（基础数学专业论文）banach空间中微分方程边值问题的解.pdf

山东大学博士学位论文 b a n a c t i 空间中微分方程边值问题的解 刘衍胜 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等许多科 学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了 现代分析数学中一个非常重要的分支一非线性泛函分析它主要包括半序方法、拓扑 度方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效 的理论工具，尤其在处理应用学科中提出的各种非线性方程和偏微分方程问题中发挥 着不可替代的作用1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和j s c h a u d e r 将这一概念推广到b a n a c h 空间的全连续场，后来e r o t h e ， m a k r a s n o s e l s k i i ，p h 1 地b i n o w i t z ，h a m a n n 【1 1 ，k d e i m l i n g 2 等对拓扑度理论，锥 理论及其应用进行了深入的研究，国内张恭庆教授 3 、陈文源教授 4 】、郭大钧教授 5 1 一 1 2 】定光桂教授 1 3 1 、孙经先教授 1 4 1 5 等在非线性泛函分析的许多领域都取 得了非常出色的成就 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究微分方程边值问题，尤其是奇异 边值问题的解奇异边值问题起源于核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、 非线性光学等应用学科中由于一些重要的实际问题所导出的数学模型是定义在有限 区间上或定义在无限区间上，但系数函数或变量本身在端点处具有奇异性，例如量子 力学、最优控制中的一些问题就是在无穷区间上考虑的有限区间上的奇异边值问题 的典型形式 fz ”( ) + f ( t ，z ( ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； i 。，：硼，：。， 其中，e ( o ，1 ) ( 0 ，+ 。) ，冗+ 】，f ( t ，z ) 可能在t = 0 ，1 和z = 0 处具有奇异性当 f ( t ，z ) = x p ，p o ，该奇擗媳饿问题至少存在一个磁瓣其次利用文 燃f 14 | f 1 5 申驰络论，霹b i r k h o f f - k e l l o g g 宠穗酶众舄搬广，研究了怒鲮性毒异遗壤游 惩鼹鹣套舞缨耱，褥到了该逡霾离蘧嚣弩瓣簿缀瓣静鬟会戆鬻毽掇蕊毒差器连遴努 交c ，鑫炎予 # ) ，最嚣终绻予( e ，o 。) 。俸势攘谂，说裙了存在参数抽矗l 0 ，德 姿a ( 0 ，a 1 ) 时，该奇异遗溅藤蘧舔至少襻弦瑟拿正髂；当a ( 2 ，+ o o ) 露没露疆 锵鲢绻絮。 第兰章讨谂了有限区闻上静两类奇弊逡德简麓，避苹采，关于一稀特殊静边值阕 艨舛蠡正边值问题的研究也获得了一些结粜，如【1 7 】( 2 1 1 5 6 1 ，它也有深剡的物理背景 我们荫先通过构造特殊的锥，利用有界芷线憔算予的谱理论及不动点指数理论，减弱 文l l 键f 2 l 黟翅翡某些条绛( 絮趣线性条终魏凌绫瞧袈傍x 月跨考惑奇异戆猿援越 是文 5 翻所汶礴涉及鼓) ，阕榉获得正解的存税像其状考虑了微分系统奇异边值问 题目前，对微分系统的情况，当非奇异时，文f 5 1 】 5 3 j f 5 4 研究了其鹪及多重解的存 在憷缎对微分瓣统奇异的情况，就我们掰知，逐未见褥关文献辩其褥究。本文填补 7 熬一警爨，裂鼹努辑菝巧秘雅土懿挺 旋瑗谂，褥蓊了与 # 毒弄篱凝下趣类簸辩络 聚，嚣多熬簿鹣存在建， 由东大学博士学位论文 第四章研究了抽象空间中的奇异边值问题抽象空间微分方程理论，脉冲微分方稷 爨谂袋激分方稷鸯异逮蘧藏藏辩是近年寒分活跃载微分方程理论懿凝戆重要分支 抽象塑间微分方橼理论是把常微分方程理论和泛函分析缡合起来，它的淫论在无穷常 微分方程组，临界点理论，偏微分方程及不潮点理论等多方面有广泛成用( 见 7 6 0 ) 而脉冲微分方程农生物学，生物医学，经济等领域中的傺孀日益明显；但是对它们之 耀戆交叉，零接象空霆毒吴速蘩蘑惩懿骚究，究萁是接象黛蠢孛带稼砖貔奇吴逮鏊麓 题的研究，还很少见，仅见参考文献 3 9 】和作者发表的郝分文章f 4 9 】【5 0 l 等在本辫 中，我们首先利用锥拉伸与锻联缩不动点定理讨论了b a n a c h 空间中一类带奇异性的 脉冲微分方程边德阍题正解的存在性及多解的存在性，并给出无穷维窝阕中的例子说 赘我髓静条终楚畲淫静其次考虑了菲线梭璞f ( t ，霉关予o = g 有毒鼹静情嚣f 这爨 0 表示b a n a c h 空间e 中的零元) 这类系统的芷解的存谯性的研究，固前尚未见到 通过构造一个特殊的锥，利用严格集压缩算子的不动点搬数理论及锥的正规性，得到 了谈类系统正勰及多重正解的存在性，劳绘蹈了铡子说髓其应曩 筵键词：奇辩逑值闻题，不囊点指数，多重解，镶，b a n a c h 空藩 山东大举博士学位论文 s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nab a n a c hs p a c e s l i u y a n s h e n g ( s c h o o l - o fm a t h e m a t i c s a n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i 撂，j i n a n ，2 5 0 1 9 0 ) a b s t r a a t i nl a t e y e a r s ，a l ls o r t s o fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s b e e nb i n go n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o r d e r nm a t h e m a t i c s i t m a i n l yi n c l n d sp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a l m e t h o d 。a l s oi tp r o v i d e sam u c he f f e c tt h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a r p r o b l e m si nt h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta p p r o a c hf o rs t u d i n gn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d p a r t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e dm a t h e m a t i c s 。l e j ，b r o u w e rh a de s - t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e g r e ef o rf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 j l e r a ya n dj ，s h a u d e rh a de x t e n d e dt h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e t e l yc o n t i n u o u sf i e l do f b a n a c hs p a c ei n 1 9 4 3 ，a f t e r w a r de r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ， 珏。a m a n n 1 ，k 。d e i m l i n g 2 】h a dc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho nt o p o l o g i c a ld e g r e e a n dc o n et h e o r y - m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ，s a yz h a n g g o n g q i n g 3 ， c h e n w e n y u a n 4 ，g u od a j u n 5 一【1 2 】，d i n gg u a n g g u i 1 3 3a n ds u n j i n g x i a n 1 4 t 5 】e t c 。， h a dp r o u n dw o r k si nv a r i o u sf i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e ss o l u t i o n so f s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ed r o b l e m ( s b v b ，f o rs h o r t ) b yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d a sw ek n o w s b v ba r i s e i nt h ef i e l d so fg a sd y n a m i c s ，n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s ，n u c l e a rp h y s i c s ，t h e t h e o r e y o f b o u n d a r yl a y e r ，n o n l i n e a ro p t i c sa n ds oo n 。at y p i c a ls b v po nf i n i t ei n t e r v a li s 。f t h e f o r m ： ， l 扩+ ，辑算t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； lz ( o ) = 。( 1 ) 一0 ， w h e r e 芦o 【( o ，t ) ( 0 ，+ 。) ，r + j ， ，x ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，ia n d 茹= 0 w h e nf ( t ，z 上二，p 0 f o r s b v p i ns u b l i n e a rc a s e ，i ti so b t a i n e dt h a tt h ec l o s u r eo f p o s i t i v es o l u t i o ns e te o f s b v p p o s s e s s e sa nu n b o u n d e dc o n t i n u u mgf i e am a x i m a lc l o s e dc o n n e c t e ds u b s e t o f s o l u t i o n s js t a r t i n gf r o m 饿0 ) 强dt e n d i n gt o + ，+ o o ) e v e n t u a l l y + a sa c o r o l l a r y , v 山东大学博士学位论文 t h es o l v a b i l i t yo fs b v pi sd e d u c e d i ns u p e r l i n e a rc a s e ，i ti sp r o v e dt h a tt h ec l o s u r e o f p o s i t i v es o l u t i o ns e tp o s s e s s e s8m a x i m a l s u b c o n t i n u n mc ，w h i c hc o m e sf r o m 0 ，$ ) a n dt e n d st o ( 0 ，+ 。) f i n a l l y a sac o r o l l a r y ，i ti so b t a i n e dt h a tt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n sa n dt h eb e h a v i o ro f s o l u t i o n sa c c o r d i n gt op a r a m e t e ra 。 c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st w ok i n d so fs b v p o i lf i n i t ei n t e r v a lf i r s tb yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o n ea n du s i n gs p e c t r u mt h e o r yo fb o u n d e dp o s i t i v eo p e r a t o ra n df i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y , w ed e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rs e m i p o s i t o n eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w h i c hi m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h er e s u l t so fr e l a t e d p a p e r s 1 7 2 1 i 5 6 s e c o n d l yi ti s s t u d i e dt h a tt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o r s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fd i f i e r e n t i a ls y s t e m s w h e ns i n g u l a r i t yd o e sn o t o c c n r ，r e f e r e n c e s 【5 1 5 3 5 4 】h a dc o n s i d e r e ds u c hp r o b l e m s ，t oo u rk n o w l e d g e ，t h e r e i sn op a p e rt oi n v e s t i g a t e si ti ns i n g u l a rc a s e t h em a i nt o o l su s e dh e r ea r ea n a l y s i s t e c h n i ca n dt , o p o l o g i c a ld e g r e eo nc o n e c h a p t e r4i n v e s t i g a t e ss b v p i na b s t r a c ts p a c e a sf a ra sw ek n o w s u c hp r o b l e m i sc o n s i d e r e do n l yi n 3 9 4 9 5 0 1e t c f i r s tb yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e ，i ti s d i s c u s s e dt h a tt h ee x i s t e n c eo f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e a ne x a m p l e i sw o r k e do u tt oi n d i c a t eo u rc o n d i t i o n si s r e a s n o n a b l e s e c o n d l yt h es i m i l a ra b o v e p r o b l e mi sc o n s i d e r e dw h e nn o n l i n e a rt e r mf ( t ，z ) i ss i n g u l a ra tz ：0 ，w h e r e0i st h e z e r oe l e m e n to fb a n a c hs p a c ee + 美键词：s i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，f i x e dp o i n ti n d e x ，m u l t i p l es o l u t i o n s ， c o n e ，b a n a c hs p a c e ， 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期：互翌2 上! 列 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影f - i 、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) ：枷：烨日期：巡赴 山东大学博士学位论文 符号说明 实数集合 非负实数集合 非正实数集合 1 2 维实数域 有界集v 的k u r a t o w s k i i 非紧性测度 范数 有界集v 的直径 集合q 的边界 算子l 的谱半径 解的集合 集合v 的闭包 不动点指数 集合v 的d 邻域 抽象空间的零元 0 ，+ o 。) 上的勒贝格可积函数 0 愀 r胪旷吕=若矿忆吣。肌 山东大学博士学位论文 前言 近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等许多科 学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了 现代分析数学中一个非常重要的分支一非线性泛函分析它主要包括半序方法、拓扑 度方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效 的理论工具，尤其在处理应用学科中提出的各种非线性方程和偏微分方程问题中发挥 着不可替代的作用1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和j s c h a u d e r 将这一概念推广到b a n a c h 空间的全连续场，后来e r o t h e ， m a k r a s n o s e l s k i i ，p h ，r a b i n o w i t z ，h a m a n ni l 】，k d e i m l i n g 2 】等对拓扑度理论，锥 理论及其应用进行了深入的研究，国内张恭庆教授【3 、陈文源教授 4 】、郭大钧教授 5 】 1 2 、定光桂教授 1 3 】、孙经先教授 1 4 1 5 等在非线性泛函分析的许多领域都取 得了非常出色的成就 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究常微分方程边值问题，尤其是奇 异边值问题的解奇异边值问题起源于核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、 非线性光学等应用学科中由于一些重要的实际问题所导出的数学模型是定义在有限 区间上或定义在无限区间上，但系数函数或变量本身在端点处具有奇异性，例如量子 力学、最优控制中的一些问题就是在无穷区间上考虑的有限区间上的奇异边值问题 的典型形式 lx s t ( t ) + f ( t ，o ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； 刮驴。， 其中，g ( o ，1 ) ( 0 ，+ 0 0 ) ，r + 】，f ( t ，z ) 可能在t = 0 ，1 和o = 0 处具有奇异性当 f ( t ，z ) - 7 护，p 0 时，边值问题 的解肯定是无界的，那么当可。= 0 时，情况又会怎么样呢? 我们将证明结果主要取 决于f ( t ，z ) ，给出了一些充分条件来保证当g 。= 0 时解的有界性及无界性第四，一 般来说，近似逼近方法是研究奇异边值问题常用的方法，而在这里，我们没有使用近 似逼近方法，主要技巧在于构造了一个特殊的锥和使用了范数形式的锥拉伸与压缩不 动点定理 在【3 3 中，作者考虑了纯量空间中的二阶脉冲微分方程边值问题，通过利用锥上 的不动点定理得到了有界解和无界解的存在性在 58 l 中，作者考虑了具有无穷时滞 的与 3 3 j 中类似的问题，通过利用l e r a y - s h a u d e r 不动点定理和b a n a c h 压缩映象原 理，获得了有界解的存在性和惟一性结果而在抽象空间中，这样的结果还没有本 章第四节的目的就是研究b a n a c h 空间中半直线上具有无穷时滞的二阶泛函微分方程 3 出塞大学薄警往论文 边值问题无界解的存在性和唯一髅我们的主要工具为类似于【6 1 的q 空间理论， k u r a 岛w s k i i 紧谯溅菠窝h m 5 n c h 不婪赢患壤，这窥【3 3 5 8 】辑捷爱懿工翼完全不 弼 本章的主要结果已发表或即将发表在a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n 和 n o n l i n e a ra n a l y s i s ( t m a ) 上( 参见【4 1 卜 4 3 1 ) 1 2b a n a c h 空间中无穷区间上= 阶微分方程边值问题 1 2 1 预备皴识 程b a n a c h 空阉e 中考虑如下二阶微分方程边值问题f b v p ) ： 茹：2 ，( t 。哆，芝( 。) ) ， 2 置+ ； 1 。2 ，1 ) l 。( 彩= x 0 ，( 。) = y 。， 、7 其中，e 冗+ e e ，e 】，r 十一 o ，+ 。) ，( o o ) = 腮茹似) - 类似于 1 2 】，令 f c f r + ，明= ：如g i 置+ ，司：蜓s u 黔p 了i i x 万( t ) l l 十。) 纛 口c f l f r 十，明= ： 。a 1 【r + ，明：憾s u r p + 雨i i z ( t ) l l 十。且托s u 肘p i i ( 亡) l l o 。 照然，c 1 i r 十，捌cc i r + ，捌，d c l i r + ，明cf c r + ，e 1 容易看出，如果分别赋 戮蓬数 。恬= s u p 必l + t t e r + ( 1 2 2 ) | | $ l l p = 毪t a x l l 。镕f ，l l 茁 i l o 1 2 ，3 ) 则f c r + ，e 】和d c l ( r + ，e 】都为b a n a c h 空间，其中 i 髫 i l c = s u p 女矧； t e r + 本节中所使用的基本空间为d c l 【r + ，e 1 函数e 2 冗十，e 】称为b v p ( i + 2 1 ) 的解， 如果嚣满足e q ( 1 2 1 ) 慰b a 基a c h 窒阗嚣懿畜：器集y ，仍曩玢表示k u r a t o w s k i i 紧羧溯疫。在本 节串， 嚣，e f 冗+ ，嗣，f c r + ，e l 襁d c l f r + ，明中有界集的j 紧性测度分别用8 ( ) ， o c ( ) ，n f ( ) 和q d ( ) 表示 为下一段的应用，本段的最露给出如下引联 4 由窳大学鬻学襞论文 弓l 璞1 2 。1 。明鲤荣hcc i ，e 】为骞界等发连续函数族，剥a 嘤( 瑚在f 上连 续且 穗c ( h ) = m 。a x 牡( 嚣匀) ，( zz ( t ) d t ：。嚣 ) z 倒( ) ) 斑 其中f = b 鞋，h ( t ) = z ( t ) ：。露) ，t j 引理1 2 2 【n l ( s a d o v s k i i 不动点定理) 设d 为b a n a c h 空间e 中的有界凸c 珏 囊螽果a ：d _ d 是凝聚的，潮a 在p 中至少有一个不动点 薯| 遴1 2 。3 【辩1 设v 一 。 l i ，捌，量存在g l i ，r + j 使对一韬苫。v i l 茹。( f ) | | 曼g ( t ) a , e ，t i ，则 ， d ( 7x n ( s ) d s ：扎) ) 2fa ( v ( s ) ) d s ， jnj n 逡墼i = 江鼙 孽l 璞1 2 。4 。1 ( m s n c h 不凄煮定理) 设e 为b a n a c h 空阕，kce 为阕凸纂， f ：k 叶k 为连续映射，若对某一z k ，有cck 可数且虿c 茹( 芏) uf ( c ) ) 蕴 禽着c 是楣对紧集，则f 在k 中有一个不动点。 1 2 2 主要结果 为方便起见，列出下列条件 题) 存在嚣受函数a ，6 ，e c r + ，r + 】潢是 f ( t ，茁，掣) i l 蓬a ( t ) l l 茹l l - 4 - b ( t ) l l u l + c ( t ) r + ，髫，y e 鼠 r 十。一 ，+ 0 0 五【( 1 + 。) 8 ( 。) 十6 ( o 】或 l ，互 。( 妁纛 0 ，【a ，b 】cr + ，f ( t ，g ，y ) 在 a ，b 】b e ( o ，r ) b e ( 口，r ) 上一致连 续：其孛0 势e 懿零嚣，b e ( o ，r ) = x e ：sf 上b ) 存在l x ，1 2 l o ，+ 。) 满足 冀 a ( f ( t ，d 1 ，玩) ) l l ( t ) a e ( d 1 ) + z 2 ( 蜘啦( 伤lv t r + ，d 1 ，岛为冒中的有界集 ，+ o 。 f = ：z c ( 1 + t ) f l ( t ) + f 2 ( t ) d t 0 ，存在l 0 满足 门( 1 + f ) 邮) + b ( t ) d t 南且f 。c ( t ) d t ；厶【( 1 + 帅( ) + n ，结合( 1 2 5 ) ( 1 2 9 ) 我们知道 紫一紫忪( z + f 。+ z 。) l l f ( 舭小如拍) ) _ 坤，扣如川胁 上l l ，( 8 ，z n ( s ) ，。：( s ) ) 一，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) l l a s + ；+ ； 1 0k “i d s + 詈= e ( 1 2 1 0 ) 类似地，对t f 0 ，纠，我们也有 ( a z 批) 一( a z ) ( t ) l ls ( ，+ f 。) i | ，( s 而( s ) ，洲) 一m ，撕一( s ) ) l i d s e ( 1 2 1 1 ) 此外，当t l ，n n 时，注意到 上南岍叩n ( s ) ，。) 一，( s ，z ( s ) ，z ，( s ) ) l i d s = ( 石6 + r ) 南禹( s ) 一( s ) ) 叫驴( s ) ，川。) ) l i d 。， 则可得当礼充分大时有i i a x 。一a x l l d e 综上，a 为从d c l 旧+ ，e j 到d c lj r + ，e 】的连续算子 口 7 山东大学博士学位论又 引理1 2 7 设日。) 满足， v 为d c r t ，司中的有界集则等导孚，( a y ) 似) 在兄+ 的任何有限子区间上等度连续，并对任意e 0 ，存在n 0 满足 i i 铧一掣i i n 和o v 一致成立 证日爿对o v ，t 2 t t ，利用【1 2 6j ，h j 碍 l l 掣一掣i i 到书半一x o + 怕t 2 y o o i i 川击f 。，( s ，加，( s ) ) d 卜击厂m ，蹴荆冲i i + 蝣。击，( s ，啉z ，( s ) ) d s - o 虹击，( s ，槲( s ) ) d s | ( 1 l x o l l + i l y 。i i ) i 卜蚓+ i 南一熹| o 佃帅删矾) ) d s i i + i i f 2m s ) ，州s ) ) 如i i + f 而1一雨1 1 i i o t l s ( s 州“。，( s ) ) d s i i + l i ( 2 州s ，小) ，扰枷捌i ( 1 2 1 2 ) 因此由h 1 ) 并结合( 1 2 1 2 ) ，容易看出 写等孚：。y 在r + 的任何有限子区间上 等度连续 。 类似地，同理可证 ( a 。) 咏) ：z y ) 在r + 的任何有限子区间上等度连续 下面我们将证明对任意 0 ，存在充分大的n 0 ，满足 i i 铧一掣i i ( a x ) 也) _ ( 删瑚忭s 对所有z v 和t l ，t 2 n 成立 结合( 1 2 1 2 ) ，只须证明对任意s 0 ，存在充分大的n 0 满足 憾丽8 ，( s ，z ( s ) ，z ，( s ) ) d s _ z b 而8 ，( s ，茹( s ) ，。，( s ) ) 如i i 0 满足 ，十o 。 0 叭叩( s ) ，一( s ) ) l i d s 茎m 协v 同时存在l 0 满足 ，十o oo i ( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) l l d s 塑竽则对任激z y 和圮t 2 ，我们有 蠢仆，姒，( s ) ) 幽一o 幻再s ；。f ( 哪) 蛳) ) d s | | 茎上6i 击一交( s ，蹴。和) ) l i o n 8 + 1 再sn 洲( 洲l 如 + f 2f 御确删如) ) l i d s 羔翩m ，碱双s ) ) l i d s + ；+ i 0 满足 | 量拿掣一( a l x + ) ( t t 。2 ) 。i 。，i i ( a x ) ( 蘸) 一( 童嚣) ( t 。) | | s ( 1 2 。1 3 ) 关予o v 髑t 】，t 2 芝n 一敬成立 由于紫和( a y ) 俅) 在【o ，】上等度连续，由引联1 _ 2 l ，我们知邋 。f ( a v i f o ，】) = 蚝m 0 ，a x 】 。( 1 ：；等) ) d ，c ( ( a y ) 疆。，】) 一拒m f o a ，x 1 ( ( a y ) ，( t ) ) 曼d 萁审 a v i o ，蠲。 9 0 ) ：t 【o ，】，z a v ， ( a y ) | 玲，】一 署( ) ：t 泠，明，z a v ， 即a v i o ， 年h ( a y ) i t o ，】分别为a v 和( a y ) 7 在【0 ，n 】上的限制 送热，存在弧，磙c v 秘溉，戳c v 满是 v uk u 戳 9 山东大学博士学位论文 同时有 a v i o ，1 = ua y d o ，】，d i a m f ( a v i o ，n 1 ) d + e ，i = 1 ，n ； ( 1 2 1 4 ) ( a v ) 7 l 0 】= u ( a p k ) i t o ，】，d i a m c ( ( a w t ) i o ，n 1 ) ( 1 t x o l l i t y * t l 舂。( 1 ) d ) ( 1 一袋i + 句8 t ) + b ( t ) l d t ) ， b = ：b d ( o ，r ) = z d c l 咒十，e 】：i i x l l d 曼r ) 下馘证明a b c b 事实上，对任意z b ，由( 1 2 。6 ) 0 2 ，7 ) 我们知道 ( a l m + ) ( t 0 ，i l i 。1 1 + j f 。i t + 上。【( 1 + 。 ) + 6 ( t ) d t i l 盘i i 。+ j ( + ”c ( t ) d 冬r ，v t6 r + 同瑷可得i i ( a x ) ) f i r 瞬此结合譬i 理1 2 6 得出a bc b 再令q = ：- c o d ( a b ) ，即q 为a b 在d c l 【甜，捌中的凸闰包。容易看出n 为 嚣的一个菲空有羿凸闭子集 由弓i 理1 2 7 ，我们知道笔是兽和( a 丑) 沁) 在r 十的任何有限子聪问上为等度 连续的结合q 的定义，可得出竿婴和( q ) ，( t ) 在r + 的任何有限予区间上也为等 发连续的。 现在我们证明a 为一个从n 蓟q 的严格集压缩算予 首先由qcb 和a bc q ，我们知道a 为一个从q 到q 的算子 其次由以上及弓f 理1 2 6 爵褥a 为一个扶q 到q 的有界逄绥算子 最后证明 e e n ( a v ) 兰t a n ( v ) ，v vc 露， 囟窳大学博士学位沦文 癸串 ，斗 2 2 五 ；( 1 + 8 ) z l ( s ) 十菇( s ) l 办l t 事实上，巍萼l 理1 2 。8 ，廷矮 蕞臻 黜s u p + 吲等警) l 畎y ) 耱燃s u p + 醐啾) ) f 嚣乎令 ，n， ( a “。) ( o 一：+ t y * 一t l ，$ ，霉s ) ，o ) ) 蠡一点。s ，热嚣s ) ，( s 泰， 燕g 繇疆氆) 可褥 | | 紫( a l n + x ) ( t ) j 南f 。i l l ( 嘞) 幽) ) l i d s 墨f ”心删如) 删剜幽+ 南f 。略) 幽 t r + c b ，+ 蔓r 是f ( 1 + s 8 s ) + 6 ( s ) 】+ e 8 ) 豳_ o 洳- + ) ( 1 ，2 。2 0 ) j ? n 韭毛永 矧紫，紫) 州扎叶删，v t e 矽， 其中妇( _ ) 表示h o u s d o r f f 鼹离， 霞越由菲蘩捷测度魏髅质霹褥 一l i r a 。穗f 掣掣) 刊紫l vt 耐 讧2 t 2 l 下醚诗稃( 终掣) 颤甥 裂瘸野) 纛骚t 魏t - 寇义，我稚翔遘 ，$ ，f 固，茹，f s ) ) ：嚣矿 在羹，嘲上等爱连 续。数内弓 瑗1 2