（电路与系统专业论文）永磁同步电动机运行特性的非线性动力学分析及控制[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要永磁同步电动机具有高转矩惯量比、高速度重量比、高启动转矩及省电、运行可靠等显著优点，成为交流驱动系统研究的一个热点。永磁同步电动机在某些参数及工作条件下会出现混沌运动，这将危及电动机系统的稳定运行，并且会损坏电动机，因此如何抑制或消除永磁同步电动机的混沌运动成为保持其稳定性的关键问题。采用分岔，l y a p u n o v 指数谱方法分析一种典型的永磁同步电动机系统平衡点的稳定性，确定系统处于混沌运动时参数取值范围是盯= 3 ，= 2 8 。对系统处于这种参数取值范围时，进行了一系列的非线性动力学的分析( 如时问序列、相图、功率谱、关联维、最大李氏指数等) ，确定它确实是进行混沌运动。运用负反馈和基于它的条件负反馈方法对永磁同步电动机的混沌运动进行控制，后者的优点在于负反馈增益很小时，即能将系统控制到稳定状态，并且可以使电动机d 轴的电流不随控制参数的变化而变化，具有重要的工程意义。运用比例微分方法对系统的混沌运动进行控制，由于这种控制方法只需要单个状态变量对系统的部分状态方程进行反馈就可以实现混沌控制的目的，这就克服了目前大多数状态变量反馈法需要多变量进行全局反馈的缺陷，所以这种控制方法在工程控制中十分容易实现，因而具有较高的应用价值运用外加周期信号控制方法对系统的混沌进行控制，非反馈控制方法的控制机理是外加信号与原混沌系统中某一周期轨道产生共振而使原系统达到稳定。非反馈控制的优点是控制信号不受系统变量实际变化的影响，不需要事先掌握系统的动力学性质。由于周期信号容易产生、调节，因此采用外加周期信号控制系统的混沌运动，取得很好的控制结果。关键词：永磁同步电动机；混沌；负反馈控制；条件负反馈控制；比例微分控制；外加周期信号控制a b s t r a c tb e c a u s eo ft h ep e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r sh i g ht o r q u e i n e r t i a , h i g hv e l o c i t y l o a da n dh i g hs t a r t i n gt o r q u e ，s a v i n ge l e c t r i c i t ya n dm o v m gr e l i a b l y , i tb e c o m e sah o ts p o ti na l t e r n a t i n gc u r r e n td r i v es y s t e m t h ep e r m a n e n tm a g n e ts y n c h m n o 璐m o t o r ( p m s m ) h a sb e h a v i o re b _ a o sw i t hs o m ep a r a m e t e r so ru n d e rc e r t a i nw o r k i n gc o n d i t i o n sw h i c ht h r e a t e nt h es e c u r ea n ds t a b l eo p e r a t i o no f m o t o rd r i v ea n dd e s t r o yt h em o t o r , h e n c e ，i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h em e t h o do f c o n t r o l l i n go rs u p p r e s s i n gc h a o si np m s m w ea n a l y s i st h es t a b i l i t yo fp m s m s 丘x e dp o i n t sb ys t u d y i n gt h el y a p u n o ve x p o n e n t s ，a n d t h e b i f u r c a t i o no f p m s m a n d t h e n m a k ec e r t a i n t h a t w i t h t h e p a r a m e t e r s ( 仃：3 ，7 = 2 8 ) i th a sb e h a v i o rc h a o s w es t u d yp m s mb yt h em e a n so fc o m p u t i n gt h et i m es e r i e s ，a t t r a c t o r s ，p o w e rs p e c t r u md e n s i t y , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ，m a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n tt oc o n f i r mt h ej u d g m e n t w ed e s i g n e dan e g a t i v ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dac o n d i t i o n e dn e g a t i v ef e e d b a c kc o n t r o l l e rb a s e do ni tt oe l i m i n a t ec h a o si np m s m t h el a t t e rm e r i ti st h a ti tc a nm a k et h es y s t e ma p p r o a c ho r i g i n a lu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n t s a n dm a ym a k ct h ec u r r e n to fda x i si m m o v a b l ew h e nt h ec o n t r o lv a r i a b l ec h a n g e s ，s oi ti ss i g n i f i c a n ti np r o j e c t s w ed e s i g n e dap r o p o r t i o n a ld i f f e r e n t i a lc o e 伍c i e n tc o n t r o l l e rt oe l i m i n a t ec h a o si np m s m ，b e c a u s et h i sm e t h o do n l yn e e d sas i n g l es t a t ev a r i a b l et oc a r r yo nt h ef e e d b a c kt ot h es y s t e m sp a r t i a le q u a t i o ni no r d e rt or e a l i z et h ec h a o s sc o n t r 0 1 i to v e r c o m e st h ef l a wt h a tt h ep r e s e n ts t a t ev a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r o l l e rn e e d sm a n yv a i l a b l e st oc a r r yo nt h eo v e r a l lf e e d b a c k t h e r e f o r et h i sm e t h o di se x t r e m e l ye a s yi nt h ep r o j e c tt or e a l i z ea n dh a sh i g h 盯a p p l i c a t i o nv a l u ew eu s eaa d s c i t i t i o u sp e r i o d i es i g n a lt oc o n t r o lt h es y s t e m sc h a o s ，t h en o n - f c e d b a c kc o n t r o lm e t h o d sm e c h a n i s mi st h a ti nt h ea & c i t i t i o u sp e r i o d i cs i 弘a 1r e s o n a t e sw i t ht h e耐窟i n a lc h a o ss y s t e m ss o m ep e r i o d i co r b i tp r o d u c e sr e s o n a t e si no r d e rt oe n a b l et h eo r i g i n a ls y s t e mt oa c h i e v es t a b i l i z a t i o n b e c a u s et h en o n f e e d b a c kc o n t r o l sm e r i ti st h a tt h ec o n t r o ls i g n a ic a nn o tb ei n f l u e n c e db ys y s t e mv a r i a b l e sc h a n g ea n dp e r i o d i cs i g n a li se a s yt op r o d u c ea n da d j u s t , t h i sm e t h o dh a v eh i g hv a l u ei nm a i n t a i n i n gt h es y s t e m ss e c u r eo p e r a t i o n k e yw o r d s ：p e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r - c h a o s ；n e g a t i v ef e e d b a c k ；c o n d i t i o n e dn e g a t i v ef e e d b a c k ：d i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e mc o n t r o l l e r ；a d d i t i o n a lp e r i o d i cs i g n a ic o n t r o l l e ri l独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：搠话日期：望生：坌学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：壹垒2 整日期：丝垒兰学位论文作者毕业后去向：工作单位：通讯地址：指导教师签名：堂壹一e t期：巡生：丘电话：邮编：第一章引言1 1 永磁同步电动机的应用前景直流电动机有起动转矩大、效率高、调速方便、动态特性好等特点。但是，直流电动机的结构复杂，限制了直流电动机体积和重量的进一步减小，尤其是电刷和换向器的滑动接触造成了机械磨损和火花，使直流电动机的故障多、可靠性低、寿命短、保养维护工作量大。交流异步电动机具有结构简单，工作可靠、寿命长，成本低，保养维护简便的特点。但是，与直流电动机相比，它调速性能差，起动转矩小，过载能力和效率低，其旋转磁场的产生需从电网吸取无功功率，故功率因数低，轻载时尤甚，这大大增加了线路和电网的损耗。过去的电力拖动中，很少采用同步电动机，其主要原因是同步电动机起动困难，静止的转子磁极在旋转磁场作用下，平均转矩为零。人们亦知道变频电源可解决同步电动机的起动和调速问题，但在7 0 年代以前，变频电源设备是昂贵的设备。所以，过去的电力拖动中，很少看到用同步电动机作原动机。在大功率范围内，偶尔也有同步电动机运行的例子，但它往往是用来改善大企业的电网功率因数。自7 0 年代以来，科学技术的发展极大地推动了同步电动机的发展和应用，主要的原因有：( 1 ) 高性能永磁材料的发展永磁材料的发展极大地推动了永磁同步电动机的开发应用。在同步电动机中用永磁体取代传统的电激磁磁极的好处是：1 ) 用永磁体替代电激磁磁极，简化了结构，消除了转子的滑环、电刷，实现了无刷结构，缩小了转子体积：2 ) 省去了激磁直流电源，消除了激磁损耗和发热。所以当今中小功率的同步电动机绝大多数已采用永磁式结构。( 2 ) 电力电子技术的发展大大促进了永磁同步电动机的开发应用半导体开关器件性能不断提高，容量迅速增大，成本大大降低，它极大地推动了各类电机的控制技术的发展。7 0 年代出现了通用变频器的系列产品，可将工频电源转变为频率连续可调的变频电源，这就为交流电机的变频调速创造了条件：这些变频器在频率设定后都有软起动功能，频率会以一定速率从零上升到设定的频率，而且此上升速率可以在很大范围内任意调整，这对同步电动机而言就是解决了起动问题。对最新的自同步永磁同步电动机，高性能电力半导体开关组成的逆变电路是其控制系统的必不可少的功率环节。( 3 ) 大规模集成电路和计算技术的发展完全改观了现代永磁同步电动机的控制集成电路和计算机技术是电子技术发展的代表，它不仅是高新电子信息产业的核心，又是不少传统产业的改造基础。它们的飞速发展促进了电机控制技术的发展与创新。1 2 混沌的提出和特性【“j过去物理学只知道确定的系统只能出现确定的结果，而把一些包含随机因素的现象归结于外部的噪声引起的。现在知道了确定的系统也可以出现随机的结果，我们可以从确定的系统出发分析这些随机的现象。混沌最大的贡献是使用简单的模型就可以得到明确的非周期的结果。混沌运动的特性：( 1 ) 混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。混沌运动是在确定( 决定) 性系统中发生的，这与完全随机运动有着本质的区别：1 ) 混沌运动服从确定的运动学规律；2 ) 混沌振荡虽具有随机性且不是规则的，但从它们在相空自j 的吸引子看，其运动也不是完全杂乱无规的；3 ) 虽然混沌运动在整个时间进程中具有随机性，即在较长时间上不能对其运动做出预言，或者说它不服从因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是可能的。或者说因果律并未被完全否定。因此才可以说，混沌运动是决定性和随机性的对立统一。( 2 ) 当两初始条件相差极小时，方程的解随时间变化，时间不长时，两个解差别极小以致不能分辨。但随着时间增长至超过某一临界值时，两个解的差别越来越大( 微小差别被放大，使相邻轨线分别进入不同的吸引域) ，最后就变成完全分道扬镳了。这就是混沌运动对初始条件的敏感依赖，即蝴蝶效应。( 3 ) 只有非线性系统才可能作混沌运动。1 ) 有3 个或3 个以上变量的自治的非线性系统才有可能作混沌运动，只有2 个变量的自治系统不可能做混沌运动。2 ) 同一系统的运动性质( 是否作混沌运动) 还与其所处条件( 运动方程中的参量取值) 密切有关。1 3 混沌的形成忙，4 1连续流的动力学方程通常是用微分方程形式表述的，有自治的和非自治的，但所有常见的非线性常微分方程都可以化为自治的一阶常微分方程组。在研究动力系统状态随时间变化时，有一类状态具有特殊重要的意义，这就是所谓定态，定态就是所有状态变量对时阁的导数全都等于零的状态：可见，定态也就是不隧时闯变化的状态。定态在相空间中的代表点称为定点( 不动点或平稳点) 。定态或定点有稳定和不稳定之分。非线性运动方程往往不止一个定点，这些定点中有的稳定，有的不稳定。对于非线性动力学系统一个定点。如果邻域中的所有解最终( t 一) 都要趋于它，或者说邻域的所有轨线最终都要落在其上，则称这样的定点为收点( s i n k ) 。反之，如果邻域中的所有解都要远离它( 或所有轨线都发自它) ，自称此2定点为源点或发点( s o u r c e ) 。有一类特殊情况，附近的轨线一个方向上远离此定点，一个方向上趋近此定点，这样的定点称为鞍点。对于稳定的收点( 稳定结点和稳定焦点) ，其邻域的所有轨道都要相互收缩，故这些轨道( 方程的解) 可以说是渐近稳定的( 当然轨道最后都变成一点了) 。对于不稳定的源点，邻域内的所有轨道( 解) 都不是渐近稳定。对于不稳定定点，其附近的轨线将远离此定点，那么他们将终止在何处呢?( 1 ) 孰线趋于另一稳定的定点。( 2 ) 解是发散的，即给定x i 以有限的初始值x i ( o ) ，x ) 将随时间无限制的偏离有限值而趋于无穷。( 3 ) 系统状态变量既不趋于无穷大，也不终止于某一稳定定点，其取值总是在有限范围内不断变化。这就是说，解是振荡的。所有的振荡大体上又有以下三种形式：周期振荡，这时状态变化总是周而复始的重复进行，即振荡具有确定的周期，方程的解在相空间( 相平面) 的轨迹是围绕某一不稳奇点的闭曲线。准周期振荡，由两个振荡系统耦合而成的系统，由于频率之间不可公度，而是振荡貌似周期实际却是非周期的振荡称为准周期振荡。混沌，具有随机性的非周期运动就是混沌。张波等人研究了永磁同步电动机混沌运动模型和机理恤”，表明电机传动系统在某些参数及工作条件下会呈现混沌行为，混沌的存在将严重影响电动机运行的稳定性，并且会损坏电机。在所有这些情况下，抑制混沌，使系统运行到正常的各种有序状态非常重要。使系统从原有混沌参数条件转变到各种需要的稳定有序态的参数条件可以实现混沌控制，然而在实际问题中这些参数常常是客观给定，不可能改变，或大的参数改变要付出极大的代价。那么，有没有可能在保留原有参数条件或仅对参数进行微调的情况下，就能达到抑制混沌的目的呢? 这是永磁同步电动机混沌运动控制的重要任务。1 4 混沌运动的控制l1 4 1 延迟反馈控制法延迟反馈控制法 1 2 - 1 6 1 ( 简称d f c 法) 主要思路时，利用系统输出信号的一部分经过延迟时间再反馈到系统中去。设y ( t ) 是某一可测量的输出量，s ( t ) 是输入控制量，反馈控制形式为：s ( t ) = k y ( t f ) 一y ( f ) 】，其中f 是时间延迟量，石是反馈增益强度。如果选择合适，z 与混沌吸引子中的某一不稳定轨道的周期相同，当系统沿着这条轨道运行时，y ( t f ) = y ( t ) ，于是s ( t ) - o 。当y ( t ) 稍偏离开这条轨道时，) ，o z ) 还在这条轨道上，这时控制输入量s ( t ) 对系统进行控制，调节y ( t ) 重新回到这条轨道上。k是反馈增益，对连续系统来说，在多数情况下k 取什么值可以使系统被控制到所需的轨道上，这要借助李亚普诺夫指数的计算来确定，那些对应最大李亚普诺夫指数不大于零的k 值才合适。而用延迟反馈控制法控制永磁同步电动机混沌运动m 】，利用电流的延迟反馈实现了混沌运动的控制。该方法需要一个延时处理，控制目标可以是周期轨道也可以是系统的不动点1 4 2 线性状态反馈控制法线性状态反馈控制法”h 卅思路是，考虑如下不受控非线性自治系统：x = 厂伍，)式中x r “为状态变量；是系统参数：厂为r 4 上连续映射，当原非线性系统的运行点受到扰动而离开平衡点时，可通过取适合的k 值使系统x = ( x ，u ) - 髟( x x o ) ，在不稳定平衡点鼠处的i a c o b i 矩阵特征值的实部小于零，从而把运行点迅速控制回平衡点达到稳定状态。该控制策略的关键是如何确定反馈增益k 值。求解k 值的方法较多，线性状态反馈控制永磁同步电动机运行混沌系统i “，利用控制论中极点配胃法来确定k 值，即使矩阵在平衡点的特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上时求得k 值。1 4 3 部分线性化方法控制 2 1 , 2 2 1由于闭系统的稳定性并不要求闭系统的线性性，因而可利用部分线性化的方法控制永磁同步电动机混沌系统，通过部分线性化的方法消除部分非线性项，可以使永磁同步电动机混沌系统全局稳定。1 4 4 部分解耦控制基于非线性反馈的永磁同步电动机中混沌现象的部分解耦控制【2 4 1 以直轴和交轴电压为控制变量，通过电机状态的非线性反馈将直轴和交轴电流方程中的耦合项解耦，同时使得直轴和交轴电流可以跟踪设定值。这种控制方式的结果是使系统具有唯一稳定平衡点，而这个平衡点的位置可以根据实际要求设置为任意点。在任意时刻对处于混沌状态的永磁同步电动机进行部分解耦控制，受控系统将稳定于设定平衡点，从而实现混沌的控制。近年来，混沌的控制与同步成为非线性科学中的一个研究热点，科学工作者己提出了大量的混沌控制与同步方法，采样数据反馈控制2 5 , 2 6 ，0 g y 控制2 7 瑚】，自适应控制【2 9 l ，微分代数非线性控制0 0 ，神经网络控制研究1 等等1 5 我们的主要工作采用l y a p u n o v 指数方法分析一种典型的永磁同步电动机系统平衡点的稳定性，研究其分岔特性，确定系统处于混沌运动时参数取值范围是盯= 3 ，7 - - - 2 8 。对系统处于这种参数取值范围时，进行了一系列的非线性动力学的分析( 如时序图、相图、功率谱、关联维、最大李氏指数等) ，确定它确实是进行混沌运动。运用负反馈和基于它的条件负反馈进行控制，后者的优点在于能将系统控制到接近原来的不稳定平衡点，并且可以使电动机d 轴的电流不髓控铝4 参数的变化而变化。运用比例微分控制，取不同的控制参数，可以实现混沌控制的两个目标，即稳定混沌4系统中的不稳定周期轨道和产生新的稳定动力学行为由于这种控制方法只需要单个状态变量对系统的部分状态方程进行反馈就可以实现混沌控制的目的，这就克服了目前大多数状态变量反馈法需要多变量进行全局反馈的缺陷。运用外加周期信号控制方法对系统的混沌进行控制，非反馈控制方法的控制机理是外加信号与原混沌系统中某一周期轨道产生共振而使原系统达到稳定。控制信号不受系统变量实际变化的影响，不需要事先掌握系统的动力学性质，并且周期信号容易产生、调节。因此采用外加周期信号控制永磁同步电动机的混沌运动，取得很好的控制结果。5第二章永磁同步电动机非线性动力学分析2 ，非线性方程分岔和结构稳定性对于非线性方程：工= i ( x ，lx 胄“( 2 - 1 )如果参量在某一值以邻近微小变化将引起解( 运动) 的性质( 或相空间轨线的拓扑性质) 发生突变，此现象称为分岔( b i f u r c a t i o n ) ，此临界值，称为分岔值。在以参量z为坐标的轴上，= 从称为分岔点( 或歧点) ，而不引起分岔( z 。) 的点都称为常点。方程( 2 - 1 ) 的解在常点附近不会发生性质的变化，称该解具有结构稳定性( s t r u c t u r a ls t a b i l i t y ) 。结构稳定性表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化( 解的轨线仍维持在原轨线的邻域内且变化趋势也相同) 。反之，则称这样的解是结构不稳定的。因此，分岔现象与结构不稳定实质上是一回事：分岔的出现表示系统此时是结构不稳定的，或者说，结构不稳定意味出现分岔。非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生突变( 结构不稳定) ，这样的分岔称为动态分岔。在动态分岔中，较重要的是由于定点稳定性突然变化而出现极限环的霍普夫分岔。用状态变量参量空间表示，霍普夫分岔表示：当参量口小于( 或大于)某临界值以时，定点是稳定焦点或稳定结点。当 致( 或( 段) 时，定点变为不稳定并出现了极限环。方程的定态数日在参量的临界值处发生突变，这样的分岔称为静态分岔。在静态分岔中，最常见的是叉式分岔。当然，静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态分岔( 定态数目的突变) 往往要引起动态分岔( 方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变) 。2 2 非线性动力学分析方法2 2 1 功率谱分析法功率谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。它涉及到信号与系统，概率统计，随机过程等一系列的科学，广泛应用于通信，地质勘测，天文，生物医学工程等众多领域，它的内容、方法不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。这里，我们采用直接对数据进行傅立叶变换的方法m 1 。假设观测到一组时间序列：而，工：，对该序列作傅立叶变换，可以得到：6磊= _ 厂- ，k = l ，2 ，一( 2 2 )频率间隔为a f = ，毫的逆变换为：h ，- ：丢窆三ke 半腻2 ，行3 )其中f = j 。对玎个采样值加上周期条件薯一= ，可计算时间序列工，的自相关函数：虬= 三y x ，工、(2-4)v m 。i 乙x | x 脚自相关函数的傅立叶变换就是功率谱k 1 2 最制= 妻c o s ( 半s ，式中最说明第k 个频率分量对工，的贡献，其意义是代表单位频率上的能量。由谱线我们不难区分周期时间序列，拟周期时间序列和非周期时间序列。具有周期特征时间序列的功率谱线是分立的，离散的。拟周期包含了各种各样的周期，且各频率之闻的比例为无理数，而非周期函数功率谱与上述的周期和拟周期的离散的谱线不同，是连续的谱。本文问题是区分随即白噪声和确定性的随机( 混沌) 。对白噪声而言，它是由大量独立的因素产生的，因此其功率谱的振幅与频率无关，其功率谱应为连续的平谱。对混沌而言，由于它是非周期的，所以它的功率谱仍是连续的，但由于混沌运动极其复杂，所以混沌的谱不是平谱，及谱中出现了噪声背景和宽峰。因此功率谱分析自然成为计算机实验和实验室观测混沌的重要方法。2 2 2 重构相空同重构相空间是运用非线性动力学分析法分析时间序列的基础，我们一般采用延迟坐标的方法进行1 3 3 , 3 4 1 。重构相空间的基本思想是：在实际实验中，我们得到的往往只是系统的一个或少数几个状态变量的离散观测序列。但是，系统中各个状态变量之间是相互作用的，系统的一个变量的变化一定会受到其它变量的影响，因此一个变量的变化可以反映整个系统变化的规律。根据这一思想，1 9 8 0 年p a c k a r d 等提出了用时间序列重构相空间的方法。其具体做法如下：假设已获得的一组长度为的时间序列，而，而，x h r ，选择适当的延迟时间t ，可以重构出一个m 维，共虬个向量的相空间，墨= 【西，x a + f x i + 2 f ，五+ ( 埘- 1 ) f )置= ( x 2 ，而+ f ，x 2 + 2 f ，x 2 + ( 胛- 1 ) f j，( 2 6 )置= ( 薯，t + f ，】0 2 f ，气+ ( 。- 1 ) ，)其中f = k a t ，是固定的时间间隔，垃是两次相邻采样的时间间隔，k 是整数。f = 1 , 2 ，用，虬= n 一( 所一1 ) r 是相空间中的总点数。重构相空间是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但此变量随时间的变化隐含着整个系统的动力学规律。重构所得的相空间轨线的分布或结构( 吸引子) 反映了系统的运动特征m 】。如：轨迹最后趋于一点，表示系统处于稳定定态；轨迹最终构成一闭曲线，表明系统的运动是周期的；轨迹最后杂乱无章地密集在一个有限范围内，表明系统做随机运动：如果轨迹分布具有某些特殊的结构( 即奇怪吸引子) ，则系统的运动很可能是非线性的混沌状态。由以上算法可见，重构相空间必须恰当地选取延迟时问t 和嵌入维m 的大小。只有这样，能较充分而细致地反映系统运动的特征。怎样选择合适的延迟时间t 和嵌入维珊，由以下两小节论述。2 2 3 延迟时间的确定延迟时间的确定是重构相空间的关键步骤。自相关函数反映了信号x ( f ) 和其自身作一段延迟之后的工( f + f ) 的相似程度，x ( t ) 的自相关函数定义是。7 1 ；c ( 力= 骐m 毒f m m h r ) d t( 2 忉式中7 是时阃的移动值。当硼) 的幅值一定时，c ( f ) 越大，则就意味着工o + z ) 与z ( ，) 越相似。又彳越小时，x ( t + f ) 与z ( f ) 越相似，从而c ( r ) 值越大。反之，f 越大时，x ( t + f )与x ( f ) 差别可能越来越大，最后以致x ( t + f ) 与x ( t ) 完全无关而c ( f ) 越来越小直至趋于零。因此c ( f ) 才取名自相关函数。我们取自相关函数第一次降到最小值时对应的f 作为延迟时间。对于获得的一组长度为的时间序列，毛，屯，靠，对这个采样值加上周期条件x t + ，= x ，可计算时间序列的自相关函数：= 专v v ，= l2 2 4 嵌入维的确定对于所要分析的系统，我们并没有先验认识，不知道其拓扑维数，在重构相空间时嵌入维的选择便成了一个重要的问题。如何确定时间序列的嵌入维，采用的方法如下m 】：假设由一组时间序列：x l ，x l ，x n对这组数据进行相空间重构：8y ，( d ) = ( x f ，工m ，x t + ( d - 1 ) r )f = 1 , 2 ，一( d 1 ) r ，其中d 为嵌入维，f 为延迟时间。我们定义：a ( i ，d ) =( 2 - 8 )汪l ，2 ，n d f注意：8 儿( 所) 一y ，( m = 。g 璺l x k + j f - - x l + 声l一( f ，奶为整数。( 1 n ( i ，d ) n d r ) ，y , , ( h a l p ) 是y ，( d ) 的d 维空间最近邻的点。当分子，分母相等时，我们可以选取次近邻的点。定义：e ( d ) = 而l 孑n 备- d t 口( f ，d )( 2 - 9 )由表达式可以看出，e ( d ) 只依靠d 和f 。为了考察e ( d ) 对嵌入维的变化计算：e l ( d ) = 烈n ( 力( 2 - i 0 )不断变化嵌入维d ，当e l ( d ) 定值i 上下浮动时，所对应的嵌入维以就是我们所求的。表示要根据测得的一组数据打开原系统地的吸引子，嵌入维的大小至少要为以。2 2 5 关联维的计算状态空间的维数反映了描述该空间中运动所需的独立变量的个数，吸引子的维数则说明了刻画该吸引子所必需的信息量，描述它在相空间中的几何结构，说明了该动力系统的复杂程度。所以维数是空间和客体的重要几何参量。对于简单吸引子如固定点，极限环等所测得的维数通常为整数；对处于混沌状态非线性系统，其相空间的运动轨迹十分复杂，具有自相似结构，其维数为非整数。这种不限于整数的维数定义就是分维( f r a c t a ld i m e n s i o n ) 。分维被认为是描述动力系统时间演化所需独立变量的下限。分数维由多种不同的定义，如：h a u s d r o f 维( 容积维，盒子维) ，自相似维，k o l o m o g r o v容积维，信息维以及关联维等。关联维( c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ) 也称相关维，是分维定义中的一种，它表示系统在多维空间中的疏密程度，反映系统点与点之间的关联程度( 规律程度) ，是描述系统的特征量。1 9 8 3 年g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 根据嵌入定理和重构相空间的思想，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法1 3 9 “】。从相空间。个点中任意选定一个参考点。，计算其余( 。一1 ) 个点到x ；的距离9吻：d 阮，一) ：陧k 旷一，l = 0ji = 1 , 2 ，。一l ，j = 1 , 2 ，虬一l对所有x ，o = 1 , 2 ， ) 重复这一过程，得到关联积分：“口) 2 南荟- 口f ) ( 2 - 1 1 )式中，口是h e a v i s i d ef u n c t i o n ：饥) ：j 1d o( 2 - 1 2 )护( 曲2 o 工s o他- 1 2 )用l n e ( 口) 对l i l ( 口) 作图，当口适当小时，d ：l i i i l 坐刍盟( 2 1 3 )当d 的值不随相空间维数肌的升高而改变时，它就是关联维数n “】实际分析计算时，一般通过画l n q 0 ) i n n 曲线，不考虑口极小时的噪声区和口极大时巳如) 的饱和区，中间直线部分的斜率便是关联维d 。按照此法，将时间序列用不同的嵌入维m 重构相空间，得到不同嵌入维川时的关联维d ，当d 趋于一定值时( 不随着磁的增长而增长) ，它就是关联维数n 。一般认为，当关联维减小时，表示参与输出信号系统的调节因素减少，系统的复杂性降低，也表示系统中点与点之间关联程度增加，系统更加紧密。2 2 6 最大l y a p u n o v 指数的计算因随机过程仍然是分数维，故分数维不是混沌的本质特征，只是混沌存在的一个必要条件，为了进一步弄清楚系统的混沌特性，有必要计算其l y a p u n o v 指数。李雅普诺夫指数( l y a p u n o ve x p o n e n t ) 是指状态空间中初始状态相近的轨道随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化率。它可以表征系统运动的特征。l y a p u n o v 指数为负，( 丑 0 ) 则表明了体系在某个“方向”上不断膨胀和折叠，以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关，即所谓的对初始值敏感性。最大l y a p u n o v 指数可以定量地描述相空问中两条相邻轨道的平均发散( 或收缩) 的快慢( 即轨道对初始条件的敏感依赖程度) ，而且可以根据名是否取大于零的值判断该系统是否具有混沌的特征。文中使用了r o s e n s t e i n 等人提出的方法，该方法较最早由w o l f 等人提出的算法m 1 而言，程序简单，运算量小，受噪声的影响小。计算时，在重构的相空间上，对任一参考相点x ，找出它的最邻近点x j ，两点间的初始距离为c ，经过时间a t ( a t 是采样间隔，f 是整数) ，这两点间的距离将变成d ，0 ) ，j ，o ) 最终总是近似以最大l y a p u n o v指数的速度呈指数发散，于是有：d j ( d c j p 删( 2 1 4 )对上式两端取对数，得：l n 哪) 地c + 五( 迅)( 2 1 5 )对j = 1 , 2 。，重复上式的计算，并对i n t ( 力取平均，并令( 1 n d ，( f ) ) = 寺l a d ，o )( 2 1 6 )式中( ) 表示取平均。用( 1 j 1 力( f ) 对出作图，对其直线段进行线性拟合，其斜率就是五。对相空间中的每一点进行上述的计算，就得到了一簇斜坡部分趋于平行的曲线，而这些平行曲线的斜率就是我们要求的丑，对这个斜率用最小二乘法拟合得到。在l y a p u n o v 指数a 0 的方向轨道迅速分离，长时间对初始条件敏感，运动呈混沌状态；五= 0 对应稳定边界，初始误差不放大也不缩小。按照疋的符号，可对吸引子进行分类。当拧= 3 时，d表示系统的维数，则有如下几种情形：( 一，一，一) 不动点，d = 0 ；( o ，一，一) 极限环，d = l ；( o ，0 ，一) 二维环面，d = 2 ：一( + ，0 ，一) 奇怪吸引子，2 d 0 ) 和整体耗散( a 0 ) 两种因素竞争的结果。2 3 永磁同步电动机的非线性分析2 3 1 永磁电动机的分岔特性以定子d ，g 轴电流，和转子角速度w 为状态变量，l 遨竖d = 星l i i 选口d l 一j虹一二星 = 叵d 亟= ! 塑。d 一l 。d 掣强：里二五坠f 墨= 墨i 2 亟立= ! = 区翌d i 一，永磁同步电动机模型可表示为( 2 - 1 7 )式中焉为定子绕组电阻；k ，乞分别为定子d ，q 轴电感； 为转子磁极磁链；w 为转子角速度；e ，和声分别为负载转矩、转动惯量和粘滞阻尼系数：一，为极对数；，甜，分别为定子d q 轴电压。为了计算方便，对式( 2 1 7 ) 做间尺度变换和线性仿射变换，得到无量化数学模型为：i d x l d l = 一x + 弦+ 甜d 砂d l = ) ，一船+ 芦+ 甜口( 2 1 8 )i 如出= a ( y z ) 一疋式中工，y ，z 为无量纲状态变量，分别表示d ，g 轴定子电流和转子机械角速度，盯，7 为系统的无量纲参数，皆为正值，。，瓦分别为经过变换的d ，g 轴电压和负载转矩。本文只考虑一种典型的情形，即永磁同步电动机在经过一段时间运行之后突然断电，系统在一定参数下出现的动态特性，这时= o ，l ，。= o ，瓦= 0 ，如( 2 1 9 ) 式所示，在有负载和控制电压不为0 的情形下，分析方法一致，在此不予以赘述。f d x d t = 一x + y z d y d r = y 一船+ 芦( 2 1 9 )l 出m = t t ( y - z )系统( 2 1 9 ) 中若o y l ，则系统有一个实数平衡点只：( 0 , 0 ，o ) 。讨论此时平衡点只：( o o ，o ) ，的稳定性，在只附近线性化系统( 2 1 9 ) ，得其j a c o b i 矩阵为：d x | d td vd r d t珈d z d td yd x | d td zd y d td zd z d t出- 1oo = ioly【0 仃- a j矩阵的对应的特征多项式为，( 名) = ( 1 + a 炒+ p + l m + 萨一刊= 0 ，三个特征值分别为丑= 一l ，五，= 去l 一( 0 + 1 ) - - - 4 ( 盯+ 1 ) 2 + 4 一y 1 ) i二lj三个特征根都满足r e 名 0 ，可见如果0 7 1 ，则系统有三个实数平衡点只：( o ，0 ，o ) ，只：( 7 - 1 ，y l ，y 一1 ) ，只：( r - i ，y 一1 ，一，一1 ) 。并且在鼻附近线性化系统( 2 1 9 ) ，得其j a c o b i 矩阵对应的特征多项式特征值五，五有一个为正根，于是只不再稳定，分支出两个新的平衡点只和只，可知7 = 1 时系统在原点发生一次叉式分岔。7 i 时，讨论平衡点忍，b 的稳定性。在县，男处线性化系统( 2 1 9 ) ，得其j a c o b i矩阵为：一1打j 千。两一10盯矩阵对应的特征多项式为：厂) = + ( 盯+ 2 i 铲+ ( 厂+ 口弘+ 2 以y 一1 ) = 0( 2 2 0 )( 2 2 0 ) 式的系数均为正，则对任意的丑 o ，有i ( x 1 o 。如果平衡点不稳定，即( r e ) o ) n # j s - 程( 2 2 0 ) 成立，则此根必是一对共轭复特征根。我们考虑平衡点只，1 2一出舭一出出=，只界与稳定与不稳定之间，即方程( 2 - 2 0 ) 的一对复特征根为 ：= 研，其中口为实数，又因为方程( 2 2 0 ) 的三个根之和为；五+ 五+ 丑= p + 2 ) ，因此在稳定性的边缘，有五2 = 劈，五= 一盯+ 2 ) ，把五= 一盯十2 ) 带入方程( 2 - 2 0 ) 可以得到：f ( - p + 2 ) ) = r p 一2 ) 一盯p + 4 ) = o即：掣( 2 2 1 )盯一2当r = l 时，系统( 2 - 1 9 ) 出现h o p f 分岔，此时两共轭纯虚根为钆= j 掣“其中孙2 。图2 一l 是取参数盯= 3 ，以7 为分岔参数，在o 7 2 2 范围画出关于z 的分岔图，从图可以看出，在0 7 2 1 时，进入混沌状态。 二一i i、842on 2一e七图2 1 ( a ) 初值为( 1 2 ，一2 0 ，一1 6 ) 时，z 关于，的分岔图 王 目一叫i图2 - 1 ( b ) 初值为( 1 2 ，2 0 ，1 6 ) 时，z 关于y 的分岔图1 3图2 2 是取参数盯= 3 ，在2 0 7 2 0 0 范围内，采用极值法画z 关于，的分岔图。从图可以看出，7 从2 0 0 减少的过程中，系统经几次倍分岔进入混沌状态。当，继续减少到7 7 5 附近时，系统又回到规则运动。然后随着y 减少，系统经过倍分岔再次进入混沌状态。分岔图证实了永磁同步电动机系统具有丰富的非线性动力学行为。 习o2 d4 08 0，o o1 3 0t40，2 2 r图2 2z 关于y 的分岔图图2 - 3 是取参数盯= 3 ，以y 为参数做出的李氏指数谱，从图可以看出，7 从2 0 0 减少的过程中，李氏指数从( 0 一一) 到( + 0 一) ，说明系统从规则运动变为混沌运动。当y 减少到7 7 5 附近时，李氏指数又回到( 0 一一) ，说明系统回到规则运动。然后随着7 减少，李氏指数又从( 0 一一) 到( + 0 一) ，说明系统再次从规则运动变为混沌运动。当，继续减少到2 l 对，李氏指数变为( 一一一) ，说明系统稳定到平衡点。可见李氏指数谱也证实了永磁同步电动机系统具有丰富的非线性动力学行为。2。童2&呈46图2 3 系统关于y 的李氏指数谱2 3 2 永磁电动机混沌系统的非线性动力学分析理论上a = 3 ，有无限多种数值可使系统( 2 1 9 ) 出现混沌，实验表明当a = 3 ，7 = 2 81 4时，系统( 2 1 9 ) 出现混沌，图2 - 4 是此时系统的y 在不同初值时的时序图，初值分别是( 8 5 ，8 5 ，1 6 7 ) 和( 8 5 ，8 6 ，1 6 7 ) 。可以看出，当两初始条件相差极小时，解) ，( f ) 随时间变化，时间不长时，两个解差别极小以致不能分辨。但随着时间增长至超过某一临界值t ，时，两个解的差别越来越大( 微小差别被放大，使相邻轨线分别进入不同的吸引域) ，最后就变成完全分道扬镳了。这就是混沌运动对初始条件的敏感依赖，即蝴蝶效应。图2 - 4y 的时序图图2 - 5 所示的相图是系统典型的混沌吸引子，其不稳平衡点为只：( 0 , 0 ，o ) ，最：( 2 7 ，3 3 ，3 3 ) ，只：( 2 7 ，一列3 ，- 3 3 ) 。表现了混沌运动的特性：混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。混沌运动是在确定( 决定) 性系统中发生的，这与完全随机运动有着本质的区别：( 1 ) 混沌运动服从确定的运动学规律；( 2 ) 混沌振荡虽具有随机性且不是规则的，但从它们在相空间的吸引子看，其运动也不是完全杂乱无规的；( 3 ) 虽然混沌运动在整个时间进程中具有随机性，即在较长时问上不能对其运动做出预言，或者说它不服从因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是可能的，或者说因果律并未被完全否定。图2 - 5 混沌吸引子以下对观测到一组时间序列：而，屯，做非线性动力学分析：图2 - 6 是这组时间序列做出的功率谱，由图可见连续谱上有峰起，表现了混沌的特1