（电路与系统专业论文）无理数序列的似混沌特性及其在图像加密中的应用.pdf

摘要 混沌是确定性非线性系统中呈现的不确定的或不可预测的随机现象，它是非 线性动力学系统的特有现象，它揭示了非线性科学的共同属性- 有序与无序的 统一、确定性与随机性的统一。而无理数是无限不循环小数，它的非周期特性与 混沌序列十分相似。 陈婷、李锋在p i 序列的似混沌特性及其在图像加密中的应用一文中，定 义了p i 序列，并将p i 序列与l o g i s t i c 混沌序列进行比较，证明了它们之间的 相似特性，提出了p i 序列的似混沌特性，将无理数p i 与混沌联系起来，并将 p i 序列应用于图像加密。 本文在p i 序列的基础上，将p i 序列的定义、分析方法推广到无理数领域， 以常见的无理数2 、e 等为例，构建了2 序列、e 序列，并进一步分析它们与 混沌序列之间的相似特性。 本文主要分两个部分。在前一部分，从数字统计、相关函数、功率谱密度、 相空间重构、关联维数、最大l y a p u n o v 指数以及主分量谱等方面分析了以2 序 列、e 序列为代表的无理数序列的特性，并发现了它们与混沌序列之间的相似性， 即无理数序列具有似混沌特性。本文还将无理数序列应用于图像加密，取得了与 混沌序列在图像加密中相似的保密效果。 在后一部分，本文采用一种新的无理数并行计算方法- b b p 算法，得到了 一种基于b b p 算法的无理数序列。针对非十进制数字串，进行一定的转换，从而 得到新的十进制数字序列，并对这种序列进行分析，结果发现，它们同样具有似 混沌特性。 关键词：无理数序列，l o g i s t i c 混沌序列，相空间重构，关联维数，l y a p u n o v 指数，主分量分析，b b p 算法，图像加密 中图分类号：t n 9 1 1 7 3 a b s t r a c t c h a o si sa na p e r i o d i ct i m e - a s y m p t o t i cb e h a v i o ri nad e t e r m i n i s t i cn o n - l i n e a r s y s t e mw h i c he x h i b i t ss e n s i t i v ed e p e n d e n c e0 1 1i n i t i a lc o n d i t i o n s i ti sas p e c i a ls t a t e o fn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m i tr e v e a l st h ec o m m o na t t r i b u t eo fn o n l i n e a r s c i e n c e - - u n i f i c a t i o no fo r d e ra n dd i s o r d e r , u n i f i c a t i o no fc e r t a i na n ds t o c h a s t i c i r r a t i o n a ln u m b e rm e a n sar e a ln u m b e rt h a tc a nn o tb ee x p r e s s e da sar a t i o n a ln u m b e r , a n di ti ss i m i l a rw i t hc h a o sb e c a u s eo fi t sn o n p e r i o d i cp r o p e r t y t i n gc h e na n df e n g l ia s s o c i a t ep iw i t hc h a o si n “c h a o s - l i k ec h a r a c t e r i s t i c so f p i s e r i e sa n di t sa p p l i c a t i o nt oi m a g ee n c r y p t i o n t h e yd e f i n ep is e r i e sa n dp o s ti t s c h a o s - l i k ec h a r a c t e r i s t i c sb yc o m p a r i s o nw i t hl o g i s t i cc h a o t i cs e r i e s a tl a s tt l l e y a p p l yp is e r i e st oi m a g ee n c r y p t i o n i r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e si sp r o p o s e db ye x t e n d i n gt h ed e f i n i t i o na n da n a l y s e s m e t h o do f p is e r i e st oi r r a t i o n a ln u m b e r s w eg e ts q u a r er o o to f t w os e r i e sa n de s e r i e s ， p u r s u i n gt h es i m i l a ra t t r i b u t e sb e t w e e nt h e ma n dc h a o t i cs e r i e s t h ep a p e ri sm a i n l yc o m p o s e do ft w o p a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ea n a l y z e i r r a t i o n a l n u m b e rs e r i e so fs q u a r er o o to ft w oa n dei ns i xa s p e c t si n v o l v i n ga u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ，p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ( p s d ) ，p h a s es p a c ec o n s t r u c t i o n , c o r r e l a t i o n d i m e n s i o n ，p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ( p c a ) a n dm a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n t t h er e s u l t sv e r i f yt h ec h a o s - l i k ec h a r a c t e r i s t i c so fi r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e s f i n a l l yw e a p p l yo u ri r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e st oi m a g ee n c r y p t i o na n dg e tp l e a s a n te n c r y p t i o n e f f e c t s i nt h es e c o n dp a r tw ep r o p o s ei r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e sb a s e do nb b pa l g o r i t h m ， w h i c hi sap a r a l l e lc o m p u t i n g a l g o r i t h mf o ri r r a t i o n a ln u m b e r a f t e rd e c i m a l c o n v e r s i o n ，w ec a ng e tt h en o r m a li r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e s a n a l y s e ss h o wt h a t c h a o s 1 i k ec h a r a c t e r i s t i c sa l s oh a p p e nt oi r r a t i o n a ln u m b e rs e r i e sb a s e do nb b p a l g o r i t h m k e y w o r d s ：i r r a t i o n a l n u m b e rs e r i e s ，l o g i s t i cc h a o t i cs e r i e s ，p h a s e s p a c e r e c o n s t r u c t i o n ， c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，p r i n c i p a lc o m p o n e n t a n a l y s i s ，b b pm e t h o d ，i m a g ee n c r y p t i o n 2 引言 口i 一= 生 i 亩 “混沌”是一门新兴学科，自上世纪七十年代崛起以来，其理论得到迅速发 展和丰富，成为涉及广泛、应用众多的研究热点。混沌是非线性动力学系统的特 有现象，存在于现实生活中的方方面面。而混沌对初始条件极端敏感的特性，使 它在加密技术领域( 如保密通信等) 中获得了很好的应用。 无理数的发现和研究具有悠久的历史。早在公元前5 0 0 年，古希腊毕达哥拉 斯学派的弟子希勃索斯就发现了“不可通约量 ，即2 。在漫漫的历史长河中， 世界各国的科学家对圆周率( p i ) 的计算给予了更多的关注，直到更多的无理数 的出现，如e 、黄金分割比等。无理数是无限不循环小数，它不能表示为两个整 数之比，具有非周期及长度无限等特点。那么混沌与无理数之间究竟有没有联 系? 如果有联系，它们之间的联系又是怎样的呢? 陈婷、李锋在文献 1 中对无理数兀进行了一系列数据处理及分析，发现其在 相空间重构、关联维数及最大l y a p u n o v 指数等方面均与l o g i s t i c 混沌序列相似， 提出了序列的似混沌特性，并将它应用于图像加密。 本文在序列的基础上，将它推广到更多的无理数当中，如e 、靠，相比较 而言，后者更加广泛。本文首先计算刀小数点后的数值，得到，z 对应的无理 数序列，然后对无理数序列的特性进行分析，本文在文献 1 的基础上，增加了 统计特性分析( 如数字统计分析、自相关分析等) 和主分量分析，并与l o g i s t i c 混沌序列进行比较，寻找它们之间的相似之处，提出了无理数序列的似混沌特性， 最后，将无理数序列应用于图像加密，取得了预期的效果。 然而在无理数，z 的计算过程中仍存在着一定的缺陷，我们发现在计算疗 时，必须从小数点后第一位开始计算，直到我们所需要的部分全部完成，小数点 后并不需要的一部分数据占用了程序运行的时间，降低了计算的速度：另一方面， 在计算过程中，占用了大量的存储空间，对系统资源造成了很大的浪费。于是， 我们引入了b b p 算法。b b p 算法能够直接计算无理数小数点后任意一位的值( 并 不是十进制，而是八进制、十六进制等) ，而不需要计算该位前面的数值。b b p 算法的这种特性，可以实现无理数的并行计算，加快无理数的计算速度。于是， 本文提出了用b b p 算法构建无理数序列的方法，并分析它与混沌序列的相似性， 发现它同样具有似混沌特性，并将它也应用于图像加密，也取得了预期的效果。 本文对无理数序列( 包括基于b b p 算法的无理数序列) 进行了若干分析，并 与l o g i s t i c 混沌序列进行比较，发现两者之间的相似特性，即无理数序列的似 3 引言 混沌特性。正是基于无理数序列的似混沌特性，将它们应用于图像加密领域，取 得了预期的效果。 4 第一章关于混沌的基本概念 第一章关于混沌的基本概念 1 1 混沌的发展与应用 混沌是确定性非线性系统中呈现的不确定的或不可预测的随机现象，它是非 线性动力学系统的特有现象。与随机不同，混沌不是简单的无序，而是没有 明显的周期和对称，却具有丰富的内部层次的有序结构，是非线性动力学 系统的固有特性。 1 1 1 混沌的起源和发展 在混沌现象被发现之前，人们一直坚信，确定系统在确定输入时产生确定输 出。随着混沌现象的出现，人们发现确定系统内部也存在着随机性。 早在1 9 0 3 年，混沌鼻祖、法国数学家庞加莱在研究太阳系的稳定性问题时， 发现即使是三个星体的模型，仍会产生明显的随机结果，并提出了著名的庞加莱 猜想，实际上这是一种保守系统中的混沌呦。 1 9 6 3 年，混沌学开创人之一、美国麻省理工学院教授洛伦兹在论文确定性 的非周期流口1 中指出：在三阶非线性自治系统中可能会出现混沌解，并提出了 著名的洛伦兹方程。十年后他又发表了著名的蝴蝶效应，提出了一个貌似荒 谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打可能在美国得克萨斯州产生一个陆 龙卷，并由此提出了天气的不可准确预报性。 1 9 7 5 年，美藉华人李天岩和美国数学家约克受洛伦兹论文的启发，联名 在美国数学月刊上发表了一篇震动整个学术界的论文周期3 蕴涵混沌， 并给出了具体证明旧1 。 从此以后，混沌学获得了快速的发展。2 0 世纪8 0 年代初，t a k e n s ， p a c k a r d ，f a r m e r 等提出了重构动力学相空间的延迟法h 1 ，g r a s s b e r g e r ， p r o c a c c i a 哺1 首次运用这种相空间重构法，从实验时间序列中计算出实验系 统吸引子的统计特征，如分数维、l y a p u n o v 指数和k o l m o g o r o v 熵等混沌特 征量乜，使混沌学进入实际应用阶段。1 9 8 4 年，我国著名科学家郝柏林编 撰的混沌一书出版。1 9 8 6 年，我国科学家徐京华提出了三种神经细胞 的复合网络，证明它们存在混沌并具有人脑相类似的输出心1 。 今天，伴随着计算机技术的发展，混沌学已经发展为一门影响深远、发 展迅速的前沿科学，它成为2 0 世纪物理领域中继相对论、量子力学后的第 三次重大革命。 第一章关于混沌的幕奉概念 1 1 2 混沌的特性 混沌作为非线性系统中普遍存在的现象，它具有如下的特性： ( 1 ) 混沌具有确定性。产生混沌现象的非线性系统是确定的。 ( 2 ) 混沌是非线性的。有非线性不一定产生混沌，但是没有非线性不可能 产生混沌。 ( 3 ) 混沌对初始条件的极度敏感性。混沌的一个重要特征是，动力学特性 对初始条件的敏感依赖性。这就意味着在时间上有可能预测作为时间函数 的动力学特性，但实际上给定初始条件时出现的偏差( 不论大小) ，都会产 生将来某个时刻错误的预测。 ( 4 ) 混沌具有非周期性。混沌运动一定是非周期的，但全体混沌运动组成 的混沌系统却具有稠密的周期轨道。 1 1 3 混沌的特征量 混沌的特征量是刻画吸引子某个方面特征的量。它分为“宏观 和“微 观 两个层次。“宏观 层次是指构成吸引子的不稳定周期的数目、种类及 它们的特征值：“微观 层次是指使用整个吸引子或无穷长的轨道平均后得 到的特征量，如维数、l y a p u n o v 指数和熵等乜1 。下面介绍几种将在后面使 用到的特征量。 ( 1 ) 关联维数 非线性系统的相空间可能维数很高，有的时候我们不知道这个维数，但 是吸引子的维数一般要低于相空间的维数。我们可以从一维时间序列 【x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) 】出发，构造一个m 维矢量空间，只要嵌入维数足够高( 满足 聊2 d ，d 为吸引子的维数) ，就可以在拓扑等价的意义下恢复原来的动力学特 性。1 9 8 3 年，g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出了一种基于时间序列计算吸引子关 联维数的g p 方法晦1 。 关联维数是一个非常重要的特征量，它对重构相空间嵌入维数的选取有着重 要的意义，而且它与k o l m o g o r o v 熵有着密切的联系。 ( 2 ) l y a p u n o v 指数 混沌运动的基本特征就是对初始条件的敏感依赖性，两个非常相近的初 始条件，经过若干时间运动后，它们的轨道将会按指数方式分离心1 。l y a p u n o v 指数正是描述这种特征的物理量。 6 第一章关于混沌的摹本概念 ( 3 ) k o l m o g o r o v 熵 k o l m o g o r o v 熵k 是一个描述系统运动的混乱或无序程度的特征量。若k = 0 ，则系统做规则运动；若k = ，则系统做随机运动；若k 取有限正数， 则系统做混沌运动。对于一个一维系统，k o l m o g o r o v 熵与l y a p u n o v 指数等 效引。 1 1 4l o g i s t i c 混沌序列 混沌现象广泛存在于自然现象和社会现象中，一支上翅的香烟，烟纹袅 袅涡卷；风中的旗帜前后拍动；自来水龙头上滴下的水滴的花样由稳定变 为随机；高速公路上汽车的拥挤状态，股票的上升与下降等等，都会出现 混沌现象。下面将介绍一种简单的混沌模型虫口模型，即l o g is t i c 映 射乜】。 虫口模型是一个描述昆虫数量变化的简单数学模型。设为某种昆虫第n 亲 代内的个体数目，+ 。为第n + l 亲代的个体数目，假设昆虫的种群只由单一亲代 构成( 由于子代数目远大于亲代数目，这种假设是完全可取的) ，则二者之间的 关系可通过如下函数关系描述： 毛+ i = x , , ( a - b 毛) ，力= 1 ，2 ， ( 1 1 一1 ) 其中，a 表示增长率，而毛表示因食物等因素引起的虫口饱和。为了数学处理 的方便，令口= b = ，则式i - i - i 可修改为： 毛+ i = a x ( 1 一) ，以= 1 ，2 ， ( 1 1 2 ) 式1 - 1 - 2 所描述的离散动力系统，当参数| l 取以下值时： ( 1 ) 当o u 1 时，该动力系统具有唯一不动点0 ，虫子最终将灭亡。 1 ( 2 ) 当l ( 7 2 0 1 7 = 3 4 0 2 74 8 - 第二余数 + 7 3 4 72 42 9 - 3 4 7 7 2 0 1 7 7 = 3 5 4 031 94 1 - 第三余数 + 9 3 5 4 931 94 1 - 3 5 4 9 9 0 图2 - i - i 手工开平方法 2 1 2 无理数序列的定义 在这一节中，我们将引入无理数序列的定义。文献 1 中提出了序列的定 义，本文借签了这种定义方法。 我们定义一个无理数序列卵( n ，) = j ( 1 ) ，s ( 2 ) ，s ( n ) ，其中，i 为无理数，m 为数字位数，n 为序列长度，为初始位置。 计算无理数i 小数点后，+ 1 位到，+ n x m 位之间的数值，顺序取出n 组均由m 个数字构成的整数，并对这些整数除以1 0 “形成介于0 与1 之间的小数，由这n 个小数依序组成的序列记为无理数序列s ，f n ，) 。下面以2 来说明之。 通过记算，4 2 = 1 414 213 5 6 2 3 7 3 0 9 5 0 4 8 8 016 8 8 7 2 4 2 0 9 6 9 8 0 7 8 5 6 9 6 718 7 5 3 7 6 9 4 8 0 7 317 6 6 7 7 3 7 9 9 0 7 3 2 4 7 8 4 6 210 7 0 3 8 8 5 0 3 8 7 5 3 4 3 2 7 6 415 7 2 7 3 5 013 8 4 6 2 3 0 912 ， 假设数字位数m = 5 、序列长度n = 5 0 0 0 、初始位置l = o ，得到一个无理数序列如下： 骧( s o o q o = 0 4 1 4 2 1 ，0 3 5 6 2 3 ，0 7 3 0 9 5 ，0 1 6 3 6 1 ( 2 1 _ 1 ) 1 2 第_ 二章无理数序列的似混沌特性 由无理数序列的定义可知，无理数序列s ( n ，) 具有四个重要属性： ( i ) 无理数i ：无理数序列中的元素乘以l o “顺序连接构成的数字串，是无 理数i 小数点后数字串的一部分。 ( 2 ) 数字位数i l l ：无理数序列中各元素小数点后包含m 位数字。 ( 3 ) 序列长度n ：无理数序列中包含的元素个数。 ( 4 ) 初始位置，：，决定序列首元素s ( 1 ) 出现在i 小数点后的位置，当，为o 时，可以省略，即壤( 5 = 踮9 。 以上四个属性任意一个发生变化都会产生完全不同的无理数序列，可见，无 理数序列的集合是非常庞大的。 类似的，对于e = 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 ， 同样假设数字位数m = 5 、序列长度n = 5 0 0 0 、初始位置1 = 0 ，得到一个无理数序列： ! 泐= 0 7 1 8 2 8 ，0 1 8 2 8 4 ，0 5 9 0 4 5 ，0 0 3 5 4 9 ( 2 - 1 2 ) 2 2 无理数序列的似混沌特性 文献 2 7 对几个常见的无理数的前1 0 0 万位进行了分析，并利用“数盒子 算法计算出了相应无理数序列的分形维数。文献 1 对序列从功率谱、相空间 重构以及最大l y a p u n o v 指数等方面进行了分析，指出序列具有似混沌特性。 为了更加深入地分析无理数序列的性质，本文增加了对无理数序列的自相关分 析、关联维数分析和主分量分析，并将其与l o g i s t i c 混沌序列进行比较，寻找 两者之间的相似性。 为了比较无理数序列与混沌序列的相似性，我们选取了参数u ：4 0 、初始值 x ( 1 ) = 0 0 1 且长度n = 5 0 0 0 的l o g i s t i c 混沌序列& 。( 5 0 0 0 ) = 0 0 1 ，o 0 3 9 6 ， 0 1 5 2 1 2 7 3 6 ，0 9 8 9 0 7 2 4 6 4 9 9 9 4 8 。图2 - 2 - i 显示的是无理数序列曝 o 嘞、 渤与混沌序列s , 。) 前 个数据点的时域图形，为了书写的简便，我o ( s o o o 5 0 0 们将序列的长度省去。在本文中，如果不特别指出，序列长度均默认为5 0 0 0 。 第一：章尤理数序列的似混沌特性 o5 01 0 01 5 02 2 5 03 0 03 5 04 0 04 5 05 0 005 0 ( a ) 压序列 l o kk t a p ( u , , 40 x o ) o0 1 ) 1 0 01 5 02 0 02 5 0 03 6 04 0 04 5 05 0 0 n ( b ) e 序列 05 01 0 01 5 02 2 5 03 0 03 5 0 柏o4 5 05 0 0 ( c ) l o g i s t i c 混沌序列 图2 - 2 1 乏序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列的时域图形 2 2 1 无理数序列的统计特性 在本节中，我们首先对无理数序列的统计特性进行分析，主要包括：0 9 各 数字统计特性、无理数序列的自相关特性以及无理数序列的功率谱特性。 ( 1 ) 无理数序列的数字统计特性 在样本点数分别为5 0 ，0 0 0 和1 0 0 ，0 0 0 时，分别统计2 、e 小数点后0 9 各 数字出现的次数，结果如表2 - 2 - 1 所示。我们发现，0 9 各数字出现的次数大 致相当，均在1 0 附近，对于2 ，其最大误差为0 2 8 6 ( 5 0 ，0 0 0 点) 和0 1 2 4 ( 1 0 0 ，0 0 0 点) ：对于e ，其最大误差为0 2 6 6 ( 5 0 ，0 0 0 点) 和0 2 6 4 ( 1 0 0 ，0 0 0 点) 。可见，它们均具有伪随机效果。 表2 - 2 - 1 无理数的数字统计特性 压 e 5 0 ，0 0 0 点 1 0 0 ，0 0 0 点5 0 ，0 0 0 点1 0 0 ，0 0 0 点 ( ) 4 9 3 19 8 6 2 9 9 5 99 9 5 9 4 9 4 89 8 9 6 9 8 8 5 9 8 8 5 第一二章无理数序列的似混沌特性 15 0 6 4 1 0 1 2 8 1 0 1 0 61 0 1 0 6 5 0 5 5 1 0 1 1 0 1 0 2 6 41 0 2 6 4 2 4 9 7 59 9 5 0 9 8 7 6 9 8 7 6 4 9 6 99 9 3 8 9 8 5 59 8 5 5 3 4 9 7 79 9 5 4 1 0 0 5 81 0 0 5 8 5 0 2 61 0 0 5 2 1 0 0 3 51 0 0 3 5 4 5 1 4 3i 0 2 8 6 1 0 1 0 01 0 1 0 0 4 9 6 69 9 3 2 1 0 0 3 91 0 0 3 9 5 4 9 7 09 9 4 0 1 0 0 0 21 0 0 0 2 5 0 4 61 0 0 9 2 1 0 0 3 41 0 0 3 4 64 9 7 39 9 4 6 9 9 3 99 9 3 9 5 1 3 31 0 2 6 6 1 0 1 8 31 0 1 8 3 74 9 9 09 9 8 0 1 0 0 0 81 0 0 0 8 4 9 5 99 9 1 8 9 8 7 59 8 7 5 84 9 7 19 9 4 2 1 0 0 0 71 0 0 0 7 4 9 7 29 9 4 4 9 9 6 79 9 6 7 95 0 0 61 0 0 1 2 9 9 4 59 9 4 5 4 9 2 69 8 5 2 9 8 6 39 8 6 3 ( 2 ) 无理数序列的自相关特性 对于一个时间序列 x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x f n ) 】，其自相关表达式为： 如( r ) = 寺x ( f ) x ( f + f ) ( 2 2 一1 ) 与高斯白噪声不同，混沌序列的自相关函数并不是单位冲激函数，在t = 0 之后 有一个平滑的下降过程，当幅值下降到初始值的1 一一1 时，其对应的t 即为自相关 p 法求得的重构相空间的时间延迟心1 ( 见2 2 2 节的无理数序列的相空间重构) 。我 们分析计算了咳、和s 。的自相关函数，如图2 2 2 所示。从图中可以看出， 路、具有与s t 0 8 相似的自相关函数。它们均不是单位冲激函数。而且s 。的自 相关函数波动较大，即其自相关性较s 和g 略强。 a u t o e o 圳o no 。k l mo l s q 2 ) s 懈 a u l o , c o 曲t i o n c o m l i c 矾d e ( 5 ) s 州 h i l ；i - 幽“- 山龇山山i “i j i 山一山 1 j ( a ) 2 序列 出“虬j j | i “a l i i i 山山山山l i l i i “i i i i 山 w 孵”| ! | f 唧f 胛 孵w f 吲_ 胛州唧p 5 0 01 0 0 01 5 0 02 0 0 02 5 0 0 3 0 0 03 6 0 04 0 0 0 s 0 05 0 0 0 ( b ) e 序列 投 m 雄 獬 m 掰 ! 曼 m 撕 o 雌 ” 窨： o 芒堂卫：5 s譬su6摹 第二荜无理数序列的似混沌特性 埘o c 山nc k 州。r l 。笋f cm 印 5 0 01 0 t s o o 2 0 0 0 2 ；，0 03 0 0 0 鬟瑚0 0 0 s 。0 s 0 0 0 n ( c ) l o g i s t i c 混沌序列 图2 - 2 2 乏序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列的自相关分析 ( 3 ) 无理数序列的功率谱特性 功率谱是区分周期( 或拟周期) 信号与混沌( 或湍流) 信号的重要方法。周 期( 或拟周期) 信号的谱图具有单峰( 或几个峰) ；而混沌( 或湍流) 信号的 谱图无明显的峰值或峰值边成一片心1 。分别计算无理数序列s 、和s 。的功 率谱，如图2 2 3 所示。不难发现，咳、具有与s l o g 相似的功率谱，它们的 峰值均连成一片。 f r q u w yf ( a ) 压序列 00 0 0 50 2 0 西0 30 0 , 40 韬05 f m q u “- yf ( b ) e 序列 p s o o rl o g t i c “临4 j ( 1 f o 们 ( c ) 1 o g is t ic 混沌序列 图2 - 2 3 互序列、e 序列和i o g i s t i c 混沌序列的功率谱分析 伸 。 加 圆 舶 嘶 栅 |it占!_15t 伸 0 伸 柏 置-凸i关v&正 第二章无理数序列的似混沌特性 2 2 2 无理数序列的相空间重构 对于时间序y d x o ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) 】，如果能适当地选取嵌入维数m 和时间延 迟t ，可重构相空间：x i _ ( x ( i ) ，x ( i + 百) ，x ( i + ( m 一1 ) t ) ) ，i - 1 ，2 ，n 一( m 一1 ) x 根据t a k e n s 嵌入定理，只要嵌入维数足够高( m 2 d ，d 为关联维数) ，就可以在 拓扑等价的意义下恢复动力学系统h 1 。m 和t 的选取有多种方法，如自相关法瞳1 ， 互信息法瞳1 、c - c 方法h 1 等。后者是由h s k i m 等提出的，它具有易操作、计 算量小、对小数据组可靠、效果和互信息方法一致及抗噪声能力强等优点，在实 际计算中表现良好，得到了广泛的应用。 在介绍c c 步骤之前，对时间序列进行以下说明： 指时间序列的采样间隔，乃= t l 为时间序列的延迟，= ( m - 1 ) r d 为延迟 时间窗口，m 为嵌入维数，n 为时间序列的长度，m = n 一( m 一1 ) r ，f = t 为时间 延迟。五o = 1 ，2 ，朋) 是如下重构相空间中的点 墨= ( 工o ) ，x o + f ) ，x o + ( 聊一1 ) f ) ) ，五r 所 ( 2 - 2 2 ) 则嵌入时间序列的关联积分定义为如下函数： c ( 叫，r 垆而2 而。五_ | l 置一x j j j ) o ( 2 - 2 - 3 ) 鼽即，= 佬= 。 c - c 算法的步骤如下： ( 1 ) 对于是问序列【x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) 】，我们将其分成t 个不相交的时间子 序列，每个子序列的长度为砌，砌= 兰。 f z ( 1 ) ，x ( t + 1 ) ，奴2 t + 1 ) ，】 x ( 2 ) ，x ( t + 2 ) ，“2 t + 2 ) ，】 ( 2 2 4 ) x ( t ) ，x ( 2 t ) ，x ( 3 t ) ，】 “ 定义时间序列的s ( m ，n ，t ) 为 跏，n ，州) ：圭【c ( 聊，_ n ，啊) 一e ( 1 n ，, r , t ) ( 2 - 2 - 5 ) 其中，e 似，竺，f ) 表示第s 个子序列嵌入维数为m 的关联积分。 ( 2 ) 编程计算以下三个量 鳓= 去s ( 朋，n ，卅 - ”m r 2 f f i j 心( f ) = 去笳( m ，n ，f ) ( 2 2 6 ) s c o r ( f ) = 船( f ) + is ( f ) i 1 7 第一二章无理数序列的似混沌特性 其中， a s ( m ，n ，f ) = m a x s ( m ，n , 5 ，f ) 卜m i n s ( m ，n , r j ，f ) ) ，：f = 等，仃为时间 二 序列的标准差。 ( 3 ) 依据上述计算结果绘图，并根据绘图寻找时间延迟和时间延迟窗口。 其中，a g ( t ) 的极小值或氟f ) 的第一个零点对应时间延迟乃，s 。0 ，( f ) 的最小值对 应时间延迟窗口f 。，嵌入维数研= 立+ l 。 乃 对嚷、和采用c - c 方法进行相空间重构，分别求得心( f ) 、歹( f ) 及( f ) ， 并对它们绘图，结果如图2 2 4 所示。计算其时间延迟和嵌入维数，如表2 2 2 所示。不难看出，与类似，罐、均具有较小的时间延迟和嵌入维数。 ( a ) 至序列的j ( f ) 图 一) d 钾t 【2 ) s _ - ( b ) 芝序列的可( f ) 图 ( c ) 三序列的s o o , ( t ) 图( d ) e 序列的歹( f ) 图 第二章无理数序列的似混沌特性 ( e ) e 序列的s ( t ) 图( f ) e 序列的s c o r ( t ) 图 ( e ) l o g i s t i c 混沌序列的心( f ) 图( f ) l o g i s t i c 混沌序列的歹( f ) 图 ( g ) l o g i s t i c 混沌序列的s o o t ( t ) 图 图2 2 4 乏序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列的相空间重构 表2 - 2 2 压序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列时间延迟和嵌入维数 蹉 遘 相 时间延迟窗c w 265 空 间 时间延迟乃 425 重 构 嵌入维数1 1 1 1 5 4 2 1 9 第一二章无理数序列的似混沌特性 2 2 3 无理数序列的关联维数 关联维数是一个十分重要的特征量，它对于重构相空间的嵌入维数的选取具 有至关重要的作用。对于一个时间序列 x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ，构造一批i l l 维 矢量，支起一个嵌入空间，只要嵌入维数足够高( m 2 d ，d 为吸引子的关联维 数) ，就可以在拓扑等价的意义下恢复原来的动力学特性乜1 。1 9 8 3 年，g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出了一种基于时间序列计算吸引子关联维数的g - p 方法嵋1 。 对于时间序列【x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ，g - p 方法的主要步骤如下： ( 1 ) 对于时间序列 x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ，给定一个较小的，计算其重 构相空间。 墨= ( x ( f ) ，x ( f + f ) ，x ( i + ( m o 一1 ) f ) ) ，i = 1 ，2 ，m f = n 一( m o 一1 ) r ，五r ( 2 - 2 - 7 ) ( 2 ) 计算该重构相空间的关联函数， c ( r ) = 击芝秒( ，一8 五一一1 1 ) ( 2 - 2 8 ) 其中，秒似) = ： ：三巴。c ( r ) 是一个累积分布函数，表示相空间中累积吸引子 两点间距离小于r 的概率。 ( 3 ) 对于r 的某个适当范围内，吸引子的维数d 与累积分布函数满足对数 线性关系。即d ( 加) ：_ l n _ c ( r ) 。从而由拟合得到对应于m o 的关联维数估计值 d ( m o ) 。 ( 4 ) 增加嵌入维数m m 0 ，重复计算步骤( 2 ) 和( 3 ) ，直到相应的关联维 数估计值d ( m ) 不再随i l l 的增加而增加，在一定误差范围内不变为止。此时得到 的d 即为吸引子的关联维数。如果d 随着m 的增长而增长，不收敛于一个稳定的 值，则此时间序列是一个随机时间序列。 对无理数序列嚷、和混沌序列& 。应用铲p 方法，结果如图2 2 5 所示。 可以看出，随着m 的增加，它们的d 逐渐收敛。通过计算，其关联维数如表2 2 3 所示。不难看出，它们的关联维数均较小。 第二章无理数序列的似混沌特性 ( a ) 压序列 c 啊嘲i o - a m h h e s 啦 c _ t h 鼬m 晰一h 忡脚 ( b ) e 序列 ( c ) l o g i s t i c 混沌序列 图2 2 5 至序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列的关联维数图 表2 - 2 3 芝序列、e 序列和l o g i s t i c 混沌序列的关联维数 蹉莲 关联维数d 1 3 92 7 41 3 6 2 2 4 无理数序列的最大l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数描述了混沌运动的一个基本特点，即对初始条件的敏感性。 l y a p u n o v 指数为正，运动对初始条件敏感；l y a p u n o v 指数为负，运动趋向于稳 定心3 。如果一个时间序列具有正的l y a p u n o v 指数，它很可能是一个混沌序列。 1 9 8 5 年，w o l f 等人提出了一种直接基于时间序列的最大l y a p u n o v 指数的计算方 法，即w o l f 方法晒。它在混沌的研究和基于l y a p u n o v 指数的混沌时间序列预测 中应用十分广泛。 设混沌时间序列【x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ，嵌入维数为m ，时间延迟为f ，则重构 相空间 x ( ) = ( x ( t i ) ，x ( f f + r ) ，x ( + ( m d r ) ，f = 1 ，2 ，n 一( m o 一1 ) r ( 2 - 2 9 ) 2 1 第二章无理数序列的似混沌特性 取初始点x ( t o ) ，设其与最近邻点( t o ) 的距离为厶，追踪这两点的时间演 化，直到 时刻，其间距超过某规定值占 o ，e = i x ( ) 一k ( f 1 ) i 占，保留x ( ) ， 并在z ( f 1 ) 邻近处找一个点五( f i ) ，使得厶= l x ( f 1 ) 一墨( ) l _ i + + 一二一一二一一二一) k 4 一l z ， 篇1 6 、8 k + 1 4 七+ 24 七+ 34 七十54 七+ 64 k + 7 b a i l e y 等指出，式4 1 - 2 可以进一步简化为： 石= 薹譬c 去+ 熹+ 南 心， 从而大大加速了丌的并行计算速度。但是，通过b b p 算法计算的数值是十六进 制( 二进制或八进制等) ，暂未发现十进制b b p 算法。 我们记 p ( s ，6 ，甩，彳) 2 荟矿i 缶n 丽巧a jf(4-1-4) 第叫章基于b b p 算法的无理数序列 其中，s ，b ，n 均为整数，a = ( q ，口：，a 。) 为整数序列。于是式4 一卜1 可表示为： 7 = p ( 1 ，1 6 ，8 ，( 4 ，0 ，0 ，- 2 ，- 1 ，- 1 ，0 ，o ) ) ( 4 一卜5 ) 下面将以式4 - 1 - 1 为例，说明兀小数点后第n + l 位数值的计算。将式4 - 1 - 1 改写为： 万= 4 t 脚叭。1 瓦五一2 砉瓦丢l _ 丽一砉而丽1 一薹话丽1 ( 4 - 1 - 6 ， 首先考察式4 1 - 4 等号右侧第一项，由于我们只关心耳小数点第l l 位后的 值( 十六进制) ，我们将第一项在n 这个位置拆开： y l ：y r l + y l ( 4 一卜7 ) 惫1 6 ( 8 k + 1 ) 台1 6 ( 8 k + 1 ) 篇l1 6 ( 8 k + 1 ) 两边同乘以1 6 ”，将小数点移动到了第n 点的位置( 这个小数仍为十六进制) 。 争坚：争坚+ 争坚( 4 十8 ) 意g8 尼+ 1 岔豸8 尼+ 1 名象l8 k + 1 因为我们关心的是现在值的小数部分，注意当k 刀时，