是EG中点.又CFGB，F是EB中点，结论得证. 证明六：连结AE交CD于O点，则O 是AE中点，又OFAB，F是AB中点，得证. 证明七：延长ED交BA延长线于H点，则HACD是 , CA=DH=ED D是EH中点.又DFHB F是EB中点，得证.证明八：作ESCD交AD延长线于S，则CDSE是 DS=CE=AD D是AS中点.又SECDAB F是EB中点，得证.证明九：在证明一作的辅助线基础上，